Polarisation de la lumière

Débutant

Étape 1. Attachez une corde à sauter à une poignée de porte et secouez l'autre bout. Vous pouvez faire onduler la corde de haut en bas, de gauche à droite ou selon n'importe quelle direction oblique, tandis que l'onde, elle, file toujours vers la porte. La lumière est une onde de ce genre, qui vibre en travers de sa direction de propagation, et la direction de cette vibration s'appelle sa polarisation.

Étape 2. Une lampe ou le Soleil émet une lumière dont la direction de vibration change sans cesse, au hasard : toutes les directions sont mélangées. On dit que cette lumière n'est pas polarisée. Dans l'animation, les ondulations jaunes qui quittent la lampe partent dans tous les sens.

Étape 3. Un filtre polarisant se comporte comme une rangée de fentes étroites : il ne laisse passer que la partie de la vibration alignée avec les fentes et absorbe le reste. Derrière le filtre 1, l'onde bleue ne vibre plus que de haut en bas, et environ la moitié de la lumière a disparu.

Étape 4. Regardez maintenant tourner le filtre 2. Tant que ses fentes sont alignées sur celles du filtre 1, la lumière passe et la tache sur l'écran est brillante. Quand il tourne, l'onde rouge derrière lui rapetisse ; après un quart de tour, les fentes sont croisées et l'écran devient noir. Continuez à tourner : la lumière revient.

Étape 5. La lumière du Soleil réfléchie par un lac ou une route mouillée revient en vibrant surtout à l'horizontale. Les lunettes de soleil polarisantes ont des fentes verticales : elles arrêtent une grande partie de ces reflets éblouissants.

Testez-vous : avec des lunettes polarisantes, vous regardez le reflet d'une flaque, puis vous penchez la tête sur l'épaule. Que se passe-t-il ? (Le reflet réapparaît : vos fentes sont maintenant couchées, alignées avec la vibration réfléchie.)

Intermédiaire

La lumière est une onde transversale

La lumière est une onde électromagnétique : un champ électrique $\vec{E}$ et un champ magnétique oscillent ensemble, chacun perpendiculaire à l'autre et au faisceau. Sa polarisation est la direction selon laquelle oscille $\vec{E}$ : verticale, horizontale ou n'importe quelle direction intermédiaire. Le son dans l'air vibre le long de sa direction de propagation : il n'a donc aucune direction de ce type et ne peut pas être polarisé.

Une lumière dont le champ garde une seule direction est polarisée rectilignement. La lumière du Soleil ou d'une lampe provient d'innombrables atomes qui émettent indépendamment les uns des autres : sa direction de vibration change au hasard, bien plus vite que n'importe quel instrument ne peut le suivre, et on la dit non polarisée. Le reflet d'une route mouillée et la lumière d'un ciel bleu sont partiellement polarisés, mélange des deux cas.

L'œil ou un photomètre enregistre l'intensité $I$, la puissance par unité de surface, en watts par mètre carré (W/m²). Elle est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ $E_0$, mesurée en volts par mètre :
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$
où $c=3,00\times 10^{8}m/s$ est la vitesse de la lumière et ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ la permittivité du vide. Diviser l'amplitude par deux divise l'intensité par quatre.

Ce que fait un polariseur

Un polariseur possède un axe de transmission : il laisse passer la composante de $\vec{E}$ le long de cet axe et absorbe la composante perpendiculaire, de sorte que la lumière qui en sort est polarisée rectilignement selon l'axe. Une feuille polarisante courante est un film plastique de longues chaînes de polymère, étirées pour les aligner et imprégnées d'iode afin que les électrons puissent s'y déplacer. Un champ parallèle aux chaînes y met des courants en mouvement et se trouve absorbé : l'axe de transmission est donc perpendiculaire aux chaînes, et non parallèle comme le suggérerait l'image d'une palissade ; les fentes de l'animation représentent l'axe, pas les molécules.

La lumière non polarisée contient toutes les directions à parts égales. Une direction faisant un angle $\phi$ avec l'axe conserve la fraction ${\cos }^2\phi$ de son intensité, qui vaut en moyenne un demi sur l'ensemble des directions : un polariseur idéal laisse donc passer la moitié de la lumière, quelle que soit son orientation. Dans l'animation, les $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ sortant de la lampe deviennent $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ derrière le filtre 1, et l'onde bleue ne vibre plus que de haut en bas.

La loi de Malus

Un second polariseur, l'analyseur, a son axe incliné d'un angle $\theta$ par rapport à la polarisation de la lumière qui lui parvient. La vue de face de l'animation décompose le champ bleu $E_1$ en deux : la partie le long de l'axe, $E_1\cos \theta$, passe sous la forme du champ rouge $E_2$, et la partie perpendiculaire, $E_1\sin \theta$, est absorbée. L'intensité s'obtient en élevant l'amplitude au carré ; les relations utiles sont donc :

• $I_1=\frac{I_0}{2}\text{(lumieˋre non polariseˊe, polariseur ideˊal)}$
• $E_2=E_1\cos \theta$
• $I_2=I_1{\cos }^2\theta \text{(loi de Malus)}$

Cette dernière relation porte le nom d'Étienne-Louis Malus, qui a découvert en 1808 que la lumière réfléchie par une vitre est polarisée. La partie absorbée, $I_1{\sin }^2\theta$, comble la différence, puisque ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. À $90^{\circ }$, les filtres sont croisés et plus rien ne passe ; et comme un axe tourné de $180^{\circ }$ est le même axe, le phénomène se répète à chaque demi-tour.

Exemple résolu : l'analyseur de l'animation

Le filtre 2 tourne de 22,5° par seconde : $\theta$ vaut donc $22,5^{\circ }$, $45^{\circ }$ et $67,5^{\circ }$ au bout de 1, 2 et 3 s. Avec $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$, la loi de Malus donne
$I_2=50{\cos }^{2}22,5^{\circ }=50\cdot 0,854=42,7W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}45^{\circ }=50\cdot 0,500=25,0W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}67,5^{\circ }=50\cdot 0,146=7,3W/{\mathrm{m}}^2$
et zéro à $90^{\circ }$, au bout de 4 s. Ce sont les valeurs affichées pour $I_2$ ; dans la seconde moitié de la boucle, elles reviennent dans l'ordre inverse.

Comparez les ondes avec les valeurs affichées. À $45^{\circ }$, l'onde rouge a encore $\cos 45^{\circ }=0,71$ de l'amplitude de l'onde bleue, et pourtant elle ne transporte que la moitié de l'intensité. À $60^{\circ }$, atteints au bout de 2,7 s, l'amplitude est divisée par deux et l'intensité par quatre, $I_2=50\cdot 0,25=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ : en unités de champ, $E_1=\sqrt{2I_1/(c{\epsilon }_0)}\approx 194V/m$ devient $E_2\approx 97V/m$. Sur la vue de face, l'arc vert marque $\theta$ tandis que la flèche rouge $E_2$ rapetisse.

Exemple résolu : trois polariseurs

Deux polariseurs croisés, à $0^{\circ }$ et $90^{\circ }$, bloquent toute la lumière. Intercalez entre eux un troisième, à $30^{\circ }$ du premier, envoyez une lumière non polarisée avec $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$, et prenez toujours l'angle entre deux axes voisins. Le premier filtre laisse passer $100/2=50W/{\mathrm{m}}^2$. Celui du milieu laisse passer $50{\cos }^{2}30^{\circ }=37,5W/{\mathrm{m}}^2$ d'une lumière désormais polarisée à $30^{\circ }$. Le dernier, situé $60^{\circ }$ plus loin, laisse passer $37,5{\cos }^{2}60^{\circ }=9,4W/{\mathrm{m}}^2$.

Pour un polariseur du milieu placé à un angle $\theta$ quelconque, le dernier fait $90^{\circ }-\theta$ avec lui, et ${\cos }^2(90^{\circ }-\theta )={\sin }^2\theta$ :
$I_3=\frac{I_0}{2}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \text{(polariseurs aˋ }{0}^{\circ },\theta ,90^{\circ }\text{)}$
Cela vaut $(I_0/8){\sin }^{2}2\theta$, avec un maximum en $\theta =45^{\circ }$, où $I_0/8=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ traversent le dispositif.

Ajouter un filtre a donc fait passer de la lumière là où il n'y en avait pas. Le filtre du milieu n'ouvre aucune fuite : il repolarise la lumière selon son propre axe, qui n'est plus perpendiculaire à celui du dernier. Chaque polariseur fixe de nouveau la direction du champ.

Polarisation par réflexion

La lumière réfléchie par l'eau, le verre ou une route est partiellement polarisée, avec $\vec{E}$ surtout parallèle à la surface. À l'angle de Brewster ${\theta }_B$, elle est totalement polarisée :
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}\text{(angle de Brewster)}$
${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }\text{(reˊfleˊchi }\perp \text{ reˊfracteˊ)}$
Ici, $n_1$ est l'indice de réfraction du milieu d'où vient la lumière, $n_2$ celui du milieu réfléchissant et ${\theta }_2$ l'angle de réfraction : les rayons réfléchi et réfracté sont alors perpendiculaires.

De l'air vers l'eau ($n=1,33$), ${\theta }_B=\arctan 1,33=53,1^{\circ }$ et ${\theta }_2=36,9^{\circ }$ ; pour le verre ($n=1,50$), ${\theta }_B=56,3^{\circ }$. Quand le Soleil se trouve à $36,9^{\circ }$ au-dessus d'un lac calme, sa lumière atteint l'eau sous exactement $53,1^{\circ }$, et le reflet est polarisé horizontalement. Des lunettes de soleil dont l'axe de transmission est vertical l'arrêtent, alors que le reste de la scène, en grande partie non polarisé, est simplement divisé par deux.

Erreurs fréquentes

• Utiliser $\cos \theta$ au lieu de ${\cos }^2\theta$. À $60^{\circ }$, l'amplitude est divisée par deux mais l'intensité par quatre : à partir de $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$, on obtient 12,5 W/m², et non 25 W/m².
• Appliquer la loi de Malus à une lumière non polarisée, ou oublier le facteur $\frac{1}{2}$ au premier filtre : sans lui, la réponse des trois polariseurs double et passe à 18,75 W/m².
• Mesurer tous les angles à partir du premier filtre. Il faut prendre l'angle entre deux axes voisins : le dernier des trois polariseurs fait $60^{\circ }$ avec celui du milieu, et prendre $90^{\circ }$ donnerait à tort zéro.
• Prendre l'image de la palissade au pied de la lettre. Une feuille polarisante absorbe le champ parallèle à ses chaînes, et une grille de fils réfléchit le champ parallèle à ses fils : l'axe de transmission leur est donc perpendiculaire.
• Utiliser le sinus au lieu de la tangente pour l'angle de Brewster : $\sin {\theta }_B=1,33$ n'a pas de solution, et $\arcsin (1/1,33)=48,8^{\circ }$ est l'angle limite de la lumière qui sort de l'eau, un effet différent.

Où on le rencontre

Les filtres polarisants des lunettes de soleil et des appareils photo atténuent les reflets sur l'eau et sur les vitrines, et foncent le ciel bleu, dont la lumière est en partie polarisée par diffusion, surtout à $90^{\circ }$ du Soleil ; les abeilles s'orientent grâce à cette figure. Un écran LCD enferme un cristal liquide entre deux polariseurs, et chaque pixel règle sa luminosité selon l'angle dont il fait tourner la polarisation : vu à travers des lunettes de soleil polarisantes, un téléphone devient donc noir pour une inclinaison précise. Les cinémas 3D envoient aux deux yeux des images de polarisations différentes, et les ingénieurs repèrent les contraintes d'une maquette en plastique, placée entre des polariseurs croisés, grâce à des franges colorées.

La leçon Réflexion et réfraction a fourni les angles employés ici. La leçon Ondes électromagnétiques explique pourquoi la lumière est transversale et d'où vient $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$, et la leçon Dualité onde-corpuscule présente les photons, pour lesquels la loi de Malus devient une probabilité ${\cos }^2\theta$ de passer.

Avancé

Le champ, un oscillateur à deux dimensions

La polarisation décrit comment le champ électrique d'une onde lumineuse se déplace en travers du faisceau. Tous les polariseurs, toutes les surfaces réfléchissantes et tous les cristaux de cette leçon agissent sur ce mouvement ; commençons donc par nous en faire une image claire.

Prenons une onde qui se propage selon l'axe $z$. Son champ électrique $\vec{E}$ est en travers du faisceau, dans le plan $xy$ : il a donc deux composantes, $E_x$ et $E_y$. Toutes deux oscillent à la pulsation $\omega$ de la lumière, mais chacune a sa propre amplitude, $a$ pour $E_x$ et $b$ pour $E_y$, et $E_y$ peut être en avance sur $E_x$ d'un déphasage $\delta$. En un point fixe du faisceau,
$E_x=a\cos \omega t,E_y=b\cos (\omega t+\delta )$
Les deux composantes sont indépendantes l'une de l'autre : le champ se comporte donc comme un oscillateur à deux dimensions, un peu comme la masse d'un pendule, qui peut osciller dans une direction quelconque ou décrire une ellipse.

Légende

$a$	Amplitude de $E_x$ : la moitié de la largeur du rectangle.	$V/m$
$b$	Amplitude de $E_y$ : la moitié de la hauteur du rectangle.	$V/m$
$\vec{E}$	Champ électrique à l'instant dessiné ; son extrémité décrit l'ellipse.	$V/m$
$E_x$	Composante de $\vec{E}$ selon $x$.	$V/m$
$E_y$	Composante de $\vec{E}$ selon $y$.	$V/m$
$\omega t$	Phase de l'onde au point considéré : pulsation multipliée par le temps. C'est l'axe horizontal du graphe.	$\mathrm{rad}$
$\delta$	Déphasage entre les composantes : $E_y$ atteint son maximum une phase $\delta$ avant $E_x$.	$\mathrm{rad}$

La figure 1 montre ce mouvement de deux façons. À gauche, le plan en travers du faisceau. À chaque instant, l'extrémité de $\vec{E}$ est au point $(E_x,E_y)$ : les deux composantes sont donc les ombres de la flèche sur les axes. Comme $E_x$ ne dépasse jamais $a$ et $E_y$ jamais $b$, l'extrémité reste dans le rectangle de largeur $2a$ et de hauteur $2b$ ; et comme chaque composante atteint son maximum une fois par période, la courbe touche les quatre côtés de ce rectangle. À droite, les mêmes composantes sont tracées en fonction de la phase $\omega t$. Ici $\delta =60^{\circ }$ : chaque maximum de $E_y$ précède donc d'une phase $\delta$ le maximum correspondant de $E_x$. Les points sur les deux courbes marquent l'instant dessiné à gauche.

Pour trouver la forme de la courbe, éliminons le temps. En développant le cosinus, on obtient $E_y/b=\cos \omega t\cos \delta -\sin \omega t\sin \delta$. La première équation donne $\cos \omega t=E_x/a$, donc $\sin \omega t\sin \delta =(E_x/a)\cos \delta -E_y/b$. En élevant les deux membres au carré et en remplaçant ${\sin }^2\omega t$ par $1-E_x^2/a^2$, il reste
$\frac{E_x^2}{a^2}+\frac{E_y^2}{b^2}-\frac{2E_x{E}_y}{ab}\cos \delta ={\sin }^2\delta$

C'est l'équation d'une ellipse. En général, l'extrémité de $\vec{E}$ décrit donc une ellipse à l'intérieur du rectangle de $2a$ sur $2b$, et les trois nombres $a$, $b$ et $\delta$ en fixent la taille, la forme et l'inclinaison.

Deux cas particuliers ont un nom. Pour $\delta =0$, le second membre est nul et le premier est un carré parfait, $(E_x/a-E_y/b{)}^2=0$, donc $E_y=(b/a)E_x$ : l'ellipse s'aplatit en un segment de droite, incliné de $\arctan (b/a)$ sur l'axe $x$. C'est la polarisation rectiligne. Pour $\delta =\pi$, le signe du terme croisé change et la droite est inclinée de $-\arctan (b/a)$. À droite de la figure 1, les deux courbes monteraient et descendraient alors ensemble ($\delta =0$) ou en opposition ($\delta =\pi$).

Pour $a=b$ et $\delta =\pm \pi /2$, le terme croisé disparaît et l'équation devient $E_x^2+E_y^2=a^2$ : l'extrémité décrit un cercle, et la lumière est polarisée circulairement. Les deux courbes sont alors décalées d'un quart de période, et les deux signes de $\delta$ font tourner l'extrémité en sens contraires. Tous les autres cas sont des polarisations elliptiques. Deux conventions opposées existent pour dire qu'un sens est gauche ou droit : précisez donc toujours si vous regardez dans le sens de propagation ou vers la source.

La polarisation ne change pas l'énergie que transporte l'onde. L'intensité est proportionnelle à la moyenne de $E_x^2+E_y^2$, et chaque ${\cos }^2$ a pour moyenne un demi sur une période, quelle que soit sa phase. Donc $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0(a^2+b^2)$ pour tout $\delta$ : la polarisation décide seulement de la façon dont le champ se partage entre les deux composantes. Le champ magnétique, de module $E/c$, reste à angle droit de $\vec{E}$ et ne porte donc aucune information de plus. C'est $\vec{E}$ qui pousse les électrons, d'où la sensibilité des polariseurs et des surfaces à sa direction, et la raison pour laquelle « la polarisation » désigne toujours la direction du champ électrique.

Le polariseur, une projection

Un polariseur est un filtre qui ne laisse passer qu'une seule direction du champ. En le voyant comme une projection, on sait exactement quelle quantité de lumière passe, et pourquoi deux polariseurs croisés donnent l'obscurité.

Légende

$\hat{u}$	Axe de transmission du polariseur, perpendiculaire aux fils : un vecteur unitaire.
${\vec{E}}_1$	Champ qui arrive sur le polariseur, faisant l'angle $\theta$ avec $\hat{u}$.	$V/m$
${\vec{E}}_2$	Champ transmis : la partie de ${\vec{E}}_1$ selon $\hat{u}$, de module $E_1\cos \theta$.	$V/m$
$E_1\sin \theta$	Partie de ${\vec{E}}_1$ parallèle aux fils ; elle ne traverse pas.	$V/m$
$\theta$	Angle entre ${\vec{E}}_1$ et $\hat{u}$ ; gradué en degrés sur le graphe.	$\mathrm{rad}$
$I_1$	Intensité de la lumière qui arrive sur le polariseur.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensité transmise, $I_1{\cos }^2\theta$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

À gauche de la figure 2, un polariseur à grille de fils vu de face : des fils métalliques parallèles, espacés de beaucoup moins d'une longueur d'onde. Son axe de transmission, le vecteur unitaire $\hat{u}$, est perpendiculaire aux fils. Le champ incident ${\vec{E}}_1$ fait l'angle $\theta$ avec $\hat{u}$ et se décompose donc en deux parties. La partie parallèle aux fils, de module $E_1\sin \theta$, met les électrons en mouvement le long des fils. Les courants ainsi créés rayonnent un champ qui annule cette partie au-delà de la grille et la renvoie sous forme d'onde réfléchie. La partie selon $\hat{u}$, de module $E_1\cos \theta$, devrait entraîner les électrons en travers des fils, où ils ne peuvent guère se déplacer ; elle traverse donc presque intacte et forme le champ ${\vec{E}}_2$, la flèche horizontale. Un polariseur en feuille fonctionne de la même façon, avec de longues chaînes de polymère dopées à l'iode à la place des fils ; les chaînes absorbent la partie bloquée au lieu de la réfléchir.

Dans les deux cas, le polariseur garde la projection du champ sur son axe de transmission :
${\vec{E}}_2=({\vec{E}}_1\cdot \hat{u})\hat{u},E_2=E_1\cos \theta$
L'intensité étant proportionnelle au carré de l'amplitude du champ, l'intensité transmise vaut
$I_2=I_1{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}{I}_1(1+\cos 2\theta )$
C'est la loi de Malus. La seconde forme, obtenue avec ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$, montre que la courbe se répète tous les $180^{\circ }$ : un axe tourné d'un demi-tour est le même axe. Le reste de la lumière, $I_1{\sin }^2\theta$, est absorbé ou réfléchi.

À droite de la figure 2, $I_2$ est tracée en fonction de $\theta$. La droite en pointillés en haut marque $I_1$, et le point marque l'angle dessiné à gauche. Dans l'animation, le filtre 1 fournit $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ et l'analyseur tourne régulièrement ; le graphe de ce niveau trace donc la même courbe : 50 W/m² pour $\theta =0$, 25 W/m² à $45^{\circ }$, zéro à $90^{\circ }$ et de nouveau 50 W/m² à $180^{\circ }$.

La pente indique avec quelle force la mesure réagit à une petite rotation de la polarisation : $d{I}_2/d\theta =-I_1\sin 2\theta$. Elle est la plus raide à $45^{\circ }$ et à $135^{\circ }$, où son module vaut 50 W/m² par radian, soit 0,87 W/m² par degré. Ce sont les meilleurs réglages pour détecter une petite rotation de la polarisation.

À $90^{\circ }$, polariseurs croisés, la courbe touche zéro avec une pente nulle. Un analyseur écarté d'un petit angle $ϵ$ (en radians) de la position croisée laisse passer $I_1{\sin }^2ϵ\approx I_1{ϵ}^2$. Un degré ne laisse passer que $3\times 10^{-4}$ de $I_1$, et à moins de $5,7^{\circ }$ du croisement il passe moins de 1 % de la lumière ; c'est pourquoi l'écran de l'animation reste sombre de 3,74 s à 4,26 s. Un minimum aussi plat est difficile à repérer à l'œil ; mieux vaut donc trouver le zéro comme le milieu de deux réglages, un de chaque côté, qui paraissent également lumineux.

Lumière non polarisée

La lumière d'une lampe ou du Soleil n'a aucune direction privilégiée : un polariseur seul en laisse passer la même quantité, quelle que soit son orientation. Cette section explique pourquoi, et pourquoi cette quantité est exactement la moitié.

Une telle source est une foule d'émetteurs indépendants, qui démarrent et s'arrêtent au hasard. La lumière solaire visible s'étend de 400 à 700 nm, soit un étalement en fréquence d'environ $3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. Une onde ayant un tel étalement ne garde la même ellipse que pendant une durée de l'ordre de l'inverse de cet étalement, environ 3 fs, avant que la direction et la phase de son champ dérivent vers d'autres valeurs. Aucun détecteur n'est aussi rapide : toute mesure fait donc la moyenne sur toutes les directions $\phi$ du champ. Un polariseur laisse passer la fraction ${\cos }^2\phi$ de chaque direction, et la moyenne sur un tour complet est
$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}$
Un polariseur laisse donc passer la moitié d'une lumière non polarisée, $I_1=I_0/2$, quelle que soit son orientation. Dans l'animation, ce sont les 50 W/m² derrière le filtre 1, pour une lampe qui donne $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$. L'animation modélise ainsi la lumière naturelle, chaque demi-onde vibrant dans une direction aléatoire.

Le terme « non polarisée » décrit donc une statistique, et non un type particulier d'onde. Un mélange aléatoire à parts égales de lumière horizontale et verticale donne, dans toute expérience, le même résultat qu'un mélange aléatoire à parts égales de lumière circulaire gauche et droite : on ne peut pas distinguer les deux. Quatre intensités mesurables, les paramètres de Stokes, décrivent complètement la polarisation de n'importe quel faisceau, qu'il soit polarisé, non polarisé ou entre les deux.

Lumière partiellement polarisée

La plupart des lumières réelles ne sont ni entièrement polarisées ni entièrement non polarisées. Un analyseur qui tourne montre la part de chaque sorte dans un faisceau.

Légende

$I$	Intensité transmise par l'analyseur.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Angle entre l'axe de l'analyseur et la partie polarisée ; gradué en degrés sur l'axe.	$\mathrm{rad}$
$I_{\max }$	Intensité maximale, $\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, quand l'axe est selon la partie polarisée.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_{\min }$	Intensité minimale, $\frac{1}{2}{I}_u$, quand l'axe lui est perpendiculaire.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_p$	Partie polarisée de l'intensité : la hauteur de l'oscillation.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\frac{1}{2}{I}_u$	Moitié de la partie non polarisée $I_u$ : ce que l'analyseur en laisse toujours passer, et le plancher de la courbe.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Modélisons un tel faisceau comme la somme d'une partie non polarisée, d'intensité $I_u$, et d'une partie polarisée, d'intensité $I_p$. Les deux parties sont indépendantes : leurs intensités s'additionnent simplement. La figure 3 montre ce que laisse passer un analyseur quand il tourne d'un angle $\theta$, mesuré à partir de la direction de la partie polarisée ; elle est tracée pour $I_u=60$ et $I_p=40$, en W/m².

Regardons d'abord le plancher de la courbe. La partie non polarisée laisse toujours passer la moitié d'elle-même, $\frac{1}{2}{I}_u$, quel que soit $\theta$ : la courbe ne descend donc jamais sous ce niveau. Sur ce plancher s'ajoute la partie polarisée, qui suit la loi de Malus et ajoute $I_p{\cos }^2\theta$, la même oscillation que dans la figure 2. Ensemble,
$I(\theta )=\frac{1}{2}{I}_u+I_p{\cos }^2\theta$
La courbe oscille entre $I_{\max }=\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, quand l'analyseur est selon la partie polarisée, et $I_{\min }=\frac{1}{2}{I}_u$, quand il lui est perpendiculaire, et n'atteint jamais zéro.

L'amplitude de l'oscillation mesure à quel point le faisceau est polarisé. Le degré de polarisation est
$P=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{I_p}{I_u+I_p}$
car la différence des deux lectures vaut $I_p$ et leur somme $I_u+I_p$. C'est la fraction polarisée de l'intensité totale : 0 pour une lumière non polarisée, 1 pour une lumière entièrement polarisée. Pour le faisceau de la figure 3, l'analyseur indique entre 30 et 70 W/m², donc $P=(70-30)/(70+30)=0,4$.

Pourquoi la réflexion polarise

Les reflets sur l'eau ou sur le verre sont fortement polarisés, et totalement pour un certain angle d'incidence. La raison tient à la façon dont rayonnent les électrons de la surface.

Légende

$n_1$	Indice de réfraction du milieu d'où vient la lumière.
$n_2$	Indice de réfraction du milieu réfléchissant.
${\theta }_B$	Angle de Brewster : angle d'incidence, égal à l'angle de réflexion et mesuré à partir de la normale, pour lequel aucune lumière p n'est réfléchie ; $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Angle de réfraction, mesuré à partir de la normale.	$\mathrm{rad}$
$p$	Lumière polarisée dans le plan d'incidence (la page) : son champ fait osciller les électrons le long de la double flèche, perpendiculairement au rayon réfracté.
$s$	Lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence : son champ sort de la page ; il est dessiné comme un anneau avec un point.

Dans la figure 4, la lumière vient d'un milieu d'indice de réfraction $n_1$ (l'air) et rencontre un second milieu d'indice $n_2$ (l'eau). L'angle d'incidence est l'angle de Brewster ${\theta }_B$, l'angle de réflexion est le même, et le rayon réfracté repart sous l'angle ${\theta }_2$ ; ces trois angles sont mesurés à partir de la normale, la ligne verticale en pointillés. La lumière réfléchie ne rebondit pas sur la surface comme une balle : elle est rayonnée par les électrons du second milieu. Ces électrons sont mis en mouvement par l'onde réfractée ; ils oscillent donc selon son champ, toujours perpendiculaire au rayon réfracté.

Séparons maintenant les deux polarisations. Pour la lumière s, polarisée perpendiculairement au plan d'incidence (la page), le champ sort de la page ; il est dessiné comme un anneau avec un point, marqué $s$. Les électrons oscillent alors parallèlement à la surface et perpendiculairement au rayon réfléchi : ils rayonnent librement vers lui. Pour la lumière p, polarisée dans le plan d'incidence, les électrons oscillent dans la page, perpendiculairement au rayon réfracté, selon la double flèche marquée $p$.

Un fait sur le dipôle oscillant règle la question : il rayonne proportionnellement à ${\sin }^2\alpha$, où $\alpha$ est mesuré à partir de son axe, et il n'envoie donc rien le long de cet axe. À l'angle de Brewster, le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté, comme l'indique la marque $90^{\circ }$ de la figure. La double flèche $p$, perpendiculaire au rayon réfracté, pointe alors exactement dans la direction du rayon réfléchi : elle est parallèle au petit trait en pointillés, lui-même parallèle au rayon réfléchi. Les électrons de la lumière p devraient rayonner le long de leur propre axe, ce qu'ils ne peuvent pas faire : aucune lumière p n'est donc réfléchie.

L'angle droit signifie ${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }$, donc $\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_B$. En reportant dans la loi de Snell, $n_1\sin {\theta }_B=n_2\sin {\theta }_2$, on obtient $n_1\sin {\theta }_B=n_2\cos {\theta }_B$, c'est-à-dire
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$
La figure 4 est tracée pour $n_2/n_1=4/3$, l'eau dans l'air, ce qui donne ${\theta }_B=53,1^{\circ }$ et ${\theta }_2=36,9^{\circ }$.

Le modèle du dipôle explique le zéro ; les équations de Maxwell donnent le tableau complet. Pour une surface transparente et non magnétique, les fractions de l'intensité réfléchie pour les deux polarisations, les facteurs de réflexion, valent
$R_s=\frac{{\sin }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\sin }^2({\theta }_1+{\theta }_2)},R_p=\frac{{\tan }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\tan }^2({\theta }_1+{\theta }_2)}$
où ${\theta }_1$ est l'angle d'incidence. $R_p$ s'annule quand ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, car la tangente de son dénominateur devient infinie : c'est la condition qu'avait donnée l'argument du dipôle. $R_s$ ne s'annule jamais, de sorte que la lumière réfléchie à l'angle de Brewster est de la lumière s pure.

Pour l'eau à l'angle de Brewster, ${\theta }_1-{\theta }_2=16,3^{\circ }$ et ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, donc $R_s={\sin }^{2}16,3^{\circ }=0,078$. La lumière solaire non polarisée est pour moitié de la lumière s ; elle perd donc $\frac{1}{2}{R}_s$, soit 3,9 % de son intensité, dans un reflet entièrement polarisé s, c'est-à-dire horizontalement sur un lac. Pour le verre ($n_2/n_1=1,5$), les mêmes calculs donnent $R_s=0,148$ et une perte de 7,4 %. Loin de l'angle de Brewster, le reflet n'est polarisé qu'en partie : à $30^{\circ }$ d'incidence sur l'eau, $R_s=0,031$ et $R_p=0,012$, si bien que la lumière réfléchie a $P=(R_s-R_p)/(R_s+R_p)=0,44$.

Les lasers à gaz exploitent ce zéro. Les fenêtres de leur tube sont inclinées à l'angle de Brewster : la lumière p les traverse dans les deux sens sans perte par réflexion, alors que la lumière s en perd un peu à chaque passage ; seule la lumière p s'accumule, et le laser émet une lumière polarisée rectilignement. La lumière du ciel est polarisée pour la même raison : les molécules d'air qui diffusent la lumière du Soleil sont des dipôles mis en mouvement perpendiculairement aux rayons du Soleil, et un dipôle n'envoie rien le long de son axe. La polarisation est la plus forte à $90^{\circ }$ du Soleil, bien que la lumière diffusée plusieurs fois maintienne $P$ sous environ 0,7 à 0,8, même par ciel dégagé.

Biréfringence et lames d'onde

Certains cristaux ne se contentent pas de filtrer une polarisation : ils ralentissent une polarisation plus que l'autre. Cela permet de modifier le déphasage $\delta$ de la figure 1, et donc de remodeler l'ellipse à volonté.

Dans un cristal dont la structure diffère d'une direction à l'autre, l'indice de réfraction dépend de la polarisation. La calcite, par exemple, a deux indices : 1,658 et 1,486. Un faisceau qui entre dans un cristal de calcite se divise en général en deux faisceaux polarisés à angle droit, si bien qu'un texte imprimé vu à travers le cristal paraît dédoublé. Cette séparation s'appelle la biréfringence, ou double réfraction.

Une lame d'onde est une tranche d'un tel cristal, d'épaisseur $d$, taillée de sorte que son axe optique (la direction particulière du cristal) soit dans la face de la lame. Sous incidence normale, la lumière polarisée selon l'axe et celle qui est polarisée perpendiculairement suivent alors le même trajet, mais à des vitesses différentes. Sur l'épaisseur $d$, l'une prend du retard sur l'autre de la différence de chemin optique $\Delta nd$, où $\Delta n$ est la différence des deux indices. En termes de phase, avec $\lambda$ la longueur d'onde dans le vide, cela donne
$\delta =\frac{2\pi \Delta nd}{\lambda }$
La lame ajoute donc cette quantité au $\delta$ de l'ellipse.

Une lame quart d'onde donne $\delta =\pi /2$. Avec son axe à $45^{\circ }$ d'une polarisation rectiligne, elle partage le champ en deux composantes égales, $a=b$, et les décale d'un quart de période : d'après les cas de la figure 1, c'est de la lumière circulaire. Son épaisseur est $d=\lambda /(4\Delta n)$ ; en quartz, avec $\Delta n\approx 0,009$, elle n'est que d'environ 15 μm pour une lumière de 550 nm. Une lame demi-onde ($\delta =\pi$) inverse la composante perpendiculaire à son axe : une polarisation rectiligne faisant l'angle $\alpha$ avec l'axe ressort donc à $-\alpha$. Elle a tourné de $2\alpha$ sans que rien ait été absorbé. Les lunettes des cinémas 3D associent une lame quart d'onde à un polariseur rectiligne pour ne laisser passer qu'un seul sens de lumière circulaire, de sorte que les images gauche et droite restent séparées même quand on incline la tête.

Problème résolu : faire tourner la polarisation

Les polariseurs peuvent faire tourner une polarisation aussi bien que la bloquer, mais au prix d'une perte d'intensité. Ce problème calcule ce prix et la façon de le réduire.

La lumière qui sort du filtre 1 dans l'animation est verticale, avec $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$. Quelle part peut-on en rendre horizontale avec des polariseurs seuls ?

Une seule feuille horizontale ne laisse rien passer, puisque $\theta =90^{\circ }$. Plaçons devant elle une feuille supplémentaire à $45^{\circ }$. Chaque feuille fait alors $45^{\circ }$ avec la polarisation qui lui parvient et laisse passer la fraction ${\cos }^{2}45^{\circ }=1/2$ ; il sort donc $50{\cos }^{4}45^{\circ }=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ en polarisation horizontale. Comptés à partir de la lampe, $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$, c'est le $I_0/8$ du cas bien connu des trois polariseurs.

Utilisons maintenant $N$ feuilles, chacune tournée de $90^{\circ }/N$ de plus que la précédente, la dernière étant horizontale. Chaque feuille reçoit une lumière polarisée selon la feuille précédente, à l'angle $\pi /(2N)$ de son propre axe ; elle laisse donc passer la fraction ${\cos }^2(\pi /2N)$, et
$I_N=I_1{\cos }^{2N}\left(\frac{\pi }{2N}\right)$
Trois feuilles laissent passer 21,1 W/m², dix en laissent passer 39,0 W/m².

Pourquoi la perte diminue-t-elle quand on ajoute des feuilles ? Pour un petit angle $x$, $\ln \cos x\approx -x^2/2$. Avec $x=\pi /(2N)$, le logarithme de ${\cos }^{2N}x$ vaut environ $-N{x}^2=-{\pi }^2/(4N)$, donc
$I_N\approx I_1{e}^{-{\pi }^2/(4N)}\approx I_1\left(1-\frac{{\pi }^2}{4N}\right)$
Chaque feuille n'enlève qu'une infime fraction, de l'ordre de $(\pi /2N{)}^2$, qui décroît comme $1/N^2$ ; les $N$ fractions ensemble forment une perte qui décroît comme $1/N$.

Conserver 90 %, soit 45 W/m², demande 24 feuilles, qui laissent passer 45,1 W/m² ; avec 23 feuilles, on n'obtient que 44,9 W/m². Une infinité de feuilles entraîneraient la polarisation jusqu'à l'horizontale sans aucune perte, un cousin classique de l'effet Zénon quantique. Une lame demi-onde dont l'axe fait $45^{\circ }$ fait tout le travail en une seule étape et laisse passer les 50 W/m², aux petites réflexions de ses surfaces près, parce qu'elle décale une phase au lieu de projeter le champ.

Photons et limites de validité

La loi de Malus a été établie pour des ondes, mais la lumière arrive sous forme de photons, et les polariseurs et les surfaces réels sont moins bons que les modèles idéaux ci-dessus. Cette section dit jusqu'où l'image simple reste valable.

En termes quantiques, la polarisation d'un photon est un système à deux états : deux amplitudes complexes jouent le rôle de $a$, $b$ et $\delta$. Un polariseur incliné de $\theta$ par rapport à la polarisation d'un photon le laisse passer avec la probabilité ${\cos }^2\theta$, et un photon qui passe en sort polarisé selon l'axe du polariseur. La loi de Malus est la moyenne d'un nombre énorme d'événements de type oui ou non : un faisceau de 50 W/m² de lumière à 550 nm transporte environ $1,4\times 10^{20}$ photons par seconde à travers chaque mètre carré.

Les vraies feuilles polarisantes ne laissent passer qu'environ 38 à 42 % de la lumière non polarisée, et non les 50 % idéaux ; une paire croisée en laisse fuir de $10^{-3}$ à $10^{-5}$ (les polariseurs à cristal, de $10^{-5}$ à $10^{-6}$). De plus, chaque type ne fonctionne que sur une bande limitée de longueurs d'onde. Le zéro de Brewster exige une surface lisse, transparente et isotrope : des rides étalent les angles d'incidence, et les métaux ne présentent qu'un minimum peu marqué de $R_p$, et non un zéro. Enfin, le champ n'est purement transversal que dans les faisceaux larges : une lumière focalisée en une tache d'environ une longueur d'onde de large acquiert une composante de champ le long de la direction de propagation.

Ce qui vient ensuite

La leçon Ondes électromagnétiques montre pourquoi la lumière est transversale : dans le vide, les équations de Maxwell n'autorisent aucun champ selon la direction de propagation. La leçon Interférences et superposition additionne des ondes avec un déphasage, comme la figure 1 additionne deux composantes perpendiculaires ; mais deux faisceaux polarisés à angle droit ne peuvent pas interférer, et des polariseurs croisés placés sur les deux fentes de la leçon Diffraction et fentes de Young font disparaître les franges. La leçon Dualité onde-corpuscule présente les photons eux-mêmes, dont chacun franchit un polariseur avec la probabilité ${\cos }^2\theta$ décrite plus haut.

La leçon Réflexion et réfraction fournit les amplitudes de Fresnel qui sous-tendent l'angle de Brewster, et la leçon Prismes, dispersion et couleurs la diffusion qui rend le ciel bleu. Les ondes gravitationnelles de la leçon La gravitation, courbure de l'espace-temps ont elles aussi deux polarisations, mais décalées de $45^{\circ }$ et non de $90^{\circ }$. Une telle onde étire l'espace selon un axe tout en le comprimant selon l'axe perpendiculaire. Tourner ce motif de $90^{\circ }$ ne fait qu'échanger étirement et compression, ce qui donne la même polarisation inversée ; la seconde polarisation indépendante est donc celle qui est tournée de $45^{\circ }$.