Отражение и преломление

Начальный

Шаг 1: нормаль. В точке, где луч света падает на поверхность, представьте прямую, перпендикулярную поверхности. Её называют нормалью, и в оптике все углы отсчитывают от неё, а не от самой поверхности.

Шаг 2: отражение. Луч, отскочивший от гладкой поверхности, уходит под тем же углом к нормали, под каким пришёл, — как бильярдный шар от борта. Зеркало гладкое, поэтому все лучи отскакивают согласованно и видно чёткое изображение. Бумага же шероховата в мелком масштабе: свет уходит от неё во все стороны. Поэтому страницу видно из любой точки комнаты, а своё лицо в ней — никогда.

Шаг 3: преломление. Когда свет входит в воду или стекло наискосок, на поверхности он меняет направление. Причина — скорость: в стекле свет медленнее. Представьте тележку из супермаркета, которая наискосок съезжает с гладкого пола на ковёр: колесо, первым попавшее на ковёр, первым и тормозит, и тележка поворачивается. Правило: с той стороны, где свет медленнее, луч ближе к нормали.

В анимации жёлтая точка каждую четверть секунды оставляет белую метку. В стекле метки сближаются: свет медленнее, шаги короче. Обратите внимание и на слабый луч, отражённый вверх.

Шаг 4: пойманный свет. Выходя из стекла, луч отклоняется от нормали. Если наклонить его достаточно сильно, он вообще не сможет выйти: весь свет отразится обратно внутрь. Такое полное внутреннее отражение ведёт свет по оптическим волокнам.

Проверьте себя: луч переходит из воды в воздух. Он окажется ближе к нормали или дальше от неё? (Дальше: в воздухе свет быстрее.)

Средний

Лучи, нормаль и показатель преломления

Узкий пучок света можно изобразить лучом — линией вдоль направления, в котором движется энергия света. В точке, где луч падает на поверхность, проведите нормаль — прямую, перпендикулярную поверхности в этой точке. Все углы в оптике отсчитывают от нормали, а не от поверхности: угол падения ${\theta }_1$, угол отражения ${\theta }_r$ и угол преломления ${\theta }_2$. Отражённый и преломлённый лучи остаются в плоскости падения — плоскости, в которой лежат падающий луч и нормаль.

Показатель преломления сравнивает скорость света в вакууме, $c\approx 3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$, с его скоростью $v$ в веществе:
$n=\frac{c}{v}$

У воздуха $n=1,0003$, округлённо 1,00; у воды 1,33, у обычного стекла около 1,5 (в анимации взято 1,50), у алмаза 2,42. Из двух сред та, у которой $n$ больше, называется оптически более плотной.

Законы отражения и преломления

На гладкой границе часть света отражается, а часть проходит во вторую среду. Направления лучей подчиняются двум законам:

• ${\theta }_r={\theta }_1\text{(отражение)}$
• $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Отражённый луч уходит по другую сторону от нормали под тем же углом, под которым пришёл свет. Второй закон — закон преломления Снеллиуса: его описал Ибн Сахль в Багдаде около 984 года, заново нашёл Виллеброрд Снелл в 1621 году, а опубликовал Декарт в 1637 году.

В законе Снеллиуса произведение $n\sin \theta$ одинаково по обе стороны границы. При входе в среду с большим $n$ значение $\sin \theta$ должно уменьшиться, поэтому луч поворачивает к нормали; при входе в среду с меньшим $n$ — от нормали. Луч, идущий вдоль нормали, продолжает путь прямо, хотя тоже замедляется, а любой световой путь можно пройти в обратном направлении.

Частота $f$ задаётся источником и на границе не меняется. Поскольку $v=f\lambda$, длина волны уменьшается пропорционально скорости:
$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n}$
где ${\lambda }_0$ — длина волны в вакууме. Зелёный свет с длиной волны 550 нм в вакууме имеет в стекле из анимации длину волны около 367 нм и остаётся зелёным: цвет определяется частотой.

Почему свет поворачивает, когда замедляется

Представьте плоский волновой фронт, подходящий к поверхности; он образует с поверхностью тот же угол ${\theta }_1$, какой луч образует с нормалью. Один его край касается поверхности в точке $A$. Пока другой край проходит свой последний отрезок $v_1\Delta t$ в воздухе, чтобы достичь поверхности в точке $B$, свет, вошедший в $A$, продвигается в стекло лишь на $v_2\Delta t$. Новый фронт начинается в $B$ и лишь касается окружности радиуса $v_2\Delta t$ с центром в $A$: волна повернула.

У двух прямоугольных треугольников общая гипотенуза — отрезок $AB$ длиной $L$ вдоль поверхности, поэтому
$\sin {\theta }_1=\frac{v_1\Delta t}{L},\sin {\theta }_2=\frac{v_2\Delta t}{L}$
Деление даёт $\sin {\theta }_1/\sin {\theta }_2=v_1/v_2=n_2/n_1$ — это закон Снеллиуса: образ с тележкой из супермаркета, знакомый по начальному уровню, превращён в точный вывод.

Пример: луч из анимации

В первой части анимации свет идёт из воздуха, $n_1=1,00$, в стекло, $n_2=1,50$, под углом ${\theta }_1=50^{\circ }$. Закон Снеллиуса даёт
$\sin {\theta }_2=\frac{n_1\sin {\theta }_1}{n_2}=\frac{1,00\cdot 0,766}{1,50}=0,511,{\theta }_2=30,7^{\circ }$
Это строка $1,00\sin 50^{\circ }=1,50\sin 30,7^{\circ }$ на экране. Луч поворачивает на $50^{\circ }-30,7^{\circ }=19,3^{\circ }$ к пунктирной нормали, а слабый отражённый луч уходит под $50^{\circ }$ по другую её сторону.

Когда точка входит в стекло, показание табло падает с $3,00\times 10^8$ до $v=c/n=2,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$, поэтому белые метки, которые она оставляет каждую четверть секунды, стоят там друг от друга лишь на две трети прежнего расстояния: то же время — меньший путь.

Насколько ярок слабый луч? Для света, падающего вдоль нормали, доля отражённой мощности равна
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(нормальное падение)}$
Для воздуха и стекла $R=(0,50/2,50{)}^2=0,04$, то есть 4 %. При $50^{\circ }$ она около 6 %, а при скользящем падении приближается к 100 %: озеро отражает дальний берег, но камни у ваших ног всё равно видны.

Полное внутреннее отражение

Во второй части анимации свет идёт внутри стекла, теперь $n_1=1,50$, к воздуху, $n_2=1,00$. Закон Снеллиуса принимает вид $\sin {\theta }_2=1,50\sin {\theta }_1$: луч выходит дальше от нормали, чем подошёл, и скользит вдоль поверхности, ${\theta }_2=90^{\circ }$, при предельном угле
$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}(n_1>n_2)$
Для стекла и воздуха $\sin {\theta }_c=1/1,50=0,667$, значит, ${\theta }_c=41,8^{\circ }$.

За пределом ${\theta }_c$ закон Снеллиуса потребовал бы $\sin {\theta }_2>1$: преломлённого луча нет, и весь свет отражается. Луч в анимации встречает поверхность под $50^{\circ }$, где $1,50\sin 50^{\circ }=1,15$; на экране ${\theta }_1=50^{\circ }>{\theta }_c=41,8^{\circ }$, и весь пучок возвращается в стекло. При полном внутреннем отражении ничто не теряется, и происходить оно может только со стороны среды с большим показателем.

Пример: лампа на дне бассейна

На дне бассейна глубиной 2,0 м лежит маленькая лампа. Какую часть поверхности она освещает, что видит пловец, глядя вверх, и какой глубины кажется бассейн, если смотреть строго сверху?

Для перехода из воды в воздух $\sin {\theta }_c=1,00/1,33=0,752$, значит, ${\theta }_c=48,8^{\circ }$. Наружу выходят только лучи внутри конуса с таким полууглом, поэтому освещённое пятно — круг радиуса $r=d\tan {\theta }_c=2,0\cdot 1,14=2,28\mathrm{м}$, где $d$ — глубина; за его пределами поверхность, если смотреть на неё снизу, — идеальное зеркало. Пустите лучи в обратную сторону: пловец, глядя вверх, видит всё небо, сжатое в окно шириной $2{\theta }_c=97,5^{\circ }$, а вокруг него — отражение дна бассейна.

Если смотреть строго вниз, в глаз попадают лучи, близкие к нормали, где $\sin \theta \approx \theta$. Луч, выходящий из воды, отклоняется в $n$ раз сильнее, чем шёл внутри, поэтому, продолженный назад, он кажется идущим из точки, лежащей на глубине всего $1/n$ от настоящей. Бассейн кажется глубиной $2,0/1,33=1,50\mathrm{м}$ — на четверть меньше настоящей.

Частые ошибки

• Углы отсчитывают от нормали, а не от поверхности. Луч, идущий под $40^{\circ }$ к поверхности стекла, имеет ${\theta }_1=50^{\circ }$; если подставить в закон Снеллиуса 40°, получится 25,4° вместо 30,7°.
• Закон Снеллиуса связывает синусы, а не сами углы. Если разделить 30° на 1,5, получится 20° вместо 19,5°; при 50° этот приём даёт 33,3° вместо 30,7°.
• Свет сохраняет цвет в воде и в стекле. Оранжевый свет с длиной волны 600 нм в вакууме имеет в стекле с показателем 1,50 длину волны 400 нм, но его частота, $5,0\times 10^{14}\mathrm{Гц}$, не меняется.
• Полное внутреннее отражение возможно лишь при переходе света из среды с большим показателем в среду с меньшим. Если свет входит в стекло из воздуха, даже под углом 89°, в стекле луч идёт под углом 41,8°.
• Оптически более плотная среда не значит более тяжёлая. Оливковое масло плавает на воде, но при $n\approx 1,47$ против 1,33 оно сильнее преломляет свет.

Где это встречается

Оптические волокна передают интернет-трафик в виде света, удерживаемого полным внутренним отражением. Призмы в биноклях встречают свет под углом $45^{\circ }$, больше предельного угла $41,8^{\circ }$, поэтому отражают лучше, чем посеребрённые зеркала. Алмаз с $n=2,42$ и ${\theta }_c=24,4^{\circ }$ удерживает свет и значительную его часть отправляет обратно наружу через верхнюю грань, поэтому он так сверкает. Миражи над раскалённой дорогой возникают оттого, что свет плавно изгибается в воздухе с меняющимся показателем.

Поскольку $n$ немного зависит от цвета, призма разлагает белый свет; это тема урока «Призмы, дисперсия и цвет». Криволинейные границы, дающие изображения, разбираются в уроках «Линзы и зеркала» и «Глаз, фотоаппарат и телескоп», а поляризация отражённого света — в уроке «Поляризация света».

Продвинутый

Принцип Ферма: стационарное время

Отражение и преломление выглядят как два отдельных правила: одно для зеркал, другое для стекла. Но оба вытекают из одного утверждения о времени в пути, и понять, почему это так, — самый прямой путь в лучевую оптику.

Начнём с самого времени. В среде с показателем преломления $n$ свет движется со скоростью $c/n$, поэтому на короткий отрезок $ds$ у него уходит время $nds/c$. Сложив такие кусочки вдоль всего пути, получим время пути. Интеграл $\int nds$ называют оптической длиной пути, и время равно этой длине, делённой на $c$:
$T=\frac{1}{c}\int nds$

Принцип Ферма гласит, что свет идёт по пути, для которого $T$ стационарно. Стационарность означает, что малая деформация пути меняет время лишь во втором порядке по величине деформации и никогда в первом — так гладкая функция плоская на дне впадины или на вершине холма.

Стационарное — не всегда наименьшее. Внутри зеркала в форме эллипса любой путь от одного фокуса к зеркалу и дальше к другому фокусу занимает одно и то же время, так что все они стационарны. В зеркале, изогнутом круче этого эллипса, реальный путь оказывается самым длинным из соседних, а не самым коротким.

Почему свету вообще есть дело до времени? Потому что свет — волна. Возьмите все мыслимые пути от источника до детектора и сопоставьте каждому маленькую стрелку — фазор, повёрнутый на фазу $\omega T$, которую волна набирает вдоль этого пути; здесь $\omega$ — циклическая частота. Пришедший свет — это сумма всех этих стрелок. Пусть пути различаются параметром $x$, а $x_0$ — стационарный путь со временем $T_0$. Вблизи него время меняется лишь квадратично, где $T^{\prime \prime }$ — вторая производная $T$ в точке $x_0$:
$T\approx T_0+\frac{1}{2}{T}^{\prime \prime }(x-x_0{)}^2$

Вблизи $x_0$ времена почти не различаются, поэтому соседние стрелки смотрят почти в одну сторону и складываются. Дальше фаза от пути к пути меняется всё быстрее, и стрелки закручиваются в тугие спирали, которые гасят друг друга. Поэтому до детектора доходит свет с полосы путей вокруг стационарного, времена которых различаются меньше чем примерно на полпериода. Эту полосу мы и называем лучом. В квантовой теории те же стрелки — амплитуды вероятности для фотона.

Закон Снеллиуса из времени пути

Самое полезное следствие принципа Ферма — закон преломления. В этом разделе он выводится так: время пути записывается как функция одного числа — точки, где свет пересекает границу, — и ищется, где это время стационарно.

Обозначения

$A$	Начало маршрута, на высоте $a$ над границей.
$B$	Конец маршрута, на глубине $b$ под границей.
$a$	Высота $A$ над границей.	$\mathrm{м}$
$b$	Глубина $B$ под границей.	$\mathrm{м}$
$D$	Расстояние по горизонтали от $A$ до $B$.	$\mathrm{м}$
$x$	Расстояние вдоль границы от основания перпендикуляра из $A$ до точки пересечения.	$\mathrm{м}$
$D-x$	Остаток расстояния по горизонтали: от точки пересечения до основания перпендикуляра из $B$.	$\mathrm{м}$
${\theta }_1$	Угол между первым участком и нормалью к границе (вертикальной пунктирной линией).	$\mathrm{рад}$
${\theta }_2$	Угол между вторым участком и нормалью.	$\mathrm{рад}$
$n_1$	Показатель преломления верхней среды.
$n_2$	Показатель преломления нижней среды.

Рисунок 1 задаёт задачу. Точка $A$ находится на высоте $a$ над плоской границей, в среде с показателем $n_1$. Точка $B$ — на глубине $b$ под ней, в среде с показателем $n_2$, дальше по горизонтали на расстояние $D$. В пределах одной среды самый быстрый маршрут — прямая, поэтому любой маршрут-кандидат прямолинеен над границей и прямолинеен под ней. Тогда он задаётся одним числом — расстоянием $x$ вдоль границы от основания перпендикуляра из $A$ до точки пересечения. Каждый участок — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $x$ над границей и $b$ и $D-x$ под ней. Сплошной золотой маршрут самый быстрый; пунктирные пересекают границу в других местах, и каждый из них занимает больше времени.

По теореме Пифагора длины участков равны $\sqrt{a^2+x^2}$ и $\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}$. Свет проходит их со скоростями $c/n_1$ и $c/n_2$, поэтому маршрут, пересекающий границу в точке $x$, занимает время
$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}{c}$
Самый быстрый маршрут — там, где эта функция стационарна, значит, её производная должна обращаться в нуль. Сдвиг точки пересечения вправо удлиняет верхний участок и укорачивает нижний — отсюда знак минус:
$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(D-x)}{\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}\right)=0$

Теперь прочитайте обе дроби по рисунку. В точке пересечения верхний участок образует угол ${\theta }_1$ с нормалью — вертикальной пунктирной линией. Катет $a$ параллелен этой нормали, поэтому угол при вершине $A$ между участком и $a$ тоже равен ${\theta }_1$. Противолежащий этому углу катет — $x$, и первая дробь, отношение противолежащего катета к гипотенузе, равна $x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin {\theta }_1$. В нижнем треугольнике катет $b$ тоже вертикален, угол при вершине $B$ равен ${\theta }_2$, противолежащий катет — $D-x$, и вторая дробь равна $(D-x)/\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}=\sin {\theta }_2$. Значит, условие $dT/dx=0$ — это закон Снеллиуса:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Минимально ли это время? Ещё одно дифференцирование даёт сумму двух положительных слагаемых,
$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_1{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{n_2{b}^2}{(b^2+(D-x{)}^2{)}^{3/2}}\right)>0$
поэтому на плоской границе стационарное время действительно минимально.

Отражение получается теми же шагами. Поместите $B$ над границей, в ту же среду, что и $A$, так что у обоих участков показатель $n_1$. Тогда условие принимает вид $\sin {\theta }_r=\sin {\theta }_1$, где ${\theta }_r$ — угол между отражённым участком и нормалью: угол отражения равен углу падения.

Принцип предсказывает и то, чего одни углы предсказать не могут. Свет должен быть медленнее в $n_2/n_1$ раз в той среде, где он поворачивает к нормали. Корпускулярная модель Ньютона объясняла тот же поворот притяжением света стеклом, из-за которого свет внутри был бы быстрее. Две картины предсказывают противоположное соотношение скоростей, и в 1850 году Фуко измерил, что в воде свет медленнее, чем в воздухе, — как и требует принцип Ферма.

Волновые фронты и согласование фаз

Принцип Ферма говорит о путях. Тот же закон можно увидеть в самой волне — как условие того, что волны по обе стороны границы стыкуются друг с другом. Именно этот взгляд допускает обобщение: он объясняет миражи и связывает преломление с законами сохранения.

Обозначения

${\lambda }_1$	Длина волны в верхней среде: расстояние между соседними волновыми фронтами.	$\mathrm{м}$
${\lambda }_2$	Длина волны в нижней среде: ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$, она короче, потому что свет там медленнее.	$\mathrm{м}$
$\Lambda$	Расстояние вдоль границы между точками, где её пересекают соседние фронты; оно одинаково с обеих сторон.	$\mathrm{м}$
${\theta }_1$	Угол между падающим лучом и нормалью; он же угол между фронтом и границей.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_2$	Угол между преломлённым лучом и нормалью.	$\mathrm{рад}$
$n_1$	Показатель преломления верхней среды.
$n_2$	Показатель преломления нижней, оптически более плотной среды (закрашена).

На рисунке 2 пучок пересекает границу и входит в среду, где свет в 1,5 раза медленнее, $n_2/n_1=1,5$. Фиолетовые линии — волновые фронты, линии равной фазы. Это одновременно линии равного времени пути от источника, то есть принцип Ферма в волновой форме, и каждый фронт перпендикулярен своему лучу. Соседние фронты отстоят друг от друга на длину волны: ${\lambda }_1$ в верхней среде и ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$ в нижней, потому что частота по обе стороны одинакова, а скорость внизу меньше. Экспертный слой анимации показывает закон именно как такое условие согласования: там фронты отстоят на ${\lambda }_0$ в воздухе, где ${\lambda }_0$ — длина волны в вакууме, и на ${\lambda }_0/n$, то есть в 1,5 раза теснее, в стекле.

Теперь посмотрите вдоль границы. Волна через неё непрерывна, поэтому фронты сверху и снизу должны смыкаться без разрыва: каждый фронт приходит на границу в одну и ту же точку с обеих сторон. Значит, соседние фронты пересекают границу на одном и том же расстоянии $\Lambda$ друг от друга с обеих сторон — это зелёный отрезок.

Свяжите $\Lambda$ с каждой длиной волны. Фронт перпендикулярен своему лучу, а граница перпендикулярна нормали, поэтому угол между фронтом и границей равен углу между лучом и нормалью — ${\theta }_1$ над границей. Два соседних фронта и отрезок границы $\Lambda$ между точками их пересечения с ней образуют прямоугольный треугольник: $\Lambda$ — его гипотенуза, а промежуток между фронтами, ${\lambda }_1$, — катет, противолежащий углу ${\theta }_1$. Отсюда ${\lambda }_1=\Lambda \sin {\theta }_1$. Под границей такой же треугольник даёт ${\lambda }_2=\Lambda \sin {\theta }_2$. Исключая $\Lambda$, получаем
$\frac{{\lambda }_1}{\sin {\theta }_1}=\Lambda =\frac{{\lambda }_2}{\sin {\theta }_2}$
Для углов анимации, $50^{\circ }$ в воздухе и $30,7^{\circ }$ в стекле, обе стороны дают $\Lambda =1,31{\lambda }_0$. Если подставить $\lambda ={\lambda }_0/n$ с каждой стороны, уравнение превращается в $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$ — снова закон Снеллиуса.

Наклон фронтов показывает и то, почему в более медленной среде луч поворачивает к нормали. Один конец косого фронта достигает границы первым и первым замедляется, а другой конец ещё быстро движется в верхней среде. Фронт поворачивается вокруг замедлившегося конца, и луч, перпендикулярный фронту, поворачивает к нормали.

У условия согласования есть компактная форма. Волновой вектор направлен вдоль луча, и его модуль равен $k=n\omega /c=2\pi /\lambda$. Его составляющая вдоль границы равна $k\sin \theta =2\pi /\Lambda$, поэтому согласование фаз означает, что эта касательная составляющая одинакова с обеих сторон. Здесь видна перекличка с двумя законами сохранения механики. Граница, не меняющаяся во времени, сохраняет частоту $\omega$ — как однородность времени сохраняет энергию. Поверхность, одинаковая по всей длине, сохраняет касательный волновой вектор — как однородность пространства сохраняет импульс.

Правило верно для любой стопки параллельных слоёв: при переходе через одну границу за другой $n(z)\sin \theta (z)$ остаётся одним и тем же на любой высоте $z$. Где $n$ растёт, $\sin \theta$ уменьшается, и луч поворачивает к нормали. Поэтому в воздухе, показатель которого плавно меняется с высотой, луч искривляется в сторону большего $n$. Над раскалённым шоссе воздух у земли теплее и его показатель меньше, поэтому свет от неба загибается вверх, в глаз, и дорога кажется блестящей, как вода. Это мираж.

Угол преломления в зависимости от угла падения

Закон Снеллиуса нелинеен по углам. График зависимости одного угла от другого сразу показывает, где работает правило малых углов из формул линз, где оно перестаёт работать и где начинается полное внутреннее отражение.

Обозначения

${\theta }_1$	Угол падения, отсчитанный от нормали.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_2$	Угол преломления, отсчитанный от нормали.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_c$	Предельный угол при переходе из стекла в воздух, $\sin {\theta }_c=1/1,5$; он же угол, на котором заканчивается кривая «из воздуха в стекло».	$\mathrm{рад}$
$n_1$	Показатель преломления среды, из которой приходит свет.
$n_2$	Показатель преломления среды, в которую он входит.

На рисунке 3 построена зависимость угла преломления ${\theta }_2$ от угла падения ${\theta }_1$, от $0$ до $90^{\circ }$, для стекла с показателем 1,5, через границу которого свет проходит в обоих направлениях. Как и в законе Снеллиуса, $n_1$ — показатель среды, из которой приходит свет, а $n_2$ — среды, в которую он входит.

Сначала проследите синюю кривую: из воздуха в стекло, $n_1<n_2$. Вблизи начала координат это прямая с наклоном $n_1/n_2=0,667$, потому что при малых углах $\sin \theta \approx \theta$ и закон Снеллиуса превращается в ${\theta }_2\approx (n_1/n_2){\theta }_1$ — правило, лежащее в основе формул линз. Затем кривая загибается и при скользящем падении, ${\theta }_1=90^{\circ }$, заканчивается на ${\theta }_2=41,8^{\circ }$ — на высоте горизонтальной пунктирной линии с пометкой ${\theta }_c$. Свет, пришедший из воздуха, никогда не идёт в стекле под углом к нормали больше этого.

Теперь красная кривая: из стекла в воздух, $n_1>n_2$. Она начинается с наклоном 1,5, поднимается всё быстрее и достигает ${\theta }_2=90^{\circ }$ при ${\theta }_1={\theta }_c=41,8^{\circ }$, где обрывается на вертикальной пунктирной линии. Это предельный угол, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$. За ним преломлённого луча нет вовсе, и весь свет отражается: это полное внутреннее отражение.

Две кривые зеркально симметричны друг другу относительно пунктирной диагонали ${\theta }_2={\theta }_1$. Причина в том, что любой путь света можно пройти в обратную сторону: если свет из воздуха под углом ${\theta }_1$ входит в стекло под углом ${\theta }_2$, то свет, идущий в стекле под углом ${\theta }_2$, выходит в воздух под углом ${\theta }_1$, — оси меняются местами. Поэтому один и тот же угол ${\theta }_c$ завершает обе кривые.

Почему красная кривая так круто взмывает у своего конца? Дифференцирование закона Снеллиуса даёт $n_1\cos {\theta }_{1}d{\theta }_1=n_2\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2$, откуда
$\frac{d{\theta }_2}{d{\theta }_1}=\frac{n_1\cos {\theta }_1}{n_2\cos {\theta }_2}$
При ${\theta }_2\to 90^{\circ }$ косинус в знаменателе стремится к нулю, и наклон неограниченно растёт. Вблизи ${\theta }_c$ крошечный наклон падающего луча поворачивает вышедший луч на большой угол.

Почему в веществе свет медленнее

До сих пор показатель $n$ был просто задан. В этом разделе объясняется, откуда он берётся и почему зависит от цвета.

Замедление — это не остановки света на каждом атоме. Волна раскачивает электроны вещества, они колеблются с частотой волны и сами излучают волны. Тонкий слой таких электронов добавляет слабую волну, отстающую от падающей на четверть периода. Добавление малой волны, отстающей на четверть периода, слегка сдвигает фазу суммарной волны назад, как будто волна пришла чуть позже. Слой за слоем эти малые запаздывания складываются, и суммарная волна бежит со скоростью $c/n$.

Электроны откликаются тем сильнее, чем ближе частота к их собственным частотам, а у стекла они лежат в ультрафиолете. Поэтому показатель растёт с частотой: в обычном кроновом стекле около 1,514 для красного света и 1,522 для синего. Такую зависимость $n$ от частоты называют дисперсией; именно она позволяет призме разложить белый свет на цвета. Для рентгеновских лучей, частота которых выше резонансов, $n$ чуть меньше 1. Гребни тогда бегут быстрее $c$, но никакой закон не нарушается: гребни установившейся волны не несут сигнала.

Амплитуды, угол Брюстера и эванесцентная волна

Закон Снеллиуса задаёт направления отражённого и преломлённого лучей, но не то, сколько света уходит в каждую сторону. Это зависит от того, что свет — электромагнитная волна, и объясняет, почему окно немного отражает, почему отражённые блики поляризованы и что происходит сразу за полностью отражающей поверхностью.

Уравнения Максвелла требуют, чтобы составляющие электрического и магнитного полей вдоль поверхности были непрерывны при переходе через неё. Применив это условие к падающей, отражённой и преломлённой волнам, получают формулы Френеля, которые дают доли отражённого и прошедшего света. Они зависят от поляризации — направления, в котором колеблется электрическое поле. При нормальном падении обе поляризации ведут себя одинаково, и отражённая доля мощности равна
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(нормальное падение)}$
Это 4,0 % для стекла, 2,0 % для воды и 17 % для алмаза, причём одинаково с любой стороны: перестановка $n_1$ и $n_2$ лишь меняет знак под квадратом.

При наклонном падении поляризации ведут себя по-разному. Плоскость падения — это плоскость, в которой лежат падающий луч и нормаль. При $50^{\circ }$ из анимации, из воздуха в стекло, свет, поляризованный перпендикулярно этой плоскости (его называют s), отражается на 11,2 %, а свет, поляризованный в этой плоскости (его называют p), — всего на 0,3 %.

Отражение p-света полностью исчезает при угле Брюстера, $\mathrm{tg}{\theta }_B=n_2/n_1$: $56,3^{\circ }$ из воздуха в стекло. Преломлённый луч, идущий тогда под углом $33,7^{\circ }$, в точности перпендикулярен направлению отражённого луча. Объясняют это электроны из предыдущего раздела. Для p-света они колеблются перпендикулярно преломлённому лучу, в плоскости падения, и при угле Брюстера линия их колебаний направлена точно вдоль отражённого направления. Колеблющийся диполь ничего не излучает вдоль своей оси, поэтому p-свет не отражается. Блики, отражённые вблизи этого угла, поэтому в основном s-поляризованы, и именно поэтому поляризационные солнцезащитные очки их гасят.

Полное внутреннее отражение таит тонкость. Возьмите свет в стекле с показателем $n_1$, который падает на границу с воздухом, с показателем $n_2$, под углом больше ${\theta }_c$, и обозначьте $k_0=2\pi /{\lambda }_0$ волновое число в вакууме. Согласование фаз по-прежнему требует касательного волнового числа $n_1{k}_0\sin {\theta }_1$ со стороны воздуха. За пределом ${\theta }_c$ оно превосходит $n_2{k}_0$ — полное волновое число, доступное в воздухе. Тогда составляющая, нормальная к границе, квадрат которой равен $n_2^2{k}_0^2-n_1^2{k}_0^2{\sin }^2{\theta }_1$, — это квадратный корень из отрицательного числа: она мнимая. Мнимое волновое число описывает затухание, а не колебание. Поле в воздухе спадает с расстоянием $z$ от границы как $e^{-z/\delta }$, где
$\delta =\frac{{\lambda }_0}{2\pi \sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1-n_2^2}}$

При угле падения $50^{\circ }$ внутри стекла анимации $\delta =0,28{\lambda }_0$ — около 155 нм для зелёного света с длиной волны 550 нм. Это эванесцентная волна. В среднем она не уносит энергию от поверхности, так что отражение действительно полное. Но поднесите второй стеклянный блок на расстояние в несколько $\delta$, и эванесцентное поле проникнет в него: свет просочится через зазор. Это нарушенное полное внутреннее отражение описывается той же математикой, что и квантовое туннелирование сквозь барьер.

Задача: стеклянный стержень как световод

Полное внутреннее отражение способно удерживать свет в стержне или волокне на протяжении километров. В этой задаче выясняется, когда такая ловушка срабатывает, насколько широкий конус света принимает волокно и чем этот конус оборачивается для скорости передачи сигналов.

Обозначения

$n_1$	Показатель преломления сердцевины.
$n_2$	Показатель преломления оболочки, меньший $n_1$.
${\alpha }_{\max }$	Наибольший угол к оси, при котором свет, вошедший через торец, ещё захватывается.	$\mathrm{рад}$
${\beta }_{\max }$	Угол к оси внутри сердцевины у луча, вошедшего под углом ${\alpha }_{\max }$.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_c$	Предельный угол на стенке сердцевины, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$: крайний луч встречает стенку точно под этим углом к нормали.	$\mathrm{рад}$
$L$	Длина волокна.	$\mathrm{м}$

На рисунке 4 показано волокно со ступенчатым профилем показателя длиной $L$: сердцевина с показателем $n_1$ внутри оболочки с показателем $n_2<n_1$. Свет входит через плоский торец, перпендикулярный оси — горизонтальной пунктирной линии. Изображённый луч — крайний из тех, что ещё захватываются. Он входит под углом ${\alpha }_{\max }$ к оси, по краю закрашенного конуса, и преломляется на торце до угла ${\beta }_{\max }$ к оси внутри сердцевины. Стенка сердцевины параллельна оси, поэтому её нормаль перпендикулярна оси, и луч встречает стенку под углом $90^{\circ }-{\beta }_{\max }$ к этой нормали. Для крайнего луча это в точности предельный угол: ${\theta }_c=90^{\circ }-{\beta }_{\max }$. Луч внутри конуса идёт под меньшим углом к оси, встречает стенку под углом больше ${\theta }_c$ и тоже оказывается в ловушке, отражаясь от стенки к стенке, как на рисунке.

Начните с голого стержня. Возьмите длинный стержень из стекла анимации, $n=1,50$, в воздухе, с плоским торцом, перпендикулярным оси: роль оболочки играет сам воздух. Может ли свет, вошедший в торец под любым углом, выйти через боковую поверхность?

Луч, входящий под углом $\alpha$ к оси, преломляется до угла $\beta$, где $\sin \beta =\sin \alpha /1,50$ по закону Снеллиуса на торце. Даже при скользящем входе, $\alpha =90^{\circ }$, это даёт лишь $\sin \beta =0,667$, так что $\beta$ никогда не превышает $41,8^{\circ }$. Тогда луч встречает боковую стенку под углом $90^{\circ }-\beta \ge 48,2^{\circ }$ к её нормали, то есть за пределом ${\theta }_c=41,8^{\circ }$: каждый вошедший луч оказывается в ловушке. В общем случае у самого крутого луча $\sin {\beta }_{\max }=1/n$, и он захвачен, если встречает стенку за пределом ${\theta }_c$, то есть если $\cos {\beta }_{\max }\ge \sin {\theta }_c$. При $\sin {\theta }_c=1/n$ это условие принимает вид $\sqrt{1-1/n^2}\ge 1/n$, или $n\ge \sqrt{2}=1,414$.

Голый стержень теряет свет везде, где его касается пыль или палец, потому что там показатель снаружи уже не равен 1. Поэтому настоящее волокно окружают оболочкой с чуть меньшим показателем, скажем $n_2=1,46$ вокруг $n_1=1,50$. Теперь $\sin {\theta }_c=1,46/1,50=0,973$ и ${\theta }_c=76,7^{\circ }$, так что внутри сердцевины луч может составлять с осью не более ${\beta }_{\max }=13,3^{\circ }$. Закон Снеллиуса на торце, снаружи которого воздух, даёт $\sin {\alpha }_{\max }=n_1\sin {\beta }_{\max }$, а $\sin {\beta }_{\max }=\cos {\theta }_c=\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}$. Значит, торец принимает только лучи, для которых
$\sin {\alpha }_{\max }=n_1\cos {\theta }_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1,50^2-1,46^2}=0,344$
то есть конус с полууглом $20,1^{\circ }$. На рисунке 4 конус гораздо шире, потому что рисунок преувеличивает разницу показателей. Сам синус, 0,344, называется числовой апертурой волокна.

Плата за приём целого конуса в том, что лучи под разными углами проходят разные пути. На длине $L=1,00\mathrm{км}$ осевой луч идёт $n_{1}L/c=5,00\mathrm{мкс}$. Самый крутой из захваченных лучей движется зигзагом по пути, длиннее в $1/\cos {\beta }_{\max }$ раз; поскольку $\cos {\beta }_{\max }=\sin {\theta }_c=n_2/n_1$, этот множитель равен $n_1/n_2$, и луч тратит 5,14 мкс. Поэтому короткий импульс, посланный в волокно, выходит размазанным на 137 нс, и, чтобы импульсы оставались различимыми, они должны отстоять друг от друга не меньше чем на этот промежуток: это примерно 7 миллионов импульсов в секунду на 1 км. Телекоммуникационные волокна обходят это с помощью сердцевины шириной всего около 9 мкм, которая пропускает единственную моду волны, — и там лучевая картина уже неприменима.

Границы применимости

Лучевая оптика — это модель, и полезно знать, где она перестаёт работать.

Это предел волновой оптики при малой длине волны. Полоса путей, дающих вклад, вокруг луча, о которой шла речь в первом разделе, имеет на длине $L$ ширину порядка $\sqrt{\lambda L}$: 0,7 мм для света с длиной волны 500 нм на 1 м. Отверстие уже этой полосы срезает её, и лучевая картина разрушается. Например, щель шириной $a=0,1\mathrm{мм}$ расширяет такой пучок примерно на $\lambda /a=0,005\mathrm{рад}$, то есть на 0,3°: это дифракция.

Описание среды одним показателем $n$ предполагает также, что она линейна (её отклик пропорционален полю), изотропна (одинакова во всех направлениях) и не поглощает свет. Каждое из этих допущений может нарушаться. Кальцит не изотропен: у него два показателя, 1,486 и 1,658 в крайних направлениях, поэтому вошедший в него луч раздваивается. В металлах $n$ комплексный, и свет затухает на протяжении нескольких десятков нанометров. Наконец, движущаяся граница нарушает однородность времени, которая сохраняла частоту: зеркало, удаляющееся со скоростью $u$, понижает частоту отражённого света примерно на долю $2u/c$.

Что дальше

Принцип Ферма ведёт к уроку «Линзы и зеркала», где фокус — это точка, до которой множество путей добирается ровно за одно и то же время. Дисперсии посвящён урок «Призмы, дисперсия и цвет», а угол Брюстера возвращается в уроке «Поляризация света». Сама световая волна описана в уроке «Электромагнитные волны», границы лучевой картины — в уроке «Дифракция и опыт Юнга», а квантовый двойник нарушенного отражения — в уроке «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект».

В уроке «Гравитация как искривление пространства-времени» Солнце отклоняет проходящий вплотную к нему свет звёзд на 1,75 угловой секунды — как если бы у окружающего пространства был показатель преломления $n\approx 1+2GM/(r{c}^2)$, где $M$ — масса Солнца, а $r$ — расстояние от его центра. А рассуждение со стационарной фазой из первого раздела, по которому из волн возникают лучи, — то самое, по которому из квантовой механики возникает классическая механика с её принципом наименьшего действия.