Réflexion et réfraction

Débutant

Étape 1, la normale. Là où un rayon de lumière touche une surface, imaginez une droite qui se dresse perpendiculairement à la surface. On l'appelle la normale, et en optique tous les angles se mesurent à partir d'elle, pas à partir de la surface.

Étape 2, la réflexion. Un rayon qui rebondit sur une surface lisse repart avec le même angle par rapport à la normale qu'à l'arrivée, comme une boule de billard sur la bande. Un miroir est lisse : tous les rayons rebondissent ensemble et l'on voit une image nette. Le papier, lui, est rugueux à petite échelle : la lumière en repart dans toutes les directions. On voit donc la page de n'importe où dans la pièce, mais jamais son visage dedans.

Étape 3, la réfraction. Quand la lumière entre en biais dans l'eau ou le verre, elle change de direction à la surface. La raison, c'est la vitesse : la lumière est plus lente dans le verre. Pensez à un chariot de supermarché qui passe en biais du carrelage à un tapis : la roue qui atteint le tapis en premier freine la première, et le chariot pivote. La règle : du côté le plus lent, le rayon est plus proche de la normale.

Dans l'animation, le point jaune laisse une marque blanche tous les quarts de seconde. Dans le verre, les marques se resserrent : lumière plus lente, pas plus courts. Remarquez aussi le faible rayon renvoyé vers le haut.

Étape 4, la lumière piégée. En sortant du verre, un rayon s'écarte de la normale. Inclinez-le assez et il ne peut plus sortir du tout : tout est réfléchi à l'intérieur. Cette réflexion totale guide la lumière dans les fibres optiques.

Testez-vous : un rayon passe de l'eau à l'air. Se rapproche-t-il de la normale ou s'en écarte-t-il ? (Il s'en écarte : la lumière est plus rapide dans l'air.)

Intermédiaire

Rayons, normale et indice de réfraction

Un mince faisceau de lumière peut se représenter par un rayon, une droite qui suit la direction dans laquelle voyage l'énergie lumineuse. Là où un rayon rencontre une surface, on trace la normale, la droite perpendiculaire à la surface en ce point. En optique, tout angle se mesure à partir de la normale, jamais à partir de la surface : l'angle d'incidence ${\theta }_1$, l'angle de réflexion ${\theta }_r$ et l'angle de réfraction ${\theta }_2$. Les rayons réfléchi et réfracté restent dans le plan d'incidence, qui contient le rayon incident et la normale.

L'indice de réfraction compare la vitesse de la lumière dans le vide, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, à sa vitesse $v$ dans le matériau :
$n=\frac{c}{v}$

L'air a $n=1,0003$, arrondi à 1,00 ; l'eau 1,33, le verre ordinaire environ 1,5 (l'animation prend 1,50) et le diamant 2,42. De deux milieux, celui dont l'indice $n$ est le plus grand est dit plus réfringent.

Les lois de la réflexion et de la réfraction

À une frontière lisse, une partie de la lumière est réfléchie et une partie pénètre dans le second milieu. Leurs directions obéissent à deux lois :

• ${\theta }_r={\theta }_1\text{(reˊflexion)}$
• $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Le rayon réfléchi repart de l'autre côté de la normale, sous l'angle même sous lequel la lumière est arrivée. La seconde loi est la loi de Snell-Descartes de la réfraction, décrite par Ibn Sahl à Bagdad vers 984, retrouvée par Willebrord Snell en 1621 et publiée par Descartes en 1637.

Dans la loi de Snell-Descartes, le produit $n\sin \theta$ est le même des deux côtés. En entrant dans un milieu d'indice $n$ plus grand, $\sin \theta$ doit diminuer : le rayon se rapproche de la normale ; en entrant dans un milieu d'indice plus petit, il s'en écarte. Un rayon qui arrive le long de la normale poursuit tout droit, tout en ralentissant, et tout trajet de la lumière peut être parcouru en sens inverse.

La fréquence $f$, imposée par la source, ne change jamais à la frontière. Comme $v=f\lambda$, la longueur d'onde diminue dans la même proportion que la vitesse :
$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n}$
où ${\lambda }_0$ est la longueur d'onde dans le vide. Une lumière verte de 550 nm a une longueur d'onde d'environ 367 nm dans le verre de l'animation, et elle reste verte : la couleur dépend de la fréquence.

Pourquoi une lumière plus lente est déviée

Imaginez un front d'onde rectiligne qui arrive sur la surface ; il fait avec elle le même angle ${\theta }_1$ que le rayon avec la normale. Une extrémité touche la surface en $A$. Pendant que l'autre extrémité parcourt sa dernière portion, $v_1\Delta t$ dans l'air, pour atteindre la surface en $B$, la lumière entrée en $A$ n'avance que de $v_2\Delta t$ dans le verre. Le nouveau front part de $B$ et est tangent au cercle de rayon $v_2\Delta t$ centré en $A$ : l'onde a tourné.

Les deux triangles rectangles ont la même hypoténuse, le segment $AB$ de longueur $L$ le long de la surface ; donc
$\sin {\theta }_1=\frac{v_1\Delta t}{L},\sin {\theta }_2=\frac{v_2\Delta t}{L}$
En divisant, on obtient $\sin {\theta }_1/\sin {\theta }_2=v_1/v_2=n_2/n_1$, c'est-à-dire la loi de Snell-Descartes : l'image du chariot de supermarché du niveau débutant, rendue exacte.

Exemple résolu : le rayon de l'animation

Dans la première partie de l'animation, la lumière passe de l'air, $n_1=1,00$, au verre, $n_2=1,50$, sous ${\theta }_1=50^{\circ }$. La loi de Snell-Descartes donne
$\sin {\theta }_2=\frac{n_1\sin {\theta }_1}{n_2}=\frac{1,00\cdot 0,766}{1,50}=0,511,{\theta }_2=30,7^{\circ }$
C'est la ligne $1,00\sin 50^{\circ }=1,50\sin 30,7^{\circ }$ affichée à l'écran. Le rayon tourne de $50^{\circ }-30,7^{\circ }=19,3^{\circ }$ vers la normale en pointillé, tandis que le faible rayon réfléchi repart sous $50^{\circ }$, de l'autre côté de celle-ci.

La valeur affichée tombe de $3,00\times 10^8$ à $v=c/n=2,00\times 10^{8}m/s$ quand le point entre dans le verre ; les marques blanches qu'il laisse tous les quarts de seconde y sont donc espacées des deux tiers seulement de ce qu'elles étaient dans l'air : même durée, moins de chemin.

Quelle est l'intensité du faible rayon réfléchi ? Pour une lumière qui arrive le long de la normale, la fraction de la puissance réfléchie vaut
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(incidence normale)}$
Pour l'air et le verre, $R=(0,50/2,50{)}^2=0,04$, soit 4 %. Sous $50^{\circ }$, elle vaut environ 6 %, et elle tend vers 100 % en incidence rasante : un lac reflète la rive opposée, et pourtant vous voyez les cailloux à vos pieds.

Réflexion totale interne

Dans la seconde partie de l'animation, la lumière se propage à l'intérieur du verre, désormais $n_1=1,50$, vers l'air, $n_2=1,00$. La loi de Snell-Descartes s'écrit $\sin {\theta }_2=1,50\sin {\theta }_1$ : le rayon sort plus loin de la normale qu'il n'est arrivé, et il rase la surface, ${\theta }_2=90^{\circ }$, à l'angle limite
$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}(n_1>n_2)$
Pour le verre et l'air, $\sin {\theta }_c=1/1,50=0,667$, donc ${\theta }_c=41,8^{\circ }$.

Au-delà de ${\theta }_c$, la loi de Snell-Descartes exigerait $\sin {\theta }_2>1$ : il n'y a plus de rayon réfracté, et toute la lumière est réfléchie. Le rayon de l'animation rencontre la surface sous $50^{\circ }$, où $1,50\sin 50^{\circ }=1,15$ ; l'écran montre ${\theta }_1=50^{\circ }>{\theta }_c=41,8^{\circ }$, et tout le faisceau retourne dans le verre. Cette réflexion totale interne ne perd rien, et elle ne peut se produire que du côté d'indice le plus élevé.

Exemple résolu : une lampe dans une piscine

Une petite lampe repose au fond d'une piscine profonde de 2,0 m. Quelle partie de la surface éclaire-t-elle, que voit un nageur qui regarde vers le haut, et quelle profondeur la piscine paraît-elle avoir, vue de dessus à la verticale ?

De l'eau vers l'air, $\sin {\theta }_c=1,00/1,33=0,752$, donc ${\theta }_c=48,8^{\circ }$. Seuls les rayons situés dans un cône de ce demi-angle s'échappent ; la tache éclairée est donc un disque de rayon $r=d\tan {\theta }_c=2,0\cdot 1,14=2,28\mathrm{m}$, où $d$ est la profondeur ; au-delà, la surface est, vue d'en dessous, un miroir parfait. Faites parcourir les rayons en sens inverse : un nageur qui regarde vers le haut voit tout le ciel comprimé dans une fenêtre large de $2{\theta }_c=97,5^{\circ }$, bordée par le reflet du fond de la piscine.

En regardant à la verticale, vous recevez des rayons proches de la normale, où $\sin \theta \approx \theta$. Un rayon qui sort de l'eau est incliné $n$ fois plus qu'à l'intérieur ; prolongé en arrière, il semble donc venir d'un point $n$ fois moins profond. La piscine paraît profonde de $2,0/1,33=1,50\mathrm{m}$, soit un quart de moins que la réalité.

Erreurs fréquentes

• Les angles se mesurent à partir de la normale, pas à partir de la surface. Un rayon à $40^{\circ }$ de la surface du verre a ${\theta }_1=50^{\circ }$ ; avec 40° dans la loi de Snell-Descartes, on obtient 25,4° au lieu de 30,7°.
• La loi de Snell-Descartes relie des sinus, pas des angles. Diviser 30° par 1,5 donne 20° au lieu de 19,5° ; à 50°, ce raccourci donne 33,3° au lieu de 30,7°.
• La lumière garde sa couleur dans l'eau ou dans le verre. Une lumière orange de 600 nm a une longueur d'onde de 400 nm dans un verre d'indice 1,50, mais sa fréquence, $5,0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, ne change pas.
• La réflexion totale interne exige que la lumière passe d'un indice plus élevé à un indice plus faible. De l'air vers le verre, même sous 89°, le rayon entre sous 41,8°.
• Plus réfringent ne veut pas dire plus lourd. L'huile d'olive flotte sur l'eau, pourtant avec $n\approx 1,47$ contre 1,33, elle dévie davantage la lumière.

Où on les rencontre

Les fibres optiques transportent le trafic internet sous forme de lumière piégée par réflexion totale interne. Les prismes des jumelles reçoivent la lumière sous $45^{\circ }$, au-delà de l'angle limite de $41,8^{\circ }$ : ils réfléchissent mieux que des miroirs argentés. Le diamant, avec $n=2,42$ et ${\theta }_c=24,4^{\circ }$, piège la lumière et en renvoie une grande part par le dessus, ce qui explique son éclat. Les mirages au-dessus des routes chaudes viennent de la lumière qui se courbe progressivement dans un air d'indice variable.

Comme $n$ dépend légèrement de la couleur, un prisme sépare la lumière blanche, sujet de Prismes, dispersion et couleurs. Les surfaces courbes qui forment des images font l'objet de Lentilles et miroirs et de L'œil, l'appareil photo et la lunette, et la polarisation de la lumière réfléchie de Polarisation de la lumière.

Avancé

Le principe de Fermat : un temps stationnaire

La réflexion et la réfraction ressemblent à deux règles distinctes, l'une pour les miroirs, l'autre pour le verre. Toutes deux découlent pourtant d'un seul énoncé sur la durée du trajet, et comprendre pourquoi est la voie la plus directe vers l'optique géométrique.

Commençons par la durée elle-même. Dans un milieu d'indice de réfraction $n$, la lumière avance à $c/n$ ; parcourir une petite longueur $ds$ lui prend donc $nds/c$. En additionnant ces morceaux le long d'un chemin entier, on obtient sa durée de parcours. L'intégrale $\int nds$ s'appelle le chemin optique, et la durée est ce chemin divisé par $c$ :
$T=\frac{1}{c}\int nds$

Le principe de Fermat dit que la lumière suit un chemin pour lequel $T$ est stationnaire. Stationnaire signifie qu'une petite déformation du chemin ne change la durée qu'au second ordre en la taille de la déformation, jamais au premier ordre, de même qu'une fonction lisse est plate au fond d'une vallée ou au sommet d'une colline.

Stationnaire ne veut pas toujours dire minimal. Dans un miroir en forme d'ellipse, tous les chemins qui vont d'un foyer au miroir puis à l'autre foyer prennent le même temps : tous sont donc stationnaires. Dans un miroir plus fortement courbé que cette ellipse, le chemin réel est le plus long parmi ses voisins, et non le plus court.

Pourquoi la lumière se soucierait-elle de la durée ? Parce que la lumière est une onde. Prenez tous les chemins concevables de la source au détecteur et associez à chacun une petite flèche, un phaseur, tournée de la phase $\omega T$ que l'onde accumule le long de ce chemin, où $\omega$ est la pulsation. La lumière qui arrive est la somme de toutes ces flèches. Repérez les chemins par un paramètre $x$, et soit $x_0$ le chemin stationnaire, de durée $T_0$. À son voisinage, la durée ne varie que quadratiquement, $T^{\prime \prime }$ étant la dérivée seconde de $T$ en $x_0$ :
$T\approx T_0+\frac{1}{2}{T}^{\prime \prime }(x-x_0{)}^2$

Près de $x_0$, les durées diffèrent à peine : les flèches voisines pointent presque dans le même sens et s'additionnent. Plus loin, la phase change de plus en plus vite d'un chemin au suivant, et les flèches s'enroulent en spirales serrées qui se compensent. Ce qui arrive provient donc d'une bande de chemins autour du chemin stationnaire, dont les durées diffèrent de moins d'une demi-période environ. C'est cette bande que l'on appelle un rayon. En théorie quantique, ces mêmes flèches sont les amplitudes de probabilité d'un photon.

La loi de Snell-Descartes déduite du temps de parcours

La conséquence la plus utile du principe de Fermat est la loi de la réfraction. Cette section l'établit en écrivant la durée de parcours comme une fonction d'un seul nombre, le point où la lumière traverse la surface, puis en cherchant où cette durée est stationnaire.

Légende

$A$	Départ de la route, à une hauteur $a$ au-dessus de la surface.
$B$	Arrivée de la route, à une profondeur $b$ sous la surface.
$a$	Hauteur de $A$ au-dessus de la surface.	$\mathrm{m}$
$b$	Profondeur de $B$ sous la surface.	$\mathrm{m}$
$D$	Distance horizontale de $A$ à $B$.	$\mathrm{m}$
$x$	Distance, le long de la surface, du pied de $A$ au point de traversée.	$\mathrm{m}$
$D-x$	Le reste de la distance horizontale : du point de traversée au pied de $B$.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Angle entre le premier tronçon et la normale à la surface (la droite verticale en pointillé).	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Angle entre le second tronçon et la normale.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Indice de réfraction du milieu supérieur.
$n_2$	Indice de réfraction du milieu inférieur.

La figure 1 pose le problème. Le point $A$ se trouve à une hauteur $a$ au-dessus d'une surface plane, dans un milieu d'indice $n_1$. Le point $B$ se trouve à une profondeur $b$ au-dessous, dans un milieu d'indice $n_2$, à une distance horizontale $D$ plus loin. Dans un même milieu, la route la plus rapide est une ligne droite ; toute route candidate est donc rectiligne au-dessus de la surface et rectiligne au-dessous. Elle est alors fixée par un seul nombre : la distance $x$, le long de la surface, entre le pied de $A$ et le point de traversée. Chaque tronçon est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, de côtés $a$ et $x$ au-dessus de la surface, $b$ et $D-x$ au-dessous. La route dorée en trait plein est la plus rapide ; les routes en pointillé traversent la surface ailleurs, et chacune prend plus de temps.

D'après le théorème de Pythagore, les tronçons mesurent $\sqrt{a^2+x^2}$ et $\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}$. La lumière les parcourt à $c/n_1$ et à $c/n_2$ ; la route qui traverse en $x$ prend donc
$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}{c}$
La route la plus rapide est celle où cette fonction est stationnaire : sa dérivée doit s'annuler. Déplacer le point de traversée vers la droite allonge le tronçon supérieur et raccourcit le tronçon inférieur, d'où le signe moins :
$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(D-x)}{\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}\right)=0$

Lisez maintenant les deux fractions sur la figure. Au point de traversée, le tronçon supérieur fait l'angle ${\theta }_1$ avec la normale, la droite verticale en pointillé. Le côté $a$ est parallèle à cette normale, donc l'angle en $A$ entre le tronçon et $a$ vaut lui aussi ${\theta }_1$. Le côté opposé à cet angle est $x$, et la première fraction, côté opposé sur hypoténuse, vaut $x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin {\theta }_1$. Dans le triangle inférieur, le côté $b$ est vertical lui aussi, l'angle en $B$ est ${\theta }_2$, le côté opposé est $D-x$, et la seconde fraction vaut $(D-x)/\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}=\sin {\theta }_2$. La condition $dT/dx=0$ est donc la loi de Snell-Descartes :
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Cette durée est-elle un minimum ? En dérivant une fois de plus, on obtient une somme de deux termes positifs,
$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_1{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{n_2{b}^2}{(b^2+(D-x{)}^2{)}^{3/2}}\right)>0$
si bien que, sur une surface plane, la durée stationnaire est un vrai minimum.

La réflexion découle des mêmes étapes. Placez $B$ au-dessus de la surface, dans le même milieu que $A$, de sorte que les deux tronçons aient l'indice $n_1$. La condition devient alors $\sin {\theta }_r=\sin {\theta }_1$, où ${\theta }_r$ est l'angle entre le tronçon réfléchi et la normale : l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.

Le principe prédit aussi ce que les angles seuls ne peuvent pas dire. La lumière doit être plus lente, du facteur $n_2/n_1$, dans le milieu où elle se rapproche de la normale. Le modèle corpusculaire de Newton expliquait la même déviation par une attraction du verre sur la lumière, qui l'aurait rendue plus rapide à l'intérieur. Les deux images aboutissent à des conclusions opposées sur la vitesse, et en 1850 Foucault a mesuré que la lumière est plus lente dans l'eau que dans l'air, comme l'exige le principe de Fermat.

Fronts d'onde et accord de phase

Le principe de Fermat parle de chemins. La même loi se lit dans l'onde elle-même, comme la condition pour que les ondes des deux côtés de la surface se raccordent. C'est ce point de vue qui se généralise : il explique les mirages et relie la réfraction aux lois de conservation.

Légende

${\lambda }_1$	Longueur d'onde dans le milieu supérieur : la distance entre deux fronts voisins.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Longueur d'onde dans le milieu inférieur : ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$, plus courte car la lumière y est plus lente.	$\mathrm{m}$
$\Lambda$	Distance, le long de la surface, entre les points où deux fronts voisins la coupent, la même des deux côtés.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Angle entre le rayon incident et la normale ; c'est aussi l'angle entre un front et la surface.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Angle entre le rayon réfracté et la normale.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Indice de réfraction du milieu supérieur.
$n_2$	Indice de réfraction du milieu inférieur, plus réfringent (grisé).

La figure 2 représente un faisceau qui traverse la surface et entre dans un milieu où la lumière est 1,5 fois plus lente, $n_2/n_1=1,5$. Les lignes violettes sont des fronts d'onde, des lignes de même phase. Ce sont aussi des lignes de même durée de parcours depuis la source, c'est-à-dire le principe de Fermat sous forme ondulatoire, et chaque front est perpendiculaire à son rayon. Deux fronts voisins sont séparés d'une longueur d'onde : ${\lambda }_1$ dans le milieu supérieur et ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$ dans le milieu inférieur, car la fréquence est la même des deux côtés alors que la vitesse est plus faible en bas. La couche experte de l'animation montre la loi comme cette condition de raccordement : ses fronts sont espacés de ${\lambda }_0$ dans l'air, ${\lambda }_0$ étant la longueur d'onde dans le vide, et de ${\lambda }_0/n$, soit 1,5 fois plus serrés, dans le verre.

Regardez maintenant le long de la surface. L'onde est continue à travers elle : les fronts du dessus et du dessous doivent donc se raccorder sans rupture, chaque front atteignant la surface au même point des deux côtés. Deux fronts voisins coupent par conséquent la surface à la même distance $\Lambda$ l'un de l'autre des deux côtés : c'est la barre verte.

Reliez $\Lambda$ à chaque longueur d'onde. Un front est perpendiculaire à son rayon et la surface est perpendiculaire à la normale ; l'angle entre un front et la surface est donc égal à l'angle entre le rayon et la normale, ${\theta }_1$ au-dessus de la surface. Deux fronts voisins et le segment $\Lambda$ de surface entre leurs points de rencontre forment un triangle rectangle : $\Lambda$ en est l'hypoténuse, et l'écart entre les fronts, ${\lambda }_1$, est le côté opposé à ${\theta }_1$. D'où ${\lambda }_1=\Lambda \sin {\theta }_1$. Sous la surface, le même triangle donne ${\lambda }_2=\Lambda \sin {\theta }_2$. En éliminant $\Lambda$,
$\frac{{\lambda }_1}{\sin {\theta }_1}=\Lambda =\frac{{\lambda }_2}{\sin {\theta }_2}$
Pour les angles de l'animation, $50^{\circ }$ dans l'air et $30,7^{\circ }$ dans le verre, les deux côtés donnent $\Lambda =1,31{\lambda }_0$. En écrivant $\lambda ={\lambda }_0/n$ de chaque côté, l'équation devient $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$ : encore la loi de Snell-Descartes.

L'inclinaison des fronts montre aussi pourquoi le rayon se rapproche de la normale dans le milieu le plus lent. Une extrémité d'un front oblique atteint la surface la première et ralentit la première, tandis que l'autre extrémité avance encore vite dans le milieu supérieur. Le front pivote autour de son extrémité ralentie, et le rayon, perpendiculaire au front, se rapproche de la normale.

La condition de raccordement a une forme compacte. Le vecteur d'onde pointe le long du rayon et a pour norme $k=n\omega /c=2\pi /\lambda$. Sa composante le long de la surface vaut $k\sin \theta =2\pi /\Lambda$ : l'accord de phase dit donc que cette composante tangentielle est la même des deux côtés. Cela fait écho à deux lois de conservation de la mécanique. Une frontière qui ne change pas au cours du temps conserve la fréquence $\omega$, comme l'invariance dans le temps conserve l'énergie. Une surface identique sur toute sa longueur conserve le vecteur d'onde tangentiel, comme l'invariance par translation conserve la quantité de mouvement.

La règle vaut pour tout empilement de couches parallèles : d'une frontière à la suivante, $n(z)\sin \theta (z)$ reste le même à chaque hauteur $z$. Là où $n$ augmente, $\sin \theta$ diminue et le rayon se rapproche de la normale. Dans un air dont l'indice varie continûment avec la hauteur, un rayon se courbe donc vers les indices plus élevés. Au-dessus d'une route chaude, l'air proche du sol est plus chaud et son indice plus faible : la lumière du ciel se courbe vers le haut jusqu'à l'œil, et la route semble briller comme de l'eau. C'est un mirage.

Angle de réfraction en fonction de l'angle d'incidence

La loi de Snell-Descartes n'est pas linéaire en les angles. Le graphe d'un angle en fonction de l'autre montre d'un coup d'œil où la règle des petits angles des formules des lentilles est valable, où elle cesse de l'être, et où commence la réflexion totale interne.

Légende

${\theta }_1$	Angle d'incidence, mesuré depuis la normale.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Angle de réfraction, mesuré depuis la normale.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Angle limite du verre vers l'air, $\sin {\theta }_c=1/1,5$ ; c'est aussi l'angle où s'achève la courbe de l'air vers le verre.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Indice de réfraction du milieu d'où vient la lumière.
$n_2$	Indice de réfraction du milieu où elle entre.

La figure 3 trace l'angle de réfraction ${\theta }_2$ en fonction de l'angle d'incidence ${\theta }_1$, de $0$ à $90^{\circ }$, pour un verre d'indice 1,5 traversé dans les deux sens. Comme dans la loi de Snell-Descartes, $n_1$ est l'indice du milieu d'où vient la lumière et $n_2$ celui du milieu où elle entre.

Suivez d'abord la courbe bleue : de l'air vers le verre, $n_1<n_2$. Près de l'origine, c'est une droite de pente $n_1/n_2=0,667$, car pour les petits angles $\sin \theta \approx \theta$ et la loi devient ${\theta }_2\approx (n_1/n_2){\theta }_1$, la règle qui sous-tend les formules des lentilles. La courbe s'incurve ensuite et s'achève, en incidence rasante ${\theta }_1=90^{\circ }$, à ${\theta }_2=41,8^{\circ }$ : la hauteur de la droite horizontale en pointillé marquée ${\theta }_c$. La lumière venue de l'air ne se propage jamais dans le verre à plus de cet angle de la normale.

Passons à la courbe rouge : du verre vers l'air, $n_1>n_2$. Elle part avec la pente 1,5, monte de plus en plus vite et atteint ${\theta }_2=90^{\circ }$ en ${\theta }_1={\theta }_c=41,8^{\circ }$, où elle s'arrête sur la droite verticale en pointillé. C'est l'angle limite, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$. Au-delà, il n'y a plus du tout de rayon réfracté, et toute la lumière est réfléchie : c'est la réflexion totale interne.

Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la diagonale en pointillé ${\theta }_2={\theta }_1$. La raison en est que tout trajet lumineux peut être parcouru en sens inverse : si la lumière venue de l'air sous ${\theta }_1$ entre dans le verre sous ${\theta }_2$, la lumière qui chemine dans le verre sous ${\theta }_2$ ressort dans l'air sous ${\theta }_1$, ce qui échange les axes. Voilà pourquoi le même angle ${\theta }_c$ termine les deux courbes.

Pourquoi la courbe rouge grimpe-t-elle si brusquement près de son extrémité ? En différentiant la loi de Snell-Descartes, on obtient $n_1\cos {\theta }_{1}d{\theta }_1=n_2\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2$, donc
$\frac{d{\theta }_2}{d{\theta }_1}=\frac{n_1\cos {\theta }_1}{n_2\cos {\theta }_2}$
Quand ${\theta }_2\to 90^{\circ }$, le cosinus du dénominateur tend vers zéro et la pente diverge. Près de ${\theta }_c$, une minuscule inclinaison du rayon incident fait tourner le rayon émergent d'un grand angle.

Pourquoi la lumière est plus lente dans la matière

Jusqu'ici, l'indice $n$ était simplement donné. Cette section explique d'où il vient, et pourquoi il dépend de la couleur.

Le ralentissement ne vient pas d'une pause de la lumière à chaque atome. L'onde met en mouvement les électrons du matériau, qui oscillent à sa fréquence et rayonnent leurs propres ondes. Une couche mince de ces électrons ajoute une onde faible, en retard d'un quart de période sur l'onde incidente. Ajouter une petite onde en retard d'un quart de période décale légèrement en arrière la phase de l'onde totale, comme si l'onde était arrivée un peu en retard. Couche après couche, ces petits retards s'accumulent, et l'onde totale se propage à $c/n$.

Les électrons répondent d'autant plus fortement que la fréquence se rapproche de leurs fréquences propres, qui se situent dans l'ultraviolet pour le verre. L'indice croît donc avec la fréquence : environ 1,514 pour la lumière rouge et 1,522 pour la bleue dans un verre crown courant. Cette dépendance de $n$ vis-à-vis de la fréquence s'appelle la dispersion ; c'est elle qui permet à un prisme de séparer la lumière blanche en couleurs. Pour les rayons X, dont la fréquence est au-dessus des résonances, $n$ est légèrement inférieur à 1. Les crêtes se déplacent alors plus vite que $c$, ce qui ne viole aucune loi : les crêtes d'une onde permanente ne transportent aucun signal.

Amplitudes, angle de Brewster et onde évanescente

La loi de Snell-Descartes fixe les directions des rayons réfléchi et réfracté, mais pas la quantité de lumière qui part de chaque côté. Celle-ci dépend du fait que la lumière est une onde électromagnétique, et elle explique pourquoi une vitre réfléchit un peu, pourquoi les reflets éblouissants sont polarisés et ce qui se passe juste au-delà d'une surface totalement réfléchissante.

Les équations de Maxwell imposent que les composantes des champs électrique et magnétique le long de la surface soient continues à travers elle. Appliquée aux ondes incidente, réfléchie et réfractée, cette condition donne les formules de Fresnel, qui fournissent les fractions réfléchie et transmise. Elles dépendent de la polarisation, la direction dans laquelle oscille le champ électrique. En incidence normale, les deux polarisations se comportent de la même façon, et la fraction réfléchie de la puissance vaut
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(incidence normale)}$
Elle est de 4,0 % pour le verre, de 2,0 % pour l'eau et de 17 % pour le diamant, la même de chaque côté, car échanger $n_1$ et $n_2$ ne change que le signe à l'intérieur du carré.

En incidence oblique, les deux polarisations se séparent. Le plan d'incidence est le plan qui contient le rayon incident et la normale. Sous les $50^{\circ }$ de l'animation, de l'air vers le verre, la lumière polarisée perpendiculairement à ce plan (dite s) est réfléchie à 11,2 %, celle qui est polarisée dans ce plan (dite p) à 0,3 % seulement.

La réflexion p s'annule complètement à l'angle de Brewster, $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$ : $56,3^{\circ }$ de l'air vers le verre. Le rayon réfracté, sous $33,7^{\circ }$, est alors exactement perpendiculaire à la direction du rayon réfléchi. Les électrons de la section précédente expliquent pourquoi. Pour la lumière p, ils oscillent perpendiculairement au rayon réfracté, dans le plan d'incidence, et à l'angle de Brewster cette direction d'oscillation pointe exactement selon la direction réfléchie. Un dipôle oscillant ne rayonne rien le long de son propre axe : aucune lumière p n'est donc réfléchie. Les reflets proches de cet angle sont par conséquent surtout polarisés s, et c'est pourquoi les lunettes de soleil polarisantes les atténuent.

La réflexion totale interne cache une subtilité. Prenez de la lumière dans un verre d'indice $n_1$, qui rencontre une surface avec l'air, d'indice $n_2$, au-delà de ${\theta }_c$, et notez $k_0=2\pi /{\lambda }_0$ le nombre d'onde dans le vide. L'accord de phase exige toujours le nombre d'onde tangentiel $n_1{k}_0\sin {\theta }_1$ du côté de l'air. Au-delà de ${\theta }_c$, celui-ci dépasse $n_2{k}_0$, le nombre d'onde total disponible dans l'air. La composante normale à la surface, dont le carré vaut $n_2^2{k}_0^2-n_1^2{k}_0^2{\sin }^2{\theta }_1$, est alors la racine carrée d'un nombre négatif : elle est imaginaire. Un nombre d'onde imaginaire décrit une décroissance, et non une oscillation. Le champ dans l'air décroît avec la distance $z$ à la surface comme $e^{-z/\delta }$, avec
$\delta =\frac{{\lambda }_0}{2\pi \sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1-n_2^2}}$

Pour une incidence de $50^{\circ }$ dans le verre de l'animation, $\delta =0,28{\lambda }_0$, soit environ 155 nm pour une lumière verte de 550 nm. C'est l'onde évanescente. En moyenne, elle n'emporte aucune énergie loin de la surface : la réflexion est donc vraiment totale. Mais approchez un second bloc de verre à quelques $\delta$, et le champ évanescent pénètre dans ce bloc : la lumière franchit l'intervalle. Cette réflexion totale frustrée suit les mêmes mathématiques que l'effet tunnel quantique à travers une barrière.

Problème résolu : une tige de verre, guide de lumière

La réflexion totale interne peut piéger la lumière dans une tige ou une fibre sur des kilomètres. Ce problème cherche quand le piégeage fonctionne, quelle largeur de cône lumineux une fibre accepte, et ce que ce cône coûte en débit de signaux.

Légende

$n_1$	Indice de réfraction du cœur.
$n_2$	Indice de réfraction de la gaine, inférieur à $n_1$.
${\alpha }_{\max }$	Plus grand angle par rapport à l'axe sous lequel la lumière qui entre par la face d'extrémité reste piégée.	$\mathrm{rad}$
${\beta }_{\max }$	Angle par rapport à l'axe, dans le cœur, du rayon entré sous ${\alpha }_{\max }$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Angle limite sur la paroi du cœur, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$ : le rayon extrême rencontre la paroi exactement sous cet angle par rapport à la normale.	$\mathrm{rad}$
$L$	Longueur de la fibre.	$\mathrm{m}$

La figure 4 montre une fibre à saut d'indice de longueur $L$ : un cœur d'indice $n_1$ dans une gaine d'indice $n_2<n_1$. La lumière entre par la face d'extrémité plane, perpendiculaire à l'axe, la droite horizontale en pointillé. Le rayon tracé est le rayon extrême encore piégé. Il entre sous l'angle ${\alpha }_{\max }$ par rapport à l'axe, au bord du cône ombré, et se réfracte sur la face d'extrémité jusqu'à l'angle ${\beta }_{\max }$ par rapport à l'axe, dans le cœur. La paroi du cœur est parallèle à l'axe ; sa normale est donc perpendiculaire à l'axe, et le rayon rencontre la paroi à $90^{\circ }-{\beta }_{\max }$ de cette normale. Pour le rayon extrême, c'est exactement l'angle limite : ${\theta }_c=90^{\circ }-{\beta }_{\max }$. Un rayon intérieur au cône fait un angle plus petit avec l'axe, rencontre la paroi à plus de ${\theta }_c$ et reste lui aussi piégé, en rebondissant d'une paroi à l'autre comme sur le dessin.

Commencez par une tige nue. Prenez une longue tige du verre de l'animation, $n=1,50$, dans l'air, avec une face d'extrémité plane perpendiculaire à son axe : l'air joue lui-même le rôle de gaine. La lumière qui entre par l'extrémité sous un angle quelconque peut-elle s'échapper par le côté ?

Un rayon qui entre sous un angle $\alpha$ par rapport à l'axe se réfracte sous l'angle $\beta$, avec $\sin \beta =\sin \alpha /1,50$ d'après la loi de Snell-Descartes sur la face d'extrémité. Même en entrée rasante, $\alpha =90^{\circ }$, on obtient seulement $\sin \beta =0,667$ : $\beta$ ne dépasse donc jamais $41,8^{\circ }$. Le rayon rencontre alors la paroi latérale à $90^{\circ }-\beta \ge 48,2^{\circ }$ de la normale à la paroi, au-delà de ${\theta }_c=41,8^{\circ }$ : tout rayon qui entre est piégé. En général, le rayon le plus incliné a $\sin {\beta }_{\max }=1/n$, et il est piégé s'il rencontre la paroi au-delà de ${\theta }_c$, c'est-à-dire si $\cos {\beta }_{\max }\ge \sin {\theta }_c$. Avec $\sin {\theta }_c=1/n$, cela s'écrit $\sqrt{1-1/n^2}\ge 1/n$, soit $n\ge \sqrt{2}=1,414$.

Une tige nue fuit partout où de la poussière ou un doigt la touche, car l'indice extérieur n'y vaut plus 1. Une vraie fibre entoure donc son cœur d'une gaine d'indice légèrement plus faible, par exemple $n_2=1,46$ autour de $n_1=1,50$. Alors $\sin {\theta }_c=1,46/1,50=0,973$ et ${\theta }_c=76,7^{\circ }$ : dans le cœur, le rayon peut faire au plus ${\beta }_{\max }=13,3^{\circ }$ avec l'axe. La loi de Snell-Descartes sur la face d'extrémité, avec de l'air à l'extérieur, donne $\sin {\alpha }_{\max }=n_1\sin {\beta }_{\max }$, et $\sin {\beta }_{\max }=\cos {\theta }_c=\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}$. L'extrémité n'accepte donc que les rayons pour lesquels
$\sin {\alpha }_{\max }=n_1\cos {\theta }_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1,50^2-1,46^2}=0,344$
c'est-à-dire un cône de demi-angle $20,1^{\circ }$. Sur la figure 4, le cône est bien plus large, car la figure exagère l'écart entre les indices. Le sinus, 0,344, s'appelle l'ouverture numérique de la fibre.

Accepter un cône a un prix : des rayons d'angles différents parcourent des longueurs différentes. Sur $L=1,00\mathrm{km}$, le rayon axial met $n_{1}L/c=5,00\mu \mathrm{s}$. Le rayon piégé le plus incliné zigzague le long d'un chemin plus long du facteur $1/\cos {\beta }_{\max }$ ; comme $\cos {\beta }_{\max }=\sin {\theta }_c=n_2/n_1$, ce facteur vaut $n_1/n_2$, et le rayon met 5,14 μs. Une impulsion brève envoyée dans la fibre en sort donc étalée sur 137 ns ; les impulsions doivent être espacées d'au moins cette durée pour rester distinctes, soit environ 7 millions par seconde sur 1 km. Les fibres de télécommunication évitent ce défaut avec des cœurs d'environ 9 μm de large seulement, qui ne transportent qu'un seul mode de l'onde, et là l'image des rayons n'est plus valable.

Limites de validité

L'optique géométrique est un modèle, et il est utile de savoir où elle cesse de fonctionner.

C'est la limite des courtes longueurs d'onde de l'optique ondulatoire. La bande de chemins qui contribuent autour d'un rayon, rencontrée dans la première section, a une largeur d'environ $\sqrt{\lambda L}$ sur une longueur $L$ : 0,7 mm pour une lumière de 500 nm sur 1 m. Une ouverture plus étroite que cette bande l'entame, et l'image des rayons est mise en défaut. Une fente de largeur $a=0,1\mathrm{mm}$, par exemple, étale un tel faisceau d'environ $\lambda /a=0,005\mathrm{rad}$, soit 0,3° : c'est la diffraction.

Un indice unique $n$ suppose aussi que le milieu est linéaire (sa réponse est proportionnelle au champ), isotrope (le même dans toutes les directions) et non absorbant. Chacune de ces hypothèses peut tomber en défaut. La calcite n'est pas isotrope : elle possède deux indices, 1,486 et 1,658 aux extrêmes, si bien qu'un rayon qui y entre se scinde en deux. Dans les métaux, $n$ est complexe, et la lumière s'éteint en quelques dizaines de nanomètres. Enfin, une frontière en mouvement brise l'invariance dans le temps qui conservait la fréquence : un miroir qui s'éloigne à la vitesse $u$ abaisse la fréquence de la lumière réfléchie d'une fraction d'environ $2u/c$.

Ce qui vient ensuite

Le principe de Fermat conduit à Lentilles et miroirs, où un foyer est un point que de nombreux chemins atteignent exactement dans le même temps. La dispersion fait l'objet de Prismes, dispersion et couleurs, et l'angle de Brewster revient dans Polarisation de la lumière. L'onde lumineuse elle-même est décrite dans Ondes électromagnétiques, la défaillance des rayons dans Diffraction et fentes de Young, et le jumeau quantique de la réflexion frustrée dans Équation de Schrödinger et effet tunnel.

Dans La gravitation, courbure de l'espace-temps, le Soleil dévie de 1,75 seconde d'arc la lumière des étoiles qui le frôle, comme si l'espace autour de lui avait un indice de réfraction $n\approx 1+2GM/(r{c}^2)$, où $M$ est la masse du Soleil et $r$ la distance à son centre. Et l'argument de la phase stationnaire de la première section, par lequel les rayons émergent des ondes, est celui-là même par lequel la mécanique classique, avec son principe de moindre action, émerge de la mécanique quantique.