Reflexion und Brechung

Einsteiger

Schritt 1, das Lot. Wo ein Lichtstrahl auf einer Fläche auftrifft, stell dir an dieser Stelle eine Gerade vor, die senkrecht aus der Fläche herausragt. Sie heißt Lot, und jeder Winkel in der Optik wird von ihr gemessen, nicht von der Fläche.

Schritt 2, Reflexion. Ein Strahl, der von einer glatten Fläche abprallt, verlässt sie im selben Winkel zum Lot, unter dem er ankam, wie eine Billardkugel, die von der Bande zurückspringt. Ein Spiegel ist glatt, deshalb springen alle Strahlen gemeinsam zurück, und du siehst ein klares Bild. Papier ist im winzigen Maßstab rau: Das Licht geht in alle Richtungen weg, daher kannst du die Seite von überall im Raum sehen, aber nie dein Gesicht darin.

Schritt 3, Brechung. Wenn Licht schräg in Wasser oder Glas eintritt, ändert es an der Fläche seine Richtung. Der Grund ist die Geschwindigkeit: Im Glas ist Licht langsamer. Stell dir einen Einkaufswagen vor, der schräg von einem glatten Boden auf Teppich rollt: Das Rad, das den Teppich zuerst erreicht, wird zuerst gebremst, und der Wagen schwenkt. Die Regel: Auf der langsameren Seite liegt der Strahl näher am Lot.

In der Animation hinterlässt der gelbe Punkt alle eine viertel Sekunde eine weiße Markierung. Im Glas drängen sich die Markierungen zusammen: langsameres Licht, kürzere Schritte. Achte auf den schwachen Strahl, der ebenfalls zurückprallt.

Schritt 4, gefangenes Licht. Beim Austritt aus Glas knickt ein Strahl vom Lot weg. Kippst du ihn stark genug, kann er gar nicht austreten: Alles wird zurück ins Innere reflektiert. Diese Totalreflexion leitet Licht durch Glasfasern.

Teste dich: Ein Strahl geht von Wasser in Luft. Liegt er danach näher am Lot oder weiter davon entfernt? (Weiter entfernt: Licht ist in Luft schneller.)

Mittelstufe

Strahlen, Lot und Brechungsindex

Ein schmaler Lichtstrahl lässt sich als Strahl zeichnen, als Linie in der Richtung, in die die Lichtenergie wandert. Wo ein Strahl auf eine Fläche trifft, zeichne das Lot, die dort senkrecht zur Fläche stehende Linie. Jeder Winkel in der Optik wird vom Lot gemessen, nie von der Fläche: der Einfallswinkel ${\theta }_1$, der Reflexionswinkel ${\theta }_r$ und der Brechungswinkel ${\theta }_2$. Der reflektierte und der gebrochene Strahl liegen in der Einfallsebene, die den einfallenden Strahl und das Lot enthält.

Der Brechungsindex vergleicht die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$, mit ihrer Geschwindigkeit $v$ im Material:
$n=\frac{c}{v}$

Luft hat $n=1,0003$, gerundet 1,00; Wasser 1,33, gewöhnliches Glas etwa 1,5 (die Animation verwendet 1,50) und Diamant 2,42. Von zwei Medien heißt dasjenige mit dem größeren $n$ optisch dichter.

Die Gesetze von Reflexion und Brechung

An einer glatten Grenzfläche wird ein Teil des Lichts reflektiert, und ein Teil tritt in das zweite Medium ein. Ihre Richtungen gehorchen zwei Gesetzen:

• ${\theta }_r={\theta }_1\text{(reflection)}$
• $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Der reflektierte Strahl verlässt die andere Seite des Lots unter demselben Winkel, unter dem das Licht ankam. Das zweite Gesetz ist das Brechungsgesetz von Snellius, das Ibn Sahl um 984 in Bagdad beschrieb, das Willebrord Snell 1621 wiederentdeckte und das Descartes 1637 veröffentlichte.

Im Brechungsgesetz ist das Produkt $n\sin \theta$ auf beiden Seiten gleich. Beim Eintritt in ein Medium mit größerem $n$ muss $\sin \theta$ kleiner werden, daher knickt der Strahl zum Lot hin; beim Eintritt in ein Medium mit kleinerem $n$ knickt er davon weg. Ein Strahl, der entlang des Lots ankommt, geht geradeaus weiter, obwohl er trotzdem langsamer wird, und jeder Lichtweg lässt sich rückwärts durchlaufen.

Die Frequenz $f$, die von der Quelle bestimmt wird, ändert sich an der Grenzfläche nie. Da $v=f\lambda$ gilt, schrumpft die Wellenlänge proportional zur Geschwindigkeit:
$\lambda =\frac{{\lambda }_0}{n}$
wobei ${\lambda }_0$ die Wellenlänge im Vakuum ist. Grünes Licht von 550 nm hat im Glas der Animation eine Wellenlänge von etwa 367 nm, und es bleibt grün: Die Farbe hängt von der Frequenz ab.

Warum langsameres Licht sich bricht

Stell dir eine gerade Wellenfront vor, die auf die Fläche trifft; sie bildet mit der Fläche denselben Winkel ${\theta }_1$, den der Strahl mit dem Lot bildet. Ein Ende berührt die Fläche bei $A$. Während das andere Ende seine letzte Strecke, $v_1\Delta t$ in Luft, zurücklegt, um die Fläche bei $B$ zu erreichen, kommt das bei $A$ eingetretene Licht nur $v_2\Delta t$ weit ins Glas vor. Die neue Front beginnt bei $B$ und berührt gerade den Kreis mit Radius $v_2\Delta t$ um $A$: Die Welle hat sich gedreht.

Die beiden rechtwinkligen Dreiecke teilen sich die längste Seite, die Strecke $AB$ der Länge $L$ entlang der Fläche, also
$\sin {\theta }_1=\frac{v_1\Delta t}{L},\sin {\theta }_2=\frac{v_2\Delta t}{L}$
Die Division ergibt $\sin {\theta }_1/\sin {\theta }_2=v_1/v_2=n_2/n_1$, das Brechungsgesetz: das Bild des Einkaufswagens von vorhin, nun exakt.

Durchgerechnetes Beispiel: der Strahl der Animation

Im ersten Teil der Animation geht Licht von Luft, $n_1=1,00$, in Glas, $n_2=1,50$, bei ${\theta }_1=50^{\circ }$. Das Brechungsgesetz ergibt
$\sin {\theta }_2=\frac{n_1\sin {\theta }_1}{n_2}=\frac{1,00\cdot 0,766}{1,50}=0,511,{\theta }_2=30,7^{\circ }$
Das ist auf dem Bildschirm die Gleichung $1,00\sin 50^{\circ }=1,50\sin 30,7^{\circ }$. Der Strahl dreht sich um $50^{\circ }-30,7^{\circ }=19,3^{\circ }$ zum gestrichelten Lot hin, während der schwache reflektierte Strahl unter $50^{\circ }$ auf der anderen Seite des Lots abgeht.

Die Anzeige sinkt, sobald der Punkt ins Glas eintritt, von $3,00\times 10^8$ auf $v=c/n=2,00\times 10^{8}m/s$. Die weißen Markierungen, die er alle eine viertel Sekunde hinterlässt, liegen dort daher nur zwei Drittel so weit auseinander: gleiche Zeit, kürzere Strecke.

Wie hell ist der schwache Strahl? Für Licht, das entlang des Lots ankommt, ist der reflektierte Leistungsanteil
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(normal incidence)}$
Für Luft und Glas ist $R=(0,50/2,50{)}^2=0,04$, also 4 %. Bei $50^{\circ }$ sind es etwa 6 %, und der Wert steigt bei streifendem Einfall gegen 100 %: Ein See spiegelt das gegenüberliegende Ufer, doch du siehst die Steine unter deinen Füßen.

Totalreflexion

Im zweiten Teil der Animation läuft das Licht im Glas, nun $n_1=1,50$, zur Luft, $n_2=1,00$. Das Brechungsgesetz lautet $\sin {\theta }_2=1,50\sin {\theta }_1$: Der Strahl verlässt die Fläche weiter vom Lot entfernt, als er ankam, und streift sie, ${\theta }_2=90^{\circ }$, beim Grenzwinkel
$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}(n_1>n_2)$
Für Glas und Luft ist $\sin {\theta }_c=1/1,50=0,667$, also ${\theta }_c=41,8^{\circ }$.

Jenseits von ${\theta }_c$ bräuchte das Brechungsgesetz $\sin {\theta }_2>1$: Es gibt keinen gebrochenen Strahl, und alles Licht wird reflektiert. Der Strahl der Animation trifft die Fläche unter $50^{\circ }$, wo $1,50\sin 50^{\circ }=1,15$ ist; der Bildschirm zeigt ${\theta }_1=50^{\circ }>{\theta }_c=41,8^{\circ }$, und das ganze Bündel kehrt ins Glas zurück. Diese Totalreflexion verliert nichts, und sie kann nur auf der Seite mit dem höheren Index stattfinden.

Durchgerechnetes Beispiel: eine Lampe im Schwimmbecken

Eine kleine Lampe liegt auf dem Boden eines 2,0 m tiefen Beckens. Wie viel der Oberfläche beleuchtet sie, was sieht ein Schwimmer, wenn er nach oben schaut, und wie tief wirkt das Becken von senkrecht oben?

Für Wasser zu Luft gilt $\sin {\theta }_c=1,00/1,33=0,752$, also ${\theta }_c=48,8^{\circ }$. Nur Strahlen innerhalb eines Kegels mit diesem halben Öffnungswinkel entkommen, daher ist die beleuchtete Fläche ein Kreis mit Radius $r=d\tan {\theta }_c=2,0\cdot 1,14=2,28\mathrm{m}$, wobei $d$ die Tiefe ist; jenseits davon wirkt die Oberfläche von unten wie ein perfekter Spiegel. Verfolge die Strahlen rückwärts: Ein Schwimmer, der nach oben schaut, sieht den ganzen Himmel in einem Fenster von $2{\theta }_c=97,5^{\circ }$ Breite zusammengedrängt, umringt von einer Spiegelung des Beckenbodens.

Wer genau nach unten schaut, empfängt Strahlen nahe am Lot, wo $\sin \theta \approx \theta$ gilt. Ein aus dem Wasser austretender Strahl ist $n$-mal stärker geneigt als im Wasser, daher scheint er, zurückverfolgt, von einem Punkt zu kommen, der nur $1/n$ so tief liegt. Das Becken wirkt $2,0/1,33=1,50\mathrm{m}$ tief, ein Viertel weniger, als es ist.

Häufige Fehler

• Winkel werden vom Lot gemessen, nicht von der Fläche. Ein Strahl unter $40^{\circ }$ zur Glasfläche hat ${\theta }_1=50^{\circ }$; setzt man 40° ins Brechungsgesetz ein, erhält man 25,4° statt 30,7°.
• Das Brechungsgesetz verknüpft Sinus, nicht Winkel. Teilt man 30° durch 1,5, ergibt das 20° statt 19,5°; bei 50° ergibt die Abkürzung 33,3° statt 30,7°.
• Licht behält seine Farbe in Wasser oder Glas. Orangefarbenes Licht von 600 nm hat in Glas mit Index 1,50 eine Wellenlänge von 400 nm, aber seine Frequenz, $5,0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, bleibt unverändert.
• Totalreflexion braucht Licht, das von einem höheren Index zu einem niedrigeren geht. Beim Eintritt in Glas aus Luft, selbst bei 89°, tritt der Strahl unter 41,8° ein.
• Optisch dichter heißt nicht schwerer. Olivenöl schwimmt auf Wasser, bricht das Licht aber stärker, mit $n\approx 1,47$ gegenüber 1,33.

Wo dir das begegnet

Lichtwellenleiter übertragen Internetverkehr als Licht, das durch Totalreflexion gefangen ist. Die Prismen im Fernglas treffen das Licht unter $45^{\circ }$, jenseits des Grenzwinkels von $41,8^{\circ }$, daher reflektieren sie besser als versilberte Spiegel. Diamant mit $n=2,42$ und ${\theta }_c=24,4^{\circ }$ fängt Licht ein und schickt viel davon oben wieder hinaus, weshalb er funkelt. Luftspiegelungen über heißen Straßen entstehen, weil sich Licht in Luft mit wechselndem Index allmählich krümmt.

Da $n$ leicht von der Farbe abhängt, zerlegt ein Prisma weißes Licht, das Thema von Prismen, Dispersion und Farbe. Gekrümmte Grenzflächen, die Bilder erzeugen, folgen in Linsen und Spiegel sowie Auge, Kamera und Teleskop, und die Polarisation des reflektierten Lichts in Polarisation des Lichts.

Fortgeschritten

Fermats Prinzip der stationären Zeit

Reflexion und Brechung sehen wie zwei getrennte Regeln aus, eine für Spiegel und eine für Glas. Beide folgen aus einer einzigen Aussage über die Laufzeit, und zu verstehen, warum, ist der direkteste Zugang zur Strahlenoptik.

Beginnen wir mit der Zeit selbst. Licht bewegt sich in einem Medium mit dem Brechungsindex $n$ mit $c/n$, daher braucht es für eine kurze Strecke $ds$ die Zeit $nds/c$. Summiert man diese Stücke entlang eines ganzen Weges, erhält man seine Laufzeit. Das Integral $\int nds$ heißt optische Weglänge, und die Zeit ist diese Länge geteilt durch $c$:
$T=\frac{1}{c}\int nds$

Fermats Prinzip besagt, dass Licht einem Weg folgt, auf dem $T$ stationär ist. Stationär heißt, dass eine kleine Verformung des Weges die Zeit nur in zweiter Ordnung der Größe der Verformung ändert, nie in erster Ordnung, so wie eine glatte Funktion am Grund eines Tals oder auf der Spitze eines Hügels flach ist.

Stationär heißt nicht immer minimal. In einem Spiegel in Form einer Ellipse braucht jeder Weg von einem Brennpunkt zum Spiegel und weiter zum anderen Brennpunkt dieselbe Zeit, also sind alle stationär. In einem stärker gekrümmten Spiegel als dieser Ellipse ist der tatsächliche Weg der längste seiner Nachbarn, nicht der kürzeste.

Warum sollte Licht überhaupt auf die Zeit achten? Weil Licht eine Welle ist. Nimm jeden denkbaren Weg von der Quelle zum Detektor und gib jedem einen kleinen Pfeil, einen Phasor, der um die Phase $\omega T$ gedreht ist, die die Welle entlang dieses Weges ansammelt, wobei $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Das Licht, das ankommt, ist die Summe all dieser Pfeile. Bezeichne die Wege mit einem Parameter $x$, und sei $x_0$ der stationäre Weg mit der Zeit $T_0$. In seiner Nähe ändert sich die Zeit nur quadratisch, mit $T^{\prime \prime }$ als zweiter Ableitung von $T$ bei $x_0$:
$T\approx T_0+\frac{1}{2}{T}^{\prime \prime }(x-x_0{)}^2$

Nahe bei $x_0$ unterscheiden sich die Zeiten kaum, daher zeigen benachbarte Pfeile nahezu in dieselbe Richtung und addieren sich. Weiter draußen ändert sich die Phase von einem Weg zum nächsten immer schneller, und die Pfeile drehen sich zu engen Spiralen auf, die sich aufheben. Was ankommt, stammt also aus einem Band von Wegen um den stationären herum, deren Zeiten sich um weniger als etwa eine halbe Periode unterscheiden. Dieses Band nennen wir einen Strahl. In der Quantentheorie sind dieselben Pfeile die Wahrscheinlichkeitsamplituden eines Photons.

Das Brechungsgesetz aus der Laufzeit

Die nützlichste Folgerung aus Fermats Prinzip ist das Brechungsgesetz. Dieser Abschnitt leitet es her, indem er die Laufzeit als Funktion einer einzigen Zahl schreibt, des Punktes, an dem das Licht die Fläche überquert, und fragt, wo diese Zeit stationär ist.

Legende

$A$	Start der Route, in einer Höhe $a$ über der Fläche.
$B$	Ende der Route, in einer Tiefe $b$ unter der Fläche.
$a$	Höhe von $A$ über der Fläche.	$\mathrm{m}$
$b$	Tiefe von $B$ unter der Fläche.	$\mathrm{m}$
$D$	Horizontaler Abstand von $A$ nach $B$.	$\mathrm{m}$
$x$	Abstand entlang der Fläche vom Fußpunkt von $A$ bis zum Überquerungspunkt.	$\mathrm{m}$
$D-x$	Der Rest des horizontalen Abstands: vom Überquerungspunkt bis zum Fußpunkt von $B$.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Winkel zwischen dem ersten Schenkel und dem Lot zur Fläche (der gestrichelten senkrechten Linie).	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Winkel zwischen dem zweiten Schenkel und dem Lot.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Brechungsindex des oberen Mediums.
$n_2$	Brechungsindex des unteren Mediums.

Abbildung 1 stellt das Problem dar. Der Punkt $A$ liegt in einer Höhe $a$ über einer ebenen Fläche, in einem Medium mit dem Index $n_1$. Der Punkt $B$ liegt in einer Tiefe $b$ unter ihr, in einem Medium mit dem Index $n_2$, eine horizontale Strecke $D$ weiter. Innerhalb eines Mediums ist die schnellste Route eine Gerade, daher verläuft jede Kandidatenroute oberhalb und unterhalb der Fläche geradlinig. Sie wird dann durch eine Zahl festgelegt: den Abstand $x$ entlang der Fläche vom Fußpunkt von $A$ bis zum Überquerungspunkt. Jeder Schenkel ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten $a$ und $x$ oberhalb der Fläche und $b$ und $D-x$ unterhalb. Die durchgezogene goldene Route ist die schnellste; die gestrichelten Routen überqueren die Fläche an anderer Stelle, und jede braucht länger.

Nach dem Satz des Pythagoras sind die Schenkel $\sqrt{a^2+x^2}$ und $\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}$ lang. Licht legt sie mit $c/n_1$ und $c/n_2$ zurück, daher braucht die Route, die bei $x$ überquert, die Zeit
$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}{c}$
Die schnellste Route liegt dort, wo diese Funktion stationär ist, ihre Ableitung muss also verschwinden. Verschiebt man den Überquerungspunkt nach rechts, verlängert sich der obere Schenkel und verkürzt sich der untere, daher kommt das Minuszeichen her:
$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(D-x)}{\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}}\right)=0$

Lies nun die beiden Brüche aus der Abbildung ab. Am Überquerungspunkt bildet der obere Schenkel den Winkel ${\theta }_1$ mit dem Lot, der gestrichelten senkrechten Linie. Die Seite $a$ verläuft parallel zu diesem Lot, daher ist der Winkel zwischen dem Schenkel und $a$ an $A$ ebenfalls ${\theta }_1$. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite ist $x$, und der erste Bruch, Gegenkathete durch Hypotenuse, ist $x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin {\theta }_1$. Im unteren Dreieck ist die Seite $b$ ebenfalls senkrecht, der Winkel bei $B$ ist ${\theta }_2$, die Gegenkathete ist $D-x$, und der zweite Bruch ist $(D-x)/\sqrt{b^2+(D-x{)}^2}=\sin {\theta }_2$. Die Bedingung $dT/dx=0$ ist daher das Brechungsgesetz:
$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$

Ist diese Zeit ein Minimum? Zweimaliges Ableiten ergibt eine Summe zweier positiver Terme,
$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_1{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}+\frac{n_2{b}^2}{(b^2+(D-x{)}^2{)}^{3/2}}\right)>0$
sodass bei einer ebenen Fläche die stationäre Zeit ein echtes Minimum ist.

Die Reflexion folgt aus denselben Schritten. Setzt man $B$ oberhalb der Fläche, im selben Medium wie $A$, haben beide Schenkel den Index $n_1$. Die Bedingung wird dann zu $\sin {\theta }_r=\sin {\theta }_1$, wobei ${\theta }_r$ der Winkel zwischen dem reflektierten Schenkel und dem Lot ist: Der Reflexionswinkel ist gleich dem Einfallswinkel.

Das Prinzip sagt auch etwas voraus, was die Winkel allein nicht können. Licht muss in dem Medium, zu dem es sich zum Lot hin biegt, um den Faktor $n_2/n_1$ langsamer sein. Newtons Teilchenmodell erklärte dieselbe Ablenkung durch eine Anziehung des Glases auf das Licht, was es im Inneren schneller machen würde. Die beiden Vorstellungen sagen entgegengesetzte Geschwindigkeiten voraus, und 1850 maß Foucault, dass Licht im Wasser langsamer ist als in Luft, wie es Fermats Prinzip verlangt.

Wellenfronten und Phasenanpassung

Fermats Prinzip spricht von Wegen. Dasselbe Gesetz lässt sich an der Welle selbst erkennen, als Bedingung, dass die Wellen auf beiden Seiten der Fläche zusammenpassen. Diese Sicht ist die verallgemeinerbare: Sie erklärt Luftspiegelungen und verknüpft die Brechung mit Erhaltungssätzen.

Legende

${\lambda }_1$	Wellenlänge im oberen Medium: der Abstand benachbarter Wellenfronten dort.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Wellenlänge im unteren Medium: ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$, kürzer, weil Licht dort langsamer ist.	$\mathrm{m}$
$\Lambda$	Abstand entlang der Fläche zwischen den Punkten, an denen benachbarte Fronten sie treffen, auf beiden Seiten gleich.	$\mathrm{m}$
${\theta }_1$	Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot; zugleich der Winkel zwischen einer Front und der Fläche.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Winkel zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Lot.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Brechungsindex des oberen Mediums.
$n_2$	Brechungsindex des unteren, optisch dichteren Mediums (schattiert).

Abbildung 2 zeigt einen Strahl, der in ein Medium übertritt, in dem Licht 1,5-mal langsamer ist, $n_2/n_1=1,5$. Die violetten Linien sind Wellenfronten, also Linien gleicher Phase. Sie sind zugleich Linien gleicher Laufzeit von der Quelle, also Fermats Prinzip in Wellenform, und jede Front steht senkrecht auf ihrem Strahl. Benachbarte Fronten liegen eine Wellenlänge auseinander: ${\lambda }_1$ im oberen Medium und ${\lambda }_2={\lambda }_1{n}_1/n_2$ im unteren, weil die Frequenz auf beiden Seiten gleich ist, die Geschwindigkeit unten aber geringer. Die Expertenebene der Animation zeigt das Gesetz als diese Anpassungsbedingung: Ihre Fronten liegen in Luft ${\lambda }_0$ auseinander, wobei ${\lambda }_0$ die Wellenlänge im Vakuum ist, und im Glas ${\lambda }_0/n$, 1,5-mal näher.

Schauen wir nun entlang der Fläche. Die Welle ist über die Fläche hinweg stetig, daher müssen die Fronten oberhalb und unterhalb ohne Bruch aneinander anschließen: Jede Front erreicht die Fläche von beiden Seiten im selben Punkt. Benachbarte Fronten treffen die Fläche deshalb auf beiden Seiten im gleichen Abstand $\Lambda$, dem grünen Balken.

Setze $\Lambda$ zu jeder Wellenlänge in Beziehung. Eine Front steht senkrecht auf ihrem Strahl, und die Fläche steht senkrecht auf dem Lot, daher ist der Winkel zwischen einer Front und der Fläche gleich dem Winkel zwischen dem Strahl und dem Lot, ${\theta }_1$ oberhalb der Fläche. Zwei benachbarte Fronten und die Strecke $\Lambda$ der Fläche zwischen ihren Auftreffpunkten bilden ein rechtwinkliges Dreieck: $\Lambda$ ist seine Hypotenuse, und der Abstand zwischen den Fronten, ${\lambda }_1$, liegt dem Winkel ${\theta }_1$ gegenüber. Daher gilt ${\lambda }_1=\Lambda \sin {\theta }_1$. Unterhalb der Fläche ergibt dasselbe Dreieck ${\lambda }_2=\Lambda \sin {\theta }_2$. Eliminiert man $\Lambda$,
$\frac{{\lambda }_1}{\sin {\theta }_1}=\Lambda =\frac{{\lambda }_2}{\sin {\theta }_2}$
Für die Winkel der Animation, $50^{\circ }$ in Luft und $30,7^{\circ }$ im Glas, ergibt sich auf beiden Seiten $\Lambda =1,31{\lambda }_0$. Schreibt man $\lambda ={\lambda }_0/n$ auf jeder Seite, wird die Gleichung zu $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$: wieder das Brechungsgesetz.

Auch die Neigung der Fronten zeigt, warum der Strahl im langsameren Medium zum Lot hin abknickt. Ein Ende einer schrägen Front erreicht die Fläche zuerst und wird zuerst gebremst, während das andere Ende im oberen Medium noch schnell läuft. Die Front dreht sich um ihr gebremstes Ende, und der Strahl, der senkrecht auf der Front steht, knickt zum Lot hin ab.

Die Anpassungsbedingung hat eine kompakte Form. Der Wellenvektor zeigt entlang des Strahls und hat die Größe $k=n\omega /c=2\pi /\lambda$. Seine Komponente entlang der Fläche ist $k\sin \theta =2\pi /\Lambda$, daher sagt die Phasenanpassung, dass diese tangentiale Komponente auf beiden Seiten gleich ist. Das spiegelt zwei Erhaltungssätze der Mechanik. Eine Grenzfläche, die sich nicht zeitlich ändert, erhält die Frequenz $\omega$, so wie die Symmetrie unter Zeitverschiebung die Energie erhält. Eine Fläche, die über ihre ganze Länge gleich aussieht, erhält die tangentiale Komponente des Wellenvektors, so wie Translationssymmetrie den Impuls erhält.

Die Regel gilt für jeden Stapel paralleler Schichten: Überquert man eine Grenzfläche nach der anderen, bleibt $n(z)\sin \theta (z)$ auf jeder Höhe $z$ gleich. Wo $n$ wächst, schrumpft $\sin \theta$, und der Strahl knickt zum Lot hin ab. In Luft, deren Index sich mit der Höhe allmählich ändert, krümmt sich ein Strahl daher zu höherem $n$ hin. Über einer heißen Straße ist die Luft nahe am Boden wärmer und ihr Index niedriger, daher wird Licht vom Himmel nach oben ins Auge gekrümmt, und die Straße scheint wie Wasser zu glänzen: eine Luftspiegelung.

Brechungswinkel gegen Einfallswinkel

Das Brechungsgesetz ist in den Winkeln nicht linear. Ein Diagramm des einen Winkels gegen den anderen zeigt auf einen Blick, wo die Kleinwinkelnäherung der Linsenformeln gilt, wo sie versagt und wo die Totalreflexion beginnt.

Legende

${\theta }_1$	Einfallswinkel, vom Lot aus gemessen.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Brechungswinkel, vom Lot aus gemessen.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Grenzwinkel für Glas in Luft, $\sin {\theta }_c=1/1,5$; zugleich der Winkel, an dem die Kurve von Luft in Glas endet.	$\mathrm{rad}$
$n_1$	Brechungsindex des Mediums, aus dem das Licht kommt.
$n_2$	Brechungsindex des Mediums, in das es eintritt.

Abbildung 3 trägt den Brechungswinkel ${\theta }_2$ gegen den Einfallswinkel ${\theta }_1$ auf, jeweils von $0$ bis $90^{\circ }$, für Glas mit dem Index 1,5 in beiden Richtungen. Wie im Brechungsgesetz ist $n_1$ der Index des Mediums, aus dem das Licht kommt, und $n_2$ der Index des Mediums, in das es eintritt.

Verfolge zuerst die blaue Kurve: Luft nach Glas, $n_1<n_2$. Nahe dem Ursprung ist sie eine Gerade mit der Steigung $n_1/n_2=0,667$, denn für kleine Winkel gilt $\sin \theta \approx \theta$, und das Brechungsgesetz wird zu ${\theta }_2\approx (n_1/n_2){\theta }_1$, der Regel hinter den Linsenformeln. Die Kurve biegt dann ab und endet bei streifendem Einfall ${\theta }_1=90^{\circ }$ bei ${\theta }_2=41,8^{\circ }$: der Höhe der waagerechten gestrichelten Linie, die mit ${\theta }_c$ markiert ist. Licht aus der Luft verläuft im Glas nie unter einem größeren Winkel zum Lot als diesem.

Nun die rote Kurve: Glas nach Luft, $n_1>n_2$. Sie beginnt mit der Steigung 1,5, steigt immer schneller an und erreicht ${\theta }_2=90^{\circ }$ bei ${\theta }_1={\theta }_c=41,8^{\circ }$, wo sie an der senkrechten gestrichelten Linie endet. Das ist der Grenzwinkel, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$. Jenseits davon gibt es überhaupt keinen gebrochenen Strahl, und alles Licht wird reflektiert: Totalreflexion.

Die beiden Kurven sind Spiegelbilder voneinander an der gestrichelten Diagonalen ${\theta }_2={\theta }_1$. Der Grund ist, dass jeder Lichtweg rückwärts durchlaufen werden kann: Wenn Licht aus der Luft unter ${\theta }_1$ in das Glas unter ${\theta }_2$ eintritt, dann verlässt Licht im Glas unter ${\theta }_2$ die Fläche in die Luft unter ${\theta }_1$, was die Achsen vertauscht. Deshalb endet an demselben Winkel ${\theta }_c$ jede der beiden Kurven.

Warum schießt die rote Kurve nahe ihrem Ende so steil hoch? Differenziert man das Brechungsgesetz, erhält man $n_1\cos {\theta }_{1}d{\theta }_1=n_2\cos {\theta }_{2}d{\theta }_2$, also
$\frac{d{\theta }_2}{d{\theta }_1}=\frac{n_1\cos {\theta }_1}{n_2\cos {\theta }_2}$
Wenn ${\theta }_2\to 90^{\circ }$ geht, strebt der Kosinus im Nenner gegen null, und die Steigung divergiert. Nahe ${\theta }_c$ schwenkt eine winzige Neigung des einfallenden Strahls den austretenden Strahl durch einen großen Winkel.

Warum Licht im Material langsamer ist

Bisher wurde der Index $n$ einfach vorgegeben. Dieser Abschnitt erklärt, woher er kommt und warum er von der Farbe abhängt.

Das Verlangsamen bedeutet nicht, dass das Licht an jedem Atom pausiert. Die Welle treibt die Elektronen des Materials an, die mit der Frequenz der Welle schwingen und ihrerseits Wellen abstrahlen. Eine dünne Schicht dieser Elektronen fügt eine schwache Welle hinzu, die eine Viertelperiode hinter der einfallenden zurückbleibt. Eine kleine Welle, die eine Viertelperiode zurückliegt, verschiebt die Phase der Gesamtwelle leicht nach hinten, als wäre sie ein wenig verspätet angekommen. Schicht für Schicht summieren sich diese kleinen Verzögerungen, und die Gesamtwelle läuft mit $c/n$.

Die Elektronen reagieren stärker, je näher die Frequenz ihren Eigenfrequenzen kommt, die bei Glas im Ultravioletten liegen. Der Index steigt daher mit der Frequenz: etwa 1,514 für rotes und 1,522 für blaues Licht in einem gewöhnlichen Kronglas. Diese Abhängigkeit des $n$ von der Frequenz heißt Dispersion, und sie ist es, die ein Prisma weißes Licht in Farben zerlegen lässt. Bei Röntgenstrahlen, deren Frequenz oberhalb der Resonanzen liegt, ist $n$ etwas kleiner als 1. Die Wellenberge laufen dann schneller als $c$, was kein Gesetz verletzt: Die Wellenberge einer gleichförmigen Welle tragen kein Signal.

Amplituden, Brewster-Winkel und die evaneszente Welle

Das Brechungsgesetz legt die Richtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls fest, aber nicht, wie viel Licht in welche Richtung geht. Das hängt davon ab, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist, und erklärt, warum ein Fenster ein wenig reflektiert, warum reflektierter Blendglanz polarisiert ist und was unmittelbar hinter einer total reflektierenden Fläche geschieht.

Die maxwellschen Gleichungen verlangen, dass die Komponenten des elektrischen und des magnetischen Feldes parallel zur Fläche über sie hinweg stetig sind. Wendet man dies auf die einfallende, die reflektierte und die gebrochene Welle an, erhält man die fresnelschen Gleichungen, die die reflektierten und durchgelassenen Anteile angeben. Sie hängen von der Polarisation ab, also der Richtung, in der das elektrische Feld schwingt. Bei senkrechtem Einfall verhalten sich beide Polarisationen gleich, und der reflektierte Leistungsanteil ist
$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2\text{(normal incidence)}$
Das sind 4,0 % für Glas, 2,0 % für Wasser und 17 % für Diamant, von beiden Seiten gleich, da das Vertauschen von $n_1$ und $n_2$ nur das Vorzeichen innerhalb des Quadrats ändert.

Bei schrägem Einfall trennen sich die beiden Polarisationen. Die Einfallsebene ist die Ebene, die den einfallenden Strahl und das Lot enthält. Bei den $50^{\circ }$ der Animation von Luft in Glas wird Licht, das senkrecht zu dieser Ebene polarisiert ist (s genannt), zu 11,2 % reflektiert, Licht, das in dieser Ebene polarisiert ist (p genannt), dagegen nur zu 0,3 %.

Die p-Reflexion verschwindet vollständig beim Brewster-Winkel, $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$: $56,3^{\circ }$ von Luft in Glas. Dort steht der gebrochene Strahl unter $33,7^{\circ }$ genau senkrecht zur Richtung des reflektierten Strahls. Die Elektronen aus dem vorigen Abschnitt erklären das. Für p-Licht schwingen sie senkrecht zum gebrochenen Strahl, innerhalb der Einfallsebene, und beim Brewster-Winkel zeigt diese Schwingrichtung genau in die Richtung des reflektierten Strahls. Ein schwingender Dipol strahlt nichts entlang seiner eigenen Achse ab, daher wird kein p-Licht reflektiert. Blendlicht, das nahe diesem Winkel reflektiert wird, ist daher überwiegend s-polarisiert, weshalb Polarisationssonnenbrillen es herausfiltern.

Die Totalreflexion birgt eine Feinheit. Nimm Licht im Glas mit dem Index $n_1$, das jenseits von ${\theta }_c$ auf eine Fläche zu Luft mit dem Index $n_2$ trifft, und schreibe $k_0=2\pi /{\lambda }_0$ für die Wellenzahl im Vakuum. Die Phasenanpassung verlangt weiterhin die tangentiale Wellenzahl $n_1{k}_0\sin {\theta }_1$ auf der Luftseite. Jenseits von ${\theta }_c$ übersteigt das die gesamte in Luft verfügbare Wellenzahl $n_2{k}_0$. Die Komponente senkrecht zur Fläche, deren Quadrat $n_2^2{k}_0^2-n_1^2{k}_0^2{\sin }^2{\theta }_1$ ist, ist dann die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl: Sie ist imaginär. Eine imaginäre Wellenzahl beschreibt Abklingen, nicht Schwingen. Das Feld in der Luft fällt mit dem Abstand $z$ von der Fläche wie $e^{-z/\delta }$ ab, mit
$\delta =\frac{{\lambda }_0}{2\pi \sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1-n_2^2}}$

Bei einem Einfall von $50^{\circ }$ im Glas der Animation ist $\delta =0,28{\lambda }_0$, etwa 155 nm für grünes Licht von 550 nm. Das ist die evaneszente Welle. Im Mittel trägt sie keine Energie von der Fläche weg, daher ist die Reflexion wirklich total. Bringt man aber einen zweiten Glasblock innerhalb weniger $\delta$ heran, reicht das evaneszente Feld hinein: Licht sickert über den Spalt. Diese gestörte Totalreflexion folgt derselben Mathematik wie das quantenmechanische Tunneln durch eine Barriere.

Durchgerechnete Aufgabe: ein Glasstab als Lichtleiter

Totalreflexion kann Licht über Kilometer in einem Stab oder einer Faser einschließen. Diese Aufgabe klärt, wann das Einschließen funktioniert, wie breit der Lichtkegel ist, den eine Faser aufnimmt, und was dieser Kegel an Signalgeschwindigkeit kostet.

Legende

$n_1$	Brechungsindex des Kerns.
$n_2$	Brechungsindex des Mantels, niedriger als $n_1$.
${\alpha }_{\max }$	Größter Winkel zur Achse, unter dem Licht, das in die Stirnfläche eintritt, noch eingeschlossen wird.	$\mathrm{rad}$
${\beta }_{\max }$	Winkel zur Achse, im Kern, des Strahls, der unter ${\alpha }_{\max }$ eingetreten ist.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_c$	Grenzwinkel an der Kernwand, $\sin {\theta }_c=n_2/n_1$: Der äußerste Strahl trifft die Wand genau unter diesem Winkel zum Lot.	$\mathrm{rad}$
$L$	Länge der Faser.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt eine Stufenindexfaser der Länge $L$: einen Kern mit dem Index $n_1$ in einem Mantel mit dem Index $n_2<n_1$. Das Licht tritt durch die ebene Endfläche ein, die senkrecht zur Achse steht, die gestrichelte waagerechte Linie. Der gezeichnete Strahl ist der äußerste, der noch eingeschlossen wird. Er tritt unter dem Winkel ${\alpha }_{\max }$ zur Achse ein, am Rand des schattierten Kegels, und wird an der Endfläche zum Winkel ${\beta }_{\max }$ zur Achse im Kern gebrochen. Die Kernwand verläuft parallel zur Achse, daher steht ihre Normale senkrecht zur Achse, und der Strahl trifft die Wand unter $90^{\circ }-{\beta }_{\max }$ zu dieser Normalen. Für den äußersten Strahl ist das genau der Grenzwinkel: ${\theta }_c=90^{\circ }-{\beta }_{\max }$. Ein Strahl innerhalb des Kegels verläuft unter einem kleineren Winkel zur Achse, trifft die Wand unter mehr als ${\theta }_c$ und wird ebenfalls eingeschlossen, indem er wie gezeichnet von Wand zu Wand springt.

Beginne mit einem nackten Stab. Nimm einen langen Stab aus dem Glas der Animation, $n=1,50$, in Luft, mit einer ebenen Endfläche senkrecht zur Achse: Die Luft selbst spielt den Mantel. Kann Licht, das an der Stirnfläche unter irgendeinem Winkel eintritt, durch die Seite entkommen?

Ein Strahl, der unter dem Winkel $\alpha$ zur Achse eintritt, wird zu $\beta$ gebrochen, mit $\sin \beta =\sin \alpha /1,50$ nach dem Brechungsgesetz an der Endfläche. Selbst bei streifendem Eintritt, $\alpha =90^{\circ }$, ergibt sich nur $\sin \beta =0,667$, sodass $\beta$ nie $41,8^{\circ }$ übersteigt. Der Strahl trifft dann die Seitenwand unter $90^{\circ }-\beta \ge 48,2^{\circ }$ zur Normalen der Wand, jenseits von ${\theta }_c=41,8^{\circ }$: Jeder Strahl, der eindringt, wird eingeschlossen. Allgemein hat der steilste Strahl $\sin {\beta }_{\max }=1/n$, und er wird eingeschlossen, wenn er die Wand jenseits von ${\theta }_c$ trifft, also wenn $\cos {\beta }_{\max }\ge \sin {\theta }_c$. Mit $\sin {\theta }_c=1/n$ lautet das $\sqrt{1-1/n^2}\ge 1/n$, oder $n\ge \sqrt{2}=1,414$.

Ein nackter Stab leckt überall dort, wo Staub oder ein Finger ihn berührt, denn dort ist der Index außen nicht mehr 1. Eine echte Faser umhüllt den Kern daher mit einem Mantel von etwas niedrigerem Index, sagen wir $n_2=1,46$ um $n_1=1,50$. Nun ist $\sin {\theta }_c=1,46/1,50=0,973$ und ${\theta }_c=76,7^{\circ }$, sodass der Strahl im Kern höchstens ${\beta }_{\max }=13,3^{\circ }$ mit der Achse bilden darf. Das Brechungsgesetz an der Endfläche mit Luft außen ergibt $\sin {\alpha }_{\max }=n_1\sin {\beta }_{\max }$, und $\sin {\beta }_{\max }=\cos {\theta }_c=\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}$. Die Endfläche nimmt also nur Strahlen mit
$\sin {\alpha }_{\max }=n_1\cos {\theta }_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1,50^2-1,46^2}=0,344$
auf, einen Kegel mit dem halben Öffnungswinkel $20,1^{\circ }$. In Abbildung 4 ist der Kegel viel breiter, weil die Abbildung den Unterschied der Indizes übertreibt. Der Sinus, 0,344, heißt die numerische Apertur der Faser.

Der Preis dafür, einen Kegel zu akzeptieren, ist, dass Strahlen unter verschiedenen Winkeln unterschiedlich lange Wege zurücklegen. Über $L=1,00\mathrm{km}$ braucht der axiale Strahl $n_{1}L/c=5,00\mu \mathrm{s}$. Der steilste eingeschlossene Strahl zickzackt auf einem um den Faktor $1/\cos {\beta }_{\max }$ längeren Weg; da $\cos {\beta }_{\max }=\sin {\theta }_c=n_2/n_1$ ist, beträgt dieser Faktor $n_1/n_2$, und der Strahl braucht 5,14 μs. Ein kurzer Impuls, der in die Faser geschickt wird, kommt daher über 137 ns verschmiert heraus, sodass Impulse mindestens 137 ns auseinanderliegen müssen, um getrennt zu bleiben: etwa 7 Millionen pro Sekunde über 1 km. Telekommunikationsfasern vermeiden das mit Kernen von nur etwa 9 μm Breite, die eine einzige Mode der Welle führen; dort versagt das Strahlenbild.

Gültigkeitsgrenzen

Die Strahlenoptik ist ein Modell, und es lohnt sich zu wissen, wo es aufhört zu funktionieren.

Sie ist der Grenzfall kurzer Wellenlängen der Wellenoptik. Das Band der beitragenden Wege um einen Strahl, das im ersten Abschnitt begegnete, ist über eine Länge $L$ etwa $\sqrt{\lambda L}$ breit: 0,7 mm für Licht von 500 nm über 1 m. Eine Öffnung, die schmaler ist als dieses Band, schneidet darin hinein, und das Strahlenbild bricht zusammen. Ein Spalt mit der Breite $a=0,1\mathrm{mm}$ spreizt zum Beispiel ein solches Bündel um etwa $\lambda /a=0,005\mathrm{rad}$, also 0,3°: das ist Beugung.

Ein einzelner Index $n$ setzt außerdem voraus, dass das Medium linear (seine Antwort ist proportional zum Feld), isotrop (in allen Richtungen gleich) und nicht absorbierend ist. Jede dieser Annahmen kann versagen. Kalkspat ist nicht isotrop: Er hat zwei Indizes, 1,486 und 1,658 an den Extremen, sodass ein Strahl beim Eintritt in zwei aufgespalten wird. In Metallen ist $n$ komplex, und das Licht erlischt innerhalb von einigen zehn Nanometern. Schließlich bricht eine bewegte Grenzfläche die Symmetrie unter Zeitverschiebung, die die Frequenz erhalten hat: Ein Spiegel, der sich mit der Geschwindigkeit $u$ entfernt, senkt die Frequenz des reflektierten Lichts um einen Bruchteil von etwa $2u/c$.

Wohin das führt

Fermats Prinzip führt zu Linsen und Spiegeln, wo ein Brennpunkt ein Punkt ist, den viele Wege in genau derselben Zeit erreichen. Die Dispersion ist das Thema von Prismen, Dispersion und Farbe, und der Brewster-Winkel kehrt in Polarisation des Lichts zurück. Die Lichtwelle selbst wird in Elektromagnetische Wellen beschrieben, das Versagen der Strahlen in Beugung und Doppelspalt, und das quantenmechanische Gegenstück zur gestörten Totalreflexion in Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt.

In Gravitation als gekrümmte Raumzeit lenkt die Sonne Sternenlicht, das sie streift, um 1,75 Bogensekunden ab, als hätte der Raum um sie herum einen Brechungsindex $n\approx 1+2GM/(r{c}^2)$, wobei $M$ die Masse der Sonne und $r$ der Abstand vom Mittelpunkt ist. Und das Stationärphasen-Argument des ersten Abschnitts, mit dem Strahlen aus Wellen hervorgehen, ist dasselbe Argument, mit dem die klassische Mechanik mit ihrem Prinzip der kleinsten Wirkung aus der Quantenmechanik hervorgeht.