Polarização da luz

Iniciante

Passo 1. Amarre uma corda em uma maçaneta de porta e sacuda a outra ponta. Você pode fazer a corda subir e descer, balançar de lado ou em qualquer linha inclinada entre esses dois, enquanto a onda sempre segue até a porta. A luz é uma onda desse tipo lateral, e a direção em que ela oscila se chama polarização.

Passo 2. Uma lâmpada ou o Sol emite luz cuja direção de oscilação muda o tempo todo e ao acaso, então todas as direções se misturam. Essa luz se chama não polarizada. Na animação, as oscilações amarelas que saem da lâmpada apontam para todos os lados.

Passo 3. Um filtro polarizador funciona como uma fileira de fendas estreitas: deixa passar só a parte da oscilação que se alinha com as fendas e engole o resto. Atrás do filtro 1, a onda azul oscila só para cima e para baixo, e cerca de metade da luz se perdeu.

Passo 4. Agora observe o filtro 2 girar. Enquanto as fendas dele estiverem alinhadas com as do filtro 1, a luz passa e o ponto na tela fica claro. Conforme ele gira, a onda vermelha atrás diminui; depois de um quarto de volta, as fendas estão cruzadas e a tela escurece. Continue girando e a luz volta.

Passo 5. A luz do Sol refletida por um lago ou uma rua molhada volta oscilando sobretudo de lado. Os óculos de sol polarizados têm fendas verticais, então bloqueiam boa parte desse brilho.

Teste você mesmo: usando óculos de sol polarizados, você olha o reflexo em uma poça e depois inclina a cabeça até encostar no ombro. O que acontece? (O brilho volta: suas fendas agora ficaram deitadas, alinhadas com a oscilação refletida.)

Intermediário

A luz é uma onda transversal

A luz é uma onda eletromagnética: um campo elétrico $\vec{E}$ e um campo magnético oscilam juntos, cada um perpendicular ao outro e ao feixe. Sua polarização é a direção em que $\vec{E}$ oscila: vertical, horizontal ou qualquer coisa entre as duas. O som no ar vibra na direção em que se propaga, então não tem uma direção assim e não pode ser polarizado.

A luz cujo campo mantém uma só direção é linearmente polarizada. A luz do Sol e da lâmpada vem de inúmeros átomos emitindo de forma independente, então a direção da vibração muda ao acaso, muito mais rápido do que qualquer instrumento consegue acompanhar: ela é não polarizada. O brilho de uma rua molhada e a luz do céu azul são parcialmente polarizados, uma mistura das duas coisas.

Um olho ou um medidor de luz registra a intensidade $I$, a potência por área, em watts por metro quadrado (W/m²). Ela é proporcional ao quadrado da amplitude do campo $E_0$, medida em volts por metro:
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$
onde $c=3,00\times 10^{8}m/s$ é a velocidade da luz e ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ é a permissividade do vácuo. Reduzir a amplitude à metade divide a intensidade por quatro.

O que um polarizador faz

Um polarizador tem um eixo de transmissão: deixa passar a componente de $\vec{E}$ ao longo desse eixo e absorve a componente transversal a ele, de modo que a luz que sai fica linearmente polarizada ao longo do eixo. Uma folha polarizadora comum é um filme plástico de longas cadeias de polímero, esticado em uma direção e embebido em iodo para que os elétrons possam se mover ao longo das cadeias. Um campo ao longo das cadeias gera correntes e é absorvido; por isso o eixo de transmissão é perpendicular às cadeias, e não paralelo a elas como sugeriria uma cerca de estacas. As fendas da animação representam o eixo, não as moléculas.

A luz não polarizada contém todas as direções igualmente. Uma direção que forma um ângulo $\phi$ com o eixo mantém a fração ${\cos }^2\phi$ de sua intensidade, que, em média sobre todas as direções, é metade; assim um polarizador ideal deixa passar metade da luz, não importa como seja girado. Na animação, $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ vindos da lâmpada se tornam $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ atrás do filtro 1, e a onda azul vibra só para cima e para baixo.

Lei de Malus

Um segundo polarizador, o analisador, tem seu eixo formando um ângulo $\theta$ com a polarização da luz que chega a ele. A vista frontal da animação divide o campo azul $E_1$ em duas partes: a parte ao longo do eixo, $E_1\cos \theta$, passa como o campo vermelho $E_2$, e a parte transversal, $E_1\sin \theta$, é absorvida. Elevando a amplitude ao quadrado obtém-se a intensidade, então as equações de trabalho são:

• $I_1=\frac{I_0}{2}\text{(unpolarized light, ideal polarizer)}$
• $E_2=E_1\cos \theta$
• $I_2=I_1{\cos }^2\theta \text{(Malus’s law)}$

A última é chamada de lei de Malus, em homenagem a Étienne-Louis Malus, que descobriu em 1808 que a luz refletida por uma janela é polarizada. A parte absorvida, $I_1{\sin }^2\theta$, completa a conta, pois ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. Em $90^{\circ }$ os filtros estão cruzados e nada passa; e como um eixo girado de $180^{\circ }$ é o mesmo eixo, o padrão se repete a cada meia volta.

Exemplo resolvido: o analisador da animação

O filtro 2 gira a 22,5° por segundo, então $\theta$ atinge $22,5^{\circ }$, $45^{\circ }$ e $67,5^{\circ }$ após 1, 2 e 3 s. Com $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$, a lei de Malus dá
$I_2=50{\cos }^{2}22,5^{\circ }=50\cdot 0,854=42,7W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}45^{\circ }=50\cdot 0,500=25,0W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}67,5^{\circ }=50\cdot 0,146=7,3W/{\mathrm{m}}^2$
e zero em $90^{\circ }$, após 4 s. São esses os valores do marcador de $I_2$; na segunda metade do ciclo eles voltam em ordem inversa.

Compare as ondas com o marcador. Em $45^{\circ }$, a onda vermelha ainda tem $\cos 45^{\circ }=0,71$ da amplitude da onda azul, mas carrega só metade da intensidade. Em $60^{\circ }$, atingido após 2,7 s, a amplitude cai pela metade e a intensidade cai a um quarto, $I_2=50\cdot 0,25=12,5W/{\mathrm{m}}^2$: em unidades de campo, $E_1=\sqrt{2I_1/(c{\epsilon }_0)}\approx 194V/m$ passa a $E_2\approx 97V/m$. Na vista frontal, o arco verde marca $\theta$ enquanto a seta vermelha $E_2$ encolhe.

Exemplo resolvido: três polarizadores

Dois polarizadores cruzados, a $0^{\circ }$ e $90^{\circ }$, bloqueiam tudo. Insira um terceiro entre eles, a $30^{\circ }$ do primeiro, mande luz não polarizada com $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ e use sempre o ângulo entre eixos vizinhos. O primeiro filtro deixa passar $100/2=50W/{\mathrm{m}}^2$. O do meio deixa passar $50{\cos }^{2}30^{\circ }=37,5W/{\mathrm{m}}^2$, agora polarizada a $30^{\circ }$. O último, $60^{\circ }$ adiante, deixa passar $37,5{\cos }^{2}60^{\circ }=9,4W/{\mathrm{m}}^2$.

Para um polarizador do meio em um ângulo qualquer $\theta$, o último fica a $90^{\circ }-\theta$ dele, e ${\cos }^2(90^{\circ }-\theta )={\sin }^2\theta$:
$I_3=\frac{I_0}{2}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \text{(polarizers at }{0}^{\circ },\theta ,90^{\circ }\text{)}$
Isso equivale a $(I_0/8){\sin }^{2}2\theta$, máximo em $\theta =45^{\circ }$, onde passam $I_0/8=12,5W/{\mathrm{m}}^2$.

Acrescentar um filtro deixou luz passar onde antes não havia nenhuma. O filtro do meio não abre vazamento: ele repolariza a luz ao longo do próprio eixo, que já não é perpendicular ao último. Cada polarizador redefine a direção do campo.

Polarização por reflexão

A luz refletida pela água, pelo vidro ou por uma rua é parcialmente polarizada, com $\vec{E}$ sobretudo paralelo à superfície. No ângulo de Brewster ${\theta }_B$ ela fica totalmente polarizada:
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}\text{(Brewster’s angle)}$
${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }\text{(reflected }\perp \text{ refracted)}$
Aqui $n_1$ é o índice de refração do meio de onde vem a luz, $n_2$ o do meio refletor e ${\theta }_2$ o ângulo de refração: o raio refletido e o refratado ficam então perpendiculares.

Do ar para a água ($n=1,33$), ${\theta }_B=\arctan 1,33=53,1^{\circ }$ e ${\theta }_2=36,9^{\circ }$; para o vidro ($n=1,50$), ${\theta }_B=56,3^{\circ }$. Quando o Sol está a $36,9^{\circ }$ acima de um lago calmo, sua luz atinge a água exatamente a $53,1^{\circ }$, e o brilho fica polarizado na horizontal. Óculos de sol com eixo de transmissão vertical o bloqueiam, enquanto o resto da cena, em sua maior parte não polarizado, fica apenas com metade da intensidade.

Erros comuns

• Usar $\cos \theta$ em vez de ${\cos }^2\theta$. A $60^{\circ }$ a amplitude cai à metade, mas a intensidade cai a um quarto: de $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ obtém-se 12,5 W/m², não 25 W/m².
• Aplicar a lei de Malus à luz não polarizada, ou esquecer o fator $\frac{1}{2}$ no primeiro filtro: sem ele, a resposta dos três polarizadores dobra para 18,75 W/m².
• Medir todos os ângulos a partir do primeiro filtro. Use o ângulo entre eixos vizinhos: o último dos três polarizadores está a $60^{\circ }$ do do meio, e usar $90^{\circ }$ daria incorretamente zero.
• Levar a cerca de estacas ao pé da letra. Uma folha polarizadora absorve o campo ao longo de suas cadeias, e uma grade de fios reflete o campo ao longo de seus fios; por isso o eixo de transmissão é perpendicular a eles.
• Usar o seno em vez da tangente para o ângulo de Brewster: $\sin {\theta }_B=1,33$ não tem solução, e $\arcsin (1/1,33)=48,8^{\circ }$ é o ângulo crítico para a luz que sai da água, um efeito diferente.

Onde você encontra isso

Filtros polarizadores em óculos de sol e câmeras cortam reflexos de água e vitrines e escurecem um céu azul, cuja luz é parcialmente polarizada pelo espalhamento, sobretudo a $90^{\circ }$ do Sol; as abelhas se orientam por esse padrão. Uma tela de LCD tem cristal líquido entre dois polarizadores, e cada pixel define seu brilho pelo quanto gira a polarização; por isso um celular visto através de óculos polarizados escurece em uma inclinação específica. Cinemas 3D enviam as imagens de cada olho com polarizações diferentes, e engenheiros veem tensões em modelos de plástico entre polarizadores cruzados como franjas coloridas.

Reflexão e refração forneceu os ângulos usados aqui. Ondas eletromagnéticas explica por que a luz é transversal e de onde vem $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$, e Dualidade onda-partícula apresenta os fótons, para os quais a lei de Malus se torna uma probabilidade ${\cos }^2\theta$ de atravessar.

Avançado

O campo como um oscilador bidimensional

A polarização descreve como o campo elétrico de uma onda luminosa se move transversalmente ao feixe. Cada polarizador, superfície refletora e cristal desta lição atua sobre esse movimento, por isso começamos com uma imagem clara dele.

Considere uma onda que se propaga ao longo do eixo $z$. Seu campo elétrico $\vec{E}$ fica transversal ao feixe, no plano $xy$, e tem portanto duas componentes, $E_x$ e $E_y$. Ambas oscilam na frequência angular $\omega$ da luz, mas cada uma tem sua própria amplitude, $a$ para $E_x$ e $b$ para $E_y$, e $E_y$ pode estar adiantada em relação a $E_x$ por uma diferença de fase $\delta$. Em um ponto fixo do feixe,
$E_x=a\cos \omega t,E_y=b\cos (\omega t+\delta )$
As duas componentes são independentes uma da outra, então o campo se comporta como um oscilador bidimensional, assim como a massa de um pêndulo pode balançar para lá e para cá em qualquer direção, ou girar em uma elipse.

Legenda

$a$	Amplitude de $E_x$: metade da largura da caixa.	$V/m$
$b$	Amplitude de $E_y$: metade da altura da caixa.	$V/m$
$\vec{E}$	Campo elétrico no instante desenhado; sua ponta traça a elipse.	$V/m$
$E_x$	Componente de $\vec{E}$ ao longo de $x$.	$V/m$
$E_y$	Componente de $\vec{E}$ ao longo de $y$.	$V/m$
$\omega t$	Fase da onda no ponto: frequência angular vezes tempo. É o eixo horizontal do gráfico.	$\mathrm{rad}$
$\delta$	Diferença de fase entre as componentes: $E_y$ atinge o pico uma fase $\delta$ antes de $E_x$.	$\mathrm{rad}$

A Figura 1 mostra esse movimento de duas maneiras. À esquerda está o plano transversal ao feixe. A cada instante, a ponta de $\vec{E}$ está no ponto $(E_x,E_y)$, de modo que as duas componentes são as sombras da seta nos eixos. Como $E_x$ nunca ultrapassa $a$ e $E_y$ nunca ultrapassa $b$, a ponta permanece dentro da caixa de largura $2a$ e altura $2b$; e como cada componente atinge seu pico uma vez por ciclo, a curva toca os quatro lados dessa caixa. À direita, as mesmas duas componentes são traçadas em função da fase $\omega t$. Aqui $\delta =60^{\circ }$, então cada pico de $E_y$ ocorre uma fase $\delta$ antes do pico correspondente de $E_x$. Os pontos sobre as duas curvas marcam o instante desenhado à esquerda.

Para encontrar a forma da curva, elimina-se o tempo. Expandindo o cosseno, obtém-se $E_y/b=\cos \omega t\cos \delta -\sin \omega t\sin \delta$. A primeira equação diz que $\cos \omega t=E_x/a$, logo $\sin \omega t\sin \delta =(E_x/a)\cos \delta -E_y/b$. Elevando ambos os lados ao quadrado e substituindo ${\sin }^2\omega t$ por $1-E_x^2/a^2$, resta
$\frac{E_x^2}{a^2}+\frac{E_y^2}{b^2}-\frac{2E_x{E}_y}{ab}\cos \delta ={\sin }^2\delta$

Esta é a equação de uma elipse. Em geral, portanto, a ponta de $\vec{E}$ descreve uma elipse dentro da caixa de $2a$ por $2b$, e os três números $a$, $b$ e $\delta$ fixam seu tamanho, sua forma e sua inclinação.

Dois casos especiais têm nome. Para $\delta =0$ o lado direito é zero e o lado esquerdo é um quadrado perfeito, $(E_x/a-E_y/b{)}^2=0$, logo $E_y=(b/a)E_x$: a elipse se reduz a uma reta em $\arctan (b/a)$ em relação ao eixo $x$. Isso é polarização linear. Para $\delta =\pi$, o sinal do termo cruzado se inverte e a reta fica em $-\arctan (b/a)$. À direita da Figura 1, as duas curvas então subiriam e desceriam juntas ($\delta =0$) ou em oposição ($\delta =\pi$).

Para $a=b$ e $\delta =\pm \pi /2$, o termo cruzado se anula e a equação vira $E_x^2+E_y^2=a^2$: a ponta percorre um círculo, e a luz é polarizada circularmente. As duas curvas ficam então um quarto de ciclo defasadas, e os dois sinais de $\delta$ fazem a ponta girar em sentidos opostos. Todos os outros casos são polarização elíptica. Existem duas convenções opostas para chamar um sentido de direita ou esquerda; por isso, sempre diga se você está olhando na direção do feixe ou em direção à fonte.

A polarização não altera quanta energia a onda carrega. A intensidade é proporcional à média de $E_x^2+E_y^2$, e cada ${\cos }^2$ tem média igual a metade ao longo de um ciclo, qualquer que seja sua fase. Logo $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0(a^2+b^2)$ para todo $\delta$: a polarização apenas decide como o campo se divide entre as duas componentes. O campo magnético, de módulo $E/c$, fica travado perpendicularmente a $\vec{E}$, então não carrega informação extra. É $\vec{E}$ que empurra os elétrons, e por isso polarizadores e superfícies respondem à sua direção; e “a polarização” sempre significa a direção do campo elétrico.

Um polarizador como projeção

Um polarizador é um filtro que deixa passar apenas uma direção do campo. Vê-lo como uma projeção mostra exatamente quanta luz atravessa e por que dois polarizadores cruzados ficam escuros.

Legenda

$\hat{u}$	Eixo de passagem do polarizador, transversal aos fios: um vetor unitário.
${\vec{E}}_1$	Campo que chega ao polarizador, formando o ângulo $\theta$ com $\hat{u}$.	$V/m$
${\vec{E}}_2$	Campo que passa: a parte de ${\vec{E}}_1$ ao longo de $\hat{u}$, de tamanho $E_1\cos \theta$.	$V/m$
$E_1\sin \theta$	Parte de ${\vec{E}}_1$ ao longo dos fios; ela não passa.	$V/m$
$\theta$	Ângulo entre ${\vec{E}}_1$ e $\hat{u}$; marcado em graus no gráfico.	$\mathrm{rad}$
$I_1$	Intensidade da luz que chega ao polarizador.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensidade que passa, $I_1{\cos }^2\theta$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

À esquerda da Figura 2, vê-se um polarizador de grade de fios de frente: fios metálicos paralelos, espaçados bem menos que um comprimento de onda. Seu eixo de passagem, o vetor unitário $\hat{u}$, é perpendicular aos fios. O campo incidente ${\vec{E}}_1$ forma o ângulo $\theta$ com $\hat{u}$, então se divide em duas partes. A parte ao longo dos fios, de tamanho $E_1\sin \theta$, faz os elétrons subirem e descerem pelos fios. As correntes assim criadas irradiam um campo que cancela essa parte além da grade e a devolve como onda refletida. A parte ao longo de $\hat{u}$, de tamanho $E_1\cos \theta$, teria de empurrar elétrons através dos fios, onde eles não podem ir longe; por isso passa quase sem alteração como o campo ${\vec{E}}_2$, a seta horizontal. Um polarizador de folha funciona do mesmo modo, com longas cadeias de polímero dopadas com iodo no lugar dos fios; as cadeias absorvem a parte bloqueada em vez de refleti-la.

De um jeito ou de outro, o polarizador mantém a projeção do campo sobre seu eixo de passagem:
${\vec{E}}_2=({\vec{E}}_1\cdot \hat{u})\hat{u},E_2=E_1\cos \theta$
A intensidade varia com o quadrado da amplitude do campo, então a intensidade transmitida é
$I_2=I_1{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}{I}_1(1+\cos 2\theta )$
Esta é a lei de Malus. A segunda forma, a partir de ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$, mostra que a curva se repete a cada $180^{\circ }$: um eixo girado meia volta é o mesmo eixo. O restante da luz, $I_1{\sin }^2\theta$, é absorvido ou refletido.

À direita da Figura 2, traça-se $I_2$ em função de $\theta$. A linha tracejada no topo marca $I_1$, e o ponto marca o ângulo desenhado à esquerda. Na animação, o filtro 1 fornece $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ e o analisador gira de modo constante, então o gráfico deste nível traça a mesma curva: 50 W/m² em $\theta =0$, 25 W/m² em $45^{\circ }$, zero em $90^{\circ }$ e 50 W/m² de novo em $180^{\circ }$.

A inclinação indica o quanto a leitura reage a uma pequena rotação da polarização: $d{I}_2/d\theta =-I_1\sin 2\theta$. Ela é mais íngreme em $45^{\circ }$ e $135^{\circ }$, onde vale 50 W/m² por radiano, ou 0,87 W/m² por grau. Essas são as melhores configurações para detectar uma pequena rotação de polarização.

Em $90^{\circ }$, com os polarizadores cruzados, a curva toca o zero com inclinação zero. Um analisador a um pequeno ângulo $ϵ$ (em radianos) do cruzamento deixa passar $I_1{\sin }^2ϵ\approx I_1{ϵ}^2$. Um grau deixa passar apenas $3\times 10^{-4}$ de $I_1$, e a menos de $5,7^{\circ }$ do cruzamento passa menos de 1 %; é por isso que a tela da animação permanece escura de 3,74 s a 4,26 s. Um mínimo tão achatado é difícil de localizar a olho, por isso o nulo é melhor encontrado como o ponto médio entre duas posições, uma de cada lado, que pareçam igualmente claras.

Luz não polarizada

A luz de uma lâmpada ou do Sol não mostra direção preferencial: um único polarizador deixa passar a mesma quantidade, não importa como seja girado. Esta seção explica por que isso acontece e por que essa quantidade é exatamente a metade.

Essa fonte é uma multidão de emissores independentes, cada um começando e parando ao acaso. A luz solar visível vai de 400 a 700 nm, uma faixa de cerca de $3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ em frequência. Uma onda com essa largura mantém uma elipse apenas por um tempo da ordem do inverso dessa largura, cerca de 3 fs, antes que a direção e a fase do campo derivem para novos valores. Nenhum detector é tão rápido, então toda medição faz média sobre todas as direções $\phi$ do campo. Um polarizador deixa passar a fração ${\cos }^2\phi$ de cada direção, e a média sobre uma volta completa é
$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}$
Assim, um polarizador deixa passar metade da luz não polarizada, $I_1=I_0/2$, qualquer que seja a sua orientação. Na animação, isso são os 50 W/m² atrás do filtro 1, de uma lâmpada que fornece $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$. A animação modela a luz natural exatamente assim, com cada meia onda vibrando em uma direção aleatória.

“Não polarizada” descreve, portanto, uma estatística, não um tipo especial de onda. Uma mistura aleatória igual de luz horizontal e vertical dá o mesmo resultado em todo experimento que uma mistura aleatória igual de luz circular esquerda e direita, então as duas não podem ser distinguidas. Quatro intensidades mensuráveis, os parâmetros de Stokes, descrevem completamente a polarização de qualquer feixe, seja ele polarizado, não polarizado ou intermediário.

Luz parcialmente polarizada

A maior parte da luz real não é nem totalmente polarizada nem totalmente não polarizada. Um analisador girando mostra quanto de cada tipo um feixe contém.

Legenda

$I$	Intensidade que passa pelo analisador.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Ângulo entre o eixo do analisador e a parte polarizada; marcado em graus no eixo.	$\mathrm{rad}$
$I_{\max }$	Maior intensidade, $\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, com o eixo ao longo da parte polarizada.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_{\min }$	Menor intensidade, $\frac{1}{2}{I}_u$, com o eixo transversal a ela.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_p$	Parte polarizada da intensidade: a altura da oscilação.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\frac{1}{2}{I}_u$	Metade da parte não polarizada $I_u$: o que o analisador sempre deixa passar dela, e o piso da curva.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Modele um feixe desses como a soma de uma parte não polarizada, de intensidade $I_u$, e de uma parte polarizada, de intensidade $I_p$. As duas partes são independentes, então suas intensidades simplesmente se somam. A Figura 3 mostra o que um analisador deixa passar quando gira pelo ângulo $\theta$, medido a partir da direção da parte polarizada; ela foi desenhada para $I_u=60$ e $I_p=40$, em W/m².

Observe primeiro o piso da curva. A parte não polarizada sempre deixa passar metade de si mesma, $\frac{1}{2}{I}_u$, qualquer que seja $\theta$, então a curva nunca desce abaixo desse nível. Sobre esse piso fica a parte polarizada, que segue a lei de Malus e acrescenta $I_p{\cos }^2\theta$, a mesma oscilação da Figura 2. Juntas,
$I(\theta )=\frac{1}{2}{I}_u+I_p{\cos }^2\theta$
A curva oscila entre $I_{\max }=\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, com o analisador ao longo da parte polarizada, e $I_{\min }=\frac{1}{2}{I}_u$, com ele transversal a ela, e nunca chega a zero.

A profundidade da oscilação mede o quanto o feixe é polarizado. O grau de polarização é
$P=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{I_p}{I_u+I_p}$
pois a diferença das duas leituras é $I_p$ e a soma delas é $I_u+I_p$. É a fração polarizada da intensidade total: 0 para luz não polarizada, 1 para luz totalmente polarizada. Para o feixe da Figura 3, o analisador lê valores entre 30 e 70 W/m², logo $P=(70-30)/(70+30)=0,4$.

Por que a reflexão polariza

O brilho refletido pela água ou pelo vidro é fortemente polarizado e, em um ângulo de incidência, completamente. A razão está em como os elétrons da superfície irradiam.

Legenda

$n_1$	Índice de refração do meio de onde vem a luz.
$n_2$	Índice de refração do meio refletor.
${\theta }_B$	Ângulo de Brewster: o ângulo de incidência, igual ao de reflexão e medido a partir da normal, em que nenhuma luz p é refletida; $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Ângulo de refração, medido a partir da normal.	$\mathrm{rad}$
$p$	Luz polarizada no plano de incidência (a página): seu campo faz os elétrons oscilarem ao longo da seta dupla, transversal ao raio refratado.
$s$	Luz polarizada transversalmente ao plano de incidência: seu campo aponta para fora da página, desenhado como um anel com um ponto.

Na Figura 4, a luz vem de um meio de índice de refração $n_1$ (ar) e incide sobre um segundo meio de índice $n_2$ (água). O ângulo de incidência é o ângulo de Brewster ${\theta }_B$, o ângulo de reflexão é o mesmo, e o raio refratado sai no ângulo ${\theta }_2$; todos os três são medidos a partir da normal, a linha vertical tracejada. A luz refletida não é rebatida na superfície como uma bola: ela é irradiada pelos elétrons do segundo meio. Esses elétrons são movidos pela onda refratada, então oscilam ao longo do campo dela, que está sempre transversal ao raio refratado.

Agora separe a luz em suas duas polarizações. Para a luz s, polarizada transversalmente ao plano de incidência (a página), o campo aponta para fora da página, desenhado como um anel com um ponto e rotulado $s$. Os elétrons então oscilam paralelos à superfície e transversais ao raio refletido, de modo que irradiam livremente em sua direção. Para a luz p, polarizada no plano de incidência, os elétrons oscilam na página, transversais ao raio refratado, ao longo da seta dupla rotulada $p$.

Um fato sobre um dipolo oscilante resolve a questão: ele irradia proporcionalmente a ${\sin }^2\alpha$, onde $\alpha$ é medido a partir de seu eixo, e por isso não envia nada ao longo desse eixo. No ângulo de Brewster, o raio refletido está em ângulo reto com o raio refratado, como indica a marca de $90^{\circ }$ na figura. A seta dupla $p$, por estar transversal ao raio refratado, aponta então exatamente na direção refletida: ela é paralela à linha tracejada curta, que corre paralela ao raio refletido. Os elétrons da luz p teriam de irradiar ao longo do próprio eixo, o que não podem fazer; por isso nenhuma luz p é refletida.

O ângulo reto significa ${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }$, logo $\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_B$. Substituindo isso na lei de Snell, $n_1\sin {\theta }_B=n_2\sin {\theta }_2$, obtém-se $n_1\sin {\theta }_B=n_2\cos {\theta }_B$, isto é
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$
A Figura 4 foi desenhada para $n_2/n_1=4/3$, água no ar, o que dá ${\theta }_B=53,1^{\circ }$ e ${\theta }_2=36,9^{\circ }$.

A imagem do dipolo explica o zero; as equações de Maxwell dão o quadro completo. Para uma superfície transparente e não magnética, as frações da intensidade refletidas para as duas polarizações, as refletâncias, são
$R_s=\frac{{\sin }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\sin }^2({\theta }_1+{\theta }_2)},R_p=\frac{{\tan }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\tan }^2({\theta }_1+{\theta }_2)}$
com ${\theta }_1$ o ângulo de incidência. $R_p$ se anula quando ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, porque a tangente em seu denominador se torna infinita: a mesma condição dada pelo argumento do dipolo. $R_s$ nunca se anula, então a luz refletida no ângulo de Brewster é luz s pura.

Para a água no ângulo de Brewster, ${\theta }_1-{\theta }_2=16,3^{\circ }$ e ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, logo $R_s={\sin }^{2}16,3^{\circ }=0,078$. A luz solar não polarizada é metade luz s, então perde $\frac{1}{2}{R}_s$, ou 3,9 % de sua intensidade, para um brilho totalmente polarizado em s; sobre um lago, isso significa horizontal. Para o vidro ($n_2/n_1=1,5$), os mesmos passos dão $R_s=0,148$ e uma perda de 7,4 %. Fora do ângulo de Brewster, o brilho é só parcialmente polarizado: com incidência de $30^{\circ }$ sobre a água, $R_s=0,031$ e $R_p=0,012$, então a luz refletida tem $P=(R_s-R_p)/(R_s+R_p)=0,44$.

Lasers de gás aproveitam esse zero. As janelas de seus tubos são inclinadas no ângulo de Brewster, então a luz p as atravessa de um lado para o outro sem perda por reflexão, enquanto a luz s perde um pouco a cada passagem; só a luz p se acumula, e o laser emite luz linearmente polarizada. A luz do céu é polarizada pela mesma razão: as moléculas de ar que espalham a luz solar são dipolos empurrados transversalmente aos raios do Sol, e um dipolo não envia nada ao longo de seu eixo. A polarização é mais forte a $90^{\circ }$ do Sol, embora a luz espalhada mais de uma vez mantenha $P$ abaixo de cerca de 0,7 a 0,8 mesmo em um céu limpo.

Birrefringência e lâminas de onda

Alguns cristais fazem mais do que filtrar uma polarização: eles retardam uma polarização mais do que a outra. Isso nos permite mudar a diferença de fase $\delta$ da Figura 1 e, assim, remodelar a elipse à vontade.

Em um cristal cuja estrutura difere de uma direção para outra, o índice de refração depende da polarização. A calcita, por exemplo, tem os dois índices 1,658 e 1,486. Um feixe que entra em um cristal de calcita geralmente se divide em dois feixes polarizados em ângulo reto, de modo que um texto visto através do cristal aparece duplicado. Essa divisão chama-se birrefringência, ou dupla refração.

Uma lâmina de onda é uma fatia desse cristal, de espessura $d$, cortada de modo que seu eixo óptico (a direção especial do cristal) fique no plano da face da lâmina. Com incidência normal, a luz polarizada ao longo do eixo e a luz polarizada transversalmente seguem o mesmo caminho, mas em velocidades diferentes. Ao longo da espessura $d$, uma fica atrás da outra pelo caminho óptico $\Delta nd$, onde $\Delta n$ é a diferença entre os dois índices. Em termos de fase, com $\lambda$ o comprimento de onda no vácuo, isso é
$\delta =\frac{2\pi \Delta nd}{\lambda }$
então a lâmina soma essa quantidade ao $\delta$ da elipse.

Uma lâmina de um quarto de onda dá $\delta =\pi /2$. Com seu eixo a $45^{\circ }$ de uma polarização linear, ela divide o campo em duas componentes iguais, $a=b$, e as deixa defasadas em um quarto de ciclo: pelos casos da Figura 1, isso é luz circular. Sua espessura é $d=\lambda /(4\Delta n)$; no quartzo, com $\Delta n\approx 0,009$, ela tem apenas cerca de 15 μm para luz de 550 nm. Uma lâmina de meia onda ($\delta =\pi$) inverte a componente transversal a seu eixo, então uma polarização linear com ângulo $\alpha$ em relação ao eixo sai em $-\alpha$. Ela foi girada de $2\alpha$, e nada foi absorvido. Os óculos de cinema 3D combinam uma lâmina de um quarto de onda com um polarizador linear para deixar passar apenas um sentido de luz circular, de modo que as imagens da esquerda e da direita permanecem separadas mesmo quando você inclina a cabeça.

Problema resolvido: girando a polarização

Polarizadores podem girar uma polarização, além de bloqueá-la, mas com custo em intensidade. Este problema calcula esse custo e como reduzi-lo.

A luz que sai do filtro 1 na animação é vertical, com $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$. Quanto dela pode ser tornada horizontal usando apenas polarizadores?

Uma única folha horizontal não deixa passar nada, já que $\theta =90^{\circ }$. Coloque uma folha extra a $45^{\circ }$ à frente dela. Cada folha fica então a $45^{\circ }$ da polarização que a alcança e deixa passar a fração ${\cos }^{2}45^{\circ }=1/2$, de modo que $50{\cos }^{4}45^{\circ }=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ sai horizontal. Contando a partir dos $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ da lâmpada, isso é o $I_0/8$ do conhecido caso de três polarizadores.

Use agora $N$ folhas, cada uma girada mais $90^{\circ }/N$ em relação à anterior, a última horizontal. Cada folha recebe luz polarizada ao longo da anterior, formando o ângulo $\pi /(2N)$ com o próprio eixo, e deixa passar a fração ${\cos }^2(\pi /2N)$, logo
$I_N=I_1{\cos }^{2N}\left(\frac{\pi }{2N}\right)$
Três folhas deixam passar 21,1 W/m², dez deixam passar 39,0 W/m².

Por que a perda diminui à medida que folhas são acrescentadas? Para um ângulo pequeno $x$, $\ln \cos x\approx -x^2/2$. Com $x=\pi /(2N)$, o logaritmo de ${\cos }^{2N}x$ é cerca de $-N{x}^2=-{\pi }^2/(4N)$, logo
$I_N\approx I_1{e}^{-{\pi }^2/(4N)}\approx I_1\left(1-\frac{{\pi }^2}{4N}\right)$
Cada folha remove apenas uma fração da ordem de $(\pi /2N{)}^2$, que diminui com $1/N^2$; as $N$ frações juntas formam uma perda que cai com $1/N$.

Para manter 90 %, ou seja 45 W/m², são necessárias 24 folhas, que deixam passar 45,1 W/m²; 23 folhas deixam passar apenas 44,9 W/m². Infinitas folhas arrastariam a polarização sem perda alguma, um parente clássico do efeito Zeno quântico. Uma lâmina de meia onda com o eixo a $45^{\circ }$ faz a tarefa toda em um único passo e deixa passar todos os 50 W/m², exceto pequenas reflexões nas superfícies, porque desloca uma fase em vez de projetar o campo.

Fótons e limites de validade

A lei de Malus foi deduzida para ondas, mas a luz chega como fótons, e polarizadores e superfícies reais ficam aquém dos ideais acima. Esta seção indica onde a imagem simples vale.

Em termos quânticos, a polarização de um fóton é um sistema de dois estados: duas amplitudes complexas fazem o papel de $a$, $b$ e $\delta$. Um polarizador no ângulo $\theta$ em relação à polarização de um fóton o deixa passar com probabilidade ${\cos }^2\theta$, e um fóton que passa sai polarizado ao longo do eixo do polarizador. A lei de Malus é a média de um número enorme desses eventos sim-ou-não: um feixe de 50 W/m² de luz de 550 nm carrega cerca de $1,4\times 10^{20}$ fótons por segundo através de cada metro quadrado.

Folhas polarizadoras reais deixam passar apenas cerca de 38 a 42 % da luz não polarizada, e não os 50 % ideais, e um par cruzado deixa vazar $10^{-3}$ a $10^{-5}$ dela (polarizadores de cristal, $10^{-5}$ a $10^{-6}$). Cada tipo também funciona apenas em uma faixa limitada de comprimentos de onda. O zero de Brewster exige uma superfície lisa, transparente e isotrópica: ondulações espalham os ângulos de incidência, e metais mostram apenas um mínimo raso de $R_p$, não um zero. Por fim, o campo é puramente transversal apenas em feixes largos: luz focalizada em um ponto de cerca de um comprimento de onda ganha uma componente de campo na direção de propagação.

Para onde isso leva

Ondas eletromagnéticas mostra por que a luz é transversal: no espaço vazio, as equações de Maxwell não permitem campo na direção de propagação. Interferência e superposição soma ondas com diferença de fase, como a Figura 1 soma duas componentes perpendiculares; mas dois feixes polarizados em ângulo reto não podem interferir, então polarizadores cruzados sobre as duas fendas de Difração e fenda dupla apagam as franjas. Dualidade onda-partícula apresenta os próprios fótons, cada um dos quais atravessa um polarizador com a probabilidade ${\cos }^2\theta$ descrita acima.

Reflexão e refração fornece as amplitudes de Fresnel por trás do ângulo de Brewster, e Prismas, dispersão e cor, o espalhamento que torna o céu azul. As ondas gravitacionais de A gravidade como espaço-tempo curvo também têm duas polarizações, mas separadas por $45^{\circ }$ em vez de $90^{\circ }$. Uma onda assim estica o espaço ao longo de um eixo enquanto o comprime ao longo do perpendicular. Girar esse padrão em $90^{\circ }$ apenas troca esticamento e compressão, o que dá a mesma polarização com o sinal invertido; por isso a segunda polarização, independente, é a girada em $45^{\circ }$.