光的偏振

入门

第 1 步。把跳绳系在门把手上，甩动你手里的一端。你可以让绳子上下抖动、左右抖动，或沿中间任意斜线抖动，而波本身始终朝门的方向传去。光就是这种“横向”的波，它抖动的方向叫作偏振。

第 2 步。灯或太阳发出的光，抖动方向不断随机变化，所以各个方向都混在一起。这样的光叫作非偏振光。动画里，从灯射出的黄色抖动指向四面八方。

第 3 步。偏振滤光片像一排窄缝：只让与狭缝方向一致的那部分抖动通过，其余的都吸收掉。滤光片 1 后面，蓝色的波只做上下抖动，约有一半的光不见了。

第 4 步。现在看滤光片 2 转动。它的狭缝与滤光片 1 的一致时，光通过，屏幕上的光斑很亮。随着转动，它后面的红色波变小；转过四分之一圈后两组狭缝相互垂直，屏幕变暗。继续转，光又回来了。

第 5 步。阳光从湖面或湿路面反射回来时，抖动多为横向。偏振太阳镜的狭缝是竖直的，所以能挡掉大部分这种眩光。

自测：戴着偏振太阳镜看水坑上的反光，然后把头歪向肩膀。会发生什么？（眩光回来了：你的狭缝现在变成横向，与反射光的抖动方向一致。）

中级

光是横波

光是电磁波：电场 $\vec{E}$ 和磁场一起振荡，彼此垂直，也都垂直于光束。它的偏振就是 $\vec{E}$ 振荡的方向：竖直、水平，或介于两者之间的任意方向。空气中的声音沿传播方向振动，没有这样的方向，所以不能被偏振。

电场方向保持不变的光叫作线偏振光。阳光和灯光来自无数各自独立发光的原子，所以它们的振动方向随机变化，快得任何仪器都跟不上：它们是非偏振光。湿路面的眩光和蓝天的光是部分偏振光，是两者的混合。

眼睛或照度计记录的是强度 $I$，即单位面积上的功率，单位是瓦每平方米（W/m²）。它与电场振幅 $E_0$（单位为伏每米）的平方成正比：
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$
其中 $c=3.00\times 10^{8}m/s$ 是光速，${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ 是真空介电常数。振幅减半，强度变为四分之一。

偏振片的作用

偏振片有一个透光轴：沿该轴的 $\vec{E}$ 分量通过，垂直于该轴的分量被吸收，所以射出的光沿透光轴线偏振。常见的偏振片是塑料薄膜，由长聚合物链拉伸排列后浸入碘制成，电子可以沿链运动。沿链方向的电场驱动电流而被吸收，所以透光轴垂直于链，而不是像栅栏那样沿着链；动画里的狭缝画的是透光轴，而不是分子。

非偏振光含有各个方向，且各向均等。与透光轴成角 $\phi$ 的方向保留其强度的 ${\cos }^2\phi$，对所有方向平均后是一半，所以无论怎样转动，理想偏振片都让一半的光通过。动画中，灯的 $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ 在滤光片 1 后变成 $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$，蓝色的波只上下振动。

马吕斯定律

第二块偏振片叫检偏器，它的轴与到达它的光的偏振方向成角 $\theta$。动画的正视图把蓝色的场 $E_1$ 分成两部分：沿轴的部分 $E_1\cos \theta$ 作为红色的场 $E_2$ 通过，垂直于轴的部分 $E_1\sin \theta$ 被吸收。振幅取平方就是强度，所以用到的公式是：

• $I_1=\frac{I_0}{2}\text{(unpolarized light, ideal polarizer)}$
• $E_2=E_1\cos \theta$
• $I_2=I_1{\cos }^2\theta \text{(Malus’s law)}$

最后一个公式以艾蒂安-路易·马吕斯命名，他在 1808 年发现从窗户反射的光是偏振的。被吸收的部分 $I_1{\sin }^2\theta$ 补足差额，因为 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$。在 $90^{\circ }$ 时两片滤光片正交，没有光通过；又因为轴转过 $180^{\circ }$ 仍是同一根轴，所以图样每转半圈重复一次。

例题：动画中的检偏器

滤光片 2 以每秒 22.5° 的速度转动，所以 1 s、2 s、3 s 后 $\theta$ 分别达到 $22.5^{\circ }$、$45^{\circ }$ 和 $67.5^{\circ }$。取 $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$，由马吕斯定律：
$I_2=50{\cos }^{2}22.5^{\circ }=50\cdot 0.854=42.7W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}45^{\circ }=50\cdot 0.500=25.0W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}67.5^{\circ }=50\cdot 0.146=7.3W/{\mathrm{m}}^2$
4 s 后到 $90^{\circ }$ 时为零。这些就是 $I_2$ 读数上的值；在循环的后半段，它们按相反的顺序回来。

把波与读数对照一下。在 $45^{\circ }$ 时，红色的波的振幅仍是蓝色波的 $\cos 45^{\circ }=0.71$，但它的强度只有一半。在 $60^{\circ }$（2.7 s 时到达）处，振幅减半，强度变为四分之一，$I_2=50\cdot 0.25=12.5W/{\mathrm{m}}^2$：以场强表示，$E_1=\sqrt{2I_1/(c{\epsilon }_0)}\approx 194V/m$ 变成 $E_2\approx 97V/m$。在正视图中，红色箭头 $E_2$ 缩短时，绿色圆弧标出 $\theta$。

例题：三块偏振片

两块正交的偏振片，轴分别在 $0^{\circ }$ 和 $90^{\circ }$，会挡住所有光。在它们之间插入第三块，其轴与第一块成 $30^{\circ }$；送入 $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ 的非偏振光，并且始终用相邻两轴之间的夹角。第一片通过 $100/2=50W/{\mathrm{m}}^2$。中间那片通过 $50{\cos }^{2}30^{\circ }=37.5W/{\mathrm{m}}^2$，此时光沿 $30^{\circ }$ 偏振。最后一片再转过 $60^{\circ }$，通过 $37.5{\cos }^{2}60^{\circ }=9.4W/{\mathrm{m}}^2$。

若中间偏振片在任意角度 $\theta$，则最后一片与它成 $90^{\circ }-\theta$，而 ${\cos }^2(90^{\circ }-\theta )={\sin }^2\theta$：
$I_3=\frac{I_0}{2}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \text{(polarizers at }{0}^{\circ },\theta ,90^{\circ }\text{)}$
这等于 $(I_0/8){\sin }^{2}2\theta$，在 $\theta =45^{\circ }$ 时最大，此时有 $I_0/8=12.5W/{\mathrm{m}}^2$ 通过。

加上一片滤光片，原本没有光的地方反而有光通过。中间的滤光片并没有开出漏洞：它把光重新沿自己的轴偏振，而这个方向不再与最后一片垂直。每块偏振片都重新设定了电场的方向。

反射产生偏振

从水面、玻璃或路面反射的光是部分偏振的，$\vec{E}$ 多平行于表面。在布儒斯特角 ${\theta }_B$ 处，它完全偏振：
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}\text{(Brewster’s angle)}$
${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }\text{(reflected }\perp \text{ refracted)}$
这里 $n_1$ 是光来自的介质的折射率，$n_2$ 是反射介质的折射率，${\theta }_2$ 是折射角：此时反射光线与折射光线相互垂直。

从空气射入水（$n=1.33$），${\theta }_B=\arctan 1.33=53.1^{\circ }$，${\theta }_2=36.9^{\circ }$；对于玻璃（$n=1.50$），${\theta }_B=56.3^{\circ }$。当太阳在平静湖面上方 $36.9^{\circ }$ 时，它的光以恰好 $53.1^{\circ }$ 的角度射到水面，眩光是水平偏振的。透光轴竖直的太阳镜能挡掉它，而景物中其余大部分非偏振的光只被减半。

常见错误

• 用 $\cos \theta$ 代替 ${\cos }^2\theta$。在 $60^{\circ }$ 时振幅减半，但强度变为四分之一：由 $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ 得到的是 12.5 W/m²，而不是 25 W/m²。
• 对非偏振光使用马吕斯定律，或在第一块滤光片处忘记因子 $\frac{1}{2}$：不乘它，三块偏振片的答案会加倍成 18.75 W/m²。
• 所有角度都从第一块滤光片算起。要用相邻两轴之间的夹角：三块偏振片中最后一块与中间一块成 $60^{\circ }$，取 $90^{\circ }$ 会错误地得到零。
• 把栅栏的比喻当真。偏振片吸收沿其聚合物链方向的场，而金属线栅反射沿金属线方向的场，所以透光轴垂直于它们。
• 用正弦代替正切求布儒斯特角：$\sin {\theta }_B=1.33$ 无解，而 $\arcsin (1/1.33)=48.8^{\circ }$ 是光从水中射出时的临界角，是另一种效应。

在哪里遇到它

太阳镜和相机上的偏振滤光片能减弱水面和橱窗的反光，还能让蓝天变暗；蓝天的光经散射而部分偏振，在离太阳 $90^{\circ }$ 处最强，蜜蜂就靠这种图样导航。液晶屏把液晶放在两块偏振片之间，每个像素通过改变偏振被转过的程度来设定亮度，所以隔着偏振太阳镜看手机，在某个特定倾角时会变黑。3D 电影院把给两只眼睛的画面用不同的偏振送出；工程师则把塑料模型放在正交偏振片之间，应力会显示为彩色条纹。

《反射与折射》给出了这里用到的角度。《电磁波》解释了光为什么是横波，以及 $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ 从何而来；《波粒二象性》引入光子，对光子来说，马吕斯定律变成通过的概率 ${\cos }^2\theta$。

高级

作为二维振子的电场

偏振描述光波的电场如何在垂直于光束的平面内运动。本课中的每个偏振片、反射面和晶体都作用于这种运动，所以我们先对它建立清晰的图像。

取一列沿 $z$ 轴传播的波。它的电场 $\vec{E}$ 垂直于光束，位于 $xy$ 平面内，因此有两个分量 $E_x$ 和 $E_y$。两者都以光的角频率 $\omega$ 振荡，但各有自己的振幅：$E_x$ 的为 $a$，$E_y$ 的为 $b$；并且 $E_y$ 可能比 $E_x$ 超前一个相位差 $\delta$。在光束中的某个固定点：
$E_x=a\cos \omega t,E_y=b\cos (\omega t+\delta )$
两个分量相互独立，所以电场的行为像一个二维振子，就像摆锤可以沿任意方向来回摆动，或绕着椭圆转动。

图例

$a$	$E_x$ 的振幅：方框宽度的一半。	$V/m$
$b$	$E_y$ 的振幅：方框高度的一半。	$V/m$
$\vec{E}$	所画时刻的电场；其尖端描出椭圆。	$V/m$
$E_x$	$\vec{E}$ 沿 $x$ 方向的分量。	$V/m$
$E_y$	$\vec{E}$ 沿 $y$ 方向的分量。	$V/m$
$\omega t$	波在该点的相位：角频率乘以时间。它是图线的横轴。	$\mathrm{rad}$
$\delta$	两个分量之间的相位差：$E_y$ 比 $E_x$ 早一个相位 $\delta$ 到达峰值。	$\mathrm{rad}$

图 1 用两种方式表示这种运动。左边是垂直于光束的平面。每一时刻，$\vec{E}$ 的箭头尖端位于点 $(E_x,E_y)$，所以两个分量就是箭头在两根坐标轴上的投影。因为 $E_x$ 不会超过 $a$，$E_y$ 不会超过 $b$，所以尖端始终在宽 $2a$、高 $2b$ 的方框内；又因为每个分量每个周期各到达一次峰值，曲线会与方框的四条边都相切。右边把同样的两个分量对相位 $\omega t$ 作图。这里 $\delta =60^{\circ }$，所以 $E_y$ 的每个峰值都比对应的 $E_x$ 峰值早一个相位 $\delta$。两条曲线上的圆点标出左图所画的那一时刻。

要找出曲线的形状，需要消去时间。展开余弦得 $E_y/b=\cos \omega t\cos \delta -\sin \omega t\sin \delta$。第一个式子说明 $\cos \omega t=E_x/a$，所以 $\sin \omega t\sin \delta =(E_x/a)\cos \delta -E_y/b$。两边平方，并把 ${\sin }^2\omega t$ 换成 $1-E_x^2/a^2$，得到
$\frac{E_x^2}{a^2}+\frac{E_y^2}{b^2}-\frac{2E_x{E}_y}{ab}\cos \delta ={\sin }^2\delta$

这是椭圆的方程。所以一般情况下，$\vec{E}$ 的尖端在 $2a$ 乘 $2b$ 的方框内描出一个椭圆，而 $a$、$b$ 和 $\delta$ 这三个数决定了它的大小、形状和倾斜程度。

有两种特殊情况各有名称。当 $\delta =0$ 时，右边为零，左边是一个完全平方 $(E_x/a-E_y/b{)}^2=0$，于是 $E_y=(b/a)E_x$：椭圆缩成一条与 $x$ 轴成 $\arctan (b/a)$ 的直线。这就是线偏振。当 $\delta =\pi$ 时，交叉项的符号反转，直线位于 $-\arctan (b/a)$。这时在图 1 的右边，两条曲线会一同起伏（$\delta =0$）或反向起伏（$\delta =\pi$）。

当 $a=b$ 且 $\delta =\pm \pi /2$ 时，交叉项消失，方程变为 $E_x^2+E_y^2=a^2$：尖端绕圆转动，光是圆偏振的。此时两条曲线相差四分之一个周期，而 $\delta$ 的两种符号使尖端沿相反的方向转动。其余所有情况都是椭圆偏振。称一个旋向为左旋或右旋有两种相反的约定，所以一定要说明你是沿光束方向看，还是朝着光源看。

偏振并不改变波携带的能量。强度正比于 $E_x^2+E_y^2$ 的平均值，而每个 ${\cos }^2$ 在一个周期内的平均值都是一半，与其相位无关。所以对每个 $\delta$ 都有 $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0(a^2+b^2)$：偏振只决定电场如何分配在两个分量之间。磁场的大小为 $E/c$，与 $\vec{E}$ 保持垂直，因此不携带额外信息。推动电子的是 $\vec{E}$，这就是偏振片和表面对它的方向有响应的原因，也是“偏振”总是指电场方向的原因。

作为投影的偏振片

偏振片是只让电场的一个方向通过的滤光片。把它看作投影，就能准确知道通过多少光，以及两块正交的偏振片为什么会变暗。

图例

$\hat{u}$	偏振片的透光轴，垂直于金属线：一个单位矢量。
${\vec{E}}_1$	到达偏振片的电场，与 $\hat{u}$ 成角 $\theta$。	$V/m$
${\vec{E}}_2$	通过的电场：${\vec{E}}_1$ 沿 $\hat{u}$ 的部分，大小为 $E_1\cos \theta$。	$V/m$
$E_1\sin \theta$	${\vec{E}}_1$ 沿金属线的部分；它不能通过。	$V/m$
$\theta$	${\vec{E}}_1$ 与 $\hat{u}$ 之间的夹角；图线上以度标出。	$\mathrm{rad}$
$I_1$	到达偏振片的光的强度。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	通过的强度，$I_1{\cos }^2\theta$。	$W/{\mathrm{m}}^2$

图 2 左边是正对着看的线栅偏振片：平行的金属线，间距远小于一个波长。它的透光轴，即单位矢量 $\hat{u}$，垂直于金属线。入射的电场 ${\vec{E}}_1$ 与 $\hat{u}$ 成角 $\theta$，因此分成两部分。沿金属线的部分，大小为 $E_1\sin \theta$，驱动电子沿线上下运动。它所产生的电流辐射出一个场，在栅后抵消这一部分，并把它作为反射波送回。沿 $\hat{u}$ 的部分，大小为 $E_1\cos \theta$，需要驱动电子垂直于金属线运动，而电子在那个方向走不远，所以它几乎不受影响地通过，成为电场 ${\vec{E}}_2$，即水平箭头。片状偏振片的工作方式相同，只是用掺碘的长聚合物链代替金属线；链把被阻挡的部分吸收而不是反射。

无论哪种方式，偏振片保留的都是电场在其透光轴上的投影：
${\vec{E}}_2=({\vec{E}}_1\cdot \hat{u})\hat{u},E_2=E_1\cos \theta$
强度与电场振幅的平方成正比，所以通过的强度为
$I_2=I_1{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}{I}_1(1+\cos 2\theta )$
这就是马吕斯定律。第二种形式来自 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$，它表明曲线每 $180^{\circ }$ 重复一次：转过半圈的轴还是同一根轴。其余的光 $I_1{\sin }^2\theta$ 被吸收或反射。

图 2 右边画出 $I_2$ 随 $\theta$ 的变化。顶部的虚线标出 $I_1$，圆点标出左图所画的角度。动画中，滤光片 1 送出 $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$，检偏器匀速转动，所以本级别的图线描出的是同一条曲线：$\theta =0$ 时为 50 W/m²，$45^{\circ }$ 时为 25 W/m²，$90^{\circ }$ 时为零，$180^{\circ }$ 时又是 50 W/m²。

斜率表明读数对偏振的微小转动反应有多强烈：$d{I}_2/d\theta =-I_1\sin 2\theta$。它在 $45^{\circ }$ 和 $135^{\circ }$ 处最陡，为每弧度 50 W/m²，即每度 0.87 W/m²。这些是探测偏振微小转动的最佳设置。

在 $90^{\circ }$，即偏振片正交时，曲线以零斜率触及零。检偏器偏离正交一个小角 $ϵ$（以弧度计）时，通过 $I_1{\sin }^2ϵ\approx I_1{ϵ}^2$。偏离一度只漏过 $I_1$ 的 $3\times 10^{-4}$，而在偏离正交 $5.7^{\circ }$ 以内，漏过的都不到 1 %；这就是动画中屏幕从 3.74 s 到 4.26 s 一直保持黑暗的原因。这样平坦的极小值很难凭眼睛确定，所以最好在零点两侧各找一个看起来亮度相同的设置，取两者的中点作为零点。

非偏振光

来自灯或太阳的光没有择优方向：无论怎样转动，单块偏振片通过的量都一样。本节解释为什么如此，以及为什么这个量恰好是一半。

这样的光源是一群独立的发光体，各自随机地开始和停止。可见的阳光覆盖 400 到 700 nm，频宽约为 $3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$。具有这种频宽的波，只在大约频宽的倒数、约 3 fs 的时间内保持同一个椭圆，之后电场的方向和相位就漂移到新值。没有探测器有这么快，所以每次测量都是对电场所有方向 $\phi$ 取平均。偏振片对每个方向通过 ${\cos }^2\phi$ 的比例，转一整圈的平均为
$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}$
所以无论指向哪里，偏振片都让非偏振光通过一半，$I_1=I_0/2$。动画中，灯给出 $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$，那就是滤光片 1 后面的 50 W/m²。动画正是这样模拟自然光的：每个半波都沿随机方向振动。

因此，“非偏振”描述的是统计性质，而不是一种特殊的波。水平光与竖直光的等量随机混合，在每个实验中给出的结果，都与左旋圆偏振光和右旋圆偏振光的等量随机混合相同，所以两者无法区分。四个可测的强度，即斯托克斯参量，可以完整描述任何光束的偏振，不论它是偏振的、非偏振的还是介于两者之间。

部分偏振光

大多数真实的光既不是完全偏振的，也不是完全非偏振的。转动检偏器可以看出一束光各含多少这两种成分。

图例

$I$	检偏器通过的强度。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	检偏器的轴与偏振部分之间的夹角；坐标轴上以度标出。	$\mathrm{rad}$
$I_{\max }$	最大强度，$\frac{1}{2}{I}_u+I_p$，此时轴沿偏振部分。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_{\min }$	最小强度，$\frac{1}{2}{I}_u$，此时轴与之垂直。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_p$	强度的偏振部分：起伏的高度。	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\frac{1}{2}{I}_u$	非偏振部分 $I_u$ 的一半：检偏器对它始终通过的量，也是曲线的底线。	$W/{\mathrm{m}}^2$

把这样的光束建模为非偏振部分（强度 $I_u$）与偏振部分（强度 $I_p$）之和。这两部分相互独立，所以强度直接相加。图 3 显示检偏器转过角度 $\theta$（从偏振部分的方向量起）时所通过的光；图中取 $I_u=60$、$I_p=40$，单位为 W/m²。

先看曲线的底部。非偏振部分无论 $\theta$ 为多少，总是通过自身的一半，$\frac{1}{2}{I}_u$，所以曲线从不低于这个水平。在底线之上是偏振部分，它遵循马吕斯定律，加上 $I_p{\cos }^2\theta$，与图 2 的起伏相同。合起来：
$I(\theta )=\frac{1}{2}{I}_u+I_p{\cos }^2\theta$
曲线在 $I_{\max }=\frac{1}{2}{I}_u+I_p$（检偏器沿偏振部分）与 $I_{\min }=\frac{1}{2}{I}_u$（与之垂直）之间起伏，永远不会到零。

起伏的深度衡量光束偏振的程度。偏振度为
$P=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{I_p}{I_u+I_p}$
因为两个读数之差是 $I_p$，之和是 $I_u+I_p$。它是偏振部分占总强度的比例：非偏振光为 0，完全偏振光为 1。对图 3 的光束，检偏器的读数在 30 到 70 W/m² 之间，所以 $P=(70-30)/(70+30)=0.4$。

反射为什么产生偏振

水面或玻璃的眩光是强偏振的，在某一入射角下则完全偏振。原因在于表面电子如何辐射。

图例

$n_1$	光来自的介质的折射率。
$n_2$	反射介质的折射率。
${\theta }_B$	布儒斯特角：入射角，等于反射角，从法线量起，此时没有 p 光被反射；$\tan {\theta }_B=n_2/n_1$。	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	折射角，从法线量起。	$\mathrm{rad}$
$p$	在入射面（纸面）内偏振的光：其电场沿双箭头驱动电子，垂直于折射光线。
$s$	垂直于入射面偏振的光：其电场指向纸外，画成带点的圆环。

图 4 中，光从折射率为 $n_1$ 的介质（空气）射来，遇到折射率为 $n_2$ 的第二种介质（水）。入射角是布儒斯特角 ${\theta }_B$，反射角与之相同，折射光线以角 ${\theta }_2$ 射出；这三个角都从法线（竖直虚线）量起。反射光并不像球那样从表面弹回：它是由第二种介质的电子辐射出来的。这些电子由折射波驱动，所以沿着它的电场振荡，而电场总是垂直于折射光线。

现在把光分成两种偏振。对 s 光，即垂直于入射面（纸面）偏振的光，电场指向纸外，画成带点的圆环并标注 $s$。这时电子平行于表面、垂直于反射光线振荡，所以能向反射方向自由辐射。对 p 光，即在入射面内偏振的光，电子在纸面内、垂直于折射光线振荡，沿着标注 $p$ 的双箭头。

关于振荡偶极子的一个事实决定了结果：它的辐射正比于 ${\sin }^2\alpha$，其中 $\alpha$ 从它的轴线量起，所以沿轴线什么也不辐射。在布儒斯特角，反射光线与折射光线成直角，如图中的 $90^{\circ }$ 标记所示。垂直于折射光线的双箭头 $p$ 于是正好指向反射方向：它平行于那条短虚线，而短虚线平行于反射光线。p 电子要想辐射就得沿自己的轴线辐射，这是做不到的，所以没有 p 光被反射。

直角意味着 ${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }$，所以 $\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_B$。代入斯涅尔定律 $n_1\sin {\theta }_B=n_2\sin {\theta }_2$，得 $n_1\sin {\theta }_B=n_2\cos {\theta }_B$，即
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$
图 4 是按 $n_2/n_1=4/3$ 画的，即水在空气中的情形，由此得 ${\theta }_B=53.1^{\circ }$，${\theta }_2=36.9^{\circ }$。

偶极子的图像解释了为什么为零；麦克斯韦方程组给出完整的结果。对于透明、无磁性的表面，两种偏振反射的强度比例，即反射率，为
$R_s=\frac{{\sin }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\sin }^2({\theta }_1+{\theta }_2)},R_p=\frac{{\tan }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\tan }^2({\theta }_1+{\theta }_2)}$
其中 ${\theta }_1$ 是入射角。当 ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$ 时 $R_p$ 为零，因为分母中的正切变为无穷大：这与偶极子论证给出的条件相同。$R_s$ 从不为零，所以在布儒斯特角反射的光是纯 s 光。

对于布儒斯特角处的水，${\theta }_1-{\theta }_2=16.3^{\circ }$，${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$，所以 $R_s={\sin }^{2}16.3^{\circ }=0.078$。非偏振的阳光中有一半是 s 光，所以它损失 $\frac{1}{2}{R}_s$，即强度的 3.9 %，变成完全 s 偏振的眩光；在湖面上，这意味着水平偏振。对于玻璃（$n_2/n_1=1.5$），同样的步骤给出 $R_s=0.148$，损失 7.4 %。离开布儒斯特角，眩光只是部分偏振：在水面 $30^{\circ }$ 入射时，$R_s=0.031$，$R_p=0.012$，所以反射光的 $P=(R_s-R_p)/(R_s+R_p)=0.44$。

气体激光器利用了这个零点。它们管子的窗口按布儒斯特角倾斜，所以 p 光来回穿过时没有反射损失，而 s 光每经过一次都损失一点；只有 p 光得以积累，激光器因而发出线偏振光。天空光的偏振也是同样的原因：散射阳光的空气分子是被垂直于太阳光线的电场驱动的偶极子，而偶极子沿自身轴线什么也不发射。偏振在离太阳 $90^{\circ }$ 处最强，不过多次散射的光使 $P$ 即使在晴空中也低于约 0.7 到 0.8。

双折射与波片

有些晶体不止是过滤偏振：它们让一种偏振比另一种偏振传播得更慢。这使我们可以改变图 1 中的相位差 $\delta$，从而随意改变椭圆的形状。

在结构因方向而异的晶体中，折射率取决于偏振。例如方解石有两个折射率 1.658 和 1.486。射入方解石晶体的光束一般会分成两束偏振方向相互垂直的光，所以透过晶体看印刷品会出现重影。这种分裂叫作双折射。

波片是这种晶体切出的薄片，厚度为 $d$，切割时使它的光轴（晶体的特殊方向）位于片面内。垂直入射时，沿光轴偏振的光和垂直于光轴偏振的光走相同的路径，但速度不同。在厚度 $d$ 内，一束光比另一束光落后光程 $\Delta nd$，其中 $\Delta n$ 是两个折射率之差。用相位表示，设 $\lambda$ 为真空中的波长，则为
$\delta =\frac{2\pi \Delta nd}{\lambda }$
所以波片把这个量加到椭圆的 $\delta$ 上。

四分之一波片给出 $\delta =\pi /2$。当它的轴与线偏振成 $45^{\circ }$ 时，会把电场分成两个相等的分量，$a=b$，并让它们相差四分之一个周期：由图 1 的几种情形可知，这就是圆偏振光。它的厚度为 $d=\lambda /(4\Delta n)$；在石英中，$\Delta n\approx 0.009$，对 550 nm 的光只有约 15 μm。半波片（$\delta =\pi$）使垂直于其轴的分量反向，所以与轴成角 $\alpha$ 的线偏振出射时变为 $-\alpha$。它转过了 $2\alpha$，而没有吸收任何东西。3D 电影眼镜把一块四分之一波片与一块线偏振片配成一对，只让一种旋向的圆偏振光通过，所以即使你歪头，左右图像也不会混在一起。

例题：旋转偏振

偏振片既能挡住偏振，也能使偏振转向，只是要付出强度的代价。本题算出这个代价，以及如何减小它。

动画中离开滤光片 1 的光是竖直偏振的，$I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$。只用偏振片，最多能使多少变成水平偏振？

单独一片水平的偏振片什么也不通过，因为 $\theta =90^{\circ }$。在它前面再放一片 $45^{\circ }$ 的偏振片。这样每片偏振片都与到达它的偏振成 $45^{\circ }$，通过的比例为 ${\cos }^{2}45^{\circ }=1/2$，所以 $50{\cos }^{4}45^{\circ }=12.5W/{\mathrm{m}}^2$ 以水平偏振射出。从灯的 $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ 算起，这就是熟悉的三片偏振片情形中的 $I_0/8$。

现在用 $N$ 片，每片比前一片再转 $90^{\circ }/N$，最后一片是水平的。每片接收的光沿前一片的方向偏振，与自己的轴成角 $\pi /(2N)$，所以通过 ${\cos }^2(\pi /2N)$ 的比例，于是
$I_N=I_1{\cos }^{2N}\left(\frac{\pi }{2N}\right)$
三片通过 21.1 W/m²，十片通过 39.0 W/m²。

为什么加的片数越多，损失越小？对于小角 $x$，$\ln \cos x\approx -x^2/2$。取 $x=\pi /(2N)$，则 ${\cos }^{2N}x$ 的对数约为 $-N{x}^2=-{\pi }^2/(4N)$，所以
$I_N\approx I_1{e}^{-{\pi }^2/(4N)}\approx I_1\left(1-\frac{{\pi }^2}{4N}\right)$
每片只去掉很小的一部分，量级为 $(\pi /2N{)}^2$，它按 $1/N^2$ 缩小；$N$ 片合起来的损失按 $1/N$ 下降。

要保留 90 %，即 45 W/m²，需要 24 片，通过 45.1 W/m²；23 片只给出 44.9 W/m²。无穷多片可以毫无损失地把偏振拖转过去，这是量子芝诺效应的一个经典类比。轴在 $45^{\circ }$ 的半波片一步就完成全部工作，通过全部 50 W/m²，只有表面的少量反射损失，因为它移动的是相位，而不是对电场做投影。

光子与适用范围

马吕斯定律是对波推导出来的，但光是以光子的形式到达的，而真实的偏振片和表面也达不到上面的理想情形。本节说明简单图像在哪里成立。

用量子的话来说，光子的偏振是一个二态系统：两个复振幅起着 $a$、$b$ 和 $\delta$ 的作用。偏振片与光子的偏振成角 $\theta$ 时，光子以概率 ${\cos }^2\theta$ 通过，通过的光子沿偏振片的轴偏振。马吕斯定律是大量这类“是或否”事件的平均：一束 50 W/m² 的 550 nm 光，每秒每平方米约有 $1.4\times 10^{20}$ 个光子通过。

真实的偏振片只让非偏振光通过约 38 到 42 %，而不是理想的 50 %，一对正交的偏振片会漏过 $10^{-3}$ 到 $10^{-5}$（晶体偏振器为 $10^{-5}$ 到 $10^{-6}$）。每种类型也只在有限的波长范围内起作用。布儒斯特的零点需要光滑、透明、各向同性的表面：波纹会使入射角发散，而金属的 $R_p$ 只有一个浅浅的极小值，而不是零。最后，只有在宽光束中，电场才是纯横向的：聚焦成约一个波长宽的光斑时，光会获得沿传播方向的电场分量。

延伸阅读

《电磁波》说明了光为什么是横波：在真空中，麦克斯韦方程组不允许存在沿传播方向的场。《干涉与叠加》叠加有相位差的波，就像图 1 叠加两个相互垂直的分量；但偏振方向相互垂直的两束光不能干涉，所以在《衍射与双缝》的两条缝上放置正交的偏振片，条纹就消失了。《波粒二象性》引入光子本身，每个光子以上面所述的概率 ${\cos }^2\theta$ 通过偏振片。

《反射与折射》提供了布儒斯特角背后的菲涅耳振幅，《棱镜、色散与颜色》则讲使天空呈蓝色的散射。《引力即时空弯曲》中的引力波也有两种偏振，但相差 $45^{\circ }$ 而不是 $90^{\circ }$。这样的波沿一根轴拉伸空间，同时沿垂直的轴挤压它。把这个图样转过 $90^{\circ }$，只是把拉伸和挤压互换，得到的是同一种偏振的反转，所以第二种独立的偏振是转过 $45^{\circ }$ 的那一种。