Semicondutores, diodos e LEDs

Iniciante

Um fio de cobre transporta carga com facilidade porque alguns dos seus elétrons não pertencem a nenhum átomo em particular: ele é um condutor. No vidro, cada elétron fica com o seu átomo: um isolante. O silício, o material dos chips de computador, fica no meio: um semicondutor.

Passo 1. No silício puro, quase todo elétron está preso numa ligação entre átomos vizinhos. Um pouco de calor ou de luz solta alguns deles, e cada um deixa um espaço chamado lacuna. Quando um vizinho pula para o espaço, a lacuna se desloca no sentido contrário, então ela se move como uma carga positiva.

Passo 2. Os engenheiros misturam uma pitada de outro elemento; isso se chama dopagem. Um tipo de impureza traz elétrons extras (tipo n, n de negativo); outro tipo deixa lacunas (tipo p, p de positivo).

Passo 3. Coloque os dois tipos lado a lado e você tem uma junção p–n. Na animação, os pontos azuis à esquerda são elétrons extras e os anéis à direita são lacunas. Uma camada fina e vazia entre eles age como uma parede. Enquanto a tensão é baixa, nada atravessa; por volta de 2 volts, os dois tipos de carga fluem para o meio.

Passo 4. Um elétron que cai em uma lacuna perde energia, e essa energia sai como um pequeno clarão de luz, assim como um átomo emite um fóton quando um dos seus elétrons cai para um nível mais baixo. Isso é um diodo emissor de luz (LED). O tamanho da queda, e portanto a cor, é definido pelo material.

Teste você mesmo: ligue a bateria ao contrário. O LED acende? Não: a parede fica mais grossa e quase nenhuma corrente passa. Uma junção é uma válvula de mão única para a corrente, chamada diodo. Se em vez disso você iluminar a junção, ela gera corrente: uma célula solar.

Intermediário

Bandas, gaps e lacunas

Um elétron ligado a um único átomo só pode ter certas energias. Em um cristal, cada nível atômico se espalha em uma banda de níveis muito próximos. Os elétrons de ligação preenchem a banda de valência; acima dela fica a banda de condução, onde os elétrons se movem livremente, e entre as duas, o band gap $E_g$, energias que nenhum elétron de um cristal perfeito pode ter.

Uma banda cheia não transporta corrente, já que cada elétron que se move em um sentido é compensado por outro que se move no sentido oposto. Um metal conduz porque sua banda ocupada mais alta está só parcialmente cheia. Um isolante tem banda de valência cheia e um gap largo, 5,5 eV no diamante; um semicondutor tem um gap estreito: 1,12 eV no silício, 1,42 eV no arseneto de gálio (GaAs), 1,9 eV no LED vermelho da animação.

Em temperatura ambiente, a energia térmica $k_{B}T\approx 0,026\mathrm{eV}$ leva apenas cerca de $10^{10}$ elétrons por centímetro cúbico através do gap do silício, de um total de $5\times 10^{22}$ átomos. Cada um deixa um lugar vazio em uma ligação, uma lacuna; um elétron vizinho escorrega para dentro, e a lacuna se move no sentido contrário, como uma carga positiva $+e$. O número de pares dobra a cada 10 K aproximadamente, por isso um semicondutor puro conduz melhor quando aquecido, ao contrário de um metal.

Dopagem: tipo n e tipo p

A dopagem controla os portadores de carga. O fósforo tem cinco elétrons na camada externa, um a mais do que as quatro ligações do silício precisam; esse elétron extra, preso por apenas 0,045 eV, é liberado imediatamente pela agitação térmica. O fósforo é um doador e produz silício tipo n, com elétrons como portadores majoritários. O boro, com três, retira um elétron de uma ligação vizinha e deixa uma lacuna: silício tipo p.

Um átomo de fósforo para cada cinco milhões de átomos de silício dá $10^{16}$ elétrons livres por centímetro cúbico, um milhão de vezes o valor puro. As lacunas ficam mais raras, porque tantos elétrons as preenchem, e o produto das duas densidades permanece fixo:
$np=n_i^2,n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$
Aqui $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ é a densidade no silício puro, então as lacunas caem para $p=10^{20}/10^{16}=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$: elas são os portadores minoritários.

A junção p–n e o seu diagrama de bandas

Ao unir regiões tipo n e tipo p em um só cristal, elétrons se difundem do lado n para o lado p, e lacunas se difundem no sentido contrário. Lá eles se recombinam, deixando perto da fronteira apenas íons fixos: doadores positivos do lado n, aceptores negativos do lado p. Essa camada de depleção, com fração de micrômetro de espessura, não tem portadores livres, e o campo de seus íons empurra os portadores de volta até a difusão parar em uma tensão de barreira $V_{\mathrm{bi}}$: cerca de 0,7 V no silício, 1,8 V no LED da animação.

O diagrama de bandas da animação mostra isso como um degrau, com a energia do elétron crescendo para cima: a linha de cima é a borda da banda de condução, a de baixo a borda da banda de valência, separadas por 1,9 eV (seta dourada). As duas bordas estão mais altas do lado p, então um elétron (ponto azul) vindo do lado n precisa subir o degrau, enquanto uma lacuna (anel), que flutua para cima como uma bolha, teria de descer por ele. Sem polarização, o degrau tem 1,8 eV de altura e quase nada o atravessa.

Polarização, corrente e luz

A polarização direta (lado p ao +) age contra a tensão de barreira: o degrau encolhe, a camada de depleção se estreita e a corrente cresce exponencialmente. A polarização reversa eleva o degrau, e só uma pequena corrente de saturação $I_s$ escapa. A junção é um diodo, uma válvula de mão única. Quatro fórmulas fazem quase todo o trabalho:

• $hf\approx E_g$
• $\lambda =\frac{hc}{E_g}\approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{E_g}$
• $I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$
• $R=\frac{V_s-V_F}{I}$

Um elétron de condução que cai em uma lacuna desce cerca de $E_g$ e emite um fóton; como $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, dividir 1240 pelo gap em elétron-volts dá o comprimento de onda em nanômetros. Na equação do diodo, a tensão térmica $V_T=k_{B}T/e$ é 25,9 mV a 300 K, e o fator de idealidade $\eta$ fica entre 1 e 2: cada acréscimo de $2,3\eta V_T$ (60 mV para $\eta =1$, 120 mV para $\eta =2$) multiplica a corrente por dez.

Exemplo resolvido: o LED da animação

O chip da animação tem $E_g=1,9\mathrm{eV}$. Cada fóton carrega aproximadamente essa energia, $1,9\cdot 1,602\times 10^{-19}=3,04\times 10^{-19}\mathrm{J}$, e seu comprimento de onda é
$\lambda \approx \frac{1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}}{1,9\mathrm{eV}}\approx 653\mathrm{nm}$
que a animação arredonda para 650 nm: luz vermelha.

Conforme a tensão de alimentação $V$ sobe, a leitura $I$ fica abaixo de meio miliampère até cerca de 1,5 V, enquanto a legenda diz que a barreira ainda está alta; ela passa de 1 mA em cerca de 1,56 V e chega a 20 mA em 2,0 V. Meio volt multiplica a corrente mais de cinquenta vezes. Enquanto isso, o degrau de bandas cai de 1,8 eV para cerca de 0,1 eV (a resistência do chip fica com os 0,3 V restantes), a camada de depleção se estreita para um quarto da largura, e as setas $e^{-}$ e $h^{+}$ mostram portadores fluindo de ambos os lados.

Cada elétron que atravessa gera no máximo um fóton, então a corrente conta os fótons: a 20 mA, são $I/e=0,020/(1,602\times 10^{-19})\approx 1,25\times 10^{17}$ por segundo, carregando no máximo $1,25\times 10^{17}\cdot 3,04\times 10^{-19}\approx 0,038\mathrm{W}$ de luz, a partir de $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$ de potência elétrica. O que não sai como luz esquenta o chip.

Exemplo resolvido: um resistor para um LED azul

Um LED azul tem um gap mais largo, $E_g\approx 2,7\mathrm{eV}$ ($\lambda \approx 460\mathrm{nm}$), então precisa de cerca de 3,0 V, e não 2 V, para conduzir 20 mA. Você tem uma fonte USB de 5,0 V. Um resistor em série conduz a mesma corrente e fica com o restante da tensão:
$R=\frac{V_s-V_F}{I}=\frac{5,0-3,0}{0,020}=100\Omega$
Ele dissipa $2,0\cdot 0,020=0,040\mathrm{W}$, e o LED, $3,0\cdot 0,020=0,060\mathrm{W}$.

Sem o resistor, a curva muito íngreme do próprio LED determinaria a corrente: na animação, meio volt muda a corrente em cinquenta vezes, então 5 V direto sobre um LED nu o destruiriam. Com o resistor, um LED cuja tensão direta é de 3,1 V em vez de 3,0 V ainda recebe $1,9/100=0,019\mathrm{A}$: o resistor, e não o LED, fixa a corrente.

Erros comuns

• Silício tipo n não tem carga negativa: cada átomo de fósforo entra neutro, e quando seu quinto elétron se afasta, fica para trás um íon positivo fixo.
• Um LED mais brilhante não emite luz mais azulada. A corrente define o número de fótons por segundo, cerca de $1,25\times 10^{17}$ a 20 mA; o gap define a energia de cada um.
• Um diodo não tem resistência fixa: o LED da animação tem $V/I=1,5/0,00037\approx 4\mathrm{k\Omega }$ a 1,5 V, mas $2,0/0,020=100\Omega$ a 2,0 V.
• A polarização reversa não bloqueia em qualquer tensão: além da ruptura, a corrente reversa dispara, e as folhas de dados de LEDs permitem apenas cerca de 5 V no sentido reverso.

Onde você encontra isso

Lâmpadas de LED, telas e semáforos usam a luz desta lição. Uma célula solar é a mesma junção fazendo o trabalho oposto: a luz cria pares elétron–lacuna, e o campo da camada de depleção os separa como corrente, como em sensores de câmeras e receptores de fibra óptica. Transistores, construídos com junções ou com um canal controlado por campo, chaveiam e amplificam os sinais em todo chip. Compare “Efeito fotoelétrico” e “Modelos atômicos: o átomo de Bohr” para o lado dos fótons, e “Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm” para o lado dos circuitos.

Avançado

Bandas a partir do salto entre átomos

Tudo o que um semicondutor faz vem de um fato: seus elétrons não estão presos a átomos isolados. Para ver como isso produz bandas de energias permitidas separadas por um gap, acompanhe um elétron no cristal mais simples que existe, uma cadeia reta de átomos idênticos.

Legenda

$a$	Espaçamento dos átomos na cadeia.	$\mathrm{m}$
$A$	Energia de salto: o acoplamento entre dois átomos vizinhos.	$\mathrm{J}$
$E$	Energia de um estado de onda da cadeia.	$\mathrm{J}$
$k$	Número de onda desse estado: sua amplitude no átomo em $x_n$ é proporcional a $e^{ik{x}_n}$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$E_0$	Nível de energia de um átomo isolado; a banda está centrada nele.	$\mathrm{J}$
$4A$	Largura da banda, de $E_0-2A$ em $k=0$ até $E_0+2A$ na borda.	$\mathrm{J}$
$\pi /a$	Borda do intervalo necessário de $k$: um $k$ além dela põe as mesmas amplitudes nos átomos que um dentro dele.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$m^{\ast }$	Massa efetiva no fundo da banda, definida pela curvatura da parábola verde ali; no topo a curvatura se inverte, dando $-m^{\ast }$.	$\mathrm{kg}$

O topo da Figura 1 mostra a cadeia. Os átomos estão a uma distância $a$ uns dos outros, então o átomo de número $n$ fica em $x_n=na$. Isolado, cada átomo manteria o elétron na energia $E_0$. Como os átomos estão próximos, o elétron também pode saltar para qualquer um dos vizinhos; a seta dupla curva marca isso, e a energia de salto $A$ mede o quanto dois átomos vizinhos estão acoplados.

Como o elétron sempre pode escapar para um vizinho, um estado com o elétron sentado em um átomo não pode ter energia fixa. Um estado de energia definida precisa dar ao elétron uma amplitude $C_n$ em todos os átomos. Sua equação de Schrödinger diz: a energia vezes a amplitude no átomo $n$ é igual a $E_0$ vezes essa amplitude, menos $A$ vezes as amplitudes dos dois vizinhos,

$E{C}_n=E_0{C}_n-A(C_{n+1}+C_{n-1})$

Cada átomo tem a mesma vizinhança, então tentamos uma onda, $C_n=e^{ik{x}_n}$, com número de onda $k$. Os dois vizinhos então carregam $e^{ik{x}_n}{e}^{ika}$ e $e^{ik{x}_n}{e}^{-ika}$. O fator comum $e^{ik{x}_n}$ se cancela dos dois lados e, como $e^{ika}+e^{-ika}=2\cos ka$, sobra

$E=E_0-2A\cos ka$

Esta é a curva na parte de baixo da Figura 1: a energia $E$ de cada onda em função do seu número de onda $k$. Só é preciso $k$ de $-\pi /a$ a $\pi /a$. Somar $2\pi /a$ a $k$ multiplica a amplitude no átomo $n$ por $e^{i2\pi n}=1$, então devolve a mesma onda. Em $k=0$ todos os átomos têm a mesma amplitude, e a energia é a menor, $E_0-2A$: o fundo da banda. Em $k=\pm \pi /a$ o sinal da amplitude se inverte de um átomo para o seguinte, e a energia é a maior, $E_0+2A$. O nível atômico único $E_0$, a linha tracejada no meio, se espalhou em uma banda de largura $4A$, o colchete à direita.

Cada nível atômico se espalha em sua própria banda dessa forma, e entre duas bandas ficam energias que nenhuma onda da cadeia pode ter: um band gap. Em um semicondutor no zero absoluto, os elétrons preenchem exatamente uma banda, a banda de valência, e deixam a seguinte, a banda de condução, vazia. A distância do topo da banda de valência ao fundo da banda de condução é o gap $E_g$, 1,12 eV no silício.

Perto do fundo de uma banda, só importam os $k$ pequenos, e ali $\cos ka\approx 1-\frac{1}{2}(ka{)}^2$. Substituindo na banda, obtemos

$E\approx E_0-2A+A{a}^2{k}^2$

A não ser pela constante, isso tem a forma da energia cinética de uma partícula livre, ${\hslash }^2{k}^2/2m$, em que $\hslash$ é a constante de Planck reduzida. Assim, um elétron perto do fundo da banda se move pelo cristal como uma partícula livre, mas com massa efetiva

$m^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{2A{a}^2}$

Quanto mais forte o salto, mais leve o elétron. Um acoplamento de 1 eV entre átomos separados por 0,3 nm dá $m^{\ast }\approx 0,42m_e$, em que $m_e$ é a massa de um elétron livre; valores medidos vão de $0,07m_e$ (elétrons no GaAs) a cerca de $m_e$. Na Figura 1, a parábola verde de baixo, rotulada $m^{\ast }$, é esta aproximação. Ela acompanha a banda perto de $k=0$ e se afasta mais adiante, onde o cosseno fica mais plano.

No topo da banda, o cosseno se curva para o outro lado. A segunda parábola verde, rotulada $-m^{\ast }$, se ajusta à banda ali: um elétron perto do topo tem massa efetiva negativa, então uma força o acelera para trás. Agora considere uma banda que está cheia exceto por um elétron faltando perto do seu topo. Uma banda cheia não conduz corrente, porque cada elétron que se move em um sentido é compensado por outro que se move no sentido oposto. A banda com uma falta, portanto, se comporta como o elétron ausente com carga e massa invertidas: carga $+e$ em vez de $-e$, massa $+m^{\ast }$ em vez de $-m^{\ast }$. Esse elétron ausente é uma lacuna. Ela é uma quasipartícula genuína, uma excitação do cristal com comportamento de partícula: a tensão Hall de um material tipo p tem o sinal esperado para portadores positivos. Levantar um elétron do topo da banda de valência ao fundo da banda de condução cria um elétron livre e uma lacuna; logo, $E_g$ é a menor energia que cria um par elétron–lacuna.

Contando portadores: a lei da ação das massas

Um semicondutor puro à temperatura ambiente tem poucos portadores livres, todos criados por vibrações térmicas. Adicionar impurezas, chamado dopagem, muda o número deles em muitas ordens de grandeza. Uma regra simples liga as densidades de elétrons e lacunas em todos os casos, e o restante da lição depende dela.

Chame de $n$ o número de elétrons de condução por unidade de volume e de $p$ o número de lacunas. Pares são criados quando uma vibração térmica levanta um elétron através do gap. Isso custa a energia $E_g$, então a taxa de criação é proporcional ao fator de Boltzmann $e^{-E_g/k_{B}T}$, em que $k_B$ é a constante de Boltzmann e $T$ a temperatura absoluta; a 300 K, $k_{B}T=0,0259\mathrm{eV}$. Pares desaparecem quando um elétron encontra uma lacuna e cai nela, o que se chama recombinação. A taxa de encontros é proporcional a $np$, pois dobrar qualquer uma das densidades dobra o número de encontros. Em equilíbrio, criação e recombinação se equilibram, então o produto $np$ depende apenas do gap e da temperatura:

$np=n_i^2$

Aqui $n_i$, a densidade intrínseca, é o valor de $n$ e de $p$ em um cristal puro, em que cada elétron da banda de condução deixou uma lacuna para trás. Como $n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, sua raiz quadrada é

$n_i\propto \exp \left(-\frac{E_g}{2k_{B}T}\right)$

em que um fator $T^{3/2}$, que varia mais lentamente, foi omitido. A dopagem não muda esse argumento. Um átomo doador, como o fósforo no silício, entrega um elétron à banda de condução; um aceptor, como o boro, retira um da banda de valência e deixa uma lacuna. Nenhum dos dois altera a rapidez com que pares são criados através do gap, nem a chance de um dado elétron encontrar uma dada lacuna, então $np=n_i^2$ continua valendo.

Para o silício a 300 K, $n_i\approx 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. Adicione doadores com densidade $N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$, um milhão de vezes $n_i$. Quase todo doador cede seu elétron, então $n\approx N_D$, e a lei da ação das massas fixa as lacunas em $p=n_i^2/N_D=10^4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. A dopagem aumenta uma densidade e reduz a outra: neste silício tipo n, os elétrons são os portadores majoritários e as lacunas os minoritários.

O expoente torna $n_i$ muito sensível. Aquecer o silício de 300 K para 310 K dobra essa densidade. Um gap mais largo o torna muito menor: para o gap de 1,9 eV do LED da animação, o expoente cresce $(1,9-1,12)/(2\cdot 0,0259)\approx 15$, então $n_i$ é multiplicado por cerca de $e^{-15}\approx 3\times 10^{-7}$, caindo para alguns milhares de portadores por centímetro cúbico.

A junção p–n: tensão de barreira e camada de depleção

Uma junção p–n é um único cristal dopado tipo n de um lado e tipo p do outro. Diodos, LEDs, células solares e transistores são todos construídos com essas junções. Quando os dois lados se encontram, elétrons se difundem do lado n para o lado p, onde são raros, e lacunas se difundem no sentido contrário. Cada portador que atravessa e se recombina deixa para trás um íon fixo cuja carga não é mais compensada: um doador positivo do lado n, um aceptor negativo do lado p. A carga desses íons cria um campo que empurra os portadores de volta, e a difusão para quando o campo a equilibra. A faixa em torno da junção que perdeu seus portadores livres é a camada de depleção.

Legenda

$x$	Posição através da junção, do lado n ao lado p.	$\mathrm{m}$
$W$	Largura da camada de depleção.	$\mathrm{m}$
$\rho$	Densidade de carga dos íons fixos: doadores positivos na metade n da camada, aceptores negativos na metade p.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_D$	Densidade de carga dos doadores ionizados: $e$ vezes a densidade $N_D$.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$e{N}_A$	Tamanho da densidade de carga dos aceptores ionizados: $e$ vezes a densidade $N_A$, igual a $e{N}_D$ aqui.	$C/{\mathrm{m}}^3$
$E$	Campo elétrico, apontando do lado n para o lado p.	$V/m$
$E_{\max }$	Pico do campo, na junção.	$V/m$
$V$	Potencial elétrico ao longo da junção.	$\mathrm{V}$
$V_{bi}$	Tensão de barreira: a queda de $V$ sobre a camada, igual à área sombreada sob $E$.	$\mathrm{V}$
$n$	A região n: elétrons livres, com íons doadores positivos.
$p$	A região p: lacunas, com íons aceptores negativos.

A Figura 2 acompanha a junção ao longo da posição $x$, do lado n à esquerda até o lado p à direita, em três gráficos que compartilham o mesmo $x$. A camada de depleção, de largura $W$, fica entre as linhas tracejadas.

O gráfico de cima é a densidade de carga $\rho$: dois blocos. A metade n da camada contém os íons doadores, de densidade de carga $e{N}_D$, em que $N_D$ é o número de doadores por unidade de volume. A metade p contém os íons aceptores, de densidade de carga $-e{N}_A$. Aqui a dopagem é igual dos dois lados, $N_A=N_D$, como no exemplo de silício abaixo, então as duas metades são iguais, cada uma com largura $W/2$. Fora da camada, os portadores livres cancelam os íons, e $\rho =0$.

O gráfico do meio é o campo $E$. A lei de Gauss em uma dimensão, $dE/dx=\rho /\epsilon$, com $\epsilon$ a permissividade do cristal, diz que a inclinação do campo é a densidade de carga dividida por $\epsilon$. Uma $\rho$ constante, portanto, dá uma reta. $E$ é zero fora da camada, sobe de forma constante pela metade positiva, atinge seu pico $E_{\max }$ na junção e cai de volta a zero pela metade negativa. O resultado é um triângulo, e o campo aponta de n para p por todo o trajeto, como deve, para empurrar elétrons de volta ao lado n e lacunas de volta ao lado p.

O gráfico de baixo é o potencial $V$. O potencial é a integral negativa do campo, $dV/dx=-E$, então $V$ é plano onde $E=0$ e cai ao atravessar a camada pela área sob o triângulo do campo, $\frac{1}{2}{E}_{\max }W$. Essa área está sombreada no gráfico do meio, e a queda que ela produz está marcada à direita do gráfico de baixo: é a tensão de barreira $V_{\mathrm{bi}}$.

O valor de $V_{\mathrm{bi}}$ segue do equilíbrio. Para chegar ao lado p, um elétron do lado n precisa subir um degrau de energia potencial $e{V}_{\mathrm{bi}}$. Em equilíbrio, os elétrons obedecem ao fator de Boltzmann através desse degrau, então a densidade deles no lado p é a densidade no lado n vezes $e^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$. No lado n a densidade é $N_D$; no lado p, pela lei da ação das massas, é $n_i^2/N_A$. Igualando $n_i^2/N_A=N_D{e}^{-e{V}_{\mathrm{bi}}/k_{B}T}$ e tomando logaritmos,

$V_{\mathrm{bi}}=\frac{k_{B}T}{e}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}\right)$

Para o silício com $N_A=N_D=10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ e $k_{B}T/e=0,02585\mathrm{V}$, isso dá $0,02585\cdot \ln (10^{12})\approx 0,71\mathrm{V}$. Como $n_i^2$ carrega o fator $e^{-E_g/k_{B}T}$, $e{V}_{\mathrm{bi}}$ é igual a $E_g$ menos um termo que diminui apenas lentamente conforme a dopagem aumenta; o degrau se aproxima de $E_g/e$, mas não consegue ultrapassá-lo por muito. O LED fortemente dopado da animação chega perto, com $V_{\mathrm{bi}}=1,8\mathrm{V}$ contra $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

A largura da camada segue dos mesmos três gráficos. Com dopagem igual $N$ dos dois lados, cada metade tem largura $W/2$. Ao longo dessa distância, o campo sobe com inclinação $eN/\epsilon$, então seu pico é $E_{\max }=eN(W/2)/\epsilon$. A tensão sobre a camada é a área do triângulo:

$\frac{1}{2}{E}_{\max }W=\frac{eN{W}^2}{4\epsilon }$

Sem polarização, essa tensão é $V_{\mathrm{bi}}$. Uma polarização direta $V$, que deixa o lado p mais positivo, se opõe ao campo embutido e deixa $V_{\mathrm{bi}}-V$ sobre a camada; uma polarização reversa é um $V$ negativo. A tensão sobre a camada é proporcional a $W^2$, logo

$W\propto \sqrt{V_{\mathrm{bi}}-V}$

Para a junção de silício acima, com $\epsilon \approx 1,0\times 10^{-10}F/m$, a camada tem $W\approx 0,43\mu \mathrm{m}$ de largura sem polarização, e o campo de pico $E_{\max }$ fica perto de $3\times 10^{6}V/m$. Uma polarização reversa de 5 V a alarga para $1,2\mu \mathrm{m}$. Na animação, a polarização direta baixa a barreira de 1,8 eV para 0,1 eV, então a camada encolhe para $\sqrt{0,1/1,8}\approx 0,24$ da sua largura.

Uma junção com tensão embutida parece uma bateria, mas um fio ligando suas duas extremidades não conduz corrente. O fio cria dois novos contatos, metal com n e metal com p, cada um com seu próprio degrau de potencial, e, a uma única temperatura, os degraus ao longo do circuito somam zero. Se não somassem, o circuito transformaria calor do ambiente, a uma temperatura, em trabalho para sempre, o que a segunda lei da termodinâmica proíbe. Como uma catraca com trinco em um gás a uma temperatura, uma junção não consegue retificar o próprio ruído térmico. Aqueça um dos contatos e o equilíbrio se rompe: esse é o efeito termoelétrico usado em um termopar.

Retificação: dois fluxos fora de equilíbrio

Um diodo deixa a corrente passar facilmente em um sentido e quase não deixa no outro. Para entender por quê, acompanhe as lacunas que cruzam a junção em cada sentido; os elétrons se comportam do mesmo modo e somam à mesma corrente.

Legenda

$U$	Energia potencial de uma lacuna em cada posição através da junção.	$\mathrm{J}$
$n$	O lado n, onde as lacunas são raras (portadores minoritários).
$p$	O lado p, onde as lacunas são abundantes (portadores majoritários).
$V$	Polarização direta: a tensão aplicada, positiva no lado p.	$\mathrm{V}$
$e{V}_{bi}$	Altura do degrau para lacunas sem polarização: $e$ vezes a tensão de barreira.	$\mathrm{J}$
$eV$	Quanto a polarização direta eleva o nível do lado p.	$\mathrm{J}$
$e(V_{bi}-V)$	Altura do degrau sob polarização direta.	$\mathrm{J}$
$I_s$	Corrente de saturação: o fluxo de lacunas minoritárias deslizando pelo degrau; sem polarização, o fluxo ascendente é igual a ela.	$\mathrm{A}$
$I_s{e}^{eV/k_{B}T}$	O fluxo ascendente sob polarização direta: $e^{eV/k_{B}T}$ vezes maior que $I_s$.	$\mathrm{A}$

A Figura 3 desenha a energia potencial $U$ de uma lacuna em cada ponto através da junção, lado n à esquerda e lado p à direita; os anéis são lacunas. O campo da camada de depleção empurra as lacunas para o lado p, então uma lacuna tem mais energia potencial no lado n: maior em $e{V}_{\mathrm{bi}}$ quando nenhuma tensão é aplicada (painel superior). Uma lacuna que vai de p para n precisa subir esse degrau; uma que vai de n para p desliza por ele.

Dois fluxos de lacunas atravessam, portanto, a junção. O primeiro sobe. As lacunas são abundantes no lado p, onde são os portadores majoritários, mas só as poucas com energia térmica acima do degrau conseguem passar. O segundo desliza para baixo. As lacunas são raras no lado n, onde são portadores minoritários criados termicamente, mas qualquer uma que entre na camada é varrida degrau abaixo pelo campo. Esse fluxo descendente depende apenas de quantas lacunas minoritárias alcançam a camada, não de quão alto é o degrau; ele é a corrente de saturação $I_s$. Em $V=0$ não há corrente líquida, então o fluxo ascendente precisa ser igual a ele; o painel superior mostra uma seta com o rótulo $I_s$ em cada sentido.

No painel inferior, uma polarização direta $V$ eleva o lado p em $eV$; a linha tracejada abaixo marca o nível anterior. O degrau cai para $e(V_{\mathrm{bi}}-V)$, e a camada se estreita para acompanhar. O número de lacunas com energia suficiente para subir cresce pelo fator de Boltzmann $e^{eV/k_{B}T}$, então o fluxo ascendente passa a ser $I_s{e}^{eV/k_{B}T}$, enquanto o fluxo descendente continua em $I_s$. A figura desenha o fluxo maior como três setas em vez de uma; o fator verdadeiro é muito maior, cerca de $6\times 10^{11}$ a 0,7 V no silício, por isso a figura não está em escala.

Simbolicamente, o fluxo ascendente é proporcional a $p_p{e}^{-e(V_{\mathrm{bi}}-V)/k_{B}T}$, em que $p_p$ é a densidade de lacunas no lado p. Uma polarização direta o multiplica por $e^{eV/k_{B}T}$, enquanto o fluxo descendente mantém seu valor $I_s$. A corrente líquida de lacunas é a diferença, $I_s{e}^{eV/k_{B}T}-I_s$. Os elétrons produzem dois fluxos da mesma forma, de modo que a corrente total obedece à equação do diodo de William Shockley:

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]$

Aqui o fator de idealidade é $\eta =1$, para este quadro em que os portadores se difundem pela camada e se recombinam além dela. Uma polarização reversa, $V<0$, eleva o degrau: a exponencial desaparece, e $I\to -I_s$, restando apenas o pequeno fluxo descendente. Essa é a retificação. Uma polarização direta de alguns décimos de volt multiplica a corrente muitas vezes, enquanto uma polarização reversa de qualquer valor, até a ruptura, deixa passar apenas $I_s$.

Quando a maioria dos portadores, ao contrário, se recombina dentro da camada de depleção, a corrente cresce mais devagar. Dentro da camada, $np=n_i^2{e}^{eV/k_{B}T}$, e a recombinação é mais rápida onde as duas densidades são iguais, ambas cerca de $n_i{e}^{eV/2k_{B}T}$. A corrente então cresce apenas com $e^{eV/2k_{B}T}$, o que significa $\eta \approx 2$, o valor usado na animação. Para o LED da animação, $I_s$ é cerca de $10^{-16}\mathrm{A}$.

Mais do que qualquer outra coisa, o gap define a tensão em que um diodo começa a conduzir. Para a difusão, $I_s\propto n_i^2\propto e^{-E_g/k_{B}T}$, e para a recombinação, $I_s\propto n_i\propto e^{-E_g/2k_{B}T}$. Em qualquer dos casos, quando a corrente está bem acima de $I_s$,

$I\approx C{e}^{-(E_g-eV)/\eta k_{B}T}$

com um fator $C$ que muda apenas lentamente com a dopagem e a temperatura. A corrente é definida por quão abaixo de $E_g$ fica $eV$; logo, o gap, muito mais do que a dopagem, decide onde um diodo começa a conduzir.

Lendo a curva corrente–tensão em tempo real

A visão de especialista da animação traça a corrente $I$ do LED contra a tensão de alimentação $V$ conforme a tensão sobe. Os resultados acima explicam o formato dessa curva, e seus números são uma boa verificação deles.

Considere $V_T=k_{B}T/e=25,85\mathrm{mV}$ a 300 K. Com $\eta =2$, $\eta V_T=2\cdot 25,85=51,7\mathrm{mV}$. A corrente cresce dez vezes cada vez que o expoente aumenta $\ln 10\approx 2,3$, ou seja, a cada $2,3\cdot 51,7\approx 119\mathrm{mV}$. Então a curva fica colada ao eixo até cerca de 1,5 V (0,37 mA), dobra bruscamente entre 1,6 e 1,8 V e chega a 20 mA em 2,0 V. A linha dourada tracejada marca $E_g/e=1,9\mathrm{V}$.

Por que a junção funciona cerca de 0,2 V abaixo de $E_g/e$? Para este LED, $C\approx 0,96\mathrm{A}$. Uma corrente de 20 mA fica ${\log }_{10}(0,96/0,020)\approx 1,7$ décadas abaixo de $C$, então, pela fórmula acima, a tensão da junção $V_j$ fica $1,7\cdot 119\approx 200\mathrm{mV}$ abaixo de $E_g/e$, em 1,70 V. Um diodo de silício, com $\eta \approx 1$, tem $C$ cerca de oito décadas acima da sua corrente de trabalho, então seu joelho fica perto de 0,6–0,7 V, cerca de meio volt abaixo do seu gap de 1,12 V.

A alimentação também precisa empurrar a corrente pela resistência em série do chip, de 15 Ω. A 20 mA, isso consome $0,020\cdot 15=0,30\mathrm{V}$, o restante dos 2,0 V. Essa resistência molda o topo da curva. A resistência dinâmica da própria junção, $d{V}_j/dI=\eta V_T/I$, é de apenas cerca de $2,6\Omega$ a 20 mA, muito menor que 15 Ω, então a curva se endireita numa reta de inclinação aproximada $1/(17,6\Omega )$. No diagrama de bandas, o rótulo da barreira segue $e(V_{\mathrm{bi}}-V_j)$, que cai de 1,8 eV para 0,10 eV conforme a tensão sobe.

Problema resolvido: o LED como célula solar

Rode a junção ao contrário: em vez de colocar uma corrente para obter luz, faça luz entrar e retire potência. As mesmas equações descrevem então uma célula solar, e o LED da animação mostra quanta potência uma junção pode fornecer e por que sua tensão fica abaixo de $E_g/e$.

Legenda

$V$	Tensão sobre a junção, positiva no sentido direto.	$\mathrm{V}$
$I$	Corrente pela junção iluminada, $I=I_d-I_L$.	$\mathrm{A}$
$I_d$	Corrente da junção no escuro: a equação do diodo.	$\mathrm{A}$
$I_L$	Fotocorrente: a corrente que a luz impulsiona no sentido reverso pela junção, deslocando a curva para baixo.	$\mathrm{A}$
$V_{oc}$	Tensão de circuito aberto: onde a curva iluminada cruza $I=0$.	$\mathrm{V}$
$V_{mp}$	Tensão no ponto de potência máxima, o canto do maior retângulo.	$\mathrm{V}$
$I_{mp}$	Corrente entregue no ponto de potência máxima; a curva iluminada está em $-I_{\mathrm{mp}}$ ali.	$\mathrm{A}$
$P_{\max }$	Maior potência que a célula entrega: a área do retângulo sombreado.	$\mathrm{W}$
$E_g/e$	O band gap dividido por $e$: a tensão que $V_{\mathrm{oc}}$ se aproxima mas não alcança.	$\mathrm{V}$

A Figura 4 traça a corrente $I$ através da junção contra a tensão $V$ sobre ela, ambas positivas no sentido direto. A curva tracejada $I_d$ é a junção no escuro, dada pela equação do diodo, com seu joelho logo abaixo de $E_g/e$, a linha vertical tracejada.

Agora a luz incide sobre a junção e cria pares elétron–lacuna a uma taxa equivalente a $I_L=20\mathrm{mA}$, ou seja, $I_L/e$ pares por segundo. O campo da camada de depleção separa cada par: o elétron vai para o lado n e a lacuna para o lado p. Isso é uma corrente pela junção no sentido reverso, e seu valor não depende de $V$. A curva iluminada $I$ é, portanto, a curva do escuro deslocada para baixo em $I_L$, como mostra a seta rotulada $I_L$.

A curva iluminada corta o eixo $I$ em $-I_L$ e o eixo $V$ na tensão de circuito aberto $V_{\mathrm{oc}}$. Entre esses dois pontos, $V$ é positivo e $I$ é negativo: a corrente sai pelo terminal positivo, como em uma bateria, então a junção fornece potência. Em qualquer ponto desse trecho, a potência é a área do retângulo entre os eixos e o ponto na curva. O retângulo sombreado, com canto em $V_{\mathrm{mp}}$ e $-I_{\mathrm{mp}}$, é o maior, e sua área é $P_{\max }$.

Em equações, a corrente iluminada é

$I=I_s\left[\exp \left(\frac{eV}{\eta k_{B}T}\right)-1\right]-I_L$

Com os terminais em curto, $V=0$ e $I=-I_L=-20\mathrm{mA}$: toda a fotocorrente circula pelo fio, de volta pelo diodo. Com os terminais abertos, $I=0$, então a corrente do diodo precisa ser igual a $I_L$, o que dá

$V_{\mathrm{oc}}=\eta V_T\ln \left(1+\frac{I_L}{I_s}\right)=1,70\mathrm{V}$

Esta é exatamente a tensão da junção a 20 mA na animação, porque nos dois casos a corrente do diodo é de 20 mA.

A potência entregue é $P=V(I_L-I_d)$, em que $I_d$ é a corrente no escuro na tensão $V$. Ela é zero nas duas extremidades do trecho e maior no meio, onde $dP/dV=0$: o canto do maior retângulo da Figura 4. Resolvendo numericamente, obtemos $V_{\mathrm{mp}}\approx 1,52\mathrm{V}$ e $I_{\mathrm{mp}}=I_L-I_d\approx 19,3\mathrm{mA}$, portanto $P_{\max }\approx 29,5\mathrm{mW}$. O fator de preenchimento compara este retângulo com a caixa de área $V_{\mathrm{oc}}{I}_L$ em torno da curva: $29,5/(1,70\cdot 20)\approx 0,87$.

Cada par absorve pelo menos 1,9 eV, mas entrega apenas 1,52 eV: a tensão fica abaixo de $E_g/e$ pelo mesmo logaritmo que colocou o joelho abaixo dele. Com a resistência em série de 15 Ω incluída, a melhor potência cai para cerca de 24 mW. Células solares reais usam gaps perto de 1,1–1,4 eV, um compromisso: um gap menor absorve mais da luz solar, um maior entrega mais energia por elétron.

Limites de validade

A equação do diodo supõe baixa injeção: muito menos portadores injetados do que majoritários. Por isso a tensão da junção deve ficar bem abaixo de $V_{\mathrm{bi}}$; os 1,70 V da animação contra 1,8 V estão na borda, onde a resistência em série já domina. Ela supõe estatística de Boltzmann, que falha acima de cerca de $10^{19}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ de dopagem no silício. Trata as densidades como médias suaves, mas uma região de 10 nm dopada com $10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ contém, em média, um único átomo dopante. Em reversa, $I=-I_s$ vale apenas até a ruptura. Em junções fortemente dopadas, a barreira é tão fina que os elétrons atravessam por tunelamento com alguns volts (ruptura Zener); em junções pouco dopadas, portadores acelerados pelo campo arrancam novos pares em uma avalanche, com dezenas ou centenas de volts.

A emissão de luz tem limite próprio. No silício, o fundo da banda de condução e o topo da banda de valência estão em diferentes momentos cristalinos $\hslash k$, que diferem em cerca de $1,0\times 10^{-24}\mathrm{kg}\cdot m/s$: cerca de 1700 vezes o momento de um fóton de 1,12 eV. O fóton não pode carregar a diferença, então cada recombinação também precisa criar ou absorver um fônon, um quantum de vibração da rede. Isso leva até milissegundos, outros processos vencem, e a energia termina como calor. Em materiais de gap direto, como o GaAs, o AlGaInP para vermelho e o InGaN para azul, as duas bordas das bandas estão no mesmo $k$, e elétrons e lacunas se recombinam emitindo luz em nanossegundos.

Para onde isso leva

Duas junções em sequência, n–p–n, formam um transistor bipolar: uma pequena corrente na camada central fina controla uma corrente muito maior que passa por ela. Em um transistor de efeito de campo, uma tensão de porta abre ou fecha um canal condutor. Com luz entrando e potência saindo, uma junção é a célula solar do problema resolvido; com espelhos e injeção forte, a emissão estimulada a transforma em laser. Diodos Zener e de tunelamento dependem do tunelamento através de uma camada de depleção fina, o tema de “Equação de Schrödinger e tunelamento”, e as bandas vêm de ondas de elétrons que interferem em uma rede, como em “Dualidade onda-partícula”. Os fatores de Boltzmann são os de “Teoria cinética dos gases”, e a junção que não impulsiona corrente é “Segunda lei da termodinâmica e entropia” em ação.