प्रकाश का ध्रुवण

प्रकाश का विद्युत क्षेत्र $E$ किरण-पुंज के आर-पार कंपन करता है; इस दिशा को ध्रुवण कहते हैं। एक ध्रुवक अध्रुवित प्रकाश का आधा, $I_{1} = I_{0} /2$ , पारित करता है; $θ$ कोण पर रखा दूसरा $I_{2} = I_{1} cos^{2} θ$ पारित करता है; और ब्रूस्टर कोण $θ_{B}$ के पास परावर्तित चकाचौंध ध्रुवित होती है: यही धूप के चश्मों, LCD स्क्रीन और 3D सिनेमा की भौतिकी है।

अध्रुवित प्रकाश एक स्थिर ध्रुवक और फिर धीरे-धीरे घूमते विश्लेषक से गुज़रता है: दोनों के आर-पार (क्रॉस) होने पर पर्दे तक पहुँचने वाला प्रकाश शून्य हो जाता है और फिर संरेखित होने पर लौट आता है।

इस विषय से पहले: परावर्तन और अपवर्तन

शुरुआती

मुख्य विचार

प्रकाश अनुप्रस्थ तरंग है; जिस दिशा में वह डोलता है वही उसका ध्रुवण है, और सामान्य प्रकाश में हर दिशा मिली होती है।
ध्रुवक फ़िल्टर केवल अपनी झिरियों के अनुदिश डोलन पारित करता है, इसलिए सामान्य प्रकाश लगभग आधा चमकीला बचता है।
दूसरा फ़िल्टर घुमाएँ: प्रकाश मंद होता है, और चौथाई घुमाव पर झिरियाँ आर-पार होने से लगभग कुछ नहीं निकलता।
पानी या गीली सड़क की चकाचौंध मुख्यतः आड़ी दिशा में डोलती है, इसलिए खड़ी झिरियों वाले चश्मे उसे घटा देते हैं।

चरण 1. एक कूदने की रस्सी को दरवाज़े के हैंडल से बाँधिए और अपने सिरे को झटका दीजिए। आप रस्सी को ऊपर-नीचे, दाएँ-बाएँ या बीच की किसी भी तिरछी रेखा में डुला सकते हैं, जबकि तरंग स्वयं हमेशा दरवाज़े की ओर चलती है। प्रकाश भी इसी अनुप्रस्थ प्रकार की तरंग है, और जिस दिशा में वह डोलता है उसे उसका ध्रुवण कहते हैं।

चरण 2. लैंप या सूर्य ऐसा प्रकाश भेजते हैं जिसकी डोलन-दिशा लगातार और यादृच्छिक रूप से बदलती रहती है, इसलिए उसमें हर दिशा मिली होती है। ऐसे प्रकाश को अध्रुवित कहते हैं। एनिमेशन में लैंप से निकलते पीले डोलन हर तरफ़ इशारा करते हैं।

चरण 3. ध्रुवक फ़िल्टर पतली झिरियों की पंक्ति जैसा व्यवहार करता है: वह डोलन का केवल वही भाग पारित करता है जो झिरियों के अनुदिश हो और बाक़ी को सोख लेता है। फ़िल्टर 1 के पीछे नीली तरंग केवल ऊपर-नीचे डोलती है, और लगभग आधा प्रकाश खो चुका होता है।

चरण 4. अब फ़िल्टर 2 को घूमते देखिए। जब तक उसकी झिरियाँ फ़िल्टर 1 की झिरियों से मेल खाती हैं, प्रकाश पारित होता है और पर्दे का धब्बा चमकीला रहता है। घूमने पर उसके पीछे की लाल तरंग छोटी होती जाती है; चौथाई घुमाव के बाद झिरियाँ आर-पार हो जाती हैं और पर्दा अँधेरा हो जाता है। घुमाते रहें तो प्रकाश लौट आता है।

चरण 5. झील या गीली सड़क से टकराकर लौटा सूर्य-प्रकाश मुख्यतः आड़ी दिशा में डोलता है। ध्रुवित धूप के चश्मों में खड़ी झिरियाँ होती हैं, इसलिए वे इस चकाचौंध का बड़ा भाग रोक देते हैं।

स्वयं जाँचिए: ध्रुवित चश्मा पहनकर आप किसी गड्ढे के पानी की चमक देखते हैं और फिर सिर को कंधे की ओर झुका लेते हैं। क्या होगा? (चकाचौंध लौट आती है: अब आपकी झिरियाँ आड़ी हैं और परावर्तित डोलन के अनुदिश हैं।)

मध्यम

मुख्य विचार

आदर्श ध्रुवक $I_{0}$ तीव्रता के अध्रुवित प्रकाश को $I_{1} = I_{0} /2$ तीव्रता के ध्रुवित प्रकाश में बदलता है।
अक्ष के अनुदिश घटक ही पारित होता है, $E_{2} = E_{1} cos θ$ ; अतः मैलस के नियम से $I_{2} = I_{1} cos^{2} θ$ ।
उदाहरण: $θ = 6 0^{\circ}$ पर $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ से $50 \times 0.25 = 12.5 W/ m^{2}$ मिलता है; $cos θ$ लेने पर 25 W/m² गलत आता।
ब्रूस्टर कोण पर, $tan θ_{B} = n_{2} / n_{1}$ (पानी के लिए लगभग $5 3^{\circ}$ ), परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित होता है: चकाचौंध मुख्यतः क्षैतिज है।

प्रकाश अनुप्रस्थ तरंग है

प्रकाश विद्युत चुंबकीय तरंग है: विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र साथ-साथ दोलन करते हैं, प्रत्येक एक-दूसरे के और किरण-पुंज के लंबवत। इसका ध्रुवण वह दिशा है जिसके अनुदिश $E$ दोलन करता है: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या बीच की कोई भी। वायु में ध्वनि अपनी गति की दिशा में कंपन करती है, इसलिए उसकी ऐसी कोई दिशा नहीं होती और उसे ध्रुवित नहीं किया जा सकता।

जिस प्रकाश का क्षेत्र एक ही दिशा रखता है, वह रैखिक ध्रुवित कहलाता है। सूर्य और लैंप का प्रकाश असंख्य परमाणुओं के स्वतंत्र उत्सर्जन से बनता है, इसलिए उसकी कंपन-दिशा यादृच्छिक रूप से, किसी भी उपकरण के अनुसरण से कहीं तेज़ बदलती है: वह अध्रुवित है। गीली सड़क की चकाचौंध और नीले आकाश का प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित होते हैं, यानी दोनों का मिश्रण।

आँख या प्रकाश-मापी तीव्रता $I$ दर्ज करता है, अर्थात प्रति एकांक क्षेत्रफल शक्ति, वाट प्रति वर्ग मीटर (W/m²) में। यह क्षेत्र के आयाम $E_{0}$ (वोल्ट प्रति मीटर में) के वर्ग के अनुपाती है:
$I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}$
जहाँ $c = 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ प्रकाश की चाल और $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ निर्वात की विद्युतशीलता है। आयाम आधा करने पर तीव्रता चौथाई रह जाती है।

ध्रुवक क्या करता है

ध्रुवक का एक पारगमन अक्ष होता है: वह उस अक्ष के अनुदिश $E$ का घटक पारित करता है और अक्ष के लंबवत घटक को सोख लेता है, इसलिए निकलने वाला प्रकाश अक्ष के अनुदिश रैखिक ध्रुवित होता है। सामान्य ध्रुवक शीट लंबी बहुलक श्रृंखलाओं की प्लास्टिक फ़िल्म होती है, जिसे खींचकर एक रेखा में किया जाता है और आयोडीन में भिगोया जाता है ताकि इलेक्ट्रॉन उनके अनुदिश गति कर सकें। श्रृंखलाओं के अनुदिश क्षेत्र धाराएँ चलाता है और सोख लिया जाता है, इसलिए पारगमन अक्ष श्रृंखलाओं के लंबवत होता है, न कि उनके अनुदिश जैसा बाड़ की सलाखों से लगता है; एनिमेशन की झिरियाँ अक्ष को दर्शाती हैं, अणुओं को नहीं।

अध्रुवित प्रकाश में सभी दिशाएँ समान मात्रा में होती हैं। अक्ष से $φ$ कोण वाली दिशा अपनी तीव्रता का $cos^{2} φ$ भाग बनाए रखती है, जिसका सभी दिशाओं पर औसत एक-आधा होता है, इसलिए आदर्श ध्रुवक को चाहे जैसे घुमाएँ, वह आधा प्रकाश पारित करता है। एनिमेशन में लैंप से $I_{0} = 100 W/ m^{2}$ फ़िल्टर 1 के पीछे $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ रह जाता है, और नीली तरंग केवल ऊपर-नीचे कंपन करती है।

मैलस का नियम

दूसरे ध्रुवक, विश्लेषक, का अक्ष उस तक पहुँचने वाले प्रकाश के ध्रुवण से $θ$ कोण पर है। एनिमेशन का सामने का दृश्य नीले क्षेत्र $E_{1}$ को दो भागों में बाँटता है: अक्ष के अनुदिश भाग, $E_{1} cos θ$ , लाल क्षेत्र $E_{2}$ के रूप में पारित होता है, और अक्ष के लंबवत भाग, $E_{1} sin θ$ , सोख लिया जाता है। आयाम का वर्ग तीव्रता देता है, इसलिए कार्य-समीकरण हैं:

$I_{1} = \frac{I _{0}}{2} (unpolarized light, ideal polarizer)$
$E_{2} = E_{1} cos θ$
$I_{2} = I_{1} cos^{2} θ (Malus’s law)$

अंतिम सूत्र का नाम एतिएन-लुई मैलस के नाम पर है, जिन्होंने 1808 में खोजा कि खिड़की से परावर्तित प्रकाश ध्रुवित होता है। सोखा गया भाग, $I_{1} sin^{2} θ$ , अंतर की पूर्ति करता है, क्योंकि $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ । $9 0^{\circ}$ पर फ़िल्टर आर-पार होते हैं और कुछ पारित नहीं होता, और चूँकि $18 0^{\circ}$ घुमाया गया अक्ष वही अक्ष है, यह पैटर्न हर आधे चक्कर पर दोहराया जाता है।

हल किया उदाहरण: एनिमेशन का विश्लेषक

फ़िल्टर 2 प्रति सेकंड 22.5° घूमता है, इसलिए 1, 2 और 3 s बाद $θ$ क्रमशः $22. 5^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ और $67. 5^{\circ}$ हो जाता है। $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ के साथ मैलस का नियम देता है
$I_{2} = 50 cos^{2} 22. 5^{\circ} = 50 \cdot 0.854 = 42.7 W/ m^{2}$
$I_{2} = 50 cos^{2} 4 5^{\circ} = 50 \cdot 0.500 = 25.0 W/ m^{2}$
$I_{2} = 50 cos^{2} 67. 5^{\circ} = 50 \cdot 0.146 = 7.3 W/ m^{2}$
और 4 s बाद $9 0^{\circ}$ पर शून्य। ये $I_{2}$ रीडआउट के मान हैं; लूप के दूसरे भाग में वे उल्टे क्रम में लौटते हैं।

तरंगों की तुलना रीडआउट से कीजिए। $4 5^{\circ}$ पर लाल तरंग का आयाम अब भी नीली तरंग का $cos 4 5^{\circ} = 0.71$ गुना है, फिर भी वह केवल आधी तीव्रता ले जाती है। $6 0^{\circ}$ पर, जो 2.7 s बाद आता है, आयाम आधा और तीव्रता चौथाई रह जाती है, $I_{2} = 50 \cdot 0.25 = 12.5 W/ m^{2}$ : क्षेत्र की इकाइयों में, $E_{1} = 2 I_{1} / (c ε_{0}) \approx 194 V/m$ घटकर $E_{2} \approx 97 V/m$ हो जाता है। सामने के दृश्य में हरा चाप $θ$ दर्शाता है जबकि लाल तीर $E_{2}$ छोटा होता जाता है।

हल किया उदाहरण: तीन ध्रुवक

दो आर-पार ध्रुवक, $0^{\circ}$ और $9 0^{\circ}$ पर, सब कुछ रोक देते हैं। इनके बीच पहले से $3 0^{\circ}$ पर तीसरा रखिए, $I_{0} = 100 W/ m^{2}$ का अध्रुवित प्रकाश भेजिए, और हमेशा पड़ोसी अक्षों के बीच का कोण लीजिए। पहला फ़िल्टर $100/2 = 50 W/ m^{2}$ पारित करता है। बीच वाला $50 cos^{2} 3 0^{\circ} = 37.5 W/ m^{2}$ पारित करता है, जो अब $3 0^{\circ}$ पर ध्रुवित है। अंतिम, जो $6 0^{\circ}$ आगे है, $37.5 cos^{2} 6 0^{\circ} = 9.4 W/ m^{2}$ पारित करता है।

किसी भी कोण $θ$ पर रखे बीच के ध्रुवक के लिए, अंतिम उससे $9 0^{\circ} - θ$ पर है, और $cos^{2} (9 0^{\circ} - θ) = sin^{2} θ$ :
$I_{3} = \frac{I _{0}}{2} cos^{2} θ sin^{2} θ (polarizers at 0^{\circ}, θ, 9 0^{\circ})$
यह $(I_{0} /8) sin^{2} 2 θ$ के बराबर है, जो $θ = 4 5^{\circ}$ पर अधिकतम है, जहाँ $I_{0} /8 = 12.5 W/ m^{2}$ निकलता है।

फ़िल्टर जोड़ने से वहाँ प्रकाश निकल आया जहाँ पहले कुछ नहीं था। बीच का फ़िल्टर कोई रिसाव नहीं खोलता: वह प्रकाश को अपने अक्ष के अनुदिश पुनः ध्रुवित करता है, जो अब अंतिम फ़िल्टर के समकोण पर नहीं रहता। प्रत्येक ध्रुवक क्षेत्र की दिशा को नए सिरे से तय कर देता है।

परावर्तन द्वारा ध्रुवण

पानी, काँच या सड़क से परावर्तित प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित होता है, जिसमें $E$ मुख्यतः सतह के समांतर होता है। ब्रूस्टर कोण $θ_{B}$ पर वह पूर्णतः ध्रुवित होता है:
$tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}} (Brewster’s angle)$
$θ_{B} + θ_{2} = 9 0^{\circ} (reflected ⊥ refracted)$
यहाँ $n_{1}$ उस माध्यम का अपवर्तनांक है जिससे प्रकाश आता है, $n_{2}$ परावर्तक माध्यम का, और $θ_{2}$ अपवर्तन कोण है: तब परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत होती हैं।

वायु से पानी ( $n = 1.33$ ) में, $θ_{B} = arctan 1.33 = 53. 1^{\circ}$ और $θ_{2} = 36. 9^{\circ}$ ; काँच ( $n = 1.50$ ) के लिए $θ_{B} = 56. 3^{\circ}$ । जब सूर्य शांत झील से $36. 9^{\circ}$ ऊपर होता है, तो उसका प्रकाश पानी से ठीक $53. 1^{\circ}$ पर टकराता है, और चकाचौंध क्षैतिज रूप से ध्रुवित होती है। ऊर्ध्वाधर पारगमन अक्ष वाले धूप के चश्मे उसे रोक देते हैं, जबकि दृश्य के शेष, मुख्यतः अध्रुवित भाग का प्रकाश केवल आधा होता है।

सामान्य गलतियाँ

$cos^{2} θ$ की जगह $cos θ$ का उपयोग। $6 0^{\circ}$ पर आयाम आधा पर तीव्रता चौथाई होती है: $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ से 25 W/m² नहीं, 12.5 W/m² मिलता है।
मैलस का नियम अध्रुवित प्रकाश पर लगाना, या पहले फ़िल्टर पर गुणक $\frac{1}{2}$ भूल जाना: इसके बिना तीन ध्रुवकों का उत्तर दोगुना होकर 18.75 W/m² हो जाता है।
हर कोण पहले फ़िल्टर से मापना। पड़ोसी अक्षों के बीच का कोण लीजिए: तीन ध्रुवकों में अंतिम बीच वाले से $6 0^{\circ}$ पर है, और $9 0^{\circ}$ लेने पर गलत रूप से शून्य आता।
बाड़ की सलाखों की उपमा को शब्दशः लेना। ध्रुवक शीट अपनी श्रृंखलाओं के अनुदिश क्षेत्र को सोखती है, और तार-जाली अपने तारों के अनुदिश क्षेत्र को परावर्तित करती है, इसलिए पारगमन अक्ष उनके लंबवत होता है।
ब्रूस्टर कोण के लिए स्पर्शज्या की जगह ज्या लेना: $sin θ_{B} = 1.33$ का कोई हल नहीं है, और $arcsin (1/1.33) = 48. 8^{\circ}$ पानी से बाहर निकलते प्रकाश का क्रांतिक कोण है, जो एक भिन्न प्रभाव है।

यह कहाँ मिलता है

धूप के चश्मों और कैमरों पर लगे ध्रुवक फ़िल्टर पानी और दुकान की खिड़कियों से परावर्तन घटाते हैं और नीले आकाश को गहरा करते हैं, जिसका प्रकाश प्रकीर्णन से आंशिक ध्रुवित होता है, सूर्य से $9 0^{\circ}$ पर सबसे अधिक; मधुमक्खियाँ इसी पैटर्न से दिशा पहचानती हैं। LCD स्क्रीन में दो ध्रुवकों के बीच द्रव क्रिस्टल होता है, और प्रत्येक पिक्सेल ध्रुवण को कितना घुमाता है उसी से अपनी चमक तय करता है, इसलिए ध्रुवित चश्मे से देखा फ़ोन एक विशेष झुकाव पर काला पड़ जाता है। 3D सिनेमा दोनों आँखों के चित्र भिन्न ध्रुवणों में भेजते हैं, और इंजीनियर आर-पार ध्रुवकों के बीच प्लास्टिक मॉडलों में प्रतिबल को रंगीन फ्रिंजों के रूप में देखते हैं।

परावर्तन और अपवर्तन ने यहाँ प्रयुक्त कोण दिए। विद्युत चुंबकीय तरंगें बताती हैं कि प्रकाश अनुप्रस्थ क्यों है और $I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}$ कहाँ से आता है, और तरंग-कण द्वैतता फ़ोटॉनों का परिचय देती है, जिनके लिए मैलस का नियम पार होने की प्रायिकता $cos^{2} θ$ बन जाता है।

उन्नत

मुख्य विचार

$E_{x} = a cos ω t$ , $E_{y} = b cos (ω t + δ)$ दीर्घवृत्त बनाते हैं: $δ = 0$ रैखिक, $a = b$ और $δ = \pm π /2$ वृत्तीय ध्रुवण देता है।
अध्रुवित प्रकाश वह है जिसका ध्रुवण किसी भी संसूचक से तेज़ भटकता है; $cos^{2} φ$ का माध्य $\frac{1}{2}$ है, अतः $I_{1} = I_{0} /2$ ।
ध्रुवक प्रक्षेपित करता है: $I_{2} = I_{1} cos^{2} θ$ हर फ़ोटॉन की प्रायिकता है, अतः आर-पार ध्रुवकों के बीच $4 5^{\circ}$ की शीट $I_{0} /8$ पारित करती है।
द्विध्रुव अपने अक्ष के अनुदिश विकिरण नहीं करते, अतः $tan θ_{B} = n_{2} / n_{1}$ पर केवल आपतन तल के लंबवत ध्रुवित प्रकाश परावर्तित होता है।

द्वि-विमीय दोलित्र के रूप में क्षेत्र

ध्रुवण बताता है कि प्रकाश-तरंग का विद्युत क्षेत्र किरण-पुंज के आर-पार कैसे गति करता है। इस पाठ का प्रत्येक ध्रुवक, परावर्तक सतह और क्रिस्टल उसी गति पर क्रिया करता है, इसलिए हम पहले उसका स्पष्ट चित्र बनाते हैं।

$z$ अक्ष के अनुदिश चलती तरंग लीजिए। इसका विद्युत क्षेत्र $E$ किरण-पुंज के आर-पार, $x y$ तल में है, इसलिए इसके दो घटक हैं, $E_{x}$ और $E_{y}$ । दोनों प्रकाश की कोणीय आवृत्ति $ω$ पर दोलन करते हैं, पर प्रत्येक का अपना आयाम है, $E_{x}$ का $a$ और $E_{y}$ का $b$ , और $E_{y}$ , $E_{x}$ से कला-अंतर $δ$ आगे चल सकता है। किरण-पुंज के एक स्थिर बिंदु पर,
$E_{x} = a cos ω t, E_{y} = b cos (ω t + δ)$
दोनों घटक एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, इसलिए क्षेत्र द्वि-विमीय दोलित्र की तरह व्यवहार करता है, जैसे लोलक का गोलक किसी भी दिशा में आगे-पीछे या दीर्घवृत्त में घूम सकता है।

चित्र 1 इस गति को दो तरह से दिखाता है। बाईं ओर किरण-पुंज के आर-पार का तल है। हर क्षण $E$ की नोक बिंदु $(E_{x}, E_{y})$ पर होती है, इसलिए दोनों घटक तीर की अक्षों पर पड़ी छायाएँ हैं। चूँकि $E_{x}$ कभी $a$ से और $E_{y}$ कभी $b$ से अधिक नहीं होता, नोक $2 a$ चौड़ाई और $2 b$ ऊँचाई वाले आयत के भीतर रहती है; और चूँकि प्रत्येक घटक प्रति चक्र एक बार शिखर पर पहुँचता है, वक्र उस आयत की चारों भुजाओं को छूता है। दाईं ओर वही दोनों घटक कला $ω t$ के विरुद्ध खींचे गए हैं। यहाँ $δ = 6 0^{\circ}$ है, इसलिए $E_{y}$ का प्रत्येक शिखर $E_{x}$ के संगत शिखर से कला $δ$ पहले आता है। दोनों वक्रों पर बिंदु वह क्षण दर्शाते हैं जो बाईं ओर बना है।

वक्र का आकार जानने के लिए समय हटाइए। कोज्या का प्रसार करने पर $E_{y} / b = cos ω t cos δ - sin ω t sin δ$ मिलता है। पहला समीकरण कहता है $cos ω t = E_{x} / a$ , इसलिए $sin ω t sin δ = (E_{x} / a) cos δ - E_{y} / b$ । दोनों पक्षों का वर्ग करके $sin^{2} ω t$ को $1 - E_{x}^{2} / a^{2}$ से बदलने पर शेष रहता है
$\frac{E _{x}^{2}}{a ^{2}} + \frac{E _{y}^{2}}{b ^{2}} - \frac{2 E _{x} E _{y}}{ab} cos δ = sin^{2} δ$

यह दीर्घवृत्त का समीकरण है। अतः सामान्यतः $E$ की नोक $2 a$ गुणा $2 b$ के आयत के भीतर दीर्घवृत्त खींचती है, और तीन संख्याएँ $a$ , $b$ और $δ$ उसका आकार, रूप और झुकाव तय करती हैं।

दो विशेष स्थितियों के नाम हैं। $δ = 0$ के लिए दायाँ पक्ष शून्य है और बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग है, $(E_{x} / a - E_{y} / b)^{2} = 0$ , अतः $E_{y} = (b / a) E_{x}$ : दीर्घवृत्त $x$ अक्ष से $arctan (b / a)$ पर सीधी रेखा में सिकुड़ जाता है। यह रैखिक ध्रुवण है। $δ = π$ के लिए गुणन-पद का चिह्न पलट जाता है और रेखा $- arctan (b / a)$ पर होती है। चित्र 1 के दाएँ भाग में तब दोनों वक्र साथ-साथ ( $δ = 0$ ) या विपरीत ( $δ = π$ ) चढ़ते-उतरते।

$a = b$ और $δ = \pm π /2$ के लिए गुणन-पद लुप्त हो जाता है और समीकरण $E_{x}^{2} + E_{y}^{2} = a^{2}$ बन जाता है: नोक वृत्त में घूमती है, और प्रकाश वृत्तीय ध्रुवित है। तब दोनों वक्र चौथाई चक्र के अंतर पर होते हैं, और $δ$ के दो चिह्न नोक को विपरीत दिशाओं में घुमाते हैं। शेष हर स्थिति दीर्घवृत्तीय ध्रुवण है। घूर्णन-दिशा को बाएँ या दाएँ कहने की दो विपरीत परिपाटियाँ हैं, इसलिए हमेशा बताइए कि आप किरण-पुंज के अनुदिश देख रहे हैं या स्रोत की ओर।

ध्रुवण तरंग की ऊर्जा की मात्रा नहीं बदलता। तीव्रता $E_{x}^{2} + E_{y}^{2}$ के औसत के अनुपाती है, और प्रत्येक $cos^{2}$ का एक चक्र में औसत, कला जो भी हो, एक-आधा होता है। अतः हर $δ$ के लिए $I = \frac{1}{2} c ε_{0} (a^{2} + b^{2})$ : ध्रुवण केवल यह तय करता है कि क्षेत्र दोनों घटकों में कैसे बँटा है। चुंबकीय क्षेत्र, जिसका परिमाण $E / c$ है, $E$ के लंबवत बँधा रहता है, इसलिए वह कोई अतिरिक्त सूचना नहीं देता। इलेक्ट्रॉनों को $E$ ही धकेलता है, इसीलिए ध्रुवक और सतहें उसकी दिशा पर प्रतिक्रिया करती हैं, और इसीलिए "ध्रुवण" का अर्थ सदा विद्युत क्षेत्र की दिशा है।

प्रक्षेप के रूप में ध्रुवक

ध्रुवक वह फ़िल्टर है जो क्षेत्र की केवल एक दिशा पारित करता है। इसे प्रक्षेप मानने से ठीक-ठीक पता चलता है कि कितना प्रकाश पारित होता है, और दो आर-पार ध्रुवक अँधेरा क्यों देते हैं।

चित्र 2 का बायाँ भाग तार-जालीदार ध्रुवक को सामने से दिखाता है: समांतर धातु के तार, जिनके बीच की दूरी एक तरंगदैर्घ्य से बहुत कम है। इसका पारगमन अक्ष, इकाई सदिश $\overset{u}{^}$ , तारों के आर-पार है। आने वाला क्षेत्र $E_{1}$ , $\overset{u}{^}$ से $θ$ कोण बनाता है, इसलिए दो भागों में बँटता है। तारों के अनुदिश भाग, परिमाण $E_{1} sin θ$ , तारों में ऊपर-नीचे इलेक्ट्रॉन चलाता है। इससे बनी धाराएँ ऐसा क्षेत्र विकिरित करती हैं जो जाली के पार इस भाग को निरस्त कर देता है और उसे परावर्तित तरंग के रूप में लौटा देता है। $\overset{u}{^}$ के अनुदिश भाग, परिमाण $E_{1} cos θ$ , को इलेक्ट्रॉन तारों के आर-पार चलाने पड़ते, जहाँ वे दूर तक नहीं जा सकते, इसलिए वह लगभग अप्रभावित क्षेत्र $E_{2}$ के रूप में, यानी क्षैतिज तीर के रूप में, पारित हो जाता है। शीट ध्रुवक भी इसी तरह काम करता है, बस तारों की जगह आयोडीन-मिश्रित लंबी बहुलक श्रृंखलाएँ होती हैं; श्रृंखलाएँ रोके गए भाग को परावर्तित करने के बजाय सोख लेती हैं।

दोनों में ध्रुवक क्षेत्र का अपने पारगमन अक्ष पर प्रक्षेप रखता है:
$E_{2} = (E_{1} \cdot \overset{u}{^}) \overset{u}{^}, E_{2} = E_{1} cos θ$
तीव्रता क्षेत्र-आयाम के वर्ग के अनुसार चलती है, इसलिए पारित तीव्रता है
$I_{2} = I_{1} cos^{2} θ = \frac{1}{2} I_{1} (1 + cos 2 θ)$
यही मैलस का नियम है। दूसरा रूप, $cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + cos 2 θ)$ से, दिखाता है कि वक्र हर $18 0^{\circ}$ पर दोहराया जाता है: आधा चक्कर घुमाया अक्ष वही अक्ष है। शेष प्रकाश, $I_{1} sin^{2} θ$ , सोख लिया जाता है या परावर्तित हो जाता है।

चित्र 2 का दायाँ भाग $I_{2}$ को $θ$ के विरुद्ध खींचता है। ऊपर की बिंदीदार रेखा $I_{1}$ दर्शाती है, और बिंदु बाईं ओर बना कोण दर्शाता है। एनिमेशन में फ़िल्टर 1 $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ देता है और विश्लेषक एकसमान घूमता है, इसलिए इस स्तर का ग्राफ़ वही वक्र खींचता है: $θ = 0$ पर 50 W/m², $4 5^{\circ}$ पर 25 W/m², $9 0^{\circ}$ पर शून्य और $18 0^{\circ}$ पर फिर 50 W/m²।

ढलान बताती है कि ध्रुवण के छोटे घुमाव पर पाठ्यांक कितनी तीव्रता से प्रतिक्रिया करता है: $d I_{2} / d θ = - I_{1} sin 2 θ$ । यह $4 5^{\circ}$ और $13 5^{\circ}$ पर सबसे तीव्र है, जहाँ यह 50 W/m² प्रति रेडियन, या 0.87 W/m² प्रति डिग्री है। ध्रुवण के छोटे घूर्णन को पहचानने के लिए ये सर्वोत्तम स्थितियाँ हैं।

$9 0^{\circ}$ पर, ध्रुवक आर-पार होने पर, वक्र शून्य ढलान के साथ शून्य को छूता है। आर-पार स्थिति से छोटे कोण $ϵ$ (रेडियन में) पर रखा विश्लेषक $I_{1} sin^{2} ϵ \approx I_{1} ϵ^{2}$ पारित करता है। एक डिग्री पर $I_{1}$ का केवल $3 \times 1 0^{- 4}$ निकलता है, और आर-पार स्थिति के $5. 7^{\circ}$ के भीतर कहीं भी 1 % से कम निकलता है; इसीलिए एनिमेशन का पर्दा 3.74 s से 4.26 s तक अँधेरा रहता है। ऐसे सपाट न्यूनतम को आँख से ठीक पकड़ना कठिन है, इसलिए शून्य-बिंदु को दो स्थितियों के मध्य-बिंदु के रूप में पाना सर्वोत्तम है, प्रत्येक एक ओर, जो समान चमकीली दिखें।

अध्रुवित प्रकाश

लैंप या सूर्य का प्रकाश कोई विशेष दिशा नहीं दिखाता: एकल ध्रुवक को चाहे जैसे घुमाएँ, वह उतना ही प्रकाश पारित करता है। यह खंड बताता है कि ऐसा क्यों है, और वह मात्रा ठीक आधी क्यों होती है।

ऐसा स्रोत स्वतंत्र उत्सर्जकों की भीड़ है, जिनमें प्रत्येक यादृच्छिक रूप से शुरू और बंद होता है। दृश्य सूर्य-प्रकाश 400 से 700 nm तक फैला है, यानी आवृत्ति में लगभग $3 \times 1 0^{14} Hz$ का विस्तार। इतने विस्तार वाली तरंग एक दीर्घवृत्त को केवल लगभग विस्तार के व्युत्क्रम के बराबर समय, करीब 3 fs, तक बनाए रखती है, फिर उसके क्षेत्र की दिशा और कला नए मानों पर चली जाती है। कोई संसूचक इतना तेज़ नहीं है, इसलिए प्रत्येक मापन क्षेत्र की सभी दिशाओं $φ$ पर औसत लेता है। ध्रुवक प्रत्येक दिशा का $cos^{2} φ$ अंश पारित करता है, और पूरे चक्कर पर औसत है
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} cos^{2} φ d φ = \frac{1}{2}$
अतः ध्रुवक अध्रुवित प्रकाश का आधा, $I_{1} = I_{0} /2$ , पारित करता है, चाहे वह किसी भी ओर हो। एनिमेशन में यही फ़िल्टर 1 के पीछे का 50 W/m² है, जहाँ लैंप $I_{0} = 100 W/ m^{2}$ देता है। एनिमेशन प्राकृतिक प्रकाश को ठीक इसी तरह दर्शाता है, जिसमें प्रत्येक अर्ध-तरंग यादृच्छिक दिशा में कंपन करती है।

इसलिए "अध्रुवित" सांख्यिकी का वर्णन है, किसी विशेष प्रकार की तरंग का नहीं। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर प्रकाश का समान यादृच्छिक मिश्रण हर प्रयोग में वही परिणाम देता है जो बाएँ और दाएँ वृत्तीय प्रकाश का समान यादृच्छिक मिश्रण देता है, इसलिए दोनों को अलग नहीं पहचाना जा सकता। चार मापने योग्य तीव्रताएँ, स्टोक्स प्राचल, किसी भी किरण-पुंज के ध्रुवण का पूर्ण वर्णन करती हैं, चाहे वह ध्रुवित हो, अध्रुवित हो या बीच की स्थिति में।

आंशिक ध्रुवित प्रकाश

अधिकांश वास्तविक प्रकाश न पूर्णतः ध्रुवित होता है, न पूर्णतः अध्रुवित। घूमता विश्लेषक दिखाता है कि किरण-पुंज में दोनों प्रकार कितने हैं।

**चित्र 3.** घूमते विश्लेषक के पीछे आंशिक ध्रुवित प्रकाश: आधार-स्तर $\frac{1}{2} I_{u}$ पर ऊँचाई $I_{p}$ का $cos^{2} θ$ झूला, $I_{m i n}$ और $I_{m a x}$ के बीच। वक्र कभी शून्य नहीं छूता। $I_{u} = 60$ और $I_{p} = 40$ ( $W/ m^{2}$ में) के लिए।

ऐसे किरण-पुंज को तीव्रता $I_{u}$ वाले अध्रुवित भाग और तीव्रता $I_{p}$ वाले ध्रुवित भाग के योग के रूप में मानिए। दोनों भाग स्वतंत्र हैं, इसलिए उनकी तीव्रताएँ सीधे जुड़ती हैं। चित्र 3 दिखाता है कि विश्लेषक कोण $θ$ से घूमते हुए, जो ध्रुवित भाग की दिशा से मापा गया है, क्या पारित करता है; यह W/m² में $I_{u} = 60$ और $I_{p} = 40$ के लिए बना है।

पहले वक्र के निचले स्तर को देखिए। अध्रुवित भाग $θ$ चाहे जो हो सदा अपना आधा, $\frac{1}{2} I_{u}$ , पारित करता है, इसलिए वक्र इस स्तर से नीचे नहीं जाता। इस स्तर के ऊपर ध्रुवित भाग है, जो मैलस के नियम का पालन करता है और $I_{p} cos^{2} θ$ जोड़ता है, वही उतार-चढ़ाव जो चित्र 2 में था। मिलाकर,
$I (θ) = \frac{1}{2} I_{u} + I_{p} cos^{2} θ$
वक्र $I_{m a x} = \frac{1}{2} I_{u} + I_{p}$ के बीच झूलता है, जब विश्लेषक ध्रुवित भाग के अनुदिश हो, और $I_{m i n} = \frac{1}{2} I_{u}$ के बीच, जब वह उसके आर-पार हो, और कभी शून्य तक नहीं पहुँचता।

झूले की गहराई बताती है कि किरण-पुंज कितना ध्रुवित है। ध्रुवण की मात्रा है
$P = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}} = \frac{I _{p}}{I _{u} + I _{p}}$
क्योंकि दोनों पाठ्यांकों का अंतर $I_{p}$ है और उनका योग $I_{u} + I_{p}$ । यह कुल तीव्रता का ध्रुवित अंश है: अध्रुवित प्रकाश के लिए 0, पूर्ण ध्रुवित प्रकाश के लिए 1। चित्र 3 के किरण-पुंज के लिए विश्लेषक 30 और 70 W/m² के बीच पढ़ता है, अतः $P = (70 - 30) / (70 + 30) = 0.4$ ।

परावर्तन ध्रुवित क्यों करता है

पानी या काँच की चकाचौंध प्रबल ध्रुवित होती है, और एक आपतन कोण पर पूर्णतः। कारण यह है कि सतह के इलेक्ट्रॉन कैसे विकिरण करते हैं।

चित्र 4 में प्रकाश अपवर्तनांक $n_{1}$ के माध्यम (वायु) से आता है और अपवर्तनांक $n_{2}$ के दूसरे माध्यम (पानी) से मिलता है। आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $θ_{B}$ है, परावर्तन कोण वही है, और अपवर्तित किरण कोण $θ_{2}$ पर निकलती है; तीनों अभिलंब, यानी बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा, से मापे गए हैं। परावर्तित प्रकाश गेंद की तरह सतह से नहीं टकराता: उसे दूसरे माध्यम के इलेक्ट्रॉन विकिरित करते हैं। उन इलेक्ट्रॉनों को अपवर्तित तरंग चलाती है, इसलिए वे उसके क्षेत्र के अनुदिश दोलन करते हैं, जो सदा अपवर्तित किरण के आर-पार होता है।

अब प्रकाश को उसके दो ध्रुवणों में बाँटिए। s प्रकाश के लिए, जो आपतन तल (पृष्ठ) के आर-पार ध्रुवित है, क्षेत्र पृष्ठ से बाहर की ओर है, जिसे $s$ लिखे बिंदु वाले छल्ले से दिखाया गया है। तब इलेक्ट्रॉन सतह के समांतर और परावर्तित किरण के आर-पार दोलन करते हैं, इसलिए वे उसकी ओर बिना बाधा विकिरण करते हैं। p प्रकाश के लिए, जो आपतन तल में ध्रुवित है, इलेक्ट्रॉन पृष्ठ में, अपवर्तित किरण के आर-पार, $p$ लिखे दोहरे तीर के अनुदिश दोलन करते हैं।

दोलायमान द्विध्रुव का एक तथ्य बात तय कर देता है: वह $sin^{2} α$ के अनुपात में विकिरण करता है, जहाँ $α$ उसके अक्ष से मापा जाता है, इसलिए वह उस अक्ष के अनुदिश कुछ नहीं भेजता। ब्रूस्टर कोण पर परावर्तित किरण अपवर्तित किरण के समकोण पर होती है, जैसा चित्र का $9 0^{\circ}$ चिह्न दिखाता है। तब दोहरा तीर $p$ , जो अपवर्तित किरण के आर-पार है, ठीक परावर्तित दिशा के अनुदिश इंगित करता है: वह छोटी बिंदीदार रेखा के समांतर है, जो परावर्तित किरण के समांतर चलती है। p इलेक्ट्रॉनों को अपने ही अक्ष के अनुदिश विकिरण करना पड़ता, जो वे नहीं कर सकते, इसलिए कोई p प्रकाश परावर्तित नहीं होता।

समकोण का अर्थ है $θ_{B} + θ_{2} = 9 0^{\circ}$ , अतः $sin θ_{2} = cos θ_{B}$ । इसे स्नेल के नियम, $n_{1} sin θ_{B} = n_{2} sin θ_{2}$ , में रखने पर $n_{1} sin θ_{B} = n_{2} cos θ_{B}$ मिलता है, अर्थात
$tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$
चित्र 4 $n_{2} / n_{1} = 4/3$ के लिए बना है, वायु में पानी, जिससे $θ_{B} = 53. 1^{\circ}$ और $θ_{2} = 36. 9^{\circ}$ मिलता है।

द्विध्रुव चित्र शून्य की व्याख्या करता है; पूरी कहानी मैक्सवेल के समीकरण देते हैं। पारदर्शी, अचुंबकीय सतह के लिए दोनों ध्रुवणों के परावर्तित तीव्रता अंश, यानी परावर्तनांक, हैं
$R_{s} = \frac{s i n ^{2} ( θ _{1} - θ _{2} )}{s i n ^{2} ( θ _{1} + θ _{2} )}, R_{p} = \frac{t a n ^{2} ( θ _{1} - θ _{2} )}{t a n ^{2} ( θ _{1} + θ _{2} )}$
जहाँ $θ_{1}$ आपतन कोण है। $R_{p}$ तब शून्य होता है जब $θ_{1} + θ_{2} = 9 0^{\circ}$ , क्योंकि हर की स्पर्शज्या अनंत हो जाती है: वही प्रतिबंध जो द्विध्रुव तर्क ने दिया था। $R_{s}$ कभी शून्य नहीं होता, इसलिए ब्रूस्टर कोण पर परावर्तित प्रकाश शुद्ध s प्रकाश होता है।

ब्रूस्टर कोण पर पानी के लिए, $θ_{1} - θ_{2} = 16. 3^{\circ}$ और $θ_{1} + θ_{2} = 9 0^{\circ}$ , अतः $R_{s} = sin^{2} 16. 3^{\circ} = 0.078$ । अध्रुवित सूर्य-प्रकाश आधा s प्रकाश है, इसलिए वह अपनी तीव्रता का $\frac{1}{2} R_{s}$ , यानी 3.9 %, ऐसी चकाचौंध में खो देता है जो पूर्णतः s-ध्रुवित है; झील पर इसका अर्थ क्षैतिज है। काँच ( $n_{2} / n_{1} = 1.5$ ) के लिए यही चरण $R_{s} = 0.148$ और 7.4 % की हानि देते हैं। ब्रूस्टर कोण से दूर चकाचौंध केवल आंशिक ध्रुवित होती है: पानी पर $3 0^{\circ}$ आपतन पर $R_{s} = 0.031$ और $R_{p} = 0.012$ , अतः परावर्तित प्रकाश में $P = (R_{s} - R_{p}) / (R_{s} + R_{p}) = 0.44$ ।

गैस लेज़र इस शून्य का उपयोग करते हैं। उनकी नलियों की खिड़कियाँ ब्रूस्टर कोण पर झुकी होती हैं, इसलिए p प्रकाश उनसे आगे-पीछे बिना परावर्तन हानि के गुज़रता है, जबकि s प्रकाश हर बार थोड़ा खोता है; केवल p प्रकाश प्रबल होता है, और लेज़र रैखिक ध्रुवित प्रकाश उत्सर्जित करता है। आकाश का प्रकाश भी इसी कारण ध्रुवित है: सूर्य-प्रकाश को प्रकीर्णित करने वाले वायु के अणु द्विध्रुव हैं जिन्हें सूर्य की किरणों के आर-पार चलाया जाता है, और द्विध्रुव अपने अक्ष के अनुदिश कुछ नहीं भेजता। ध्रुवण सूर्य से $9 0^{\circ}$ पर सबसे प्रबल होता है, पर एक से अधिक बार प्रकीर्णित प्रकाश साफ़ आकाश में भी $P$ को लगभग 0.7 से 0.8 से नीचे रखता है।

द्विअपवर्तन और तरंग-पट्टिकाएँ

कुछ क्रिस्टल ध्रुवण को केवल छानने से अधिक करते हैं: वे एक ध्रुवण को दूसरे से अधिक धीमा कर देते हैं। इससे हम चित्र 1 का कला-अंतर $δ$ बदल सकते हैं, और इस तरह दीर्घवृत्त को इच्छानुसार नया आकार दे सकते हैं।

जिस क्रिस्टल की संरचना एक दिशा से दूसरी में भिन्न होती है, उसमें अपवर्तनांक ध्रुवण पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए कैल्साइट के दो अपवर्तनांक 1.658 और 1.486 हैं। कैल्साइट क्रिस्टल में प्रवेश करता किरण-पुंज सामान्यतः समकोण पर ध्रुवित दो किरण-पुंजों में बँट जाता है, इसलिए क्रिस्टल से देखी छपाई दोहरी दिखती है। इस विभाजन को द्विअपवर्तन (birefringence) कहते हैं।

तरंग-पट्टिका ऐसे क्रिस्टल की मोटाई $d$ की पतली पट्टी है, जिसे इस प्रकार काटा गया है कि उसका प्रकाशिक अक्ष (क्रिस्टल की विशेष दिशा) पट्टिका के तल में रहे। अभिलंबवत आपतन पर अक्ष के अनुदिश ध्रुवित प्रकाश और अक्ष के आर-पार ध्रुवित प्रकाश तब एक ही पथ पर चलते हैं, पर भिन्न चालों से। मोटाई $d$ में एक प्रकाश दूसरे से प्रकाशिक पथ $Δ n d$ पीछे रह जाता है, जहाँ $Δ n$ दोनों अपवर्तनांकों का अंतर है। कला के रूप में, $λ$ को निर्वात में तरंगदैर्घ्य लेने पर, यह है
$δ = \frac{2 π Δ n d}{λ}$
अतः पट्टिका दीर्घवृत्त के $δ$ में इतनी मात्रा जोड़ देती है।

चौथाई-तरंग पट्टिका $δ = π /2$ देती है। इसका अक्ष रैखिक ध्रुवण से $4 5^{\circ}$ पर हो तो वह क्षेत्र को दो बराबर घटकों, $a = b$ , में बाँटती है और उन्हें चौथाई चक्र के अंतर पर रखती है: चित्र 1 की स्थितियों के अनुसार यह वृत्तीय प्रकाश है। इसकी मोटाई $d = λ / (4Δ n)$ है; क्वार्ट्ज़ में, $Δ n \approx 0.009$ के साथ, 550 nm प्रकाश के लिए यह केवल लगभग 15 μm है। अर्ध-तरंग पट्टिका ( $δ = π$ ) अपने अक्ष के आर-पार वाले घटक को उलट देती है, इसलिए अक्ष से कोण $α$ पर रैखिक ध्रुवण $- α$ पर निकलता है। वह $2 α$ घूम गया है, और कुछ सोखा नहीं गया। 3D-सिनेमा के चश्मे चौथाई-तरंग पट्टिका को रैखिक ध्रुवक के साथ जोड़ते हैं ताकि वृत्तीय प्रकाश की केवल एक दिशा पारित हो, इसलिए सिर झुकाने पर भी बाएँ और दाएँ चित्र अलग रहते हैं।

हल किया प्रश्न: ध्रुवण को घुमाना

ध्रुवक ध्रुवण को रोक ही नहीं, घुमा भी सकते हैं, पर तीव्रता की कीमत पर। यह प्रश्न वह कीमत और उसे घटाने का तरीका निकालता है।

एनिमेशन में फ़िल्टर 1 से निकला प्रकाश ऊर्ध्वाधर है, जिसकी $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ है। केवल ध्रुवकों से इसका कितना भाग क्षैतिज बनाया जा सकता है?

एकल क्षैतिज शीट कुछ पारित नहीं करती, क्योंकि $θ = 9 0^{\circ}$ । उसके सामने $4 5^{\circ}$ पर एक अतिरिक्त शीट रखिए। तब प्रत्येक शीट अपने तक पहुँचने वाले ध्रुवण से $4 5^{\circ}$ पर है और अंश $cos^{2} 4 5^{\circ} = 1/2$ पारित करती है, इसलिए $50 cos^{4} 4 5^{\circ} = 12.5 W/ m^{2}$ क्षैतिज निकलता है। लैंप के $I_{0} = 100 W/ m^{2}$ से गिनें तो यह परिचित तीन-ध्रुवक स्थिति का $I_{0} /8$ है।

अब $N$ शीटें लीजिए, प्रत्येक पिछली से $9 0^{\circ} / N$ और घुमाई हुई, अंतिम क्षैतिज। प्रत्येक शीट को पिछली शीट के अनुदिश ध्रुवित प्रकाश मिलता है, जो उसके अपने अक्ष से कोण $π / (2 N)$ पर है, इसलिए वह अंश $cos^{2} (π /2 N)$ पारित करती है, और
$I_{N} = I_{1} cos^{2 N} (\frac{π}{2 N})$
तीन शीटें 21.1 W/m² पारित करती हैं, दस शीटें 39.0 W/m²।

शीटें बढ़ाने पर हानि घटती क्यों है? छोटे कोण $x$ के लिए $ln cos x \approx - x^{2} /2$ । $x = π / (2 N)$ लेने पर $cos^{2 N} x$ का लघुगणक लगभग $- N x^{2} = - π^{2} / (4 N)$ है, अतः
$I_{N} \approx I_{1} e^{- π^{2} / (4 N)} \approx I_{1} (1 - \frac{π ^{2}}{4 N})$
प्रत्येक शीट बस एक बारीक परत हटाती है, जिसकी कोटि $(π /2 N)^{2}$ है और जो $1/ N^{2}$ की तरह घटती है; ये $N$ परतें मिलकर ऐसी हानि बनाती हैं जो $1/ N$ की तरह गिरती है।

90 %, यानी 45 W/m², बनाए रखने के लिए 24 शीटें चाहिए, जो 45.1 W/m² पारित करती हैं; 23 शीटें केवल 44.9 W/m² देती हैं। अनंत शीटें बिना किसी हानि के ध्रुवण को घुमा लातीं, जो क्वांटम ज़ीनो प्रभाव का चिरसम्मत संबंधी है। $4 5^{\circ}$ अक्ष वाली अर्ध-तरंग पट्टिका पूरा काम एक चरण में कर देती है और सारा 50 W/m² पारित करती है, सतहों पर छोटे परावर्तनों को छोड़कर, क्योंकि वह क्षेत्र का प्रक्षेप लेने के बजाय कला खिसकाती है।

फ़ोटॉन और वैधता की सीमाएँ

मैलस का नियम तरंगों के लिए निकाला गया था, पर प्रकाश फ़ोटॉनों के रूप में आता है, और वास्तविक ध्रुवक तथा सतहें ऊपर के आदर्शों से कमतर रहती हैं। यह खंड बताता है कि सरल चित्र कहाँ सही बैठता है।

क्वांटम भाषा में, फ़ोटॉन का ध्रुवण द्वि-अवस्था तंत्र है: दो सम्मिश्र आयाम $a$ , $b$ और $δ$ की भूमिका निभाते हैं। फ़ोटॉन के ध्रुवण से कोण $θ$ पर रखा ध्रुवक उसे प्रायिकता $cos^{2} θ$ से पारित करता है, और पारित फ़ोटॉन ध्रुवक के अक्ष के अनुदिश ध्रुवित होकर निकलता है। मैलस का नियम ऐसी हाँ-या-ना घटनाओं की विशाल संख्या का औसत है: 550 nm प्रकाश का 50 W/m² का किरण-पुंज प्रति सेकंड प्रत्येक वर्ग मीटर से लगभग $1.4 \times 1 0^{20}$ फ़ोटॉन ले जाता है।

वास्तविक ध्रुवक शीटें अध्रुवित प्रकाश का केवल लगभग 38 से 42 % पारित करती हैं, आदर्श 50 % नहीं, और आर-पार जोड़ी उसका $1 0^{- 3}$ से $1 0^{- 5}$ रिसने देती है (क्रिस्टल ध्रुवक $1 0^{- 5}$ से $1 0^{- 6}$ )। प्रत्येक प्रकार तरंगदैर्घ्यों की सीमित पट्टी में ही काम करता है। ब्रूस्टर शून्य के लिए चिकनी, पारदर्शी, समदैशिक सतह चाहिए: लहरें आपतन कोणों को फैला देती हैं, और धातुएँ $R_{p}$ का केवल उथला न्यूनतम दिखाती हैं, शून्य नहीं। अंततः क्षेत्र शुद्ध अनुप्रस्थ केवल चौड़े किरण-पुंजों में होता है: लगभग एक तरंगदैर्घ्य चौड़े बिंदु पर फ़ोकस किए प्रकाश में गति की दिशा के अनुदिश भी क्षेत्र का घटक आ जाता है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

विद्युत चुंबकीय तरंगें दिखाता है कि प्रकाश अनुप्रस्थ क्यों है: रिक्त स्थान में मैक्सवेल के समीकरण गति की दिशा में कोई क्षेत्र नहीं होने देते। व्यतिकरण और अध्यारोपण कला-अंतर वाली तरंगें जोड़ता है, जैसे चित्र 1 दो लंबवत घटक जोड़ता है; पर समकोण पर ध्रुवित दो किरण-पुंज व्यतिकरण नहीं कर सकते, इसलिए विवर्तन और द्वि-झिरी की दो झिरियों पर आर-पार ध्रुवक रखने से फ्रिंजें मिट जाती हैं। तरंग-कण द्वैतता स्वयं फ़ोटॉनों का परिचय देती है, जिनमें से प्रत्येक प्रायिकता $cos^{2} θ$ से ध्रुवक पारित करता है, जैसा ऊपर बताया गया।

परावर्तन और अपवर्तन ब्रूस्टर कोण के पीछे के फ्रेनल आयाम देता है, और प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग वह प्रकीर्णन जो आकाश को नीला बनाता है। वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व में आने वाली गुरुत्वीय तरंगों के भी दो ध्रुवण होते हैं, पर $9 0^{\circ}$ के बजाय $4 5^{\circ}$ के अंतर पर। ऐसी तरंग एक अक्ष के अनुदिश दिक्-काल को खींचती है और लंबवत अक्ष के अनुदिश दबाती है। उस पैटर्न को $9 0^{\circ}$ घुमाने से बस खिंचाव और दबाव आपस में बदल जाते हैं, जिससे वही ध्रुवण उलटा मिलता है, इसलिए दूसरा, स्वतंत्र ध्रुवण वह है जो $4 5^{\circ}$ घुमाया गया हो।

मुख्य सूत्र

आदर्श ध्रुवक से गुज़रता अध्रुवित प्रकाश

I_{1} = \frac{I _{0}}{2} (unpolarized light, ideal polarizer)

अध्रुवित प्रकाश किरण-पुंज के आर-पार हर दिशा में समान भार से कंपन करता है। अक्ष से $φ$ कोण वाली दिशा अपनी तीव्रता का $cos^{2} φ$ अंश बनाए रखती है, और सभी दिशाओं पर $cos^{2} φ$ का औसत एक-आधा है। ध्रुवक को चाहे जैसे घुमाएँ, निकलने वाला प्रकाश अक्ष के अनुदिश रैखिक ध्रुवित होता है।

चिह्न
$I_{1}$	ध्रुवक के पीछे की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$I_{0}$	आने वाले अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता	$W/ m^{2}$

कब लागू होता है: केवल वास्तव में अध्रुवित प्रकाश और आदर्श ध्रुवक के लिए। वास्तविक शीटें लगभग 38 से 42 % पारित करती हैं, और आंशिक ध्रुवित प्रकाश का परिणाम इस पर निर्भर करता है कि ध्रुवक कैसे घुमाया गया है।

उदाहरण: एनिमेशन का लैंप: $I_{0} = 100 W/ m^{2}$ से फ़िल्टर 1 के पीछे $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ मिलता है।

विश्लेषक से पारित क्षेत्र

E_{2} = E_{1} cos θ

विश्लेषक क्षेत्र का केवल पारगमन अक्ष के अनुदिश घटक रखता है, यानी प्रक्षेप $E_{1} cos θ$ ; अक्ष के लंबवत घटक, $E_{1} sin θ$ , सोख लिया जाता है। $9 0^{\circ}$ के पार कोज्या ऋणात्मक होती है, जिसका अर्थ बस यह है कि क्षेत्र उसी अक्ष के अनुदिश उलटी दिशा में है।

चिह्न
$E_{2}$	विश्लेषक के बाद क्षेत्र का आयाम	$V/m$
$E_{1}$	विश्लेषक तक पहुँचने वाले ध्रुवित प्रकाश के क्षेत्र का आयाम	$V/m$
$θ$	क्षेत्र और विश्लेषक के अक्ष के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: रैखिक ध्रुवित प्रकाश के आदर्श विश्लेषक से सीधे टकराने पर। यह आयाम देता है; तीव्रता के लिए वर्ग चाहिए।

उदाहरण: $E_{1} = 194 V/m$ (यानी $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ ), $θ = 6 0^{\circ}$ पर: $E_{2} = 194 \cdot 0.5 = 97 V/m$ ।

मैलस का नियम

I_{2} = I_{1} cos^{2} θ (Malus’s law)

तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुसार चलती है, इसलिए क्षेत्र को $cos θ$ से प्रक्षेपित करने पर तीव्रता $cos^{2} θ$ से गुणित होती है। यही नियम $I_{2} = \frac{1}{2} I_{1} (1 + cos 2 θ)$ भी लिखा जाता है, जो हर $18 0^{\circ}$ पर दोहराया जाता है। शेष, $I_{1} sin^{2} θ$ , सोख लिया जाता है, इसलिए ऊर्जा संतुलित रहती है।

चिह्न
$I_{2}$	विश्लेषक के बाद की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$I_{1}$	विश्लेषक तक पहुँचने वाले ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$θ$	ध्रुवण और विश्लेषक के अक्ष के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: रैखिक ध्रुवित प्रकाश और आदर्श विश्लेषक के लिए। अध्रुवित प्रकाश का औसत $I_{1} /2$ आता है; आंशिक ध्रुवित प्रकाश कभी पूर्णतः अँधेरा नहीं होता; वास्तविक आर-पार शीटें फिर भी प्रकाश का $1 0^{- 3}$ से $1 0^{- 5}$ रिसने देती हैं।

उदाहरण: $6 0^{\circ}$ पर $I_{1} = 50 W/ m^{2}$ : $I_{2} = 50 \cdot 0.25 = 12.5 W/ m^{2}$ ; $cos θ$ लेने पर 25 W/m² गलत आता।

प्रकाश-तरंग की तीव्रता

I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}

क्षेत्र $ε_{0} E^{2}$ घनत्व से ऊर्जा संचित करता है, आधी विद्युत और आधी चुंबकीय, और उसे चाल $c$ से ले जाता है। एक चक्र में $cos^{2}$ का औसत एक-आधा है, जिससे गुणक $\frac{1}{2}$ आता है। तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुसार चलती है: क्षेत्र दोगुना, तीव्रता चार गुनी।

चिह्न
$I$	तीव्रता (प्रति एकांक क्षेत्रफल औसत शक्ति)	$W/ m^{2}$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$
$ε_{0}$	निर्वात की विद्युतशीलता	$F/m$
$E_{0}$	विद्युत क्षेत्र का आयाम	$V/m$

कब लागू होता है: निर्वात या वायु में रैखिक ध्रुवित समतल तरंग के लिए। अपवर्तनांक $n$ वाले पारदर्शी अचुंबकीय माध्यम में समान आयाम के लिए तीव्रता $n$ गुनी अधिक होती है।

उदाहरण: फ़िल्टर 1 के पीछे एनिमेशन की $I = 50 W/ m^{2}$ का संगत $E_{0} = 2 I / (c ε_{0}) \approx 194 V/m$ है; पूरी धूप, लगभग 1000 W/m², का संगत मान लगभग 870 V/m है।

ब्रूस्टर कोण

tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}} (Brewster’s angle)

परावर्तित प्रकाश को दूसरे माध्यम के इलेक्ट्रॉन विकिरित करते हैं, जो अपवर्तित किरण के आर-पार दोलन करते हैं। जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत हों, तो आपतन तल में दोलन परावर्तित दिशा के अनुदिश होता है, जहाँ द्विध्रुव कुछ नहीं भेजता, इसलिए केवल उस तल के आर-पार ध्रुवित प्रकाश परावर्तित होता है। $θ_{2} = 9 0^{\circ} - θ_{B}$ के साथ स्नेल का नियम $n_{1} sin θ_{B} = n_{2} cos θ_{B}$ देता है।

चिह्न
$θ_{B}$	अभिलंब से मापा ब्रूस्टर आपतन कोण	$rad$
$n_{2}$	परावर्तक माध्यम का अपवर्तनांक
$n_{1}$	जिस माध्यम से प्रकाश आता है उसका अपवर्तनांक

कब लागू होता है: चिकनी, पारदर्शी, समदैशिक सतह के लिए। केवल p घटक लुप्त होता है; s घटक फिर भी आंशिक परावर्तित होता है। धातुएँ केवल उथला न्यूनतम दिखाती हैं, वास्तविक शून्य नहीं।

उदाहरण: वायु से पानी में: $tan θ_{B} = 1.33$ , अतः $θ_{B} = 53. 1^{\circ}$ ; काँच के लिए $56. 3^{\circ}$ ।

परावर्तित और अपवर्तित किरणें समकोण पर

θ_{B} + θ_{2} = 9 0^{\circ} (reflected ⊥ refracted)

परावर्तित किरण सतह के एक ओर अभिलंब से $θ_{B}$ पर निकलती है और अपवर्तित किरण दूसरी ओर $θ_{2}$ पर चलती है, इसलिए उनके बीच का कोण $18 0^{\circ} - θ_{B} - θ_{2}$ है। यह ठीक तब समकोण है जब दोनों कोणों का योग $9 0^{\circ}$ हो, जो ब्रूस्टर कोण के पीछे की ज्यामितीय शर्त है।

चिह्न
$θ_{B}$	आपतन कोण (ब्रूस्टर कोण)	$rad$
$θ_{2}$	अपवर्तन कोण	$rad$

कब लागू होता है: केवल ब्रूस्टर कोण पर; किसी अन्य आपतन कोण पर दोनों कोणों का योग $9 0^{\circ}$ नहीं होता।

उदाहरण: पानी: $53. 1^{\circ} + 36. 9^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ।

तीन ध्रुवक: आर-पार शीटों के बीच एक

I_{3} = \frac{I _{0}}{2} cos^{2} θ sin^{2} θ (polarizers at 0^{\circ}, θ, 9 0^{\circ})

पहला ध्रुवक $I_{0} /2$ पारित करता है। बीच वाला, $θ$ पर, उसका $cos^{2} θ$ पारित करता है, और अंतिम, जो बीच वाले से $9 0^{\circ} - θ$ पर है, शेष का $cos^{2} (9 0^{\circ} - θ) = sin^{2} θ$ पारित करता है। गुणनफल $(I_{0} /8) sin^{2} 2 θ$ के बराबर है, जो $4 5^{\circ}$ पर अधिकतम है: बीच की शीट प्रकाश को पुनः ध्रुवित करती है ताकि आर-पार अंतिम शीट उसका कुछ भाग पारित कर सके।

चिह्न
$I_{3}$	तीसरे ध्रुवक के बाद की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$I_{0}$	आने वाले अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$θ$	पहले ध्रुवक से बीच के ध्रुवक का कोण	$rad$

कब लागू होता है: आदर्श ध्रुवकों, अध्रुवित प्रकाश और आर-पार रखे पहले व अंतिम ध्रुवक के लिए। $θ = 0$ या $9 0^{\circ}$ पर कुछ पारित नहीं होता।

उदाहरण: $I_{0} = 100 W/ m^{2}$ , $θ = 3 0^{\circ}$ : $I_{3} = 50 \cdot 0.75 \cdot 0.25 = 9.4 W/ m^{2}$ ; $4 5^{\circ}$ पर 12.5 W/m²।

शब्दावली

प्रकाश का ध्रुवण: वह दिशा जिसके अनुदिश प्रकाश-तरंग का विद्युत क्षेत्र दोलन करता है, सदा गति की दिशा के आर-पार। केवल अनुप्रस्थ तरंगें ध्रुवित हो सकती हैं: प्रकाश हो सकता है, वायु में ध्वनि नहीं।
अनुप्रस्थ तरंग: ऐसी तरंग जिसका कंपन गति की दिशा के लंबवत हो, जैसे प्रकाश या रस्सी पर तरंग। वायु में ध्वनि जैसी अनुदैर्घ्य तरंग में कंपन गति की दिशा के अनुदिश होता है, और ध्रुवण नहीं होता।
रैखिक ध्रुवण: वह ध्रुवण जिसमें क्षेत्र किरण-पुंज के आर-पार एक स्थिर रेखा के अनुदिश दोलन करता है; इसे समतल ध्रुवण भी कहते हैं। ध्रुवक से निकलने वाला प्रकाश उसके अक्ष के अनुदिश रैखिक ध्रुवित होता है।
वृत्तीय और दीर्घवृत्तीय ध्रुवण: वे अवस्थाएँ जिनमें क्षेत्र की नोक किरण-पुंज के चारों ओर घूमकर दीर्घवृत्त बनाती है, या वृत्त, जब दोनों लंबवत घटकों के आयाम बराबर हों और चौथाई चक्र के अंतर पर हों। वृत्तीय प्रकाश का कोई विशेष अक्ष नहीं, इसीलिए 3D सिनेमा इसका उपयोग करते हैं।
अध्रुवित प्रकाश: वह प्रकाश जिसकी कंपन-दिशा किसी भी संसूचक से तेज़ यादृच्छिक रूप से बदलती है, जैसे सूर्य या लैंप का प्रकाश। आदर्श ध्रुवक उसका ठीक आधा पारित करता है, चाहे वह कैसे भी घूमे।
आंशिक ध्रुवित प्रकाश: अध्रुवित और ध्रुवित प्रकाश का मिश्रण, जैसे चकाचौंध या नीले आकाश का प्रकाश। घूमते विश्लेषक से देखने पर वह मंद और चमकीला होता है, पर कभी पूर्णतः अँधेरा नहीं होता।
ध्रुवक (polarizer): ऐसा फ़िल्टर जो अपने पारगमन अक्ष के अनुदिश क्षेत्र-घटक पारित करता है और अक्ष के लंबवत घटक को सोखता या परावर्तित करता है। ध्रुवक शीट में सोखने वाली श्रृंखलाएँ अक्ष के लंबवत होती हैं, अनुदिश नहीं।
विश्लेषक (analyzer): पहले से ध्रुवित प्रकाश की जाँच के लिए प्रयुक्त दूसरा ध्रुवक। उसे घुमाने से ध्रुवण की दिशा प्रकट होती है: अक्ष उस दिशा के अनुदिश हो तो सब पारित होता है, दोनों आर-पार हों तो कुछ नहीं।
मैलस का नियम: आने वाले प्रकाश के ध्रुवण से $θ$ कोण पर रखे विश्लेषक द्वारा पारित तीव्रता, $I_{2} = I_{1} cos^{2} θ$ । कोज्या का वर्ग इसलिए है कि तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुसार चलती है: $6 0^{\circ}$ पर चौथाई पारित होता है, आधा नहीं।
ब्रूस्टर कोण: वह आपतन कोण जिस पर परावर्तित प्रकाश सतह के समांतर पूर्णतः ध्रुवित होता है, $tan θ_{B} = n_{2} / n_{1}$ : पानी के लिए $53. 1^{\circ}$ , काँच के लिए $56. 3^{\circ}$ । तब परावर्तित और अपवर्तित किरणें लंबवत होती हैं।
s- और p-ध्रुवण: परावर्तक सतह पर दो ध्रुवण: s में क्षेत्र आपतन तल के आर-पार, यानी सतह के समांतर, होता है और p में उसी तल के भीतर। ब्रूस्टर कोण पर p परावर्तन लुप्त होता है, जबकि पानी s प्रकाश का फिर भी 7.7 % परावर्तित करता है।
द्विअपवर्तन (birefringence): कैल्साइट (1.658 और 1.486) या क्वार्ट्ज़ जैसे क्रिस्टलों में अपवर्तनांक की ध्रुवण पर निर्भरता। यह किरण-पुंज को दो में बाँटता है, और तरंग-पट्टिकाएँ इसी से रैखिक ध्रुवण को वृत्तीय बनाती या घुमाती हैं।

राशियाँ
$I$	तीव्रता	$W/ m^{2}$	किरण-पुंज के आर-पार प्रति एकांक क्षेत्रफल प्रकाश द्वारा ले जाई गई शक्ति, जो प्रकाश-मापी पढ़ता है; यह क्षेत्र-आयाम के वर्ग के अनुपाती है।
$I_{0}$	आपतित तीव्रता	$W/ m^{2}$	पहले ध्रुवक तक पहुँचने वाले अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता: एनिमेशन में 100 W/m²।
$I_{1}$	ध्रुवक के बाद की तीव्रता	$W/ m^{2}$	पहले ध्रुवक के पीछे रैखिक ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता, आदर्श के लिए $I_{0} /2$ : एनिमेशन में 50 W/m²।
$I_{2}$	विश्लेषक के बाद की तीव्रता	$W/ m^{2}$	विश्लेषक से निकलने वाली तीव्रता, $I_{1} cos^{2} θ$ : एनिमेशन का विश्लेषक $9 0^{\circ}$ तक घूमने पर 50 W/m² से शून्य तक। तीसरे ध्रुवक के पीछे की तीव्रता $I_{3}$ कहलाती है: तीन-ध्रुवक उदाहरण में 9.4 W/m²।
$E_{0}$	विद्युत क्षेत्र का आयाम	$V/m$	रैखिक ध्रुवित तरंग के दोलायमान क्षेत्र का अधिकतम मान। एनिमेशन में विश्लेषक से पहले $E_{1} \approx 194 V/m$ है, और उसके बाद $E_{2}$ $6 0^{\circ}$ पर उसका आधा है।
$θ$	विश्लेषक कोण	$rad$	आने वाले प्रकाश के ध्रुवण और विश्लेषक के पारगमन अक्ष के बीच का कोण, प्रायः डिग्री में बताया जाता है: एनिमेशन में यह 0 से $18 0^{\circ}$ तक चलता है।
$ε_{0}$	निर्वात की विद्युतशीलता	$F/m$	विद्युतचुंबकत्व का स्थिरांक, $8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ , जो तरंग के क्षेत्र-आयाम को उसकी ले जाई ऊर्जा से जोड़ता है। प्रकाश की चाल $c = 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ के साथ वह तरंग की तीव्रता तय करता है, $I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}$ ।
$θ_{B}$	ब्रूस्टर कोण	$rad$	अभिलंब से मापा वह आपतन कोण जिस पर परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित होता है: पानी के लिए $53. 1^{\circ}$ , काँच के लिए $56. 3^{\circ}$ ।
$n_{2}$	परावर्तक माध्यम का अपवर्तनांक		प्रकाश को परावर्तित करने वाले माध्यम का अपवर्तनांक, पानी के लिए 1.33 और काँच के लिए 1.50; $n_{1}$ उस माध्यम का है जिससे प्रकाश आता है, वायु के लिए 1.00।
$θ_{2}$	अपवर्तन कोण	$rad$	अपवर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण। ब्रूस्टर कोण पर यह $9 0^{\circ} - θ_{B}$ के बराबर है: पानी के लिए $36. 9^{\circ}$ ।

क्विज़

शुरुआती प्रकाश को ध्रुवित किया जा सकता है, पर वायु में चलती ध्वनि को क्यों नहीं?
1. प्रकाश ध्वनि से बहुत तेज़ चलता है
2. ध्वनि तरंगें फ़िल्टर से गुज़रने के लिए बहुत लंबी होती हैं
3. प्रकाश अपनी गति की दिशा के आर-पार कंपन करता है; वायु में ध्वनि उसके अनुदिश
4. ध्वनि में ऐसी ऊर्जा नहीं होती जिसे फ़िल्टर रोक सके
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उत्तर: C. प्रकाश अपनी गति की दिशा के आर-पार कंपन करता है; वायु में ध्वनि उसके अनुदिश
ध्रुवण अनुप्रस्थ कंपन की दिशा है। प्रकाश अनुप्रस्थ तरंग है, इसलिए वह दिशा चुनी जा सकती है; वायु में ध्वनि अनुदैर्घ्य है, और गति की दिशा के अनुदिश कंपन की कोई अनुप्रस्थ दिशा नहीं होती जिसे छाना जाए।
शुरुआती साधारण लैंप का प्रकाश एक आदर्श ध्रुवक फ़िल्टर से गुज़रता है। उसका कितना भाग पार होता है?
1. लगभग आधा
2. पूरा
3. बिल्कुल नहीं
4. लगभग चौथाई
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उत्तर: A. लगभग आधा
लैंप का प्रकाश किरण-पुंज के आर-पार हर दिशा में कंपन करता है। फ़िल्टर केवल अपने अक्ष के अनुदिश भाग रखता है, जो औसतन तीव्रता का आधा है, फ़िल्टर किसी भी ओर हो।
शुरुआती आप दो ध्रुवक फ़िल्टरों से लैंप देखते हैं और दूसरे को तब तक घुमाते हैं जब तक उसका अक्ष पहले से 90° पर न हो जाए। आपको क्या दिखता है?
1. लैंप अधिक चमकीला दिखता है
2. कुछ नहीं बदलता
3. लैंप का रंग बदल जाता है
4. लगभग कोई प्रकाश नहीं: फ़िल्टर काले दिखते हैं
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उत्तर: D. लगभग कोई प्रकाश नहीं: फ़िल्टर काले दिखते हैं
पहले फ़िल्टर के बाद प्रकाश केवल एक दिशा में कंपन करता है। आर-पार दूसरा फ़िल्टर केवल उसके समकोण वाले कंपन पारित करता है, और वे बचे ही नहीं, इसलिए लगभग कोई प्रकाश पार नहीं होता।
मध्यम 80 W/m² तीव्रता का ध्रुवित प्रकाश ऐसे विश्लेषक से टकराता है जिसका अक्ष प्रकाश के ध्रुवण से 60° पर है। कितनी तीव्रता पार होती है?
1. 40 W/m²
2. 20 W/m²
3. 60 W/m²
4. 0 W/m²
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उत्तर: B. 20 W/m²
मैलस का नियम: I = I₁·cos²θ = 80 × cos²60° = 80 × 0.25 = 20 W/m²। cos²θ की जगह cos θ लेने पर 40 W/m² आता है, और पूरक कोण 30° लेने पर 60 W/m² आता है।
मध्यम सूर्य-प्रकाश शांत झील (n = 1.33) से परावर्तित होता है। किस आपतन कोण पर परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित होता है?
1. 48.8°
2. 36.9°
3. 53.1°
4. 45°
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उत्तर: C. 53.1°
tan θB = n₂/n₁ = 1.33, अतः θB = 53.1°; तब अपवर्तित किरण 36.9° पर होती है, और दोनों किरणें परस्पर लंबवत होती हैं। 48.8° पानी से बाहर निकलते प्रकाश का क्रांतिक कोण है, जिसकी यहाँ कोई भूमिका नहीं।
मध्यम झील या गीली सड़क की चकाचौंध मुख्यतः क्षैतिज ध्रुवित होती है। उसे घटाने के लिए ध्रुवित धूप के चश्मों का पारगमन अक्ष किस ओर होना चाहिए?
1. ऊर्ध्वाधर
2. क्षैतिज
3. क्षैतिज से 45° पर
4. दिशा से कोई फ़र्क नहीं पड़ता
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उत्तर: A. ऊर्ध्वाधर
ऊर्ध्वाधर अक्ष क्षैतिज ध्रुवित चकाचौंध के आर-पार है, और cos²90° = 0 उसे रोक देता है, जबकि दृश्य का शेष भाग, जो मुख्यतः अध्रुवित है, फिर भी लगभग आधी तीव्रता से पहुँचता है।
उन्नत तीव्रता I₀ का अध्रुवित प्रकाश दो आर-पार ध्रुवकों (अक्ष 0° और 90°) पर पड़ता है। फिर उनके बीच 45° पर तीसरा ध्रुवक रखा जाता है। अब कितनी तीव्रता निकलती है?
1. अब भी शून्य: आर-पार ध्रुवक सब रोक देते हैं
2. I₀/8
3. I₀/4
4. I₀/2
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उत्तर: B. I₀/8
पहला ध्रुवक I₀/2 पारित करता है। 45° वाला फ़िल्टर उसका cos²45° = ½ पारित करता है, जो अब 45° पर ध्रुवित है, और अंतिम फ़िल्टर, उससे फिर 45° पर, एक और आधा पारित करता है: I₀/2 × ½ × ½ = I₀/8। प्रत्येक ध्रुवक क्षेत्र का नए सिरे से प्रक्षेप लेता है।
उन्नत बहुत-से 3D सिनेमा प्रत्येक आँख को अलग चित्र भेजने के लिए रैखिक के बजाय वृत्तीय ध्रुवण क्यों उपयोग करते हैं?
1. वृत्तीय ध्रुवित प्रकाश पर्दे पर अधिक चमकीला होता है
2. रैखिक ध्रुवक रंगीन प्रकाश पारित नहीं कर सकते
3. वृत्तीय ध्रुवित प्रकाश चश्मों से अधिक तेज़ गुज़रता है
4. सिर झुकाने से दोनों चित्र आपस में नहीं मिलते
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. सिर झुकाने से दोनों चित्र आपस में नहीं मिलते
रैखिक ध्रुवण में α झुका सिर दूसरी आँख के चित्र का sin²α भाग रिसने देता है। बाएँ और दाएँ वृत्तीय अवस्थाएँ इस पर निर्भर नहीं करतीं कि चश्मा कैसे घुमा है, इसलिए झुकाव में भी पृथक्करण बना रहता है।

$a$	$E_{x}$ का आयाम: आयत की आधी चौड़ाई।	$V/m$
$b$	$E_{y}$ का आयाम: आयत की आधी ऊँचाई।	$V/m$
$E$	चित्रित क्षण पर विद्युत क्षेत्र; उसकी नोक दीर्घवृत्त खींचती है।	$V/m$
$E_{x}$	$E$ का $x$ के अनुदिश घटक।	$V/m$
$E_{y}$	$E$ का $y$ के अनुदिश घटक।	$V/m$
$ω t$	बिंदु पर तरंग की कला: कोणीय आवृत्ति गुणा समय। यह ग्राफ़ की क्षैतिज अक्ष है।	$rad$
$δ$	घटकों के बीच कला-अंतर: $E_{y}$ , $E_{x}$ से कला $δ$ पहले शिखर पर पहुँचता है।	$rad$

$\overset{u}{^}$	ध्रुवक का पारगमन अक्ष, तारों के आर-पार: इकाई सदिश।
$E_{1}$	ध्रुवक तक पहुँचने वाला क्षेत्र, $\overset{u}{^}$ से कोण $θ$ पर।	$V/m$
$E_{2}$	पारित क्षेत्र: $E_{1}$ का $\overset{u}{^}$ के अनुदिश भाग, परिमाण $E_{1} cos θ$ ।	$V/m$
$E_{1} sin θ$	$E_{1}$ का तारों के अनुदिश भाग; यह पार नहीं होता।	$V/m$
$θ$	$E_{1}$ और $\overset{u}{^}$ के बीच का कोण; ग्राफ़ पर डिग्री में चिह्नित।	$rad$
$I_{1}$	ध्रुवक तक पहुँचने वाले प्रकाश की तीव्रता।	$W/ m^{2}$
$I_{2}$	पारित तीव्रता, $I_{1} cos^{2} θ$ ।	$W/ m^{2}$

$I$	विश्लेषक से पारित तीव्रता।	$W/ m^{2}$
$θ$	विश्लेषक के अक्ष और ध्रुवित भाग के बीच का कोण; अक्ष पर डिग्री में चिह्नित।	$rad$
$I_{m a x}$	अधिकतम तीव्रता, $\frac{1}{2} I_{u} + I_{p}$ , जब अक्ष ध्रुवित भाग के अनुदिश हो।	$W/ m^{2}$
$I_{m i n}$	न्यूनतम तीव्रता, $\frac{1}{2} I_{u}$ , जब अक्ष उसके आर-पार हो।	$W/ m^{2}$
$I_{p}$	तीव्रता का ध्रुवित भाग: झूले की ऊँचाई।	$W/ m^{2}$
$\frac{1}{2} I_{u}$	अध्रुवित भाग $I_{u}$ का आधा: विश्लेषक उसका सदा इतना पारित करता है, और यही वक्र का आधार-स्तर है।	$W/ m^{2}$