Поляризация света

Начальный

Шаг 1. Привяжите скакалку к дверной ручке и встряхните свободный конец. Скакалку можно заставить колебаться вверх-вниз, из стороны в сторону или вдоль любой наклонной линии, а сама волна при этом всегда бежит к двери. Свет — волна такого же поперечного типа, и направление, в котором он колеблется, называют его поляризацией.

Шаг 2. Лампа или Солнце испускают свет, у которого направление колебаний всё время беспорядочно меняется, так что в нём смешаны все направления. Такой свет называют неполяризованным. В анимации жёлтые волны, выходящие из лампы, колеблются во все стороны.

Шаг 3. Поляризационный фильтр похож на ряд узких щелей: он пропускает только ту часть колебаний, которая направлена вдоль щелей, а остальное поглощает. За фильтром 1 синяя волна колеблется только вверх-вниз, и примерно половина света потеряна.

Шаг 4. Теперь следите за поворотом фильтра 2. Пока его щели совпадают со щелями фильтра 1, свет проходит и пятно на экране яркое. По мере поворота красная волна за ним уменьшается; после четверти оборота щели скрещены, и экран темнеет. Поверните дальше — и свет вернётся.

Шаг 5. Солнечный свет, отражённый от озера или мокрой дороги, колеблется в основном горизонтально. У поляризационных солнцезащитных очков щели вертикальные, поэтому они гасят большую часть таких бликов.

Проверьте себя: вы в поляризационных очках смотрите на блик на луже, а потом наклоняете голову к плечу. Что произойдёт? (Блик вернётся: щели теперь лежат горизонтально, вдоль колебаний отражённого света.)

Средний

Свет — поперечная волна

Свет — электромагнитная волна: электрическое поле $\vec{E}$ и магнитное поле колеблются вместе, причём каждое из них перпендикулярно другому и направлению луча. Поляризация — это направление, вдоль которого колеблется $\vec{E}$: вертикальное, горизонтальное или любое промежуточное. Звук в воздухе колеблется вдоль направления распространения, поэтому у него нет такого направления, и поляризовать его нельзя.

Свет, у которого поле сохраняет одно направление, поляризован линейно. Свет Солнца и ламп возникает из излучения бесчисленных атомов, каждый из которых излучает независимо от других, поэтому направление колебаний меняется беспорядочно и гораздо быстрее, чем способен уследить любой прибор: такой свет неполяризован. Блики от мокрой дороги и свет голубого неба поляризованы частично: в них смешаны поляризованный и неполяризованный свет.

Глаз или фотодатчик регистрирует интенсивность $I$ — мощность, приходящуюся на единицу площади, в ваттах на квадратный метр (Вт/м²). Она пропорциональна квадрату амплитуды поля $E_0$, измеряемой в вольтах на метр:
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$
где $c=3,00\times 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — скорость света, а ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ — электрическая постоянная. Если амплитуду уменьшить вдвое, интенсивность уменьшится в четыре раза.

Что делает поляризатор

У поляризатора есть ось пропускания: он пропускает составляющую $\vec{E}$ вдоль этой оси и поглощает составляющую поперёк неё, так что вышедший свет поляризован линейно вдоль оси. Обычная поляризационная плёнка — это пластик из длинных полимерных цепочек, вытянутых в одном направлении и пропитанных иодом, чтобы электроны могли двигаться вдоль цепочек. Поле вдоль цепочек вызывает токи и поглощается, поэтому ось пропускания перпендикулярна цепочкам, а не направлена вдоль них, как можно было бы подумать, глядя на штакетник; щели в анимации изображают ось, а не молекулы.

В неполяризованном свете все направления представлены поровну. Направление под углом $\phi$ к оси сохраняет долю ${\cos }^2\phi$ своей интенсивности, а среднее по всем направлениям равно половине, поэтому идеальный поляризатор пропускает половину света при любом повороте. В анимации $I_0=100\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ от лампы за фильтром 1 превращается в $I_1=50\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, а синяя волна колеблется только вверх и вниз.

Закон Малюса

У второго поляризатора, анализатора, ось составляет угол $\theta$ с направлением поляризации приходящего света. Вид спереди в анимации раскладывает синее поле $E_1$ на две части: часть вдоль оси, $E_1\cos \theta$, проходит как красное поле $E_2$, а часть поперёк оси, $E_1\sin \theta$, поглощается. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому рабочие уравнения таковы:

• $I_1=\frac{I_0}{2}\text{(неполяризованный свет, идеальный поляризатор)}$
• $E_2=E_1\cos \theta$
• $I_2=I_1{\cos }^2\theta \text{(закон Малюса)}$

Последнее уравнение названо в честь Этьена-Луи Малюса, который в 1808 году обнаружил, что свет, отражённый от оконного стекла, поляризован. Поглощённая часть, $I_1{\sin }^2\theta$, дополняет прошедшую до $I_1$, ведь ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. При $90^{\circ }$ фильтры скрещены и ничего не проходит, а поскольку ось, повёрнутая на $180^{\circ }$, — это та же самая ось, картина повторяется с каждым поворотом на половину оборота.

Пример: анализатор из анимации

Фильтр 2 поворачивается на 22,5° в секунду, так что $\theta$ достигает $22,5^{\circ }$, $45^{\circ }$ и $67,5^{\circ }$ через 1, 2 и 3 с. При $I_1=50\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ закон Малюса даёт
$I_2=50{\cos }^{2}22,5^{\circ }=50\cdot 0,854=42,7\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}45^{\circ }=50\cdot 0,500=25,0\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}67,5^{\circ }=50\cdot 0,146=7,3\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
и нуль при $90^{\circ }$, через 4 с. Это значения на индикаторе $I_2$; во второй половине цикла они повторяются в обратном порядке.

Сравните волны с показаниями индикатора. При $45^{\circ }$ амплитуда красной волны всё ещё составляет $\cos 45^{\circ }=0,71$ от амплитуды синей, но интенсивность — только половину. При $60^{\circ }$ (через 2,7 с) амплитуда уменьшается вдвое, а интенсивность — вчетверо, $I_2=50\cdot 0,25=12,5\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$: в единицах поля $E_1=\sqrt{2I_1/(c{\epsilon }_0)}\approx 194\mathrm{В}/\mathrm{м}$ превращается в $E_2\approx 97\mathrm{В}/\mathrm{м}$. На виде спереди зелёная дуга отмечает угол $\theta$, а красная стрелка $E_2$ при этом укорачивается.

Пример: три поляризатора

Два скрещённых поляризатора, под $0^{\circ }$ и $90^{\circ }$, не пропускают ничего. Вставьте между ними третий под углом $30^{\circ }$ к первому, направьте неполяризованный свет с $I_0=100\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ и всегда берите угол между соседними осями. Первый фильтр пропускает $100/2=50\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$. Средний пропускает $50{\cos }^{2}30^{\circ }=37,5\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, и этот свет теперь поляризован под $30^{\circ }$. Последний, повёрнутый ещё на $60^{\circ }$, пропускает $37,5{\cos }^{2}60^{\circ }=9,4\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$.

Если средний поляризатор стоит под произвольным углом $\theta$, то последний повёрнут относительно него на $90^{\circ }-\theta$, а ${\cos }^2(90^{\circ }-\theta )={\sin }^2\theta$:
$I_3=\frac{I_0}{2}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \text{(поляризаторы под }{0}^{\circ },\theta ,90^{\circ }\text{)}$
Это равно $(I_0/8){\sin }^{2}2\theta$ и достигает максимума при $\theta =45^{\circ }$, где проходит $I_0/8=12,5\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$.

Добавив фильтр, мы получили свет там, где его не было. Средний фильтр не создаёт никакой утечки: он заново поляризует свет вдоль собственной оси, а она уже не перпендикулярна оси последнего фильтра. Каждый поляризатор заново задаёт направление поля.

Поляризация при отражении

Свет, отражённый от воды, стекла или дороги, поляризован частично: вектор $\vec{E}$ направлен в основном параллельно поверхности. При угле Брюстера ${\theta }_B$ он поляризован полностью:
$\mathrm{tg}{\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}\text{(угол Брюстера)}$
${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }\text{(отражённый луч }\perp \text{ преломлённому)}$
Здесь $n_1$ — показатель преломления среды, из которой приходит свет, $n_2$ — показатель преломления отражающей среды, а ${\theta }_2$ — угол преломления: отражённый и преломлённый лучи при этом перпендикулярны.

При переходе из воздуха в воду ($n=1,33$) ${\theta }_B=\mathrm{arctg}1,33=53,1^{\circ }$ и ${\theta }_2=36,9^{\circ }$; для стекла ($n=1,50$) ${\theta }_B=56,3^{\circ }$. Когда Солнце стоит на $36,9^{\circ }$ над горизонтом, его свет падает на спокойное озеро как раз под углом $53,1^{\circ }$, и блик поляризован горизонтально. Солнцезащитные очки с вертикальной осью пропускания гасят его, а остальную картину, в основном неполяризованную, лишь вдвое ослабляют.

Частые ошибки

• Брать $\cos \theta$ вместо ${\cos }^2\theta$. При $60^{\circ }$ амплитуда уменьшается вдвое, а интенсивность — вчетверо: из $I_1=50\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$ получается 12,5 Вт/м², а не 25 Вт/м².
• Применять закон Малюса к неполяризованному свету или забывать множитель $\frac{1}{2}$ на первом фильтре: без него ответ для трёх поляризаторов удваивается до 18,75 Вт/м².
• Отсчитывать все углы от первого фильтра. Берите угол между соседними осями: последний из трёх поляризаторов повёрнут на $60^{\circ }$ относительно среднего, а если взять $90^{\circ }$, то ошибочно получится нуль.
• Понимать образ штакетника буквально. Поляризационная плёнка поглощает поле вдоль своих цепочек, а проволочная решётка отражает поле вдоль своих проволок, поэтому ось пропускания перпендикулярна им.
• Брать синус вместо тангенса для угла Брюстера: уравнение $\sin {\theta }_B=1,33$ не имеет решения, а $\arcsin (1/1,33)=48,8^{\circ }$ — это предельный угол полного отражения для света, выходящего из воды, то есть совсем другой эффект.

Где это встречается

Поляризационные фильтры на солнцезащитных очках и фотоаппаратах убирают отражения от воды и витрин и делают голубое небо темнее: его свет частично поляризован рассеянием, сильнее всего на $90^{\circ }$ от Солнца; пчёлы ориентируются по этой картине. В ЖК-экране жидкий кристалл заключён между двумя поляризаторами, и яркость каждого пикселя зависит от того, насколько он поворачивает поляризацию, поэтому экран телефона, на который смотрят через поляризационные очки, при одном определённом наклоне темнеет. В 3D-кинотеатрах изображения для двух глаз передаются светом с разной поляризацией, а инженеры видят напряжения в пластиковых моделях по цветным полосам между скрещёнными поляризаторами.

Углы падения и преломления разобраны в уроке «Отражение и преломление». Урок «Электромагнитные волны» объясняет, почему свет поперечен и откуда берётся $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$, а урок «Корпускулярно-волновой дуализм» знакомит с фотонами, для которых закон Малюса превращается в вероятность пройти, равную ${\cos }^2\theta$.

Продвинутый

Поле как двумерный осциллятор

Поляризация описывает, как электрическое поле световой волны движется поперёк луча. На это движение воздействует каждый поляризатор, каждая отражающая поверхность и каждый кристалл в этом уроке, поэтому начнём с ясной картины.

Возьмём волну, бегущую вдоль оси $z$. Её электрическое поле $\vec{E}$ лежит поперёк луча, в плоскости $xy$, поэтому у него две составляющие, $E_x$ и $E_y$. Обе колеблются с круговой частотой света $\omega$, но у каждой своя амплитуда, $a$ у $E_x$ и $b$ у $E_y$, а $E_y$ может опережать $E_x$ на разность фаз $\delta$. В фиксированной точке луча
$E_x=a\cos \omega t,E_y=b\cos (\omega t+\delta )$
Составляющие не зависят друг от друга, поэтому поле ведёт себя как двумерный осциллятор — подобно шарику маятника, который может качаться в любом направлении или обегать эллипс.

Обозначения

$a$	Амплитуда $E_x$: половина ширины прямоугольника.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$b$	Амплитуда $E_y$: половина высоты прямоугольника.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\vec{E}$	Электрическое поле в изображённый момент; его конец обегает эллипс.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E_x$	Составляющая $\vec{E}$ вдоль $x$.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E_y$	Составляющая $\vec{E}$ вдоль $y$.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\omega t$	Фаза волны в точке: круговая частота, умноженная на время. Это горизонтальная ось графика.	$\mathrm{рад}$
$\delta$	Разность фаз составляющих: $E_y$ достигает максимума на фазу $\delta$ раньше $E_x$.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 1 это движение показано двумя способами. Слева — плоскость поперёк луча. В каждый момент конец вектора $\vec{E}$ находится в точке $(E_x,E_y)$, так что две составляющие — это тени стрелки на осях. Поскольку $E_x$ никогда не превышает $a$, а $E_y$ никогда не превышает $b$, конец вектора остаётся внутри прямоугольника шириной $2a$ и высотой $2b$; а так как каждая составляющая достигает максимума раз за период, кривая касается всех четырёх сторон этого прямоугольника. Справа те же две составляющие построены в зависимости от фазы $\omega t$. Здесь $\delta =60^{\circ }$, поэтому каждый максимум $E_y$ наступает на фазу $\delta$ раньше соответствующего максимума $E_x$. Точки на двух кривых отмечают момент, изображённый слева.

Чтобы найти форму кривой, исключим время. Раскрыв косинус, получаем $E_y/b=\cos \omega t\cos \delta -\sin \omega t\sin \delta$. Первое уравнение даёт $\cos \omega t=E_x/a$, поэтому $\sin \omega t\sin \delta =(E_x/a)\cos \delta -E_y/b$. Возведя обе части в квадрат и заменив ${\sin }^2\omega t$ на $1-E_x^2/a^2$, получаем
$\frac{E_x^2}{a^2}+\frac{E_y^2}{b^2}-\frac{2E_x{E}_y}{ab}\cos \delta ={\sin }^2\delta$

Это уравнение эллипса. Значит, в общем случае конец вектора $\vec{E}$ описывает эллипс внутри прямоугольника $2a$ на $2b$, а три числа $a$, $b$ и $\delta$ задают его размер, форму и наклон.

Два частных случая имеют названия. При $\delta =0$ правая часть равна нулю, а левая — полный квадрат, $(E_x/a-E_y/b{)}^2=0$, поэтому $E_y=(b/a)E_x$: эллипс вырождается в отрезок прямой, наклонённый к оси $x$ под углом $\mathrm{arctg}(b/a)$. Это линейная поляризация. При $\delta =\pi$ знак перекрёстного члена меняется, и прямая наклонена под углом $-\mathrm{arctg}(b/a)$. Тогда справа на рисунке 1 две кривые поднимались бы и опускались вместе ($\delta =0$) или в противофазе ($\delta =\pi$).

При $a=b$ и $\delta =\pm \pi /2$ перекрёстный член исчезает, и уравнение принимает вид $E_x^2+E_y^2=a^2$: конец вектора обегает окружность, а свет поляризован по кругу. Две кривые тогда сдвинуты на четверть периода, а два знака $\delta$ дают вращение в противоположных направлениях. Все остальные случаи — эллиптическая поляризация. Для названий «левое» и «правое» направление вращения существуют два противоположных соглашения, поэтому всегда уточняйте, смотрите вы по ходу луча или навстречу ему, на источник.

Поляризация не меняет энергию, которую несёт волна. Интенсивность пропорциональна среднему значению $E_x^2+E_y^2$, а каждый ${\cos }^2$ за период усредняется до половины при любой фазе. Поэтому $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0(a^2+b^2)$ при любом $\delta$: поляризация лишь определяет, как поле распределено между двумя составляющими. Магнитное поле величиной $E/c$ жёстко привязано к $\vec{E}$ и перпендикулярно ему, поэтому дополнительной информации не несёт. На электроны действует именно $\vec{E}$, поэтому поляризаторы и поверхности реагируют на его направление, а «поляризацией» всегда называют направление электрического поля.

Поляризатор как проекция

Поляризатор — это фильтр, пропускающий лишь одно направление поля. Если смотреть на него как на проекцию, сразу видно, сколько света проходит и почему два скрещённых поляризатора дают темноту.

Обозначения

$\hat{u}$	Ось пропускания поляризатора, поперёк проволок: единичный вектор.
${\vec{E}}_1$	Поле, приходящее на поляризатор под углом $\theta$ к $\hat{u}$.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
${\vec{E}}_2$	Прошедшее поле: часть ${\vec{E}}_1$ вдоль $\hat{u}$ величиной $E_1\cos \theta$.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$E_1\sin \theta$	Часть ${\vec{E}}_1$ вдоль проволок; она не проходит.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\theta$	Угол между ${\vec{E}}_1$ и $\hat{u}$; на графике отмечен в градусах.	$\mathrm{рад}$
$I_1$	Интенсивность света, приходящего на поляризатор.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$I_2$	Прошедшая интенсивность, $I_1{\cos }^2\theta$.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

Слева на рисунке 2 показан проволочный поляризатор (вид спереди): параллельные металлические проволоки, расстояние между которыми много меньше длины волны. Его ось пропускания, единичный вектор $\hat{u}$, направлена поперёк проволок. Падающее поле ${\vec{E}}_1$ составляет с $\hat{u}$ угол $\theta$ и потому раскладывается на две части. Часть вдоль проволок, величиной $E_1\sin \theta$, гонит электроны вдоль проволок. Возникающие токи излучают поле, которое за решёткой гасит эту часть и отправляет её назад в виде отражённой волны. Часть вдоль $\hat{u}$, величиной $E_1\cos \theta$, должна была бы гнать электроны поперёк проволок, где они далеко уйти не могут, и потому проходит почти без изменений как поле ${\vec{E}}_2$, горизонтальная стрелка. Листовой поляризатор работает так же, только вместо проволок в нём длинные полимерные цепочки, легированные йодом; цепочки не отражают задержанную часть, а поглощают её.

В любом случае поляризатор оставляет проекцию поля на ось пропускания:
${\vec{E}}_2=({\vec{E}}_1\cdot \hat{u})\hat{u},E_2=E_1\cos \theta$
Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды поля, поэтому прошедшая интенсивность равна
$I_2=I_1{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}{I}_1(1+\cos 2\theta )$
Это закон Малюса. Вторая форма, полученная из ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$, показывает, что кривая повторяется через $180^{\circ }$: ось, повёрнутая на пол-оборота, — та же самая ось. Остальной свет, $I_1{\sin }^2\theta$, поглощается или отражается.

Справа на рисунке 2 построена зависимость $I_2$ от $\theta$. Пунктирная линия вверху отмечает $I_1$, а точка — угол, изображённый слева. В анимации фильтр 1 даёт $I_1=50\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, а анализатор равномерно поворачивается, поэтому график этого уровня рисует ту же кривую: 50 Вт/м² при $\theta =0$, 25 Вт/м² при $45^{\circ }$, нуль при $90^{\circ }$ и снова 50 Вт/м² при $180^{\circ }$.

Наклон показывает, насколько сильно показание реагирует на малый поворот поляризации: $d{I}_2/d\theta =-I_1\sin 2\theta$. Он круче всего при $45^{\circ }$ и $135^{\circ }$, где его модуль равен 50 Вт/м² на радиан, или 0,87 Вт/м² на градус. Это лучшие положения для обнаружения малого поворота поляризации.

При $90^{\circ }$, когда поляризаторы скрещены, кривая касается нуля с нулевым наклоном. Анализатор, отклонённый от скрещённого положения на малый угол $ϵ$ (в радианах), пропускает $I_1{\sin }^2ϵ\approx I_1{ϵ}^2$. Один градус пропускает всего $3\times 10^{-4}$ от $I_1$, а в пределах $5,7^{\circ }$ от скрещённого положения проходит менее 1 % света; поэтому экран в анимации остаётся тёмным с 3,74 до 4,26 с. Такой плоский минимум трудно поймать на глаз, поэтому нуль лучше искать как середину между двумя положениями, по одному с каждой стороны, которые выглядят одинаково яркими.

Неполяризованный свет

Свет лампы или Солнца не имеет выделенного направления: один поляризатор пропускает одно и то же количество света, как его ни поворачивай. Этот раздел объясняет, почему так и почему это количество — ровно половина.

Такой источник — толпа независимых излучателей, которые случайным образом включаются и выключаются. Видимый солнечный свет занимает диапазон от 400 до 700 нм, то есть разброс частот составляет около $3\times 10^{14}\mathrm{Гц}$. Волна с таким разбросом сохраняет один и тот же эллипс лишь в течение времени порядка величины, обратной разбросу, — примерно 3 фс, после чего направление и фаза её поля уходят к новым значениям. Ни один детектор не бывает таким быстрым, поэтому любое измерение усредняет по всем направлениям $\phi$ поля. Поляризатор пропускает долю ${\cos }^2\phi$ от каждого направления, а среднее за полный оборот равно
$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}$
Поэтому поляризатор пропускает половину неполяризованного света, $I_1=I_0/2$, куда бы он ни был направлен. В анимации это те самые 50 Вт/м² за фильтром 1 от лампы с $I_0=100\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$. Именно так анимация и моделирует естественный свет: каждая полуволна колеблется в случайном направлении.

Слово «неполяризованный» поэтому описывает статистику, а не особый вид волны. Равная случайная смесь горизонтально и вертикально поляризованного света в любом опыте даёт тот же результат, что и равная случайная смесь света с левой и правой круговой поляризацией, так что отличить их нельзя. Четыре измеряемые интенсивности, параметры Стокса, полностью описывают поляризацию любого пучка — поляризованного, неполяризованного или промежуточного.

Частично поляризованный свет

Реальный свет чаще всего ни полностью поляризован, ни полностью неполяризован. Поворачивающийся анализатор показывает, сколько в пучке света каждого вида.

Обозначения

$I$	Интенсивность, пропущенная анализатором.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$\theta$	Угол между осью анализатора и поляризованной частью; на оси отмечен в градусах.	$\mathrm{рад}$
$I_{\max }$	Наибольшая интенсивность, $\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, когда ось направлена вдоль поляризованной части.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$I_{\min }$	Наименьшая интенсивность, $\frac{1}{2}{I}_u$, когда ось направлена поперёк неё.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$I_p$	Поляризованная часть интенсивности: высота колебания.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$
$\frac{1}{2}{I}_u$	Половина неполяризованной части $I_u$: её анализатор пропускает всегда, это дно кривой.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

Представим такой пучок как сумму неполяризованной части с интенсивностью $I_u$ и поляризованной части с интенсивностью $I_p$. Две части независимы, поэтому их интенсивности просто складываются. На рисунке 3 показано, что пропускает анализатор при повороте на угол $\theta$, отсчитываемый от направления поляризованной части; рисунок построен для $I_u=60$ и $I_p=40$ в Вт/м².

Сначала посмотрите на дно кривой. Неполяризованная часть всегда пропускает половину себя, $\frac{1}{2}{I}_u$, при любом $\theta$, поэтому кривая никогда не опускается ниже этого уровня. Над дном лежит поляризованная часть, которая подчиняется закону Малюса и добавляет $I_p{\cos }^2\theta$ — то же колебание, что на рисунке 2. Вместе
$I(\theta )=\frac{1}{2}{I}_u+I_p{\cos }^2\theta$
Кривая колеблется между $I_{\max }=\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, когда анализатор направлен вдоль поляризованной части, и $I_{\min }=\frac{1}{2}{I}_u$, когда он направлен поперёк неё, и нуля не достигает.

Глубина колебания показывает, насколько пучок поляризован. Степень поляризации равна
$P=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{I_p}{I_u+I_p}$
потому что разность двух показаний равна $I_p$, а их сумма — $I_u+I_p$. Это доля поляризованного света в полной интенсивности: 0 для неполяризованного света и 1 для полностью поляризованного. Для пучка с рисунка 3 анализатор показывает от 30 до 70 Вт/м², так что $P=(70-30)/(70+30)=0,4$.

Почему отражение поляризует

Блик от воды или стекла сильно поляризован, а при одном угле падения — полностью. Причина в том, как излучают электроны поверхности.

Обозначения

$n_1$	Показатель преломления среды, из которой приходит свет.
$n_2$	Показатель преломления отражающей среды.
${\theta }_B$	Угол Брюстера: угол падения, равный углу отражения и отсчитываемый от нормали, при котором свет p-поляризации не отражается; $\mathrm{tg}{\theta }_B=n_2/n_1$.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_2$	Угол преломления, отсчитываемый от нормали.	$\mathrm{рад}$
$p$	Свет, поляризованный в плоскости падения (плоскости страницы): его поле раскачивает электроны вдоль двойной стрелки, поперёк преломлённого луча.
$s$	Свет, поляризованный поперёк плоскости падения: его поле направлено из страницы и нарисовано кольцом с точкой.

На рисунке 4 свет приходит из среды с показателем преломления $n_1$ (воздух) и попадает на вторую среду с показателем $n_2$ (вода). Угол падения равен углу Брюстера ${\theta }_B$, угол отражения такой же, а преломлённый луч уходит под углом ${\theta }_2$; все три угла отсчитываются от нормали, пунктирной вертикальной линии. Отражённый свет не отскакивает от поверхности, как мяч: его излучают электроны второй среды. Эти электроны раскачивает преломлённая волна, поэтому они колеблются вдоль её поля, которое всегда перпендикулярно преломлённому лучу.

Теперь разделим две поляризации. Для света s-поляризации, поляризованного поперёк плоскости падения (плоскости страницы), поле направлено из страницы и нарисовано кольцом с точкой, обозначенным $s$. Электроны тогда колеблются параллельно поверхности и поперёк отражённого луча, поэтому свободно излучают в его сторону. Для света p-поляризации, поляризованного в плоскости падения, электроны колеблются в плоскости страницы, поперёк преломлённого луча, вдоль двойной стрелки с обозначением $p$.

Один факт о колеблющемся диполе решает дело: он излучает пропорционально ${\sin }^2\alpha$, где $\alpha$ отсчитывается от его оси, и вдоль этой оси не излучает ничего. При угле Брюстера отражённый луч перпендикулярен преломлённому, как показывает отметка $90^{\circ }$ на рисунке. Двойная стрелка $p$, перпендикулярная преломлённому лучу, тогда направлена точно вдоль отражённого луча: она параллельна короткому пунктирному отрезку, который параллелен отражённому лучу. Электронам света p-поляризации пришлось бы излучать вдоль собственной оси, а они этого не могут, поэтому свет p-поляризации не отражается.

Прямой угол означает ${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }$, поэтому $\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_B$. Подставляя это в закон Снеллиуса $n_1\sin {\theta }_B=n_2\sin {\theta }_2$, получаем $n_1\sin {\theta }_B=n_2\cos {\theta }_B$, то есть
$\mathrm{tg}{\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$
Рисунок 4 построен для $n_2/n_1=4/3$, воды в воздухе, что даёт ${\theta }_B=53,1^{\circ }$ и ${\theta }_2=36,9^{\circ }$.

Модель диполя объясняет нуль, а уравнения Максвелла дают полную картину. Для прозрачной немагнитной поверхности доли отражённой интенсивности для двух поляризаций, коэффициенты отражения, равны
$R_s=\frac{{\sin }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\sin }^2({\theta }_1+{\theta }_2)},R_p=\frac{{\mathrm{tg}}^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\mathrm{tg}}^2({\theta }_1+{\theta }_2)}$
где ${\theta }_1$ — угол падения. $R_p$ обращается в нуль при ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, потому что тангенс в знаменателе становится бесконечным: это то же условие, что дало рассуждение с диполем. $R_s$ в нуль не обращается никогда, так что свет, отражённый под углом Брюстера, — чистый свет s-поляризации.

Для воды при угле Брюстера ${\theta }_1-{\theta }_2=16,3^{\circ }$ и ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, поэтому $R_s={\sin }^{2}16,3^{\circ }=0,078$. Неполяризованный солнечный свет наполовину состоит из света s-поляризации, поэтому он теряет $\frac{1}{2}{R}_s$, то есть 3,9 % своей интенсивности, на блик, который полностью s-поляризован; на озере это значит — горизонтально. Для стекла ($n_2/n_1=1,5$) те же выкладки дают $R_s=0,148$ и потери 7,4 %. Вдали от угла Брюстера блик поляризован лишь частично: при угле падения $30^{\circ }$ на воду $R_s=0,031$ и $R_p=0,012$, так что у отражённого света $P=(R_s-R_p)/(R_s+R_p)=0,44$.

Газовые лазеры используют этот нуль. Окна их трубок наклонены под углом Брюстера, поэтому свет p-поляризации проходит через них туда и обратно без потерь на отражение, а свет s-поляризации теряет понемногу при каждом проходе; накапливается только свет p-поляризации, и лазер излучает линейно поляризованный свет. Свет неба поляризован по той же причине: молекулы воздуха, рассеивающие солнечный свет, — это диполи, раскачиваемые поперёк солнечных лучей, а диполь вдоль своей оси ничего не излучает. Поляризация сильнее всего на $90^{\circ }$ от Солнца, хотя многократно рассеянный свет не даёт $P$ превысить примерно 0,7–0,8 даже в ясную погоду.

Двойное лучепреломление и фазовые пластинки

Некоторые кристаллы не только фильтруют поляризацию: одну поляризацию они замедляют сильнее другой. Это позволяет менять разность фаз $\delta$ из рисунка 1 и тем самым как угодно изменять форму эллипса.

В кристалле, устройство которого в разных направлениях различно, показатель преломления зависит от поляризации. У кальцита, например, два показателя: 1,658 и 1,486. Луч, входящий в кристалл кальцита, как правило, расщепляется на два луча с взаимно перпендикулярными поляризациями, поэтому печатный текст сквозь кристалл двоится. Такое расщепление называется двойным лучепреломлением.

Фазовая пластинка — это срез такого кристалла толщиной $d$, вырезанный так, что оптическая ось (особое направление кристалла) лежит в плоскости пластинки. При нормальном падении свет, поляризованный вдоль оси, и свет, поляризованный поперёк неё, идут по одному пути, но с разной скоростью. На толщине $d$ один отстаёт от другого на оптическую разность хода $\Delta nd$, где $\Delta n$ — разность двух показателей преломления. В терминах фазы, при длине волны в вакууме $\lambda$, это
$\delta =\frac{2\pi \Delta nd}{\lambda }$
поэтому пластинка добавляет эту величину к $\delta$ эллипса.

Пластинка в четверть волны даёт $\delta =\pi /2$. Если её ось составляет $45^{\circ }$ с линейной поляризацией, она делит поле на две равные составляющие, $a=b$, и сдвигает их на четверть периода: по случаям рисунка 1, это круговой свет. Её толщина $d=\lambda /(4\Delta n)$; из кварца ($\Delta n\approx 0,009$) для света с длиной волны 550 нм она имеет толщину всего около 15 мкм. Пластинка в полволны ($\delta =\pi$) меняет знак составляющей, перпендикулярной её оси, поэтому линейная поляризация, составляющая с осью угол $\alpha$, выходит под углом $-\alpha$. Она повёрнута на $2\alpha$, и ничто не поглощено. В очках для 3D-кинотеатров четвертьволновая пластинка сочетается с линейным поляризатором, чтобы пропускать лишь одно направление круговой поляризации, поэтому левое и правое изображения остаются разделёнными, даже если наклонить голову.

Задача: поворот поляризации

Поляризаторы могут не только блокировать поляризацию, но и поворачивать её, однако ценой потери интенсивности. Эта задача находит такие потери и способ их уменьшить.

Свет, выходящий из фильтра 1 в анимации, поляризован вертикально, $I_1=50\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$. Какую его часть можно сделать горизонтально поляризованной одними поляризаторами?

Единственная горизонтальная плёнка не пропускает ничего, так как $\theta =90^{\circ }$. Поставим перед ней ещё одну плёнку под $45^{\circ }$. Каждая плёнка тогда составляет $45^{\circ }$ с поляризацией, которая к ней приходит, и пропускает долю ${\cos }^{2}45^{\circ }=1/2$, поэтому горизонтально поляризованными выходят $50{\cos }^{4}45^{\circ }=12,5\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$. Если считать от лампы, $I_0=100\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, это те самые $I_0/8$ из известного случая трёх поляризаторов.

Теперь возьмём $N$ плёнок, каждая повёрнута ещё на $90^{\circ }/N$ относительно предыдущей, а последняя горизонтальна. Каждая плёнка получает свет, поляризованный вдоль предыдущей, под углом $\pi /(2N)$ к её собственной оси, поэтому пропускает долю ${\cos }^2(\pi /2N)$, и
$I_N=I_1{\cos }^{2N}\left(\frac{\pi }{2N}\right)$
Три плёнки пропускают 21,1 Вт/м², десять — 39,0 Вт/м².

Почему потери убывают при добавлении плёнок? Для малого угла $x$ имеем $\ln \cos x\approx -x^2/2$. При $x=\pi /(2N)$ логарифм ${\cos }^{2N}x$ примерно равен $-N{x}^2=-{\pi }^2/(4N)$, поэтому
$I_N\approx I_1{e}^{-{\pi }^2/(4N)}\approx I_1\left(1-\frac{{\pi }^2}{4N}\right)$
Каждая плёнка убирает лишь крохотную долю порядка $(\pi /2N{)}^2$, которая убывает как $1/N^2$; $N$ таких долей вместе дают потери, убывающие как $1/N$.

Чтобы сохранить 90 %, то есть 45 Вт/м², нужно 24 плёнки, которые пропускают 45,1 Вт/м²; 23 плёнки дают лишь 44,9 Вт/м². Бесконечно много плёнок увлекли бы поляризацию за собой без всяких потерь — это классический родственник квантового эффекта Зенона. Пластинка в полволны с осью под $45^{\circ }$ выполняет всю работу за один шаг и пропускает все 50 Вт/м², если не считать небольших потерь на отражение от поверхностей, потому что она сдвигает фазу, а не проецирует поле.

Фотоны и границы применимости

Закон Малюса выведен для волн, но свет приходит фотонами, а настоящие поляризаторы и поверхности уступают идеальным, описанным выше. Этот раздел показывает, где простая картина верна.

На квантовом языке поляризация фотона — система с двумя состояниями: роль $a$, $b$ и $\delta$ играют две комплексные амплитуды. Поляризатор, ось которого составляет угол $\theta$ с поляризацией фотона, пропускает его с вероятностью ${\cos }^2\theta$, а прошедший фотон поляризован вдоль оси поляризатора. Закон Малюса — это среднее по огромному числу событий «да или нет»: пучок света с длиной волны 550 нм и интенсивностью 50 Вт/м² несёт около $1,4\times 10^{20}$ фотонов в секунду через каждый квадратный метр.

Реальные поляризационные плёнки пропускают лишь около 38–42 % неполяризованного света, а не идеальные 50 %, а скрещённая пара пропускает от $10^{-3}$ до $10^{-5}$ света (кристаллические поляризаторы — от $10^{-5}$ до $10^{-6}$). Кроме того, каждый тип работает лишь в ограниченном диапазоне длин волн. Нуль Брюстера требует гладкой, прозрачной и изотропной поверхности: из-за ряби углы падения разбросаны, а у металлов виден лишь неглубокий минимум $R_p$, а не нуль. Наконец, поле чисто поперечно только в широких пучках: у света, сфокусированного в пятно размером порядка длины волны, появляется составляющая поля вдоль направления распространения.

Что дальше

Урок «Электромагнитные волны» показывает, почему свет поперечен: в пустом пространстве уравнения Максвелла не допускают поля вдоль направления распространения. В уроке «Интерференция и суперпозиция волн» складываются волны с разностью фаз, как на рисунке 1 складываются две перпендикулярные составляющие; но два пучка с взаимно перпендикулярной поляризацией интерферировать не могут, и скрещённые поляризаторы на двух щелях из урока «Дифракция и опыт Юнга» стирают полосы. Урок «Корпускулярно-волновой дуализм» знакомит с самими фотонами, каждый из которых проходит поляризатор с вероятностью ${\cos }^2\theta$, описанной выше.

Урок «Отражение и преломление» даёт амплитуды Френеля, стоящие за углом Брюстера, а урок «Призмы, дисперсия и цвет» — рассеяние, из-за которого небо голубое. Гравитационные волны из урока «Гравитация как искривление пространства-времени» тоже имеют две поляризации, но сдвинутые на $45^{\circ }$, а не на $90^{\circ }$. Такая волна растягивает пространство вдоль одной оси и сжимает его вдоль перпендикулярной. Поворот этой картины на $90^{\circ }$ лишь меняет растяжение и сжатие местами, то есть даёт ту же поляризацию с обратным знаком, поэтому вторая, независимая поляризация — это та, что повёрнута на $45^{\circ }$.