Reflexão e refração

Iniciante

Passo 1, a normal. Onde um raio de luz atinge uma superfície, imagine uma reta saindo perpendicularmente da superfície naquele ponto. Ela se chama normal, e todos os ângulos da óptica são medidos a partir dela, não da superfície.

Passo 2, reflexão. Um raio que ricocheteia numa superfície lisa sai no mesmo ângulo em relação à normal com que chegou, como uma bola de sinuca rebatendo na tabela. Um espelho é liso, então todos os raios ricocheteiam juntos e você vê uma imagem nítida. O papel é áspero em escala minúscula: a luz sai em todas as direções, por isso você enxerga a página de qualquer lugar da sala, mas nunca o seu rosto nela.

Passo 3, refração. Quando a luz passa para a água ou o vidro de forma inclinada, ela muda de direção na superfície. A razão é a velocidade: a luz é mais lenta no vidro. Pense num carrinho de supermercado rolando em ângulo do piso liso para um tapete: a roda que chega primeiro ao tapete é desacelerada primeiro, e o carrinho gira. A regra: no lado mais lento, o raio fica mais perto da normal.

Na animação, o ponto amarelo deixa uma marca branca a cada quarto de segundo. Dentro do vidro, as marcas se amontoam: luz mais lenta, passos mais curtos. Repare no raio fraco que também volta.

Passo 4, luz presa. Ao sair do vidro, um raio se afasta da normal. Incline-o o suficiente e ele não consegue sair de jeito nenhum: tudo é refletido de volta para dentro. Essa reflexão interna total guia a luz pelas fibras ópticas.

Teste você mesmo: um raio vai da água para o ar. Ele fica mais perto ou mais longe da normal? (Mais longe: a luz é mais rápida no ar.)

Intermediário

Raios, a normal e o índice de refração

Um feixe estreito de luz pode ser desenhado como um raio, uma linha na direção em que a energia da luz se propaga. Onde um raio encontra uma superfície, trace a normal, a reta perpendicular à superfície naquele ponto. Todos os ângulos da óptica são medidos a partir da normal, nunca da superfície: o ângulo de incidência ${\theta }_1$, o ângulo de reflexão ${\theta }_r$ e o ângulo de refração ${\theta }_2$. O raio refletido e o raio refratado ficam no plano de incidência, que contém o raio incidente e a normal.

O índice de refração compara a velocidade da luz no vácuo, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, com sua velocidade $v$ no material:
$n=\frac{c}{v}$

O ar tem $n=1,0003$, arredondado para 1,00; a água tem 1,33, o vidro comum cerca de 1,5 (a animação usa 1,50) e o diamante 2,42. Entre dois meios, aquele com o maior $n$ é chamado de opticamente mais denso.

As leis da reflexão e da refração

Numa fronteira lisa, parte da luz é refletida e parte entra no segundo meio. Suas direções obedecem a duas leis:

• ${\theta }_r={\theta }_1\text{(reflection)}$
• $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

O raio refletido sai do outro lado da normal, no ângulo com que a luz chegou. A segunda lei é a lei de Snell da refração, descrita por Ibn Sahl em Bagdá por volta de 984, redescoberta por Willebrord Snell em 1621 e publicada por Descartes em 1637.

Na lei de Snell, o produto $n\sin \theta$ é o mesmo dos dois lados. Ao entrar num meio de $n$ maior, $\sin \theta$ deve diminuir, então o raio se aproxima da normal; ao entrar num meio de $n$ menor, ele se afasta. Um raio que chega ao longo da normal segue em linha reta, embora ainda desacelere, e todo caminho da luz pode ser percorrido ao contrário.

A frequência $f$, determinada pela fonte, nunca muda na fronteira. Como $v=f\lambda$, o comprimento de onda diminui na mesma proporção que a velocidade:
$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n}$
onde ${\lambda }_0$ é o comprimento de onda no vácuo. A luz verde de 550 nm tem comprimento de onda de cerca de 367 nm no vidro da animação, e continua verde: a cor depende da frequência.

Por que a luz mais lenta se desvia

Imagine uma frente de onda plana chegando à superfície; ela forma com a superfície o mesmo ângulo ${\theta }_1$ que o raio forma com a normal. Uma extremidade toca a superfície em $A$. Enquanto a outra extremidade percorre seu último trecho, $v_1\Delta t$ no ar, para alcançar a superfície em $B$, a luz que entrou em $A$ avança apenas $v_2\Delta t$ para dentro do vidro. A nova frente começa em $B$ e apenas tangencia o círculo de raio $v_2\Delta t$ em torno de $A$: a onda virou.

Os dois triângulos retângulos compartilham o lado mais longo, a hipotenusa, o trecho $AB$ de comprimento $L$ ao longo da superfície, então
$\sin {\theta }_1=\frac{v_1\Delta t}{L},\sin {\theta }_2=\frac{v_2\Delta t}{L}$
Dividindo, obtemos $\sin {\theta }_1/\sin {\theta }_2=v_1/v_2=n_2/n_1$, que é a lei de Snell: a imagem do carrinho de supermercado, agora exata.

Exemplo resolvido: o raio da animação

Na primeira parte da animação, a luz vai do ar, $n_1=1,00$, para o vidro, $n_2=1,50$, com ${\theta }_1=50^{\circ }$. A lei de Snell dá
$\sin {\theta }_2=\frac{n_1\sin {\theta }_1}{n_2}=\frac{1,00\cdot 0,766}{1,50}=0,511,{\theta }_2=30,7^{\circ }$
Essa é a igualdade $1,00\sin 50^{\circ }=1,50\sin 30,7^{\circ }$ na tela. O raio gira $50^{\circ }-30,7^{\circ }=19,3^{\circ }$ em direção à normal tracejada, enquanto o raio refletido fraco sai a $50^{\circ }$ do outro lado dela.

O painel cai de $3,00\times 10^8$ para $v=c/n=2,00\times 10^{8}m/s$ quando o ponto entra no vidro; assim, as marcas brancas que ele deixa a cada quarto de segundo ficam ali a apenas dois terços da distância: mesmo tempo, menos distância.

Qual é o brilho do raio fraco? Para luz que chega ao longo da normal, a fração da potência refletida é
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(normal incidence)}$
Para ar e vidro, $R=(0,50/2,50{)}^2=0,04$, ou 4 %. A $50^{\circ }$ fica em torno de 6 %, e cresce até 100 % na incidência rasante: um lago espelha a margem oposta, mas você vê as pedras aos seus pés.

Reflexão interna total

Na segunda parte da animação, a luz percorre o interior do vidro, agora com $n_1=1,50$, em direção ao ar, $n_2=1,00$. A lei de Snell diz $\sin {\theta }_2=1,50\sin {\theta }_1$: o raio sai mais afastado da normal do que chegou, e tangencia a superfície, ${\theta }_2=90^{\circ }$, no ângulo crítico
$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}(n_1>n_2)$
Para vidro e ar, $\sin {\theta }_c=1/1,50=0,667$, então ${\theta }_c=41,8^{\circ }$.

Além de ${\theta }_c$, a lei de Snell exigiria $\sin {\theta }_2>1$: não há raio refratado, e toda a luz é refletida. O raio da animação encontra a superfície a $50^{\circ }$, onde $1,50\sin 50^{\circ }=1,15$; a tela mostra ${\theta }_1=50^{\circ }>{\theta }_c=41,8^{\circ }$, e o feixe inteiro retorna ao vidro. Essa reflexão total não perde nada, e só pode ocorrer do lado de índice mais alto.

Exemplo resolvido: uma lâmpada numa piscina

Uma pequena lâmpada está no fundo de uma piscina de 2,0 m de profundidade. Quanta superfície ela ilumina, o que um nadador vê olhando para cima e quão funda parece a piscina vista de cima?

Da água para o ar, $\sin {\theta }_c=1,00/1,33=0,752$, então ${\theta }_c=48,8^{\circ }$. Só escapam os raios dentro de um cone com esse semiângulo; assim, a área iluminada é um círculo de raio $r=d\tan {\theta }_c=2,0\cdot 1,14=2,28\mathrm{m}$, onde $d$ é a profundidade; além disso, a superfície vista de baixo é um espelho perfeito. Percorra os raios ao contrário: um nadador olhando para cima vê o céu inteiro comprimido numa janela de $2{\theta }_c=97,5^{\circ }$ de largura, cercada pelo reflexo do fundo da piscina.

Olhando diretamente para baixo, você recebe raios próximos da normal, onde $\sin \theta \approx \theta$. Um raio que sai da água fica inclinado $n$ vezes mais do que dentro dela; traçado de volta, parece vir de um ponto apenas $1/n$ tão fundo. A piscina parece ter $2,0/1,33=1,50\mathrm{m}$ de profundidade, um quarto menos do que tem.

Erros comuns

• Os ângulos são medidos a partir da normal, não da superfície. Um raio a $40^{\circ }$ da superfície do vidro tem ${\theta }_1=50^{\circ }$; usar 40° na lei de Snell dá 25,4° em vez de 30,7°.
• A lei de Snell relaciona senos, não ângulos. Dividir 30° por 1,5 dá 20° em vez de 19,5°; a 50°, o atalho dá 33,3° em vez de 30,7°.
• A luz mantém sua cor na água ou no vidro. A luz laranja de 600 nm tem comprimento de onda de 400 nm no vidro de índice 1,50, mas sua frequência, $5,0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, não muda.
• A reflexão interna total exige luz que vai de um índice mais alto para um mais baixo. Ao entrar no vidro vindo do ar, mesmo a 89°, o raio entra a 41,8°.
• Opticamente mais denso não significa mais pesado. O azeite flutua sobre a água, mas, com $n\approx 1,47$ contra 1,33 da água, desvia mais a luz.

Onde você encontra isso

As fibras ópticas levam o tráfego da internet como luz presa por reflexão interna total. Os prismas de binóculos recebem a luz a $45^{\circ }$, acima do ângulo crítico de $41,8^{\circ }$, por isso refletem melhor do que espelhos prateados. O diamante, com $n=2,42$ e ${\theta }_c=24,4^{\circ }$, aprisiona a luz e devolve grande parte dela pela face superior, e por isso brilha. As miragens sobre estradas quentes surgem porque a luz se curva gradualmente no ar de índice variável.

Como $n$ depende um pouco da cor, um prisma separa a luz branca, assunto de Prismas, dispersão e cor. As fronteiras curvas que formam imagens são vistas em Lentes e espelhos e em O olho, câmeras e telescópios, e a polarização da luz refletida em Polarização da luz.

Avançado

Princípio de Fermat do tempo estacionário

Reflexão e refração parecem duas regras separadas, uma para espelhos e outra para vidro. Ambas decorrem de uma única afirmação sobre o tempo de percurso, e entender por quê é o caminho mais direto para a óptica de raios.

Comecemos pelo próprio tempo. A luz se move a $c/n$ num meio de índice de refração $n$, então percorrer um trecho curto $ds$ leva $nds/c$. Somando essas parcelas ao longo de um caminho inteiro, obtém-se o tempo de percurso. A integral $\int nds$ é chamada de caminho óptico, e o tempo é esse caminho dividido por $c$:
$T=\frac{1}{c}\int nds$

O princípio de Fermat diz que a luz segue um caminho para o qual $T$ é estacionário. Estacionário significa que uma pequena deformação do caminho altera o tempo apenas em segunda ordem no tamanho da deformação, nunca em primeira ordem, assim como uma função suave é plana no fundo de um vale ou no topo de uma colina.

Estacionário nem sempre é mínimo. Em um espelho com forma de elipse, todo caminho de um foco até o espelho e daí até o outro foco leva o mesmo tempo, então todos são estacionários. Em um espelho mais curvo que essa elipse, o caminho real é o mais longo entre seus vizinhos, não o mais curto.

Por que a luz se importaria com o tempo? Porque a luz é uma onda. Tome todos os caminhos concebíveis da fonte até o detector e dê a cada um uma pequena seta, um fasor, girada pela fase $\omega T$ que a onda acumula ao longo dele, onde $\omega$ é a frequência angular. A luz que chega é a soma de todas essas setas. Identifique os caminhos por um parâmetro $x$, e seja $x_0$ o caminho estacionário, com tempo $T_0$. Perto dele, o tempo varia apenas quadraticamente, com $T^{\prime \prime }$ a segunda derivada de $T$ em $x_0$:
$T\approx T_0+\frac{1}{2}{T}^{\prime \prime }(x-x_0{)}^2$

Perto de $x_0$ os tempos quase não diferem, então setas vizinhas apontam quase na mesma direção e se somam. Mais longe, a fase muda cada vez mais rápido de um caminho para o próximo, e as setas se enrolam em espirais apertadas que se cancelam. O que chega, portanto, vem de uma faixa de caminhos em torno do estacionário cujos tempos diferem em menos de cerca de meio período. Essa faixa é o que chamamos de raio. Na teoria quântica, as mesmas setas são as amplitudes de probabilidade de um fóton.

A lei de Snell a partir do tempo de percurso

A consequência mais útil do princípio de Fermat é a lei da refração. Esta seção deduz a lei escrevendo o tempo de percurso como função de um único número, o ponto onde a luz cruza a superfície, e perguntando onde esse tempo é estacionário.

Legenda

$A$	Início da rota, a uma altura $a$ acima da superfície.
$B$	Fim da rota, a uma profundidade $b$ abaixo da superfície.
$a$	Altura de $A$ acima da superfície.	$\mathrm{m}$
$b$	Profundidade de $B$ abaixo da superfície.	$\mathrm{m}$
$D$	Distância horizontal de $A$ a $B$.	$\mathrm{m}$
$x$	Distância ao longo da superfície, do pé de $A$ até o ponto de cruzamento.	$\mathrm{m}$
$D-x$	O restante da distância horizontal: do ponto de cruzamento até o pé de $B$.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Ângulo entre o primeiro trecho e a normal à superfície (a reta vertical tracejada).	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ângulo entre o segundo trecho e a normal.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Índice de refração do meio superior.
$n_2$	Índice de refração do meio inferior.

A figura 1 monta o problema. O ponto $A$ está a uma altura $a$ acima de uma superfície plana, em um meio de índice $n_1$. O ponto $B$ está a uma profundidade $b$ abaixo dela, em um meio de índice $n_2$, a uma distância horizontal $D$ adiante. Dentro de um meio, a rota mais rápida é uma reta, então toda rota candidata é reta acima da superfície e reta abaixo dela. Ela fica então fixada por um número: a distância $x$ ao longo da superfície, desde o pé de $A$ até o ponto de cruzamento. Cada trecho é a hipotenusa de um triângulo retângulo, com catetos $a$ e $x$ acima da superfície e $b$ e $D-x$ abaixo dela. A rota dourada contínua é a mais rápida; as rotas tracejadas cruzam a superfície em outro lugar, e cada uma leva mais tempo.

Pelo teorema de Pitágoras, os trechos têm comprimentos $\sqrt{a^2+x^2}$ e $\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}$. A luz os percorre com $c/n_1$ e $c/n_2$, então a rota que cruza em $x$ leva
$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}{c}$
A rota mais rápida está onde essa função é estacionária, então sua derivada deve se anular. Mover o ponto de cruzamento para a direita alonga o trecho superior e encurta o inferior, e daí vem o sinal de menos:
$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(D-x)}{\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}\right)=0$

Agora leia as duas frações na figura. No ponto de cruzamento, o trecho superior faz o ângulo ${\theta }_1$ com a normal, a reta vertical tracejada. O lado $a$ é paralelo a essa normal, então o ângulo em $A$ entre o trecho e $a$ também é ${\theta }_1$. O lado oposto a esse ângulo é $x$, e a primeira fração, cateto oposto sobre hipotenusa, é $x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin {\theta }_1$. No triângulo inferior, o lado $b$ também é vertical, o ângulo em $B$ é ${\theta }_2$, o cateto oposto é $D-x$, e a segunda fração é $(D-x)/\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}=\sin {\theta }_2$. A condição $dT/dx=0$ é, portanto, a lei de Snell:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Esse tempo é um mínimo? Derivando mais uma vez, obtém-se uma soma de dois termos positivos,
$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_1{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{n_2{b}^2}{(b^2+(D-x{)}^2{)}^{3/2}}\right)>0$
então, numa superfície plana, o tempo estacionário é um mínimo verdadeiro.

A reflexão segue dos mesmos passos. Coloque $B$ acima da superfície, no mesmo meio que $A$, de modo que ambos os trechos tenham índice $n_1$. A condição então se torna $\sin {\theta }_r=\sin {\theta }_1$, onde ${\theta }_r$ é o ângulo entre o trecho refletido e a normal: o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.

O princípio também prevê algo que os ângulos sozinhos não conseguem. A luz deve ser mais lenta, pelo fator $n_2/n_1$, no meio para o qual ela se dobra em direção à normal. O modelo corpuscular de Newton explicava a mesma curvatura por uma atração do vidro sobre a luz, o que a tornaria mais rápida no interior. As duas ideias preveem velocidades opostas, e em 1850 Foucault mediu que a luz é mais lenta na água do que no ar, como exige o princípio de Fermat.

Frentes de onda e casamento de fase

O princípio de Fermat fala de caminhos. A mesma lei pode ser vista na própria onda, como a condição de que as ondas dos dois lados da superfície se encaixem. Essa visão é a que generaliza: explica miragens e liga a refração a leis de conservação.

Legenda

${\lambda }_1$	Comprimento de onda no meio superior: a distância entre frentes de onda vizinhas ali.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Comprimento de onda no meio inferior: ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$, menor porque a luz é mais lenta ali.	$\mathrm{m}$
$\Lambda$	Distância ao longo da superfície entre os pontos em que frentes vizinhas a encontram, igual dos dois lados.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Ângulo entre o raio incidente e a normal; também o ângulo entre uma frente e a superfície.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ângulo entre o raio refratado e a normal.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Índice de refração do meio superior.
$n_2$	Índice de refração do meio inferior, opticamente mais denso (sombreado).

A figura 2 mostra um feixe cruzando a superfície para um meio em que a luz é 1,5 vez mais lenta, $n_2/n_1=1,5$. As linhas roxas são frentes de onda, linhas de mesma fase. Elas também são linhas de mesmo tempo de percurso a partir da fonte, portanto são o princípio de Fermat na forma de onda, e cada frente é perpendicular ao seu raio. Frentes vizinhas estão separadas por um comprimento de onda: ${\lambda }_1$ no meio superior e ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$ no inferior, porque a frequência é a mesma dos dois lados, mas a velocidade é menor embaixo. O nível avançado da animação mostra a lei como essa condição de casamento: suas frentes estão separadas por ${\lambda }_0$ no ar, onde ${\lambda }_0$ é o comprimento de onda no vácuo, e por ${\lambda }_0/n$, 1,5 vez mais próximas, no vidro.

Agora olhe ao longo da superfície. A onda é contínua através dela, então as frentes de cima e de baixo devem se juntar sem interrupção: cada frente atinge a superfície no mesmo ponto, vista dos dois lados. Frentes vizinhas, portanto, tocam a superfície à mesma distância $\Lambda$ uma da outra dos dois lados, indicada pela barra verde.

Relacione $\Lambda$ a cada comprimento de onda. Uma frente é perpendicular ao seu raio e a superfície é perpendicular à normal, então o ângulo entre uma frente e a superfície é igual ao ângulo entre o raio e a normal, ${\theta }_1$ acima da superfície. Duas frentes vizinhas e o trecho $\Lambda$ da superfície entre seus pontos de encontro formam um triângulo retângulo: $\Lambda$ é sua hipotenusa, e a distância entre as frentes, ${\lambda }_1$, é o cateto oposto a ${\theta }_1$. Logo ${\lambda }_1=\Lambda \sin {\theta }_1$. Abaixo da superfície, o mesmo triângulo dá ${\lambda }_2=\Lambda \sin {\theta }_2$. Eliminando $\Lambda$,
$\frac{{\lambda }_1}{\sin {\theta }_1}=\Lambda =\frac{{\lambda }_2}{\sin {\theta }_2}$
Para os ângulos da animação, $50^{\circ }$ no ar e $30,7^{\circ }$ no vidro, os dois lados dão $\Lambda =1,31{\lambda }_0$. Escrevendo $\lambda ={\lambda }_0/n$ em cada lado, a equação se torna $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$: a lei de Snell mais uma vez.

A inclinação das frentes também mostra por que o raio se aproxima da normal no meio mais lento. Uma extremidade de uma frente oblíqua atinge a superfície primeiro e é desacelerada primeiro, enquanto a outra ainda se move rápido no meio superior. A frente gira em torno da extremidade desacelerada, e o raio, perpendicular à frente, se volta para a normal.

A condição de casamento tem uma forma compacta. O vetor de onda aponta ao longo do raio e tem módulo $k=n\omega /c=2\pi /\lambda$. Sua componente ao longo da superfície é $k\sin \theta =2\pi /\Lambda$, então o casamento de fase diz que essa componente tangencial é a mesma dos dois lados. Isso espelha duas leis de conservação da mecânica. Uma fronteira que não muda no tempo conserva a frequência $\omega$, assim como a simetria temporal conserva a energia. Uma superfície que parece igual ao longo de todo o seu comprimento conserva o vetor de onda tangencial, assim como a simetria de translação conserva a quantidade de movimento.

A regra vale para qualquer pilha de camadas paralelas: ao atravessar uma fronteira após outra, $n(z)\sin \theta (z)$ permanece o mesmo em cada altura $z$. Onde $n$ cresce, $\sin \theta$ diminui e o raio se aproxima da normal. No ar cujo índice varia suavemente com a altura, um raio, portanto, se curva em direção a $n$ maior. Sobre uma estrada quente, o ar perto do chão é mais quente e seu índice é menor, então a luz do céu se curva para cima até o olho, e a estrada parece brilhar como água: uma miragem.

Ângulo de refração contra ângulo de incidência

A lei de Snell não é linear nos ângulos. Um gráfico de um ângulo contra o outro mostra de relance onde vale a regra de pequenos ângulos das fórmulas de lentes, onde ela falha e onde começa a reflexão total.

Legenda

${\theta }_1$	Ângulo de incidência, medido a partir da normal.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ângulo de refração, medido a partir da normal.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Ângulo crítico do vidro para o ar, $\sin {\theta }_c=1/1,5$; também o ângulo em que a curva do ar para o vidro termina.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Índice de refração do meio de onde vem a luz.
$n_2$	Índice de refração do meio em que ela entra.

A figura 3 traça o ângulo de refração ${\theta }_2$ contra o ângulo de incidência ${\theta }_1$, de $0$ a $90^{\circ }$, para vidro de índice 1,5 nos dois sentidos. Como na lei de Snell, $n_1$ é o índice do meio de onde vem a luz, e $n_2$ o do meio em que ela entra.

Siga primeiro a curva azul: do ar para o vidro, $n_1<n_2$. Perto da origem, é uma reta de inclinação $n_1/n_2=0,667$, porque para pequenos ângulos $\sin \theta \approx \theta$ e a lei de Snell se torna ${\theta }_2\approx (n_1/n_2){\theta }_1$, a regra por trás das fórmulas de lentes. A curva então se achata e termina, na incidência rasante ${\theta }_1=90^{\circ }$, em ${\theta }_2=41,8^{\circ }$: a altura da reta horizontal tracejada marcada com ${\theta }_c$. A luz vinda do ar nunca viaja dentro do vidro com mais que esse ângulo em relação à normal.

Agora a curva vermelha: do vidro para o ar, $n_1>n_2$. Ela começa com inclinação 1,5, sobe cada vez mais rápido e atinge ${\theta }_2=90^{\circ }$ em ${\theta }_1={\theta }_c=41,8^{\circ }$, onde para na reta vertical tracejada. Esse é o ângulo crítico, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$. Além dele não há raio refratado algum, e toda a luz é refletida: reflexão interna total.

As duas curvas são imagens especulares uma da outra na diagonal tracejada ${\theta }_2={\theta }_1$. A razão é que todo caminho da luz pode ser percorrido ao contrário: se a luz vinda do ar em ${\theta }_1$ entra no vidro em ${\theta }_2$, a luz dentro do vidro em ${\theta }_2$ sai para o ar em ${\theta }_1$, o que troca os eixos. Por isso o mesmo ângulo ${\theta }_c$ termina as duas curvas.

Por que a curva vermelha sobe tão abruptamente perto do fim? Derivando a lei de Snell, obtém-se $n_1\cos {\theta }_{1}d{\theta }_1=n_2\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2$, então
$\frac{d{\theta }_2}{d{\theta }_1}=\frac{n_1\cos {\theta }_1}{n_2\cos {\theta }_2}$
Conforme ${\theta }_2\to 90^{\circ }$, o cosseno no denominador vai a zero e a inclinação diverge. Perto de ${\theta }_c$, uma pequena inclinação do raio incidente faz o raio emergente girar por um ângulo grande.

Por que a luz é mais lenta na matéria

Até aqui o índice $n$ foi simplesmente dado. Esta seção explica de onde ele vem e por que depende da cor.

A desaceleração não é a luz parando em cada átomo. A onda faz oscilar os elétrons do material, que vibram na frequência da onda e irradiam ondas próprias. Uma camada fina desses elétrons acrescenta uma onda fraca que fica atrasada um quarto de ciclo em relação à onda incidente. Somar uma pequena onda atrasada em um quarto de ciclo desloca levemente para trás a fase do total, como se a onda tivesse chegado um pouco atrasada. Camada após camada, esses pequenos atrasos se acumulam, e a onda total viaja a $c/n$.

Os elétrons respondem com mais intensidade à medida que a frequência se aproxima de suas frequências naturais, que para o vidro ficam no ultravioleta. O índice, portanto, sobe com a frequência: cerca de 1,514 para a luz vermelha e 1,522 para a azul em um vidro crown comum. Essa dependência de $n$ com a frequência chama-se dispersão, e é ela que permite a um prisma separar a luz branca em cores. Para raios X, cuja frequência está acima das ressonâncias, $n$ é um pouco menor que 1. As cristas então se movem mais rápido que $c$, o que não quebra lei alguma: as cristas de uma onda contínua e regular não transportam sinal.

Amplitudes, ângulo de Brewster e a onda evanescente

A lei de Snell fixa as direções dos raios refletido e refratado, mas não quanto de luz vai para cada lado. Isso depende de a luz ser uma onda eletromagnética, e explica por que uma janela reflete um pouco, por que o brilho refletido é polarizado e o que acontece logo além de uma superfície de reflexão total.

As equações de Maxwell exigem que as componentes dos campos elétrico e magnético paralelas à superfície sejam contínuas através dela. Aplicando isso às ondas incidente, refletida e refratada, obtêm-se as equações de Fresnel, que dão as frações refletida e transmitida. Elas dependem da polarização, a direção em que o campo elétrico oscila. Em incidência normal, as duas polarizações se comportam igualmente, e a fração refletida da potência é
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(normal incidence)}$
Isso dá 4,0 % para o vidro, 2,0 % para a água e 17 % para o diamante, o mesmo de qualquer lado, pois trocar $n_1$ por $n_2$ só muda o sinal dentro do quadrado.

Na incidência oblíqua, as duas polarizações se separam. O plano de incidência é o plano que contém o raio incidente e a normal. Na incidência de $50^{\circ }$ da animação, do ar para o vidro, a luz polarizada perpendicularmente a esse plano (chamada s) é refletida a 11,2 %, e a luz polarizada nesse plano (chamada p) apenas a 0,3 %.

A reflexão p desaparece por completo no ângulo de Brewster, $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$: $56,3^{\circ }$ do ar para o vidro. Ali o raio refratado, a $33,7^{\circ }$, é exatamente perpendicular à direção do raio refletido. Os elétrons da seção anterior explicam por quê. Para a luz p, eles oscilam perpendicularmente ao raio refratado, dentro do plano de incidência, e no ângulo de Brewster essa linha de oscilação aponta exatamente na direção do raio refletido. Um dipolo oscilante não irradia nada ao longo do próprio eixo, então nenhuma luz p é refletida. O brilho refletido perto desse ângulo é, portanto, em sua maior parte polarizado em s, e é por isso que óculos de sol polarizados o eliminam.

A reflexão interna total esconde uma sutileza. Tome luz dentro do vidro de índice $n_1$, incidindo sobre uma superfície com o ar, de índice $n_2$, além de ${\theta }_c$, e escreva $k_0=2\pi /{\lambda }_0$ para o número de onda no vácuo. O casamento de fase ainda exige o número de onda tangencial $n_1{k}_0\sin {\theta }_1$ do lado do ar. Além de ${\theta }_c$, isso excede $n_2{k}_0$, todo o número de onda disponível no ar. A componente normal à superfície, cujo quadrado é $n_2^2{k}_0^2-n_1^2{k}_0^2{\sin }^2{\theta }_1$, é então a raiz quadrada de um número negativo: ela é imaginária. Um número de onda imaginário descreve decaimento, não oscilação. O campo no ar cai com a distância $z$ da superfície como $e^{-z/\delta }$, com
$\delta =\frac{{\lambda }_0}{2\pi \sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1-n_2^2}}$

Em uma incidência de $50^{\circ }$ dentro do vidro da animação, $\delta =0,28{\lambda }_0$, cerca de 155 nm para a luz verde de 550 nm. Essa é a onda evanescente. Em média ela não leva energia para longe da superfície, então a reflexão é realmente total. Mas aproxime um segundo bloco de vidro a menos de alguns $\delta$ e o campo evanescente o alcança: a luz vaza através do vão. Essa reflexão interna total frustrada segue a mesma matemática do tunelamento quântico através de uma barreira.

Problema resolvido: uma haste de vidro como guia de luz

A reflexão interna total pode aprisionar luz dentro de uma haste ou fibra por quilômetros. Este problema descobre quando o aprisionamento funciona, quão largo é o cone de luz que uma fibra aceita e o que esse cone custa em velocidade de sinal.

Legenda

$n_1$	Índice de refração do núcleo.
$n_2$	Índice de refração do revestimento, menor que $n_1$.
${\alpha }_{\max }$	Maior ângulo em relação ao eixo para o qual a luz que entra pela face terminal ainda fica aprisionada.	$\mathrm{rad}$
${\beta }_{\max }$	Ângulo em relação ao eixo, dentro do núcleo, do raio que entrou em ${\alpha }_{\max }$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Ângulo crítico na parede do núcleo, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$: o raio extremo atinge a parede exatamente nesse ângulo em relação à normal.	$\mathrm{rad}$
$L$	Comprimento da fibra.	$\mathrm{m}$

A figura 4 mostra uma fibra de índice em degrau de comprimento $L$: um núcleo de índice $n_1$ dentro de um revestimento de índice $n_2<n_1$. A luz entra pela face terminal plana, perpendicular ao eixo, a linha horizontal tracejada. O raio desenhado é o extremo que ainda fica aprisionado. Ele entra no ângulo ${\alpha }_{\max }$ em relação ao eixo, na borda do cone sombreado, e se refrata na face terminal até o ângulo ${\beta }_{\max }$ em relação ao eixo, dentro do núcleo. A parede do núcleo é paralela ao eixo, então sua normal é perpendicular ao eixo, e o raio atinge a parede a $90^{\circ }-{\beta }_{\max }$ dessa normal. Para o raio extremo, isso é exatamente o ângulo crítico: ${\theta }_c=90^{\circ }-{\beta }_{\max }$. Um raio dentro do cone viaja em ângulo menor com o eixo, atinge a parede a mais de ${\theta }_c$ e também fica aprisionado, saltando de parede em parede como desenhado.

Comece com uma haste nua. Tome uma haste longa do vidro da animação, $n=1,50$, no ar, com uma face terminal plana perpendicular ao eixo: o próprio ar faz o papel do revestimento. Algum raio que entre na extremidade em qualquer ângulo consegue escapar pela lateral?

Um raio que entra em ângulo $\alpha$ com o eixo se refrata para $\beta$, com $\sin \beta =\sin \alpha /1,50$ pela lei de Snell na face terminal. Mesmo na entrada rasante, $\alpha =90^{\circ }$, isso dá apenas $\sin \beta =0,667$, então $\beta$ nunca passa de $41,8^{\circ }$. O raio atinge a parede lateral a $90^{\circ }-\beta \ge 48,2^{\circ }$ da normal da parede, além de ${\theta }_c=41,8^{\circ }$: todo raio que entra fica aprisionado. Em geral, o raio mais inclinado tem $\sin {\beta }_{\max }=1/n$, e fica aprisionado se atinge a parede além de ${\theta }_c$, ou seja, se $\cos {\beta }_{\max }\ge \sin {\theta }_c$. Com $\sin {\theta }_c=1/n$, isso se lê $\sqrt{1-1/n^2}\ge 1/n$, ou $n\ge \sqrt{2}=1,414$.

Uma haste nua vaza onde poeira ou um dedo a tocam, porque ali o índice externo deixa de ser 1. Uma fibra real, por isso, envolve seu núcleo em um revestimento de índice um pouco menor, digamos $n_2=1,46$ em torno de $n_1=1,50$. Agora $\sin {\theta }_c=1,46/1,50=0,973$ e ${\theta }_c=76,7^{\circ }$, de modo que dentro do núcleo o raio pode fazer no máximo ${\beta }_{\max }=13,3^{\circ }$ com o eixo. A lei de Snell na face terminal, com ar do lado de fora, dá $\sin {\alpha }_{\max }=n_1\sin {\beta }_{\max }$, e $\sin {\beta }_{\max }=\cos {\theta }_c=\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}$. Então a extremidade aceita apenas raios com
$\sin {\alpha }_{\max }=n_1\cos {\theta }_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1,50^2-1,46^2}=0,344$
um cone de semiângulo $20,1^{\circ }$. Na figura 4, o cone é muito mais largo, porque a figura exagera a diferença entre os índices. O seno, 0,344, é chamado de abertura numérica da fibra.

O preço de aceitar um cone é que raios em ângulos diferentes percorrem comprimentos diferentes. Em $L=1,00\mathrm{km}$, o raio axial leva $n_{1}L/c=5,00\mu \mathrm{s}$. O raio aprisionado mais inclinado ziguezagueia por um caminho mais longo, pelo fator $1/\cos {\beta }_{\max }$; como $\cos {\beta }_{\max }=\sin {\theta }_c=n_2/n_1$, esse fator é $n_1/n_2$, e o raio leva 5,14 μs. Um pulso curto enviado à fibra sai, portanto, espalhado por 137 ns, então os pulsos precisam estar separados por pelo menos esse intervalo para permanecerem distintos: cerca de 7 milhões por segundo em 1 km. As fibras de telecomunicação evitam isso com núcleos de apenas cerca de 9 μm de largura, que transportam um único modo da onda, e aí o modelo de raios falha.

Limites de validade

A óptica de raios é um modelo, e vale saber onde ela deixa de funcionar.

Ela é o limite de comprimento de onda curto da óptica ondulatória. A faixa de caminhos contribuintes em torno de um raio, encontrada na primeira seção, tem largura de cerca de $\sqrt{\lambda L}$ ao longo de um comprimento $L$: 0,7 mm para luz de 500 nm em 1 m. Uma abertura mais estreita que essa faixa a corta, e a imagem de raios se rompe. Uma fenda de largura $a=0,1\mathrm{mm}$, por exemplo, espalha um feixe assim em cerca de $\lambda /a=0,005\mathrm{rad}$, ou 0,3°: isso é difração.

Um único índice $n$ também supõe que o meio seja linear (sua resposta é proporcional ao campo), isotrópico (igual em todas as direções) e não absorvente. Cada suposição pode falhar. A calcita não é isotrópica: tem dois índices, 1,486 e 1,658 nos extremos, então um raio que entra nela se divide em dois. Nos metais, $n$ é complexo, e a luz se extingue em algumas dezenas de nanômetros. Por fim, uma fronteira em movimento quebra a simetria temporal que conservava a frequência: um espelho que se afasta com velocidade $u$ reduz a frequência da luz refletida em uma fração de cerca de $2u/c$.

Para onde isso leva

O princípio de Fermat leva a Lentes e espelhos, onde um foco é um ponto que muitos caminhos alcançam exatamente no mesmo tempo. A dispersão é o assunto de Prismas, dispersão e cor, e o ângulo de Brewster reaparece em Polarização da luz. A própria onda luminosa é descrita em Ondas eletromagnéticas, a falha dos raios em Difração e fenda dupla, e a contraparte quântica da reflexão frustrada em Equação de Schrödinger e tunelamento.

Em A gravidade como espaço-tempo curvo, o Sol desvia a luz de estrelas que passa rente a ele em 1,75 segundos de arco, como se o espaço ao redor dele tivesse um índice de refração $n\approx 1+2GM/(r{c}^2)$, onde $M$ é a massa do Sol e $r$ a distância ao seu centro. E o argumento da fase estacionária da primeira seção, pelo qual os raios emergem das ondas, é o mesmo argumento pelo qual a mecânica clássica, com seu princípio da ação mínima, emerge da mecânica quântica.