Polarisation des Lichts

Einsteiger

Schritt 1. Binde ein Seil an einen Türgriff und schnipse das freie Ende. Du kannst das Seil auf und ab, seitlich oder entlang jeder schrägen Linie dazwischen schwingen lassen, während die Welle immer zur Tür läuft. Licht ist eine Welle dieser seitlichen Art, und die Richtung, in der sie schwingt, heißt ihre Polarisation.

Schritt 2. Eine Lampe oder die Sonne sendet Licht aus, dessen Schwingungsrichtung sich ständig und zufällig ändert; alle Richtungen sind also gemischt. Solches Licht heißt unpolarisiert. In der Animation zeigen die gelben Schwingungen, die die Lampe verlassen, in alle Richtungen.

Schritt 3. Ein Polarisationsfilter wirkt wie eine Reihe schmaler Schlitze: Er lässt nur den Teil der Schwingung durch, der mit den Schlitzen übereinstimmt, und schluckt den Rest. Hinter Filter 1 schwingt die blaue Welle nur auf und ab, und etwa die Hälfte des Lichts ist verloren.

Schritt 4. Beobachte nun, wie sich Filter 2 dreht. Solange seine Schlitze mit denen von Filter 1 übereinstimmen, geht das Licht durch, und der Fleck auf dem Schirm ist hell. Beim Drehen wird die rote Welle dahinter kleiner; nach einer Vierteldrehung sind die Schlitze gekreuzt, und der Schirm wird dunkel. Dreht man weiter, kehrt das Licht zurück.

Schritt 5. Sonnenlicht, das von einem See oder einer nassen Straße zurückgeworfen wird, schwingt meist seitlich. Polarisierte Sonnenbrillen haben senkrechte Schlitze und blockieren daher einen großen Teil dieser Spiegelung.

Teste dich: Du trägst eine polarisierte Sonnenbrille, schaust auf den Glanz einer Pfütze und legst dann den Kopf auf die Schulter. Was passiert? (Die Spiegelung kommt zurück: Deine Schlitze liegen jetzt seitlich, passend zur reflektierten Schwingung.)

Mittelstufe

Licht ist eine Querwelle

Licht ist eine elektromagnetische Welle: Ein elektrisches Feld $\vec{E}$ und ein magnetisches Feld schwingen gemeinsam, jeweils senkrecht zueinander und zum Strahl. Seine Polarisation ist die Richtung, in der $\vec{E}$ schwingt: senkrecht, waagerecht oder in jeder Richtung dazwischen. Schall in Luft schwingt in Ausbreitungsrichtung, hat also keine solche Richtung und kann nicht polarisiert werden.

Licht, dessen Feld eine Richtung beibehält, ist linear polarisiert. Sonnen- und Lampenlicht stammen von unzähligen Atomen, die unabhängig voneinander abstrahlen; ihre Schwingungsrichtung ändert sich zufällig, viel schneller, als ein Messgerät folgen kann: Es ist unpolarisiert. Die Spiegelung von einer nassen Straße und das Licht des blauen Himmels sind teilweise polarisiert, eine Mischung aus beidem.

Ein Auge oder ein Belichtungsmesser registriert die Intensität $I$, die Leistung pro Fläche, in Watt pro Quadratmeter (W/m²). Sie ist proportional zum Quadrat der Feldamplitude $E_0$, gemessen in Volt pro Meter:
$I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$
wobei $c=3,00\times 10^{8}m/s$ die Lichtgeschwindigkeit und ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}F/m$ die elektrische Feldkonstante ist. Halbiert man die Amplitude, sinkt die Intensität auf ein Viertel.

Was ein Polarisator tut

Ein Polarisator hat eine Durchlassachse: Er lässt die Komponente von $\vec{E}$ entlang dieser Achse durch und absorbiert die Komponente quer dazu. Das austretende Licht ist daher linear entlang der Achse polarisiert. Eine übliche Polarisationsfolie ist ein Kunststofffilm aus langen Polymerketten, die in eine Richtung gezogen und mit Iod getränkt sind, damit sich Elektronen entlang der Ketten bewegen können. Ein Feld entlang der Ketten treibt Ströme an und wird absorbiert; daher steht die Durchlassachse senkrecht zu den Ketten, nicht parallel, wie man bei einem Lattenzaun vermuten würde. Die Schlitze in der Animation stellen die Achse dar, nicht die Moleküle.

Unpolarisiertes Licht enthält alle Richtungen gleichmäßig. Eine Richtung im Winkel $\phi$ zur Achse behält den Anteil ${\cos }^2\phi$ ihrer Intensität; über alle Richtungen gemittelt ergibt das die Hälfte. Ein idealer Polarisator lässt daher unabhängig von seiner Drehung die Hälfte des Lichts durch. In der Animation werden aus $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ der Lampe $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ hinter Filter 1, und die blaue Welle schwingt nur auf und ab.

Das Gesetz von Malus

Ein zweiter Polarisator, der Analysator, hat seine Achse im Winkel $\theta$ zur Polarisation des Lichts, das ihn erreicht. Die Vorderansicht in der Animation zerlegt das blaue Feld $E_1$ in zwei Teile: Der Anteil entlang der Achse, $E_1\cos \theta$, geht als rotes Feld $E_2$ durch, der Anteil quer dazu, $E_1\sin \theta$, wird absorbiert. Quadriert man die Amplitude, erhält man die Intensität. Die Arbeitsgleichungen lauten daher:

• $I_1=\frac{I_0}{2}\text{(unpolarized light, ideal polarizer)}$
• $E_2=E_1\cos \theta$
• $I_2=I_1{\cos }^2\theta \text{(Malus’s law)}$

Das letzte Gesetz ist nach Étienne-Louis Malus benannt, der 1808 entdeckte, dass Licht, das von einem Fenster reflektiert wird, polarisiert ist. Der absorbierte Anteil $I_1{\sin }^2\theta$ macht den Unterschied aus, denn ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. Bei $90^{\circ }$ sind die Filter gekreuzt, und nichts geht durch. Da eine um $180^{\circ }$ gedrehte Achse dieselbe Achse ist, wiederholt sich das Muster bei jeder halben Drehung.

Beispiel: der Analysator in der Animation

Filter 2 dreht sich mit 22,5° pro Sekunde, daher erreicht $\theta$ nach 1, 2 und 3 s die Werte $22,5^{\circ }$, $45^{\circ }$ und $67,5^{\circ }$. Mit $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ liefert das Gesetz von Malus
$I_2=50{\cos }^{2}22,5^{\circ }=50\cdot 0,854=42,7W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}45^{\circ }=50\cdot 0,500=25,0W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2=50{\cos }^{2}67,5^{\circ }=50\cdot 0,146=7,3W/{\mathrm{m}}^2$
und bei $90^{\circ }$, nach 4 s, null. Das sind die Werte der $I_2$-Anzeige; in der zweiten Hälfte der Schleife kehren sie in umgekehrter Reihenfolge zurück.

Vergleiche die Wellen mit der Anzeige. Bei $45^{\circ }$ hat die rote Welle noch $\cos 45^{\circ }=0,71$ der Amplitude der blauen, trägt aber nur die halbe Intensität. Bei $60^{\circ }$, nach 2,7 s erreicht, ist die Amplitude halbiert und die Intensität geviertelt, $I_2=50\cdot 0,25=12,5W/{\mathrm{m}}^2$: In Feldgrößen wird $E_1=\sqrt{2I_1/(c{\epsilon }_0)}\approx 194V/m$ zu $E_2\approx 97V/m$. In der Vorderansicht markiert der grüne Bogen $\theta$, während der rote Pfeil $E_2$ schrumpft.

Beispiel: drei Polarisatoren

Zwei gekreuzte Polarisatoren, bei $0^{\circ }$ und $90^{\circ }$, blockieren alles. Schiebt man dazwischen einen dritten, bei $30^{\circ }$ zum ersten, und schickt unpolarisiertes Licht mit $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ hindurch, dann lässt der erste Filter $100/2=50W/{\mathrm{m}}^2$ durch. Dabei rechnet man immer mit dem Winkel zwischen benachbarten Achsen. Der mittlere lässt $50{\cos }^{2}30^{\circ }=37,5W/{\mathrm{m}}^2$ durch, jetzt polarisiert bei $30^{\circ }$. Der letzte, $60^{\circ }$ weiter, lässt $37,5{\cos }^{2}60^{\circ }=9,4W/{\mathrm{m}}^2$ durch.

Für einen mittleren Polarisator unter einem beliebigen Winkel $\theta$ liegt der letzte um $90^{\circ }-\theta$ davon entfernt, und ${\cos }^2(90^{\circ }-\theta )={\sin }^2\theta$:
$I_3=\frac{I_0}{2}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \text{(polarizers at }{0}^{\circ },\theta ,90^{\circ }\text{)}$
Das ist gleich $(I_0/8){\sin }^{2}2\theta$, am größten bei $\theta =45^{\circ }$, wo $I_0/8=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ durchkommen.

Ein zusätzlicher Filter lässt Licht durch, wo vorher keines war. Der mittlere Filter öffnet kein Leck: Er polarisiert das Licht entlang seiner eigenen Achse neu, und diese steht nicht mehr senkrecht zur letzten. Jeder Polarisator setzt die Richtung des Feldes neu.

Polarisation durch Reflexion

Licht, das von Wasser, Glas oder einer Straße reflektiert wird, ist teilweise polarisiert, wobei $\vec{E}$ überwiegend parallel zur Oberfläche liegt. Beim Brewster-Winkel ${\theta }_B$ ist es vollständig polarisiert:
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}\text{(Brewster’s angle)}$
${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }\text{(reflected }\perp \text{ refracted)}$
Dabei ist $n_1$ der Brechungsindex des Mediums, aus dem das Licht kommt, $n_2$ der des reflektierenden Mediums und ${\theta }_2$ der Brechungswinkel. Der reflektierte und der gebrochene Strahl stehen dann senkrecht aufeinander.

Von Luft in Wasser ($n=1,33$) ist ${\theta }_B=\arctan 1,33=53,1^{\circ }$ und ${\theta }_2=36,9^{\circ }$; für Glas ($n=1,50$) ist ${\theta }_B=56,3^{\circ }$. Steht die Sonne $36,9^{\circ }$ über einem ruhigen See, trifft ihr Licht das Wasser genau unter $53,1^{\circ }$, und die Spiegelung ist waagerecht polarisiert. Sonnenbrillen mit senkrechter Durchlassachse blockieren sie, während der überwiegend unpolarisierte Rest der Szene nur halb so hell wird.

Häufige Fehler

• $\cos \theta$ statt ${\cos }^2\theta$ verwenden. Bei $60^{\circ }$ ist die Amplitude halbiert, die Intensität aber geviertelt: Aus $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$ erhält man 12,5 W/m², nicht 25 W/m².
• Das Gesetz von Malus auf unpolarisiertes Licht anwenden oder den Faktor $\frac{1}{2}$ am ersten Filter vergessen: Ohne ihn verdoppelt sich das Ergebnis für drei Polarisatoren auf 18,75 W/m².
• Jeden Winkel vom ersten Filter aus messen. Verwende den Winkel zwischen benachbarten Achsen: Der letzte der drei Polarisatoren steht $60^{\circ }$ vom mittleren entfernt, und mit $90^{\circ }$ käme falsch null heraus.
• Den Lattenzaun wörtlich nehmen. Eine Polarisationsfolie absorbiert das Feld entlang ihrer Ketten, und ein Drahtgitter reflektiert das Feld entlang seiner Drähte; daher steht die Durchlassachse senkrecht zu ihnen.
• Beim Brewster-Winkel den Sinus statt des Tangens verwenden: $\sin {\theta }_B=1,33$ hat keine Lösung, und $\arcsin (1/1,33)=48,8^{\circ }$ ist der Grenzwinkel für Licht, das Wasser verlässt, also ein anderer Effekt.

Wo man ihr begegnet

Polarisationsfilter auf Sonnenbrillen und Kameras unterdrücken Spiegelungen von Wasser und Schaufenstern und machen einen blauen Himmel dunkler, dessen Licht durch Streuung teilweise polarisiert ist, am stärksten $90^{\circ }$ von der Sonne entfernt; Bienen orientieren sich an diesem Muster. Ein LCD-Bildschirm hält Flüssigkristalle zwischen zwei Polarisatoren, und jedes Pixel stellt seine Helligkeit ein, indem es die Polarisation dreht; ein durch polarisierte Sonnenbrillen betrachtetes Handy wird deshalb bei einer bestimmten Neigung dunkel. 3D-Kinos schicken die Bilder für beide Augen mit unterschiedlicher Polarisation, und Ingenieure sehen Spannungen in Kunststoffmodellen zwischen gekreuzten Polarisatoren als farbige Streifen.

Reflexion und Brechung lieferte die hier verwendeten Winkel. Elektromagnetische Wellen erklärt, warum Licht eine Querwelle ist und woher $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ stammt. Welle-Teilchen-Dualismus führt die Photonen ein, für die das Gesetz von Malus zu einer Wahrscheinlichkeit ${\cos }^2\theta$ wird, durchzukommen.

Fortgeschritten

Das Feld als zweidimensionaler Oszillator

Die Polarisation beschreibt, wie sich das elektrische Feld einer Lichtwelle quer über den Strahl bewegt. Jeder Polarisator, jede reflektierende Fläche und jeder Kristall in dieser Lektion wirkt auf diese Bewegung, daher beginnen wir mit einem klaren Bild davon.

Nimm eine Welle, die entlang der $z$-Achse läuft. Ihr elektrisches Feld $\vec{E}$ liegt quer zum Strahl, in der $xy$-Ebene, und hat daher zwei Komponenten, $E_x$ und $E_y$. Beide schwingen mit der Kreisfrequenz $\omega$ des Lichts, doch jede hat ihre eigene Amplitude, $a$ für $E_x$ und $b$ für $E_y$, und $E_y$ kann $E_x$ um eine Phasendifferenz $\delta$ vorauseilen. An einem festen Punkt im Strahl gilt
$E_x=a\cos \omega t,E_y=b\cos (\omega t+\delta )$
Die beiden Komponenten sind voneinander unabhängig, daher verhält sich das Feld wie ein zweidimensionaler Oszillator, ähnlich wie ein Pendel, das in jede Richtung hin und her schwingen oder auf einer Ellipse umlaufen kann.

Legende

$a$	Amplitude von $E_x$: die halbe Breite des Kastens.	$V/m$
$b$	Amplitude von $E_y$: die halbe Höhe des Kastens.	$V/m$
$\vec{E}$	Elektrisches Feld im gezeichneten Moment; seine Spitze beschreibt die Ellipse.	$V/m$
$E_x$	Komponente von $\vec{E}$ entlang $x$.	$V/m$
$E_y$	Komponente von $\vec{E}$ entlang $y$.	$V/m$
$\omega t$	Phase der Welle am Punkt: Kreisfrequenz mal Zeit. Sie ist die waagerechte Achse des Graphen.	$\mathrm{rad}$
$\delta$	Phasendifferenz zwischen den Komponenten: $E_y$ erreicht seinen Scheitel eine Phase $\delta$ vor $E_x$.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 1 zeigt diese Bewegung auf zwei Arten. Links ist die Ebene quer zum Strahl zu sehen. Zu jedem Zeitpunkt sitzt die Spitze von $\vec{E}$ am Punkt $(E_x,E_y)$, die beiden Komponenten sind also die Schatten des Pfeils auf den Achsen. Da $E_x$ nie $a$ und $E_y$ nie $b$ übersteigt, bleibt die Spitze im Kasten der Breite $2a$ und der Höhe $2b$; und weil jede Komponente einmal pro Zyklus ihren Scheitelwert erreicht, berührt die Kurve alle vier Seiten dieses Kastens. Rechts sind dieselben zwei Komponenten gegen die Phase $\omega t$ aufgetragen. Hier ist $\delta =60^{\circ }$, daher kommt jedes Maximum von $E_y$ eine Phase $\delta$ vor dem passenden Maximum von $E_x$. Die Punkte auf den beiden Kurven markieren den Zeitpunkt, der links gezeichnet ist.

Um die Form der Kurve zu finden, eliminiert man die Zeit. Das Ausmultiplizieren des Kosinus ergibt $E_y/b=\cos \omega t\cos \delta -\sin \omega t\sin \delta$. Die erste Gleichung besagt $\cos \omega t=E_x/a$, also $\sin \omega t\sin \delta =(E_x/a)\cos \delta -E_y/b$. Quadriert man beide Seiten und ersetzt ${\sin }^2\omega t$ durch $1-E_x^2/a^2$, bleibt
$\frac{E_x^2}{a^2}+\frac{E_y^2}{b^2}-\frac{2E_x{E}_y}{ab}\cos \delta ={\sin }^2\delta$

Das ist die Gleichung einer Ellipse. Im Allgemeinen beschreibt die Spitze von $\vec{E}$ also eine Ellipse innerhalb des Kastens $2a$ mal $2b$, und die drei Größen $a$, $b$ und $\delta$ legen Größe, Form und Neigung fest.

Zwei Sonderfälle haben Namen. Für $\delta =0$ ist die rechte Seite null und die linke ein perfektes Quadrat, $(E_x/a-E_y/b{)}^2=0$, also $E_y=(b/a)E_x$: Die Ellipse schrumpft zu einer Geraden unter $\arctan (b/a)$ zur $x$-Achse. Das ist lineare Polarisation. Für $\delta =\pi$ kehrt sich das Vorzeichen des gemischten Glieds um, und die Gerade liegt bei $-\arctan (b/a)$. Rechts in Abbildung 1 würden die beiden Kurven dann gemeinsam steigen und fallen ($\delta =0$) bzw. gegenläufig ($\delta =\pi$).

Für $a=b$ und $\delta =\pm \pi /2$ verschwindet das gemischte Glied, und die Gleichung wird zu $E_x^2+E_y^2=a^2$: Die Spitze läuft auf einem Kreis, und das Licht ist zirkular polarisiert. Die beiden Kurven liegen dann um eine Viertelperiode auseinander, und die beiden Vorzeichen von $\delta$ lassen die Spitze in entgegengesetzte Richtungen umlaufen. Jeder andere Fall ist elliptische Polarisation. Für den Drehsinn gibt es zwei entgegengesetzte Konventionen für „rechts“ und „links“; man sollte daher immer angeben, ob man in Richtung des Strahls oder zur Quelle hin blickt.

Die Polarisation ändert nicht, wie viel Energie die Welle trägt. Die Intensität ist proportional zum Mittelwert von $E_x^2+E_y^2$, und jedes ${\cos }^2$ mittelt sich über einen Zyklus zu einer Hälfte, unabhängig von seiner Phase. Also gilt $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0(a^2+b^2)$ für jedes $\delta$: Die Polarisation bestimmt nur, wie das Feld auf die beiden Komponenten verteilt ist. Das Magnetfeld mit dem Betrag $E/c$ steht senkrecht auf $\vec{E}$ und trägt daher keine zusätzliche Information. Es ist $\vec{E}$, das Elektronen antreibt; deshalb reagieren Polarisatoren und Oberflächen auf seine Richtung, und „die Polarisation“ meint immer die Richtung des elektrischen Feldes.

Ein Polarisator als Projektion

Ein Polarisator ist ein Filter, der nur eine Richtung des Feldes durchlässt. Ihn als Projektion zu sehen, zeigt genau, wie viel Licht hindurchgeht und warum zwei gekreuzte Polarisatoren dunkel werden.

Legende

$\hat{u}$	Durchlassachse des Polarisators, quer zu den Drähten: ein Einheitsvektor.
${\vec{E}}_1$	Feld, das den Polarisator erreicht, im Winkel $\theta$ zu $\hat{u}$.	$V/m$
${\vec{E}}_2$	Feld, das durchkommt: der Anteil von ${\vec{E}}_1$ entlang $\hat{u}$, der Größe $E_1\cos \theta$.	$V/m$
$E_1\sin \theta$	Anteil von ${\vec{E}}_1$ entlang der Drähte; er kommt nicht durch.	$V/m$
$\theta$	Winkel zwischen ${\vec{E}}_1$ und $\hat{u}$; im Graphen in Grad markiert.	$\mathrm{rad}$
$I_1$	Intensität des Lichts, das den Polarisator erreicht.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_2$	Intensität, die durchkommt, $I_1{\cos }^2\theta$.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Links in Abbildung 2 ist ein Drahtgitter-Polarisator von vorn zu sehen: parallele Metalldrähte, deutlich enger als eine Wellenlänge. Seine Durchlassachse, der Einheitsvektor $\hat{u}$, verläuft quer zu den Drähten. Das einfallende Feld ${\vec{E}}_1$ bildet mit $\hat{u}$ den Winkel $\theta$ und zerfällt daher in zwei Teile. Der Teil entlang der Drähte, der Größe $E_1\sin \theta$, treibt Elektronen auf den Drähten auf und ab. Die dadurch entstehenden Ströme strahlen ein Feld ab, das diesen Teil jenseits des Gitters auslöscht und ihn als reflektierte Welle zurückschickt. Der Teil entlang $\hat{u}$, der Größe $E_1\cos \theta$, müsste Elektronen quer zu den Drähten antreiben, wo sie nicht weit kommen; er geht daher fast ungehindert als Feld ${\vec{E}}_2$ durch, der waagerechte Pfeil. Ein Folienpolarisator arbeitet genauso, mit langen, iodgetränkten Polymerketten statt der Drähte; die Ketten absorbieren den gesperrten Teil, statt ihn zu reflektieren.

So oder so behält der Polarisator die Projektion des Feldes auf seine Durchlassachse:
${\vec{E}}_2=({\vec{E}}_1\cdot \hat{u})\hat{u},E_2=E_1\cos \theta$
Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Feldamplitude, also ist die durchgelassene Intensität
$I_2=I_1{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}{I}_1(1+\cos 2\theta )$
Das ist das Gesetz von Malus. Die zweite Form, aus ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$, zeigt, dass sich die Kurve alle $180^{\circ }$ wiederholt: Eine um eine halbe Drehung gedrehte Achse ist dieselbe Achse. Der übrige Teil des Lichts, $I_1{\sin }^2\theta$, wird absorbiert oder reflektiert.

Rechts in Abbildung 2 ist $I_2$ gegen $\theta$ aufgetragen. Die gestrichelte Linie oben markiert $I_1$, der Punkt markiert den Winkel, der links gezeichnet ist. In der Animation liefert Filter 1 $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$, und der Analysator dreht sich gleichmäßig; daher beschreibt der Graph dieser Stufe dieselbe Kurve: 50 W/m² bei $\theta =0$, 25 W/m² bei $45^{\circ }$, null bei $90^{\circ }$ und wieder 50 W/m² bei $180^{\circ }$.

Die Steigung zeigt, wie stark die Anzeige auf eine kleine Drehung der Polarisation reagiert: $d{I}_2/d\theta =-I_1\sin 2\theta$. Am steilsten ist sie bei $45^{\circ }$ und $135^{\circ }$, wo sie 50 W/m² pro Radiant beträgt, also 0,87 W/m² pro Grad. Dort liegen die besten Einstellungen, um eine kleine Drehung der Polarisation nachzuweisen.

Bei $90^{\circ }$, mit gekreuzten Polarisatoren, berührt die Kurve die Null mit der Steigung null. Ein Analysator, der um einen kleinen Winkel $ϵ$ (im Bogenmaß) von der Kreuzstellung abweicht, lässt $I_1{\sin }^2ϵ\approx I_1{ϵ}^2$ durch. Ein Grad lässt nur $3\times 10^{-4}$ von $I_1$ durch, und innerhalb von $5,7^{\circ }$ um die Kreuzstellung gelangt weniger als 1 % hindurch; deshalb bleibt der Schirm in der Animation von 3,74 s bis 4,26 s dunkel. Ein so flaches Minimum ist mit dem Auge schwer festzulegen, daher findet man die Nullstellung am besten als Mitte zwischen zwei Einstellungen, eine auf jeder Seite, die gleich hell erscheinen.

Unpolarisiertes Licht

Licht von einer Lampe oder der Sonne zeigt keine bevorzugte Richtung: Ein einzelner Polarisator lässt dieselbe Menge durch, egal wie er gedreht wird. Dieser Abschnitt erklärt, warum das so ist und warum die Menge genau die Hälfte beträgt.

Eine solche Quelle ist eine Menge unabhängiger Strahler, die jeweils zufällig anfangen und aufhören. Sichtbares Sonnenlicht umfasst 400 bis 700 nm, eine Frequenzspanne von etwa $3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. Eine Welle mit dieser Bandbreite behält eine Ellipse nur für eine Zeit von etwa dem Kehrwert der Bandbreite, rund 3 fs, bevor Richtung und Phase ihres Feldes zu neuen Werten driften. Kein Detektor ist so schnell, daher mittelt jede Messung über alle Richtungen $\phi$ des Feldes. Ein Polarisator lässt von jeder Richtung den Anteil ${\cos }^2\phi$ durch, und der Mittelwert über eine volle Drehung ist
$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{1}{2}$
Ein Polarisator lässt also die Hälfte unpolarisierten Lichts durch, $I_1=I_0/2$, in welche Richtung er auch zeigt. In der Animation sind das die 50 W/m² hinter Filter 1, von einer Lampe mit $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$. Die Animation modelliert natürliches Licht genau so, wobei jede halbe Welle in einer zufälligen Richtung schwingt.

„Unpolarisiert“ beschreibt also eine Statistik, keine besondere Art von Welle. Eine gleich große zufällige Mischung aus waagerechtem und senkrechtem Licht ergibt in jedem Experiment dasselbe Ergebnis wie eine gleich große zufällige Mischung aus links- und rechtszirkularem Licht, sodass sich die beiden nicht unterscheiden lassen. Vier messbare Intensitäten, die Stokes-Parameter, beschreiben die Polarisation jedes Strahls vollständig, ob er polarisiert, unpolarisiert oder dazwischen ist.

Teilweise polarisiertes Licht

Die meisten realen Lichtquellen sind weder vollständig polarisiert noch vollständig unpolarisiert. Ein sich drehender Analysator zeigt, wie viel von jeder Sorte ein Strahl enthält.

Legende

$I$	Vom Analysator durchgelassene Intensität.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Winkel zwischen der Achse des Analysators und dem polarisierten Anteil; auf der Achse in Grad markiert.	$\mathrm{rad}$
$I_{\max }$	Größte Intensität, $\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, mit der Achse entlang des polarisierten Anteils.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_{\min }$	Kleinste Intensität, $\frac{1}{2}{I}_u$, mit der Achse quer dazu.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_p$	Polarisierter Anteil der Intensität: die Höhe der Schwankung.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\frac{1}{2}{I}_u$	Die Hälfte des unpolarisierten Anteils $I_u$: das, was der Analysator davon immer durchlässt, und der Boden der Kurve.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Man kann einen solchen Strahl als Summe eines unpolarisierten Anteils mit der Intensität $I_u$ und eines polarisierten Anteils mit der Intensität $I_p$ modellieren. Die beiden Anteile sind unabhängig, daher addieren sich ihre Intensitäten einfach. Abbildung 3 zeigt, was ein Analysator durchlässt, wenn er den Winkel $\theta$ durchläuft, gemessen von der Richtung des polarisierten Anteils; sie ist für $I_u=60$ und $I_p=40$ in W/m² gezeichnet.

Betrachte zuerst den Boden der Kurve. Der unpolarisierte Anteil lässt immer die Hälfte seiner selbst durch, $\frac{1}{2}{I}_u$, unabhängig von $\theta$, sodass die Kurve nie unter dieses Niveau fällt. Auf diesem Boden sitzt der polarisierte Anteil, der dem Gesetz von Malus folgt und $I_p{\cos }^2\theta$ hinzufügt, dieselbe Schwankung wie in Abbildung 2. Zusammen ergibt sich
$I(\theta )=\frac{1}{2}{I}_u+I_p{\cos }^2\theta$
Die Kurve schwankt zwischen $I_{\max }=\frac{1}{2}{I}_u+I_p$, wenn der Analysator längs des polarisierten Anteils steht, und $I_{\min }=\frac{1}{2}{I}_u$, wenn er quer dazu steht, und sie erreicht nie null.

Die Tiefe der Schwankung misst, wie stark der Strahl polarisiert ist. Der Polarisationsgrad ist
$P=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{I_p}{I_u+I_p}$
da die Differenz der beiden Messwerte $I_p$ und ihre Summe $I_u+I_p$ ist. Er ist der polarisierte Anteil an der Gesamtintensität: 0 für unpolarisiertes, 1 für vollständig polarisiertes Licht. Für den Strahl aus Abbildung 3 zeigt der Analysator Werte zwischen 30 und 70 W/m², also $P=(70-30)/(70+30)=0,4$.

Warum Reflexion polarisiert

Blendlicht von Wasser oder Glas ist stark polarisiert, und unter einem bestimmten Einfallswinkel sogar vollständig. Der Grund liegt darin, wie die Elektronen der Oberfläche abstrahlen.

Legende

$n_1$	Brechungsindex des Mediums, aus dem das Licht kommt.
$n_2$	Brechungsindex des reflektierenden Mediums.
${\theta }_B$	Brewster-Winkel: der Einfallswinkel, gleich dem Reflexionswinkel und vom Lot aus gemessen, bei dem kein p-Licht reflektiert wird; $\tan {\theta }_B=n_2/n_1$.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Brechungswinkel, vom Lot aus gemessen.	$\mathrm{rad}$
$p$	Licht, polarisiert in der Einfallsebene (der Papierebene): sein Feld treibt die Elektronen entlang des Doppelpfeils, quer zum gebrochenen Strahl.
$s$	Licht, polarisiert quer zur Einfallsebene: sein Feld zeigt aus der Papierebene heraus, gezeichnet als Ring mit einem Punkt.

In Abbildung 4 kommt Licht aus einem Medium mit dem Brechungsindex $n_1$ (Luft) und trifft auf ein zweites Medium mit dem Index $n_2$ (Wasser). Der Einfallswinkel ist der Brewster-Winkel ${\theta }_B$, der Reflexionswinkel ist derselbe, und der gebrochene Strahl verläuft unter dem Winkel ${\theta }_2$; alle drei sind vom Lot aus gemessen, der gestrichelten senkrechten Linie. Das reflektierte Licht prallt nicht wie ein Ball von der Oberfläche ab: Es wird von den Elektronen des zweiten Mediums abgestrahlt. Diese Elektronen werden von der gebrochenen Welle angetrieben und schwingen daher entlang ihres Feldes, das immer quer zum gebrochenen Strahl steht.

Nun zerlege das Licht in seine beiden Polarisationen. Bei s-Licht, polarisiert quer zur Einfallsebene (der Papierebene), zeigt das Feld aus dem Papier heraus, gezeichnet als Ring mit einem Punkt und beschriftet mit $s$. Die Elektronen schwingen dann parallel zur Oberfläche und quer zum reflektierten Strahl, sodass sie frei in dessen Richtung abstrahlen. Bei p-Licht, polarisiert in der Einfallsebene, schwingen die Elektronen in der Papierebene, quer zum gebrochenen Strahl, entlang des Doppelpfeils mit der Beschriftung $p$.

Eine Tatsache über einen schwingenden Dipol entscheidet die Sache: Er strahlt proportional zu ${\sin }^2\alpha$ ab, wobei $\alpha$ von seiner Achse aus gemessen wird; er sendet also nichts entlang dieser Achse. Beim Brewster-Winkel steht der reflektierte Strahl senkrecht zum gebrochenen, wie die Markierung $90^{\circ }$ in der Abbildung zeigt. Der Doppelpfeil $p$ liegt quer zum gebrochenen Strahl und zeigt daher genau in die reflektierte Richtung: Er ist parallel zur kurzen gestrichelten Linie, die parallel zum reflektierten Strahl verläuft. Die p-Elektronen müssten entlang ihrer eigenen Achse abstrahlen, was sie nicht können; daher wird kein p-Licht reflektiert.

Der rechte Winkel bedeutet ${\theta }_B+{\theta }_2=90^{\circ }$, also $\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_B$. Setzt man das in das Brechungsgesetz $n_1\sin {\theta }_B=n_2\sin {\theta }_2$ ein, erhält man $n_1\sin {\theta }_B=n_2\cos {\theta }_B$, also
$\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$
Abbildung 4 ist für $n_2/n_1=4/3$ gezeichnet, Wasser in Luft, was ${\theta }_B=53,1^{\circ }$ und ${\theta }_2=36,9^{\circ }$ ergibt.

Das Dipolbild erklärt die Null; die Maxwell-Gleichungen liefern das ganze Bild. Für eine transparente, nichtmagnetische Oberfläche sind die Anteile der reflektierten Intensität für die beiden Polarisationen, die Reflexionsgrade,
$R_s=\frac{{\sin }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\sin }^2({\theta }_1+{\theta }_2)},R_p=\frac{{\tan }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}{{\tan }^2({\theta }_1+{\theta }_2)}$
mit dem Einfallswinkel ${\theta }_1$. $R_p$ verschwindet, wenn ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, weil der Tangens in seinem Nenner unendlich wird: dieselbe Bedingung, die das Dipol-Argument ergab. $R_s$ verschwindet nie, daher ist das unter dem Brewster-Winkel reflektierte Licht reines s-Licht.

Für Wasser unter dem Brewster-Winkel gilt ${\theta }_1-{\theta }_2=16,3^{\circ }$ und ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$, also $R_s={\sin }^{2}16,3^{\circ }=0,078$. Unpolarisiertes Sonnenlicht ist zur Hälfte s-Licht und verliert daher $\frac{1}{2}{R}_s$, das sind 3,9 % seiner Intensität, an eine vollständig s-polarisierte Spiegelung; auf einem See heißt das: waagerecht. Für Glas ($n_2/n_1=1,5$) ergeben dieselben Schritte $R_s=0,148$ und einen Verlust von 7,4 %. Abseits des Brewster-Winkels ist die Spiegelung nur teilweise polarisiert: Bei $30^{\circ }$ Einfall auf Wasser gilt $R_s=0,031$ und $R_p=0,012$, das reflektierte Licht hat also $P=(R_s-R_p)/(R_s+R_p)=0,44$.

Gaslaser nutzen diese Null aus. Die Fenster ihrer Röhren sind unter dem Brewster-Winkel geneigt, sodass p-Licht sie hin und her durchquert, ohne Reflexionsverlust, während s-Licht bei jedem Durchgang ein wenig verliert; nur p-Licht baut sich auf, und der Laser sendet linear polarisiertes Licht aus. Auch das Himmelslicht ist aus demselben Grund polarisiert: Die Luftmoleküle, die das Sonnenlicht streuen, sind Dipole, die quer zu den Sonnenstrahlen angetrieben werden, und ein Dipol sendet nichts entlang seiner Achse. Die Polarisation ist am stärksten $90^{\circ }$ von der Sonne entfernt, doch Licht, das mehrfach gestreut wurde, hält $P$ auch bei klarem Himmel unter etwa 0,7 bis 0,8.

Doppelbrechung und Wellenplatten

Manche Kristalle filtern nicht nur eine Polarisation: Sie bremsen eine Polarisation stärker als die andere. So lässt sich die Phasendifferenz $\delta$ aus Abbildung 1 verändern und die Ellipse nach Belieben umformen.

In einem Kristall, dessen Struktur sich von einer Richtung zur anderen unterscheidet, hängt der Brechungsindex von der Polarisation ab. Calcit zum Beispiel hat die beiden Indizes 1,658 und 1,486. Ein Strahl, der in einen Calcitkristall eintritt, spaltet sich im Allgemeinen in zwei Strahlen mit senkrecht zueinander stehenden Polarisationen, sodass durch den Kristall gesehene Schrift doppelt erscheint. Diese Aufspaltung heißt Doppelbrechung.

Eine Wellenplatte ist eine Scheibe aus einem solchen Kristall mit der Dicke $d$, geschnitten so, dass ihre optische Achse (die besondere Richtung des Kristalls) in der Fläche der Platte liegt. Bei senkrechtem Einfall folgen das Licht entlang der Achse und das quer dazu polarisierte Licht demselben Weg, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Über die Dicke $d$ fällt das eine hinter dem anderen um den optischen Weg $\Delta nd$ zurück, wobei $\Delta n$ die Differenz der beiden Brechungsindizes ist. Als Phase ausgedrückt, mit der Vakuumwellenlänge $\lambda$, ist das
$\delta =\frac{2\pi \Delta nd}{\lambda }$
Die Platte addiert also diesen Betrag zum $\delta$ der Ellipse.

Eine Viertelwellenplatte ergibt $\delta =\pi /2$. Mit ihrer Achse im Winkel $45^{\circ }$ zu einer linearen Polarisation zerlegt sie das Feld in zwei gleich große Komponenten, $a=b$, und versetzt sie um ein Viertel eines Zyklus: Nach den Fällen aus Abbildung 1 ist das zirkulares Licht. Ihre Dicke ist $d=\lambda /(4\Delta n)$; in Quarz mit $\Delta n\approx 0,009$ beträgt sie für 550-nm-Licht nur etwa 15 μm. Eine Halbwellenplatte ($\delta =\pi$) kehrt die Komponente quer zu ihrer Achse um, sodass eine lineare Polarisation im Winkel $\alpha$ zur Achse mit $-\alpha$ austritt. Sie wurde um $2\alpha$ gedreht, und nichts wurde absorbiert. 3D-Kinobrillen kombinieren eine Viertelwellenplatte mit einem linearen Polarisator, um nur einen Drehsinn des zirkularen Lichts durchzulassen, sodass die Bilder für links und rechts auch dann getrennt bleiben, wenn du den Kopf neigst.

Beispielaufgabe: die Polarisation drehen

Polarisatoren können eine Polarisation auch drehen, aber auf Kosten der Intensität. Diese Aufgabe berechnet diesen Preis und zeigt, wie man ihn verringert.

Das Licht, das Filter 1 in der Animation verlässt, ist vertikal, mit $I_1=50W/{\mathrm{m}}^2$. Wie viel davon lässt sich nur mit Polarisatoren horizontal machen?

Ein einzelnes horizontales Blatt lässt nichts durch, da $\theta =90^{\circ }$. Stelle ein zusätzliches Blatt bei $45^{\circ }$ davor. Jedes Blatt steht dann $45^{\circ }$ zur Polarisation, die es erreicht, und lässt den Anteil ${\cos }^{2}45^{\circ }=1/2$ durch; also kommen $50{\cos }^{4}45^{\circ }=12,5W/{\mathrm{m}}^2$ horizontal heraus. Vom $I_0=100W/{\mathrm{m}}^2$ der Lampe aus gerechnet ist das das $I_0/8$ des bekannten Falls mit drei Polarisatoren.

Verwende nun $N$ Blätter, jedes um $90^{\circ }/N$ weiter gedreht als das vorige, das letzte horizontal. Jedes Blatt erhält Licht, das entlang des vorigen polarisiert ist, im Winkel $\pi /(2N)$ zu seiner eigenen Achse, und lässt daher den Anteil ${\cos }^2(\pi /2N)$ durch, also
$I_N=I_1{\cos }^{2N}\left(\frac{\pi }{2N}\right)$
Drei Blätter lassen 21,1 W/m² durch, zehn lassen 39,0 W/m² durch.

Warum wird der Verlust kleiner, je mehr Blätter man hinzufügt? Für einen kleinen Winkel $x$ gilt $\ln \cos x\approx -x^2/2$. Mit $x=\pi /(2N)$ ist der Logarithmus von ${\cos }^{2N}x$ etwa $-N{x}^2=-{\pi }^2/(4N)$, also
$I_N\approx I_1{e}^{-{\pi }^2/(4N)}\approx I_1\left(1-\frac{{\pi }^2}{4N}\right)$
Jedes Blatt entfernt nur einen winzigen Anteil der Größenordnung $(\pi /2N{)}^2$, der wie $1/N^2$ schrumpft; die $N$ Anteile zusammen ergeben einen Verlust, der wie $1/N$ fällt.

Um 90 %, also 45 W/m², zu behalten, braucht man 24 Blätter, die 45,1 W/m² durchlassen; 23 Blätter lassen nur 44,9 W/m² durch. Unendlich viele Blätter würden die Polarisation ohne jeden Verlust herumziehen, ein klassisches Gegenstück zum Quanten-Zeno-Effekt. Eine Halbwellenplatte mit ihrer Achse bei $45^{\circ }$ erledigt die ganze Aufgabe in einem Schritt und lässt alle 50 W/m² durch, bis auf kleine Reflexionen an ihren Oberflächen, weil sie eine Phase verschiebt, statt das Feld zu projizieren.

Photonen und Grenzen der Gültigkeit

Das Gesetz von Malus wurde für Wellen hergeleitet, aber Licht kommt als Photonen an, und reale Polarisatoren und Oberflächen erreichen die oben beschriebenen idealen Werte nicht. Dieser Abschnitt sagt, wo das einfache Bild gilt.

Quantenmechanisch ist die Polarisation eines Photons ein Zweizustandssystem: Zwei komplexe Amplituden übernehmen die Rolle von $a$, $b$ und $\delta$. Ein Polarisator im Winkel $\theta$ zur Polarisation eines Photons lässt es mit der Wahrscheinlichkeit ${\cos }^2\theta$ durch, und ein Photon, das hindurchkommt, ist danach entlang der Polarisatorachse polarisiert. Das Gesetz von Malus ist der Mittelwert einer enormen Zahl solcher Ja-Nein-Ereignisse: Ein Strahl aus 550-nm-Licht mit 50 W/m² trägt etwa $1,4\times 10^{20}$ Photonen pro Sekunde durch jeden Quadratmeter.

Reale Polarisationsfolien lassen nur etwa 38 bis 42 % des unpolarisierten Lichts durch, nicht die idealen 50 %, und ein gekreuztes Paar lässt $10^{-3}$ bis $10^{-5}$ davon durch (Kristallpolarisatoren $10^{-5}$ bis $10^{-6}$). Jeder Typ funktioniert außerdem nur in einem begrenzten Wellenlängenband. Die Brewster-Null setzt eine glatte, transparente, isotrope Oberfläche voraus: Unebenheiten verteilen die Einfallswinkel, und Metalle zeigen nur ein flaches Minimum von $R_p$, keine Null. Schließlich ist das Feld nur in breiten Strahlen rein transversal: Licht, das auf einen Fleck von etwa einer Wellenlänge Breite fokussiert wird, gewinnt eine Feldkomponente in seiner Ausbreitungsrichtung.

Wohin das führt

Elektromagnetische Wellen zeigt, warum Licht transversal ist: Im leeren Raum erlauben die Maxwell-Gleichungen kein Feld in Ausbreitungsrichtung. Interferenz und Superposition addiert Wellen mit einer Phasendifferenz, wie Abbildung 1 zwei senkrechte Komponenten addiert; aber zwei senkrecht zueinander polarisierte Strahlen können nicht interferieren. Deshalb löschen gekreuzte Polarisatoren über den beiden Spalten von Beugung und Doppelspalt die Interferenzstreifen aus. Welle-Teilchen-Dualismus führt die Photonen selbst ein, von denen jedes einen Polarisator mit der oben beschriebenen Wahrscheinlichkeit ${\cos }^2\theta$ passiert.

Reflexion und Brechung liefert die Fresnel-Formeln hinter dem Brewster-Winkel, und Prismen, Dispersion und Farbe die Streuung, die den Himmel blau macht. Die Gravitationswellen aus Gravitation als gekrümmte Raumzeit haben ebenfalls zwei Polarisationen, aber um $45^{\circ }$ statt $90^{\circ }$ gegeneinander verdreht. Eine solche Welle dehnt den Raum entlang einer Achse, während sie ihn entlang der senkrechten staucht. Dreht man dieses Muster um $90^{\circ }$, vertauschen sich nur Dehnung und Stauchung, was dieselbe Polarisation mit umgekehrtem Vorzeichen ergibt; die zweite, unabhängige Polarisation ist daher diejenige, die um $45^{\circ }$ gedreht wird.