反射与折射

入门

第1步，法线。光线落在任何表面上的地方，想象一条在该点垂直于表面、笔直伸出的线。它叫做法线，光学中的每个角度都从它量起，而不是从表面量起。

第2步，反射。光线从光滑表面反弹时，离开角度与到达时相对于法线的角度相同，就像斯诺克球从库边弹回。镜子是光滑的，所以所有光线一起弹回，你看到清晰的像。纸张在微小尺度上是粗糙的：光朝各个方向离开，因此你能从房间的任何位置看到这页纸，却永远看不到自己的脸映在上面。

第3步，折射。当光斜射入水或玻璃时，它在表面处改变方向。原因在于速度：光在玻璃中更慢。想象一辆购物车以一定角度从光滑地板滚上地毯：先碰到地毯的那个轮子先减速，于是整辆车转向。规则是：在较慢的一侧，光线更靠近法线。

在动画中，黄色光点每四分之一秒留下一个白色标记。在玻璃内，标记挤在一起：光慢了，步子也变短了。注意那条也会反弹回去的淡色光线。

第4步，被困的光。从玻璃射出时，光线会远离法线弯折。倾斜到足够程度，它就根本射不出去：全部光线都反射回内部。这种全内反射引导光沿着光纤传播。

自我检验：一条光线从水进入空气，最终是更靠近法线还是更远离法线？（更远：光在空气中更快。）

中级

光线、法线与折射率

一束细光束可以画成一条光线，即沿光能量传播方向的直线。光线与表面相交处，画出法线，即该处垂直于表面的直线。光学中的每个角度都从法线量起，而不是从表面量起：入射角 ${\theta }_1$、反射角 ${\theta }_r$ 和折射角 ${\theta }_2$ 皆如此。反射光线和折射光线都位于入射面内，入射面包含入射光线和法线。

折射率比较真空中的光速 $c\approx 3.00\times 10^{8}m/s$ 与光在材料中的速度 $v$：
$n=\frac{c}{v}$

空气的 $n=1.0003$，取整为 1.00；水为 1.33，普通玻璃约为 1.5（动画中取 1.50），金刚石为 2.42。两种介质中，$n$ 较大者称为光密介质。

反射与折射定律

在光滑的边界处，一部分光被反射，一部分进入第二种介质。它们的方向遵循两条定律：

• ${\theta }_r={\theta }_1\text{(reflection)}$
• $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

反射光线在法线的另一侧，以光到达时的角度射出。第二条定律是斯涅耳折射定律，它于约公元 984 年由伊本·萨尔在巴格达描述，1621 年被威勒布罗德·斯涅耳重新发现，并于 1637 年由笛卡尔发表。

在斯涅耳定律中，乘积 $n\sin \theta$ 在两侧相同。进入较大 $n$ 的介质时，$\sin \theta$ 必须减小，因此光线向法线弯折；进入较小 $n$ 的介质时，则向远离法线的方向弯折。沿法线到达的光线径直前进，但仍会减速；而且每条光路都是可逆的。

由光源决定的频率 $f$ 在边界处永不改变。由于 $v=f\lambda$，波长与速度成比例地减小：
$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n}$
其中 ${\lambda }_0$ 为真空中的波长。550 nm 的绿光在动画的玻璃中波长约为 367 nm，但它仍然是绿色的：颜色取决于频率。

为什么较慢的光会弯折

想象一个直的波前到达表面；它与表面的夹角与光线和法线的夹角都是 ${\theta }_1$。它的一端在 $A$ 处触到表面。当另一端在空气中走完最后一段 $v_1\Delta t$ 以到达 $B$ 处的表面时，在 $A$ 处进入的光只向玻璃中推进了 $v_2\Delta t$。新的波前从 $B$ 开始，恰好与以 $A$ 为圆心、半径为 $v_2\Delta t$ 的圆相切：波已经转向了。

两个直角三角形共享其最长边，即沿表面长为 $L$ 的线段 $AB$，因此
$\sin {\theta }_1=\frac{v_1\Delta t}{L},\sin {\theta }_2=\frac{v_2\Delta t}{L}$
相除得到 $\sin {\theta }_1/\sin {\theta }_2=v_1/v_2=n_2/n_1$，这就是斯涅耳定律：把初学者的购物车图景精确化了。

例题：动画中的光线

在动画的第一部分，光以 ${\theta }_1=50^{\circ }$ 从空气（$n_1=1.00$）射入玻璃（$n_2=1.50$）。斯涅耳定律给出
$\sin {\theta }_2=\frac{n_1\sin {\theta }_1}{n_2}=\frac{1.00\cdot 0.766}{1.50}=0.511,{\theta }_2=30.7^{\circ }$
这就是屏幕上的算式 $1.00\sin 50^{\circ }=1.50\sin 30.7^{\circ }$。光线向虚线法线偏转了 $50^{\circ }-30.7^{\circ }=19.3^{\circ }$，而较淡的反射光在法线另一侧以 $50^{\circ }$ 射出。

当光点进入玻璃时，读数从 $3.00\times 10^8$ 降到 $v=c/n=2.00\times 10^{8}m/s$，因此它每四分之一秒留下的白色标记在那里的间距只有原来的三分之二：时间相同，距离更短。

那条淡色光线有多亮？对于沿法线到达的光，反射功率的比例为
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(normal incidence)}$
对于空气和玻璃，$R=(0.50/2.50{)}^2=0.04$，即 4 %。在 $50^{\circ }$ 时约为 6 %，并在掠入射时趋近 100 %：湖面映出对岸，而你却能看到脚下的石头。

全内反射

在动画的第二部分，光在玻璃内部朝向空气传播，此时 $n_1=1.50$，$n_2=1.00$。斯涅耳定律写为 $\sin {\theta }_2=1.50\sin {\theta }_1$：光线离开时比到达时更远离法线，并在临界角处掠过表面，即 ${\theta }_2=90^{\circ }$。临界角满足
$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}(n_1>n_2)$
对于玻璃和空气，$\sin {\theta }_c=1/1.50=0.667$，所以 ${\theta }_c=41.8^{\circ }$。

超过 ${\theta }_c$ 后，斯涅耳定律将需要 $\sin {\theta }_2>1$：不存在折射光，所有的光都被反射。动画中的光线以 $50^{\circ }$ 射到表面，此时 $1.50\sin 50^{\circ }=1.15$；屏幕显示 ${\theta }_1=50^{\circ }>{\theta }_c=41.8^{\circ }$，整束光都返回玻璃之中。这种全内反射没有任何损失，而且只可能发生在折射率较高的一侧。

例题：游泳池中的灯

一盏小灯放在深 2.0 m 的游泳池池底。它照亮了多大的水面？游泳者向上看时看到什么？从正上方看，游泳池显得有多深？

对于水到空气，$\sin {\theta }_c=1.00/1.33=0.752$，所以 ${\theta }_c=48.8^{\circ }$。只有半角为该值的锥内的光线才能逸出，因此被照亮的区域是一个半径为 $r=d\tan {\theta }_c=2.0\cdot 1.14=2.28\mathrm{m}$ 的圆，其中 $d$ 为深度；圆外的水面从下方看去则是一面完美的镜子。把光线倒着看：仰望的游泳者看到整个天空被压缩进一个横跨 $2{\theta }_c=97.5^{\circ }$ 的窗口，窗口四周环绕着池底的倒影。

直接向下看时，你接收到的是接近法线的光线，此时 $\sin \theta \approx \theta$。离开水面的光线，相对于水中的倾斜度是 $n$ 倍，因此倒着追溯时，它似乎来自一个深度仅为 $1/n$ 的点。游泳池看起来深 $2.0/1.33=1.50\mathrm{m}$，比实际少了四分之一。

常见错误

• 角度从法线量起，而不是从表面量起。与玻璃表面成 $40^{\circ }$ 的光线，其 ${\theta }_1=50^{\circ }$；在斯涅耳定律中使用 40° 会得到 25.4°，而不是 30.7°。
• 斯涅耳定律关联的是正弦，而不是角度。30° 除以 1.5 得到 20°，而不是 19.5°；在 50° 时，这种捷径得到 33.3°，而不是 30.7°。
• 光在水或玻璃中保持其颜色。600 nm 的橙光在折射率为 1.50 的玻璃中波长为 400 nm，但其频率 $5.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ 保持不变。
• 全内反射要求光从较高折射率射向较低折射率。从空气射入玻璃时，即使入射角为 89°，光线进入玻璃时的折射角也只有 41.8°。
• 光密并不意味着更重。橄榄油浮在水面上，但其 $n\approx 1.47$（水为 1.33），因此它使光弯折得更厉害。

你在哪里会遇到它

光纤靠全内反射困住光来传输互联网流量。双筒望远镜中的棱镜使光以 $45^{\circ }$ 射到表面，超过 $41.8^{\circ }$ 的临界角，因此它们的反射效果比镀银镜更好。金刚石的 $n=2.42$，${\theta }_c=24.4^{\circ }$，它困住光线并让大部分光从顶部射出，这就是它闪闪发光的原因。热路面上方的海市蜃楼，来自光在折射率变化的空气中逐渐弯折。

由于 $n$ 略微依赖于颜色，棱镜能将白光分解，这是《棱镜、色散与颜色》的主题。形成图像的弯曲边界将在《透镜与面镜》和《眼睛、相机与望远镜》中讨论，而反射光的偏振则在《光的偏振》中讨论。

高级

费马的驻时原理

反射和折射看起来像是两条独立的规则，一条针对镜子，一条针对玻璃。它们都可由一条关于传播时间的陈述导出，理解这一点是进入几何光学最直接的途径。

先从时间本身说起。光在折射率为 $n$ 的介质中以 $c/n$ 的速度传播，因此通过一小段长度 $ds$ 需要 $nds/c$ 的时间。沿整条路径把这些小段加起来，就得到它的传播时间。积分 $\int nds$ 称为光程，时间就是光程除以 $c$：
$T=\frac{1}{c}\int nds$

费马原理指出，光沿着使 $T$ 取驻值的路径传播。驻值意味着路径的微小形变只会以形变大小的二阶量改变时间，从不以一阶量改变，正如光滑函数在山谷底部或山顶处是平的。

驻值不一定是最小值。在椭圆形镜面内，从一个焦点经镜面到另一个焦点的每条路径所用时间都相同，因此它们全都是驻值。在比该椭圆弯曲得更紧的镜面中，真实路径是其邻近路径中最长的，而不是最短的。

光为什么要关心时间？因为光是波。取从光源到探测器的每一条可能路径，给每条路径配一个小箭头，即相量，其转过的角度为波沿该路径积累的相位 $\omega T$，其中 $\omega$ 为角频率。到达的光就是所有这些箭头的和。用参数 $x$ 标记各条路径，并令 $x_0$ 为驻值路径，其时间为 $T_0$。在它附近，时间只按二次方变化，$T^{\prime \prime }$ 为 $T$ 在 $x_0$ 处的二阶导数：
$T\approx T_0+\frac{1}{2}{T}^{\prime \prime }(x-x_0{)}^2$

在 $x_0$ 附近，各路径的时间几乎没有差别，因此相邻箭头指向几乎相同的方向并相加。离得较远时，相位从一条路径到下一条路径变化得越来越快，箭头卷成紧密的螺旋而相互抵消。因此，到达的光来自驻值路径周围的一个路径带，这些路径的时间差小于约半个周期。这一路径带就是我们所说的光线。在量子理论中，同样的箭头就是光子的概率幅。

由传播时间导出斯涅耳定律

费马原理最有用的推论是折射定律。本节把传播时间写成一个数的函数来推导它，这个数就是光穿过表面的位置，然后考察该时间在何处取驻值。

图例

$A$	路径的起点，位于表面上方高度 $a$ 处。
$B$	路径的终点，位于表面下方深度 $b$ 处。
$a$	$A$ 在表面上方的高度。	$\mathrm{m}$
$b$	$B$ 在表面下方的深度。	$\mathrm{m}$
$D$	$A$ 到 $B$ 的水平距离。	$\mathrm{m}$
$x$	从 $A$ 的垂足到穿过点，沿表面的距离。	$\mathrm{m}$
$D-x$	其余的水平距离：从穿过点到 $B$ 的垂足。	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	第一段与法线（虚线竖线）的夹角。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	第二段与法线的夹角。	$\mathrm{rad}$
$n_1$	上方介质的折射率。
$n_2$	下方介质的折射率。

图 1 给出了问题的设定。点 $A$ 位于平面上方高度 $a$ 处，处于折射率为 $n_1$ 的介质中。点 $B$ 位于其下方深度 $b$ 处，处于折射率为 $n_2$ 的介质中，且水平方向再远 $D$。在同一介质中，最快路径是直线，因此任何候选路径在表面上方和下方都是直线。这样它就由一个数确定：从 $A$ 的垂足到穿过点沿表面的距离 $x$。每段都是直角三角形的斜边，其直角边在表面上方为 $a$ 和 $x$，在下方为 $b$ 和 $D-x$。金色实线路径最快；虚线路径在表面的其他位置穿过，且每条都更费时。

由勾股定理，两段的长度分别为 $\sqrt{a^2+x^2}$ 和 $\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}$。光在两段中的速度分别为 $c/n_1$ 和 $c/n_2$，因此在 $x$ 处穿过的路径所需时间为
$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}{c}$
最快路径处该函数取驻值，因此其导数必为零。把穿过点向右移动会使上段变长、下段变短，负号即由此而来：
$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(D-x)}{\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}\right)=0$

现在从图中读出两个分数。在穿过点处，上段与法线（虚线竖线）成角 ${\theta }_1$。边 $a$ 与该法线平行，因此该段与 $a$ 在 $A$ 处的夹角同样是 ${\theta }_1$。与该角相对的边是 $x$，第一个分数即对边比斜边，为 $x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin {\theta }_1$。在下方三角形中，边 $b$ 同样竖直，$B$ 处的角为 ${\theta }_2$，对边为 $D-x$，第二个分数为 $(D-x)/\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}=\sin {\theta }_2$。因此条件 $dT/dx=0$ 即斯涅耳定律：
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

这个时间是最小值吗？再求一次导数，得到两个正项之和，
$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_1{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{n_2{b}^2}{(b^2+(D-x{)}^2{)}^{3/2}}\right)>0$
因此在平面上，驻时确为真正的最小值。

反射可由同样的步骤得到。把 $B$ 放在表面上方、与 $A$ 处于同一介质中，使两段的折射率都是 $n_1$。此时条件变为 $\sin {\theta }_r=\sin {\theta }_1$，其中 ${\theta }_r$ 为反射段与法线的夹角：反射角等于入射角。

该原理还预言了仅凭角度无法得出的结论。在光向法线偏折的介质中，光必须按 $n_2/n_1$ 的因子变慢。牛顿的微粒模型以玻璃对光的吸引来解释同样的偏折，这会使光在其中变快。两种图像预言的速度恰好相反；1850 年，傅科测得光在水中比在空气中慢，与费马原理的要求一致。

波面与相位匹配

费马原理讲的是路径。同样的定律也可以从波本身看出来，即表面两侧的波必须相互吻合这一条件。这种观点可以推广：它能解释海市蜃楼，并把折射与守恒定律联系起来。

图例

${\lambda }_1$	上方介质中的波长：该处相邻波面之间的距离。	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	下方介质中的波长：${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$，因为那里光速更慢，所以更短。	$\mathrm{m}$
$\Lambda$	相邻波面与表面相交的点之间沿表面的距离，两侧相同。	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	入射光线与法线的夹角；也是波面与表面的夹角。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	折射光线与法线的夹角。	$\mathrm{rad}$
$n_1$	上方介质的折射率。
$n_2$	下方光密介质（阴影部分）的折射率。

图 2 画出一束光穿过表面进入光速慢 1.5 倍的介质，即 $n_2/n_1=1.5$。紫色线为波面，即等相位线。它们同时也是从光源出发的等传播时间线，因此它们是波动形式的费马原理，且每个波面都与其光线垂直。相邻波面相距一个波长：上方介质中为 ${\lambda }_1$，下方为 ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$，因为两侧频率相同，而下方速度较慢。动画的专家层以这一匹配条件来展示该定律：其波面在空气中相距 ${\lambda }_0$（${\lambda }_0$ 为真空中的波长），而在玻璃中相距 ${\lambda }_0/n$，即间距缩短为原来的三分之二。

现在沿表面来看。波在表面处是连续的，因此上方和下方的波面必须无断裂地连接：每个波面从两侧都在同一点到达表面。因此相邻波面在两侧与表面相交的点之间的距离都是 $\Lambda$，即绿色条所示。

把 $\Lambda$ 与各个波长联系起来。波面与其光线垂直，而表面与法线垂直，因此波面与表面的夹角等于光线与法线的夹角，即表面上方的 ${\theta }_1$。两个相邻波面与它们相交点之间那段表面长度 $\Lambda$ 构成一个直角三角形：$\Lambda$ 为斜边，而波面之间的间距 ${\lambda }_1$ 为与 ${\theta }_1$ 相对的边。因此 ${\lambda }_1=\Lambda \sin {\theta }_1$。在表面下方，同一三角形给出 ${\lambda }_2=\Lambda \sin {\theta }_2$。消去 $\Lambda$，得
$\frac{{\lambda }_1}{\sin {\theta }_1}=\Lambda =\frac{{\lambda }_2}{\sin {\theta }_2}$
对动画中的角度，空气中为 $50^{\circ }$，玻璃中为 $30.7^{\circ }$，两侧都得到 $\Lambda =1.31{\lambda }_0$。在两侧分别写入 $\lambda ={\lambda }_0/n$，该方程便化为 $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$：又是斯涅耳定律。

波面的倾斜也说明了为什么光线会在较慢的介质中转向法线。倾斜波面的一端先到达表面并最先减速，而另一端仍在上方介质中快速前进。波面绕着减速的一端转动，而与波面垂直的光线便转向法线。

匹配条件有一个紧凑的形式。波矢沿光线方向，其大小为 $k=n\omega /c=2\pi /\lambda$。它沿表面的分量为 $k\sin \theta =2\pi /\Lambda$，因此相位匹配意味着该切向分量在两侧相同。这与力学中的两条守恒定律相呼应。不随时间变化的边界守恒频率 $\omega$，正如时间对称性守恒能量。沿其长度处处相同的表面守恒切向波矢，正如平移对称性守恒动量。

这一规律适用于任意平行层叠的结构：依次穿过多个边界时，$n(z)\sin \theta (z)$ 在每个高度 $z$ 处都保持不变。$n$ 增大处，$\sin \theta$ 减小，光线转向法线。在折射率随高度平滑变化的空气中，光线因此向更高的 $n$ 方向弯曲。热路面上方，近地面的空气更热、折射率更低，因此来自天空的光向上弯曲进入眼睛，路面看起来像水面一样发亮：这就是海市蜃楼。

折射角与入射角的关系

斯涅耳定律对角度并非线性。一个角度对另一个角度的曲线图能一目了然地显示：透镜公式中的小角度近似在何处成立，在何处失效，以及全内反射从何处开始。

图例

${\theta }_1$	入射角，从法线量起。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	折射角，从法线量起。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	玻璃射入空气的临界角，$\sin {\theta }_c=1/1.5$；也是空气射入玻璃那条曲线终止的角度。	$\mathrm{rad}$
$n_1$	光所来自的介质的折射率。
$n_2$	光进入的介质的折射率。

图 3 绘制了折射角 ${\theta }_2$ 随入射角 ${\theta }_1$ 变化的曲线，两者都从 $0$ 到 $90^{\circ }$，对折射率为 1.5 的玻璃按两个方向分别绘制。与斯涅耳定律一样，$n_1$ 为光所来自的介质的折射率，$n_2$ 为其所进入的介质的折射率。

先看蓝色曲线：空气射入玻璃，$n_1<n_2$。在原点附近它是斜率为 $n_1/n_2=0.667$ 的直线，因为对于小角度 $\sin \theta \approx \theta$，斯涅耳定律变为 ${\theta }_2\approx (n_1/n_2){\theta }_1$，这正是透镜公式背后的规律。随后曲线弯曲并结束于掠入射 ${\theta }_1=90^{\circ }$ 处，此时 ${\theta }_2=41.8^{\circ }$：即标有 ${\theta }_c$ 的水平虚线的高度。来自空气的光在玻璃内部，与法线的夹角永远不会超过这个角度。

再看红色曲线：玻璃射入空气，$n_1>n_2$。它从斜率 1.5 开始，越升越快，在 ${\theta }_1={\theta }_c=41.8^{\circ }$ 处达到 ${\theta }_2=90^{\circ }$，并止于竖直虚线处。这就是临界角，$\sin {\theta }_c=n_2/n_1$。超过它便根本没有折射光，所有的光都被反射：即全内反射。

两条曲线关于虚线对角线 ${\theta }_2={\theta }_1$ 互为镜像。原因在于每条光路都是可逆的：若来自空气的光以 ${\theta }_1$ 射入并以 ${\theta }_2$ 进入玻璃，则玻璃内以 ${\theta }_2$ 射出的光将以 ${\theta }_1$ 射入空气，这相当于交换了两个坐标轴。这就是为什么两条曲线都止于同一个角度 ${\theta }_c$。

为什么红色曲线在末端附近会如此陡峭地上升？对斯涅耳定律求导，得到 $n_1\cos {\theta }_{1}d{\theta }_1=n_2\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2$，因此
$\frac{d{\theta }_2}{d{\theta }_1}=\frac{n_1\cos {\theta }_1}{n_2\cos {\theta }_2}$
当 ${\theta }_2\to 90^{\circ }$ 时，分母中的余弦趋于零，斜率趋于无穷。在 ${\theta }_c$ 附近，入射光线的微小倾斜就会使出射光线大幅摆动。

光在物质中为何变慢

到目前为止，折射率 $n$ 一直只是被给出。本节解释它从何而来，以及它为什么依赖于颜色。

光变慢并不是光在每个原子处停顿。波驱动材料中的电子，这些电子以波的频率振荡，并辐射出它们自己的波。这些电子的一薄层会附加一个较弱的波，其相位落后入射波四分之一个周期。叠加一个落后四分之一周期的小波，会使总波的相位略微后移，仿佛波晚到了一点。一层接一层，这些微小的延迟不断累加，总波便以 $c/n$ 的速度传播。

当频率接近电子的固有频率时，电子的响应会更强，而对于玻璃，固有频率位于紫外区。因此折射率随频率升高：在一种常见的冕牌玻璃中，红光约为 1.514，蓝光约为 1.522。$n$ 对频率的这种依赖称为色散，它使棱镜能够把白光分解为各种颜色。对于频率高于共振频率的 X 射线，$n$ 略小于 1。此时波峰的移动速度快于 $c$，但这并不违反任何定律：稳定波的波峰不携带信号。

振幅、布儒斯特角与倏逝波

斯涅耳定律确定了反射光和折射光的方向，但并未说明各自分到多少光。这取决于光是电磁波，它解释了为什么窗户会反射一点光、为什么反射的眩光是偏振的，以及在全反射表面之外刚好发生什么。

麦克斯韦方程组要求电场和磁场沿表面的分量在表面两侧保持连续。将其应用于入射波、反射波和折射波，便得到菲涅耳方程，它给出反射和透射的比例。这些比例取决于偏振，即电场振荡的方向。在正入射时，两种偏振的行为相同，功率的反射比例为
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(normal incidence)}$
对玻璃为 4.0 %，对水为 2.0 %，对金刚石为 17 %，并且从哪一侧入射都相同，因为交换 $n_1$ 与 $n_2$ 只改变平方项内的符号。

在斜入射时，两种偏振便分道扬镳。入射面是包含入射光线和法线的平面。在动画中从空气以 $50^{\circ }$ 射入玻璃时，垂直于该平面的偏振光（称为 s 偏振）反射率为 11.2 %，位于该平面内的偏振光（称为 p 偏振）仅为 0.3 %。

在布儒斯特角 $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$ 处，p 偏振的反射完全消失：从空气射入玻璃时为 $56.3^{\circ }$。此时折射光位于 $33.7^{\circ }$，恰好与反射光的方向垂直。前一节的电子解释了原因。对于 p 偏振光，电子在入射面内垂直于折射光振荡，而在布儒斯特角时，这一振荡方向恰好沿着反射方向。振荡偶极子不沿其自身轴线辐射，因此没有 p 偏振光被反射。在该角度附近反射的眩光因此大多是 s 偏振的，这就是偏振太阳镜能将其滤除的原因。

全内反射中隐藏着一个微妙之处。设光位于折射率为 $n_1$ 的玻璃内部，并在超过 ${\theta }_c$ 的角度射向与折射率为 $n_2$ 的空气的界面，令 $k_0=2\pi /{\lambda }_0$ 为真空中的波数。相位匹配仍要求空气一侧的切向波数为 $n_1{k}_0\sin {\theta }_1$。超过 ${\theta }_c$ 后，它大于空气中可用的全部波数 $n_2{k}_0$。垂直于表面的分量，其平方为 $n_2^2{k}_0^2-n_1^2{k}_0^2{\sin }^2{\theta }_1$，于是它是一个负数的平方根：是虚数。虚波数描述的是衰减，而不是振荡。空气中的场随离表面距离 $z$ 按 $e^{-z/\delta }$ 衰减，其中
$\delta =\frac{{\lambda }_0}{2\pi \sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1-n_2^2}}$

在动画玻璃内以 $50^{\circ }$ 入射时，$\delta =0.28{\lambda }_0$，对 550 nm 的绿光约为 155 nm。这就是倏逝波。它平均而言不会把能量带离表面，因此反射确实是全反射。但若把第二块玻璃放到几个 $\delta$ 之内，倏逝场便会伸入其中：光穿过间隙泄漏过去。这种受抑全内反射与光子穿越势垒的量子隧穿（隧道效应）遵循相同的数学。

例题：作为光导管的玻璃棒

全内反射可以把光束缚在玻璃棒或光纤之中，传播达数公里。本题要确定束缚何时有效、光纤能接收多宽的光锥，以及该光锥在信号速度上要付出什么代价。

图例

$n_1$	纤芯的折射率。
$n_2$	包层的折射率，低于 $n_1$。
${\alpha }_{\max }$	能从端面射入并仍被束缚的光，相对于轴线的最大角度。	$\mathrm{rad}$
${\beta }_{\max }$	以 ${\alpha }_{\max }$ 入射的光线在纤芯内相对于轴线的角度。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	纤芯管壁处的临界角，$\sin {\theta }_c=n_2/n_1$：最边缘的光线恰好以这个角度（相对法线）射到管壁。	$\mathrm{rad}$
$L$	光纤的长度。	$\mathrm{m}$

图 4 显示了长度为 $L$ 的阶跃折射率光纤：折射率为 $n_1$ 的纤芯位于折射率为 $n_2<n_1$ 的包层之内。光通过与轴线垂直的平端面进入，即图中的水平虚线。画出的光线是仍被束缚的极限光线。它以与轴线成 ${\alpha }_{\max }$ 的角度进入，位于阴影锥的边缘，在端面处折射，使纤芯内与轴线成 ${\beta }_{\max }$ 的角度。纤芯壁与轴线平行，因此其法线与轴线垂直，光线以与该法线成 $90^{\circ }-{\beta }_{\max }$ 的角度射到管壁。对于极限光线，这恰好是临界角：${\theta }_c=90^{\circ }-{\beta }_{\max }$。锥内的光线与轴线的夹角更小，射到管壁的角度大于 ${\theta }_c$，同样被束缚，如图所示在管壁之间来回反射。

先从裸棒开始。取一根动画中所用玻璃的长棒，$n=1.50$，置于空气中，其平端面与轴线垂直：空气本身充当包层。从端面以任意角度射入的光，能否从侧面逸出？

以与轴线成 $\alpha$ 角进入的光线，在端面处由斯涅耳定律折射到 $\beta$，其中 $\sin \beta =\sin \alpha /1.50$。即使是掠入射，$\alpha =90^{\circ }$，也只得到 $\sin \beta =0.667$，因此 $\beta$ 永远不会超过 $41.8^{\circ }$。然后，光线以与侧壁法线成 $90^{\circ }-\beta \ge 48.2^{\circ }$ 的角射到侧壁，超过 ${\theta }_c=41.8^{\circ }$：每一条进入的光线都被束缚。一般地，最陡的光线有 $\sin {\beta }_{\max }=1/n$，若它射到侧壁的角度超过 ${\theta }_c$，它就被束缚，即 $\cos {\beta }_{\max }\ge \sin {\theta }_c$。取 $\sin {\theta }_c=1/n$，这一条件化为 $\sqrt{1-1/n^2}\ge 1/n$，或 $n\ge \sqrt{2}=1.414$。

裸棒在灰尘或手指接触的地方会泄漏，因为那里外侧的折射率不再是 1。因此真正的光纤会用折射率略低的包层包裹纤芯，例如 $n_2=1.46$ 包裹 $n_1=1.50$。此时 $\sin {\theta }_c=1.46/1.50=0.973$，${\theta }_c=76.7^{\circ }$，因此纤芯内光线与轴线的夹角至多为 ${\beta }_{\max }=13.3^{\circ }$。端面处的斯涅耳定律（外侧为空气）给出 $\sin {\alpha }_{\max }=n_1\sin {\beta }_{\max }$，且 $\sin {\beta }_{\max }=\cos {\theta }_c=\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}$。因此端面只接收满足
$\sin {\alpha }_{\max }=n_1\cos {\theta }_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1.50^2-1.46^2}=0.344$
的光线，即半角为 $20.1^{\circ }$ 的光锥。图 4 中的光锥要宽得多，因为该图夸大了折射率之差。正弦值 0.344 称为光纤的数值孔径。

接受一个光锥的代价是，不同角度的光线走过不同的长度。对于 $L=1.00\mathrm{km}$，轴向光线需要 $n_{1}L/c=5.00\mu \mathrm{s}$。最陡的被束缚光线沿锯齿形路径前进，其路程为 $1/\cos {\beta }_{\max }$ 倍；由于 $\cos {\beta }_{\max }=\sin {\theta }_c=n_2/n_1$，该倍数为 $n_1/n_2$，这条光线需要 5.14 μs。因此，一个送入光纤的短脉冲输出时会被拉宽到 137 ns，所以脉冲之间至少要相隔这么久才能保持可分辨：在 1 km 上约为每秒 700 万个。电信光纤避免这一问题的办法是把纤芯做得只有约 9 μm 宽，这样它只承载波的一个模式，而在那里，光线图像便不再成立。

适用范围的限制

光线光学是一种模型，了解它在何处失效很有益处。

它是波动光学的短波长极限。第一节中提到的、围绕光线的参与路径带，在长度 $L$ 上的宽度约为 $\sqrt{\lambda L}$：对于 500 nm 的光，在 1 m 上为 0.7 mm。比该路径带更窄的开口会切入它，光线图像便失效。例如，宽度为 $a=0.1\mathrm{mm}$ 的狭缝会使这样的光束展宽约 $\lambda /a=0.005\mathrm{rad}$，即 0.3°：这就是衍射。

单一折射率 $n$ 还假定介质是线性的（其响应与场成正比）、各向同性的（各方向相同）且不吸收光。每一条假设都可能失效。方解石不是各向同性的：它有两个折射率，在两个极值处分别为 1.486 和 1.658，因此进入它的一条光线会分成两条。在金属中 $n$ 是复数，光在几十纳米内就会衰减殆尽。最后，运动的边界破坏了守恒频率所依赖的时间对称性：以速度 $u$ 后退的镜子，会使反射光的频率降低约 $2u/c$ 的比例。

由此通向何处

费马原理通向《透镜与面镜》，在那里焦点是许多路径以完全相同的时间到达的一点。色散是《棱镜、色散与颜色》的主题，而布儒斯特角将在《光的偏振》中再次出现。光波本身在《电磁波》中描述，光线图像的失效在《衍射与双缝》中讨论，而受抑反射的量子对应物则在《薛定谔方程与隧穿效应》中。

在《引力即时空弯曲》中，太阳使掠过它的星光弯曲 1.75 角秒，仿佛它周围的空间具有折射率 $n\approx 1+2GM/(r{c}^2)$，其中 $M$ 为太阳质量，$r$ 为离其中心的距离。而第一节中由波导出光线的驻相论证，与由量子力学导出经典力学（及其最小作用量原理）的论证是同一种论证。