Efeito fotoelétrico

A luz arranca elétrons de um metal um fóton de cada vez, e cada fóton carrega $E = h f$ : a cor decide se funciona ( $h f > φ$ ), o brilho apenas define quantos elétrons saem.

Uma lâmpada envia fótons a uma placa de sódio: luz vermelha intensa não arranca nada, enquanto luz violeta fraca e ultravioleta arrancam elétrons, mais rápido no ultravioleta.

Antes deste tema: Ondas eletromagnéticas

Iniciante

Ideias principais

A luz chega em pacotes minúsculos de energia, os fótons; um elétron absorve a energia de um fóton por vez, tudo ou nada.
Para sair do metal, o elétron paga uma “taxa de saída” fixa; se um fóton não consegue pagá-la, nenhum elétron escapa, por mais intensa que seja a luz.
A cor define a energia de cada fóton: os vermelhos carregam pouco, os violetas mais, os ultravioleta ainda mais.
Luz mais intensa de cor adequada ejeta mais elétrons, mas não mais rápidos.
Os elétrons saem no instante em que a luz chega, mesmo com luz muito fraca: nada precisa se acumular antes.

Incida luz sobre uma placa de metal limpa dentro de um tubo de vácuo; com a luz adequada, elétrons saltam da superfície, e um medidor no circuito mostra então uma corrente. Esse é o efeito fotoelétrico. Vamos reunir o que os experimentos mostram, uma observação de cada vez.

Observação 1: a cor decide. Na animação, uma lâmpada vermelha forte ilumina a placa de sódio e nada acontece, por mais que esperemos. Luz violeta fraca funciona de imediato.
Observação 2: sem espera. Até uma luz violeta muito tênue liberta elétrons no instante em que chega.
Observação 3: o brilho decide quantos. Luz violeta mais intensa ejeta mais elétrons, mas nenhum deles mais rápido.
Observação 4: mais azul significa mais rápido. A luz ultravioleta faz os elétrons saírem com mais velocidade que a violeta.

Uma onda de luz que se espalha suavemente pela placa explica apenas a terceira observação. A resposta de Einstein, em 1905: a luz chega em pequenos pacotes de energia, chamados fótons, e a cor define a energia de cada pacote. Fótons vermelhos carregam pouco, os violetas mais, os ultravioleta ainda mais. Um elétron absorve um fóton por vez, tudo ou nada. Para sair, ele precisa pagar uma “taxa de saída” fixa. Um fóton vermelho não consegue pagá-la, e mais fótons vermelhos não ajudam, assim como um grupo em que cada pessoa tem uma moeda não consegue comprar um ingresso de cinco moedas. O que sobra depois da taxa vira a velocidade do elétron.

Tubos fotomultiplicadores usam esse efeito para contar fótons individuais, e sensores de câmeras e painéis solares dependem de um parente próximo dele. Foi por isso que Einstein ganhou o Prêmio Nobel.

Teste você mesmo: a luz ultravioleta arranca elétrons de um metal, e você a deixa duas vezes mais intensa. Os elétrons saem mais rápido, ou sai mais deles? (Mais deles, com a mesma velocidade máxima.)

Intermediário

Ideias principais

Energia do fóton $E = h f = h c / λ$ ; com $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ , $E [eV] \approx 1240/ λ [nm]$ .
$K E_{max} = h f - φ$ : elétrons só saem se $h f > φ$ , com limiar $f_{0} = φ / h$ e maior comprimento de onda $λ_{0} = h c / φ$ .
Sódio ( $φ \approx 2, 28 eV$ ): $λ_{0} \approx 544 nm$ ; assim, luz de 400 nm dá $K E_{max} = 0, 82 eV$ e luz de 700 nm não ejeta nada.
A intensidade define quantos elétrons saem por segundo (a fotocorrente), nunca a $K E_{max}$ .

O que o experimento mede

Dois eletrodos metálicos ficam em um tubo de vidro evacuado: uma placa, sobre a qual incide a luz, aqui de sódio, e um coletor ligado a ela por uma bateria e um amperímetro. No escuro, o medidor marca zero, porque nada transporta carga pelo vácuo. Luz de cor adequada faz uma corrente fluir imediatamente: elétrons, chamados fotoelétrons, deixam a placa iluminada e chegam ao coletor.

O experimentador varia duas propriedades da luz: sua frequência $f$ , percebida como cor, e sua intensidade, ou seja, a potência por metro quadrado. Medem-se duas coisas: a fotocorrente $I$ , que conta os elétrons que chegam a cada segundo, e a energia dos elétrons mais rápidos. Contrariando a imagem ondulatória, se os elétrons saem e quão rápido se movem os mais rápidos depende apenas da frequência; a intensidade define somente a corrente.

Luz em pacotes: o fóton

Em 1905, Einstein propôs que a luz é absorvida e se propaga em pacotes de energia, hoje chamados fótons. Um fóton de frequência $f$ , ou de comprimento de onda $λ = c / f$ , carrega a energia
$E = h f = \frac{h c}{λ}$
onde $h = 6, 626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ é a constante de Planck e $c$ a velocidade da luz. Luz mais brilhante de uma cor significa mais fótons por segundo, não fótons maiores.

A física atômica mede essas energias em elétron-volts, a energia que um elétron ganha ao atravessar 1 V: $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ . Com o produto
$h c \approx 1240 eV \cdot nm$
a energia de um fóton em elétron-volts é 1240 dividido por seu comprimento de onda em nanômetros: 3,10 eV para a luz violeta de 400 nm.

O balanço de energia: a equação de Einstein

Os elétrons de condução se movem livremente dentro do metal, mas libertar até o mais fracamente ligado custa uma energia definida, a função trabalho $φ$ : cerca de 2,1 eV para o césio, 2,28 eV para o sódio, 4,3 eV para o zinco e 5,1 eV para o ouro. Um elétron absorve um fóton inteiro ou nada. Se $h f$ excede $φ$ , o elétron paga sua saída e guarda o restante como energia cinética:
$K E_{max} = h f - φ$

A palavra “máximo” importa: apenas um elétron que parte do nível ocupado mais alto e não perde nada no caminho para fora sai com toda a energia $h f - φ$ . Elétrons de níveis mais baixos, ou de mais fundo no interior, saem com menos, de zero até $K E_{max}$ .

Se $h f$ for menor que $φ$ , nenhum fóton isolado consegue libertar um elétron, e um elétron não pode acumular vários fótons: ele repassa seu pequeno ganho ao metal como calor muito antes de chegar outro fóton. O caso limite $h f = φ$ define a frequência de limiar e o comprimento de onda de limiar:

$f_{0} = \frac{φ}{h}$
$λ_{0} = \frac{h c}{φ}$

O limiar é uma frequência mínima, mas um comprimento de onda máximo: luz de comprimento de onda maior que $λ_{0}$ não libera nada, por mais intensa que seja.

Exemplo resolvido: a placa de sódio da animação

A placa da animação é de sódio, $φ = 2, 28 eV$ , logo $λ_{0} = 1240/2, 28 \approx 544 nm$ , no verde, e $f_{0} \approx 5, 51 \times 1 0^{14} Hz$ . A lâmpada vermelha intensa, de 700 nm, fornece $h f = 1240/700 = 1, 77 eV$ e $h f - φ = 1, 77 - 2, 28 = - 0, 51 eV$ . Nenhum dos seus 14 fótons libera um elétron, e uma etiqueta vermelha indica ausência de emissão.

A luz violeta de 400 nm fornece $h f = 3, 10 eV$ e $K E_{max} = 3, 10 - 2, 28 = 0, 82 eV$ ; a luz ultravioleta de 250 nm fornece $h f = 4, 96 eV$ e $K E_{max} = 2, 68 eV$ . Esses são os valores dos medidores de $λ$ , $h f$ e $h f - φ$ . Como $0, 82 eV = 1, 31 \times 1 0^{- 19} J$ , os elétrons violeta mais rápidos se movem a $v = 2 K E_{max} / m \approx 5, 4 \times 1 0^{5} m/s$ ; os ultravioleta mais rápidos atingem $9, 7 \times 1 0^{5} m/s$ .

As setas azuis de velocidade mostram isso. Um elétron em cada três sai com $K E_{max}$ ; os outros perderam energia dentro do metal e ficam com 45 % ou 75 % dela, por isso suas setas são mais curtas. A seta do elétron ultravioleta mais rápido é $2, 68/0, 82 \approx 1, 8$ vez mais longa que a do violeta mais rápido. Quando a luz violeta fica intensa, nove fótons libertam nove elétrons em vez de três, mas o medidor continua em 0,82 eV.

Exemplo resolvido: uma placa de zinco sob ultravioleta

Uma placa de zinco limpa, com $φ = 4, 3 eV$ , é iluminada pela linha ultravioleta de uma lâmpada de mercúrio em 254 nm. A luz visível funciona nela? Quão rápidos são os elétrons mais rápidos e qual é o tamanho da corrente?

O limiar do zinco é $λ_{0} = 1240/4, 3 \approx 288 nm$ , já no ultravioleta; por isso a luz violeta que funciona no sódio não libera nada aqui. Em 254 nm, $h f = 1240/254 = 4, 88 eV$ e $K E_{max} = 4, 88 - 4, 3 = 0, 58 eV$ : os elétrons mais rápidos se movem a cerca de $4, 5 \times 1 0^{5} m/s$ .

Suponha que 1,0 mW dessa luz atinja a placa. Com $4, 88 eV = 7, 82 \times 1 0^{- 19} J$ por fóton, chegam cerca de $1, 3 \times 1 0^{15}$ fótons por segundo. Um metal puro os converte mal: se um em cada mil libertar um elétron, saem $1, 3 \times 1 0^{12}$ elétrons por segundo e a corrente é $I \approx 1, 3 \times 1 0^{12} \cdot 1, 602 \times 1 0^{- 19} \approx 2 \times 1 0^{- 7} A$ , ou 0,2 µA. Dobrar a potência da lâmpada dobra a corrente, mas mantém os 0,58 eV inalterados.

Lendo o diagrama de energia e os gráficos

Um diagrama de energia representa a energia de um elétron como altura. Os elétrons preenchem o metal até um nível superior, e um elétron em repouso logo fora dele está $φ$ mais alto. Um fóton eleva um elétron exatamente $h f$ . Para a luz violeta, os 3,10 eV se dividem em 2,28 eV para subir para fora e 0,82 eV de movimento; o vermelho de 1,77 eV fica 0,51 eV aquém, e o ganho do elétron acaba como calor.

Para uma cor acima do limiar, a fotocorrente em função da intensidade é uma reta passando pela origem, enquanto $K E_{max}$ em função da intensidade é plana. $K E_{max}$ em função da frequência é zero até $f_{0}$ e depois uma reta de inclinação $h$ : a mesma inclinação para todo metal, partindo do $f_{0} = φ / h$ de cada um. A visão avançada da animação desenha esse gráfico.

Erros comuns

Luz mais intensa não torna os elétrons mais rápidos: triplicar a luz violeta na animação libera três vezes mais elétrons, cada um ainda com no máximo 0,82 eV.
Esperar não ajuda abaixo do limiar: a lâmpada vermelha poderia brilhar sobre o sódio por horas, e cada fóton de 1,77 eV continuaria abaixo de 2,28 eV.
A função trabalho é subtraída, não somada: fótons violeta no sódio dão $3, 10 - 2, 28 = 0, 82 eV$ , não 5,38 eV.
O limiar pertence ao metal, não à luz: luz de 400 nm libera elétrons do sódio, mas não do zinco, cujo limiar é 288 nm.
Converta elétron-volts em joules antes de usar $K E = \frac{1}{2} m v^{2}$ : 0,82 eV são $1, 31 \times 1 0^{- 19} J$ e dão 540 km/s, enquanto inserir 0,82 diretamente dá $1, 3 \times 1 0^{15} m/s$ , mais rápido que a luz.

Onde ele aparece

Tubos fotomultiplicadores contam fótons individuais em scanners médicos, detectores de partículas e telescópios, multiplicando cada fotoelétron cerca de um milhão de vezes. Os intensificadores de visão noturna funcionam do mesmo modo, e naves espaciais expostas ao sol se carregam com alguns volts positivos, porque a luz ultravioleta arranca elétrons de sua superfície. Células solares e sensores de câmeras usam o efeito fotoelétrico interno, em que o fóton eleva um elétron dentro de um semicondutor, em vez de arrancá-lo para fora.

Os quanta de $h f$ percorrem o resto da física moderna. Em “Modelos atômicos: o átomo de Bohr”, átomos emitem e absorvem fótons que correspondem à diferença entre dois níveis de energia; “Semicondutores, diodos e LEDs” inverte o efeito; e “Dualidade onda-partícula” também dá aos elétrons um comprimento de onda.

Avançado

Ideias principais

Potencial de corte: $e V_{0} = h f - φ$ , uma reta de inclinação $h / e$ para todo metal; só o intercepto $- φ / e$ muda.
A função trabalho é a ligação dos elétrons no metal: o calor a paga estatisticamente ( $e^{- φ / k T}$ ), um fóton a paga de uma só vez.
A luz é granulada: um detector registra um fóton por vez, cada um com $E = h f$ e $p = h / λ$ ; luz mais fraca produz menos cliques, não cliques mais fracos.
Lasers intensos permitem emissão multifotônica abaixo do limiar: $K E_{max} = nh f - φ$ .

Medindo a energia: o potencial de corte

O efeito fotoelétrico é estabelecido por duas medidas: quantos elétrons deixam um metal iluminado a cada segundo e quanta energia cinética carregam os mais rápidos deles. A primeira é simplesmente uma corrente. A segunda exige um truque, o potencial de corte, e a Figura 1 mostra como ele funciona.

O aparato é um tubo de vácuo com dois eletrodos: uma placa de sódio, sobre a qual incide a luz, e um coletor voltado para ela. Aplica-se uma tensão $V$ ao coletor, medida em relação à placa iluminada, e um medidor registra a fotocorrente $I$ , a carga por segundo transportada pelos elétrons que chegam ao coletor. A Figura 1 mostra três medições: luz violeta fraca ( $I_{1}$ ), luz mais intensa da mesma cor violeta ( $I_{2}$ ), e luz ultravioleta ( $I_{3}$ ).

Comece à direita da Figura 1, onde $V$ é positivo. O coletor atrai os elétrons, cada elétron que deixa a placa é coletado, e cada curva se nivela em um patamar, a corrente de saturação. Um patamar conta elétrons por segundo, então, para luz de uma cor, ele é proporcional ao número de fótons que chegam por segundo: $I_{2}$ , com três vezes mais fótons que $I_{1}$ , tem um patamar três vezes mais alto. A medição ultravioleta é desenhada com o maior número de fótons por segundo, então seu patamar é o mais alto. Um patamar indica quantos elétrons saem, nunca a velocidade deles.

Agora vá para a esquerda, onde $V$ é negativo. O coletor agora repele os elétrons, e para chegar um elétron precisa subir uma colina de energia potencial de altura $e ∣ V ∣$ , em que $e = 1, 602 \times 1 0^{- 19} C$ é a carga elementar. Só passa o elétron que deixa a placa com mais energia cinética que essa. Os elétrons saem com uma dispersão de energias e direções (a Figura 2 mostra de onde vem a dispersão), então, à medida que $V$ fica mais negativo, os mais lentos são barrados primeiro e a corrente cai gradualmente. Ela se anula em $V = - V_{0}$ , onde até os elétrons mais rápidos, os de maior energia cinética $K E_{max}$ , são apenas barrados:
$e V_{0} = K E_{max}$

A tensão $V_{0}$ é o potencial de corte. Ela transforma uma medida de energia em uma leitura de tensão: um elétron barrado por exatamente 1 V tinha 1 eV de energia cinética, em que o elétron-volt, a energia que um elétron ganha ao atravessar 1 V, vale $1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ . Para o sódio, $V_{0} = 0, 82 V$ sob luz violeta de 400 nm e $2, 68 V$ sob luz ultravioleta de 250 nm, os valores do medidor $V_{0}$ da animação. Os elétrons mais rápidos carregam, portanto, 0,82 eV e 2,68 eV.

Agora compare onde as curvas da Figura 1 chegam a zero. As duas curvas violeta diferem em altura por um fator de três, mas ambas se anulam no mesmo $- V_{0}$ . A curva ultravioleta $I_{3}$ se anula em $- V_{0}^{'}$ , mais à esquerda, porque seus elétrons são mais rápidos. O mesmo vale para qualquer conjunto de medições: cada intensidade de uma cor para na mesma tensão, e cada cor tem a sua. A intensidade define a corrente; a frequência define a energia. Esse é todo o enigma em uma figura, e o restante desta explicação mostra por quê.

Conservação de energia para um fóton

Por que a energia deveria depender apenas da cor? A resposta de Einstein, em 1905, foi que a luz é absorvida em quanta inteiros, os fótons, cada um carregando a energia $h f$ , em que $f$ é a frequência da luz e $h = 6, 626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ é a constante de Planck. A Figura 2 acompanha a energia de um fóton desde sua absorção até que seu elétron esteja fora do metal.

O eixo vertical da Figura 2 é a energia $E$ de um elétron. No interior de um metal, os elétrons de condução preenchem os estados disponíveis de baixo para cima até um nível ocupado mais alto, o nível de Fermi $E_{F}$ ; a faixa sombreada são os estados ocupados. Um elétron em repouso logo fora da superfície tem a energia do nível do vácuo $E_{0}$ . A diferença entre os dois, $φ = E_{0} - E_{F}$ , é a função trabalho: a menor energia que retira um elétron do metal. Para o sódio, vale 2,28 eV.

A absorção de um fóton eleva um elétron exatamente em $h f$ : as setas roxas, iguais para os dois elétrons. Acompanhe primeiro o elétron da esquerda. Ele começa no nível de Fermi, então precisa apenas de $φ$ para alcançar o nível do vácuo. Se não perder nada na saída, guarda o restante como energia cinética, a seta azul acima de $E_{0}$ . Nenhum elétron pode fazer melhor, então este é o máximo:
$K E_{max} = h f - φ$

Agora acompanhe o elétron da direita. Ele começa uma energia $ε$ abaixo do nível de Fermi, então precisa gastar $ε$ a mais para sair, e o mesmo fóton o deixa com apenas
$K E = h f - φ - ε$
Sua seta azul é mais curta em $ε$ . Elétrons de estados mais profundos, e elétrons que perdem energia em colisões antes de alcançar a superfície, saem ainda mais lentos: essa é a dispersão de energias que fez as curvas da Figura 1 caírem gradualmente. Com $ε = 0$ , recupera-se $K E_{max} = h f - φ$ . A equação de Einstein é apenas a conservação de energia para um fóton e um elétron; a física nova está inteiramente na afirmação de que a luz chega em quanta de tamanho $h f$ .

As setas estão desenhadas em escala para luz ultravioleta sobre sódio: $h f = 4, 96 eV$ e $φ = 2, 28 eV$ dão $K E_{max} = 2, 68 eV$ , exatamente o $e V_{0}$ medido na Figura 1, e o elétron que começa $ε = 0, 9 eV$ mais abaixo sai com $1, 78 eV$ .

Um detalhe se esconde nessa contabilidade: um elétron livre não pode absorver um fóton. Para ver por quê, suponha um elétron de massa $m$ parado que absorve um fóton de energia $E$ , que também carrega momento $E / c$ . O elétron teria então energia $m c^{2} + E$ e momento $p = E / c$ . Mas a relatividade fixa a energia de uma partícula em função do seu momento: o quadrado da energia deve ser $(m c^{2})^{2} + (p c)^{2} = (m c^{2})^{2} + E^{2}$ . O quadrado de $m c^{2} + E$ é maior que isso em $2 m c^{2} E$ , portanto energia e momento não podem ser conservados ao mesmo tempo. Algo mais precisa absorver o momento, a rede cristalina ou a superfície; o efeito, portanto, pertence a elétrons ligados em um metal, não a elétrons isolados.

A função trabalho também não é uma constante especial da luz. A mesma barreira controla a emissão termiônica, em que o calor libera os elétrons: o movimento térmico aleatório dá a alguns deles energia suficiente para escalar a barreira, e a corrente é regida pelo fator $e^{- φ / k T}$ , em que $k$ é a constante de Boltzmann e $T$ a temperatura absoluta. À temperatura ambiente, $k T \approx 0, 025 eV$ , e para o sódio o fator é inferior a $1 0^{- 38}$ : nenhuma emissão. Um filamento de tungstênio ( $φ \approx 4, 5 eV$ ) a 2500 K tem $k T \approx 0, 22 eV$ , e o fator chega a cerca de $1 0^{- 9}$ , o suficiente para uma corrente útil. O calor paga a taxa de saída por acaso, alguns elétrons por vez; um fóton a paga de uma só vez.

A reta e sua inclinação

A equação de Einstein faz uma previsão precisa e testável: plotada em função da frequência, $K E_{max}$ é uma reta cuja inclinação é a mesma para todo metal. A Figura 3 desenha essa previsão, que também foi como $h$ foi medido pela primeira vez com luz.

A Figura 3 traça $K E_{max} = h f - φ$ contra a frequência $f$ da luz; a linha grossa é o sódio. Olhe primeiro para o pequeno triângulo nela: um passo $Δ f$ para a direita eleva a reta em $h Δ f$ , e isso acontece em qualquer ponto da reta onde se dê o passo. É isso que significa uma inclinação de $h$ .

Depois, observe onde a reta encontra os eixos. Ela corta o eixo de frequências na frequência de limiar $f_{0} = φ / h$ , onde um fóton tem energia apenas suficiente para liberar um elétron, sem sobra. Abaixo de $f_{0}$ nenhum elétron é emitido, por mais intensa que seja a luz, então não há nada a medir. Prolongada abaixo de $f_{0}$ (tracejada), a reta é uma extrapolação, não uma medição; ela corta o eixo de energia em $- φ$ , a uma profundidade $φ$ abaixo do eixo de frequências, e ler esse intercepto é um dos modos de encontrar a função trabalho.

A linha fina pertence a um metal de função trabalho maior, o zinco, com $φ \approx 4, 3 eV$ . Ela tem a mesma inclinação $h$ , então é paralela à reta do sódio, mas começa no limiar maior $f_{0}^{'} = 4, 3 eV / h \approx 1, 04 \times 1 0^{15} Hz$ , já no ultravioleta.

A visão avançada da animação desenha a reta do sódio com três pontos sobre ela. O ponto vermelho, em $4, 28 \times 1 0^{14} Hz$ , fica abaixo do limiar $f_{0} = 5, 51 \times 1 0^{14} Hz$ e está em zero: nenhum elétron. O ponto violeta, em $7, 49 \times 1 0^{14} Hz$ , fica em 0,82 eV, e o ultravioleta, em $1, 20 \times 1 0^{15} Hz$ , em 2,68 eV: os dois potenciais de corte da Figura 1. As medições violeta fraca e intensa compartilham um único ponto, porque a intensidade não aparece nesse gráfico.

No laboratório, mede-se $V_{0}$ em vez de $K E_{max}$ . Dividindo a equação de Einstein por $e$ , obtém-se
$V_{0} = \frac{h}{e} f - \frac{φ}{e}$
uma reta de inclinação $h / e = 4, 14 \times 1 0^{- 15} V \cdot s$ : o potencial de corte sobe cerca de 0,41 V a cada $1 0^{14} Hz$ . A inclinação é universal e só o intercepto depende do metal, então as retas do césio, do sódio e do zinco são paralelas, como na Figura 3. Millikan, que duvidava dos quanta de luz de Einstein, mediu essas retas entre 1914 e 1916 e encontrou $h$ com cerca de 1 % do valor atual. O Prêmio Nobel de Einstein de 1921 citou essa lei, não a relatividade.

Por que uma onda clássica não consegue

A luz como onda clássica explica perfeitamente a interferência e a difração, então por que foi preciso uma ideia nova? Porque a imagem ondulatória erra as três observações da Figura 1.

A primeira é o tempo. Uma onda entrega energia continuamente, espalhada por toda a sua frente, e um elétron só pode coletá-la a partir de aproximadamente a área do próprio átomo, cerca de $1 0^{- 20} m^{2}$ . Em luz fraca de 0,01 W/m², essa área recebe $0, 01 \cdot 1 0^{- 20} = 1 0^{- 22} W$ , de modo que acumular a função trabalho do sódio, $2, 28 eV = 3, 65 \times 1 0^{- 19} J$ , levaria
$t = \frac{3 , 65 \times 1 0 ^{- 19} J}{1 0 ^{- 22} W} \approx 3650 s$
uma hora. Os experimentos não encontram atraso algum, até a escala de poucos nanossegundos que conseguem resolver.

A segunda é a energia. Luz mais intensa tem um campo elétrico mais forte, que deveria sacudir os elétrons com mais violência e lançá-los mais depressa; a Figura 1 mostra, porém, que luz mais intensa dá mais elétrons, não mais rápidos. A terceira é o limiar. Dado tempo suficiente, uma onda de qualquer frequência deveria fornecer energia suficiente, mas abaixo de $f_{0}$ nada sai, por mais que se espere. As três previsões falham.

Com fótons, os três fatos decorrem de uma vez. A absorção é tudo ou nada, então a emissão começa assim que chega o primeiro fóton. A energia $h f$ de cada fóton é fixada pela cor, então luz mais intensa significa mais fótons, não fótons maiores. E um fóton com menos energia que $φ$ não libera nada, por mais que cheguem. Um contador de fótons torna a granulação audível: se você diminui a luz, ele não clica mais baixo; seus cliques iguais apenas ocorrem com menos frequência.

Um fóton também carrega momento, $p = h / λ = E / c$ , então $E^{2} - (p c)^{2} = 0$ : é uma partícula de massa zero, como a relatividade exige de qualquer coisa que se mova à velocidade $c$ . O espalhamento de raios X por elétrons, descoberto por Compton, confirmou esse momento em 1923. Onde um fóton específico vai incidir só pode ser previsto como probabilidade, e essa probabilidade segue a intensidade da onda clássica, por isso a imagem ondulatória ainda acerta a interferência.

Uma ressalva: um modelo semiclássico, em que os elétrons obedecem à mecânica quântica, mas a luz permanece uma onda clássica, também produz o limiar, a corrente proporcional à intensidade e a emissão imediata. O efeito fotoelétrico, portanto, aponta para os fótons sem prová-los. A prova veio de experimentos com fótons isolados: o antiagrupamento em 1977, quando se verificou que a luz de um único átomo nunca entrega dois fótons no mesmo instante, e em 1986, com a constatação de que um fóton enviado a um divisor de feixe nunca é registrado em ambos os lados ao mesmo tempo.

Além do limiar de um único fóton

A lei simples supõe um fóton por elétron, um metal frio e um elétron que precisa deixar o material. Relaxar cada suposição, ou inverter a lei, produz quatro extensões importantes.

Pulsos de laser intensos entregam fótons tão densamente que um elétron pode absorver $n$ deles de uma vez: $K E_{max} = nh f - φ$ . A taxa cresce com a $n$ -ésima potência da intensidade, por isso exige luz muito forte. Dois fótons da luz vermelha da animação, $2 \cdot 1, 77 = 3, 54 eV$ , libertariam elétrons do sódio com até 1,26 eV, mais do que dão fótons violeta isolados.
Em qualquer temperatura acima do zero absoluto, alguns elétrons ficam um pouco acima do nível de Fermi, então o limiar não é perfeitamente nítido, mas borrado ao longo de alguns $k T$ . Medidas cuidadosas de $φ$ se ajustam à forma dessa cauda térmica.
A espectroscopia de fotoemissão inverte a equação. Com $h f$ conhecido, geralmente ultravioleta ou raios X, a energia cinética medida fornece a energia de ligação $E_{b}$ de cada elétron, sua profundidade abaixo do nível de Fermi (o $ε$ da Figura 2), por meio de $K E = h f - E_{b} - φ$ .
Em um semicondutor, o fóton não precisa libertar o elétron do material, basta elevá-lo através do band gap, a faixa de energia entre os estados ocupados e os estados vazios nos quais um elétron pode conduzir corrente: 1,12 eV no silício. O elétron permanece dentro do material e contribui para uma corrente ali. Células solares de silício e sensores de câmeras, portanto, respondem a todos os comprimentos de onda menores que cerca de 1100 nm.

Exemplo resolvido: medindo a constante de Planck

A reta da Figura 3 transforma duas leituras do potencial de corte em uma medida de $h$ . Imagine que você não conhece nem $h$ nem $φ$ , apenas as leituras da animação: 0,82 V em 400 nm e 2,68 V em 250 nm.

Primeiro, as frequências. A partir de $f = c / λ$ , elas são $7, 495 \times 1 0^{14} Hz$ e $1, 1992 \times 1 0^{15} Hz$ , então $Δ f = 4, 497 \times 1 0^{14} Hz$ , enquanto $Δ V_{0} = 2, 68 - 0, 82 = 1, 86 V$ .

Em seguida, escreva $e V_{0} = h f - φ$ para cada comprimento de onda e subtraia. A função trabalho é a mesma nas duas equações, então se cancela, restando $e Δ V_{0} = h Δ f$ :
$h = \frac{e Δ V _{0}}{Δ f} = \frac{1 , 602 \times 1 0 ^{- 19} \cdot 1 , 86}{4 , 497 \times 1 0 ^{14}} \approx 6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$

Com $h$ conhecido, qualquer uma das leituras fornece $φ$ . Em 400 nm, a energia do fóton é $h c / λ = 1240/400 = 3, 10 eV$ , usando $h c \approx 1240 eV \cdot nm$ , então $φ = h f - e V_{0} = 3, 10 - 0, 82 = 2, 28 eV$ . A reta agora prevê o potencial de corte em qualquer outro comprimento de onda, por exemplo $V_{0} = 1240/300 - 2, 28 = 1, 85 V$ em 300 nm.

Agora remova o coletor e ilumine com a luz ultravioleta uma esfera isolada de sódio, de raio $R = 1, 0 cm$ . Cada elétron que escapa deixa a esfera mais positiva, então cada elétron posterior deve vencer o potencial $V$ crescente da esfera, perdendo $e V$ no caminho. A emissão para quando $e V$ alcança $K E_{max}$ , ou seja, em $V = 2, 68 V$ : a esfera se carrega até o potencial de corte. O potencial de uma esfera é $V = Q / (4 π ε_{0} R)$ , em que $ε_{0}$ é a permissividade do vácuo e $4 π ε_{0} = 1, 11 \times 1 0^{- 10} F/m$ , então a carga final é
$Q = 4 π ε_{0} R V = 1, 11 \times 1 0^{- 10} \cdot 0, 010 \cdot 2, 68 \approx 3, 0 \times 1 0^{- 12} C$
ou $Q / e \approx 1, 9 \times 1 0^{7}$ elétrons faltantes. Luz mais intensa a carrega mais depressa, mas nunca a deixa mais alta.

Limites de validade

A lei limpa da Figura 3 repousa sobre idealizações. Três pesam na prática: a superfície, o tubo e a faixa de energias dos fótons.

A função trabalho pertence a uma superfície, não apenas a um metal: ela muda conforme a face cristalina exposta e até com uma única camada de átomos adsorvidos. Os valores publicados para o sódio variam de cerca de 2,3 a 2,75 eV, e um filme de césio pode levar uma superfície abaixo de 1,5 eV. O rendimento também é idealizado: a animação libera um elétron para cada fóton acima do limiar, enquanto metais puros rendem bem menos de um elétron a cada cem fótons, e os melhores cátodos de fotomultiplicadoras chegam a cerca de um a cada quatro.

Um tubo real geralmente tem dois metais diferentes, a placa e o coletor, e entre dois metais diferentes ligados em um circuito existe um potencial de contato, igual à diferença das funções trabalho dividida por $e$ . Ele desloca o corte medido: em um tubo ideal, $e V_{0}$ é de fato $h f$ menos a função trabalho do coletor, não a da placa. O deslocamento é o mesmo em todas as frequências, então a inclinação $h / e$ não é afetada, o que torna a inclinação o resultado robusto.

As energias aqui são minúsculas diante da energia de repouso do elétron, 511 keV: os elétrons ultravioleta mais rápidos, com 2,68 eV, se movem a $9, 7 \times 1 0^{5} m/s$ , 0,3 % de $c$ , então $\frac{1}{2} m v^{2}$ é uma boa aproximação. Raios X de dezenas de keV ejetam elétrons de camadas internas rápido o bastante para exigir relatividade. Em energias mais altas, outros processos assumem: acima de cerca de 30 keV, o espalhamento Compton supera a fotoabsorção na água e nos tecidos moles, e acima de 1,022 MeV, o dobro da energia de repouso do elétron, um fóton pode criar um par elétron–pósitron.

Para onde isso leva

A constante de Planck $h$ apareceu pela primeira vez no espectro de corpos quentes, em “Radiação de corpo negro e o quantum”; aqui ela se tornou uma propriedade da própria luz. “Modelos atômicos: o átomo de Bohr” aplica $h f = E_{2} - E_{1}$ às linhas espectrais, “Semicondutores, diodos e LEDs” executa o efeito interno ao contrário, com fótons de energia próxima ao band gap, e “Dualidade onda-partícula” acompanha fótons isolados por uma fenda dupla e dá aos elétrons o comprimento de onda $h / p$ . O momento de um fóton liga o assunto à “Relatividade restrita” e a “Quantidade de movimento e colisões”, e “Partículas e forças: o Modelo Padrão” apresenta o fóton como portador da força eletromagnética.

Fórmulas principais

Energia do fóton

E = h f = \frac{h c}{λ}

A luz é absorvida e emitida em quanta inteiros, os fótons, cada um com uma energia proporcional à sua frequência. Como $f = c / λ$ , a mesma energia é $h c / λ$ : quanto menor o comprimento de onda, mais energia por fóton. Luz mais intensa muda o número de fótons, nunca a energia de cada um.

Símbolos
$E$	energia de um fóton	$J$
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$f$	frequência da luz	$Hz$
$c$	velocidade da luz no vácuo	$m/s$
$λ$	comprimento de onda no vácuo	$m$

Quando vale: Exata para qualquer fóton, de ondas de rádio a raios gama. No vidro ou na água, a frequência e a energia permanecem iguais enquanto o comprimento de onda diminui; por isso use o comprimento de onda no vácuo.

Exemplo: Luz violeta de 400 nm: $E = 1240/400 = 3, 10 eV$ , ou seja, $4, 97 \times 1 0^{- 19} J$ .

Equação fotoelétrica de Einstein

K E_{max} = h f - φ

Conservação de energia para um elétron que absorve um fóton: da energia $h f$ recebida, pelo menos $φ$ é gasta para sair do metal, e o restante é energia cinética. Somente elétrons do topo dos níveis ocupados que não perdem nada no caminho para fora atingem o máximo; a maioria sai com menos. Um resultado negativo significa que nenhum elétron sai, não que elétrons saem com energia negativa.

Símbolos
$K E_{max}$	energia cinética dos fotoelétrons mais rápidos	$J$
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$f$	frequência da luz	$Hz$
$φ$	função trabalho do metal	$J$

Quando vale: Para um fóton por elétron, a regra em intensidades comuns, e somente quando $h f > φ$ . Pulsos intensos de laser permitem $n$ fótons de uma vez, $nh f - φ$ .

Exemplo: Sódio sob ultravioleta de 250 nm: $K E_{max} = 4, 96 - 2, 28 = 2, 68 eV$ .

Frequência de limiar

f_{0} = \frac{φ}{h}

Fazendo $K E_{max} = 0$ , obtém-se a menor frequência cujos fótons podem apenas libertar um elétron. É uma propriedade do metal, através de $φ$ , e não da lâmpada: abaixo dela, nem a intensidade nem o tempo de espera produzem emissão.

Símbolos
$f_{0}$	frequência de limiar	$Hz$
$φ$	função trabalho do metal	$J$
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$

Quando vale: Uma borda nítida para a emissão de fóton único a partir de um metal frio. O calor a borra ao longo de alguns $k T$ , cerca de 0,025 eV à temperatura ambiente, e a absorção multifotônica pode libertar elétrons abaixo dela.

Exemplo: Sódio: $f_{0} = 2, 28 eV / (4, 136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s) \approx 5, 51 \times 1 0^{14} Hz$ .

Comprimento de onda de limiar

λ_{0} = \frac{h c}{φ}

O mesmo limiar escrito como comprimento de onda, $λ_{0} = c / f_{0}$ . Como a energia de um fóton cai à medida que seu comprimento de onda cresce, $λ_{0}$ é um máximo: luz de qualquer comprimento de onda maior não libera nada.

Símbolos
$λ_{0}$	comprimento de onda de limiar	$m$
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$c$	velocidade da luz no vácuo	$m/s$
$φ$	função trabalho do metal	$J$

Quando vale: Como para a frequência de limiar; o comprimento de onda é o do vácuo.

Exemplo: Sódio: $λ_{0} = 1240/2, 28 \approx 544 nm$ , luz verde; zinco, com $φ = 4, 3 eV$ : $1240/4, 3 \approx 288 nm$ , no ultravioleta.

Potencial de corte

e V_{0} = K E_{max}

Torne o coletor negativo em relação à placa: um elétron que atravessa uma diferença de potencial retardadora $V_{0}$ perde energia cinética $e V_{0}$ . A fotocorrente cessa quando até os elétrons mais rápidos são barrados, de modo que medir essa tensão mede $K E_{max}$ . Em elétron-volts, os dois números são iguais: um potencial de corte de 0,82 V significa $K E_{max} = 0, 82 eV$ .

Símbolos
$e$	carga elementar	$C$
$V_{0}$	potencial de corte	$V$
$K E_{max}$	energia cinética dos fotoelétrons mais rápidos	$J$

Quando vale: Para elétrons que atravessam o vácuo sem colisões. Em um tubo real, o potencial de contato entre placa e coletor desloca a tensão medida por uma constante, o que deixa inalterada a inclinação $h / e$ de $V_{0}$ em função de $f$ .

Exemplo: Sódio: $V_{0} = 0, 82 V$ sob luz de 400 nm e 2,68 V sob luz de 250 nm, como na leitura da animação.

O atalho para energias de fótons

h c \approx 1240 eV \cdot nm

A constante de Planck vezes a velocidade da luz, em unidades adequadas a átomos: $4, 136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ vezes $3, 00 \times 1 0^{17} nm/s$ dá cerca de 1240 eV·nm. Dividindo isso por um comprimento de onda em nanômetros, obtém-se a energia do fóton diretamente em elétron-volts, sem potências de dez.

Símbolos
$h$	constante de Planck	$J \cdot s$
$c$	velocidade da luz no vácuo	$m/s$

Quando vale: Uma abreviação numérica precisa a cerca de 0,01 % (o valor é 1239,84 eV·nm). Funciona apenas com energias em elétron-volts e comprimentos de onda em nanômetros.

Exemplo: Luz vermelha de 700 nm: $1240/700 = 1, 77 eV$ , pouco para os 2,28 eV do sódio.

Glossário

Efeito fotoelétrico: A liberação de elétrons de um material quando a luz incide sobre ele. Em um metal, exige luz acima de uma frequência de limiar, e começa imediatamente, mesmo com luz muito fraca.
Fóton: Um quantum de luz: um pacote indivisível com energia $h f$ e momento $h / λ$ , sem massa. Para uma cor, um feixe mais brilhante transporta mais fótons por segundo, não fótons mais energéticos.
Elétron-volt: A energia que um elétron ganha ou perde ao atravessar uma diferença de potencial de 1 V: $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ . Fótons de luz visível carregam cerca de 1,8 a 3,1 eV.
Função trabalho: A taxa de saída de um elétron: a menor energia que o retira de um metal. Depende do metal e do estado de sua superfície, e a mesma barreira limita a emissão termiônica.
Limiar fotoelétrico: A fronteira $h f = φ$ . Luz de frequência menor, isto é, de comprimento de onda maior, não libera elétrons, por mais intensa que seja ou por mais tempo que incida; o limiar é definido pelo metal, não pela lâmpada.
Fotoelétron: Um elétron liberado pela luz. Além da origem, é um elétron comum, com carga $- e$ e massa $9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ .
Energia cinética máxima: A energia cinética dos fotoelétrons mais rápidos, $K E_{max} = h f - φ$ , medida em joules ou elétron-volts e definida apenas pela frequência. A maioria dos elétrons sai com menos, porque começa mais fundo no metal ou perde energia no caminho para fora.
Intensidade da luz: A potência que a luz entrega por metro quadrado, em W/m². Para uma cor, é proporcional ao número de fótons que chegam por segundo; controla, portanto, quantos elétrons saem, e não sua energia.
Corrente de saturação: A maior fotocorrente, atingida quando o coletor é positivo o bastante para coletar todos os elétrons emitidos. É proporcional à intensidade da luz, enquanto o potencial de corte não depende dela.
Eficiência quântica: O número de elétrons emitidos por fóton incidente. É bem inferior a 1 % para metais puros e cerca de 25 % para os melhores cátodos de fotomultiplicadoras; a animação assume 100 %.
Emissão termiônica: A liberação de elétrons de um metal quente: o calor eleva, ao acaso, alguns deles acima da função trabalho, e a corrente cresce como $e^{- φ / k T}$ . Cátodos quentes de válvulas e de tubos de raios X funcionam assim.
Emissão multifotônica: Emissão em que um elétron absorve vários fótons de uma vez, de modo que $K E_{max} = nh f - φ$ . Exige luz muito intensa, como pulsos de laser focalizados, e pode liberar elétrons abaixo do limiar de fóton único.

Grandezas
$f$	Frequência	$Hz$	Oscilações da luz por segundo, $1 Hz = 1 s^{- 1}$ , percebidas pelo olho como cor. A luz visível vai de cerca de $4, 3$ a $7, 5 \times 1 0^{14} Hz$ , do vermelho ao violeta.
$λ$	Comprimento de onda	$m$	A distância entre cristas sucessivas, $λ = c / f$ , em que $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m/s$ é a velocidade da luz no vácuo; costuma ser dado em nanômetros ( $1 nm = 1 0^{- 9} m$ ): cerca de 700 nm para a luz vermelha e 400 nm para a violeta.
$E$	Energia do fóton	$J$	A energia de um fóton, $h f$ , geralmente expressa em elétron-volts: 1,77 eV a 700 nm, 4,96 eV a 250 nm.
$h$	Constante de Planck	$J \cdot s$	$6, 626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ , ou $4, 136 \times 1 0^{- 15} eV \cdot s$ : a energia de um fóton dividida por sua frequência, e a inclinação de $K E_{max}$ em função de $f$ .
$φ$	Função trabalho	$J$	A menor energia que leva um elétron do metal até o repouso logo fora dele, geralmente expressa em elétron-volts: cerca de 2,28 eV para o sódio, 4,3 eV para o zinco.
$f_{0}$	Frequência de limiar	$Hz$	A menor frequência que libera elétrons de um dado metal, $φ / h$ : $5, 51 \times 1 0^{14} Hz$ para o sódio.
$λ_{0}$	Comprimento de onda de limiar	$m$	O maior comprimento de onda que ainda libera elétrons, $h c / φ$ : 544 nm para o sódio, de modo que a luz amarela e a vermelha falham.
$I$	Fotocorrente	$A$	A corrente transportada pelos fotoelétrons: $e$ vezes o número que chega ao coletor a cada segundo. Acima do limiar, é proporcional à intensidade da luz.
$V_{0}$	Potencial de corte	$V$	A tensão retardadora no coletor que acaba de parar os elétrons mais rápidos, $V_{0} = K E_{max} / e$ : 0,82 V para o sódio sob luz de 400 nm.
$e$	Carga elementar	$C$	O tamanho da carga do elétron, $1, 602 \times 1 0^{- 19} C$ . Também serve para converter unidades: $1 eV = 1, 602 \times 1 0^{- 19} J$ .

Quiz

Iniciante Luz vermelha intensa incide sobre um metal, mas nenhum elétron é ejetado. O que fará os elétrons saírem?
1. Tornar a luz vermelha ainda mais intensa
2. Usar luz de frequência mais alta, como violeta ou ultravioleta
3. Manter a luz vermelha acesa por mais tempo
4. Afastar a lâmpada
Mostrar resposta
Resposta: B. Usar luz de frequência mais alta, como violeta ou ultravioleta
Cada fóton precisa, sozinho, carregar energia suficiente para pagar a “taxa de saída” do metal (os físicos a chamam de função trabalho). Fótons vermelhos não conseguem, não importa quantos sejam; fótons violeta ou ultravioleta (frequência mais alta) carregam mais energia cada um.
Iniciante No modelo de fótons, o que muda em uma lâmpada mais intensa da mesma cor?
1. A energia de cada fóton
2. A cor da luz
3. O número de fótons por segundo
4. A velocidade da luz
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Resposta: C. O número de fótons por segundo
O brilho é o número de fótons que chegam por segundo. A energia por fóton depende apenas da cor (frequência).
Intermediário Qual é a energia de um fóton com comprimento de onda de 620 nm? (h·c ≈ 1240 eV·nm)
1. 0,5 eV
2. 2,0 eV
3. 3,1 eV
4. 7,7 eV
Mostrar resposta
Resposta: B. 2,0 eV
E = h·c/λ = 1240 eV·nm ÷ 620 nm = 2,0 eV. Fazendo a divisão ao contrário, obtém-se 0,5, que não é uma energia em eV.
Intermediário Fótons de energia 4,0 eV incidem sobre um metal cuja função trabalho é 2,5 eV. Qual é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados?
1. 1,5 eV
2. 6,5 eV
3. 4,0 eV
4. 2,5 eV
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Resposta: A. 1,5 eV
KE_max = h·f − φ = 4,0 eV − 2,5 eV = 1,5 eV. A função trabalho é gasta para libertar o elétron, por isso ela é subtraída, não somada.
Intermediário Luz acima da frequência de limiar incide sobre um metal. O que acontece se a intensidade for dobrada?
1. KE_max dobra
2. KE_max cai pela metade
3. Saem duas vezes mais elétrons por segundo, com o mesmo KE_max
4. Nada muda
Mostrar resposta
Resposta: C. Saem duas vezes mais elétrons por segundo, com o mesmo KE_max
Duas vezes a intensidade significa duas vezes mais fótons, portanto duas vezes mais elétrons, mas cada fóton continua carregando h·f, então KE_max = h·f − φ não muda.
Avançado São desenhados gráficos de KE_max em função da frequência para vários metais diferentes. O que todas as retas têm em comum?
1. O intercepto no eixo de frequências
2. Sua inclinação, igual à constante de Planck h
3. O intercepto no eixo de energias
4. A frequência mais alta que alcançam
Mostrar resposta
Resposta: B. Sua inclinação, igual à constante de Planck h
KE_max = h·f − φ: a inclinação é h para todo metal, enquanto os interceptos f₀ = φ/h e −φ dependem da função trabalho.
Avançado A fotocorrente cessa quando o coletor está em um potencial de corte de −1,5 V em relação à placa. Qual é o KE_max?
1. 1,5 J
2. 0,75 eV
3. 1,5 eV
4. 3,0 eV
Mostrar resposta
Resposta: C. 1,5 eV
e·V₀ = KE_max, e um elétron que atravessa 1,5 V ganha ou perde 1,5 eV, logo KE_max = 1,5 eV (2,4 × 10⁻¹⁹ J, não 1,5 J).
Avançado Qual observação a teoria ondulatória clássica da luz NÃO conseguia explicar?
1. Elétrons saem imediatamente, mesmo com luz muito fraca acima do limiar
2. Luz mais intensa ejeta mais elétrons
3. A luz transporta energia
4. Os metais contêm elétrons livres
Mostrar resposta
Resposta: A. Elétrons saem imediatamente, mesmo com luz muito fraca acima do limiar
Uma onda clássica espalha sua energia por toda a superfície; em luz fraca, um elétron precisaria de muito tempo para acumular φ. Os quanta a entregam de uma só vez, por isso a emissão é imediata.

$I$	Fotocorrente: a carga por segundo transportada pelos elétrons que chegam ao coletor.	$A$
$V$	Tensão do coletor em relação à placa iluminada; valores negativos repelem os elétrons.	$V$
$V_{0}$	Potencial de corte para a luz violeta: a corrente se anula em $V = - V_{0}$ .	$V$
$V_{0}^{'}$	Potencial de corte para a luz ultravioleta; maior que $V_{0}$ , porque cada fóton ultravioleta carrega mais energia.	$V$
$I_{1}$	Fotocorrente em luz violeta fraca; seu patamar é a corrente de saturação.	$A$
$I_{2}$	Fotocorrente em luz violeta intensa, com três vezes mais fótons por segundo que $I_{1}$ .	$A$
$I_{3}$	Fotocorrente em luz ultravioleta, desenhada com o maior número de fótons por segundo.	$A$

$E$	Energia de um elétron.	$J$
$E_{F}$	Nível de Fermi: o estado eletrônico ocupado mais alto no metal.	$J$
$E_{0}$	Nível do vácuo: a energia de um elétron em repouso logo fora do metal.	$J$
$φ$	Função trabalho: a distância de $E_{F}$ até $E_{0}$ , a menor energia que libera um elétron.	$J$
$h f$	Energia do fóton absorvido, a mesma para os dois elétrons.	$J$
$ε$	Quão abaixo do nível de Fermi começa o segundo elétron: a energia extra que ele precisa gastar para sair.	$J$
$K E_{m a x}$	Energia cinética, já fora, do elétron que começa no nível de Fermi: $h f - φ$ .	$J$
$K E$	Energia cinética, já fora, do elétron que começa $ε$ abaixo: $h f - φ - ε$ .	$J$

$K E_{m a x}$	Maior energia cinética dos fotoelétrons, $h f - φ$ .	$J$
$f$	Frequência da luz.	$Hz$
$f_{0}$	Frequência de limiar do sódio, $φ / h$ : onde sua reta encontra o eixo $f$ .	$Hz$
$f_{0}^{'}$	Frequência de limiar do zinco, maior porque sua função trabalho é maior.	$Hz$
$φ$	Função trabalho do sódio: a continuação tracejada corta o eixo de energia em $- φ$ .	$J$
$Δ f$	Um passo ao longo do eixo de frequência, dado em qualquer ponto da reta.	$Hz$
$h Δ f$	Elevação da reta sobre esse passo, a mesma em toda parte: a inclinação da reta é $h$ .	$J$