Радиоактивность и период полураспада

Начальный

Начнём с уже знакомой картины атома: в центре — крошечное ядро из протонов и нейтронов, а вокруг движутся электроны. Число протонов — это паспорт атома. Шесть протонов — всегда углерод, 92 — всегда уран. Химические реакции лишь перераспределяют внешние электроны, поэтому изменить это число они не могут. Это под силу только изменениям внутри ядра.

Некоторые ядра нестабильны: в них слишком много энергии или неудачное соотношение протонов и нейтронов. Рано или поздно такое ядро выбрасывает крошечную частицу или вспышку очень энергичного света, и остаётся уже другое ядро, часто другого элемента. Это и есть радиоактивный распад.

Когда это происходит? Совершенно случайно. Вспомните светящиеся в темноте звёздочки на потолке детской: когда лампу выключают, их атомы отдают запасённый свет по одному, в непредсказуемые моменты, и свечение постепенно меркнет. Радиоактивные ядра ведут себя так же, но с одной неожиданностью: они не стареют. Ядро, прождавшее миллион лет, ничуть не ближе к распаду, чем только что появившееся.

В анимации каждый золотой кружок — это ядро. Кружки один за другим становятся серыми, выбрасывая красную частицу, и угадать, какой будет следующим, нельзя. Зато толпа ведёт себя предсказуемо: каждый раз, когда стрелка часов делает полный оборот, распадается половина ещё золотых ядер. Один оборот — осталось 50, два — 25, три — около 12. Один оборот часов — это период полураспада.

Проверьте себя: в образце сначала 800 радиоактивных ядер. Сколько их останется через три периода полураспада? Ответ: $800\to 400\to 200\to 100$, то есть 100, а не ноль.

Периоды полураспада бывают от долей секунды до миллиардов лет. Период углерода-14, около 5700 лет, позволяет определять возраст древней древесины и костей.

Средний

Что распадается и что мы считаем

Каждое ядро характеризуется двумя целыми числами. Зарядовое число (атомный номер) $Z$ — это число протонов, и оно определяет элемент: $Z=6$ — углерод, $Z=92$ — уран. Массовое число $A$ — это число всех нуклонов, то есть протонов и нейтронов вместе, поэтому в ядре углерода-14, ${}_6^{14}\mathrm{C}$, 6 протонов и 8 нейтронов. Ядра с одинаковым $Z$, но разным $A$ называют изотопами одного элемента: углерод-12 стабилен, углерод-14 радиоактивен.

В образце мы следим за числом $N$ ядер, которые ещё не распались; при $t=0$ оно равно $N_0$. Детектор регистрирует распады, а число распадов в секунду называют активностью; её измеряют в беккерелях (1 Бк — один распад в секунду). Буквой $A$ обозначают и массовое число, и активность, поэтому смотрите на контекст; $N$ же всегда означает число нераспавшихся ядер.

Вдвое за равные промежутки времени

Радиоактивное ядро не изнашивается: каков бы ни был его возраст, вероятность дожить до конца следующего периода полураспада $T_{1/2}$ равна ровно одной второй. Поэтому в большом образце после одного периода полураспада остаётся половина ядер, после следующего — половина от оставшихся, и так далее. Через $n=t/T_{1/2}$ периодов, будь $n$ целым числом или нет, число нераспавшихся ядер равно
$N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T_{1/2}}$

Вероятность распада в секунду — это постоянная распада $\lambda$, а активность равна этой вероятности, умноженной на число имеющихся ядер:

• $\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $A=\lambda N$

Значит, активность тоже уменьшается вдвое за каждый период полураспада. Чтобы по измеренной доле найти время, считают число уменьшений вдвое: $n={\log }_2(N_0/N)$, поэтому образец, в котором осталось 1/16 исходного числа ядер, прожил четыре периода полураспада. Если $T_{1/2}$ задан в секундах, то $\lambda$ получается в ${\mathrm{с}}^{-1}$, а $A$ — в беккерелях.

Три вида распада

В легенде анимации названы три вида излучения:

• При $\alpha$-распаде ядро испускает ядро гелия-4 из 2 протонов и 2 нейтронов, поэтому $A$ уменьшается на 4, а $Z$ — на 2. Лист бумаги задерживает эти тяжёлые частицы с двойным зарядом.
• При ${\beta }^{-}$-распаде нейтрон превращается в протон, и ядро испускает электрон и антинейтрино, поэтому $Z$ увеличивается на 1 при том же $A$; при ${\beta }^{+}$-распаде протон превращается в нейтрон и испускается позитрон, поэтому $Z$ уменьшается на 1. Несколько миллиметров алюминия задерживают $\beta$-частицы.
• При $\gamma$-излучении возбуждённое ядро, нередко только что образовавшееся при $\alpha$- или $\beta$-распаде, выделяет фотон высокой энергии, а $A$ и $Z$ не меняются. Свинец никогда не задерживает $\gamma$-лучи полностью: сантиметр свинца ослабляет вдвое пучок фотонов с энергией 1 МэВ.

Для $\alpha$-распада подсчёт нуклонов и зарядов даёт
$X(A,Z)\to Y(A-4,Z-2)+{}^4\mathrm{He}$
так что уран-238 ($Z=92$) превращается в торий-234 ($Z=90$). Образец в анимации — источник $\alpha$-частиц: каждое золотое материнское ядро $X$, ставшее серым, превратилось в дочернее ядро $Y$, а красная точка, которая улетает, — его $\alpha$-частица.

Пример: образец из анимации

Анимация начинается с $N_0=100$ ядер и $T_{1/2}=2,5\mathrm{с}$, а стрелка часов делает один оборот за период полураспада. После одного, двух, трёх и четырёх оборотов, то есть при 2,5; 5; 7,5 и 10 с, закон даёт 50; 25; 12,5 и 6,25 ядра. Индикатор $N$ показывает 50, 25, 12 и 6, потому что результат счёта — целое число; индикатор $N/N_0$ показывает те же числа в процентах.

Формула работает и между оборотами. При $t=4,0\mathrm{с}$
$t/T_{1/2}=4,0/2,5=1,6,N=100\cdot 0,5^{1,6}=33,0$
и индикатор показывает 33. Если пойти в обратную сторону, закон даёт время, когда остаётся 10 ядер: $n={\log }_{2}10=3,32$ периода, то есть $t=8,3\mathrm{с}$.

За первый оборот распадаются 50 ядер, за второй — 25, за третий — 13: распадов становится меньше потому, что осталось меньше ядер, а не потому, что уцелевшие стали устойчивее. Моменты распадов в анимации подобраны так, чтобы следовать закону. Настоящий случайный образец из 100 ядер через один период полураспада обычно отличался бы от 50 примерно на 5, тогда как грамм вещества, где около $10^{21}$ ядер, следует закону почти точно.

Пример: йод-131 в медицине

Йод-131, который применяют для лечения щитовидной железы, имеет период полураспада 8,0 сут. Аптека готовит капсулу активностью 400 МБк, и пациент принимает её через 3,0 сут. Какая активность останется к этому моменту и когда хранящаяся капсула упадёт ниже 1 % от начальной активности?

Активность пропорциональна $N$, поэтому подчиняется тому же закону:
$A=400\cdot 0,5^{3,0/8,0}=400\cdot 0,771=308\mathrm{МБк}$
Значит, аптека должна приготовить примерно на 30 % больше, чем доза, которую собираются ввести. Для отметки 1 % имеем $n={\log }_{2}100=6,64$ периода, то есть 53 сут. Через 24 сут, то есть три периода, остаётся $(1/2{)}^3=12,5$ %, а через 20 сут, 2,5 периода, — $0,5^{2,5}=17,7$ %.

При $\lambda =\ln 2/(8,0\cdot 86400\mathrm{с})=1,00\times 10^{-6}{\mathrm{с}}^{-1}$ свежая капсула, $4,0\times 10^8\mathrm{Бк}$, содержит $N=A/\lambda =4,0\times 10^{14}$ ядер — это меньше десятой доли микрограмма: взвесить так мало невозможно, а обнаружить легко, и поэтому радиоактивные индикаторы так полезны.

Как читать кривую распада

Постройте график показаний индикатора, $N$ в зависимости от $t$: кривая начинается круто, выполаживается и приближается к нулю, но никогда его не достигает. Классическая ошибочная картина — прямая от 100 ядер при $t=0$ до нуля при $t=2T_{1/2}$; в этот момент настоящая кривая ещё проходит на уровне четверти.

Крутизна кривой — это скорость распада, поэтому активность можно прочитать по наклону: для анимации это около 28 ядер в секунду в начале, 14 при 2,5 с и 7 при 5 с. Реальные отсчёты разбросаны вокруг гладкой кривой, причём в относительном выражении тем сильнее, чем меньше числа.

Частые ошибки

• Период полураспада — не половина времени, за которое распадётся всё. Каждый период убирает половину оставшегося, поэтому 6400 ядер за четыре периода превращаются в 3200, 1600, 800 и 400 и никогда внезапно не заканчиваются.
• Распад — не потеря фиксированного числа ядер за час. Образец, который за первый час теряет 10 %, в каждый следующий час теряет 10 % от того, что осталось, поэтому через 10 часов остаётся $0,9^{10}=0,35$, то есть 35 %.
• Старые ядра не «созрели» для распада. Ядро, пережившее десять периодов полураспада, с вероятностью ровно 50 % переживёт и следующий.
• Нагрев, давление и химия не меняют период полураспада. Химические связи затрагивают несколько электронвольт, а ядерные превращения — миллионы, поэтому сжигание или растворение радиоактивного вещества практически не меняет его $T_{1/2}$.

Где это встречается

Радиоуглеродное датирование использует углерод-14 с периодом полураспада 5730 лет. Космические лучи постоянно его создают, а живые организмы поглощают его, пока не погибнут, поэтому древесина, в которой осталась четверть углерода-14 по сравнению с живым деревом, имеет возраст около 11 500 лет. Уран-238 с периодом полураспада 4,5 млрд лет через цепочку распадов превращается в свинец-206 и позволяет датировать древнейшие горные породы. Медицина выбирает короткие периоды полураспада: технеций-99m (6,0 ч) для получения изображений, фтор-18 (110 мин) для ПЭТ-сканирования.

Дымовые извещатели содержат америций-241 — источник $\alpha$-частиц с периодом полураспада 432 года, а радон-222 (3,8 сут) создаёт для большинства людей самую большую естественную дозу. Следующий урок, «Деление, синтез и E = mc²», объясняет, откуда берётся ядерная энергия, а экспертный уровень здесь показывает, почему периоды полураспада $\alpha$-излучателей лежат в пределах от микросекунд до миллиардов лет.

Продвинутый

Постоянная вероятность в единицу времени

Радиоактивный распад держится на одном допущении: у ядра нет памяти. Каков бы ни был возраст ядра, вероятность того, что оно распадётся в ближайший малый промежуток $dt$, равна $\lambda dt$, где постоянная распада $\lambda$ — неизменная для данного вида ядер вероятность в единицу времени. Только что возникшее ядро и ядро, прождавшее миллиард лет, имеют в точности одинаковые шансы. Анимированный образец начинается с $N_0=100$ ядер при $\lambda =0,277{\mathrm{с}}^{-1}$, поэтому у каждого ядра шанс распасться в ближайшую сотую долю секунды составляет 0,28 %.

Из этого единственного правила следует вероятность $P(t)$ того, что ядро переживёт целый промежуток $t$. Разобьём $t$ на $m$ равных шагов длиной $t/m$. На каждом шаге ядро распадается с вероятностью $\lambda t/m$, то есть переживает его с вероятностью $1-\lambda t/m$. Шаги независимы, поэтому вероятности пережить каждый из них перемножаются. Если делать шаги всё короче, получим
$P(t)={\lim }_{m\to \infty }{\left(1-\frac{\lambda t}{m}\right)}^m=e^{-\lambda t}$

Экспонента — единственный непрерывный закон выживания без памяти. Проверим, что памяти в нём нет: ядро, уже прожившее время $s$, переживёт ещё время $t$ с вероятностью $P(s+t)/P(s)=e^{-\lambda (s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=P(t)$, точно так же, как новое.

Не смешивайте два уровня описания. Постоянная распада $\lambda$ относится к одному ядру и говорит лишь о том, насколько вероятен его распад. Гладкая кривая распада относится к большой совокупности ядер, и гладкой она бывает только потому, что совокупность велика.

Решение закона распада

Теперь возьмём образец из $N$ одинаковых ядер. Каждое из них распадается в ближайшее время $dt$ с вероятностью $\lambda dt$, поэтому ожидаемое число распадов равно $\lambda Ndt$. Каждый распад убирает одно ядро, так что $N$ меняется на $dN=-\lambda Ndt$, то есть
$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$

Скорость убыли пропорциональна тому, что осталось. Чтобы решить уравнение, соберём $N$ в одной части: $dN/N=-\lambda dt$. Проинтегрируем левую часть от начального числа $N_0$ до $N$, а правую — от $0$ до $t$: $\ln (N/N_0)=-\lambda t$. Взяв экспоненту от обеих частей, получим
$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Это $N_0$, умноженное на вероятность выживания $P(t)$ одного ядра, как и должно быть: в среднем доля $P(t)$ совокупности выживает. Экспонента теряет одну и ту же долю за любые два промежутка равной длины, где бы они ни начинались, и именно это превращает радиоактивный образец в часы.

Период полураспада и среднее время жизни

Период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое $N$ уменьшается вдвое. Условие $N=N_0/2$ даёт $e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2$; логарифмируя, получаем $\lambda T_{1/2}=\ln 2$, то есть
$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Подставив обратно, получаем $e^{-\lambda t}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}=(1/2{)}^{t/T_{1/2}}$: закон уменьшения вдвое и экспонента — одна и та же функция, записанная двумя способами. Для анимации $T_{1/2}=0,693/0,277=2,50\mathrm{с}$.

Среднее время жизни $\tau$ — средняя продолжительность жизни ядра. Ядро распадается между $t$ и $t+dt$, если оно сначала доживает до $t$ (вероятность $e^{-\lambda t}$), а затем распадается за $dt$ (вероятность $\lambda dt$). Если взвесить каждое время жизни $t$ этой вероятностью и проинтегрировать по частям, получим
$\tau ={\int }_0^{\infty }t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\approx 1,44T_{1/2}$

Через одно среднее время жизни остаётся доля $1/e$ ядер. Для анимации $\tau =3,61\mathrm{с}$, и к этому моменту должно остаться $N_0/e=36,8$ ядра; индикатор $N$ показывает 37. Почему $\tau$ больше $T_{1/2}$? Период полураспада — медиана времени жизни: половина ядер распадается раньше него. Другая половина включает длинный «хвост» запоздалых выживших, некоторые из которых живут много периодов полураспада, и они оттягивают среднее до $\tau$.

Активность

Детектор считает не оставшиеся ядра, а распады. Он измеряет скорость распада $-dN/dt$, которую называют активностью $A$ и выражают в беккерелях (1 Бк — один распад в секунду). Из закона распада
$A=\lambda N$

Поскольку $A$ пропорциональна $N$, она убывает по той же экспоненте, $A=A_0{e}^{-\lambda t}$, где $A_0=\lambda N_0$, и потому тоже служит часами. Пока дерево живо, оно обменивается углеродом с воздухом, и доля углерода-14 в нём остаётся постоянной; после гибели дерева его углерод-14 распадается и не восполняется. Сравнив активность на грамм углерода в старой древесине и в живой, получим $A/A_0$, а решив уравнение $(1/2{)}^{t/T_{1/2}}=A/A_0$ относительно $t$, найдём возраст древесины. В анимации индикатор $A$ экспертного уровня начинается с $A_0=27,7\mathrm{Бк}$ и показывает 13,9 Бк через 2,5 с, то есть спустя один период полураспада.

Активность зависит от двух вещей: сколько всего ядер и насколько неустойчиво каждое. Грамм радия-226 — это $1/226$ моля, поэтому в нём $N=6,02\times 10^{23}/226=2,66\times 10^{21}$ ядер. При $T_{1/2}=1600$ лет имеем $\lambda =\ln 2/T_{1/2}=1,37\times 10^{-11}{\mathrm{с}}^{-1}$ и $A=\lambda N=3,7\times 10^{10}\mathrm{Бк}$ — активность, которая когда-то определяла кюри. В грамме урана-238 примерно столько же ядер, но его период полураспада, 4,5 миллиарда лет, примерно в три миллиона раз больше, поэтому он примерно в три миллиона раз менее активен.

Как читать кривую распада

График зависимости $N$ от $t$ сразу показывает период полураспада, среднее время жизни и активность. На рисунке 1 время отложено в периодах полураспада, поэтому одна и та же картинка годится для любого нуклида, от микросекунд до миллиардов лет.

Обозначения

$N$	Число нераспавшихся ядер в момент $t$.
$N_0$	Число нераспавшихся ядер при $t=0$.
$N_0/2$	Половина начального числа; достигается через один период полураспада.
$N_0/4$	Четверть начального числа; достигается через два периода полураспада.
$t$	Время, прошедшее с начала счёта.	$\mathrm{с}$
$T_{1/2}$	Период полураспада: каждый шаг такой длины уменьшает $N$ вдвое.	$\mathrm{с}$
$\tau$	Среднее время жизни $1/\lambda$, около $1,44T_{1/2}$: там, где касательная при $t=0$ пересекает ось времени.	$\mathrm{с}$
$A_0$	Активность при $t=0$, $A_0=\lambda N_0$; наклон касательной в этой точке равен $-A_0$.	$\mathrm{Бк}$

Сначала посмотрите на три точки. Они стоят в $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$ и $3T_{1/2}$ на равных расстояниях друг от друга по оси времени, а их высоты $N_0/2$, $N_0/4$ и $N_0/8$ на каждом шаге уменьшаются в одно и то же число раз — вдвое. Это закон уменьшения вдвое, прочитанный по графику: равные времена — равные доли.

Затем посмотрите на прямую с пометкой $-A_0$ — касательную к кривой при $t=0$. Её наклон равен начальной скорости изменения, $dN/dt=-\lambda N_0=-A_0$. Прямая, которая начинается на высоте $N_0$ и спадает со скоростью $A_0$, достигает оси времени через $N_0/A_0=1/\lambda =\tau$. Значит, касательная попадает в среднее время жизни $\tau$, немного правее первой точки, потому что $\tau \approx 1,44T_{1/2}$. Иначе говоря, если бы образец продолжал распадаться с начальной скоростью, он опустел бы через одно среднее время жизни. Такое же построение работает в любом месте кривой. В момент $t$ касательная имеет наклон $-\lambda N=-A$ и пересекает ось в точке $t+\tau$, то есть на одно среднее время жизни позже. В анимации касательная при $t=0$ пересекает ось при 3,6 с.

График экспертного уровня анимации показывает те же особенности: синий счёт идёт вдоль штриховой кривой $N_0{e}^{-\lambda t}$, с отметками в $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$, $3T_{1/2}$ и $4T_{1/2}$, расположенными на равных расстояниях, как на рисунке 1. В лаборатории периоды полураспада считывают с другого графика. Логарифмируя закон распада, получаем $\ln N=\ln N_0-\lambda t$, поэтому график $\ln N$ от $t$ (или $\ln A$, который отличается лишь постоянной $\ln \lambda$) — прямая с наклоном $-\lambda$.

Флуктуации: точный закон из случайности

Закон распада даёт ожидаемое число выживших. Реальный образец — набор независимых случайных событий, поэтому его счёт колеблется вокруг этого значения. Насколько велик разброс и почему для большого образца закон всё же выглядит точным?

Обозначения

$N$	Число ещё не распавшихся ядер в одном образце.
$P$	Вероятность того, что в образце осталось ровно столько ядер.
$N_{0}p$	Среднее $N$: начальное число $N_0$, умноженное на вероятность выживания $p$ одного ядра; здесь $p=1/2$, то есть 50.
$\sigma$	Стандартное отклонение $N$, $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$, здесь 5: ширина скобки равна $2\sigma$.

Каждое из $N_0$ ядер переживает время $t$ независимо от остальных, с одной и той же вероятностью $p=e^{-\lambda t}$, как $N_0$ бросков несимметричной монеты. Поэтому число оставшихся ядер подчиняется биномиальному распределению со средним $N_{0}p$ и стандартным отклонением $\sigma =\sqrt{N_{0}p(1-p)}$. На рисунке 2 построены точные вероятности для $N_0=100$ ядер, за которыми следят в течение одного периода полураспада, так что $p=1/2$. Высота каждого столбца — вероятность $P$ того, что в образце осталось ровно $N$ ядер.

Столбцы расположены симметрично относительно штриховой линии среднего, $N_{0}p=50$. Скобка с пометкой $2\sigma$ идёт от 45 до 55, то есть на одно стандартное отклонение в каждую сторону от среднего, поскольку $\sigma =\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5$. Зелёные столбцы внутри неё в сумме дают 73 %. Значит, реальный образец из 100 ядер сохраняет через один период полураспада $50\pm 5$ ядер, и примерно один образец из четырёх оказывается вне диапазона от 45 до 55.

Анимация, напротив, показывает идеальный случай без шума: её $k$-й распад наступает, когда ожидаемое число распадов достигает $k-\frac{1}{2}$, поэтому её лесенка — это гладкий закон, округлённый до целого числа ядер.

Счётные эксперименты имеют дело с распадами, а не с выжившими. За короткий промежуток распадается лишь малая доля $q$ ядер. Число отсчётов тогда биномиально при $q\ll 1$, поэтому его дисперсия $N_{0}q(1-q)$ почти равна среднему $\bar{n}=N_{0}q$. Этот предел — распределение Пуассона, разброс которого равен $\sqrt{\bar{n}}$. Относительная неопределённость равна $\sqrt{\bar{n}}/\bar{n}=1/\sqrt{\bar{n}}$, так что 400 отсчётов дают неопределённость 5 %, а для 1 % нужно 10 000 отсчётов.

Тот же квадратный корень объясняет, почему закон распада выглядит точным. Относительный разброс числа выживших убывает как $1/\sqrt{N_0}$, а для $10^{21}$ ядер он составляет около $3\times 10^{-11}$. Точный закон возникает из чистой случайности, так же как постоянное давление газа возникает из случайных ударов молекул.

Законы сохранения решают, что возможно

Прежде чем спрашивать, как быстро распадается ядро, спросите, может ли оно распасться вообще. Заряд, число нуклонов и лептонное число должны быть одинаковыми до и после распада. А сам распад должен высвобождать энергию, оплаченную массой: суммарная масса продуктов должна быть меньше массы материнского ядра. Высвобождаемая энергия, называемая энергией распада $Q$, равна
$Q=\left(m_{\mathrm{до}}-\sum m_{\mathrm{после}}\right)c^2>0$

Для $\alpha$-распада ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$ заряд сохраняется ($92=90+2$), как и число нуклонов ($238=234+4$). Атомные массы дают $Q=4,27\mathrm{МэВ}$ — примерно в миллион раз больше энергии химической связи. При всего двух продуктах закон сохранения импульса определяет, как делится $Q$. Материнское ядро покоилось, поэтому продукты разлетаются с импульсами равной величины и противоположного направления. Кинетическая энергия равна квадрату импульса, делённому на удвоенную массу, поэтому при равных импульсах более лёгкая частица получает бо́льшую долю, обратно пропорциональную массам. Значит, $\alpha$-частица уносит $234/238$ от $Q$, то есть 4,20 МэВ. Каждая $\alpha$-частица этого распада имеет такую же энергию, поэтому спектры $\alpha$-частиц — чёткие линии.

При ${\beta }^{-}$-распаде, $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$, нейтрон превращается в протон. Заряд сохраняется ($0=+1-1+0$), а лептонное число требует антинейтрино: электрон считается как $+1$, антинейтрино как $-1$, так что сумма остаётся равной 0. Теперь $Q$ делят между собой три тела, и делать это они могут бесконечным числом способов. Поэтому у электронов сплошной спектр от нуля до $Q$ ($0,78\mathrm{МэВ}$ для свободного нейтрона). Именно этот сплошной спектр, поначалу казавшийся нарушением закона сохранения энергии, привёл Паули в 1930 году к гипотезе о нейтрино. Наконец, $\gamma$-лучи возникают при переходах между энергетическими уровнями ядра, поэтому, как и $\alpha$-частицы, образуют чёткие линии.

Туннелирование решает, как быстро

Законы сохранения говорят лишь о том, разрешён ли распад. От чего-то другого зависит его скорость: может ли $\alpha$-частица вообще выбраться из ядра. Классически не может; в квантовой механике она просачивается наружу, очень медленно, и скорость этой утечки определяет период полураспада.

Обозначения

$U$	Потенциальная энергия $\alpha$-частицы на расстоянии $r$ от центра ядра.	$\mathrm{Дж}$
$r$	Расстояние от центра ядра.	$\mathrm{м}$
$R$	Радиус ядра: внутри него лежит ядерная яма, с него начинается кулоновский барьер.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Точка выхода $r_2=R{U}_{\max }/E$, где барьер спадает до энергии $E$.	$\mathrm{м}$
$U_{\max }$	Высота барьера при $r=R$.	$\mathrm{Дж}$
$E$	Энергия $\alpha$-частицы, которую она уносит в виде кинетической энергии, оказавшись далеко снаружи.	$\mathrm{Дж}$
$\psi$	Волновая функция $\alpha$-частицы вдоль радиуса: внутри колеблется, затухает в барьере и вновь появляется, уже меньшей, за $r_2$.	${\mathrm{м}}^{-3/2}$

На рисунке 3 показана потенциальная энергия $U$ $\alpha$-частицы в зависимости от расстояния $r$ до центра ядра. Внутри ядерного радиуса $R$ короткодействующее ядерное притяжение удерживает частицу в глубокой яме. Снаружи от $R$ действует только электрическое отталкивание дочернего ядра, $U=C/r$, где $C$ — положительная постоянная. Поэтому барьер выше всего при $r=R$, где он достигает $U_{\max }$, и спадает с расстоянием.

Теперь посмотрите на горизонтальную линию на высоте $E$ — энергии $\alpha$-частицы. Энергия сохраняется, поэтому $E$ везде одна и та же; далеко от ядра, где $U$ упала до нуля, вся она кинетическая. Линия пересекает барьер в точке выхода $r_2$, где $C/r_2=E$. Поскольку $C=R{U}_{\max }$, получаем $r_2=R{U}_{\max }/E$. Между $R$ и $r_2$ кинетическая энергия $E-U$ была бы отрицательной, чего не допускает никакое классическое движение: классическая частица вечно металась бы внутри ямы.

Волновая функция $\psi$ у стенки не обрывается. Проследите за ней на рисунке 3 слева направо. Внутри ямы она колеблется, в запрещённой области между $R$ и $r_2$ экспоненциально затухает, а за $r_2$ снова колеблется, но с меньшей амплитудой. Сквозь барьер она локально спадает как $e^{-\kappa r}$, где $\kappa =\sqrt{2m_{\alpha }(U-E)}/\hslash$, $m_{\alpha }$ — масса $\alpha$-частицы, а $\hslash$ — приведённая постоянная Планка: чем выше и шире барьер, тем сильнее спад. Вероятность выхода при каждой попытке равна квадрату отношения амплитуды снаружи к амплитуде внутри. На рисунке амплитуда уменьшается лишь в скромное число раз, чтобы колебания снаружи оставались видны; в настоящем ядре она уменьшается колоссально.

Вот реальные числа для урана-238. Энергия $E$ $\alpha$-частицы — всего около 4,2 МэВ, намного ниже вершины кулоновского барьера, $U_{\max }\approx 28\mathrm{МэВ}$, поэтому классически она никогда не смогла бы вылететь. Точка выхода лежит в $r_2/R=28/4,2\approx 6,7$ раза дальше от центра, чем поверхность (рисунок 3, не в масштабе, показывает 4). Летая туда и обратно внутри ядра, частица ударяется о барьер примерно $10^{21}$ раз в секунду. И всё же среднее время жизни урана-238 равно $2,0\times 10^{17}\mathrm{с}$, поэтому его постоянная распада $\lambda =1/\tau =5\times 10^{-18}{\mathrm{с}}^{-1}$. Разделив на число попыток в секунду, находим, что каждая попытка удаётся с вероятностью около $5\times 10^{-39}$, близкой к $e^{-88}$: это квадрат амплитуды волны, которая просачивается как $e^{-44}$.

Поскольку вероятность выхода — экспонента, скромные изменения барьера дают огромные изменения периода полураспада. Расчёт показателя степени показывает, что он растёт примерно как $Z/\sqrt{E}$, где $Z$ — зарядовое число дочернего ядра: больший заряд делает барьер выше, а большая энергия укорачивает запрещённую область. Так, у полония-212, испускающего $\alpha$-частицы с энергией 8,8 МэВ, период полураспада равен 0,3 мкс, а у тория-232 при 4,0 МэВ — $1,4\times 10^{10}$ лет: уменьшение энергии почти вдвое растягивает период полураспада примерно в $10^{24}$ раз.

Цепочки распадов

Нередко дочернее ядро само радиоактивно, и образуется цепочка распадов. Число дочерних ядер тогда растёт и падает, а счётчик регистрирует распады и тех, и других. На рисунке 4 прослежена простейшая цепочка: материнские ядра $N_1$ с постоянной распада ${\lambda }_1$ превращаются в радиоактивные дочерние ядра $N_2$ с постоянной распада ${\lambda }_2$, которые, в свою очередь, распадаются в стабильные ядра $N_3$.

Обозначения

$N$	Число ядер каждого вида в момент $t$.
$N_1$	Ещё не распавшиеся материнские ядра.
$N_2$	Имеющиеся радиоактивные дочерние ядра.
$N_3$	Стабильные ядра, образовавшиеся из дочерних, $N_3=N_0-N_1-N_2$.
$t$	Время, прошедшее с начала, когда были одни материнские ядра.	$\mathrm{с}$
$t_m$	Момент, когда дочерних ядер больше всего.	$\mathrm{с}$

У дочерних ядер есть источник и сток. Они возникают при распадах материнских ядер со скоростью ${\lambda }_1{N}_1$ и убывают при собственных распадах со скоростью ${\lambda }_2{N}_2$:
$\frac{d{N}_2}{dt}={\lambda }_1{N}_1-{\lambda }_2{N}_2$

Читайте кривые рисунка 4, помня об этом уравнении. При $t=0$ дочерних ядер нет, поэтому сток равен нулю, и дочерние ядра прибывают ровно с той скоростью, с какой убывают материнские. По мере накопления дочерних ядер растёт скорость их собственного распада ${\lambda }_2{N}_2$, а приток ${\lambda }_1{N}_1$ уменьшается вместе с материнскими ядрами. Когда они сравниваются, $d{N}_2/dt=0$: кривая $N_2$ достигает максимума в момент $t_m$, а затем спадает. Стабильные ядра $N_3$ сначала нарастают медленно, потому что вначале почти нет дочерних ядер, которым предстояло бы распасться, а затем растут, пока все ядра не окажутся там. По дороге ни одно ядро не теряется, поэтому три числа всегда в сумме дают начальное число $N_0$. Рисунок построен для цепочки из задачи ниже: 100 материнских ядер и дочернее ядро, живущее вдвое дольше материнского. В момент $t_m$ кривые $N_1$ и $N_3$ пересекаются на уровне 25.

Задача: радиоактивное дочернее ядро

Пусть серые дочерние ядра анимации распадаются в стабильное ядро с $T_{1/2}=5,0\mathrm{с}$, так что ${\lambda }_2=0,693/5,0=0,139{\mathrm{с}}^{-1}={\lambda }_1/2$. Вначале есть 100 материнских ядер и нет дочерних. Когда дочерних ядер больше всего, сколько их тогда и что показывает счётчик, регистрирующий оба распада?

Шаг 1: решаем для $N_2$. Подставим $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$ и перенесём ${\lambda }_2{N}_2$ влево: $d{N}_2/dt+{\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$. Умножив обе части на $e^{{\lambda }_{2}t}$, превратим левую часть по правилу производной произведения в одну производную, $d(N_2{e}^{{\lambda }_{2}t})/dt$. Правая часть принимает вид ${\lambda }_1{N}_0{e}^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)t}$, который интегрируется напрямую. При $N_2(0)=0$
$N_2=\frac{{\lambda }_1{N}_0}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\left(e^{-{\lambda }_{2}t}-e^{-{\lambda }_{1}t}\right)$

Шаг 2: используем ${\lambda }_1=2{\lambda }_2$. Множитель ${\lambda }_1/({\lambda }_1-{\lambda }_2)$ тогда равен 2, а при $x=e^{-{\lambda }_{2}t}$ вторая экспонента равна $e^{-{\lambda }_{1}t}=x^2$. Поэтому
$N_2=2N_0\left(x-x^2\right),x=e^{-{\lambda }_{2}t}$

Шаг 3: находим максимум. Когда $t$ растёт от 0 до бесконечности, $x$ убывает от 1 до 0, а $x-x^2$ наибольшее там, где обращается в нуль её производная $1-2x$, то есть при $x=\frac{1}{2}$. Это происходит через один период полураспада дочернего ядра, при $t_m=5,0\mathrm{с}$, когда $N_2=2\cdot 100\cdot \frac{1}{4}=50$.

Шаг 4: две другие популяции. Материнских ядер $N_1=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}=N_0{x}^2$, а стабильных $N_3=N_0-N_1-N_2=N_0(1-x{)}^2$. Три кривые рисунка 4, таким образом, — это $x^2$, $2(x-x^2)$ и $(1-x{)}^2$, умноженные на $N_0$, и при $x=\frac{1}{2}$ они равны 25, 50 и 25 ядрам. Индикатор $N$ анимации, который считает материнские ядра, в этот момент показывает 25, значит, образовалось 25 стабильных ядер-«внучек».

Шаг 5: счётчик. В максимуме $d{N}_2/dt=0$, поэтому две активности равны: ${\lambda }_1{N}_1=0,277\cdot 25$ и ${\lambda }_2{N}_2=0,139\cdot 50$ обе равны 6,93 Бк. Счётчик, регистрирующий оба распада, показывает их сумму, 13,9 Бк, вдвое больше, чем индикатор $A$, который учитывает одни лишь материнские ядра.

Позже материнские ядра вымирают ($x^2$ становится пренебрежимо малым по сравнению с $x$), и $N_2\approx 2N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}$: смешанный образец угасает с периодом полураспада дочернего ядра, 5,0 с. Для измерений отсюда следует урок: хвост кривой распада принадлежит самому долгоживущему члену цепочки.

Долгоживущее материнское ядро: вековое равновесие

Когда материнское ядро живёт намного дольше дочернего, ${\lambda }_1\ll {\lambda }_2$, оно почти не меняется, пока дочернее накапливается. Спустя несколько периодов полураспада дочернего ядра скорость его распада догоняет приток и дальше остаётся равной ему: $d{N}_2/dt\approx 0$, то есть ${\lambda }_2{N}_2={\lambda }_1{N}_1$. Это вековое равновесие: дочернее ядро так же активно, как материнское, как бы мало ни было его ядер. Радон-222 (период полураспада 3,8 сут), нарастающий из радия-226 (1600 лет), составляет лишь $N_2/N_1={\lambda }_1/{\lambda }_2=6,5\times 10^{-6}$ от числа атомов радия, но так же активен.

Границы применимости

Постоянство $\lambda$ проверено чрезвычайно точно, но не абсолютно. Все исключения связаны с электронами атома — единственной частью атома, на которую способна воздействовать химия. При электронном захвате ядро забирает один из внутренних электронов собственного атома, поэтому скорость распада слегка зависит от расположения этих электронов: период полураспада бериллия-7 в разных химических окружениях отличается на величину до 1 %. Если снять с атома все электроны, распад может измениться. Нейтральный рений-187 имеет период полураспада около $4\times 10^{10}$ лет, а голое ядро — 33 года, потому что его $\beta$-электрон тогда может рождаться прямо на пустой внутренней орбите. В остальном температура, давление и химия не меняют ничего измеримого.

Квантовая механика предсказывает небольшие отклонения от экспоненциального закона при очень малых и очень больших временах, но ни одно из них не наблюдалось в ядерном распаде. Наконец, $\lambda$ справедлива в системе отсчёта, в которой распадающаяся частица покоится. Из лаборатории часы быстрой частицы идут медленнее в $\gamma$ раз, где $\gamma$ — множитель специальной теории относительности: мюоны со средним временем жизни 2,2 мкс в покое живут в лаборатории 22 мкс при $\gamma =10$. Именно поэтому мюоны космических лучей, рождающиеся высоко в атмосфере, достигают земли.

Что дальше

Туннелирование, которое определяет периоды полураспада $\alpha$-излучателей, разобрано в уроке «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект», а соотношение $Q=\Delta m{c}^2$ лежит в основе урока «Деление, синтез и E = mc²». Слабое взаимодействие, стоящее за $\beta$-распадом, относится к уроку «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель», а растянутое время жизни быстрых частиц — к уроку «Специальная теория относительности». Чёткие $\gamma$-линии — ядерный аналог спектральных линий из урока «Модели атома: атом Бора». Постоянная доля убыли в единицу времени встречается при разряде конденсатора через резистор в уроке «Конденсаторы», а чёткий закон, построенный из случайных событий, лежит в основе урока «Молекулярно-кинетическая теория газов».