Polarización de la luz

Principiante

Paso 1. Ata una comba al picaporte de una puerta y sacude el otro extremo. Puedes hacer que la cuerda oscile de arriba abajo, de lado a lado o a lo largo de cualquier línea inclinada, mientras la onda avanza siempre hacia la puerta. La luz es una onda transversal de este tipo, y la dirección en la que oscila se llama su polarización.

Paso 2. Una lámpara o el Sol emiten luz cuya dirección de oscilación cambia sin parar y al azar, así que todas las direcciones están mezcladas. Esa luz se llama no polarizada. En la animación, las ondulaciones amarillas que salen de la lámpara apuntan en todas direcciones.

Paso 3. Un filtro polarizador se comporta como una hilera de rendijas estrechas: solo deja pasar la parte de la oscilación alineada con las rendijas y absorbe el resto. Detrás del filtro 1, la onda azul oscila solo de arriba abajo y se ha perdido aproximadamente la mitad de la luz.

Paso 4. Ahora observa cómo gira el filtro 2. Mientras sus rendijas coinciden con las del filtro 1, la luz pasa y la mancha en la pantalla es brillante. Al girar, la onda roja que hay detrás se encoge; tras un cuarto de vuelta las rendijas quedan cruzadas y la pantalla se oscurece. Sigue girando y la luz vuelve.

Paso 5. La luz del Sol reflejada en un lago o en una carretera mojada vuelve oscilando sobre todo en horizontal. Las gafas de sol polarizadas tienen rendijas verticales, así que bloquean gran parte de ese brillo deslumbrante.

Ponte a prueba: con gafas polarizadas miras el reflejo de un charco y luego inclinas la cabeza hacia el hombro. ¿Qué ocurre? (El reflejo vuelve: tus rendijas quedan tumbadas, alineadas con la oscilación reflejada.)

Intermedio

La luz es una onda transversal

La luz es una onda electromagnética: un campo eléctrico $\vec{E}$ y un campo magnético oscilan juntos, cada uno perpendicular al otro y al haz. Su polarización es la dirección en la que oscila $\vec{E}$: vertical, horizontal o cualquier dirección intermedia. El sonido en el aire vibra a lo largo de su dirección de avance, de modo que no tiene esa dirección y no puede polarizarse.

La luz cuyo campo conserva una sola dirección está polarizada linealmente. La luz del Sol y la de una lámpara proceden de innumerables átomos que emiten cada uno por su cuenta, así que su dirección de vibración cambia al azar, mucho más deprisa de lo que cualquier instrumento puede seguir: es luz no polarizada. El brillo deslumbrante de una carretera mojada y la luz de un cielo azul están parcialmente polarizados, una mezcla de ambas cosas.

Un ojo o un fotómetro registra la intensidad $I$, la potencia por unidad de área, en vatios por metro cuadrado (W/m²). Es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo $E_0$, medida en voltios por metro:
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$
donde $c=3,00\times 10^{8}m/s$ es la velocidad de la luz y ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$, la permitividad del vacío. Si la amplitud se reduce a la mitad, la intensidad se divide entre cuatro.

Qué hace un polarizador

Un polarizador tiene un eje de transmisión: deja pasar la componente de $\vec{E}$ a lo largo de ese eje y absorbe la componente perpendicular a él, de modo que la luz que sale está polarizada linealmente a lo largo del eje. Una lámina polarizadora habitual es una película de plástico de largas cadenas de polímero, estiradas hasta alinearlas e impregnadas de yodo para que los electrones puedan moverse a lo largo de ellas. Un campo paralelo a las cadenas genera corrientes y se absorbe, así que el eje de transmisión es perpendicular a las cadenas, y no paralelo a ellas como sugeriría una valla de estacas; las ranuras de la animación representan el eje, no las moléculas.

La luz no polarizada contiene todas las direcciones por igual. Una dirección que forma un ángulo $\phi$ con el eje conserva la fracción ${\cos }^2\phi$ de su intensidad, y el promedio de esa fracción sobre todas las direcciones es un medio; por eso un polarizador ideal deja pasar la mitad de la luz, lo gires como lo gires. En la animación, los $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ de la lámpara se convierten en $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ detrás del filtro 1, y la onda azul vibra solo de arriba abajo.

Ley de Malus

Un segundo polarizador, el analizador, tiene su eje formando un ángulo $\theta$ con la polarización de la luz que le llega. La vista frontal de la animación descompone el campo azul $E_1$ en dos partes: la que va a lo largo del eje, $E_1\cos \theta$, pasa como el campo rojo $E_2$, y la perpendicular a él, $E_1\mathrm{sen}\theta$, se absorbe. Al elevar la amplitud al cuadrado se obtiene la intensidad, de modo que las ecuaciones de trabajo son:

• $I_1=\frac{I_0}{2}\text{(luz no polarizada, polarizador ideal)}$
• $E_2=E_1\cos \theta$
• $I_2=I_1{\cos }^2\theta \text{(ley de Malus)}$

La última ecuación lleva el nombre de Étienne-Louis Malus, que descubrió en 1808 que la luz reflejada en una ventana está polarizada. La parte absorbida, $I_1{\mathrm{sen}}^2\theta$, completa lo que falta, ya que ${\cos }^2\theta +{\mathrm{sen}}^2\theta =1$. A $90^{\circ }$ los filtros están cruzados y no pasa nada; y como un eje girado $180^{\circ }$ es el mismo eje, el patrón se repite cada media vuelta.

Ejemplo resuelto: el analizador de la animación

El filtro 2 gira a 22,5° por segundo, así que $\theta$ llega a $22,5^{\circ }$, $45^{\circ }$ y $67,5^{\circ }$ al cabo de 1, 2 y 3 s. Con $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$, la ley de Malus da
$I_2=50{\cos }^{2}22,5^{\circ }=50\cdot 0,854=42,7W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}45^{\circ }=50\cdot 0,500=25,0W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}67,5^{\circ }=50\cdot 0,146=7,3W/{\mathrm{m}}^2$
y cero a $90^{\circ }$, a los 4 s. Son los valores de la lectura de $I_2$; en la segunda mitad del ciclo vuelven en orden inverso.

Compara las ondas con la lectura. A $45^{\circ }$ la onda roja conserva todavía $\cos 45^{\circ }=0,71$ de la amplitud de la azul, y sin embargo transporta solo la mitad de la intensidad. A $60^{\circ }$, que se alcanza a los 2,7 s, la amplitud se reduce a la mitad y la intensidad a la cuarta parte, $I_2=50\cdot 0,25=12,5W/{\mathrm{m}}^2$; en unidades de campo, $E_1=\sqrt{2I_1/(c{\epsilon }_0)}\approx 194V/m$ pasa a ser $E_2\approx 97V/m$. En la vista frontal, el arco verde marca $\theta$ mientras la flecha roja $E_2$ se encoge.

Ejemplo resuelto: tres polarizadores

Dos polarizadores cruzados, a $0^{\circ }$ y a $90^{\circ }$, lo bloquean todo. Intercala entre ellos un tercero a $30^{\circ }$ del primero, envía luz no polarizada con $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ y usa siempre el ángulo entre ejes vecinos. El primer filtro deja pasar $100/2=50W/{\mathrm{m}}^2$. El del medio deja pasar $50{\cos }^{2}30^{\circ }=37,5W/{\mathrm{m}}^2$, luz que ya está polarizada a $30^{\circ }$. El último, $60^{\circ }$ más allá, deja pasar $37,5{\cos }^{2}60^{\circ }=9,4W/{\mathrm{m}}^2$.

Si el polarizador del medio está a un ángulo cualquiera $\theta$, el último queda a $90^{\circ }-\theta$ de él, y ${\cos }^2(90^{\circ }-\theta )={\mathrm{sen}}^2\theta$:
$I_3=\frac{I_0}{2}{\cos }^2\theta {\mathrm{sen}}^2\theta \text{(polarizadores a }{0}^{\circ },\theta ,90^{\circ }\text{)}$
Esto equivale a $(I_0/8){\mathrm{sen}}^{2}2\theta$, que es máximo en $\theta =45^{\circ }$, donde pasan $I_0/8=12,5W/{\mathrm{m}}^2$.

Añadir un filtro ha hecho pasar luz donde antes no pasaba ninguna. El filtro del medio no abre ninguna fuga: vuelve a polarizar la luz a lo largo de su propio eje, que ya no forma un ángulo recto con el del último. Cada polarizador fija de nuevo la dirección del campo.

Polarización por reflexión

La luz reflejada en el agua, el vidrio o una carretera está parcialmente polarizada, con $\vec{E}$ sobre todo paralelo a la superficie. En el ángulo de Brewster ${\theta }_B$ está polarizada por completo:
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}\text{(aˊngulo de Brewster)}$
${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }\text{(reflejado }\perp \text{ refractado)}$
Aquí $n_1$ es el índice de refracción del medio de donde viene la luz, $n_2$ el del medio que refleja y ${\theta }_2$ el ángulo de refracción: los rayos reflejado y refractado son entonces perpendiculares.

Del aire al agua ($n=1,33$), ${\theta }_B=\arctan 1,33=53,1^{\circ }$ y ${\theta }_2=36,9^{\circ }$; para el vidrio ($n=1,50$), ${\theta }_B=56,3^{\circ }$. Cuando el Sol está a $36,9^{\circ }$ sobre un lago en calma, su luz incide sobre el agua exactamente con $53,1^{\circ }$, y el reflejo está polarizado en horizontal. Las gafas de sol con el eje de transmisión vertical lo bloquean, mientras que el resto de la escena, en su mayor parte luz no polarizada, solo se reduce a la mitad.

Errores frecuentes

• Usar $\cos \theta$ en lugar de ${\cos }^2\theta$. A $60^{\circ }$ la amplitud se reduce a la mitad pero la intensidad a la cuarta parte: con $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ salen 12,5 W/m², no 25 W/m².
• Aplicar la ley de Malus a luz no polarizada, u olvidar el factor $\frac{1}{2}$ del primer filtro: sin él, el resultado de los tres polarizadores se duplica hasta 18,75 W/m².
• Medir todos los ángulos desde el primer filtro. Usa el ángulo entre ejes vecinos: el último de los tres polarizadores está a $60^{\circ }$ del intermedio, y tomar $90^{\circ }$ daría por error cero.
• Tomarse la valla al pie de la letra. Una lámina polarizadora absorbe el campo paralelo a sus cadenas, y una rejilla de hilos metálicos refleja el campo paralelo a sus hilos, así que el eje de transmisión es perpendicular a ellos.
• Usar el seno en lugar de la tangente para el ángulo de Brewster: $\mathrm{sen}{\theta }_B=1,33$ no tiene solución, y $\mathrm{arcsen}(1/1,33)=48,8^{\circ }$ es el ángulo crítico de la luz que sale del agua, un efecto distinto.

Dónde aparece

Los filtros polarizadores de las gafas de sol y de las cámaras eliminan los reflejos del agua y de los escaparates y oscurecen el cielo azul, cuya luz está parcialmente polarizada por dispersión, con más fuerza a $90^{\circ }$ del Sol; las abejas se orientan con ese patrón. Una pantalla LCD contiene cristal líquido entre dos polarizadores, y cada píxel fija su brillo según cuánto gira la polarización, así que un teléfono visto con gafas de sol polarizadas se oscurece con una inclinación concreta. El cine 3D envía a cada ojo su imagen con una polarización distinta, y los ingenieros ven la tensión de los modelos de plástico, entre polarizadores cruzados, como franjas de colores.

Los ángulos que se usan aquí vienen de Reflexión y refracción. Ondas electromagnéticas explica por qué la luz es transversal y de dónde sale $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$, y Dualidad onda-corpúsculo presenta los fotones, para los que la ley de Malus se convierte en una probabilidad ${\cos }^2\theta$ de pasar.

Avanzado

El campo como oscilador bidimensional

La polarización describe cómo se mueve el campo eléctrico de una onda de luz a través del haz. Todos los polarizadores, las superficies reflectantes y los cristales de esta lección actúan sobre ese movimiento, así que empezamos por formarnos una imagen clara de él.

Toma una onda que avanza a lo largo del eje $z$. Su campo eléctrico $\vec{E}$ está en el plano $xy$, perpendicular al haz, así que tiene dos componentes, $E_x$ y $E_y$. Ambas oscilan con la frecuencia angular $\omega$ de la luz, pero cada una tiene su propia amplitud, $a$ para $E_x$ y $b$ para $E_y$, y $E_y$ puede ir adelantada respecto a $E_x$ una diferencia de fase $\delta$. En un punto fijo del haz,
$E_x=a\cos \omega t,E_y=b\cos (\omega t+\delta )$
Las dos componentes son independientes entre sí, de modo que el campo se comporta como un oscilador bidimensional, igual que la lenteja de un péndulo, que puede oscilar en cualquier dirección o describir una elipse.

Leyenda

$a$	Amplitud de $E_x$: la mitad del ancho del rectángulo.	$V/m$
$b$	Amplitud de $E_y$: la mitad del alto del rectángulo.	$V/m$
$\vec{E}$	Campo eléctrico en el instante dibujado; su extremo recorre la elipse.	$V/m$
$E_x$	Componente de $\vec{E}$ a lo largo de $x$.	$V/m$
$E_y$	Componente de $\vec{E}$ a lo largo de $y$.	$V/m$
$\omega t$	Fase de la onda en el punto: frecuencia angular por tiempo. Es el eje horizontal de la gráfica.	$\mathrm{rad}$
$\delta$	Diferencia de fase entre las componentes: $E_y$ alcanza su máximo una fase $\delta$ antes que $E_x$.	$\mathrm{rad}$

La figura 1 muestra este movimiento de dos maneras. A la izquierda está el plano perpendicular al haz. En cada instante, el extremo de $\vec{E}$ está en el punto $(E_x,E_y)$, de modo que las dos componentes son las sombras de la flecha sobre los ejes. Como $E_x$ nunca supera $a$ y $E_y$ nunca supera $b$, el extremo permanece dentro del rectángulo de ancho $2a$ y alto $2b$; y como cada componente alcanza su máximo una vez por ciclo, la curva toca los cuatro lados de ese rectángulo. A la derecha, las mismas dos componentes se representan frente a la fase $\omega t$. Aquí $\delta =60^{\circ }$, así que cada máximo de $E_y$ llega una fase $\delta$ antes que el máximo correspondiente de $E_x$. Los puntos sobre las dos curvas marcan el instante dibujado a la izquierda.

Para hallar la forma de la curva, eliminemos el tiempo. Al desarrollar el coseno se obtiene $E_y/b=\cos \omega t\cos \delta -\mathrm{sen}\omega t\mathrm{sen}\delta$. La primera ecuación dice que $\cos \omega t=E_x/a$, así que $\mathrm{sen}\omega t\mathrm{sen}\delta =(E_x/a)\cos \delta -E_y/b$. Al elevar al cuadrado ambos miembros y sustituir ${\mathrm{sen}}^2\omega t$ por $1-E_x^2/a^2$ queda
$\frac{E_x^2}{a^2}+\frac{E_y^2}{b^2}-\frac{2E_x{E}_y}{ab}\cos \delta ={\mathrm{sen}}^2\delta$

Esta es la ecuación de una elipse. En general, pues, el extremo de $\vec{E}$ traza una elipse dentro del rectángulo de $2a$ por $2b$, y los tres números $a$, $b$ y $\delta$ fijan su tamaño, su forma y su inclinación.

Dos casos particulares tienen nombre. Para $\delta =0$ el segundo miembro es cero y el primero es un cuadrado perfecto, $(E_x/a-E_y/b{)}^2=0$, de modo que $E_y=(b/a)E_x$: la elipse se aplana en un segmento que forma un ángulo $\arctan (b/a)$ con el eje $x$. Es la polarización lineal. Para $\delta =\pi$ cambia el signo del término cruzado y la recta forma un ángulo $-\arctan (b/a)$. A la derecha de la figura 1, las dos curvas subirían y bajarían entonces juntas ($\delta =0$) o en oposición ($\delta =\pi$).

Para $a=b$ y $\delta =\pm \pi /2$ el término cruzado desaparece y la ecuación se convierte en $E_x^2+E_y^2=a^2$: el extremo recorre una circunferencia, y la luz está polarizada circularmente. Las dos curvas están entonces desfasadas un cuarto de ciclo, y los dos signos de $\delta$ hacen girar el extremo en sentidos opuestos. Cualquier otro caso es polarización elíptica. Existen dos convenios opuestos para llamar izquierdo o derecho a un sentido, así que aclara siempre si miras a lo largo del haz o hacia la fuente.

La polarización no cambia la energía que transporta la onda. La intensidad es proporcional al promedio de $E_x^2+E_y^2$, y cada ${\cos }^2$ vale en promedio un medio a lo largo de un ciclo, sea cual sea su fase. Por tanto, $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0(a^2+b^2)$ para todo $\delta$: la polarización solo decide cómo se reparte el campo entre las dos componentes. El campo magnético, de módulo $E/c$, queda fijado en ángulo recto con $\vec{E}$, así que no aporta información adicional. Es $\vec{E}$ el que empuja a los electrones, y por eso los polarizadores y las superficies responden a su dirección y «la polarización» significa siempre la dirección del campo eléctrico.

El polarizador como proyección

Un polarizador es un filtro que deja pasar una sola dirección del campo. Verlo como una proyección nos dice exactamente cuánta luz pasa y por qué dos polarizadores cruzados dejan todo oscuro.

Leyenda

$\hat{u}$	Eje de transmisión del polarizador, perpendicular a los hilos: un vector unitario.
${\vec{E}}_1$	Campo que llega al polarizador, con un ángulo $\theta$ respecto a $\hat{u}$.	$V/m$
${\vec{E}}_2$	Campo que pasa: la parte de ${\vec{E}}_1$ según $\hat{u}$, de módulo $E_1\cos \theta$.	$V/m$
$E_1\sin \theta$	Parte de ${\vec{E}}_1$ paralela a los hilos; no atraviesa el polarizador.	$V/m$
$\theta$	Ángulo entre ${\vec{E}}_1$ y $\hat{u}$; marcado en grados en la gráfica.	$\mathrm{rad}$
$I_1$	Intensidad de la luz que llega al polarizador.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensidad que pasa, $I_1{\cos }^2\theta$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

A la izquierda de la figura 2 se ve de frente un polarizador de rejilla de hilos: hilos metálicos paralelos, separados mucho menos que una longitud de onda. Su eje de transmisión, el vector unitario $\hat{u}$, es perpendicular a los hilos. El campo incidente ${\vec{E}}_1$ forma el ángulo $\theta$ con $\hat{u}$, así que se descompone en dos partes. La parte paralela a los hilos, de módulo $E_1\mathrm{sen}\theta$, mueve los electrones a lo largo de los hilos. Las corrientes que genera radian un campo que anula esa parte más allá de la rejilla y la devuelve como una onda reflejada. La parte según $\hat{u}$, de módulo $E_1\cos \theta$, tendría que mover los electrones a través de los hilos, por donde no pueden desplazarse mucho, así que pasa casi intacta como el campo ${\vec{E}}_2$, la flecha horizontal. Un polarizador de lámina funciona del mismo modo, con largas cadenas de polímero dopadas con yodo en lugar de hilos; las cadenas absorben la parte bloqueada en vez de reflejarla.

En ambos casos, el polarizador conserva la proyección del campo sobre su eje de transmisión:
${\vec{E}}_2=({\vec{E}}_1\cdot \hat{u})\hat{u},E_2=E_1\cos \theta$
Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo, la intensidad transmitida es
$I_2=I_1{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}{I}_1(1+\cos 2\theta )$
Esta es la ley de Malus. La segunda forma, que sale de ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$, muestra que la curva se repite cada $180^{\circ }$: un eje girado media vuelta es el mismo eje. El resto de la luz, $I_1{\mathrm{sen}}^2\theta$, se absorbe o se refleja.

A la derecha de la figura 2 se representa $I_2$ frente a $\theta$. La línea discontinua de arriba marca $I_1$, y el punto marca el ángulo dibujado a la izquierda. En la animación, el filtro 1 entrega $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ y el analizador gira de forma continua, así que la gráfica de este nivel traza la misma curva: 50 W/m² para $\theta =0$, 25 W/m² a $45^{\circ }$, cero a $90^{\circ }$ y de nuevo 50 W/m² a $180^{\circ }$.

La pendiente indica con qué fuerza reacciona la lectura a un pequeño giro de la polarización: $d{I}_2/d\theta =-I_1\mathrm{sen}2\theta$. Es la más pronunciada a $45^{\circ }$ y a $135^{\circ }$, donde su módulo es de 50 W/m² por radián, es decir, 0,87 W/m² por grado. Esos son los mejores ajustes para detectar un pequeño giro de la polarización.

A $90^{\circ }$, con los polarizadores cruzados, la curva toca el cero con pendiente nula. Un analizador separado un ángulo pequeño $ϵ$ (en radianes) de la posición cruzada deja pasar $I_1{\mathrm{sen}}^2ϵ\approx I_1{ϵ}^2$. Un grado deja pasar solo $3\times 10^{-4}$ de $I_1$, y a menos de $5,7^{\circ }$ del cruce pasa menos del 1 % de la luz; por eso la pantalla de la animación permanece oscura de 3,74 s a 4,26 s. Un mínimo tan plano es difícil de localizar a ojo, así que conviene hallar el punto de extinción como el punto medio entre dos posiciones, una a cada lado, que dan el mismo brillo.

Luz no polarizada

La luz de una lámpara o del Sol no tiene ninguna dirección preferida: un solo polarizador deja pasar la misma cantidad sea cual sea su orientación. Esta sección explica por qué, y por qué esa cantidad es exactamente la mitad.

Una fuente así es una multitud de emisores independientes, que empiezan y terminan al azar. La luz solar visible abarca de 400 a 700 nm, un ancho de banda de unos $3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. Una onda con ese ancho de banda conserva una misma elipse solo durante un tiempo del orden de la inversa de ese ancho, unos 3 fs, antes de que la dirección y la fase de su campo deriven hacia otros valores. Ningún detector es tan rápido, de modo que toda medida promedia sobre todas las direcciones $\phi$ del campo. Un polarizador deja pasar la fracción ${\cos }^2\phi$ de cada dirección, y el promedio sobre una vuelta completa es
$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}$
Así, un polarizador deja pasar la mitad de la luz no polarizada, $I_1=I_0/2$, apunte hacia donde apunte. En la animación son los 50 W/m² detrás del filtro 1, con una lámpara que da $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$. La animación modela la luz natural justamente así, con cada semionda vibrando en una dirección al azar.

«No polarizada» describe, por tanto, una estadística, no una clase especial de onda. Una mezcla aleatoria a partes iguales de luz horizontal y vertical da en cualquier experimento el mismo resultado que una mezcla aleatoria a partes iguales de luz circular izquierda y derecha, así que no se pueden distinguir. Cuatro intensidades medibles, los parámetros de Stokes, describen por completo la polarización de cualquier haz, esté polarizado, sin polarizar o a medio camino.

Luz parcialmente polarizada

La mayor parte de la luz real no está ni totalmente polarizada ni totalmente sin polarizar. Un analizador que gira muestra cuánto hay de cada clase en un haz.

Leyenda

$I$	Intensidad que deja pasar el analizador.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Ángulo entre el eje del analizador y la parte polarizada; marcado en grados en el eje.	$\mathrm{rad}$
$I_{\max }$	Intensidad máxima, $\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, con el eje a lo largo de la parte polarizada.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_{\min }$	Intensidad mínima, $\frac{1}{2}{I}_u$, con el eje perpendicular a ella.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_p$	Parte polarizada de la intensidad: la altura de la oscilación.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\frac{1}{2}{I}_u$	Mitad de la parte no polarizada $I_u$: lo que el analizador deja pasar siempre de ella y el suelo de la curva.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Modelemos un haz así como la suma de una parte no polarizada, de intensidad $I_u$, y una parte polarizada, de intensidad $I_p$. Las dos partes son independientes, así que sus intensidades simplemente se suman. La figura 3 muestra lo que deja pasar un analizador al girar el ángulo $\theta$, medido desde la dirección de la parte polarizada; está dibujada para $I_u=60$ e $I_p=40$, en W/m².

Fíjate primero en el suelo de la curva. La parte no polarizada deja pasar siempre la mitad de sí misma, $\frac{1}{2}{I}_u$, sea cual sea $\theta$, así que la curva nunca baja de ese nivel. Sobre el suelo se apoya la parte polarizada, que sigue la ley de Malus y añade $I_p{\cos }^2\theta$, la misma oscilación que en la figura 2. En conjunto,
$I(\theta )=\frac{1}{2}{I}_u+I_p{\cos }^2\theta$
La curva oscila entre $I_{\max }=\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, con el analizador a lo largo de la parte polarizada, e $I_{\min }=\frac{1}{2}{I}_u$, con él perpendicular, y nunca llega a cero.

La profundidad de la oscilación mide cuán polarizado está el haz. El grado de polarización es
$P=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{I_p}{I_u+I_p}$
porque la diferencia de las dos lecturas es $I_p$ y su suma es $I_u+I_p$. Es la fracción polarizada de la intensidad total: 0 para luz no polarizada, 1 para luz totalmente polarizada. Para el haz de la figura 3, el analizador marca entre 30 y 70 W/m², así que $P=(70-30)/(70+30)=0,4$.

Por qué la reflexión polariza

El reflejo del agua o del vidrio está muy polarizado, y por completo para un cierto ángulo de incidencia. La razón está en cómo radian los electrones de la superficie.

Leyenda

$n_1$	Índice de refracción del medio del que viene la luz.
$n_2$	Índice de refracción del medio que refleja.
${\theta }_B$	Ángulo de Brewster: el ángulo de incidencia, igual al de reflexión y medido desde la normal, para el que no se refleja luz p; $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ángulo de refracción, medido desde la normal.	$\mathrm{rad}$
$p$	Luz polarizada en el plano de incidencia (la página): su campo hace oscilar los electrones a lo largo de la flecha doble, perpendicular al rayo refractado.
$s$	Luz polarizada perpendicularmente al plano de incidencia: su campo sale de la página y se dibuja como un anillo con un punto.

En la figura 4, la luz viene de un medio de índice de refracción $n_1$ (el aire) y llega a un segundo medio de índice $n_2$ (el agua). El ángulo de incidencia es el ángulo de Brewster ${\theta }_B$, el ángulo de reflexión es el mismo, y el rayo refractado sale con el ángulo ${\theta }_2$; los tres se miden desde la normal, la línea vertical discontinua. La luz reflejada no rebota en la superficie como una pelota: la radian los electrones del segundo medio. Esos electrones los pone en movimiento la onda refractada, así que oscilan a lo largo de su campo, que siempre es perpendicular al rayo refractado.

Separemos ahora las dos polarizaciones. Para la luz s, polarizada perpendicularmente al plano de incidencia (la página), el campo sale de la página y se dibuja como un anillo con un punto, marcado $s$. Los electrones oscilan entonces paralelamente a la superficie y perpendicularmente al rayo reflejado, así que radian hacia él sin obstáculo. Para la luz p, polarizada en el plano de incidencia, los electrones oscilan dentro de la página, perpendicularmente al rayo refractado, a lo largo de la flecha doble marcada $p$.

Un hecho sobre el dipolo oscilante lo decide todo: radia en proporción a ${\mathrm{sen}}^2\alpha$, con $\alpha$ medido desde su eje, así que no envía nada a lo largo de ese eje. En el ángulo de Brewster, el rayo reflejado es perpendicular al refractado, como indica la marca de $90^{\circ }$ de la figura. La flecha doble $p$, perpendicular al rayo refractado, apunta entonces justo en la dirección del rayo reflejado: es paralela al trazo discontinuo corto, que es paralelo al rayo reflejado. Los electrones de la luz p tendrían que radiar a lo largo de su propio eje, y no pueden; por eso no se refleja luz p.

El ángulo recto significa ${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }$, de modo que $\mathrm{sen}{\theta }_2=\cos {\theta }_B$. Al sustituir en la ley de Snell, $n_1\mathrm{sen}{\theta }_B=n_2\mathrm{sen}{\theta }_2$, resulta $n_1\mathrm{sen}{\theta }_B=n_2\cos {\theta }_B$, es decir,
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$
La figura 4 está dibujada para $n_2/n_1=4/3$, agua en aire, lo que da ${\theta }_B=53,1^{\circ }$ y ${\theta }_2=36,9^{\circ }$.

El modelo del dipolo explica el cero; las ecuaciones de Maxwell dan la historia completa. Para una superficie transparente y no magnética, las fracciones de la intensidad que se reflejan para las dos polarizaciones, las reflectancias, son
$R_s=\frac{{\mathrm{sen}}^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\mathrm{sen}}^2({\theta }_1+{\theta }_2)},R_p=\frac{{\tan }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\tan }^2({\theta }_1+{\theta }_2)}$
con ${\theta }_1$ el ángulo de incidencia. $R_p$ se anula cuando ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, porque la tangente de su denominador se hace infinita: es la misma condición que dio el argumento del dipolo. $R_s$ no se anula nunca, de modo que la luz reflejada en el ángulo de Brewster es luz s pura.

Para el agua en el ángulo de Brewster, ${\theta }_1-{\theta }_2=16,3^{\circ }$ y ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, así que $R_s={\mathrm{sen}}^{2}16,3^{\circ }=0,078$. La luz solar no polarizada es mitad luz s, así que pierde $\frac{1}{2}{R}_s$, es decir, un 3,9 % de su intensidad, en un reflejo totalmente polarizado s; en un lago, eso significa horizontal. Para el vidrio ($n_2/n_1=1,5$), los mismos pasos dan $R_s=0,148$ y una pérdida del 7,4 %. Lejos del ángulo de Brewster, el reflejo solo está polarizado en parte: a $30^{\circ }$ de incidencia sobre agua, $R_s=0,031$ y $R_p=0,012$, de modo que la luz reflejada tiene $P=(R_s-R_p)/(R_s+R_p)=0,44$.

Los láseres de gas aprovechan este cero. Las ventanas de su tubo están inclinadas en el ángulo de Brewster, de modo que la luz p las cruza en ambos sentidos sin pérdidas por reflexión, mientras que la luz s pierde un poco en cada pasada; solo la luz p se acumula, y el láser emite luz polarizada linealmente. La luz del cielo está polarizada por la misma razón: las moléculas de aire que dispersan la luz del Sol son dipolos puestos en movimiento perpendicularmente a los rayos solares, y un dipolo no envía nada a lo largo de su eje. La polarización es más intensa a $90^{\circ }$ del Sol, aunque la luz dispersada más de una vez mantiene $P$ por debajo de 0,7 a 0,8 incluso con el cielo despejado.

Birrefringencia y láminas retardadoras

Algunos cristales hacen más que filtrar una polarización: frenan una polarización más que la otra. Eso nos permite cambiar la diferencia de fase $\delta$ de la figura 1 y, con ella, remodelar la elipse a voluntad.

En un cristal cuya estructura difiere de una dirección a otra, el índice de refracción depende de la polarización. La calcita, por ejemplo, tiene dos índices: 1,658 y 1,486. Un haz que entra en un cristal de calcita suele dividirse en dos haces polarizados en ángulo recto, así que un texto impreso visto a través del cristal se ve doble. Esta división se llama birrefringencia, o doble refracción.

Una lámina retardadora es una rebanada de un cristal así, de espesor $d$, tallada de modo que su eje óptico (la dirección especial del cristal) quede en la cara de la lámina. Con incidencia normal, la luz polarizada a lo largo del eje y la polarizada perpendicularmente a él siguen entonces el mismo camino, pero a distinta velocidad. A lo largo del espesor $d$, una se retrasa respecto a la otra el camino óptico $\Delta nd$, donde $\Delta n$ es la diferencia de los dos índices. En términos de fase, con $\lambda$ la longitud de onda en el vacío, eso es
$\delta =\frac{2\pi \Delta nd}{\lambda }$
de modo que la lámina suma esta cantidad al $\delta$ de la elipse.

Una lámina de cuarto de onda da $\delta =\pi /2$. Con su eje a $45^{\circ }$ de una polarización lineal, divide el campo en dos componentes iguales, $a=b$, y las desfasa un cuarto de ciclo: según los casos de la figura 1, eso es luz circular. Su espesor es $d=\lambda /(4\Delta n)$; en cuarzo, con $\Delta n\approx 0,009$, es de solo unas 15 μm para luz de 550 nm. Una lámina de media onda ($\delta =\pi$) invierte la componente perpendicular a su eje, de modo que una polarización lineal que forma el ángulo $\alpha$ con el eje sale a $-\alpha$. Se ha girado $2\alpha$ sin absorber nada. Las gafas del cine 3D combinan una lámina de cuarto de onda con un polarizador lineal para dejar pasar solo un sentido de luz circular, de modo que las imágenes izquierda y derecha siguen separadas aunque inclines la cabeza.

Problema resuelto: girar la polarización

Los polarizadores pueden girar una polarización además de bloquearla, pero a costa de intensidad. Este problema calcula ese coste y cómo reducirlo.

La luz que sale del filtro 1 en la animación es vertical, con $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$. ¿Cuánta se puede dejar horizontal usando solo polarizadores?

Una única lámina horizontal no deja pasar nada, ya que $\theta =90^{\circ }$. Pon delante de ella una lámina adicional a $45^{\circ }$. Cada lámina forma entonces $45^{\circ }$ con la polarización que le llega y deja pasar la fracción ${\cos }^{2}45^{\circ }=1/2$, de modo que salen $50{\cos }^{4}45^{\circ }=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ en horizontal. Contados desde la lámpara, $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$, son los $I_0/8$ del conocido caso de los tres polarizadores.

Usemos ahora $N$ láminas, cada una girada $90^{\circ }/N$ más que la anterior y la última horizontal. Cada lámina recibe luz polarizada a lo largo de la lámina anterior, a un ángulo $\pi /(2N)$ de su propio eje, así que deja pasar la fracción ${\cos }^2(\pi /2N)$, y
$I_N=I_1{\cos }^{2N}\left(\frac{\pi }{2N}\right)$
Tres láminas dejan pasar 21,1 W/m² y diez dejan pasar 39,0 W/m².

¿Por qué disminuye la pérdida al añadir láminas? Para un ángulo pequeño $x$, $\ln \cos x\approx -x^2/2$. Con $x=\pi /(2N)$, el logaritmo de ${\cos }^{2N}x$ vale aproximadamente $-N{x}^2=-{\pi }^2/(4N)$, así que
$I_N\approx I_1{e}^{-{\pi }^2/(4N)}\approx I_1\left(1-\frac{{\pi }^2}{4N}\right)$
Cada lámina quita solo una porción minúscula, del orden de $(\pi /2N{)}^2$, que disminuye como $1/N^2$; las $N$ porciones juntas forman una pérdida que disminuye como $1/N$.

Conservar el 90 %, es decir, 45 W/m², exige 24 láminas, que dejan pasar 45,1 W/m²; con 23 láminas se obtienen solo 44,9 W/m². Con infinitas láminas se arrastraría la polarización hasta la horizontal sin ninguna pérdida, un pariente clásico del efecto Zenón cuántico. Una lámina de media onda con su eje a $45^{\circ }$ hace todo el trabajo de una vez y deja pasar los 50 W/m², salvo pequeñas reflexiones en sus superficies, porque desplaza una fase en lugar de proyectar el campo.

Fotones y límites de validez

La ley de Malus se dedujo para ondas, pero la luz llega en forma de fotones, y los polarizadores y las superficies reales quedan por debajo de los ideales de arriba. Esta sección dice hasta dónde vale la imagen sencilla.

En términos cuánticos, la polarización de un fotón es un sistema de dos estados: dos amplitudes complejas hacen el papel de $a$, $b$ y $\delta$. Un polarizador que forma el ángulo $\theta$ con la polarización de un fotón lo deja pasar con probabilidad ${\cos }^2\theta$, y un fotón que pasa sale polarizado a lo largo del eje del polarizador. La ley de Malus es el promedio de un número enorme de sucesos de tipo sí o no: un haz de 50 W/m² de luz de 550 nm lleva unos $1,4\times 10^{20}$ fotones por segundo a través de cada metro cuadrado.

Las láminas polarizadoras reales dejan pasar solo entre el 38 y el 42 % de la luz no polarizada, y no el 50 % ideal, y un par cruzado deja escapar de $10^{-3}$ a $10^{-5}$ de ella (los polarizadores de cristal, de $10^{-5}$ a $10^{-6}$). Además, cada tipo funciona solo en una banda limitada de longitudes de onda. El cero de Brewster exige una superficie lisa, transparente e isótropa: las ondulaciones reparten los ángulos de incidencia, y los metales muestran solo un mínimo poco profundo de $R_p$, no un cero. Por último, el campo es puramente transversal solo en los haces anchos: la luz enfocada en una mancha de aproximadamente una longitud de onda de ancho gana una componente de campo a lo largo de su dirección de avance.

Lo que viene después

Ondas electromagnéticas muestra por qué la luz es transversal: en el espacio vacío, las ecuaciones de Maxwell no permiten ningún campo en la dirección de avance. Interferencia y superposición suma ondas con una diferencia de fase, igual que la figura 1 suma dos componentes perpendiculares; pero dos haces polarizados en ángulo recto no pueden interferir, así que unos polarizadores cruzados sobre las dos rendijas de Difracción y experimento de la doble rendija borran las franjas. Dualidad onda-corpúsculo presenta los propios fotones, cada uno de los cuales atraviesa un polarizador con la probabilidad ${\cos }^2\theta$ descrita más arriba.

Reflexión y refracción aporta las amplitudes de Fresnel que hay detrás del ángulo de Brewster, y Prismas, dispersión y color, la dispersión que hace azul el cielo. Las ondas gravitacionales de La gravedad como curvatura del espacio-tiempo también tienen dos polarizaciones, pero a $45^{\circ }$ una de otra y no a $90^{\circ }$. Una onda así estira el espacio a lo largo de un eje mientras lo comprime a lo largo del perpendicular. Girar ese patrón $90^{\circ }$ solo intercambia estiramiento y compresión, lo que da la misma polarización invertida; por eso la segunda polarización, independiente, es la girada $45^{\circ }$.