परावर्तन और अपवर्तन

प्रकाश दर्पण से उसी कोण पर निकलता है जिस कोण पर वह आया था, $θ_{r} = θ_{1}$ ; सीमा पर वह स्नेल के नियम $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ से मुड़ता है, क्योंकि उसकी चाल $v = c / n$ बदल जाती है; काँच या पानी के भीतर, क्रांतिक कोण $θ_{c}$ से आगे, प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तन से बँध जाता है।

एक प्रकाश-किरण काँच में प्रवेश करती है, धीमी होती है और अभिलंब की ओर मुड़ती है, जबकि एक हल्की किरण परावर्तित होती है; फिर काँच के भीतर क्रांतिक कोण से आगे, वह पूरी तरह परावर्तित हो जाती है।

इस विषय से पहले: तरंगों की मूल बातें

शुरुआती

मुख्य विचार

कोण अभिलंब से मापे जाते हैं, यानी सतह से सीधी बाहर निकली रेखा से; दर्पण प्रकाश को उसी कोण पर लौटाता है जिस कोण पर वह आया था।
काँच और पानी में प्रकाश धीमा होता है, इसलिए तिरछे प्रवेश करती किरण अभिलंब की ओर मुड़ जाती है: यह मोड़ अपवर्तन है।
काँच के भीतर जो प्रकाश सतह से बहुत तिरछा टकराता है, वह बाहर नहीं निकल पाता और पूरा परावर्तित हो जाता है; प्रकाशिक तंतु इसी तरह प्रकाश को बाँधते हैं।
अपवर्तन आँख को धोखा देता है: पानी में खड़ा स्ट्रॉ सतह पर टूटा हुआ दिखता है।

चरण 1, अभिलंब। जहाँ भी प्रकाश की किरण किसी सतह पर पड़ती है, वहाँ उस बिंदु पर सतह से सीधी बाहर निकली एक रेखा की कल्पना कीजिए। इसे अभिलंब कहते हैं, और प्रकाशिकी में हर कोण इसी से मापा जाता है, सतह से नहीं।

चरण 2, परावर्तन। किसी चिकनी सतह से टकराकर लौटती किरण अभिलंब से उसी कोण पर निकलती है जिस कोण पर वह आई थी, जैसे स्नूकर की गेंद कुशन से टकराकर लौटती है। दर्पण चिकना है, इसलिए सारी किरणें एक साथ लौटती हैं और आपको साफ़ प्रतिबिंब दिखता है। कागज़ छोटे पैमाने पर खुरदरा होता है: प्रकाश हर दिशा में निकलता है, इसलिए आप कमरे में कहीं से भी पन्ना देख सकते हैं, पर उसमें अपना चेहरा कभी नहीं।

चरण 3, अपवर्तन। जब प्रकाश तिरछा होकर पानी या काँच में जाता है, तो सतह पर उसकी दिशा बदल जाती है। कारण चाल है: काँच में प्रकाश धीमा होता है। सोचिए एक शॉपिंग ट्रॉली चिकनी फ़र्श से कालीन पर तिरछी दिशा में लुढ़क रही है: जो पहिया पहले कालीन तक पहुँचता है, वह पहले धीमा होता है, और ट्रॉली घूम जाती है। नियम यह है: धीमे पक्ष पर किरण अभिलंब के अधिक निकट होती है।

एनिमेशन में पीला बिंदु हर चौथाई सेकंड पर एक सफ़ेद निशान छोड़ता है। काँच के भीतर निशान एक-दूसरे के पास सिमट जाते हैं: धीमा प्रकाश, छोटे कदम। वह हल्की किरण भी देखिए जो वापस उछलती है।

चरण 4, फँसा हुआ प्रकाश। काँच से बाहर निकलते समय किरण अभिलंब से दूर मुड़ती है। उसे इतना तिरछा कर दें कि वह बिल्कुल बाहर न निकल सके: सारा प्रकाश भीतर परावर्तित हो जाता है। यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन ही प्रकाशिक तंतुओं के साथ प्रकाश को ले जाता है।

स्वयं जाँचिए: एक किरण पानी से हवा में जाती है। क्या वह अभिलंब के अधिक निकट पहुँचती है या उससे दूर? (दूर: हवा में प्रकाश तेज़ है।)

मध्यम

मुख्य विचार

अपवर्तनांक $n = c / v$ : पानी 1.33, काँच लगभग 1.5, हीरा 2.42; समान समय में सघन माध्यम में प्रकाश कम दूरी तय करता है।
अभिलंब से: परावर्तन $θ_{r} = θ_{1}$ ; अपवर्तन $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ (हवा से काँच में $5 0^{\circ}$ पर $30. 7^{\circ}$ )।
उच्च $n$ से निम्न अपवर्तनांक की ओर: $sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$ ; $θ_{c}$ से आगे (काँच से हवा में $41. 8^{\circ}$ ) सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है।
सीमा पर आवृत्ति कभी नहीं बदलती; चाल और तरंगदैर्ध्य दोनों $n$ से भाग दिए जाते हैं: $v = c / n$ , $λ = λ_{0} / n$ ।

किरण, अभिलंब और अपवर्तनांक

प्रकाश के एक संकरे पुंज को किरण के रूप में खींचा जा सकता है, यानी उस दिशा में एक रेखा जिसमें प्रकाश की ऊर्जा चलती है। जहाँ किरण किसी सतह से मिलती है, वहाँ अभिलंब खींचिए, यानी उस बिंदु पर सतह के लंबवत रेखा। प्रकाशिकी में हर कोण अभिलंब से मापा जाता है, सतह से कभी नहीं: आपतन कोण $θ_{1}$ , परावर्तन कोण $θ_{r}$ और अपवर्तन कोण $θ_{2}$ । परावर्तित और अपवर्तित किरणें आपतन तल में रहती हैं, जिसमें आपतित किरण और अभिलंब होते हैं।

अपवर्तनांक निर्वात में प्रकाश की चाल $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ की तुलना पदार्थ में उसकी चाल $v$ से करता है:
$n = \frac{c}{v}$

हवा का $n = 1.0003$ है, जिसे 1.00 लिखा जाता है; पानी 1.33, साधारण काँच लगभग 1.5 (एनिमेशन में 1.50 लिया गया है) और हीरा 2.42। दो माध्यमों में जिसका $n$ बड़ा हो, उसे प्रकाशिक रूप से सघन कहते हैं।

परावर्तन और अपवर्तन के नियम

चिकनी सीमा पर प्रकाश का कुछ भाग परावर्तित होता है और कुछ भाग दूसरे माध्यम में प्रवेश करता है। उनकी दिशाएँ दो नियमों का पालन करती हैं:

$θ_{r} = θ_{1} (reflection)$
$n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$

परावर्तित किरण अभिलंब के दूसरी ओर उसी कोण पर निकलती है जिस कोण पर प्रकाश आया था। दूसरा नियम स्नेल का अपवर्तन नियम है, जिसे लगभग 984 ई. में बगदाद में इब्न साहल ने वर्णित किया था, 1621 में विलेब्रोर्ड स्नेल ने इसे फिर से खोजा और 1637 में देकार्त ने इसे प्रकाशित किया।

स्नेल के नियम में गुणनफल $n sin θ$ दोनों ओर समान रहता है। अधिक $n$ वाले माध्यम में प्रवेश करने पर $sin θ$ घटना चाहिए, इसलिए किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है; कम $n$ वाले में प्रवेश करने पर वह दूर मुड़ती है। अभिलंब के अनुदिश आने वाली किरण सीधी आगे जाती है, फिर भी धीमी होती है, और हर प्रकाश-पथ को उलटी दिशा में तय किया जा सकता है।

स्रोत द्वारा तय की गई आवृत्ति $f$ सीमा पर कभी नहीं बदलती। चूँकि $v = f λ$ है, तरंगदैर्ध्य चाल के अनुपात में घटती है:
$λ = \frac{λ _{0}}{n}$
जहाँ $λ_{0}$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है। 550 nm का हरा प्रकाश एनिमेशन के काँच में लगभग 367 nm तरंगदैर्ध्य का होता है, और फिर भी वह हरा ही रहता है: रंग आवृत्ति से तय होता है।

धीमा प्रकाश क्यों मुड़ता है

कल्पना कीजिए कि एक सीधा तरंगाग्र सतह तक पहुँच रहा है; वह सतह से उतना ही कोण $θ_{1}$ बनाता है जितना किरण अभिलंब से बनाती है। उसका एक सिरा $A$ पर सतह को छूता है। जब दूसरा सिरा हवा में अपना अंतिम हिस्सा, $v_{1} Δ t$ , तय करके $B$ पर सतह तक पहुँचता है, तब $A$ पर प्रविष्ट प्रकाश काँच में केवल $v_{2} Δ t$ आगे बढ़ पाता है। नया तरंगाग्र $B$ से शुरू होता है और $A$ के चारों ओर त्रिज्या $v_{2} Δ t$ वाले वृत्त को ठीक स्पर्श करता है: तरंग मुड़ चुकी है।

दो समकोण त्रिभुज अपनी सबसे लंबी भुजा साझा करते हैं, यानी सतह के अनुदिश लंबाई $L$ का रेखाखंड $A B$ , इसलिए
$sin θ_{1} = \frac{v _{1} Δ t}{L}, sin θ_{2} = \frac{v _{2} Δ t}{L}$
भाग देने पर $sin θ_{1} / sin θ_{2} = v_{1} / v_{2} = n_{2} / n_{1}$ मिलता है, जो स्नेल का नियम है: शुरुआती लोगों की शॉपिंग-ट्रॉली वाली तस्वीर, अब सटीक रूप में।

उदाहरण: एनिमेशन की किरण

एनिमेशन के पहले भाग में प्रकाश $θ_{1} = 5 0^{\circ}$ पर हवा ( $n_{1} = 1.00$ ) से काँच ( $n_{2} = 1.50$ ) में जाता है। स्नेल का नियम देता है
$sin θ_{2} = \frac{n _{1} s i n θ _{1}}{n _{2}} = \frac{1.00 \cdot 0.766}{1.50} = 0.511, θ_{2} = 30. 7^{\circ}$
यह स्क्रीन पर दिखने वाली समीकरण-रेखा $1.00 sin 5 0^{\circ} = 1.50 sin 30. 7^{\circ}$ है। किरण बिंदुकित अभिलंब की ओर $5 0^{\circ} - 30. 7^{\circ} = 19. 3^{\circ}$ मुड़ती है, जबकि हल्की परावर्तित किरण उसके दूसरी ओर $5 0^{\circ}$ पर निकलती है।

जैसे ही बिंदु काँच में प्रवेश करता है, रीडआउट $3.00 \times 1 0^{8}$ से घटकर $v = c / n = 2.00 \times 1 0^{8} m/s$ हो जाता है, इसलिए हर चौथाई सेकंड पर छोड़े गए सफ़ेद निशानों की दूरी केवल दो-तिहाई रह जाती है: समान समय, कम दूरी।

हल्की किरण कितनी चमकीली है? अभिलंब के अनुदिश आने वाले प्रकाश के लिए परावर्तित शक्ति का भाग है
$R = (\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}})^{2} (normal incidence)$
हवा और काँच के लिए, $R = (0.50/2.50)^{2} = 0.04$ , यानी 4 %। $5 0^{\circ}$ पर यह लगभग 6 % है, और फिसलते आपतन पर यह 100 % की ओर चढ़ता है: झील सामने के किनारे को प्रतिबिंबित करती है, फिर भी आपको पैरों के नीचे के पत्थर दिखते हैं।

पूर्ण आंतरिक परावर्तन

एनिमेशन के दूसरे भाग में प्रकाश काँच के भीतर चलता है, अब $n_{1} = 1.50$ , हवा ( $n_{2} = 1.00$ ) की ओर। स्नेल का नियम है $sin θ_{2} = 1.50 sin θ_{1}$ : किरण आपतन की तुलना में अभिलंब से अधिक दूर निकलती है, और क्रांतिक कोण पर सतह को स्पर्श करती है, यानी $θ_{2} = 9 0^{\circ}$ पर, जहाँ
$sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}} (n_{1} > n_{2})$
काँच और हवा के लिए, $sin θ_{c} = 1/1.50 = 0.667$ , अतः $θ_{c} = 41. 8^{\circ}$ ।

$θ_{c}$ से आगे स्नेल के नियम को $sin θ_{2} > 1$ चाहिए होगा: कोई अपवर्तित किरण नहीं है, और सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है। एनिमेशन की किरण $5 0^{\circ}$ पर सतह से टकराती है, जहाँ $1.50 sin 5 0^{\circ} = 1.15$ है; स्क्रीन पर $θ_{1} = 5 0^{\circ} > θ_{c} = 41. 8^{\circ}$ दिखता है, और पूरा पुंज काँच में वापस लौट आता है। यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन कुछ नहीं खोता, और यह केवल उच्च अपवर्तनांक वाली ओर ही हो सकता है।

उदाहरण: स्विमिंग पूल में एक लैंप

एक छोटा लैंप 2.0 m गहरे पूल के तल पर रखा है। वह सतह के कितने भाग को रोशन करता है, तैराक ऊपर देखने पर क्या देखता है, और सीधे ऊपर से पूल कितना गहरा दिखता है?

पानी से हवा के लिए $sin θ_{c} = 1.00/1.33 = 0.752$ , अतः $θ_{c} = 48. 8^{\circ}$ । केवल उस अर्ध-कोण वाले शंकु के भीतर की किरणें बाहर निकलती हैं, इसलिए रोशन क्षेत्र एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $r = d tan θ_{c} = 2.0 \cdot 1.14 = 2.28 m$ है, जहाँ $d$ गहराई है; उसके बाहर सतह नीचे से देखने पर एक पूर्ण दर्पण है। किरणों को उलटा चलाइए: ऊपर देखने वाला तैराक पूरे आकाश को $2 θ_{c} = 97. 5^{\circ}$ चौड़ी एक खिड़की में सिकुड़ा हुआ देखता है, जिसके चारों ओर पूल के तल का प्रतिबिंब घेरा बनाता है।

सीधे नीचे देखने पर आपको अभिलंब के निकट की किरणें मिलती हैं, जहाँ $sin θ \approx θ$ है। पानी से निकलने वाली किरण पानी के भीतर की तुलना में $n$ गुना अधिक झुकी होती है, इसलिए पीछे की ओर अनुरेखित करने पर वह केवल $1/ n$ गहराई वाले बिंदु से आती प्रतीत होती है। पूल $2.0/1.33 = 1.50 m$ गहरा दिखता है, असल से एक-चौथाई कम।

आम गलतियाँ

कोण अभिलंब से मापे जाते हैं, सतह से नहीं। काँच की सतह से $4 0^{\circ}$ पर आई किरण का $θ_{1} = 5 0^{\circ}$ होता है; स्नेल के नियम में 40° लेने पर 30.7° के बजाय 25.4° आता है।
स्नेल का नियम ज्याओं (sines) को संबंधित करता है, कोणों को नहीं। 30° को 1.5 से भाग देने पर 19.5° के बजाय 20° आता है; 50° पर यह शॉर्टकट 30.7° के बजाय 33.3° देता है।
पानी या काँच में प्रकाश अपना रंग नहीं बदलता। 600 nm का नारंगी प्रकाश 1.50 अपवर्तनांक वाले काँच में 400 nm तरंगदैर्ध्य का होता है, पर उसकी आवृत्ति $5.0 \times 1 0^{14} Hz$ अपरिवर्तित रहती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए प्रकाश को उच्च अपवर्तनांक से निम्न अपवर्तनांक की ओर जाना चाहिए। हवा से काँच में प्रवेश करने पर, 89° पर भी किरण काँच में 41.8° पर घुसती है।
प्रकाशिक रूप से सघन का अर्थ भारी नहीं होता। जैतून का तेल पानी पर तैरता है, फिर भी $n \approx 1.47$ (पानी के 1.33 के मुकाबले) होने के कारण वह प्रकाश को अधिक मोड़ता है।

यह कहाँ दिखता है

प्रकाशिक तंतु इंटरनेट डेटा को पूर्ण आंतरिक परावर्तन से बँधे प्रकाश के रूप में ले जाते हैं। दूरबीन के प्रिज़्म प्रकाश से $4 5^{\circ}$ पर मिलते हैं, जो $41. 8^{\circ}$ क्रांतिक कोण से अधिक है, इसलिए वे चाँदी-लेपित दर्पणों से बेहतर परावर्तन करते हैं। हीरा, $n = 2.42$ और $θ_{c} = 24. 4^{\circ}$ के साथ, प्रकाश को बाँधता है और उसका अधिकांश भाग ऊपरी सतह से बाहर भेजता है, इसीलिए वह चमकता है। गर्म सड़कों के ऊपर मृगमरीचिका उस प्रकाश से बनती है जो बदलते अपवर्तनांक वाली हवा में धीरे-धीरे मुड़ता है।

चूँकि $n$ रंग पर थोड़ा निर्भर करता है, प्रिज़्म सफ़ेद प्रकाश को बाँट देता है, जो प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग का विषय है। प्रतिबिंब बनाने वाली वक्र सीमाएँ लेंस और दर्पण तथा आँख, कैमरा और दूरदर्शी में आएँगी, और परावर्तित प्रकाश के ध्रुवण की चर्चा प्रकाश का ध्रुवण में होगी।

उन्नत

मुख्य विचार

फ़र्मा: प्रकाश उस पथ पर चलता है जिसका समय $T = \int n d s / c$ स्थिर हो; प्रतिच्छेद बिंदु पर $d T / d x = 0$ से $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ मिलता है।
स्थिर पथ के पास के फ़ेज़र एक दिशा में जुड़ते हैं, दूर के पथ कुंडलित होकर निरस्त होते हैं; अतः किरणों को $λ$ से बहुत चौड़े छिद्र चाहिए।
सतह के साथ तरंगाग्र मेल खाने चाहिए: $k sin θ$ संरक्षित रहता है, इसलिए हवा में $λ_{0}$ अंतर वाले तरंगाग्र काँच में $λ_{0} / n$ अंतर पर मुड़ जाते हैं।
$θ_{c}$ से आगे क्षीण तरंग लगभग $λ$ के भीतर घट जाती है; इतने पास रखा दूसरा खंड प्रकाश को उसके पार सुरंगित होने देता है (बाधित पूर्ण आंतरिक परावर्तन)।

फ़र्मा का स्थिर-समय सिद्धांत

परावर्तन और अपवर्तन दो अलग-अलग नियमों जैसे लगते हैं, एक दर्पणों के लिए और दूसरा काँच के लिए। दोनों एक ही कथन से निकलते हैं जो यात्रा-समय के बारे में है, और यह समझना किरण-प्रकाशिकी में प्रवेश का सबसे सीधा रास्ता है।

पहले समय को ही लीजिए। प्रकाश $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में $c / n$ की चाल से चलता है, इसलिए एक छोटी लंबाई $d s$ पार करने में $n d s / c$ समय लगता है। पूरे पथ के इन टुकड़ों को जोड़ने पर उसका यात्रा-समय मिलता है। समाकल $\int n d s$ को प्रकाशिक पथ-लंबाई कहते हैं, और समय उस लंबाई को $c$ से भाग देने पर मिलता है:
$T = \frac{1}{c} \int n d s$

फ़र्मा का सिद्धांत कहता है कि प्रकाश उस पथ का अनुसरण करता है जिस पर $T$ स्थिर (स्टेशनरी) हो। स्थिर का अर्थ है कि पथ में छोटा विरूपण समय को केवल विरूपण के आकार के वर्ग-स्तर पर बदलता है, पहली कोटि पर कभी नहीं, जैसे कोई चिकना फलन किसी घाटी के तल या किसी पहाड़ी की चोटी पर सपाट होता है।

स्थिर का अर्थ न्यूनतम होना ज़रूरी नहीं। किसी दीर्घवृत्ताकार दर्पण के भीतर, एक नाभि से दर्पण तक और फिर दूसरी नाभि तक जाने वाला हर पथ एक ही समय लेता है, इसलिए वे सभी स्थिर हैं। उस दीर्घवृत्त से अधिक कसकर मुड़े दर्पण में, वास्तविक पथ अपने पड़ोसियों में सबसे लंबा होता है, सबसे छोटा नहीं।

प्रकाश को समय की परवाह क्यों करनी चाहिए? क्योंकि प्रकाश एक तरंग है। स्रोत से संसूचक तक जाने वाले हर संभव पथ को लीजिए और हर पथ को एक छोटा तीर दीजिए, यानी एक फ़ेज़र, जो कला $ω T$ से घूमा हुआ हो, जिसे तरंग उस पथ पर संचित करती है, जहाँ $ω$ कोणीय आवृत्ति है। पहुँचने वाला प्रकाश इन सभी तीरों का योग है। पथों को प्राचल $x$ से चिह्नित कीजिए, और $x_{0}$ को स्थिर पथ मानिए, जिसका समय $T_{0}$ है। उसके पास समय केवल वर्गीय रूप से बदलता है, जहाँ $T^{''}$ , $x_{0}$ पर $T$ का द्वितीय अवकलज है:
$T \approx T_{0} + \frac{1}{2} T^{''} (x - x_{0})^{2}$

$x_{0}$ के पास समय लगभग एक-से हैं, इसलिए पड़ोसी तीर लगभग एक ही दिशा में इंगित करते हैं और जुड़ जाते हैं। दूर के पथों पर कला एक पथ से अगले पथ तक तेज़ी से बदलती है, और तीर कसकर कुंडलियों में मुड़कर एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इसलिए जो प्रकाश पहुँचता है वह स्थिर पथ के चारों ओर पथों के एक पट्टे से आता है, जिनके समय का अंतर लगभग आधे आवर्तकाल से कम होता है। यही पट्टा हम किरण कहते हैं। क्वांटम सिद्धांत में वही तीर फ़ोटॉन के प्रायिकता-आयाम हैं।

यात्रा-समय से स्नेल का नियम

फ़र्मा के सिद्धांत का सबसे उपयोगी परिणाम अपवर्तन का नियम है। यह भाग यात्रा-समय को एक संख्या का फलन लिखकर इसे व्युत्पन्न करता है, वह संख्या है वह बिंदु जहाँ प्रकाश सतह पार करता है, और फिर पूछता है कि यह समय कहाँ स्थिर है।

चित्र 1 समस्या को स्थापित करता है। बिंदु $A$ एक समतल सतह से ऊपर ऊँचाई $a$ पर है, और $n_{1}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में है। बिंदु $B$ उसके नीचे गहराई $b$ पर है, $n_{2}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में, और क्षैतिज दिशा में $D$ दूरी आगे। एक ही माध्यम के भीतर सबसे तेज़ पथ सीधी रेखा है, इसलिए हर संभावित पथ सतह के ऊपर और नीचे सीधा है। तब वह एक संख्या से तय हो जाता है: $A$ के आधार से सतह के साथ पार करने के बिंदु तक की दूरी $x$ । हर भुजा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी भुजाएँ सतह के ऊपर $a$ और $x$ हैं और नीचे $b$ और $D - x$ । ठोस सुनहरा पथ सबसे तेज़ है; बिंदुकित पथ सतह को कहीं और पार करते हैं, और उनमें से हर एक अधिक समय लेता है।

पाइथागोरस से भुजाओं की लंबाइयाँ $a^{2} + x^{2}$ और $b^{2} + (D - x)^{2}$ हैं। प्रकाश इन्हें $c / n_{1}$ और $c / n_{2}$ की चाल से पार करता है, इसलिए $x$ पर पार करने वाला पथ लेता है
$T (x) = \frac{n _{1} a ^{2} + x ^{2} + n _{2} b ^{2} + ( D - x ) ^{2}}{c}$
सबसे तेज़ पथ वहाँ है जहाँ यह फलन स्थिर है, इसलिए इसका अवकलज शून्य होना चाहिए। पार करने के बिंदु को दाईं ओर खिसकाने से ऊपर की भुजा लंबी और नीचे की छोटी होती है, और ऋण चिह्न यहीं से आता है:
$\frac{d T}{d x} = \frac{1}{c} (\frac{n _{1} x}{a ^{2} + x ^{2}} - \frac{n _{2} ( D - x )}{b ^{2} + ( D - x ) ^{2}}) = 0$

अब चित्र से दो भिन्न पढ़िए। पार करने के बिंदु पर ऊपर की भुजा अभिलंब (बिंदुकित ऊर्ध्वाधर रेखा) से कोण $θ_{1}$ बनाती है। भुजा $a$ उस अभिलंब के समांतर है, इसलिए $A$ पर भुजा और $a$ के बीच का कोण भी $θ_{1}$ है। इस कोण के सामने की भुजा $x$ है, और पहला भिन्न, यानी सम्मुख भुजा का कर्ण से अनुपात, $x / a^{2} + x^{2} = sin θ_{1}$ है। निचले त्रिभुज में भुजा $b$ भी ऊर्ध्वाधर है, $B$ पर कोण $θ_{2}$ है, सम्मुख भुजा $D - x$ है, और दूसरा भिन्न $(D - x) / b^{2} + (D - x)^{2} = sin θ_{2}$ है। अतः शर्त $d T / d x = 0$ स्नेल का नियम है:
$n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$

क्या यह समय न्यूनतम है? एक बार और अवकलन करने पर दो धनात्मक पदों का योग मिलता है,
$\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = \frac{1}{c} (\frac{n _{1} a ^{2}}{( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}} + \frac{n _{2} b ^{2}}{( b ^{2} + ( D - x ) ^{2} ) ^{3/2}}) > 0$
इसलिए समतल सतह पर स्थिर समय वास्तव में न्यूनतम है।

परावर्तन इन्हीं चरणों से निकलता है। $B$ को सतह के ऊपर रखिए, $A$ के समान माध्यम में, ताकि दोनों भुजाओं का अपवर्तनांक $n_{1}$ हो। तब शर्त बन जाती है $sin θ_{r} = sin θ_{1}$ , जहाँ $θ_{r}$ परावर्तित भुजा और अभिलंब के बीच का कोण है: परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है।

यह सिद्धांत कुछ ऐसा भी पूर्वानुमान करता है जो केवल कोणों से नहीं निकल सकता। जिस माध्यम में प्रकाश अभिलंब की ओर मुड़ता है, उसमें प्रकाश को $n_{2} / n_{1}$ गुणक से धीमा होना चाहिए। न्यूटन का कणिका-मॉडल उसी मोड़ को काँच द्वारा प्रकाश पर खिंचाव से समझाता था, जिससे प्रकाश उसके भीतर तेज़ होता। दोनों चित्र विपरीत चालों का पूर्वानुमान करते हैं; और 1850 में फ़ूको ने मापा कि प्रकाश पानी में हवा की तुलना में धीमा है, जैसा फ़र्मा के सिद्धांत की माँग है।

तरंगाग्र और कला-मिलान

फ़र्मा का सिद्धांत पथों की बात करता है। वही नियम स्वयं तरंग में भी देखा जा सकता है, यानी इस शर्त के रूप में कि सतह के दोनों ओर की तरंगें आपस में जुड़ें। यही दृष्टिकोण व्यापक है: यह मृगमरीचिका की व्याख्या करता है और अपवर्तन को संरक्षण नियमों से जोड़ता है।

चित्र 2 एक ऐसी किरण दिखाता है जो सतह पार करके ऐसे माध्यम में जाती है जहाँ प्रकाश 1.5 गुना धीमा है, यानी $n_{2} / n_{1} = 1.5$ । बैंगनी रेखाएँ तरंगाग्र हैं, यानी समान-कला की रेखाएँ। ये स्रोत से समान यात्रा-समय की भी रेखाएँ हैं, इसलिए ये तरंग-रूप में फ़र्मा का सिद्धांत हैं, और हर तरंगाग्र अपनी किरण के लंबवत है। पड़ोसी तरंगाग्र एक तरंगदैर्ध्य दूर हैं: ऊपरी माध्यम में $λ_{1}$ , और निचले में $λ_{2} = λ_{1} n_{1} / n_{2}$ , क्योंकि दोनों ओर आवृत्ति एक ही है जबकि नीचे चाल कम है। एनिमेशन की विशेषज्ञ परत इस नियम को इसी मिलान-शर्त के रूप में दिखाती है: इसके तरंगाग्र हवा में $λ_{0}$ दूर हैं, जहाँ $λ_{0}$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है, और काँच में $λ_{0} / n$ दूर, यानी 1.5 गुना पास।

अब सतह के साथ देखिए। तरंग सतह पर सतत है, इसलिए ऊपर और नीचे के तरंगाग्र बिना किसी टूट के जुड़ने चाहिए: हर तरंगाग्र दोनों ओर से उसी बिंदु पर सतह तक पहुँचता है। इसलिए पड़ोसी तरंगाग्र दोनों ओर सतह को उतनी ही दूरी $Λ$ पर छूते हैं, यह हरे पट्टे से दर्शाया गया है।

$Λ$ को हर तरंगदैर्ध्य से जोड़िए। तरंगाग्र अपनी किरण के लंबवत है और सतह अभिलंब के लंबवत है, इसलिए तरंगाग्र और सतह के बीच का कोण वही है जो किरण और अभिलंब के बीच का है, यानी सतह के ऊपर $θ_{1}$ । दो पड़ोसी तरंगाग्र और उनके मिलन-बिंदुओं के बीच सतह का टुकड़ा $Λ$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं: $Λ$ उसका कर्ण है, और तरंगाग्रों के बीच का अंतर $λ_{1}$ वह भुजा है जो $θ_{1}$ के सामने है। अतः $λ_{1} = Λ sin θ_{1}$ । सतह के नीचे उसी त्रिभुज से $λ_{2} = Λ sin θ_{2}$ मिलता है। $Λ$ को हटाने पर,
$\frac{λ _{1}}{s i n θ _{1}} = Λ = \frac{λ _{2}}{s i n θ _{2}}$
एनिमेशन के कोणों के लिए, हवा में $5 0^{\circ}$ और काँच में $30. 7^{\circ}$ , दोनों ओर से $Λ = 1.31 λ_{0}$ आता है। दोनों ओर $λ = λ_{0} / n$ लिखने पर यह समीकरण $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ बन जाता है: फिर से स्नेल का नियम।

तरंगाग्रों का झुकाव यह भी दिखाता है कि धीमे माध्यम में किरण अभिलंब की ओर क्यों मुड़ती है। तिरछे तरंगाग्र का एक सिरा सबसे पहले सतह तक पहुँचता है और सबसे पहले धीमा होता है, जबकि दूसरा सिरा ऊपरी माध्यम में अब भी तेज़ चलता है। तरंगाग्र अपने धीमे हुए सिरे के चारों ओर घूमता है, और तरंगाग्र के लंबवत किरण अभिलंब की ओर मुड़ जाती है।

मिलान-शर्त का एक संक्षिप्त रूप भी है। तरंग-सदिश किरण के अनुदिश इंगित करता है और उसका परिमाण $k = nω / c = 2 π / λ$ है। सतह के अनुदिश उसका घटक $k sin θ = 2 π /Λ$ है, इसलिए कला-मिलान कहता है कि यह स्पर्शीय घटक दोनों ओर समान है। यह यांत्रिकी के दो संरक्षण नियमों से मेल खाता है। जो सीमा समय के साथ नहीं बदलती, वह आवृत्ति $ω$ को संरक्षित रखती है, जैसे समय-समरूपता ऊर्जा को संरक्षित रखती है। जो सतह अपनी पूरी लंबाई में एक जैसी दिखती है, वह स्पर्शीय तरंग-सदिश को संरक्षित रखती है, जैसे स्थानांतरण-समरूपता संवेग को।

यह नियम समांतर परतों के किसी भी ढेर पर लागू होता है: एक के बाद एक सीमाएँ पार करते हुए, $n (z) sin θ (z)$ हर ऊँचाई $z$ पर वही रहता है। जहाँ $n$ बढ़ता है, वहाँ $sin θ$ घटता है और किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। ऐसी हवा में जिसका अपवर्तनांक ऊँचाई के साथ धीरे-धीरे बदलता है, किरण इसलिए अधिक $n$ की ओर मुड़ती है। गर्म सड़क के ऊपर ज़मीन के पास की हवा अधिक गर्म और कम अपवर्तनांक वाली होती है, इसलिए आकाश से आने वाला प्रकाश ऊपर की ओर मुड़कर आँख तक पहुँचता है, और सड़क पानी की तरह चमकती दिखती है: यही मृगमरीचिका है।

अपवर्तन कोण बनाम आपतन कोण

स्नेल का नियम कोणों में रैखिक नहीं है। एक कोण का दूसरे के विरुद्ध ग्राफ़ एक नज़र में दिखाता है कि लेंस-सूत्रों का छोटे-कोण वाला नियम कहाँ लागू होता है, कहाँ विफल होता है, और पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहाँ से शुरू होता है।

चित्र 3 अपवर्तन कोण $θ_{2}$ को आपतन कोण $θ_{1}$ के विरुद्ध दर्शाता है, दोनों $0$ से $9 0^{\circ}$ तक, 1.5 अपवर्तनांक वाले काँच के लिए दोनों दिशाओं में। स्नेल के नियम की तरह, $n_{1}$ उस माध्यम का अपवर्तनांक है जिससे प्रकाश आता है और $n_{2}$ उस माध्यम का जिसमें वह प्रवेश करता है।

पहले नीला वक्र देखिए: हवा से काँच में, $n_{1} < n_{2}$ । मूल बिंदु के पास यह ढाल $n_{1} / n_{2} = 0.667$ वाली सीधी रेखा है, क्योंकि छोटे कोणों के लिए $sin θ \approx θ$ होता है और स्नेल का नियम $θ_{2} \approx (n_{1} / n_{2}) θ_{1}$ बन जाता है, वही नियम जो लेंस-सूत्रों के पीछे है। फिर वक्र झुकता है और अंत में, फिसलते आपतन $θ_{1} = 9 0^{\circ}$ पर, $θ_{2} = 41. 8^{\circ}$ पर समाप्त होता है: यह उस क्षैतिज बिंदुकित रेखा की ऊँचाई है जिसे $θ_{c}$ चिह्नित किया गया है। हवा से आने वाला प्रकाश काँच के भीतर अभिलंब से इस कोण से अधिक कभी नहीं चलता।

अब लाल वक्र: काँच से हवा में, $n_{1} > n_{2}$ । यह ढाल 1.5 से शुरू होता है, लगातार तेज़ी से चढ़ता है, और $θ_{1} = θ_{c} = 41. 8^{\circ}$ पर $θ_{2} = 9 0^{\circ}$ तक पहुँचता है, और ऊर्ध्वाधर बिंदुकित रेखा पर रुक जाता है। यही क्रांतिक कोण है, $sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$ । उससे आगे कोई अपवर्तित किरण ही नहीं होती, और सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन।

दोनों वक्र बिंदुकित विकर्ण $θ_{2} = θ_{1}$ में एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं। कारण यह है कि हर प्रकाश-पथ को उलटी दिशा में तय किया जा सकता है: यदि $θ_{1}$ पर हवा से आया प्रकाश $θ_{2}$ पर काँच में प्रवेश करता है, तो काँच के भीतर $θ_{2}$ पर चलने वाला प्रकाश $θ_{1}$ पर हवा में निकलता है, जो अक्षों की अदला-बदली है। इसीलिए दोनों वक्र एक ही कोण $θ_{c}$ पर समाप्त होते हैं।

लाल वक्र अपने अंत के पास इतना खड़ा क्यों ऊपर उठता है? स्नेल के नियम का अवकलन करने पर $n_{1} cos θ_{1} d θ_{1} = n_{2} cos θ_{2} d θ_{2}$ मिलता है, अतः
$\frac{d θ _{2}}{d θ _{1}} = \frac{n _{1} c o s θ _{1}}{n _{2} c o s θ _{2}}$
जैसे-जैसे $θ_{2} \to 9 0^{\circ}$ , हर में कोज्या शून्य की ओर जाती है और ढाल अनंत हो जाती है। $θ_{c}$ के पास आपतित किरण का एक छोटा-सा झुकाव निर्गत किरण को बड़े कोण तक घुमा देता है।

प्रकाश पदार्थ में धीमा क्यों होता है

अब तक अपवर्तनांक $n$ बस दिया गया था। यह भाग बताता है कि वह कहाँ से आता है, और वह रंग पर क्यों निर्भर करता है।

प्रकाश का धीमा होना इस कारण नहीं है कि वह हर परमाणु पर रुकता है। तरंग पदार्थ के इलेक्ट्रॉनों को चलाती है, जो तरंग की आवृत्ति पर दोलन करते हैं और अपनी तरंगें स्वयं विकिरित करते हैं। इन इलेक्ट्रॉनों की एक पतली परत एक दुर्बल तरंग जोड़ती है, जो आपतित तरंग से एक चौथाई चक्र पीछे रहती है। एक चौथाई चक्र पीछे की छोटी तरंग जोड़ने से कुल तरंग की कला थोड़ी पीछे खिसक जाती है, मानो तरंग थोड़ी देर से पहुँची हो। परत-दर-परत ये छोटे विलंब जुड़ते जाते हैं, और कुल तरंग $c / n$ की चाल से चलती है।

जब आवृत्ति इलेक्ट्रॉनों की प्राकृतिक आवृत्तियों के निकट पहुँचती है, तो इलेक्ट्रॉन अधिक प्रबलता से प्रतिक्रिया करते हैं, और काँच के लिए ये प्राकृतिक आवृत्तियाँ पराबैंगनी क्षेत्र में होती हैं। इसलिए अपवर्तनांक आवृत्ति के साथ बढ़ता है: एक सामान्य क्राउन काँच में लाल प्रकाश के लिए लगभग 1.514 और नीले के लिए लगभग 1.522। $n$ की आवृत्ति पर यह निर्भरता विक्षेपण (dispersion) कहलाती है, और इसी से प्रिज़्म सफ़ेद प्रकाश को रंगों में बाँट पाता है। X-किरणों के लिए, जिनकी आवृत्ति अनुनादों से ऊपर है, $n$ 1 से थोड़ा कम है। तब तरंगशिखर $c$ से तेज़ चलते हैं, जो किसी नियम का उल्लंघन नहीं करता: सतत तरंग के तरंगशिखर कोई संकेत नहीं ले जाते।

आयाम, ब्रूस्टर कोण और क्षीण होती तरंग

स्नेल का नियम परावर्तित और अपवर्तित किरणों की दिशाएँ तय करता है, पर यह नहीं बताता कि प्रकाश किस ओर कितना जाता है। यह इस पर निर्भर करता है कि प्रकाश एक विद्युत चुंबकीय तरंग है, और यह समझाता है कि खिड़की थोड़ा प्रकाश क्यों परावर्तित करती है, परावर्तित चकाचौंध ध्रुवित क्यों होती है, और पूर्ण परावर्तक सतह के ठीक पार क्या होता है।

मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के सतह के अनुदिश घटक सतह के आर-पार सतत होने चाहिए। इसे आपतित, परावर्तित और अपवर्तित तरंगों पर लागू करने पर फ़्रेस्नेल समीकरण मिलते हैं, जो परावर्तित और पारगमित अंश देते हैं। ये ध्रुवण पर निर्भर करते हैं, यानी उस दिशा पर जिसमें विद्युत क्षेत्र दोलन करता है। अभिलंब आपतन पर दोनों ध्रुवण एक-से व्यवहार करते हैं, और शक्ति का परावर्तित भाग है
$R = (\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}})^{2} (normal incidence)$
यह काँच के लिए 4.0 %, पानी के लिए 2.0 % और हीरे के लिए 17 % है, और दोनों ओर से समान है, क्योंकि $n_{1}$ और $n_{2}$ की अदला-बदली केवल वर्ग के भीतर चिह्न बदलती है।

तिरछे आपतन पर दोनों ध्रुवण अलग-अलग राह पकड़ते हैं। आपतन तल वह तल है जिसमें आपतित किरण और अभिलंब दोनों हों। एनिमेशन में हवा से काँच में $5 0^{\circ}$ पर, इस तल के लंबवत ध्रुवित प्रकाश (जिसे s कहते हैं) 11.2 % परावर्तित होता है, और उस तल में ध्रुवित प्रकाश (जिसे p कहते हैं) केवल 0.3 %।

ब्रूस्टर कोण $tan θ_{B} = n_{2} / n_{1}$ पर p का परावर्तन पूरी तरह समाप्त हो जाता है: हवा से काँच में यह $56. 3^{\circ}$ है। वहाँ अपवर्तित किरण $33. 7^{\circ}$ पर है, जो परावर्तित किरण की दिशा के ठीक लंबवत है। पिछले भाग के इलेक्ट्रॉन इसका कारण बताते हैं। p प्रकाश के लिए वे अपवर्तित किरण के लंबवत, आपतन तल के भीतर दोलन करते हैं, और ब्रूस्टर कोण पर यह दोलन-रेखा ठीक परावर्तित दिशा की ओर इंगित करती है। एक दोलनशील द्विध्रुव अपनी ही अक्ष के अनुदिश कुछ विकिरित नहीं करता, इसलिए कोई p प्रकाश परावर्तित नहीं होता। इस कोण के आसपास परावर्तित चकाचौंध इसलिए अधिकतर s-ध्रुवित होती है, और इसी कारण ध्रुवीकृत धूप के चश्मे उसे काट देते हैं।

पूर्ण आंतरिक परावर्तन में एक सूक्ष्मता छिपी है। मान लीजिए $n_{1}$ अपवर्तनांक वाले काँच के भीतर का प्रकाश, $θ_{c}$ से आगे, $n_{2}$ अपवर्तनांक वाली हवा की सतह से टकराता है, और निर्वात में तरंग-संख्या को $k_{0} = 2 π / λ_{0}$ लिखिए। कला-मिलान अब भी हवा की ओर स्पर्शीय तरंग-संख्या $n_{1} k_{0} sin θ_{1}$ माँगता है। $θ_{c}$ से आगे यह हवा में उपलब्ध पूरी तरंग-संख्या $n_{2} k_{0}$ से अधिक हो जाती है। सतह के लंबवत घटक का वर्ग $n_{2}^{2} k_{0}^{2} - n_{1}^{2} k_{0}^{2} sin^{2} θ_{1}$ है, इसलिए वह एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है: वह काल्पनिक है। काल्पनिक तरंग-संख्या दोलन नहीं, क्षय का वर्णन करती है। हवा में क्षेत्र सतह से दूरी $z$ के साथ $e^{- z / δ}$ के अनुसार घटता है, जहाँ
$δ = \frac{λ _{0}}{2 π n _{1}^{2} s i n ^{2} θ _{1} - n _{2}^{2}}$

एनिमेशन के काँच के भीतर $5 0^{\circ}$ आपतन पर $δ = 0.28 λ_{0}$ है, यानी 550 nm के हरे प्रकाश के लिए लगभग 155 nm। यही क्षीण होती तरंग है। औसतन यह सतह से दूर ऊर्जा नहीं ले जाती, इसलिए परावर्तन वास्तव में पूर्ण है। परंतु यदि काँच का दूसरा टुकड़ा कुछ $δ$ की दूरी के भीतर लाया जाए, तो क्षीण क्षेत्र उसमें पहुँच जाता है: प्रकाश अंतराल के आर-पार रिसकर निकल जाता है। यह बाधित पूर्ण आंतरिक परावर्तन उसी गणित का पालन करता है जो किसी अवरोध के आर-पार क्वांटम सुरंगन (टनलिंग) का है।

उदाहरण: काँच की छड़ को प्रकाश-नली के रूप में

पूर्ण आंतरिक परावर्तन प्रकाश को किलोमीटरों तक किसी छड़ या तंतु के भीतर बाँध सकता है। यह समस्या बताती है कि बंधन कब काम करता है, कोई तंतु प्रकाश का कितना चौड़ा शंकु स्वीकार करता है, और वह शंकु संकेत-चाल में क्या कीमत लेता है।

चित्र 4 लंबाई $L$ के एक चरण-सूचक (step-index) तंतु को दिखाता है: $n_{1}$ अपवर्तनांक का क्रोड $n_{2} < n_{1}$ अपवर्तनांक के आवरण के भीतर है। प्रकाश समतल सिरे से प्रवेश करता है, जो अक्ष के लंबवत है, यानी बिंदुकित क्षैतिज रेखा। खींची गई किरण वह अंतिम किरण है जो अब भी बंधी है। यह अक्ष से $α_{m a x}$ कोण पर प्रवेश करती है, छायांकित शंकु के किनारे पर, और सिरे पर अपवर्तित होकर क्रोड के भीतर अक्ष से $β_{m a x}$ कोण बनाती है। क्रोड की दीवार अक्ष के समांतर है, इसलिए उसका अभिलंब अक्ष के लंबवत है, और किरण उस अभिलंब से $9 0^{\circ} - β_{m a x}$ कोण पर दीवार से टकराती है। अंतिम किरण के लिए यह ठीक क्रांतिक कोण है: $θ_{c} = 9 0^{\circ} - β_{m a x}$ । शंकु के भीतर की किरण अक्ष से छोटे कोण पर चलती है, दीवार से $θ_{c}$ से अधिक कोण पर टकराती है, और वह भी बंधी रहती है, जैसा चित्र में दीवार-से-दीवार उछलती हुई दिखाई गई है।

पहले नंगी छड़ लीजिए। एनिमेशन के काँच ( $n = 1.50$ ) की एक लंबी छड़ हवा में लीजिए, जिसका समतल सिरा उसकी अक्ष के लंबवत है: हवा स्वयं आवरण का काम करती है। क्या सिरे से किसी भी कोण पर प्रवेश करने वाला प्रकाश बगल से बाहर निकल सकता है?

अक्ष से $α$ कोण पर प्रवेश करने वाली किरण सिरे पर स्नेल के नियम से $β$ तक अपवर्तित होती है, जहाँ $sin β = sin α /1.50$ । यहाँ तक कि स्पर्शी प्रवेश, $α = 9 0^{\circ}$ , पर भी केवल $sin β = 0.667$ मिलता है, इसलिए $β$ कभी $41. 8^{\circ}$ से अधिक नहीं होता। तब किरण पार्श्व दीवार पर दीवार के अभिलंब से $9 0^{\circ} - β \geq 48. 2^{\circ}$ कोण पर टकराती है, जो $θ_{c} = 41. 8^{\circ}$ से अधिक है: जो भी किरण भीतर आती है, वह बंध जाती है। सामान्यतः सबसे तीखी किरण के लिए $sin β_{m a x} = 1/ n$ है, और यदि वह $θ_{c}$ से अधिक कोण पर दीवार से टकराए, तो वह बंधी रहती है, अर्थात $cos β_{m a x} \geq sin θ_{c}$ । $sin θ_{c} = 1/ n$ रखने पर यह $1 - 1/ n^{2} \geq 1/ n$ , या $n \geq 2 = 1.414$ बन जाता है।

नंगी छड़ जहाँ भी धूल या उँगली छूती है, वहीं से प्रकाश रिसता है, क्योंकि वहाँ बाहरी अपवर्तनांक 1 नहीं रहता। इसलिए वास्तविक तंतु अपने क्रोड को थोड़े कम अपवर्तनांक वाले आवरण में लपेटता है, मान लीजिए $n_{1} = 1.50$ के चारों ओर $n_{2} = 1.46$ । अब $sin θ_{c} = 1.46/1.50 = 0.973$ और $θ_{c} = 76. 7^{\circ}$ है, इसलिए क्रोड के भीतर किरण अक्ष से अधिकतम $β_{m a x} = 13. 3^{\circ}$ कोण बना सकती है। सिरे पर स्नेल का नियम, बाहर हवा होने पर, $sin α_{m a x} = n_{1} sin β_{m a x}$ देता है, और $sin β_{m a x} = cos θ_{c} = 1 - n_{2}^{2} / n_{1}^{2}$ । अतः सिरा केवल ऐसी किरणें स्वीकार करता है जिनके लिए
$sin α_{m a x} = n_{1} cos θ_{c} = n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = 1.5 0^{2} - 1.4 6^{2} = 0.344$
हो, यानी अर्ध-कोण $20. 1^{\circ}$ वाला एक शंकु। चित्र 4 में शंकु कहीं अधिक चौड़ा है, क्योंकि चित्र अपवर्तनांकों का अंतर बढ़ाकर दिखाता है। ज्या 0.344 को तंतु की संख्यात्मक एपर्चर (numerical aperture) कहते हैं।

एक शंकु स्वीकार करने की कीमत यह है कि अलग-अलग कोणों की किरणें अलग-अलग लंबाई तय करती हैं। $L = 1.00 km$ पर अक्षीय किरण को $n_{1} L / c = 5.00 μ s$ लगते हैं। सबसे तीखी बँधी किरण एक टेढ़े-मेढ़े पथ पर चलती है, जो $1/ cos β_{m a x}$ गुना लंबा है; चूँकि $cos β_{m a x} = sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$ , यह गुणक $n_{1} / n_{2}$ है, और यह किरण 5.14 μs लेती है। अतः तंतु में भेजी गई एक छोटी स्पंद बाहर 137 ns में फैलकर निकलती है, इसलिए स्पंदों के बीच कम से कम इतना अंतर होना चाहिए ताकि वे अलग रहें: 1 km पर लगभग प्रति सेकंड 70 लाख। दूरसंचार तंतु इससे बचने के लिए केवल लगभग 9 μm चौड़े क्रोड बनाते हैं, जो तरंग का केवल एक मोड वहन करते हैं, और वहाँ किरण-चित्र विफल हो जाता है।

वैधता की सीमाएँ

किरण-प्रकाशिकी एक मॉडल है, और यह जानना उपयोगी है कि वह कहाँ काम करना बंद करता है।

यह तरंग-प्रकाशिकी की लघु-तरंगदैर्ध्य सीमा है। पहले भाग में मिली, किरण के चारों ओर योगदान देने वाले पथों की पट्टी, लंबाई $L$ पर लगभग $λ L$ चौड़ी होती है: 500 nm के प्रकाश के लिए 1 m पर 0.7 mm। इस पट्टी से संकरा कोई छिद्र उसमें कटाव डालता है, और किरण-चित्र टूट जाता है। उदाहरण के लिए, $a = 0.1 mm$ चौड़ाई की एक दरार ऐसी किरण-पुंज को लगभग $λ / a = 0.005 rad$ , यानी 0.3° फैला देती है: यही विवर्तन है।

एकल अपवर्तनांक $n$ यह भी मानता है कि माध्यम रैखिक (उसकी प्रतिक्रिया क्षेत्र के समानुपाती है), समदैशिक (हर दिशा में एक-सा) और अनवशोषी है। इनमें से हर धारणा टूट सकती है। कैल्साइट समदैशिक नहीं है: उसके दो अपवर्तनांक हैं, चरम पर 1.486 और 1.658, इसलिए उसमें प्रवेश करने वाली एक किरण दो में बँट जाती है। धातुओं में $n$ सम्मिश्र होता है, और प्रकाश कुछ दर्जन नैनोमीटर में ही मर जाता है। अंत में, एक चलती सीमा उस काल-समरूपता को तोड़ देती है जो आवृत्ति को संरक्षित रखती थी: चाल $u$ से पीछे हटता दर्पण परावर्तित प्रकाश की आवृत्ति को लगभग $2 u / c$ भाग घटा देता है।

इससे आगे कहाँ

फ़र्मा का सिद्धांत लेंस और दर्पण की ओर ले जाता है, जहाँ फ़ोकस वह बिंदु है जिस तक अनेक पथ ठीक एक ही समय में पहुँचते हैं। विक्षेपण प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग का विषय है, और ब्रूस्टर कोण प्रकाश का ध्रुवण में फिर आता है। स्वयं प्रकाश-तरंग का वर्णन विद्युत चुंबकीय तरंगें में है, किरण-चित्र की विफलता विवर्तन और द्वि-झिरी में, और बाधित परावर्तन का क्वांटम समतुल्य श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन में।

वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व में सूर्य अपने पास से गुज़रते तारे के प्रकाश को 1.75 आर्कसेकंड मोड़ देता है, मानो उसके चारों ओर के अंतरिक्ष का अपवर्तनांक $n \approx 1 + 2 GM / (r c^{2})$ हो, जहाँ $M$ सूर्य का द्रव्यमान है और $r$ उसके केंद्र से दूरी। और पहले भाग का स्थिर-कला तर्क, जिससे किरणें तरंगों से उभरती हैं, वही तर्क है जिससे शास्त्रीय यांत्रिकी अपने न्यूनतम-क्रिया सिद्धांत सहित क्वांटम यांत्रिकी से उभरती है।

मुख्य सूत्र

अपवर्तनांक

n = \frac{c}{v}

अपवर्तनांक बताता है कि प्रकाश किसी पदार्थ में निर्वात की तुलना में कितने गुना धीमा चलता है। यह दो चालों का अनुपात है, इसलिए इसका कोई मात्रक नहीं होता। यह यह भी बताता है कि कोई सीमा प्रकाश को कितना मोड़ती है, क्योंकि स्नेल का नियम केवल सीमा के दोनों ओर के अपवर्तनांकों पर निर्भर करता है।

चिह्न
$n$	पदार्थ का अपवर्तनांक
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$
$v$	पदार्थ में प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: पारदर्शी, समांग और समदैशिक पदार्थों के लिए। यहाँ $v$ एक ही आवृत्ति की तरंग के शिखरों की चाल है, इसलिए $n$ रंग के साथ थोड़ा बदलता है; दृश्य प्रकाश के लिए यह 1 से अधिक है, और X-किरणों के लिए थोड़ा कम।

उदाहरण: एनिमेशन के काँच में $v = 3.00 \times 1 0^{8} /1.50 = 2.00 \times 1 0^{8} m/s$ ; पानी में $v = 3.00 \times 1 0^{8} /1.33 = 2.26 \times 1 0^{8} m/s$ ।

परावर्तन का नियम

θ_{r} = θ_{1} (reflection)

परावर्तित किरण अभिलंब से उसी कोण पर निकलती है जिस कोण पर आपतित किरण पहुँची थी, पर अभिलंब के दूसरी ओर और उसी तल में। सतह के साथ तरंग-प्रारूप पहले और बाद में एक जैसा रहना चाहिए, और एक ही माध्यम में इसका अर्थ है समान कोण। दर्पण के रास्ते स्रोत से आँख तक पहुँचने का यह सबसे कम समय वाला पथ भी है।

चिह्न
$θ_{r}$	परावर्तन कोण, अभिलंब से	$rad$
$θ_{1}$	आपतन कोण, अभिलंब से	$rad$

कब लागू होता है: चिकनी सतह के लिए, जिसकी अनियमितताएँ तरंगदैर्ध्य से बहुत छोटी हों। खुरदरी सतह हर छोटे फलक पर इसका पालन करती है, पर फलक अलग-अलग दिशाओं में होते हैं, इसलिए परावर्तन विसरित होता है।

उदाहरण: एनिमेशन में हल्की परावर्तित किरण ठीक $5 0^{\circ}$ पर निकलती है, जिस कोण पर आपतित किरण पहुँची थी।

स्नेल का अपवर्तन नियम

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

सीमा के दोनों ओर $n sin θ$ का गुणनफल समान रहता है। यह नियम चाल के परिवर्तन से आता है: तरंगाग्र का जो भाग पहले धीमे माध्यम में प्रवेश करता है, वह पीछे रह जाता है, जिससे तरंगाग्र मुड़ जाता है; समतुल्य रूप से, अपवर्तित किरण न्यूनतम समय वाले पथ पर चलती है। अधिक अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है, और बाहर निकलने पर उससे दूर।

चिह्न
$n_{1}$	जिस माध्यम से प्रकाश आता है, उसका अपवर्तनांक
$θ_{1}$	आपतन कोण, अभिलंब से	$rad$
$n_{2}$	जिस माध्यम में प्रकाश प्रवेश करता है, उसका अपवर्तनांक
$θ_{2}$	अपवर्तन कोण, अभिलंब से	$rad$

कब लागू होता है: पारदर्शी, समदैशिक माध्यमों के बीच की चिकनी सीमा पर, उन सभी कोणों पर जिनके लिए हल मौजूद है: यदि $n_{1} sin θ_{1} > n_{2}$ हो, तो कोई अपवर्तित किरण नहीं होती (पूर्ण आंतरिक परावर्तन)। दोनों कोण अभिलंब से मापे जाते हैं।

उदाहरण: हवा से काँच में $5 0^{\circ}$ पर: $sin θ_{2} = 0.766/1.50 = 0.511$ , अतः $θ_{2} = 30. 7^{\circ}$ , जैसा एनिमेशन में है।

क्रांतिक कोण

sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}} (n_{1} > n_{2})

अधिक अपवर्तनांक वाले माध्यम से कम अपवर्तनांक वाले माध्यम में जाते समय अपवर्तित किरण आपतित किरण से अधिक दूर मुड़ती है। क्रांतिक कोण पर अपवर्तित किरण सतह को स्पर्श करती हुई निकलती है, यानी $θ_{2} = 9 0^{\circ}$ और $sin θ_{2} = 1$ , और तब स्नेल का नियम यही सूत्र देता है। इससे बड़े आपतन कोणों पर कोई अपवर्तित किरण नहीं होती और सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है।

चिह्न
$θ_{c}$	क्रांतिक कोण, अभिलंब से	$rad$
$n_{2}$	कम अपवर्तनांक, बाहरी माध्यम का
$n_{1}$	अधिक अपवर्तनांक, उस माध्यम का जिसमें प्रकाश चलता है

कब लागू होता है: केवल तब जब प्रकाश अधिक अपवर्तनांक से कम अपवर्तनांक की ओर जाए, यानी $n_{1} > n_{2}$ ; दूसरी ओर से स्नेल के नियम का हल हमेशा होता है। यदि कोई दूसरा माध्यम सतह के लगभग एक तरंगदैर्ध्य के भीतर आ जाए, तो परावर्तन पूर्ण नहीं रहता।

उदाहरण: काँच से हवा में: $sin θ_{c} = 1/1.50$ , अतः $θ_{c} = 41. 8^{\circ}$ ; एनिमेशन का $5 0^{\circ}$ इससे बड़ा है, इसलिए सारा प्रकाश परावर्तित होता है। पानी से हवा में: $48. 8^{\circ}$ ।

माध्यम में तरंगदैर्ध्य

λ = \frac{λ _{0}}{n}

आवृत्ति स्रोत तय करता है और सीमा पर यह बदल नहीं सकती, क्योंकि दोनों ओर के क्षेत्रों को एक साथ दोलन करना होता है। चूँकि $v = f λ$ है और चाल $n$ गुना घट जाती है, इसलिए तरंगदैर्ध्य भी उतने ही गुना घटती है। रंग आवृत्ति से जुड़ा है, इसलिए प्रकाश पानी या काँच में अपना रंग नहीं बदलता।

चिह्न
$λ$	माध्यम में तरंगदैर्ध्य	$m$
$λ_{0}$	निर्वात में तरंगदैर्ध्य	$m$
$n$	माध्यम का अपवर्तनांक

कब लागू होता है: किसी भी पारदर्शी माध्यम के लिए, दी गई आवृत्ति पर। चूँकि $n$ आवृत्ति पर निर्भर करता है, हर रंग थोड़े अलग गुणक से घटता है।

उदाहरण: 550 nm के हरे प्रकाश की एनिमेशन के काँच में तरंगदैर्ध्य $λ = 550/1.50 \approx 367 nm$ है।

अभिलंब आपतन पर परावर्तकता

R = (\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}})^{2} (normal incidence)

जब प्रकाश सीमा से सीधे टकराता है तो उसके शक्ति-भाग का कितना हिस्सा परावर्तित होता है। यह केवल दोनों अपवर्तनांकों के अंतर पर निर्भर करता है, इस पर नहीं कि प्रकाश किस ओर से आता है, और यह मैक्सवेल के समीकरणों से आता है, जो सतह के साथ क्षेत्रों को सतत रखते हैं। छोटा अंतर कम परावर्तन देता है, और समान अपवर्तनांकों पर सीमा अदृश्य हो जाती है।

चिह्न
$R$	आपतित शक्ति का परावर्तित भाग
$n_{1}$	आपतन ओर का अपवर्तनांक
$n_{2}$	दूसरी ओर का अपवर्तनांक

कब लागू होता है: केवल चिकनी, अनवशोषी सतह पर अभिलंब आपतन के लिए। अन्य कोणों पर यह भाग ध्रुवण पर निर्भर करता है और फिसलते आपतन पर 1 तक पहुँचता है; पतली परतें व्यतिकरण से इसे बदल देती हैं।

उदाहरण: हवा और काँच: $R = (0.50/2.50)^{2} = 0.04$ , यानी खिड़की के काँच की हर सतह से 4 % प्रकाश परावर्तित होता है।

शब्दावली

किरण: प्रकाश की एक आदर्श पतली धारा, जिसे उस दिशा में खिंची रेखा से दिखाया जाता है जिसमें प्रकाश-ऊर्जा चलती है; समांग माध्यम में यह सीधी और तरंगाग्रों के लंबवत होती है। किरण-चित्र तभी मान्य है जब छिद्र और सतहें तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ी हों।
अभिलंब: वह रेखा जो उस बिंदु पर सतह के लंबवत हो, जहाँ कोई किरण सतह से मिलती है। प्रकाशिकी में सभी कोण अभिलंब से मापे जाते हैं, सतह से नहीं: सतह से 40° पर आई किरण का आपतन कोण 50° होता है।
आपतन तल: वह तल जिसमें आपतित किरण और अभिलंब दोनों हों। परावर्तित और अपवर्तित किरणें इसी तल में होती हैं, और ध्रुवण इसी के सापेक्ष बताया जाता है: इसके लंबवत को s और इसमें स्थित को p कहते हैं।
दर्पण और विसरित परावर्तन: चिकनी सतह समांतर किरण-पुंज को समांतर पुंज के रूप में लौटाती है (दर्पण-परावर्तन) और प्रतिबिंब बनाती है। तरंगदैर्ध्य के पैमाने पर खुरदरी सतह हर किरण को अलग झुकाव वाले फलक से लौटाती है (विसरित परावर्तन), इसलिए कागज़ हर जगह से दिखता है पर उसमें प्रतिबिंब नहीं बनता।
अपवर्तन: सीमा पार करते समय प्रकाश की दिशा में बदलाव, जब उसकी चाल भी बदलती है। अभिलंब के अनुदिश आती किरण धीमी होती है पर मुड़ती नहीं; समांग माध्यम में किरण सीधी रहती है।
स्नेल का नियम: अपवर्तन का नियम $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ : अपवर्तनांक और कोण की ज्या का गुणनफल सीमा के दोनों ओर समान रहता है। यह ज्याओं को संबंधित करता है, स्वयं कोणों को नहीं।
प्रकाशिक रूप से सघन माध्यम: दो माध्यमों में वह जिसका अपवर्तनांक अधिक हो और जिसमें प्रकाश धीमा चले। इसका घनत्व से संबंध नहीं: जैतून का तेल पानी पर तैरता है, फिर भी $n \approx 1.47$ (पानी के 1.33 की तुलना में) के कारण वह प्रकाश को अधिक मोड़ता है।
क्रांतिक कोण: अधिक अपवर्तनांक वाले माध्यम के भीतर वह आपतन कोण जिस पर अपवर्तित किरण सतह को बस छूती है: $sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$ । काँच से हवा में यह $41. 8^{\circ}$ है और पानी से हवा में $48. 8^{\circ}$ ।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन: कम अपवर्तनांक वाले माध्यम की सीमा पर क्रांतिक कोण से बड़े आपतन कोण पर प्रकाश का पूरा परावर्तन: कोई अपवर्तित किरण नहीं बनती और प्रकाश का कोई भाग नष्ट नहीं होता। इसी से प्रकाश प्रकाशिक तंतुओं में चलता है और दूरबीन के प्रिज़्मों में मुड़ता है।
फ़र्मा का सिद्धांत: प्रकाश एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऐसे पथ पर चलता है जिसका समय $T = \frac{1}{c} \int n d s$ स्थिर (स्थिर-मान) हो: पथ में छोटे बदलाव पहली कोटि तक समय नहीं बदलते। परावर्तन और अपवर्तन, दोनों के नियम इसी से निकलते हैं।
ब्रूस्टर कोण: वह आपतन कोण जिस पर आपतन तल में ध्रुवित प्रकाश बिल्कुल परावर्तित नहीं होता: $tan θ_{B} = n_{2} / n_{1}$ । हवा से काँच में यह $56. 3^{\circ}$ है। तब परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत होती हैं।
क्षीण होती तरंग (evanescent wave): पूर्ण आंतरिक परावर्तन के समय सतह के पार पहुँचने वाला क्षेत्र, जो एक तरंगदैर्ध्य के अंश में ही घट जाता है और सीमा के पार ऊर्जा नहीं ले जाता। यदि दूसरी सतह इतने पास लाई जाए, तो कुछ प्रकाश उसमें सुरंगित हो जाता है: बाधित पूर्ण आंतरिक परावर्तन।

राशियाँ
$n$	अपवर्तनांक		पदार्थ में प्रकाश निर्वात की तुलना में कितने गुना धीमा है, $n = c / v$ : हवा के लिए 1.00, पानी के लिए 1.33, और एनिमेशन के काँच के लिए 1.50। सूत्रों में $n_{1}$ उस माध्यम का अपवर्तनांक है जिससे प्रकाश आता है, और $n_{2}$ दूसरे माध्यम का।
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$	हर रंग और हर प्रेक्षक के लिए समान, $2.998 \times 1 0^{8} m/s$ , जिसे आम तौर पर $3.00 \times 1 0^{8} m/s$ लिखा जाता है।
$v$	माध्यम में प्रकाश की चाल	$m/s$	पदार्थ के भीतर तरंग-शिखरों की चाल, $v = c / n$ : एनिमेशन के काँच में $2.00 \times 1 0^{8} m/s$ ।
$θ_{1}$	आपतन कोण	$rad$	आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण, आम तौर पर अंशों में दिया जाता है: एनिमेशन में $5 0^{\circ}$ ( $0.873 rad$ )।
$θ_{r}$	परावर्तन कोण	$rad$	परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण, जो सदा $θ_{1}$ के बराबर होता है।
$θ_{2}$	अपवर्तन कोण	$rad$	अपवर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण, दूसरे माध्यम में: एनिमेशन में $30. 7^{\circ}$ ।
$θ_{c}$	क्रांतिक कोण	$rad$	अधिक अपवर्तनांक वाली ओर का आपतन कोण, जिससे आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: काँच से हवा में $41. 8^{\circ}$ ।
$λ_{0}$	निर्वात में तरंगदैर्ध्य	$m$	निर्वात में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $λ_{0} = c / f$ ; यह रंग बताती है, लगभग 380 nm (बैंगनी) से 750 nm (लाल) तक।
$λ$	माध्यम में तरंगदैर्ध्य	$m$	पदार्थ के भीतर लगातार शिखरों के बीच की दूरी, $λ = λ_{0} / n$ : निर्वात से छोटी, क्योंकि तरंग धीमी है जबकि उसकी आवृत्ति वही रहती है।
$R$	परावर्तकता		आपतित प्रकाश-शक्ति का परावर्तित भाग: अभिलंब आपतन पर हवा और काँच के लिए 0.04, और क्रांतिक कोण से आगे ठीक 1।

क्विज़

शुरुआती हवा से पानी में तिरछे प्रवेश करने पर प्रकाश का क्या होता है?
1. वह तेज़ हो जाता है और अभिलंब से दूर मुड़ता है
2. वह धीमा हो जाता है और अभिलंब की ओर मुड़ता है
3. उसकी चाल वही रहती है, पर रंग बदल जाता है
4. वह दिशा बदले बिना सीधा चलता रहता है
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उत्तर: B. वह धीमा हो जाता है और अभिलंब की ओर मुड़ता है
पानी में प्रकाश धीमा होता है, इसलिए प्रवेश करते समय किरण अभिलंब की ओर मुड़ जाती है, जैसे कीचड़ में पहुँचकर चलते सैनिक धीमे होकर मुड़ जाते हैं।
शुरुआती गिलास के पानी में खड़ा स्ट्रॉ सतह पर टूटा हुआ क्यों दिखता है?
1. पानी के नीचे वाले भाग से आने वाला प्रकाश पानी से बाहर निकलते समय मुड़ता है
2. पानी केवल स्ट्रॉ के ऊपरी भाग को बड़ा दिखाता है
3. स्ट्रॉ पानी में सचमुच मुड़ जाता है
4. प्रकाश गिलास के तले से परावर्तित होता है
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उत्तर: A. पानी के नीचे वाले भाग से आने वाला प्रकाश पानी से बाहर निकलते समय मुड़ता है
पानी के नीचे वाले भाग से आने वाला प्रकाश जल-सतह पर अपवर्तित होता है, इसलिए आपकी आँख उसे एक विस्थापित स्थान से आता हुआ समझती है।
शुरुआती प्रकाशिक तंतु (ऑप्टिकल फ़ाइबर) पतले काँच के धागे के भीतर प्रकाश को कैसे रोके रखते हैं?
1. काँच बाहर निकलने की कोशिश करने वाले प्रकाश को सोख लेता है
2. धातु की परत दर्पण की तरह काम करती है
3. प्रकाश दीवार से इतने तिरछे कोण पर टकराता है कि वह पूरी तरह वापस परावर्तित हो जाता है
4. प्रकाश ठीक अक्ष के अनुदिश चलता है और दीवार को कभी नहीं छूता
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उत्तर: C. प्रकाश दीवार से इतने तिरछे कोण पर टकराता है कि वह पूरी तरह वापस परावर्तित हो जाता है
तंतु के भीतर प्रकाश दीवार को बहुत तिरछे कोण पर छूते हुए चलता है, जो क्रांतिक कोण से अधिक है, इसलिए वह बार-बार पूरी तरह परावर्तित होता है। किसी दर्पण-परत की ज़रूरत नहीं पड़ती: काँच के क्रोड को एक ऐसे दूसरे काँच से लपेटा जाता है जिसमें प्रकाश तेज़ चलता है।
मध्यम प्रकाश हवा से काँच (n = 1.5) में अभिलंब से 30° के कोण पर प्रवेश करता है। अपवर्तन कोण क्या है?
1. 45°
2. 30°
3. 19.5°
4. 20°
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उत्तर: C. 19.5°
sin θ₂ = sin 30° / 1.5 = 0.5 / 1.5 = 0.333, अतः θ₂ = 19.5°। स्वयं कोण को 1.5 से भाग देकर (20°) प्राप्त करना एक आम गलती है।
मध्यम पानी (n = 1.33) में प्रकाश की चाल कितनी है?
1. लगभग 2.26·10⁸ m/s
2. लगभग 3.99·10⁸ m/s
3. 3.00·10⁸ m/s, जो हवा में भी उतनी ही है
4. लगभग 1.33·10⁸ m/s
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उत्तर: A. लगभग 2.26·10⁸ m/s
v = c / n = 3.00·10⁸ / 1.33 ≈ 2.26·10⁸ m/s। जिस माध्यम का n > 1 है, उसमें प्रकाश धीमा होता है, कभी तेज़ नहीं।
मध्यम प्रकाश के हवा से काँच में तिरछे जाने पर कौन-सी राशि नहीं बदलती?
1. चाल
2. तरंगदैर्ध्य
3. दिशा
4. आवृत्ति
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उत्तर: D. आवृत्ति
आवृत्ति स्रोत तय करता है, और सतह पर क्षेत्रों को आपस में तालमेल बनाए रखना होता है; चाल और तरंगदैर्ध्य दोनों n से भाग देने पर घट जाते हैं।
उन्नत हवा में प्रकाश काँच (n = 1.50) पर आपतित होता है। किस आपतन कोण पर परावर्तित प्रकाश में आपतन-तल के भीतर का ध्रुवण शून्य होता है (ब्रूस्टर कोण)?
1. 41.8°
2. 33.7°
3. 0°, अर्थात अभिलंब आपतन पर
4. 56.3°
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उत्तर: D. 56.3°
tan θB = n₂ / n₁ = 1.50, अतः θB = 56.3°; तब परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत होती हैं (56.3° + 33.7° = 90°)। 41.8° क्रांतिक कोण है (केवल काँच → हवा के लिए), 33.7° काँच के भीतर से देखा गया ब्रूस्टर कोण है, और अभिलंब आपतन पर भी लगभग 4% प्रकाश परावर्तित होता है।
उन्नत हुइगेन्स चित्र में तरंगाग्र सतह पर क्यों मुड़ते हैं?
1. सतह पर उनकी आवृत्ति बदल जाती है
2. तरंगाग्र का हर भाग काँच में प्रवेश करते ही धीमा हो जाता है, जबकि बाकी भाग अभी हवा में होता है
3. परावर्तन तरंगाग्र को पीछे धकेलता है
4. सघन माध्यम में तरंगदैर्ध्य बढ़ जाती है
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उत्तर: B. तरंगाग्र का हर भाग काँच में प्रवेश करते ही धीमा हो जाता है, जबकि बाकी भाग अभी हवा में होता है
तरंगाग्र का जो भाग काँच में प्रवेश कर चुका है वह c/n की चाल से चलता है, जबकि बाकी भाग अब भी c से चलता है, इसलिए तरंगाग्र मुड़ जाता है; सीमा पर तरंगाग्रों का मेल स्नेल के नियम तक ले जाता है।

$A$	पथ का आरंभ, सतह से ऊपर ऊँचाई $a$ पर।
$B$	पथ का अंत, सतह के नीचे गहराई $b$ पर।
$a$	सतह के ऊपर $A$ की ऊँचाई।	$m$
$b$	सतह के नीचे $B$ की गहराई।	$m$
$D$	$A$ से $B$ तक की क्षैतिज दूरी।	$m$
$x$	$A$ के आधार से पार करने के बिंदु तक सतह के साथ दूरी।	$m$
$D - x$	शेष क्षैतिज दूरी: पार करने के बिंदु से $B$ के आधार तक।	$m$
$θ_{1}$	पहले भाग और अभिलंब (बिंदुकित ऊर्ध्वाधर रेखा) के बीच का कोण।	$rad$
$θ_{2}$	दूसरे भाग और अभिलंब के बीच का कोण।	$rad$
$n_{1}$	ऊपरी माध्यम का अपवर्तनांक।
$n_{2}$	निचले माध्यम का अपवर्तनांक।

$λ_{1}$	ऊपरी माध्यम में तरंगदैर्ध्य: वहाँ पड़ोसी तरंगाग्रों के बीच की दूरी।	$m$
$λ_{2}$	निचले माध्यम में तरंगदैर्ध्य: $λ_{2} = λ_{1} n_{1} / n_{2}$ , वहाँ प्रकाश धीमा होने से छोटी।	$m$
$Λ$	वे बिंदु जहाँ पड़ोसी तरंगाग्र सतह से मिलते हैं, उनके बीच सतह के साथ दूरी; दोनों ओर समान।	$m$
$θ_{1}$	आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण; तरंगाग्र और सतह के बीच का कोण भी।	$rad$
$θ_{2}$	अपवर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण।	$rad$
$n_{1}$	ऊपरी माध्यम का अपवर्तनांक।
$n_{2}$	निचले, प्रकाशिक रूप से सघन माध्यम (छायांकित) का अपवर्तनांक।

$θ_{1}$	आपतन कोण, अभिलंब से मापा गया।	$rad$
$θ_{2}$	अपवर्तन कोण, अभिलंब से मापा गया।	$rad$
$θ_{c}$	काँच से हवा में क्रांतिक कोण, $sin θ_{c} = 1/1.5$ ; वह कोण भी जिस पर हवा से काँच वाला वक्र समाप्त होता है।	$rad$
$n_{1}$	जिस माध्यम से प्रकाश आता है, उसका अपवर्तनांक।
$n_{2}$	जिस माध्यम में प्रकाश प्रवेश करता है, उसका अपवर्तनांक।

$n_{1}$	क्रोड का अपवर्तनांक।
$n_{2}$	आवरण का अपवर्तनांक, जो $n_{1}$ से कम है।
$α_{m a x}$	अक्ष से अधिकतम वह कोण जिस पर सिरे से प्रवेश करने वाला प्रकाश अब भी बंधा रहता है।	$rad$
$β_{m a x}$	क्रोड के भीतर, $α_{m a x}$ पर प्रविष्ट किरण का अक्ष से कोण।	$rad$
$θ_{c}$	क्रोड की दीवार पर क्रांतिक कोण, $sin θ_{c} = n_{2} / n_{1}$ : सबसे बाहरी किरण दीवार को अभिलंब से ठीक इसी कोण पर छूती है।	$rad$
$L$	तंतु की लंबाई।	$m$