半导体、二极管与发光二极管

为什么硅既不是金属也不是绝缘体：带隙 $E_{g}$ 、掺杂，以及二极管、太阳能电池、晶体管和 LED 背后的 p–n 结，LED 的颜色由 $λ = h c / E_{g}$ 决定。

一颗红色 LED 芯片：随着电压升高，电子和空穴流向 p–n 结并复合，发出能量接近带隙的光子。

学习本主题之前: 原子模型：玻尔原子, 直流电路与欧姆定律

入门

核心概念

铜等导体让电荷流动，玻璃等绝缘体不能；硅等半导体介于两者之间。
空穴是缺少电子的空位；邻近电子跳入后，空位移动，就像一个正电荷。
掺杂就是加入少量别的元素：n 型材料有多余电子，p 型材料有空穴。
p–n 结是电流的单向阀（二极管）：只有电池接对方向时才导通。
在 LED 中，每个落入空穴的电子放出一闪光；颜色由材料而非电池决定。

铜线很容易传导电荷，因为它的一些电子不属于任何特定的原子：它是导体。在玻璃中，每个电子都留在自己的原子里：它是绝缘体。硅是计算机芯片的材料，介于两者之间：它是半导体。

第 1 步。在纯硅中，几乎每个电子都被束缚在相邻原子之间的键里。一点热或光就能把少数电子震脱，每个电子都留下一个叫作空穴的空位。当邻近的电子跳进这个空位时，空位就向相反方向移动，所以空穴像正电荷一样运动。

第 2 步。工程师混入少量别的元素，这叫作掺杂。一种杂质带来多余的电子（n 型，n 代表负），另一种杂质留下空穴（p 型，p 代表正）。

第 3 步。把两种类型并排放在一起，就得到一个 p–n 结。动画中，左边的蓝点是多余的电子，右边的圆环是空穴。它们之间有一层很薄的空层，像一堵墙。电压低时，什么也过不去；到约 2 伏时，两种电荷都涌向中间。

第 4 步。落入空穴的电子失去能量，这些能量以一小闪光的形式放出，就像原子的电子落到较低能级时放出光子一样。这就是发光二极管（LED）。落差的大小，也就是颜色，由材料决定。

自己检验一下：把电池反着接。LED 会亮吗？不会：墙变厚了，几乎没有电流。结是电流的单向阀，叫作二极管。如果改为让光照在它上面，它就会驱动电流：这就是太阳能电池。

中级

核心概念

导带位于已填满的价带之上 $E_{g}$ 处（Si： $E_{g} = 1.12 eV$ ；GaAs： $1.42 eV$ ）。
掺杂：磷提供电子（n 型），硼产生空穴（p 型）；晶体保持电中性。
耗尽层形成势垒：正向偏置（p 接 +）使其降低，电流流动；反向偏置使其升高。
复合发出光子 $h f \approx E_{g}$ ，故 $λ = h c / E_{g} \approx 1240 eV \cdot nm / E_{g}$ （ $1.9 eV \to 650 nm$ ）。
LED 电流随电压上升极陡，所以 LED 总要串联一个电阻。

能带、带隙与空穴

束缚在单个原子上的电子只能有某些特定的能量。在晶体中，每个原子能级都展宽成一条由密集能级组成的能带。成键电子填满价带；价带之上是导带，电子在其中自由运动；两者之间是带隙 $E_{g}$ ，即完美晶体中任何电子都不可能具有的能量。

满带不携带电流，因为向一个方向运动的每个电子都有一个向相反方向运动的电子与之抵消。金属能导电，是因为它的最高占据能带只填了一部分。绝缘体有满的价带和很宽的带隙，金刚石为 5.5 eV；半导体的带隙较窄：硅为 1.12 eV，砷化镓（GaAs）为 1.42 eV，动画中红色 LED 为 1.9 eV。

室温下，热能 $k_{B} T \approx 0.026 eV$ 在每立方厘米的 $5 \times 1 0^{22}$ 个硅原子中，只能把约 $1 0^{10}$ 个电子激发过带隙。每个电子在键中留下一个空位，即空穴；邻近的电子滑入其中，空穴就向相反方向移动，像正电荷 $+ e$ 一样。电子–空穴对的数目大约每升高 10 K 就翻一番，所以与金属不同，纯半导体温度越高导电越好。

掺杂：n 型与 p 型

掺杂可以控制载流子。磷有五个外层电子，比硅的四个键所需多一个；多出来的那个电子只被 0.045 eV 束缚，热运动立刻就把它释放出来。磷是施主，产生 n 型硅，电子是多数载流子。硼只有三个外层电子，它从相邻的键中夺走一个电子，留下一个空穴：这是 p 型硅。

每五百万个硅原子中有一个磷原子，就会给出每立方厘米 $1 0^{16}$ 个自由电子，是纯硅值的一百万倍。空穴变得稀少，因为太多电子把它们填满了，两种浓度的乘积保持不变：
$n p = n_{i}^{2}, n_{i} \propto exp (- \frac{E _{g}}{2 k _{B} T})$
这里 $n_{i} \approx 1 0^{10} c m^{- 3}$ 是纯硅中的浓度，所以空穴降到 $p = 1 0^{20} /1 0^{16} = 1 0^{4} c m^{- 3}$ ：它们是少数载流子。

p–n 结及其能带图

在同一块晶体中把 n 型区和 p 型区连起来。电子扩散到 p 侧，空穴扩散到 n 侧，并在那里复合，在边界附近只留下固定的离子：n 侧是带正电的施主，p 侧是带负电的受主。这个耗尽层厚度不到一微米，没有自由载流子，其离子的电场把载流子推回去，直到扩散停止，此时达到内建电压 $V_{bi}$ ：硅中约 0.7 V，动画中的 LED 为 1.8 V。

动画中的能带图把这画成一个台阶，电子能量朝上：上面的线是导带边，下面的线是价带边，相距 1.9 eV（金色箭头）。两条带边在 p 侧都更高，所以来自 n 侧的电子（蓝点）必须爬上台阶，而空穴（圆环）像气泡一样向上浮，要下沉才能越过它。不加偏压时，台阶高 1.8 eV，几乎没有什么能越过。

偏压、电流与光

正向偏置（p 侧接 +）与内建电压相对抗：台阶变小，耗尽层变窄，电流呈指数增长。反向偏置使台阶升高，只有极小的饱和电流 $I_{s}$ 漏过。该结就是二极管，一个单向阀。四个公式完成了大部分工作：

$h f \approx E_{g}$
$λ = \frac{h c}{E _{g}} \approx \frac{1240 eV \cdot nm}{E _{g}}$
$I = I_{s} [exp (\frac{e V}{η k _{B} T}) - 1]$
$R = \frac{V _{s} - V _{F}}{I}$

落入空穴的导带电子下降约 $E_{g}$ ，放出一个光子；由于 $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ ，除以用电子伏表示的带隙，就得到以纳米为单位的波长。在二极管方程中，热电压 $V_{T} = k_{B} T / e$ 在 300 K 时为 25.9 mV，理想因子 $η$ 在 1 到 2 之间：每增加 $2.3 η V_{T}$ （ $η = 1$ 时为 60 mV， $η = 2$ 时为 120 mV），电流就乘以十。

例题：动画中的 LED

动画中的芯片有 $E_{g} = 1.9 eV$ 。每个光子携带约这个能量， $1.9 \cdot 1.602 \times 1 0^{- 19} = 3.04 \times 1 0^{- 19} J$ ，其波长为
$λ \approx \frac{1240 eV \cdot nm}{1.9 eV} \approx 653 nm$
动画把它取整为 650 nm：红光。

随着电源电压 $V$ 升高，读数 $I$ 在约 1.5 V 之前一直低于半毫安，同时说明文字指出势垒仍然很高；在约 1.56 V 时超过 1 mA，在 2.0 V 时达到 20 mA。半伏的电压使电流增大了五十多倍。与此同时，能带台阶从 1.8 eV 缩小到约 0.1 eV（芯片的电阻占去另外 0.3 V），耗尽层缩窄到原来宽度的四分之一， $e^{-}$ 和 $h^{+}$ 箭头显示载流子从两侧涌入。

每个越过的电子最多产生一个光子，所以电流就是光子的计数：在 20 mA 时， $I / e = 0.020/ (1.602 \times 1 0^{- 19}) \approx 1.25 \times 1 0^{17}$ 个电子每秒越过，它们最多携带 $1.25 \times 1 0^{17} \cdot 3.04 \times 1 0^{- 19} \approx 0.038 W$ 的光，而电功率为 $2.0 \cdot 0.020 = 0.040 W$ 。没有以光的形式逸出的部分使芯片发热。

例题：蓝色 LED 的电阻

蓝色 LED 的带隙更宽， $E_{g} \approx 2.7 eV$ （ $λ \approx 460 nm$ ），所以要通过 20 mA 需要约 3.0 V，而不是 2 V。你有一个 5.0 V 的 USB 电源。串联电阻通过相同的电流，并承担其余的电压：
$R = \frac{V _{s} - V _{F}}{I} = \frac{5.0 - 3.0}{0.020} = 100 Ω$
它消耗 $2.0 \cdot 0.020 = 0.040 W$ ，而 LED 消耗 $3.0 \cdot 0.020 = 0.060 W$ 。

没有它，LED 自己那条过于陡峭的曲线就会决定电流：在动画中，半伏就使电流变化五十倍，所以把 5 V 直接加在裸 LED 上会把它烧坏。有了电阻，即使 LED 的正向电压是 3.1 V 而不是 3.0 V，仍然得到 $1.9/100 = 0.019 A$ ：决定电流的是电阻，而不是 LED。

常见错误

n 型硅并不带负电：每个磷原子进入时是中性的，当它的第五个电子游走后，留下一个固定的正离子。
更亮的 LED 并不会发出更蓝的光。电流决定每秒的光子数，20 mA 时约为 $1.25 \times 1 0^{17}$ ；带隙决定每个光子的能量。
二极管没有固定的电阻：动画中的 LED 在 1.5 V 时 $V / I = 1.5/0.00037 \approx 4 kΩ$ ，但在 2.0 V 时 $2.0/0.020 = 100 Ω$ 。
反向偏置并不是在任何电压下都能阻断：超过击穿电压后，反向电流急剧上升，LED 的数据手册只允许约 5 V 的反向电压。

它在哪里出现

LED 灯、屏幕和交通信号灯用的就是本课的发光原理。太阳能电池是同一个结在做相反的工作：光产生电子–空穴对，耗尽层的电场把它们拉开形成电流，相机传感器和光纤接收器也是如此。晶体管由结或场控沟道构成，在每一块芯片中开关并放大信号。光子方面可对照《光电效应》和《原子模型：玻尔原子》，电路方面可对照《直流电路与欧姆定律》。

高级

核心概念

电子在原子间跳跃形成能带 $E = E_{0} - 2 A cos ka$ ；在带边附近，电子和空穴像具有有效质量的自由粒子一样运动。
电子–空穴对的产生 $\propto e^{- E_{g} / k_{B} T}$ 与湮灭 $\propto n p$ 平衡： $n p = n_{i}^{2}$ ，所以掺杂使一种浓度升高、另一种降低。
偏压打破两股流的平衡： $I = I_{s} [exp (e V / η k_{B} T) - 1]$ ；上坡流指数增长，下坡流保持不变。
电流每增加 $2.3 η V_{T}$ 就增大到十倍；由于 $I_{s} \propto e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ，拐点略低于 $E_{g} / e$ 。
发光需要直接带隙（GaAs、InGaN），Si 不行；反向运行时，该结就是太阳能电池。

原子间的跳跃形成能带

半导体的一切行为都源于一个事实：它的电子并不束缚在单个原子上。要看清这如何产生被带隙隔开的允许能带，我们来跟踪最简单的晶体中的一个电子，即一条由相同原子组成的直链。

图 1 的上部画出了这条链。相邻原子间距为 $a$ ，所以第 $n$ 个原子位于 $x_{n} = na$ 。单独一个原子会把电子保持在能量 $E_{0}$ 。由于原子靠得很近，电子还可以跳到任一相邻原子上；弯曲的双向箭头表示这一点，而跳跃能 $A$ 衡量两个相邻原子耦合得有多强。

由于电子总会漏到邻近原子上，电子只待在某一个原子上的状态无法保持确定的能量。能量确定的状态必须在每个原子上都给电子一个振幅 $C_{n}$ 。它的薛定谔方程是：能量乘以原子 $n$ 上的振幅，等于 $E_{0}$ 乘以该振幅，减去 $A$ 乘以两个相邻原子上的振幅，

$E C_{n} = E_{0} C_{n} - A (C_{n + 1} + C_{n - 1})$

每个原子的周围环境都相同，所以试取一个波， $C_{n} = e^{ik x_{n}}$ ，波数为 $k$ 。两个相邻原子上的振幅便分别是 $e^{ik x_{n}} e^{ika}$ 和 $e^{ik x_{n}} e^{- ika}$ 。公因子 $e^{ik x_{n}}$ 在两边消去，又因为 $e^{ika} + e^{- ika} = 2 cos ka$ ，剩下的是

$E = E_{0} - 2 A cos ka$

这就是图 1 下部的曲线：每个波的能量 $E$ 随其波数 $k$ 的变化。只需要 $- π / a$ 到 $π / a$ 范围内的 $k$ 。给 $k$ 加上 $2 π / a$ ，原子 $n$ 上的振幅乘以 $e^{i 2 πn} = 1$ ，所以得到的还是同一个波。当 $k = 0$ 时，每个原子上的振幅相同，能量最低，为 $E_{0} - 2 A$ ：这是能带的底部。当 $k = \pm π / a$ 时，振幅的符号在相邻原子间交替翻转，能量最高，为 $E_{0} + 2 A$ 。单一的原子能级 $E_{0}$ ，即中间的虚线，已经展宽成宽度为 $4 A$ 的能带，也就是右侧的括号。

每个原子能级都这样展宽成各自的能带，而两个能带之间的能量，链中任何波都不可能具有：这就是带隙。在绝对零度下，半导体的电子恰好填满一个能带，即价带，而把下一个能带，即导带，空着。从价带顶到导带底的距离就是带隙 $E_{g}$ ，硅的带隙为 1.12 eV。

在能带底部附近，只有小的 $k$ 起作用，此时 $cos ka \approx 1 - \frac{1}{2} (ka)^{2}$ 。代入能带公式得到

$E \approx E_{0} - 2 A + A a^{2} k^{2}$

除去常数项，这与自由粒子的动能 $ℏ^{2} k^{2} /2 m$ 形式相同，其中 $ℏ$ 是约化普朗克常量。所以能带底部附近的电子在晶体中像自由粒子一样运动，只是具有有效质量

$m^{*} = \frac{ℏ ^{2}}{2 A a ^{2}}$

跳跃越强，电子越轻。相距 0.3 nm 的原子之间若耦合为 1 eV，则 $m^{*} \approx 0.42 m_{e}$ ，其中 $m_{e}$ 是自由电子的质量；实测值从 $0.07 m_{e}$ （GaAs 中的电子）到约 $m_{e}$ 不等。在图 1 中，底部标有 $m^{*}$ 的绿色抛物线就是这一近似。它在 $k = 0$ 附近紧贴能带，在更远处余弦曲线变平，两者便分开了。

在能带顶部，余弦曲线向相反方向弯曲。标有 $- m^{*}$ 的第二条绿色抛物线在那里与能带吻合：靠近带顶的电子具有负的有效质量，所以力会使它沿相反方向加速。现在设想一个几乎填满的能带，只在带顶附近缺少一个电子。满带不携带电流，因为每个向一个方向运动的电子都有一个向相反方向运动的电子与之抵消。因此，这个有空缺的能带的行为，就像一个电荷和质量都反了过来的缺失电子：电荷是 $+ e$ 而不是 $- e$ ，质量是 $+ m^{*}$ 而不是 $- m^{*}$ 。这个缺失的电子就是空穴。它是真正的准粒子，即晶体中类似粒子的激发：p 型材料的霍尔电压符号与正载流子所预期的相同。把一个电子从价带顶提升到导带底，就产生一个自由电子和一个空穴，所以 $E_{g}$ 是产生一个电子–空穴对所需的最小能量。

载流子计数：质量作用定律

室温下的纯半导体只有很少的自由载流子，它们全部由热振动产生。掺入杂质（称为掺杂）可以使它们的数量改变许多个数量级。有一条简单的规则在所有情形下都把电子和空穴的密度联系起来，本课后面的内容都要用到它。

用 $n$ 表示单位体积内导带电子的数目，用 $p$ 表示空穴的数目。当热振动把一个电子提升越过带隙时，就产生一个电子–空穴对。这需要能量 $E_{g}$ ，所以产生率正比于玻尔兹曼因子 $e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ，其中 $k_{B}$ 是玻尔兹曼常量， $T$ 是热力学温度；在 300 K 时， $k_{B} T = 0.0259 eV$ 。当电子遇到空穴并落入其中时，电子–空穴对消失，这称为复合。相遇的速率正比于 $n p$ ，因为任一密度加倍，相遇次数就加倍。在平衡时，产生与复合相互平衡，所以乘积 $n p$ 只取决于带隙和温度：

$n p = n_{i}^{2}$

这里的 $n_{i}$ 是本征密度，即纯晶体中 $n$ 和 $p$ 的共同取值，在纯晶体中，导带中的每个电子都在身后留下一个空穴。因为 $n_{i}^{2} \propto e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ，它的平方根是

$n_{i} \propto exp (- \frac{E _{g}}{2 k _{B} T})$

其中略去了变化较慢的 $T^{3/2}$ 因子。掺杂并不改变这一论证。施主原子，例如硅中的磷，向导带提供一个电子；受主，例如硼，从价带取走一个电子并留下一个空穴。两者都不改变电子–空穴对越过带隙产生的快慢，也不改变某个电子遇到某个空穴的概率，所以 $n p = n_{i}^{2}$ 仍然成立。

对于 300 K 的硅， $n_{i} \approx 1 0^{10} c m^{- 3}$ 。加入密度为 $N_{D} = 1 0^{16} c m^{- 3}$ 的施主，这是 $n_{i}$ 的一百万倍。几乎每个施主都放出它的电子，所以 $n \approx N_{D}$ ，由质量作用定律可知空穴密度被固定为 $p = n_{i}^{2} / N_{D} = 1 0^{4} c m^{- 3}$ 。掺杂使一种密度升高，另一种降低：在这块 n 型硅中，电子是多数载流子，空穴是少数载流子。

指数使 $n_{i}$ 非常敏感。把硅从 300 K 加热到 310 K，它增大一倍。更宽的带隙则使它小得多：对于动画中 LED 的 1.9 eV 带隙，指数增大 $(1.9 - 1.12) / (2 \cdot 0.0259) \approx 15$ ，所以 $n_{i}$ 乘以约 $e^{- 15} \approx 3 \times 1 0^{- 7}$ ，降到每立方厘米只有几千个载流子。

p–n 结：内建电压与耗尽层

p–n 结是一块一侧掺杂为 n 型、另一侧掺杂为 p 型的晶体。二极管、LED、太阳能电池和晶体管都由这样的结构成。两侧接触时，电子从 n 侧扩散到电子稀少的 p 侧，空穴则向相反方向扩散。每个越过界面并发生复合的载流子，都会留下一个电荷不再被抵消的固定离子：n 侧是带正电的施主，p 侧是带负电的受主。这些离子的电荷建立起一个把载流子推回去的电场，当电场与扩散相平衡时，扩散便停止。结周围失去了自由载流子的这一区域就是耗尽层。

图 2 沿位置 $x$ 描述这个结，从左边的 n 侧到右边的 p 侧，用三张共用同一 $x$ 轴的图表示。宽度为 $W$ 的耗尽层位于两条虚线之间。

最上面的图是电荷密度 $ρ$ ：两个方块。耗尽层的 n 半部分是施主离子，电荷密度为 $e N_{D}$ ，其中 $N_{D}$ 是单位体积内的施主数。p 半部分是受主离子，电荷密度为 $- e N_{A}$ 。这里两侧掺杂相同， $N_{A} = N_{D}$ ，如下面的硅例子一样，所以两半相等，各宽 $W /2$ 。在耗尽层之外，自由载流子抵消了离子， $ρ = 0$ 。

中间的图是电场 $E$ 。一维高斯定律 $d E / d x = ρ / ε$ （ $ε$ 是晶体的介电常数）说明，电场的斜率等于电荷密度除以 $ε$ 。因此恒定的 $ρ$ 给出一条直线。 $E$ 在耗尽层之外为零，在带正电的一半中稳定上升，在结处达到峰值 $E_{m a x}$ ，然后在带负电的一半中降回零。结果是一个三角形，电场自始至终从 n 指向 p，正如它必须做到的那样，才能把电子推回 n 侧、把空穴推回 p 侧。

最下面的图是电势 $V$ 。电势是电场积分的负值， $d V / d x = - E$ ，所以只要 $E = 0$ ， $V$ 就是平的，而穿过耗尽层时，它下降的量等于电场三角形下的面积 $\frac{1}{2} E_{m a x} W$ 。该面积在中间的图中用阴影标出，由此产生的电势降用括号标在下图的右侧：它就是内建电压 $V_{bi}$ 。

$V_{bi}$ 的大小由平衡条件得出。要到达 p 侧，n 侧的电子必须爬过一个势能台阶 $e V_{bi}$ 。在平衡时，电子在这个台阶两侧服从玻尔兹曼因子，所以它们在 p 侧的密度等于在 n 侧的密度乘以 $e^{- e V_{bi} / k_{B} T}$ 。n 侧的密度是 $N_{D}$ ；p 侧的密度由质量作用定律为 $n_{i}^{2} / N_{A}$ 。令 $n_{i}^{2} / N_{A} = N_{D} e^{- e V_{bi} / k_{B} T}$ 并取对数，

$V_{bi} = \frac{k _{B} T}{e} ln (\frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}})$

对于 $N_{A} = N_{D} = 1 0^{16} c m^{- 3}$ 、 $k_{B} T / e = 0.02585 V$ 的硅，结果为 $0.02585 \cdot ln (1 0^{12}) \approx 0.71 V$ 。由于 $n_{i}^{2}$ 含有因子 $e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ， $e V_{bi}$ 等于 $E_{g}$ 减去一项，而这一项随掺杂浓度升高只缓慢减小，所以这一台阶趋近于 $E_{g} / e$ ，却不会大幅超过它。动画中的重掺杂 LED 就很接近： $V_{bi} = 1.8 V$ ，而 $E_{g} / e = 1.9 V$ 。

这一层的宽度可由同样的三幅图得出。两侧掺杂浓度同为 $N$ 时，每一半的宽度为 $W /2$ 。在这段距离内，电场以斜率 $e N / ε$ 上升，所以峰值为 $E_{m a x} = e N (W /2) / ε$ 。这一层两端的电压等于三角形的面积：

$\frac{1}{2} E_{m a x} W = \frac{e N W ^{2}}{4 ε}$

零偏压时，这个电压就是 $V_{bi}$ 。正向偏压 $V$ 使 p 侧电势更高，它抵消内建电场，使这一层两端只剩 $V_{bi} - V$ ；反向偏压则是负的 $V$ 。这一层两端的电压与 $W^{2}$ 成正比，所以

$W \propto V_{bi} - V$

对上面的硅结，取 $ε \approx 1.0 \times 1 0^{- 10} F/m$ ，零偏压时这一层宽 $W \approx 0.43 μ m$ ，峰值电场 $E_{m a x}$ 约为 $3 \times 1 0^{6} V/m$ 。5 V 的反向偏压使它变宽到 $1.2 μ m$ 。在动画中，正向偏压把势垒从 1.8 eV 降到 0.1 eV，于是这一层缩小到原宽度的 $0.1/1.8 \approx 0.24$ 。

具有内建电压的结看上去像一块电池，但用导线把它的两端连起来却没有电流。导线形成了两个新的接触，金属与 n 区、金属与 p 区，各有自己的电势台阶，而在同一温度下，绕回路一周的各台阶之和为零。若不为零，回路就能把某一温度下周围环境的热永远转化为功，这是热力学第二定律所禁止的。就像在同一温度的气体中的棘轮和棘爪一样，结无法对自身的热噪声进行整流。加热其中一个接触，平衡就被打破：这就是热电偶中用到的热电效应。

整流：失衡的两股流

二极管在一个方向上很容易导通电流，在另一个方向上几乎不导通。要弄清原因，来看沿两个方向穿过结的空穴；电子的行为与此相同，并叠加到同一个电流中。

图 3 画出了空穴在结上各处的势能 $U$ ，n 侧在左，p 侧在右；圆圈代表空穴。耗尽层的电场把空穴推向 p 侧，所以空穴在 n 侧的势能更高：不加电压时高出 $e V_{bi}$ （上图）。从 p 侧到 n 侧的空穴必须爬上这个台阶；从 n 侧到 p 侧的空穴则顺势滑下。

因此有两股空穴流穿过结。第一股在爬坡。p 侧空穴很多，它们是多数载流子，但只有少数热能高于台阶的空穴才能翻过去。第二股在下滑。n 侧空穴很少，它们是由热激发产生的少数载流子，但凡游荡进耗尽层的空穴，都会被层中的电场沿台阶扫下去。这股下坡流只取决于到达耗尽层的少数空穴有多少，而与台阶有多高无关；它就是饱和电流 $I_{s}$ 。 $V = 0$ 时没有净电流，所以爬坡流必须与它相等，上图中两个方向各画了一支标着 $I_{s}$ 的箭头。

在下图中，正向偏压 $V$ 把 p 侧抬高了 $e V$ ；其下方的虚线标出了它原来的位置。台阶降到 $e (V_{bi} - V)$ ，耗尽层也随之变窄。能量足以爬坡的空穴数目按玻尔兹曼因子 $e^{e V / k_{B} T}$ 增长，于是爬坡流变为 $I_{s} e^{e V / k_{B} T}$ ，而下坡流仍是 $I_{s}$ 。图中把较大的那股流画成三支箭头而不是一支；真实的倍数要大得多，在硅中 0.7 V 时约为 $6 \times 1 0^{11}$ ，所以图并未按比例画出。

用符号表示，爬坡流正比于 $p_{p} e^{- e (V_{bi} - V) / k_{B} T}$ ，其中 $p_{p}$ 是 p 侧的空穴密度。正向偏压使它乘以 $e^{e V / k_{B} T}$ ，而下坡流保持 $I_{s}$ 不变。净空穴电流是二者之差，即 $I_{s} e^{e V / k_{B} T} - I_{s}$ 。电子给出两股形式相同的流，所以总电流服从威廉·肖克利的二极管方程：

$I = I_{s} [exp (\frac{e V}{η k _{B} T}) - 1]$

这里的理想因子 $η = 1$ ，对应于载流子扩散穿过耗尽层并在其外复合的情形。反向偏压 $V < 0$ 则相反地抬高台阶：指数项衰减为零， $I \to - I_{s}$ ，只剩下很小的下坡流。这就是整流。零点几伏的正向偏压就能使电流增大许多倍，而任意大小的反向偏压，只要不到击穿，都只让 $I_{s}$ 通过。

如果大多数载流子改为在耗尽层内部复合，电流增长得更慢。层内 $n p = n_{i}^{2} e^{e V / k_{B} T}$ ，两种密度相等时复合最快，此时两者都约为 $n_{i} e^{e V /2 k_{B} T}$ 。于是电流只按 $e^{e V /2 k_{B} T}$ 增长，这意味着 $η \approx 2$ ，动画中用的就是这个值。对动画中的 LED， $I_{s}$ 约为 $1 0^{- 16} A$ 。

决定二极管开启电压的，首先是带隙。对扩散电流， $I_{s} \propto n_{i}^{2} \propto e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ；对复合电流， $I_{s} \propto n_{i} \propto e^{- E_{g} /2 k_{B} T}$ 。无论哪种情形，一旦电流远大于 $I_{s}$ ，就有

$I \approx C e^{- (E_{g} - e V) / η k_{B} T}$

其中前置因子 $C$ 随掺杂和温度只缓慢变化。电流取决于 $e V$ 比 $E_{g}$ 低多少，所以决定二极管在哪里开启的，主要是带隙，而不是掺杂。

读懂实时的电流–电压曲线

动画的专家层绘出了 LED 的电流 $I$ 随电源电压 $V$ 升高而变化的曲线。上述结果解释了这条曲线的形状，而它的数值正好可以用来检验这些结果。

令 $V_{T} = k_{B} T / e = 25.85 mV$ （300 K 时）。取 $η = 2$ ，则 $η V_{T} = 2 \cdot 25.85 = 51.7 mV$ 。指数每增加 $ln 10 \approx 2.3$ ，电流就增大到十倍，也就是每升高 $2.3 \cdot 51.7 \approx 119 mV$ 。所以曲线在约 1.5 V（0.37 mA）之前几乎贴着坐标轴，在 1.6 到 1.8 V 之间急剧弯折，到 2.0 V 时达到 20 mA。金色虚线标出 $E_{g} / e = 1.9 V$ 。

为什么结的工作电压比 $E_{g} / e$ 低约 0.2 V？对这个 LED， $C \approx 0.96 A$ 。20 mA 的电流比 $C$ 低 $lo g_{10} (0.96/0.020) \approx 1.7$ 个数量级，所以由上面的公式，结电压 $V_{j}$ 比 $E_{g} / e$ 低 $1.7 \cdot 119 \approx 200 mV$ ，即 1.70 V。硅二极管的 $η \approx 1$ ，其 $C$ 比工作电流高约八个数量级，所以它的拐点出现在 0.6 到 0.7 V 附近，比它 1.12 V 的带隙低约半伏。

电源还必须推动电流通过芯片 15 Ω 的串联电阻。在 20 mA 时这需要 $0.020 \cdot 15 = 0.30 V$ ，也就是 2.0 V 中剩下的部分。这个电阻决定了曲线的上段形状。结自身的动态电阻 $d V_{j} / d I = η V_{T} / I$ 在 20 mA 时只有约 $2.6 Ω$ ，远小于 15 Ω，所以曲线变直，成为斜率约为 $1/ (17.6 Ω)$ 的直线。在能带图上，势垒标注随 $e (V_{bi} - V_{j})$ 变化，随着电压升高，它从 1.8 eV 降到 0.10 eV。

例题：作为太阳能电池的 LED

让结反向工作：不再通入电流来发光，而是用光照射、从中取出功率。同样的方程此时描述的就是太阳能电池，动画中的 LED 显示了单个结能输出多少功率，以及它的电压为什么始终低于 $E_{g} / e$ 。

图 4 画出了通过结的电流 $I$ 随结两端电压 $V$ 变化的曲线，二者均以正向为正。虚线曲线 $I_{d}$ 是黑暗中的结，由二极管方程给出，其拐点略低于 $E_{g} / e$ ，即竖直虚线所在处。

现在光照射到结上，以相当于 $I_{L} = 20 mA$ 的速率产生电子–空穴对，也就是每秒产生 $I_{L} / e$ 对。耗尽层的电场把每一对电子和空穴分开，电子被扫向 n 侧，空穴被扫向 p 侧。这是一股沿反方向通过结的电流，其大小与 $V$ 无关。因此光照下的曲线 $I$ 就是暗曲线整体下移 $I_{L}$ ，如标有 $I_{L}$ 的箭头所示。

光照曲线与 $I$ 轴相交于 $- I_{L}$ ，与 $V$ 轴相交于开路电压 $V_{oc}$ 。在这两点之间， $V$ 为正而 $I$ 为负：电流从正极流出，就像电池一样，所以结在输出功率。在这一段上的任意一点，功率等于坐标轴与曲线上该点所围矩形的面积。阴影矩形的角点位于 $V_{mp}$ 和 $- I_{mp}$ ，它是其中最大的，其面积就是 $P_{m a x}$ 。

用方程表示，光照下的电流为

$I = I_{s} [exp (\frac{e V}{η k _{B} T}) - 1] - I_{L}$

端子短路时， $V = 0$ ， $I = - I_{L} = - 20 mA$ ：全部光电流经导线流动，反向通过二极管。端子开路时， $I = 0$ ，所以二极管电流必须等于 $I_{L}$ ，由此得到

$V_{oc} = η V_{T} ln (1 + \frac{I _{L}}{I _{s}}) = 1.70 V$

这正是动画中 20 mA 时的结电压，因为两种情况下二极管电流都是 20 mA。

输出功率为 $P = V (I_{L} - I_{d})$ ，其中 $I_{d}$ 是电压 $V$ 下的暗电流。它在这一段的两端都为零，在中间最大，此处 $d P / d V = 0$ ：即图 4 中最大矩形的角点。数值求解得 $V_{mp} \approx 1.52 V$ ， $I_{mp} = I_{L} - I_{d} \approx 19.3 mA$ ，所以 $P_{m a x} \approx 29.5 mW$ 。填充因子是把这个矩形与曲线外面面积为 $V_{oc} I_{L}$ 的方框相比： $29.5/ (1.70 \cdot 20) \approx 0.87$ 。

每个被吸收的电子–空穴对至少带有 1.9 eV，却只输出 1.52 eV：电压低于 $E_{g} / e$ ，原因与拐点低于它的对数项相同。若计入 15 Ω 的串联电阻，最大输出降到约 24 mW。实际的太阳能电池采用约 1.1–1.4 eV 的带隙，这是一种折中：带隙越小，吸收的阳光越多；带隙越大，每个电子输出的能量越多。

适用范围

二极管方程假设处于小注入：注入的载流子远少于多数载流子。因此结电压必须远低于 $V_{bi}$ ；动画中的 1.70 V 对 1.8 V 已处于边缘，此时串联电阻已经起主导作用。它假设玻尔兹曼统计，而在硅中掺杂浓度超过约 $1 0^{19} c m^{- 3}$ 时这一假设就不成立。它把密度当作平滑的平均值，然而一个宽 10 nm、掺杂 $1 0^{18} c m^{- 3}$ 的区域平均只含一个掺杂原子。反向时， $I = - I_{s}$ 只在击穿之前成立。在重掺杂的结中，势垒非常薄，电子在几伏电压下就会隧穿而过（齐纳击穿）；在轻掺杂的结中，被电场加速的载流子在几十到几百伏下会撞出新的电子–空穴对，形成雪崩。

光的发射也有它自己的限制。在硅中，导带底和价带顶位于不同的晶体动量 $ℏ k$ 处，二者相差约 $1.0 \times 1 0^{- 24} kg \cdot m/s$ ：约为 1.12 eV 光子动量的 1700 倍。光子带不走这个差值，所以每次复合还必须产生或吸收一个声子，即晶格振动的量子。这个过程可长达毫秒，其他过程抢先发生，能量最终变成热。在直接带隙材料中，例如 GaAs、发红光的 AlGaInP 和发蓝光的 InGaN，两个带边位于同一个 $k$ 处，电子和空穴在纳秒内通过发光而复合。

由此延伸

两个结背靠背，即 n–p–n，构成双极型晶体管：流入薄中间层的小电流控制着穿过它的大得多的电流。在场效应晶体管中，则是栅极电压打开或关闭导电沟道。光进功率出时，结就是例题中的太阳能电池；加上反射镜并在强注入下，受激辐射把它变成激光器。齐纳二极管和隧道二极管依靠穿过薄耗尽层的隧穿，这是《薛定谔方程与隧穿效应》一课的主题；能带来自电子波在晶格上的干涉，如《波粒二象性》所述。玻尔兹曼因子就是《气体分子动理论》中的那一个，而不驱动任何电流的结正是《热力学第二定律与熵》在起作用。

核心公式

复合产生的光子能量

h f \approx E_{g}

导带电子落入空穴时，电子–空穴对消失，其能量以一个光子的形式放出。电子和空穴聚集在离各自能带边缘约 $k_{B} T$ 的范围内，所以光子能量接近带隙。这和原子中电子在两个能级之间跃迁而发光的规律相同，只是用两个能带代替了两个能级。

符号
$h$	普朗克常量， $6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$	$J \cdot s$
$f$	发射光子的频率	$Hz$
$E_{g}$	带隙（ $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ ）	$J$

适用条件: 适用于直接带隙材料中的带间复合。在硅这样的间接带隙材料中，晶格振动要分担能量和动量，多数复合放出的是热而不是光；由杂质能级发出的光，其能量小于带隙。

示例: 动画中的 LED： $E_{g} = 1.9 eV = 3.04 \times 1 0^{- 19} J$ ，所以 $f = E_{g} / h \approx 4.6 \times 1 0^{14} Hz$ 。

由带隙求波长

λ = \frac{h c}{E _{g}} \approx \frac{1240 eV \cdot nm}{E _{g}}

频率为 $f$ 的光，波长 $λ = c / f$ ，所以由 $h f \approx E_{g}$ 得 $λ = h c / E_{g}$ 。因为 $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ ，用 1240 除以用电子伏表示的带隙，就得到以纳米为单位的波长。带隙越宽，波长越短：依次是红外、红、绿、蓝。

符号
$λ$	发射光的真空波长（用 1240 的形式时以 nm 为单位）	$m$
$h$	普朗克常量	$J \cdot s$
$c$	光速， $3.00 \times 1 0^{8} m/s$	$m/s$
$E_{g}$	带隙（用 1240 的形式时以 eV 为单位）	$J$

适用条件: 条件与 $h f \approx E_{g}$ 相同。实际发射谱线宽约 20 nm，因为载流子分布在高于能带边缘约 $k_{B} T$ 的范围内。

示例: $E_{g} = 1.9 eV$ ： $λ \approx 1240/1.9 \approx 653 nm$ ，红光；GaAs，1.42 eV：约 873 nm，红外。

电子和空穴的质量作用定律

n p = n_{i}^{2}, n_{i} \propto exp (- \frac{E _{g}}{2 k _{B} T})

热激发产生电子–空穴对的速率正比于 $e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ，电子与空穴相遇、复合而消失的速率正比于 $n p$ 。平衡时两个速率相等，所以在给定温度下，无论掺杂多少， $n p$ 都是该材料的常数。在纯晶体中 $n = p = n_{i}$ ，所以 $n_{i}$ 的指数中只含一半。

符号
$n$	导带电子密度	$m^{- 3}$
$p$	空穴密度	$m^{- 3}$
$n_{i}$	本征密度，即纯晶体中的载流子密度	$m^{- 3}$
$E_{g}$	带隙	$J$
$k_{B}$	玻尔兹曼常量， $1.381 \times 1 0^{- 23} J/K$	$J/K$
$T$	热力学温度	$K$

适用条件: 热平衡（无偏压、无光照），且硅中的掺杂浓度低于约 $1 0^{19} c m^{- 3}$ 。在正向偏压或光照下， $n p$ 大于 $n_{i}^{2}$ （反向偏压下则小于），这个超出量正是二极管或太阳能电池工作的动力。完整的 $n_{i}$ 还含有一个变化较慢的因子 $T^{3/2}$ 。

示例: 300 K 的硅，每立方厘米含 $1 0^{16}$ 个施主： $p = (1 0^{10})^{2} /1 0^{16} = 1 0^{4} c m^{- 3}$ 。

二极管方程

I = I_{s} [exp (\frac{e V}{η k _{B} T}) - 1]

有两股载流子流穿过结：多数载流子爬上势垒，其流量正比于 $e^{e V / k_{B} T}$ ；少数载流子被电场扫下势垒，其流量与 $V$ 无关。电流是两者之差，在 $V = 0$ 时两者相互抵消。正向偏压（ $V > 0$ ）使电流呈指数增长；反向偏压时只剩漏电流 $- I_{s}$ 。

符号
$I$	通过二极管的电流，由 p 到 n 为正	$A$
$I_{s}$	饱和电流	$A$
$e$	元电荷， $1.602 \times 1 0^{- 19} C$	$C$
$V$	结上的电压，正向偏压为正	$V$
$η$	理想因子，介于 1 和 2 之间
$k_{B}$	玻尔兹曼常量	$J/K$
$T$	热力学温度	$K$

适用条件: 小注入（结电压远低于 $V_{bi}$ ），且反向电压低于击穿电压。电流大时，必须加上芯片串联电阻上的压降：动画中为 20 mA 流过 15 Ω，压降 0.30 V。

示例: 动画中的 LED： $I_{s} \approx 1.05 \times 1 0^{- 16} A$ ， $η = 2$ ；结电压 $V = 1.70 V$ 时， $I = 20 mA$ 。

热电压

V_{T} = \frac{k _{B} T}{e} \approx 25.9 mV (300 K)

使电荷 $e$ 获得典型热能 $k_{B} T$ 所需经过的电压。它是每个结的天然电压标度：偏压每增加 $η V_{T}$ ，二极管电流就变为原来的 $e \approx 2.718$ 倍。它与热力学温度成正比。

符号
$V_{T}$	热电压	$V$
$k_{B}$	玻尔兹曼常量	$J/K$
$T$	热力学温度	$K$
$e$	元电荷	$C$

适用条件: 这个定义在任何温度下都成立；25.9 mV 这个值对应 300 K（25 °C 时为 25.7 mV）。

示例: $1.381 \times 1 0^{- 23} \cdot 300/ (1.602 \times 1 0^{- 19}) \approx 0.0259 V$ ；取 $η = 2$ ，动画中二极管的 $η V_{T} = 51.7 mV$ 。

给定电流比所需的电压增量

Δ V = η V_{T} ln (\frac{I _{2}}{I _{1}})

当电流远大于 $I_{s}$ 时，二极管方程中的 $- 1$ 可以略去，电流就是电压的纯指数函数。两个电流相除， $I_{s}$ 约去，取对数就得到电压差。电流每增大到十倍，代价都是同样的 $2.3 η V_{T}$ ，所以在线性坐标下曲线看起来像一个尖锐的拐点。

符号
$Δ V$	结电压的增量	$V$
$η$	理想因子
$V_{T}$	热电压	$V$
$I_{2}$	末态电流	$A$
$I_{1}$	初态电流	$A$

适用条件: 两个电流都远大于饱和电流，又小到串联电阻上的压降可以忽略，且温度相同。

示例: 动画中的 LED（ $η = 2$ ），电流从 2 mA 增加到 20 mA，结电压升高 $2 \cdot 25.85 \cdot ln 10 \approx 119 mV$ 。

耗尽层的宽度

W \propto V_{bi} - V

耗尽层里是密度均匀的固定离子。由高斯定律，层内的电场随深度线性增长，电势按二次方增长，所以层两端的电压按 $W^{2}$ 增长。正向偏压（ $V > 0$ ）使层上的电压变小，耗尽层变窄；反向偏压（ $V < 0$ ）使它变宽。

符号
$W$	耗尽层的厚度	$m$
$V_{bi}$	内建电压	$V$
$V$	加在结上的电压，正向偏压为正	$V$

适用条件: 两侧掺杂均匀的突变结（缓变结则是立方根），且 $V$ 小于 $V_{bi}$ 。

示例: 两侧各含每立方厘米 $1 0^{16}$ 个掺杂原子的硅：零偏压时为 0.43 µm，反向 5 V 时为 $0.43 \cdot 5.71/0.71 \approx 1.2 μ m$ 。

LED 的串联电阻

R = \frac{V _{s} - V _{F}}{I}

电阻和 LED 通过相同的电流，并分担电源电压。LED 在工作电流下大致承受其正向电压 $V_{F}$ ，其余的电压由电阻承担，再用欧姆定律就得到阻值。电阻上的电流只随电压线性变化，所以它能稳住电流，而 LED 陡峭的曲线做不到这一点。

符号
$R$	与 LED 串联的电阻	$Ω$
$V_{s}$	电源电压	$V$
$V_{F}$	LED 在所选电流下的正向电压	$V$
$I$	所选的电流	$A$

适用条件: 电源电压必须明显高于 $V_{F}$ ：如果两者很接近， $V_{F}$ 的一点变化（随温度，或换一个 LED）就会使电流变化很大。电阻还必须能承受功率 $(V_{s} - V_{F}) I$ 。

示例: 蓝光 LED， $V_{F} = 3.0 V$ ，由 5.0 V 供电取 20 mA： $R = 2.0/0.020 = 100 Ω$ 。

词汇表

半导体: 带隙足够小（至多几个电子伏）的固体，热或光能把一些电子激发过带隙。它的电导率介于金属和绝缘体之间，掺杂、光照和温度都能使它发生巨大变化。
价带和导带: 价带容纳成键电子，在低温的纯晶体中是满的；其上的导带几乎是空的，其中的电子可以自由运动。完全充满的能带不导电，所以导电需要上面能带中有电子，或下面能带中有空穴。
空穴: 几乎全满的价带中的一个空态。相邻的电子会移入这个空态，因此空穴就像一个带电荷 $+ e$ 、质量为正的粒子在运动；它是缺少的一个电子，不是缺少的一个原子。
有效质量: 能带边缘附近的电子或空穴对力作出响应时所表现出的质量 $m^{*}$ ，就像自由粒子一样： $E \approx ℏ^{2} k^{2} /2 m^{*}$ 。它取决于电子在原子间跳跃的难易，从 GaAs 中电子的约 $0.07 m_{e}$ 到约 $m_{e}$ 不等。
掺杂: 加入微量而可控的杂质，常常每百万个原子中只有一个，甚至更少。磷等施主提供自由电子（n 型材料），硼等受主提供空穴（p 型材料）；晶体保持电中性，因为每个自由载流子都由一个固定离子平衡。
多数载流子和少数载流子: 在掺杂材料中，由掺杂剂提供的载流子是多数载流子，另一种是少数载流子，满足 $n p = n_{i}^{2}$ 。每立方厘米含 $1 0^{16}$ 个施主的硅，每立方厘米有 $1 0^{16}$ 个电子，却只有 $1 0^{4}$ 个空穴。
p–n 结: 同一块晶体中 p 型区与 n 型区的交界。它在一个方向上很容易导电，在另一个方向上几乎不导电，所以是二极管；若用光照而不是外加电压驱动，它就是太阳能电池或光电二极管。
耗尽层: 结处没有自由载流子的薄区，只剩下固定的施主和受主离子。它们的电荷产生电场和内建电压；正向偏压下耗尽层变窄，反向偏压下变宽。
正向偏压和反向偏压: 正向偏压把 p 侧接到正极，降低势垒，电流随电压呈指数增长。反向偏压抬高势垒，在击穿之前只有极小的饱和电流流过。
复合: 导带电子落入空穴，电子–空穴对消失。能量约为 $E_{g}$ ，在 LED 中以光子形式放出，在硅中和缺陷处则变成晶格振动（热）。
发光二极管（LED）: 直接带隙材料中的 p–n 结，在正向偏压下工作，电子和空穴在其中复合并发出波长 $λ \approx h c / E_{g}$ 的光。材料决定颜色，电流决定亮度。它通过串联电阻 $R = (V_{s} - V_{F}) / I$ 驱动，单位为欧姆，其中 $V_{s}$ 是电源电压， $V_{F}$ 是 LED 在工作电流 $I$ 下的正向电压。
直接带隙和间接带隙: 在直接带隙（GaAs、InGaN）中，两个能带边缘处于相同的晶体动量，所以电子只需发射一个光子就能下落。在间接带隙（硅）中还必须有晶格振动参与，所以发光非常弱。

物理量
$E_{g}$	带隙	$J$	从价带顶到导带底的能量，通常用电子伏表示（ $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ ）：硅为 1.12 eV，动画中的 LED 为 1.9 eV。
$λ$	发射光的波长	$m$	由带隙决定， $λ \approx h c / E_{g}$ ，通常用纳米表示：1.9 eV 对应 653 nm（红），2.7 eV 对应 460 nm（蓝）。这里 $h = 6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 是普朗克常量， $c = 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ 是光速， $f = c / λ$ 是以赫兹为单位的光子频率。
$n$	电子密度	$m^{- 3}$	单位体积内的导带电子数。半导体中的密度通常用每立方厘米表示： $1 c m^{- 3} = 1 0^{6} m^{- 3}$ 。
$p$	空穴密度	$m^{- 3}$	单位体积内的空穴数；在 n 型材料中它被压低到 $n_{i}^{2} / n$ 。
$n_{i}$	本征载流子密度	$m^{- 3}$	纯晶体中的电子和空穴密度，300 K 时硅中约为 $1 0^{10} c m^{- 3}$ 。它随温度急剧上升，随带隙变宽而急剧下降。
$I_{s}$	饱和电流	$A$	二极管无法阻断的反向电流，由被扫过结的少数载流子承载；它也决定正向电流的大小标度。动画中的 LED 约为 $1 0^{- 16} A$ 。结电压为 $V$ （单位伏，正向偏压为正）时，二极管电流 $I$ （单位安培，由 p 到 n 为正）是 $I = I_{s} [exp (e V / η k_{B} T) - 1]$ 。当电流远大于 $I_{s}$ 时，把 $V$ 增加 $Δ V$ ，电流就从 $I_{1}$ 变到 $I_{2}$ ，其中 $Δ V = η V_{T} ln (I_{2} / I_{1})$ 。
$η$	理想因子		载流子靠扩散越过结时为 1，在耗尽层内复合时接近 2；每增加 $2.3 η V_{T}$ ，电流增大到十倍。
$V_{T}$	热电压	$V$	$k_{B} T / e$ ，其中 $k_{B} = 1.381 \times 1 0^{- 23} J/K$ 是玻尔兹曼常量， $T$ 是以开尔文为单位的热力学温度， $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ 是元电荷：它是使电荷 $e$ 获得典型热能 $k_{B} T$ 的电压，300 K 时为 25.9 mV。
$V_{bi}$	内建电压	$V$	无偏压的结上的电势台阶：硅中约 0.7 V，动画中的 LED 为 1.8 V。电压表测不出它，因为电压表自身的接触也会带来电势台阶，把它抵消了。
$W$	耗尽层宽度	$m$	耗尽层的厚度，一般为 0.1–1 µm；它按 $V_{bi} - V$ 变化，正向偏压下变窄。

练习

入门半导体中的“空穴”是什么？
1. 晶体中缺少了一整个原子的空位
2. 从原子中脱离出来的质子
3. 缺少一个电子的位置，其行为像正电荷一样移动
4. 芯片中电流永远无法通过的部分
显示答案
答案: C. 缺少一个电子的位置，其行为像正电荷一样移动
当一个电子离开化学键后，相邻的电子可以跳进这个空位，于是空位在移动。它缺少一个电子的负电荷，所以表现得像正电荷。
入门把电池反接到发光二极管（LED）上，会发生什么？
1. 几乎没有电流通过，LED 不亮
2. LED 亮起，但颜色不同
3. LED 和之前一样亮
4. LED 以平时一半的亮度发光
显示答案
答案: A. 几乎没有电流通过，LED 不亮
LED 是一种二极管：它的 p–n 结只允许电流沿一个方向通过。反接时，结处的势垒变高，几乎没有电流通过，也就不发光。
入门 LED 发出光的颜色主要由什么决定？
1. 流过它的电流大小
2. 塑料外壳的颜色
3. 它已经通电的时间长短
4. 制造它所用的半导体材料
显示答案
答案: D. 制造它所用的半导体材料
每个落入空穴的电子释放的能量由材料（其带隙）决定，这个能量决定了光的颜色。电流增大，同色的光更强；有色外壳只是起滤光作用。
中级某 LED 由带隙为 2.3 eV 的半导体制成。它发出的光波长大约是多少？（h·c ≈ 1240 eV·nm）
1. ≈ 650 nm（红光）
2. ≈ 540 nm（绿光）
3. ≈ 2850 nm（红外）
4. ≈ 430 nm（紫光）
显示答案
答案: B. ≈ 540 nm（绿光）
λ = h·c / E_g ≈ 1240 eV·nm ÷ 2.3 eV ≈ 540 nm，是绿光。如果把除法错做成乘法，就会得到干扰选项 2850 nm。
中级一块 n 型硅带负电吗？
1. 带负电，因为它含有多余的电子
2. 带负电，但只在有电流通过时
3. 不带电：每个多余的电子都被一个固定的带正电施主离子所中和
4. 不带电：多余的电子会立刻离开晶体
显示答案
答案: C. 不带电：每个多余的电子都被一个固定的带正电施主离子所中和
每个磷原子进入晶体时是电中性的。它的第五个电子成为自由电子，而这个原子则作为固定的正离子留在原处，所以整块材料仍呈电中性。
中级为什么纯净（未掺杂）半导体加热时电阻下降，而金属加热时电阻上升？
1. 热使更多电子越过带隙，产生更多电子–空穴对
2. 原子振动减弱，电子碰撞的次数减少
3. 加热把杂质赶出了晶体
4. 带隙变得宽得多，所以电子运动更快
显示答案
答案: A. 热使更多电子越过带隙，产生更多电子–空穴对
随着温度升高，自由载流子的数目迅速增加，因为更多电子获得足够的热能越过带隙。这一效应超过了额外碰撞的影响，而在金属中则是碰撞起主导作用。（实际上加热时带隙会略微变窄。）
高级一个硅二极管（理想因子 η = 1）在 300 K 时通过 1 mA 电流。要让它通过 10 mA，正向电压大约要增加多少？
1. 约 0.6 V
2. 约 26 mV
3. 约 0.9 V
4. 约 60 mV
显示答案
答案: D. 约 60 mV
电流远大于 I_s 时，I ∝ exp(e·V / η·k_B·T)，所以电流增大到十倍需要 ΔV = η·V_T·ln 10 ≈ 25.9 mV × 2.30 ≈ 60 mV。26 mV 是 V_T 本身，而 0.6 V 是典型的总正向电压，不是电压的变化量。
高级硅是最常见的太阳能电池材料，却做不出好的 LED。为什么？
1. 它的带隙太小，无法发射任何光子
2. 它的带隙是间接的，复合还需要声子参与，主要产生热
3. 硅不能掺杂成 p 型
4. 它的电子和空穴在结处永远不会相遇
显示答案
答案: B. 它的带隙是间接的，复合还需要声子参与，主要产生热
在硅中，导带最低态和价带最高态的晶体动量不同。光子几乎不带动量，所以辐射复合还需要声子参与，速率极低；非辐射过程占优势。LED 使用的是直接带隙化合物，例如 GaAs、AlGaInP 或 InGaN。

$x$	穿过结的位置，从 n 侧到 p 侧。	$m$
$W$	耗尽层的宽度。	$m$
$ρ$	固定离子的电荷密度：耗尽层 n 半边是带正电的施主，p 半边是带负电的受主。	$C/ m^{3}$
$e N_{D}$	电离施主的电荷密度： $e$ 乘以它们的数密度 $N_{D}$ 。	$C/ m^{3}$
$e N_{A}$	电离受主的电荷密度的大小： $e$ 乘以它们的数密度 $N_{A}$ ，这里等于 $e N_{D}$ 。	$C/ m^{3}$
$E$	电场，由 n 侧指向 p 侧。	$V/m$
$E_{m a x}$	电场的峰值，在结处。	$V/m$
$V$	沿结的电势。	$V$
$V_{bi}$	内建电压： $V$ 在层上的降落，等于 $E$ 曲线下的阴影面积。	$V$
$n$	n 型区：含自由电子和带正电的施主离子。
$p$	p 型区：含空穴和带负电的受主离子。

$a$	链中原子的间距。	$m$
$A$	跳跃能：相邻两个原子之间的耦合。	$J$
$E$	链上一个波态的能量。	$J$
$k$	该态的波数：它在位于 $x_{n}$ 的原子上的振幅正比于 $e^{ik x_{n}}$ 。	$m^{- 1}$
$E_{0}$	孤立原子的能级；能带以它为中心。	$J$
$4 A$	能带的宽度，从 $k = 0$ 处的 $E_{0} - 2 A$ 到边缘处的 $E_{0} + 2 A$ 。	$J$
$π / a$	所需 $k$ 范围的边缘：超出它的 $k$ 在各原子上给出的振幅，与范围内某个值所给出的相同。	$m^{- 1}$
$m^{*}$	能带底部的有效质量，由那里绿色抛物线的曲率决定；在顶部曲率反号，给出 $- m^{*}$ 。	$kg$

$U$	空穴在穿过结的各个位置的势能。	$J$
$n$	n 侧，那里空穴稀少（少数载流子）。
$p$	p 侧，那里空穴很多（多数载流子）。
$V$	正向偏压：所加的电压，p 侧为正。	$V$
$e V_{bi}$	零偏压时空穴所面对的台阶高度： $e$ 乘以内建电压。	$J$
$e V$	正向偏压把 p 侧的能级抬高的幅度。	$J$
$e (V_{bi} - V)$	正向偏压下台阶的高度。	$J$
$I_{s}$	饱和电流：滑下台阶的少数空穴流；零偏压时爬坡的流与它相等。	$A$
$I_{s} e^{e V / k_{B} T}$	正向偏压下爬坡的流：比 $I_{s}$ 大 $e^{e V / k_{B} T}$ 倍。	$A$

$V$	结上的电压，正向为正。	$V$
$I$	通过受光照的结的电流， $I = I_{d} - I_{L}$ 。	$A$
$I_{d}$	结在暗处的电流：二极管方程。	$A$
$I_{L}$	光电流：光驱动反向通过结的电流，使曲线下移。	$A$
$V_{oc}$	开路电压：受光照的曲线与 $I = 0$ 相交处。	$V$
$V_{m p}$	最大功率点处的电压，即最大矩形的角点。	$V$
$I_{m p}$	最大功率点处输出的电流；受光照的曲线在那里位于 $- I_{mp}$ 。	$A$
$P_{m a x}$	电池输出的最大功率：阴影矩形的面积。	$W$
$E_{g} / e$	带隙除以 $e$ ： $V_{oc}$ 逼近但始终低于的电压。	$V$