Reflexión y refracción

Principiante

Paso 1, la normal. Donde un rayo de luz llega a una superficie, imagina una recta que sale perpendicular a ella. Se llama normal, y en óptica todos los ángulos se miden desde ella, no desde la superficie.

Paso 2, la reflexión. Un rayo que rebota en una superficie lisa sale con el mismo ángulo respecto a la normal con el que llegó, como una bola de billar en la banda. Un espejo es liso, así que todos los rayos rebotan juntos y ves una imagen nítida. El papel es rugoso a pequeña escala: la luz sale de él en todas direcciones. Por eso ves la página desde cualquier punto de la habitación, pero nunca tu cara en ella.

Paso 3, la refracción. Cuando la luz entra inclinada en el agua o el vidrio, cambia de dirección en la superficie. La razón es la velocidad: en el vidrio la luz va más despacio. Piensa en un carrito de supermercado que pasa en diagonal del suelo liso a una alfombra: la rueda que pisa la alfombra primero frena primero, y el carrito gira. La regla: en el lado más lento, el rayo queda más cerca de la normal.

En la animación, el punto amarillo deja una marca blanca cada cuarto de segundo. Dentro del vidrio las marcas se juntan: luz más lenta, pasos más cortos. Fíjate también en el rayo débil que rebota hacia arriba.

Paso 4, luz atrapada. Al salir del vidrio, el rayo se aleja de la normal. Si lo inclinas lo suficiente, no puede salir en absoluto: toda la luz se refleja hacia dentro. Esta reflexión total guía la luz por las fibras ópticas.

Ponte a prueba: un rayo pasa del agua al aire. ¿Queda más cerca de la normal o más lejos? (Más lejos: en el aire la luz es más rápida.)

Intermedio

Rayos, la normal y el índice de refracción

Un haz estrecho de luz puede dibujarse como un rayo, una línea en la dirección en que viaja la energía de la luz. Donde un rayo llega a una superficie, se traza la normal, la recta perpendicular a la superficie en ese punto. Todos los ángulos de la óptica se miden desde la normal, nunca desde la superficie: el ángulo de incidencia ${\theta }_1$, el ángulo de reflexión ${\theta }_r$ y el ángulo de refracción ${\theta }_2$. Los rayos reflejado y refractado permanecen en el plano de incidencia, que contiene el rayo incidente y la normal.

El índice de refracción compara la velocidad de la luz en el vacío, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, con su velocidad $v$ en el material:
$n=\frac{c}{v}$

El aire tiene $n=1,0003$, que se redondea a 1,00; el agua, 1,33; el vidrio común, unos 1,5 (la animación usa 1,50) y el diamante, 2,42. De dos medios, se llama ópticamente más denso el que tiene mayor $n$.

Las leyes de la reflexión y la refracción

En una frontera lisa, parte de la luz se refleja y parte entra en el segundo medio. Sus direcciones obedecen dos leyes:

• ${\theta }_r={\theta }_1\text{(reflexioˊn)}$
• $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

El rayo reflejado sale al otro lado de la normal con el ángulo con que llegó la luz. La segunda ley es la ley de Snell de la refracción, descrita por Ibn Sahl en Bagdad hacia el año 984, redescubierta por Willebrord Snell en 1621 y publicada por Descartes en 1637.

En la ley de Snell, el producto $n\sin \theta$ es el mismo a ambos lados. Al entrar en un medio de mayor $n$, $\sin \theta$ debe disminuir, así que el rayo se acerca a la normal; al entrar en uno de menor $n$, se aleja. Un rayo que llega por la normal sigue recto, aunque también se frena, y todo camino de la luz puede recorrerse en sentido inverso.

La frecuencia $f$, fijada por la fuente, no cambia nunca en la frontera. Como $v=f\lambda$, la longitud de onda se reduce en proporción a la velocidad:
$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n}$
donde ${\lambda }_0$ es la longitud de onda en el vacío. La luz verde de 550 nm tiene una longitud de onda de unos 367 nm en el vidrio de la animación, y sigue siendo verde: el color va con la frecuencia.

Por qué la luz más lenta se desvía

Imagina un frente de onda recto que llega a la superficie; forma con ella el mismo ángulo ${\theta }_1$ que el rayo forma con la normal. Un extremo toca la superficie en $A$. Mientras el otro extremo recorre su último tramo, $v_1\Delta t$ en el aire, para llegar a la superficie en $B$, la luz que entró en $A$ avanza solo $v_2\Delta t$ dentro del vidrio. El nuevo frente parte de $B$ y es justo tangente a la circunferencia de radio $v_2\Delta t$ alrededor de $A$: la onda ha girado.

Los dos triángulos rectángulos comparten la hipotenusa, el tramo $AB$ de longitud $L$ a lo largo de la superficie, así que
$\sin {\theta }_1=\frac{v_1\Delta t}{L},\sin {\theta }_2=\frac{v_2\Delta t}{L}$
Al dividir queda $\sin {\theta }_1/\sin {\theta }_2=v_1/v_2=n_2/n_1$, que es la ley de Snell: la imagen del carrito de supermercado del nivel Principiante, hecha exacta.

Ejemplo resuelto: el rayo de la animación

En la primera parte de la animación, la luz pasa del aire, $n_1=1,00$, al vidrio, $n_2=1,50$, con ${\theta }_1=50^{\circ }$. La ley de Snell da
$\sin {\theta }_2=\frac{n_1\sin {\theta }_1}{n_2}=\frac{1,00\cdot 0,766}{1,50}=0,511,{\theta }_2=30,7^{\circ }$
Es la línea $1,00\sin 50^{\circ }=1,50\sin 30,7^{\circ }$ de la pantalla. El rayo gira $50^{\circ }-30,7^{\circ }=19,3^{\circ }$ hacia la normal discontinua, mientras que el rayo reflejado, tenue, sale a $50^{\circ }$ al otro lado de ella.

El marcador baja de $3,00\times 10^8$ a $v=c/n=2,00\times 10^{8}m/s$ cuando el punto entra en el vidrio, así que las marcas blancas que deja cada cuarto de segundo quedan allí separadas solo dos tercios de lo que lo estaban en el aire: el mismo tiempo, menos recorrido.

¿Qué brillo tiene el rayo tenue? Para luz que llega a lo largo de la normal, la fracción de la potencia que se refleja es
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(incidencia normal)}$
Para aire y vidrio, $R=(0,50/2,50{)}^2=0,04$, es decir, un 4 %. A $50^{\circ }$ es de un 6 % aproximadamente, y sube hacia el 100 % con incidencia rasante: un lago refleja la orilla lejana, pero a tus pies ves las piedras.

Reflexión interna total

En la segunda parte de la animación, la luz viaja dentro del vidrio, ahora $n_1=1,50$, hacia el aire, $n_2=1,00$. La ley de Snell se lee $\sin {\theta }_2=1,50\sin {\theta }_1$: el rayo sale más alejado de la normal de lo que llegó, y roza la superficie, ${\theta }_2=90^{\circ }$, en el ángulo crítico
$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}(n_1>n_2)$
Para vidrio y aire, $\sin {\theta }_c=1/1,50=0,667$, de modo que ${\theta }_c=41,8^{\circ }$.

Más allá de ${\theta }_c$, la ley de Snell exigiría $\sin {\theta }_2>1$: no hay rayo refractado, y toda la luz se refleja. El rayo de la animación llega a la superficie con $50^{\circ }$, donde $1,50\sin 50^{\circ }=1,15$; la pantalla muestra ${\theta }_1=50^{\circ }>{\theta }_c=41,8^{\circ }$, y todo el haz vuelve al vidrio. Esta reflexión interna total no pierde nada, y solo puede darse del lado de mayor índice.

Ejemplo resuelto: una lámpara en una piscina

Una pequeña lámpara está en el fondo de una piscina de 2,0 m de profundidad. ¿Qué parte de la superficie ilumina, qué ve un nadador que mira hacia arriba y qué profundidad parece tener la piscina vista desde justo encima?

Del agua al aire, $\sin {\theta }_c=1,00/1,33=0,752$, así que ${\theta }_c=48,8^{\circ }$. Solo escapan los rayos dentro de un cono con ese semiángulo, de modo que la mancha iluminada es un círculo de radio $r=d\tan {\theta }_c=2,0\cdot 1,14=2,28\mathrm{m}$, donde $d$ es la profundidad; más allá, la superficie es un espejo perfecto visto desde abajo. Recorre los rayos en sentido inverso: un nadador que mira hacia arriba ve todo el cielo comprimido en una ventana de $2{\theta }_c=97,5^{\circ }$ de ancho, rodeada por un reflejo del fondo de la piscina.

Al mirar justo hacia abajo recibes rayos cercanos a la normal, donde $\sin \theta \approx \theta$. Un rayo que sale del agua se inclina $n$ veces más que dentro, así que, prolongado hacia atrás, parece venir de un punto con solo $1/n$ de la profundidad. La piscina parece tener $2,0/1,33=1,50\mathrm{m}$ de profundidad, una cuarta parte menos de la que tiene.

Errores frecuentes

• Los ángulos se miden desde la normal, no desde la superficie. Un rayo a $40^{\circ }$ de la superficie del vidrio tiene ${\theta }_1=50^{\circ }$; si usas 40° en la ley de Snell, sale 25,4° en lugar de 30,7°.
• La ley de Snell relaciona senos, no ángulos. Dividir 30° entre 1,5 da 20° en lugar de 19,5°; a 50° el atajo da 33,3° en lugar de 30,7°.
• La luz conserva su color en el agua o en el vidrio. La luz naranja de 600 nm tiene una longitud de onda de 400 nm en un vidrio de índice 1,50, pero su frecuencia, $5,0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, no cambia.
• La reflexión interna total exige que la luz pase de un índice mayor a uno menor. Al entrar en el vidrio desde el aire, incluso a 89°, el rayo entra con un ángulo de 41,8°.
• Ópticamente más denso no significa más pesado. El aceite de oliva flota en el agua y, sin embargo, con $n\approx 1,47$ frente a 1,33, desvía más la luz.

Dónde aparece

Las fibras ópticas llevan el tráfico de internet como luz atrapada por reflexión interna total. Los prismas de los prismáticos reciben la luz a $45^{\circ }$, más allá del ángulo crítico de $41,8^{\circ }$, así que reflejan mejor que los espejos plateados. El diamante, con $n=2,42$ y ${\theta }_c=24,4^{\circ }$, atrapa la luz y devuelve gran parte por la cara superior, y por eso centellea. Los espejismos sobre las carreteras calientes nacen de la luz que se curva poco a poco en aire de índice variable.

Como $n$ depende ligeramente del color, un prisma separa la luz blanca, tema de Prismas, dispersión y color. Las fronteras curvas que forman imágenes se estudian en Lentes y espejos y El ojo, la cámara y el telescopio, y la polarización de la luz reflejada, en Polarización de la luz.

Avanzado

El principio de Fermat del tiempo estacionario

La reflexión y la refracción parecen dos reglas distintas, una para los espejos y otra para el vidrio. Sin embargo, ambas se deducen de un único enunciado sobre el tiempo de recorrido, y entender por qué es el camino más directo hacia la óptica de rayos.

Empieza por el propio tiempo. En un medio de índice de refracción $n$ la luz avanza a $c/n$, así que recorrer una longitud corta $ds$ le lleva $nds/c$. Sumando estos trozos a lo largo de un camino entero se obtiene su tiempo de recorrido. La integral $\int nds$ se llama camino óptico, y el tiempo es ese camino dividido entre $c$:
$T=\frac{1}{c}\int nds$

El principio de Fermat dice que la luz sigue un camino para el que $T$ es estacionario. Estacionario significa que una deformación pequeña del camino cambia el tiempo solo a segundo orden en el tamaño de la deformación, nunca a primer orden, igual que una función suave es plana en el fondo de un valle o en la cima de una colina.

Estacionario no siempre significa mínimo. Dentro de un espejo con forma de elipse, todos los caminos que van de un foco al espejo y de ahí al otro foco tardan lo mismo, así que todos son estacionarios. En un espejo de curvatura más cerrada que esa elipse, el camino real es el más largo entre sus vecinos, no el más corto.

¿Por qué iba a importarle el tiempo a la luz? Porque la luz es una onda. Toma todos los caminos concebibles de la fuente al detector y asigna a cada uno una pequeña flecha, un fasor, girada la fase $\omega T$ que la onda acumula a lo largo de él, donde $\omega$ es la frecuencia angular. La luz que llega es la suma de todas esas flechas. Etiqueta los caminos con un parámetro $x$, y sea $x_0$ el estacionario, con tiempo $T_0$. Cerca de él, el tiempo cambia solo de forma cuadrática, siendo $T^{\prime \prime }$ la segunda derivada de $T$ en $x_0$:
$T\approx T_0+\frac{1}{2}{T}^{\prime \prime }(x-x_0{)}^2$

Cerca de $x_0$ los tiempos apenas difieren, así que las flechas vecinas apuntan casi en la misma dirección y se suman. Más lejos, la fase cambia cada vez más deprisa de un camino al siguiente, y las flechas se enroscan en espirales cerradas que se anulan. Lo que llega procede, por tanto, de una franja de caminos alrededor del estacionario cuyos tiempos difieren en menos de medio periodo, más o menos. Esa franja es lo que llamamos un rayo. En la teoría cuántica, esas mismas flechas son las amplitudes de probabilidad de un fotón.

La ley de Snell a partir del tiempo de recorrido

La consecuencia más útil del principio de Fermat es la ley de la refracción. Esta sección la deduce escribiendo el tiempo de recorrido como función de un solo número, el punto en que la luz cruza la superficie, y buscando dónde ese tiempo es estacionario.

Leyenda

$A$	Inicio de la ruta, a una altura $a$ sobre la superficie.
$B$	Final de la ruta, a una profundidad $b$ bajo la superficie.
$a$	Altura de $A$ sobre la superficie.	$\mathrm{m}$
$b$	Profundidad de $B$ bajo la superficie.	$\mathrm{m}$
$D$	Distancia horizontal de $A$ a $B$.	$\mathrm{m}$
$x$	Distancia a lo largo de la superficie desde el pie de $A$ hasta el punto de cruce.	$\mathrm{m}$
$D-x$	El resto de la distancia horizontal: del punto de cruce al pie de $B$.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Ángulo entre el primer tramo y la normal a la superficie (la línea vertical discontinua).	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ángulo entre el segundo tramo y la normal.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Índice de refracción del medio superior.
$n_2$	Índice de refracción del medio inferior.

La figura 1 plantea el problema. El punto $A$ está a una altura $a$ sobre una superficie plana, en un medio de índice $n_1$. El punto $B$ está a una profundidad $b$ bajo ella, en un medio de índice $n_2$, a una distancia horizontal $D$ más allá. Dentro de un mismo medio la ruta más rápida es una línea recta, así que cualquier ruta candidata es recta por encima de la superficie y recta por debajo. Queda fijada entonces por un solo número: la distancia $x$, a lo largo de la superficie, desde el pie de $A$ hasta el punto de cruce. Cada tramo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, de catetos $a$ y $x$ sobre la superficie, y $b$ y $D-x$ bajo ella. La ruta dorada continua es la más rápida; las discontinuas cruzan la superficie en otros puntos, y cada una tarda más.

Por el teorema de Pitágoras, los tramos miden $\sqrt{a^2+x^2}$ y $\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}$. La luz los recorre a $c/n_1$ y a $c/n_2$, así que la ruta que cruza en $x$ tarda
$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}{c}$
La ruta más rápida está donde esta función es estacionaria, de modo que su derivada debe anularse. Mover el punto de cruce hacia la derecha alarga el tramo superior y acorta el inferior, y de ahí sale el signo menos:
$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(D-x)}{\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}\right)=0$

Ahora lee las dos fracciones en la figura. En el punto de cruce, el tramo superior forma el ángulo ${\theta }_1$ con la normal, la línea vertical discontinua. El cateto $a$ es paralelo a esa normal, así que el ángulo en $A$ entre el tramo y $a$ también es ${\theta }_1$. El cateto opuesto a ese ángulo es $x$, y la primera fracción, cateto opuesto entre hipotenusa, es $x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin {\theta }_1$. En el triángulo inferior el cateto $b$ también es vertical, el ángulo en $B$ es ${\theta }_2$, el cateto opuesto es $D-x$, y la segunda fracción es $(D-x)/\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}=\sin {\theta }_2$. Por tanto, la condición $dT/dx=0$ es la ley de Snell:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

¿Es este tiempo un mínimo? Derivando una vez más se obtiene una suma de dos términos positivos,
$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_1{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{n_2{b}^2}{(b^2+(D-x{)}^2{)}^{3/2}}\right)>0$
así que en una superficie plana el tiempo estacionario es un mínimo verdadero.

La reflexión se deduce con los mismos pasos. Coloca $B$ sobre la superficie, en el mismo medio que $A$, de modo que los dos tramos tengan el índice $n_1$. La condición pasa a ser $\sin {\theta }_r=\sin {\theta }_1$, donde ${\theta }_r$ es el ángulo entre el tramo reflejado y la normal: el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

El principio predice además algo que los ángulos por sí solos no pueden decir. La luz debe ser más lenta, en un factor $n_2/n_1$, en el medio en el que se acerca a la normal. El modelo corpuscular de Newton explicaba la misma desviación mediante una atracción del vidrio sobre la luz, que la haría más rápida dentro. Las dos imágenes predicen velocidades opuestas, y en 1850 Foucault midió que la luz es más lenta en el agua que en el aire, como exige el principio de Fermat.

Frentes de onda y acoplamiento de fases

El principio de Fermat habla de caminos. La misma ley puede verse en la propia onda, como la condición de que las ondas a ambos lados de la superficie encajen. Este es el punto de vista que se generaliza: explica los espejismos y relaciona la refracción con las leyes de conservación.

Leyenda

${\lambda }_1$	Longitud de onda en el medio superior: la distancia entre frentes de onda vecinos.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Longitud de onda en el medio inferior: ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$, más corta porque allí la luz es más lenta.	$\mathrm{m}$
$\Lambda$	Distancia a lo largo de la superficie entre los puntos donde la cortan frentes vecinos, la misma a ambos lados.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Ángulo entre el rayo incidente y la normal; también el ángulo entre un frente y la superficie.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ángulo entre el rayo refractado y la normal.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Índice de refracción del medio superior.
$n_2$	Índice de refracción del medio inferior, ópticamente más denso (sombreado).

La figura 2 dibuja un haz que cruza la superficie y entra en un medio donde la luz es 1,5 veces más lenta, $n_2/n_1=1,5$. Las líneas moradas son frentes de onda, líneas de igual fase. Son también líneas de igual tiempo de recorrido desde la fuente, es decir, el principio de Fermat en forma ondulatoria, y cada frente es perpendicular a su rayo. Los frentes vecinos están separados una longitud de onda: ${\lambda }_1$ en el medio superior y ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$ en el inferior, porque la frecuencia es la misma a ambos lados mientras que la velocidad es menor abajo. La vista experta de la animación muestra la ley como esta condición de acoplamiento: sus frentes están separados ${\lambda }_0$ en el aire, donde ${\lambda }_0$ es la longitud de onda en el vacío, y ${\lambda }_0/n$, 1,5 veces más juntos, en el vidrio.

Fíjate ahora a lo largo de la superficie. La onda es continua a través de ella, así que los frentes de arriba y de abajo deben empalmar sin cortes: cada frente llega a la superficie en el mismo punto desde ambos lados. Por tanto, los frentes vecinos cortan la superficie a la misma distancia $\Lambda$ entre sí a ambos lados: es la barra verde.

Relaciona $\Lambda$ con cada longitud de onda. Un frente es perpendicular a su rayo y la superficie es perpendicular a la normal, así que el ángulo entre un frente y la superficie es igual al ángulo entre el rayo y la normal, ${\theta }_1$ sobre la superficie. Dos frentes vecinos y el tramo $\Lambda$ de superficie entre sus puntos de corte forman un triángulo rectángulo: $\Lambda$ es su hipotenusa, y la separación entre los frentes, ${\lambda }_1$, es el cateto opuesto a ${\theta }_1$. Por tanto, ${\lambda }_1=\Lambda \sin {\theta }_1$. Bajo la superficie, el mismo triángulo da ${\lambda }_2=\Lambda \sin {\theta }_2$. Eliminando $\Lambda$,
$\frac{{\lambda }_1}{\sin {\theta }_1}=\Lambda =\frac{{\lambda }_2}{\sin {\theta }_2}$
Para los ángulos de la animación, $50^{\circ }$ en el aire y $30,7^{\circ }$ en el vidrio, ambos lados dan $\Lambda =1,31{\lambda }_0$. Escribiendo $\lambda ={\lambda }_0/n$ a cada lado, la ecuación se convierte en $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$: otra vez la ley de Snell.

La inclinación de los frentes muestra también por qué el rayo se acerca a la normal en el medio más lento. Un extremo de un frente oblicuo llega antes a la superficie y se frena antes, mientras el otro extremo sigue avanzando deprisa en el medio superior. El frente gira en torno a su extremo frenado, y el rayo, perpendicular al frente, se acerca a la normal.

La condición de acoplamiento tiene una forma compacta. El vector de onda apunta a lo largo del rayo y tiene módulo $k=n\omega /c=2\pi /\lambda$. Su componente a lo largo de la superficie es $k\sin \theta =2\pi /\Lambda$, así que el acoplamiento de fases dice que esta componente tangencial es la misma a ambos lados. Esto refleja dos leyes de conservación de la mecánica. Una frontera que no cambia con el tiempo conserva la frecuencia $\omega$, igual que la simetría temporal conserva la energía. Una superficie igual en toda su extensión conserva el vector de onda tangencial, igual que la simetría de traslación conserva la cantidad de movimiento.

La regla vale para cualquier pila de capas paralelas: al cruzar una frontera tras otra, $n(z)\sin \theta (z)$ se mantiene igual a cada altura $z$. Donde $n$ crece, $\sin \theta$ disminuye y el rayo se acerca a la normal. En un aire cuyo índice varía suavemente con la altura, un rayo se curva, por tanto, hacia el $n$ mayor. Sobre una carretera caliente, el aire junto al suelo está más caliente y su índice es menor, así que la luz del cielo se curva hacia arriba hasta el ojo y la carretera parece brillar como el agua. Es un espejismo.

Ángulo de refracción frente a ángulo de incidencia

La ley de Snell no es lineal en los ángulos. Una gráfica de un ángulo frente al otro muestra de un vistazo dónde vale la regla de ángulos pequeños de las fórmulas de las lentes, dónde deja de valer y dónde empieza la reflexión interna total.

Leyenda

${\theta }_1$	Ángulo de incidencia, medido desde la normal.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ángulo de refracción, medido desde la normal.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Ángulo crítico del vidrio al aire, $\sin {\theta }_c=1/1,5$; también el ángulo en el que termina la curva del aire al vidrio.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Índice de refracción del medio del que viene la luz.
$n_2$	Índice de refracción del medio en el que entra.

La figura 3 representa el ángulo de refracción ${\theta }_2$ frente al ángulo de incidencia ${\theta }_1$, de $0$ a $90^{\circ }$, para un vidrio de índice 1,5 atravesado en los dos sentidos. Como en la ley de Snell, $n_1$ es el índice del medio del que viene la luz y $n_2$ el del medio en el que entra.

Sigue primero la curva azul: del aire al vidrio, $n_1<n_2$. Cerca del origen es una recta de pendiente $n_1/n_2=0,667$, porque para ángulos pequeños $\sin \theta \approx \theta$ y la ley de Snell se convierte en ${\theta }_2\approx (n_1/n_2){\theta }_1$, la regla que hay detrás de las fórmulas de las lentes. Luego la curva se dobla y termina, en incidencia rasante ${\theta }_1=90^{\circ }$, en ${\theta }_2=41,8^{\circ }$: la altura de la línea horizontal discontinua marcada ${\theta }_c$. La luz que viene del aire nunca viaja dentro del vidrio a más de este ángulo de la normal.

Ahora la curva roja: del vidrio al aire, $n_1>n_2$. Arranca con pendiente 1,5, sube cada vez más deprisa y alcanza ${\theta }_2=90^{\circ }$ en ${\theta }_1={\theta }_c=41,8^{\circ }$, donde se detiene en la línea vertical discontinua. Este es el ángulo crítico, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$. Más allá no hay ningún rayo refractado, y toda la luz se refleja: es la reflexión interna total.

Las dos curvas son imágenes especulares una de otra respecto a la diagonal discontinua ${\theta }_2={\theta }_1$. La razón es que todo camino de la luz puede recorrerse en sentido inverso: si la luz que viene del aire con ${\theta }_1$ entra en el vidrio con ${\theta }_2$, la luz que viaja dentro del vidrio con ${\theta }_2$ sale al aire con ${\theta }_1$, lo que intercambia los ejes. Por eso el mismo ángulo ${\theta }_c$ cierra las dos curvas.

¿Por qué la curva roja se dispara tan bruscamente cerca de su final? Derivando la ley de Snell se obtiene $n_1\cos {\theta }_{1}d{\theta }_1=n_2\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2$, de modo que
$\frac{d{\theta }_2}{d{\theta }_1}=\frac{n_1\cos {\theta }_1}{n_2\cos {\theta }_2}$
Cuando ${\theta }_2\to 90^{\circ }$, el coseno del denominador tiende a cero y la pendiente diverge. Cerca de ${\theta }_c$, una inclinación minúscula del rayo incidente hace girar el rayo emergente un ángulo grande.

Por qué la luz es más lenta en la materia

Hasta aquí, el índice $n$ venía simplemente dado. Esta sección explica de dónde sale y por qué depende del color.

La lentitud no es la luz deteniéndose en cada átomo. La onda pone en movimiento los electrones del material, que oscilan a la frecuencia de la onda y radian sus propias ondas. Una capa fina de esos electrones añade una onda débil que va un cuarto de ciclo por detrás de la incidente. Sumar una onda pequeña un cuarto de ciclo retrasada desplaza un poco hacia atrás la fase del total, como si la onda hubiera llegado algo tarde. Capa tras capa, esos pequeños retrasos se acumulan, y la onda total viaja a $c/n$.

Los electrones responden con más fuerza a medida que la frecuencia se acerca a sus frecuencias naturales, que en el vidrio están en el ultravioleta. Por eso el índice aumenta con la frecuencia: unos 1,514 para la luz roja y 1,522 para la azul en un vidrio crown común. Esta dependencia de $n$ con la frecuencia se llama dispersión, y es lo que permite a un prisma separar la luz blanca en colores. Para los rayos X, cuya frecuencia está por encima de las resonancias, $n$ es algo menor que 1. Las crestas avanzan entonces más deprisa que $c$, lo que no viola ninguna ley: las crestas de una onda permanente no transportan ninguna señal.

Amplitudes, ángulo de Brewster y onda evanescente

La ley de Snell fija las direcciones de los rayos reflejado y refractado, pero no cuánta luz va hacia cada lado. Eso depende de que la luz sea una onda electromagnética, y explica por qué una ventana refleja un poco, por qué los reflejos deslumbrantes están polarizados y qué ocurre justo más allá de una superficie que refleja totalmente.

Las ecuaciones de Maxwell exigen que las componentes de los campos eléctrico y magnético a lo largo de la superficie sean continuas a través de ella. Aplicando esto a las ondas incidente, reflejada y refractada se obtienen las ecuaciones de Fresnel, que dan las fracciones reflejada y transmitida. Dependen de la polarización, la dirección en la que oscila el campo eléctrico. En incidencia normal ambas polarizaciones se comportan igual, y la fracción reflejada de la potencia es
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(incidencia normal)}$
Esto da un 4,0 % para el vidrio, un 2,0 % para el agua y un 17 % para el diamante, lo mismo desde cualquiera de los dos lados, porque intercambiar $n_1$ y $n_2$ solo cambia el signo dentro del cuadrado.

En incidencia oblicua, las dos polarizaciones se separan. El plano de incidencia es el plano que contiene el rayo incidente y la normal. A los $50^{\circ }$ de la animación, del aire al vidrio, la luz polarizada perpendicularmente a ese plano (llamada s) se refleja en un 11,2 %, y la polarizada en ese plano (llamada p), solo en un 0,3 %.

La reflexión p desaparece por completo en el ángulo de Brewster, $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$: $56,3^{\circ }$ del aire al vidrio. Ahí el rayo refractado, a $33,7^{\circ }$, es exactamente perpendicular a la dirección del rayo reflejado. Los electrones de la sección anterior explican por qué. Para la luz p oscilan perpendicularmente al rayo refractado, dentro del plano de incidencia, y en el ángulo de Brewster esa línea de oscilación apunta justo en la dirección reflejada. Un dipolo que oscila no radia nada a lo largo de su propio eje, así que no se refleja nada de luz p. Por eso los reflejos cerca de este ángulo están polarizados sobre todo en s, y por eso las gafas de sol polarizadas los atenúan.

La reflexión interna total esconde una sutileza. Toma luz dentro de un vidrio de índice $n_1$ que llega a una superficie con el aire, de índice $n_2$, más allá de ${\theta }_c$, y escribe $k_0=2\pi /{\lambda }_0$ para el número de onda en el vacío. El acoplamiento de fases sigue exigiendo el número de onda tangencial $n_1{k}_0\sin {\theta }_1$ en el lado del aire. Más allá de ${\theta }_c$, este supera $n_2{k}_0$, el número de onda total disponible en el aire. La componente normal a la superficie, cuyo cuadrado es $n_2^2{k}_0^2-n_1^2{k}_0^2{\sin }^2{\theta }_1$, es entonces la raíz cuadrada de un número negativo: es imaginaria. Un número de onda imaginario describe un decaimiento, no una oscilación. El campo en el aire decae con la distancia $z$ a la superficie como $e^{-z/\delta }$, con
$\delta =\frac{{\lambda }_0}{2\pi \sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1-n_2^2}}$

Con una incidencia de $50^{\circ }$ dentro del vidrio de la animación, $\delta =0,28{\lambda }_0$, unos 155 nm para luz verde de 550 nm. Esta es la onda evanescente. En promedio no se lleva energía de la superficie, así que la reflexión es de verdad total. Pero acerca un segundo bloque de vidrio a pocos $\delta$, y el campo evanescente penetra en él: la luz se filtra a través del hueco. Esta reflexión total frustrada sigue las mismas matemáticas que el efecto túnel cuántico a través de una barrera.

Problema resuelto: una varilla de vidrio como guía de luz

La reflexión interna total puede atrapar la luz dentro de una varilla o de una fibra a lo largo de kilómetros. Este problema averigua cuándo funciona la trampa, qué anchura tiene el cono de luz que acepta una fibra y cuánto cuesta ese cono en velocidad de transmisión.

Leyenda

$n_1$	Índice de refracción del núcleo.
$n_2$	Índice de refracción del revestimiento, menor que $n_1$.
${\alpha }_{\max }$	Mayor ángulo respecto al eje con el que la luz que entra por la cara extrema sigue atrapada.	$\mathrm{rad}$
${\beta }_{\max }$	Ángulo respecto al eje, dentro del núcleo, del rayo que entró con ${\alpha }_{\max }$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Ángulo crítico en la pared del núcleo, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$: el rayo extremo llega a la pared exactamente con este ángulo respecto a la normal.	$\mathrm{rad}$
$L$	Longitud de la fibra.	$\mathrm{m}$

La figura 4 muestra una fibra de índice escalonado de longitud $L$: un núcleo de índice $n_1$ dentro de un revestimiento de índice $n_2<n_1$. La luz entra por la cara extrema plana, perpendicular al eje, la línea horizontal discontinua. El rayo dibujado es el extremo que todavía queda atrapado. Entra con el ángulo ${\alpha }_{\max }$ respecto al eje, en el borde del cono sombreado, y se refracta en la cara extrema hasta el ángulo ${\beta }_{\max }$ respecto al eje dentro del núcleo. La pared del núcleo es paralela al eje, así que su normal es perpendicular al eje, y el rayo llega a la pared a $90^{\circ }-{\beta }_{\max }$ de esa normal. Para el rayo extremo, ese es exactamente el ángulo crítico: ${\theta }_c=90^{\circ }-{\beta }_{\max }$. Un rayo dentro del cono forma un ángulo menor con el eje, llega a la pared a más de ${\theta }_c$ y también queda atrapado, rebotando de pared a pared como en el dibujo.

Empieza con una varilla desnuda. Toma una varilla larga del vidrio de la animación, $n=1,50$, en el aire, con una cara extrema plana perpendicular a su eje: el propio aire hace de revestimiento. ¿Puede escapar por el lateral la luz que entra por el extremo con cualquier ángulo?

Un rayo que entra con un ángulo $\alpha$ respecto al eje se refracta hasta $\beta$, con $\sin \beta =\sin \alpha /1,50$ por la ley de Snell en la cara extrema. Incluso con entrada rasante, $\alpha =90^{\circ }$, esto da solo $\sin \beta =0,667$, así que $\beta$ nunca supera $41,8^{\circ }$. El rayo llega entonces a la pared lateral a $90^{\circ }-\beta \ge 48,2^{\circ }$ de la normal de la pared, más allá de ${\theta }_c=41,8^{\circ }$: todo rayo que entra queda atrapado. En general, el rayo más inclinado tiene $\sin {\beta }_{\max }=1/n$, y queda atrapado si llega a la pared más allá de ${\theta }_c$, es decir, si $\cos {\beta }_{\max }\ge \sin {\theta }_c$. Con $\sin {\theta }_c=1/n$ esto se escribe $\sqrt{1-1/n^2}\ge 1/n$, o $n\ge \sqrt{2}=1,414$.

Una varilla desnuda pierde luz allí donde la toca el polvo o un dedo, porque ahí el índice exterior ya no es 1. Por eso una fibra real envuelve su núcleo en un revestimiento de índice algo menor, digamos $n_2=1,46$ alrededor de $n_1=1,50$. Ahora $\sin {\theta }_c=1,46/1,50=0,973$ y ${\theta }_c=76,7^{\circ }$, así que dentro del núcleo el rayo puede formar como mucho ${\beta }_{\max }=13,3^{\circ }$ con el eje. La ley de Snell en la cara extrema, con aire fuera, da $\sin {\alpha }_{\max }=n_1\sin {\beta }_{\max }$, y $\sin {\beta }_{\max }=\cos {\theta }_c=\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}$. Así que el extremo solo acepta rayos con
$\sin {\alpha }_{\max }=n_1\cos {\theta }_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1,50^2-1,46^2}=0,344$
es decir, un cono de semiángulo $20,1^{\circ }$. En la figura 4 el cono es mucho más ancho, porque la figura exagera la diferencia entre los índices. El seno, 0,344, se llama apertura numérica de la fibra.

El precio de aceptar un cono es que los rayos con ángulos distintos recorren longitudes distintas. En $L=1,00\mathrm{km}$, el rayo axial tarda $n_{1}L/c=5,00\mu \mathrm{s}$. El rayo atrapado más inclinado zigzaguea por un camino más largo en el factor $1/\cos {\beta }_{\max }$; como $\cos {\beta }_{\max }=\sin {\theta }_c=n_2/n_1$, ese factor es $n_1/n_2$, y el rayo tarda 5,14 μs. Un pulso corto enviado a la fibra sale, por tanto, ensanchado a lo largo de 137 ns, así que los pulsos deben distanciarse al menos ese tiempo para seguir siendo distinguibles: unos 7 millones por segundo en 1 km. Las fibras de telecomunicaciones evitan esto con núcleos de solo unos 9 μm de ancho, que transportan un único modo de la onda, y ahí la imagen de rayos falla.

Límites de validez

La óptica de rayos es un modelo, y conviene saber dónde deja de funcionar.

Es el límite de longitud de onda corta de la óptica ondulatoria. La franja de caminos que contribuyen alrededor de un rayo, que apareció en la primera sección, mide unos $\sqrt{\lambda L}$ de ancho en una longitud $L$: 0,7 mm para luz de 500 nm en 1 m. Una abertura más estrecha que esa franja la recorta, y la imagen de rayos se rompe. Una rendija de anchura $a=0,1\mathrm{mm}$, por ejemplo, ensancha un haz así en unos $\lambda /a=0,005\mathrm{rad}$, es decir, 0,3°: esto es la difracción.

Un único índice $n$ supone además que el medio es lineal (su respuesta es proporcional al campo), isótropo (igual en todas las direcciones) y no absorbente. Cada una de estas hipótesis puede fallar. La calcita no es isótropa: tiene dos índices, 1,486 y 1,658 en los extremos, así que un rayo que entra en ella se divide en dos. En los metales $n$ es complejo, y la luz se extingue en unas pocas decenas de nanómetros. Por último, una frontera en movimiento rompe la simetría temporal que conservaba la frecuencia: un espejo que se aleja con velocidad $u$ reduce la frecuencia de la luz reflejada en una fracción de aproximadamente $2u/c$.

Lo que viene después

El principio de Fermat conduce a Lentes y espejos, donde un foco es un punto al que muchos caminos llegan exactamente en el mismo tiempo. La dispersión es el tema de Prismas, dispersión y color, y el ángulo de Brewster reaparece en Polarización de la luz. La propia onda luminosa se describe en Ondas electromagnéticas; dónde falla la imagen de rayos se ve en Difracción y experimento de la doble rendija, y el gemelo cuántico de la reflexión total frustrada aparece en Ecuación de Schrödinger y efecto túnel.

En La gravedad como curvatura del espacio-tiempo, el Sol desvía 1,75 segundos de arco la luz de las estrellas que pasa rozándolo, como si el espacio a su alrededor tuviera un índice de refracción $n\approx 1+2GM/(r{c}^2)$, donde $M$ es la masa del Sol y $r$ la distancia a su centro. Y el argumento de fase estacionaria de la primera sección, por el que los rayos emergen de las ondas, es el mismo por el que la mecánica clásica, con su principio de mínima acción, emerge de la mecánica cuántica.