Призмы, дисперсия и цвет

Начальный

Шаг 1: белый — это смесь. Солнечный свет кажется бесцветным, но в нём сразу все цвета радуги. В 1666 году Исаак Ньютон пропустил солнечный луч через стеклянную призму и получил полосу цветов, всегда в одном и том же порядке: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, синий, фиолетовый. Такая полоса называется спектром.

Шаг 2: у каждого цвета своя скорость в стекле. В пустоте все цвета летят одинаково быстро, но стекло сильнее всего тормозит фиолетовый и слабее всего — красный. Поскольку преломление вызвано замедлением, фиолетовый отклоняется сильнее всех, а красный — меньше всех. Такое разделение цветов при преломлении называют дисперсией. Плоское оконное стекло тоже чуть-чуть разделяет цвета, но вторая, параллельная грань сводит эффект на нет; у призмы же наклонные грани его складывают, и веер раскрывается широко.

В анимации фонарь светит белым светом в призму: посмотрите, как пучок проходит стекло и раскрывается веером, рисуя спектр на столе.

Шаг 3: радуга. Каждая дождевая капля — крошечная призма с зеркалом на задней стенке: свет входит, отражается от задней стороны капли и выходит разделённым, каждый цвет под своим углом, около 42°. Поэтому радугу видно, только когда Солнце за спиной, а дождь впереди, и красный цвет оказывается снаружи дуги.

Шаг 4: цвета предметов. Спелый помидор кажется красным, потому что поглощает большинство цветов и отражает в основном красный. А вот световые пучки складываются: красный, зелёный и синий вместе кажутся белым — так экран телефона составляет любой цвет из трёх видов крошечных точек.

Проверьте себя: каким покажется спелый помидор в чисто синем свете? (Почти чёрным: красного света, который он мог бы отразить, нет.)

Средний

Показатель преломления, длина волны и дисперсия

В вакууме свет любого цвета распространяется со скоростью $c=3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$. В прозрачном веществе он движется медленнее, со скоростью $v$, а показатель преломления говорит, во сколько раз медленнее:
$n=\frac{c}{v}$

При переходе через границу частота $f$ света не меняется, потому что заряды по ту сторону границы колеблются в такт приходящей волне; а раз $v=f\lambda$, уменьшается длина волны, причём в $n$ раз. Цвет определяется частотой, поэтому цвета обозначают длиной волны $\lambda$ в вакууме: около 700 нм для красного ($f=4,3\times 10^{14}\mathrm{Гц}$) и 400 нм для фиолетового.

Для каждого цвета показатель немного свой, и эта разница и есть дисперсия. В стекле и воде он растёт к коротким волнам по эмпирическому правилу:
$n(\lambda )\approx A+\frac{B}{{\lambda }^2}\text{(формула Коши)}$
Призма в анимации сделана из тяжёлого флинта с $A=1,700$ и $B=16000\mathrm{н}{\mathrm{м}}^2$, поэтому $n_{\mathrm{кр}}=1,700+16000/700^2=1,733$ и $n_{\mathrm{фиол}}=1,700+16000/400^2=1,800$. Дисперсия воды слабее: 1,3305 для красного и 1,3435 для фиолетового. Эти малые разности, 0,067 и 0,013, — всё, что разводит цвета.

Два преломления в призме

На каждой грани выполняется закон Снеллиуса, причём все углы отсчитывают от нормали к этой грани:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$
Для призмы с преломляющим углом $\alpha$ в воздухе луч прослеживают в три шага:

• $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$
• ${\theta }_3=\alpha -{\theta }_2$
• $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$

Средний шаг — геометрия: луч внутри стекла и две нормали к граням образуют треугольник, третий угол которого равен $180^{\circ }-\alpha$, откуда ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. На первой грани луч поворачивается на ${\theta }_1-{\theta }_2$, на второй — на ${\theta }_4-{\theta }_3$, и оба раза в сторону основания, поэтому полное отклонение равно
$\delta ={\theta }_1+{\theta }_4-\alpha \text{(призма с преломляющим углом }\alpha \text{)}$

У тонкой призмы все углы малы, и синусы можно заменить самими углами: ${\theta }_1+{\theta }_4\approx n({\theta }_2+{\theta }_3)=n\alpha$, а значит,
$\delta \approx (n-1)\alpha \text{(тонкая призма)}$
Два цвета при этом расходятся примерно на $(n_{\mathrm{фиол}}-n_{\mathrm{кр}})\alpha$. У оконного стекла грани параллельны, $\alpha =0$: все цвета выходят параллельно падающему пучку, и цвета снова накладываются.

Пример: призма из анимации

Белый пучок падает на первую грань под углом ${\theta }_1=55^{\circ }$, $\sin 55^{\circ }=0,8192$. Для красного $\sin {\theta }_2=0,8192/1,733=0,4727$, откуда ${\theta }_2=28,2^{\circ }$; для фиолетового $\sin {\theta }_2=0,8192/1,800=0,4551$ и ${\theta }_2=27,1^{\circ }$. Внутри стекла пути различаются всего на $1,1^{\circ }$, поэтому анимация рисует там один белый пучок.

Оба луча подходят ко второй грани под углом ${\theta }_3=60^{\circ }-{\theta }_2$: $31,8^{\circ }$ для красного и $32,9^{\circ }$ для фиолетового. На выходе $\sin {\theta }_4=1,733\cdot 0,5267=0,9128$ даёт ${\theta }_4=65,9^{\circ }$ для красного, а $1,800\cdot 0,5436=0,9785$ — $78,1^{\circ }$ для фиолетового. Отклонения равны $\delta =55^{\circ }+65,9^{\circ }-60^{\circ }=60,9^{\circ }$ и $55^{\circ }+78,1^{\circ }-60^{\circ }=73,1^{\circ }$ — это значения на индикаторах $\delta$. Расхождение лучей в $1,1^{\circ }$ внутри стекла выросло до $12,2^{\circ }$: фиолетовый луч выходит под углом, близким к скользящему, а там малое изменение $\sin {\theta }_4$ приводит к большому изменению угла.

Индикаторы скорости показывают, что скорость падает с $3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ в воздухе до $c/n=2,998\times 10^8/1,733=1,73\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ для красного и $1,67\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ для фиолетового внутри стекла. Дуга $\delta$ раскрывается между пунктирным исходным направлением и красным лучом, а цвета ложатся на стол по порядку, фиолетовый ближе всего к призме.

Пример: тонкая стеклянная призма

Призма из крона — обычного стекла для линз — с преломляющим углом 10° имеет $n=1,513$ для красного и $1,531$ для фиолетового. Узкий белый пучок проходит через неё почти перпендикулярно граням и попадает на стену в 2,0 м от призмы. Какова ширина спектра?

По правилу тонкой призмы
${\delta }_{\mathrm{кр}}\approx 0,513\cdot 10^{\circ }=5,13^{\circ },{\delta }_{\mathrm{фиол}}\approx 0,531\cdot 10^{\circ }=5,31^{\circ }$
Разброс равен $0,18^{\circ }$, то есть $0,18\cdot \pi /180=3,1\times 10^{-3}\mathrm{рад}$, поэтому на стене спектр имеет ширину около $2,0\mathrm{м}\cdot 3,1\times 10^{-3}=6,3\mathrm{мм}$, а всё пятно смещается примерно на $2,0\mathrm{tg}5,2^{\circ }\approx 0,18\mathrm{м}$. Точный расчёт по закону Снеллиуса при угле падения $5^{\circ }$ даёт $5,16^{\circ }$ и $5,35^{\circ }$: правило верно с точностью лучше 1 %.

Если вырезать такую же призму из флинта анимации, получим $0,733\cdot 10^{\circ }=7,3^{\circ }$ для красного и $8,0^{\circ }$ для фиолетового: отклонение в 1,4 раза больше, а разброс, $0,67^{\circ }$, — в 3,7 раза больше, и спектр получается шириной 23 мм.

Капли дождя и угол радуги

Солнечный свет входит в сферическую каплю дождя под углом падения $\theta$, преломляется до угла ${\theta }^{\prime }$, где $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$, один раз отражается от задней стенки и преломляется на выходе; каждый раз он встречает внутреннюю поверхность под тем же углом ${\theta }^{\prime }$, потому что капля круглая. При входе луч поворачивается на $\theta -{\theta }^{\prime }$, у задней стенки — на $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$, при выходе снова на $\theta -{\theta }^{\prime }$, а всего на $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$, поэтому он возвращается под углом к направлению, противоположному Солнцу, равным
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$

В анимации белый луч входит под углом $\theta =59,3^{\circ }$ ($\sin \theta =0,86$). Для красного $\sin {\theta }^{\prime }=0,86/1,3305=0,6464$, откуда ${\theta }^{\prime }=40,27^{\circ }$ и $\phi =4\cdot 40,27^{\circ }-2\cdot 59,32^{\circ }=42,4^{\circ }$. У фиолетового, при $n=1,3435$, получается ${\theta }^{\prime }=39,80^{\circ }$ и $\phi =40,6^{\circ }$ — это два индикатора $\phi$. Лучи, входящие выше или ниже, возвращаются под меньшими углами, поэтому свет собирается вблизи этого наибольшего угла.

Значит, капли, лежащие на угловом расстоянии $42,4^{\circ }$ от точки, противоположной Солнцу (тени вашей головы), посылают вам красный свет, а капли на расстоянии $40,6^{\circ }$ — фиолетовый: красный цвет образует внешний край дуги. Солнце должно быть за вашей спиной и подниматься над горизонтом менее чем на 42°, иначе дуга окажется ниже горизонта.

Свет складывается, краски вычитаются

В глазу есть три вида цветовых рецепторов (колбочек), наиболее чувствительных к красному, зелёному и синему свету. Свет, падающий на одно место, складывается: красный и зелёный возбуждают колбочки почти так же, как спектральный жёлтый свет с длиной волны 580 нм, поэтому пятно кажется жёлтым, а красный, зелёный и синий вместе дают белый. Экраны составляют свои цвета таким способом из крошечных красных, зелёных и синих точек.

Краски, чернила и светофильтры вычитают: каждый из них поглощает часть света, и глаз получает то, что уцелело. Жёлтая краска поглощает синий, голубая — красный, поэтому их смесь возвращает только зелёный. Цвет предмета зависит и от освещения: в чисто синем свете у спелого помидора нет красного света, который он мог бы отразить, и он кажется почти чёрным.

Частые ошибки

• Призма не создаёт цвета, а сортирует те, что уже есть в белом свете, и вторая, перевёрнутая призма снова собирает их в белый.
• В стекле свет не меняет цвет. Красный свет сохраняет частоту $4,3\times 10^{14}\mathrm{Гц}$; его длина волны уменьшается с 700 нм до $700/1,733=404\mathrm{нм}$, но он остаётся красным.
• Больший показатель означает меньшую скорость света, а не большую: фиолетовый свет с $n=1,800$ идёт в стекле со скоростью $1,67\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$, красный — со скоростью $1,73\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$.
• Правило тонкой призмы требует тонкой призмы. Для призмы анимации с углом 60° формула $(n-1)\alpha$ даёт для красного $44^{\circ }$ вместо $60,9^{\circ }$, а разброс — $4,0^{\circ }$ вместо $12,2^{\circ }$. И $n\alpha$ неверно для любой призмы: свет отклоняет только превышение $n$ над 1.
• Смешивать лучи — не то же самое, что смешивать краски: красный и зелёный свет дают жёлтый, а красная и зелёная краски — тусклый коричневый, потому что каждая краска поглощает большую часть того, что отражает другая.

Где это встречается

Спектрометры разлагают свет звёзд, пламени и ламп в спектры, по которым узнают, из чего состоит источник, а огранённые алмазы вспыхивают цветом, потому что у алмаза большой показатель преломления, 2,42, и сильная дисперсия. В линзах дисперсия мешает: простая линза фокусирует фиолетовый свет ближе красного, а собирающая линза из крона, склеенная с более слабой рассеивающей линзой из флинта, гасит большую часть этой ошибки, как показывают уроки «Линзы и зеркала» и «Глаз, фотоаппарат и телескоп». В оптических волокнах дисперсия растягивает короткие импульсы. Дифракционные решётки из урока «Дифракция и опыт Юнга» сортируют цвета с помощью интерференции и сильнее всего отклоняют красный — в порядке, обратном призме.

Продвинутый

Почему в стекле свет медленнее

Показатель преломления $n$ показывает, во сколько раз свет в веществе распространяется медленнее, чем в вакууме, а призма показывает, что $n$ зависит от цвета. Чтобы понять почему, посмотрим, из чего состоит стекло: из ядер и связанных электронов, между которыми пустое пространство, где любое электрическое поле распространяется ровно со скоростью $c$. Значит, более медленная волна в стекле должна быть результатом сложения. Приходящая волна раскачивает электроны, раскачанные электроны излучают, и их излучение складывается с приходящей волной. В этом разделе подготовлены две составляющие, а в следующем они складываются.

В модели Лоренца каждый электрон с зарядом $q_e$ и массой $m$ удерживается силой, подобной пружинной, так что, будучи предоставлен самому себе, он колебался бы с собственной циклической частотой ${\omega }_0$. Электрическое поле света в месте электрона равно $E_0{e}^{i\omega t}$, где $\omega$ — циклическая частота света, а физическое поле — вещественная часть. Второй закон Ньютона и его установившееся решение таковы:
$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{q_e}{m}{E}_0{e}^{i\omega t}x=\frac{q_e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{e}^{i\omega t}$
Чтобы получить решение, подставим $x\propto e^{i\omega t}$, так что $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, и найдём амплитуду. Электрон колеблется с частотой поля, а не со своей собственной. Ниже резонанса, при $\omega <{\omega }_0$, множитель ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ положителен, поэтому диполь $q_{e}x$ движется в такт с полем, а его амплитуда растёт по мере приближения $\omega$ к ${\omega }_0$.

Теперь возьмём тонкий слой вещества толщиной $\Delta z$ поперёк пучка, содержащий $N$ электронов в единице объёма. Если смотреть вдоль пучка, это плоский лист с зарядом $N{q}_e\Delta z$ на единицу площади, все заряды которого колеблются вместе в плоскости листа. Такой лист излучает плоскую волну в обе стороны с полем, пропорциональным скорости его зарядов (результат из урока «Электромагнитные волны»; ${\epsilon }_0$ — электрическая постоянная):
$E_a=-\frac{N{q}_e\Delta z}{2{\epsilon }_{0}c}\dot{x}$
Поскольку слой тонкий, $E_a$ мало. Важнее всего его фаза: оно следует за скоростью $\dot{x}$, а не за смещением $x$, и из-за этого сдвигается на четверть периода.

Один тонкий слой задерживает волну

Две волны одной частоты складываются как стрелки. На рисунке 1 это использовано, чтобы показать, как малая волна, отстающая на четверть периода, превращается в запаздывание всей волны, а именно это и означает меньшая скорость.

Обозначения

$E_0$	Волна, приходящая на слой, нарисована стрелкой: её длина — амплитуда, направление — фаза.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E_a$	Волна, излучаемая электронами слоя: малая и отстающая от $E_0$ на четверть периода, поэтому нарисована под прямым углом по часовой стрелке.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E^{\prime }$	Волна за слоем: сумма $E_0$ и $E_a$.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\phi$	Угол от $E_0$ до $E^{\prime }$: фазовая задержка $\omega (n-1)\Delta z/c$, вносимая слоем, равная $|E_a|/|E_0|$.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 1 каждая волна — стрелка на комплексной плоскости: её длина — амплитуда, а направление — фаза; общий множитель $e^{i\omega t}$ опущен. За слоем обе волны идут дальше со скоростью $c$, поэтому множитель, который они набирают по дороге, тоже общий и тоже опущен. Приходящая волна $E_0$ — горизонтальная стрелка. Чтобы найти направление $E_a$, подставим в её формулу движение электрона. Поскольку $\dot{x}=i\omega x$,
$E_a=-i\frac{\omega N{q}_e^2\Delta z}{2{\epsilon }_{0}mc({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{E}_0$
Ниже резонанса дробь положительна (знак $q_e$ выпадает, так как входит только $q_e^2$), поэтому $E_a$ равно $E_0$, умноженному на малое положительное число и на $-i$. Умножение на $-i=e^{-i\pi /2}$ поворачивает стрелку на прямой угол по часовой стрелке, и это то же самое, что заменить $t$ на $t-T/4$, где $T$ — период: волна запаздывает на четверть периода. Это и есть короткая стрелка $E_a$, направленная прямо вниз.

За слоем обе волны складываются, и их сумма $E^{\prime }$ — диагональ. Посмотрите на прямоугольный треугольник. Поскольку $E_a$ перпендикулярна $E_0$ и гораздо короче, длина $E^{\prime }$ в первом порядке равна длине $E_0$ (изменение длины имеет второй порядок по $|E_a|/|E_0|$), но она повёрнута по часовой стрелке на малый угол $\phi =|E_a|/|E_0|$. Поворот по часовой стрелке означает отставание по фазе. На рисунке $\phi$ нарисован большим, чтобы были видны части, а для тонкого слоя он крошечный.

Теперь сравним с тем, что сделала бы более медленная волна. Допустим, свет действительно проходит слой со скоростью $c/n$. Тогда ему потребовалось бы $n\Delta z/c$ вместо $\Delta z/c$, то есть он пришёл бы позже на $(n-1)\Delta z/c$, а его стрелка оказалась бы повёрнута назад на фазу $\phi =\omega (n-1)\Delta z/c$. При малом $\phi$ волна за слоем оказалась бы умноженной на
$e^{-i\phi }\approx 1-i\phi =1-\frac{i\omega (n-1)\Delta z}{c}$
то есть исходная волна плюс малая добавка, отстающая на четверть периода, с относительным размером $\phi$: ровно того же вида, что и $E_0+E_a$ на рисунке 1. Два описания согласуются, когда малые добавки равны. Приравняем $\omega (n-1)\Delta z/c$ к дроби в $E_a$ выше: множители $\omega$, $\Delta z$ и $c$ сокращаются, и остаётся
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$

Это показатель преломления разреженного вещества. Каждый слой немного сдвигает фазу назад, причём на величину, которая определяется тем, насколько сильно откликаются электроны, а она зависит от $\omega$: дисперсия заложена в самом механизме. Для проверки порядка величины возьмём воздух с одним эффективным электроном на молекулу, $N=2,5\times 10^{25}{\mathrm{м}}^{-3}$, с резонансом около 100 нм. Формула даёт $n-1\approx 1\times 10^{-4}$ — правильный порядок для измеренного значения $2,9\times 10^{-4}$.

Ниже резонанса: закон Коши и голубое небо

Видимый свет лежит на низкочастотном краю этой формулы, и разложение там даёт простой закон, который применяют для призм. Сильные резонансы стекла и воды лежат в ультрафиолете, поэтому для видимого света $\omega$ намного меньше ${\omega }_0$ (рисунок 3 в одном из следующих разделов показывает всю кривую).

Сначала назовём низкочастотный предел. При $\omega =0$ формула даёт $n=A$, где $A-1=N{q}_e^2/(2{\epsilon }_{0}m{\omega }_0^2)$, поэтому при любом $\omega$
$n-1=\frac{A-1}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}\approx (A-1)\left(1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\right)$
с использованием $1/(1-u)\approx 1+u$ при малом $u$. При $\omega =2\pi c/\lambda$ и резонансной длине волны ${\lambda }_0=2\pi c/{\omega }_0$ отношение ${\omega }^2/{\omega }_0^2$ равно ${\lambda }_0^2/{\lambda }^2$. Получается закон Коши $n\approx A+B/{\lambda }^2$, где $B=(A-1){\lambda }_0^2$. Если читать его в обратную сторону, измеренные $A$ и $B$ указывают, где находится резонанс. Параметры, подобранные в анимации, дают ${\lambda }_0=\sqrt{16000/0,700}\approx 150\mathrm{нм}$ для флинта ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{н}{\mathrm{м}}^2$) и $\sqrt{3090/0,3242}\approx 100\mathrm{нм}$ для воды ($A=1,3242$, $B=3090\mathrm{н}{\mathrm{м}}^2$); оба значения лежат в ультрафиолете, как и должно быть.

Закон Коши объясняет и то, почему призма растягивает фиолетовый край спектра сильнее красного. На первом экспертном графике анимации построена кривая $n(\lambda )$ от 400 до 700 нм с точкой для каждого цвета пучка. Её наклон $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$ равен $-9,3\times 10^{-5}\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$ при 700 нм и $-5,0\times 10^{-4}\mathrm{н}{\mathrm{м}}^{-1}$ при 400 нм. Из-за куба кривая у фиолетового края в $(7/4{)}^3\approx 5,4$ раза круче.

Затем призма превращает каждую разность показателей в разность углов. Пусть её преломляющий угол равен $\alpha$ (в анимации 60°). Луч встречает первую грань под углом падения ${\theta }_1$ (55°) и преломляется под углом ${\theta }_2$; ко второй грани он подходит под углом ${\theta }_3$ и выходит под углом ${\theta }_4$. Закон Снеллиуса на двух гранях даёт $\sin {\theta }_1=n\sin {\theta }_2$ и $\sin {\theta }_4=n\sin {\theta }_3$, а треугольник даёт ${\theta }_2+{\theta }_3=\alpha$. Теперь немного изменим $n$, оставив ${\theta }_1$ неизменным. Первое соотношение даёт $n\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2=-\sin {\theta }_{2}dn$, а треугольник — $d{\theta }_3=-d{\theta }_2$. Подставим оба результата в дифференциал второго соотношения, $\cos {\theta }_{4}d{\theta }_4=\sin {\theta }_{3}dn+n\cos {\theta }_{3}d{\theta }_3$, и воспользуемся тем, что $\sin {\theta }_3\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_3\sin {\theta }_2=\sin \alpha$:
$\frac{d{\theta }_4}{dn}=\frac{\sin \alpha }{\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4}$
Для красного это 2,4 рад на единицу $n$. Для фиолетового, у которого выходящий луч идёт почти скользя, так что $\cos {\theta }_4$ мало, это 4,7. Оба эффекта работают на фиолетовый край. На один нанометр длины волны угол выхода меняется на $2,4\cdot 9,3\times 10^{-5}\approx 2,2\times 10^{-4}$ рад при 700 нм, но на $4,7\cdot 5,0\times 10^{-4}\approx 2,4\times 10^{-3}$ рад при 400 нм, примерно в десять раз больше: фиолетовый край веера растянут.

Те же вынужденные электроны излучают и в стороны, и это даёт небу цвет. Далеко ниже резонанса амплитуда $q_e{E}_0/(m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$ почти не зависит от $\omega$, потому что ${\omega }^2$ мало по сравнению с ${\omega }_0^2$. Колеблющийся диполь излучает мощность, пропорциональную квадрату его ускорения, а ускорение равно ${\omega }^{2}x$, поэтому излучаемая мощность растёт как ${\omega }^4{x}^2$, то есть как ${\omega }^4$. Поэтому молекулы воздуха рассеивают солнечный свет пропорционально ${\omega }^4$ (рэлеевское рассеяние): при 450 нм в $(650/450{)}^4\approx 4,4$ раза сильнее, чем при 650 нм. Голубой свет, рассеянный из солнечного пучка, заполняет небо, а то, что остаётся после долгого пути сквозь воздух, как на закате, красное.

Фазовая и групповая скорость

Призма разделяет цвета в пространстве. В длинном куске стекла дисперсия разделяет их и во времени, потому что импульс движется не со скоростью гребней внутри него. Рисунок 2 показывает обе скорости рядом.

Обозначения

$t_1$	Первый момент.	$\mathrm{с}$
$t_2$	Более поздний момент; $\Delta t=t_2-t_1$.	$\mathrm{с}$
$E$	Электрическое поле импульса: синяя кривая, гребни которой движутся с фазовой скоростью, под закрашенной огибающей.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$v\Delta t$	Расстояние, которое проходит гребень между $t_1$ и $t_2$: фазовая скорость $v=c/n$, умноженная на $\Delta t$.	$\mathrm{м}$
$v_g\Delta t$	Расстояние, которое за то же время проходит вершина огибающей: групповая скорость $v_g=c/n_g$, умноженная на $\Delta t$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 2 показан короткий импульс фиолетового света во флинте, нарисованный в два момента $t_1$ и $t_2$, разделённых промежутком $\Delta t$. Синяя кривая — электрическое поле $E$: цуг гребней под гладкой огибающей, закрашенным контуром. Гребни движутся с фазовой скоростью $v=c/n$ — скоростью гребней бесконечной волны одной частоты, — поэтому отмеченный гребень проходит $v\Delta t$, более длинный синий отрезок. Огибающая движется с другой скоростью, групповой $v_g$, и проходит лишь $v_g\Delta t$, более короткий фиолетовый отрезок. Следите за вершиной огибающей: в момент $t_1$ отмеченный гребень лежит на ней, а к моменту $t_2$ гребень ушёл вперёд.

На рисунке использовано стекло анимации при 400 нм, где $n=1,800$, а групповой показатель $n_g=c/v_g$, как посчитано ниже, равен 2,000. За то же время гребни проходят пять длин волн, а огибающая лишь $5\cdot 1,800/2,000=4,5$. Значит, гребень, который в момент $t_1$ лежал на вершине, в момент $t_2$ опережает её на полдлины волны, и теперь на вершине лежит впадина. Новые гребни всё время появляются в хвосте импульса, бегут вперёд сквозь него и гаснут у его головы.

Почему у огибающей своя скорость? Импульс, как любой сигнал, — это изменение волны, а изменяющаяся волна — смесь соседних частот. Возьмём только две, $\omega \pm \delta \omega$, с волновыми числами $k\pm \delta k$. Их сумма — волна с частотой $\omega$ и волновым числом $k$, амплитуда которой меняется как $\cos (\delta \omega t-\delta kz)$, и эта картина движется со скоростью $\delta \omega /\delta k$. Для узкой полосы частот это превращается в
$v_g=\frac{d\omega }{dk}$

В стекле $k=n\omega /c$, причём $n$ зависит от $\omega$, поэтому $dk/d\omega =(n+\omega dn/d\omega )/c$. Поскольку $\lambda =2\pi c/\omega$, малое изменение даёт $d\lambda /\lambda =-d\omega /\omega$, откуда $\omega dn/d\omega =-\lambda dn/d\lambda$. Групповой показатель поэтому равен
$n_g=\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{dn}{d\omega }=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }$

При нормальной дисперсии $n$ убывает с ростом $\lambda$, $dn/d\lambda <0$, поэтому $n_g>n$: импульсы движутся медленнее гребней внутри них. По закону Коши $-\lambda dn/d\lambda =2B/{\lambda }^2$ и $n_g=A+3B/{\lambda }^2$. Для стекла анимации это 1,798 для красного и 2,000 для фиолетового, тогда как фазовые показатели равны 1,733 и 1,800.

Вблизи резонанса: поглощение и аномальная дисперсия

Закон Коши — лишь низкочастотный хвост показателя осциллятора, а вблизи ${\omega }_0$ приведённая выше формула показателя обращается в бесконечность, чего не делает ни одно реальное вещество. Настоящие электроны к тому же теряют энергию — на столкновения и на собственное излучение. Смоделируем эту потерю членом трения $\gamma \dot{x}$ в уравнении движения, где $\gamma$ — коэффициент затухания. Множитель ${\omega }_0^2-{\omega }^2$ тогда превращается в ${\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega$, а показатель становится комплексным числом, которое записывают как $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$, где $n^{\prime }$ и $n^{\prime \prime }$ вещественны:
$n=1+\frac{N{q}_e^2}{2{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega )}$

Обозначения

$n$	Показатель преломления, здесь комплексное число $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$; две кривые — его части.
$n^{\prime }$	Вещественная часть показателя: гребни движутся со скоростью $c/n^{\prime }$.
$n^{\prime \prime }$	Мнимая часть показателя: она определяет, как быстро волна поглощается.
$\omega$	Циклическая частота света.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
${\omega }_0$	Собственная частота электронов: резонанс.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\gamma$	Коэффициент затухания; он же равен ширине пика поглощения на половине его высоты.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$A$	Показатель при очень низкой частоте, откуда начинается $n^{\prime }$: постоянный член формы Коши.
$A+\frac{B}{{\lambda }^2}$	Форма Коши (пунктир): она хорошо следует за $n^{\prime }$ ниже резонанса и перестаёт работать вблизи него.

На рисунке 3 построены $n^{\prime }$ и $n^{\prime \prime }$ в зависимости от $\omega$. Начнём слева. При $\omega =0$ вещественная часть $n^{\prime }$ начинается с $A$ и медленно растёт, а пунктирная форма Коши $A+B/{\lambda }^2$ идёт вплотную к ней: здесь живут призма и радуга. При приближении к ${\omega }_0$ пунктирная форма перестаёт работать. Вещественная часть $n^{\prime }$ поднимается до максимума, круто падает, проходя через 1 ровно при $\omega ={\omega }_0$, достигает минимума ниже 1, а затем медленно возвращается к 1 снизу. Мнимая часть $n^{\prime \prime }$ вдали от резонанса почти равна нулю и образует пик с центром в ${\omega }_0$, ширина которого на половине высоты равна $\gamma$.

Что означает $n^{\prime \prime }$: волна, прошедшая в веществе расстояние $z$, несёт множитель $e^{i(\omega t-n\omega z/c)}$. При $n=n^{\prime }-i{n}^{\prime \prime }$ он распадается на $e^{i(\omega t-n^{\prime }\omega z/c)}$ — волну, гребни которой движутся со скоростью $c/n^{\prime }$, — и $e^{-\omega n^{\prime \prime }z/c}$ — амплитуду, убывающую с расстоянием. Значит, $n^{\prime \prime }$ описывает поглощение. Рисунок 3 показывает, что оно сильно лишь в пределах порядка $\gamma$ от ${\omega }_0$: вещество непрозрачно вблизи резонанса и прозрачно вдали от него.

Внутри этой полосы поглощения $n^{\prime }$ убывает с ростом частоты — это крутой участок рисунка 3. Это аномальная дисперсия: внутри полосы порядок цветов, который дала бы призма, меняется на обратный. Связь между поглощением и дисперсией — не причуда модели. Соотношения Крамерса — Кронига, вытекающие из одной лишь причинности (нет отклика раньше причины), делают её точной: вещество, показатель которого отличается от 1, должно где-то в спектре поглощать.

Справа на рисунке 3, выше всех резонансов, поправка к $n$ меняет знак, и $n^{\prime }$ меньше 1. Для рентгеновских лучей каждый электрон почти свободен, и у стекла при 0,1 нм $n\approx 1-3\times 10^{-6}$, поэтому гребни движутся быстрее $c$. Сигнал — нет. Здесь $1-n$ пропорционально ${\lambda }^2$, так что $-\lambda dn/d\lambda =2(1-n)$, и формула группового показателя даёт $n_g=1+3\times 10^{-6}$. Показатель меньше 1 означает и то, что рентгеновские лучи, падающие на полированную поверхность под скользящими углами меньше примерно 0,15°, отражаются полностью, — на этом принципе устроены зеркала рентгеновских телескопов.

У реальных веществ несколько резонансов. Сумма их вкладов даёт форму Селлмейера $n^2=1+{\sum }_k{B}_k{\lambda }^2/({\lambda }^2-{\lambda }_k^2)$, где каждое ${\lambda }_k$ — резонансная длина волны, а $B_k$ — её сила. Электронные члены лежат в ультрафиолете, а члены от колеблющихся ионов — в инфракрасной области. Между ними у группового показателя кварцевого стекла минимум около 1,3 мкм, где импульсы чуть разных длин волн движутся с одной скоростью: это длина волны нулевой дисперсии телекоммуникационных волокон.

У свободных электронов, как в плазме, нет возвращающей силы, поэтому ${\omega }_0=0$. Полное рассмотрение даёт тогда $n^2=1-{\omega }_p^2/{\omega }^2$, где плазменная частота ${\omega }_p$ определена как ${\omega }_p^2=N{q}_e^2/({\epsilon }_{0}m)$; формула для разреженной среды при ${\omega }_0=0$ даёт её приближение первого порядка, $n\approx 1-{\omega }_p^2/(2{\omega }^2)$. Ниже ${\omega }_p$ величина $n^2$ отрицательна, и волна не может пройти: она отражается. Для ионосферы с $10^{12}$ электронов в кубическом метре ${\omega }_p/2\pi \approx 9\mathrm{МГц}$, поэтому радиоволны более низких частот, посланные вертикально вверх, возвращаются на землю.

Радуга как стационарный угол

Показатель преломления воды меняется по видимому спектру лишь примерно на 1 %: от 1,3305 для красного света (700 нм) до 1,3435 для фиолетового (400 нм), и всё же радуга чётко разделяет цвета. Причина геометрическая: капля отправляет свет, один раз отражённый внутри неё, в основном в одном направлении, и это направление зависит от $n$. Рисунок 4 показывает, откуда берётся это предпочтительное направление.

Обозначения

$b$	Прицельный параметр луча: его расстояние от оси капли в долях радиуса, $b=\sin \theta$, где $\theta$ — угол падения.
$\phi$	Угол между выходящим лучом и антисолнечным направлением (прямо от Солнца), $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$, где ${\theta }^{\prime }$ — угол преломления.	$\mathrm{рад}$
${\phi }_{\max }$	Наибольший угол выхода, на плоской вершине кривой: угол радуги.	$\mathrm{рад}$
$\Delta \phi$	Высота каждой закрашенной полосы: один и тот же малый интервал углов выхода в обеих.	$\mathrm{рад}$
$\Delta b_1$	Интервал значений $b$, лучи которого выходят в верхнюю полосу: широкий, потому что там кривая плоская.
$\Delta b_2$	Интервал значений $b$ на растущем склоне, лучи которого выходят в нижнюю полосу: узкий, потому что там кривая крутая.

Рисунок 4 относится к красному свету и к лучам, которые входят в сферическую каплю, один раз отражаются внутри и выходят. Солнечный свет падает на лицевую сторону капли равномерно. Пометим каждый луч его прицельным параметром $b$: расстоянием от оси, проходящей через центр капли параллельно солнечному свету, в долях радиуса капли. Луч, встречающий поверхность под углом падения $\theta$, имеет $b=\sin \theta$ и преломляется в каплю под углом ${\theta }^{\prime }$, причём $\sin \theta =n\sin {\theta }^{\prime }$. Каждое из двух преломлений поворачивает луч на $\theta -{\theta }^{\prime }$, а отражение — на $180^{\circ }-2{\theta }^{\prime }$, так что в сумме луч поворачивается на $180^{\circ }+2\theta -4{\theta }^{\prime }$. По вертикальной оси отложен угол $\phi$ между выходящим лучом и антисолнечным направлением — направлением прямо от Солнца; он равен $180^{\circ }$ минус полный поворот:
$\phi (b)=4{\theta }^{\prime }-2\theta$

Теперь проследим за кривой. Она растёт от нуля в центре, $b=0$, где луч входит прямо и прямо возвращается. Она выходит на максимум ${\phi }_{\max }$, а затем падает примерно до 15° у края, при $b=1$, где её касательная становится вертикальной. Второй экспертный график анимации показывает вершину этой кривой для $b$ от 0,5 до 1.

Две закрашенные полосы имеют одинаковую высоту $\Delta \phi$: одна на растущем склоне, другая на вершине. Спустимся от каждой полосы к оси $b$, чтобы увидеть, какие лучи в неё попадают. На крутом склоне в полосу попадает лишь узкий интервал $\Delta b_2$ лучей, да ещё тонкая полоска краевых лучей около $b=1$, где кривая круто падает через неё. На плоской вершине попадает интервал $\Delta b_1$, примерно втрое шире. Лучи надо считать ещё и по площади: лучи с прицельным параметром от $b$ до $b+db$ попадают в кольцо на лицевой стороне капли, площадь которого пропорциональна $bdb$, так что лучи вдали от центра считаются больше. С таким весом верхняя полоса собирает около 40 % всех красных лучей, отражённых один раз, а нижняя только около 9 %. В этом и заключается весь эффект: там, где $\phi$ стационарен, много лучей выходит почти в одном направлении, и это направление выглядит ярким.

Чтобы найти вершину, положим $d\phi /d\theta =0$. Из $\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta$ нужно, чтобы $d{\theta }^{\prime }/d\theta =\frac{1}{2}$. Дифференцирование закона Снеллиуса даёт $\cos \theta d\theta =n\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }$, поэтому на вершине $2\cos \theta =n\cos {\theta }^{\prime }$. Возведём в квадрат и заменим $n^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }=n^2-n^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }=n^2-{\sin }^2\theta$. Тогда $4{\cos }^2\theta =n^2-{\sin }^2\theta =n^2-1+{\cos }^2\theta$, откуда
$\phi =4{\theta }^{\prime }-2\theta ,{\cos }^2\theta =\frac{n^2-1}{3}\text{(радуга)}$

Для красного ${\cos }^2\theta =(1,3305^2-1)/3=0,2567$, так что $\theta =59,6^{\circ }$ ($b=0,862$), ${\theta }^{\prime }=40,4^{\circ }$ и ${\phi }_{\max }=42,4^{\circ }$. Для фиолетового $n=1,3435$ даёт $b=0,855$ и ${\phi }_{\max }=40,6^{\circ }$. Значит, красный свет возвращается под углом до 42,4° от антисолнечной точки, а фиолетовый только до 40,6°, поэтому красный цвет оказывается снаружи дуги. Луч анимации при $b=0,86$ лежит почти на обоих максимумах, которые отмечены его пунктирными линиями.

Насколько резок край радуги? Вблизи вершины ${\phi }_{\max }-\phi$ растёт как квадрат расстояния от вершины вдоль оси $b$. Если рассуждать в обратную сторону, интервал значений $b$, попадающих в пределы угла $\delta$ от вершины, растёт лишь как $\sqrt{\delta }$, поэтому число лучей на единицу угла растёт как $1/\sqrt{{\phi }_{\max }-\phi }$, когда $\phi$ приближается к ${\phi }_{\max }$. В числах: около пятой части красных лучей, отражённых один раз, выходит в пределах 1° от максимума, примерно в пятнадцать раз больше, чем в полосе шириной 1° около 20°. За ${\phi }_{\max }$ лучи не приходят вовсе, поэтому небо сразу внутри дуги ярче, чем сразу снаружи.

Лучи, дважды отражённые внутри капли, дают вторую радугу. Для них ${\phi }_2=180^{\circ }+2\theta -6{\theta }^{\prime }$, и он стационарен, теперь в минимуме, там, где ${\cos }^2\theta =(n^2-1)/8$: при 50,2° для красного и 53,6° для фиолетового. Эта вторичная радуга слабее, потому что при каждом отражении часть света теряется, и порядок цветов в ней обратный: красный внутри. Между 42,4° и 50,2° лучей обоих видов нет, поэтому полоса неба между двумя радугами темнее.

Задача: вспышка в волокне из флинта

Пусть флинт призмы ($A=1,700$, $B=16000\mathrm{н}{\mathrm{м}}^2$) вытянут в волокно длиной 1,00 км, и в него послана короткая вспышка белого света. На сколько по времени разойдутся моменты прихода её красной (700 нм) и фиолетовой (400 нм) частей и что предсказали бы обычные фазовые показатели?

Каждый цвет идёт как импульс, то есть с групповой скоростью, поэтому нужен групповой показатель. По закону Коши $dn/d\lambda =-2B/{\lambda }^3$, поэтому
$n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }=A+\frac{3B}{{\lambda }^2}$
Здесь $B/{\lambda }^2$ равно $16000/700^2=0,03265$ для красного и $16000/400^2=0,1000$ для фиолетового, откуда $n_{g,\mathrm{кр}}=1,700+3\cdot 0,03265=1,798$ и $n_{g,\mathrm{фиол}}=1,700+3\cdot 0,1000=2,000$. Каждой части нужно время $t=L{n}_g/c$: $5,997\mathrm{мкс}$ для красной и $6,671\mathrm{мкс}$ для фиолетовой. Задержка между ними равна
$\Delta t=\frac{L(n_{g,\mathrm{фиол}}-n_{g,\mathrm{кр}})}{c}\left(n_g=n-\lambda \frac{dn}{d\lambda }\right)$
$\Delta t=\frac{1000\cdot 0,202}{2,998\times 10^8}=674\mathrm{нс}$

Если же взять фазовые показатели, то $n_{\mathrm{фиол}}-n_{\mathrm{кр}}=0,1000-0,03265=0,06735$ и $1000\cdot 0,06735/(2,998\times 10^8)=225\mathrm{нс}$ — втрое меньше. Импульс растягивается тем, как быстро $n$ меняется с цветом, а не самим значением $n$. Поэтому белая вспышка в 1 нс выходит из волокна растянутой примерно до 0,67 мкс полосой, красным вперёд. Телекоммуникационные линии избегают этого, посылая через кварцевое стекло лазерный свет шириной лишь 0,1 нм на длине волны около 1,55 мкм, где расплывание составляет около 17 пс на нанометр ширины полосы на километр: меньше 2 пс на километр.

Границы применимости

Модель осциллятора классическая. Квантовая механика сохраняет её форму, но меняет смысл: каждый резонанс — это атомный переход из основного состояния с энергией $E_{\mathrm{осн}}$ в возбуждённое состояние с энергией $E_k$, причём $\hslash {\omega }_k=E_k-E_{\mathrm{осн}}$, и каждый входит с весом, называемым силой осциллятора. Результат для разреженной среды не учитывает и поле соседних диполей. В плотном твёрдом теле это локальное поле меняет результат на $(n^2-1)/(n^2+2)=N{q}_e^2/(3{\epsilon }_{0}m({\omega }_0^2-{\omega }^2))$, что сводится к нашему при $n$, близком к 1. Внутри полосы поглощения групповая скорость может превысить $c$ или даже стать отрицательной. Импульс тогда сильно меняет форму, его максимум уже не отмечает сигнал, а фронт сигнала по-прежнему никогда не обгоняет $c$.

Лучевая картина радуги требует капель, много больших длины волны. В меньших каплях лучи, выходящие под одним углом разными путями, интерферируют и добавляют слабые дополнительные дуги чуть внутри фиолетовой. В тумане капельки размером около $d=10$ мкм размывают каждый цвет примерно на $\lambda /d\approx 3^{\circ }$, больше, чем почти 2° между красным и фиолетовым, поэтому туманная радуга почти белая.

Наконец, цвет — это не длина волны. Глаз сводит любой спектр к трём сигналам колбочек, поэтому смесь красного и зелёного света может в точности совпасть со спектральным жёлтым, и ни один экран с тремя основными цветами не способен показать все спектральные цвета.

Что дальше

Вынужденный осциллятор — тот же, что в уроке «Затухание и резонанс», только теперь на оптических частотах, а излучающий лист заряда относится к уроку «Электромагнитные волны». Стационарный угол радуги перекликается с принципом Ферма из урока «Отражение и преломление»: там стационарно время пути, здесь — угол выхода, и в обоих случаях соседние лучи усиливают друг друга. Цветные погрешности линз и способ их исправления вернутся в уроках «Линзы и зеркала» и «Глаз, фотоаппарат и телескоп»; дифракционные решётки, которые сортируют цвета с помощью интерференции, — в уроке «Дифракция и опыт Юнга»; а частичная поляризация голубого неба — в уроке «Поляризация света». Сами резонансные частоты определяются уровнями энергии атомов, и объяснить их начинает урок «Модели атома: атом Бора».