Effet photoélectrique

Débutant

Éclairez une plaque de métal propre placée dans un tube vide d'air : avec la bonne lumière, des électrons jaillissent de sa surface, et un ampèremètre branché dans le circuit indique un courant. C'est l'effet photoélectrique. Rassemblons ce que montrent les expériences, une observation à la fois.

Observation 1 : la couleur décide. Dans l'animation, une lampe rouge intense inonde la plaque de sodium et rien ne se passe, même en attendant longtemps. Une faible lumière violette agit aussitôt.
Observation 2 : aucune attente. Même une lumière violette très faible libère des électrons dès qu'elle arrive.
Observation 3 : l'intensité décide du nombre. Une lumière violette plus vive éjecte plus d'électrons, mais aucun plus rapide.
Observation 4 : plus bleu, plus rapide. L'ultraviolet fait jaillir les électrons plus vite que le violet.

Une onde lumineuse qui s'étale régulièrement sur la plaque n'explique que la troisième observation. La réponse d'Einstein, en 1905 : la lumière arrive par minuscules paquets d'énergie appelés photons, et la couleur fixe l'énergie de chaque paquet. Les photons rouges en portent peu, les violets davantage, les ultraviolets plus encore. Un électron prend un photon à la fois, tout ou rien. Pour sortir, il doit payer un « droit de sortie » fixe. Un photon rouge ne peut pas le payer, et plus de photons rouges n'y changent rien, comme une foule où chacun tient une seule pièce ne peut acheter un billet à cinq pièces. Ce qui reste après le droit de sortie devient la vitesse de l'électron.

Les photomultiplicateurs utilisent cet effet pour compter des photons un par un, et les capteurs d'appareils photo et les panneaux solaires reposent sur un effet voisin. Il a valu à Einstein son prix Nobel.

Vérifiez : de l'ultraviolet arrache des électrons à un métal, et vous le rendez deux fois plus intense. Les électrons sortent-ils plus vite, ou en sort-il davantage ? (Davantage, avec la même vitesse maximale.)

Intermédiaire

Ce que mesure l'expérience

Deux électrodes métalliques sont placées dans un tube de verre vidé d'air : une plaque que la lumière éclaire, ici du sodium, et un collecteur qui lui est relié par une pile et un ampèremètre. Dans le noir, l'appareil indique zéro, car rien ne transporte de charge à travers le vide. Une lumière de couleur adaptée fait aussitôt circuler un courant : des électrons, appelés photoélectrons, quittent la plaque éclairée et atteignent le collecteur.

L'expérimentateur fait varier deux propriétés de la lumière : sa fréquence $f$, que l'on perçoit comme la couleur, et son intensité, la puissance qu'elle apporte par mètre carré. Deux grandeurs sont mesurées : le photocourant $I$, qui compte les électrons arrivant chaque seconde, et l'énergie des électrons les plus rapides. Contrairement à ce que prévoit le modèle ondulatoire, la sortie des électrons, et la vitesse des plus rapides d'entre eux, ne dépendent que de la fréquence ; l'intensité ne fixe rien d'autre que le courant.

La lumière en paquets : le photon

En 1905, Einstein a proposé que la lumière soit absorbée, et se propage, par paquets d'énergie que l'on appelle aujourd'hui photons. Un photon de fréquence $f$, ou de longueur d'onde $\lambda =c/f$, transporte l'énergie
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
où $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ est la constante de Planck et $c$ la vitesse de la lumière. Pour une couleur donnée, une lumière plus intense signifie davantage de photons par seconde, et non des photons plus gros.

La physique atomique mesure de telles énergies en électronvolts, l'énergie que gagne un électron en traversant une différence de potentiel de 1 V : $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Avec le produit
$hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$
l'énergie d'un photon en électronvolts vaut 1240 divisé par sa longueur d'onde en nanomètres : 3,10 eV pour la lumière violette à 400 nm.

Le bilan d'énergie : l'équation d'Einstein

Les électrons de conduction se déplacent librement à l'intérieur d'un métal, mais libérer même le plus faiblement lié coûte une énergie bien définie, le travail d'extraction $\phi$ : environ 2,1 eV pour le césium, 2,28 eV pour le sodium, 4,3 eV pour le zinc et 5,1 eV pour l'or. Un électron absorbe un photon entier ou rien du tout. Si $hf$ dépasse $\phi$, l'électron paie sa sortie et garde le reste sous forme d'énergie cinétique :
$E_{c,\max }=hf-\phi$

Le mot « maximale » compte : seul un électron qui part du niveau d'énergie occupé le plus élevé et ne perd rien en sortant repart avec la totalité de $hf-\phi$. Les électrons issus de niveaux plus bas, ou de plus profond dans le métal, sortent avec moins, de zéro jusqu'à $E_{c,\max }$.

Si $hf$ est inférieur à $\phi$, aucun photon ne peut libérer un électron à lui seul, et l'électron ne peut pas mettre plusieurs photons en réserve : il cède son petit gain au métal sous forme de chaleur bien avant l'arrivée d'un autre photon. Le cas limite $hf=\phi$ définit la fréquence seuil et la longueur d'onde seuil :

• $f_0=\frac{\phi }{h}$
• ${\lambda }_0=\frac{hc}{\phi }$

Le seuil est une fréquence minimale mais une longueur d'onde maximale : une lumière de longueur d'onde supérieure à ${\lambda }_0$ ne libère rien, si intense soit-elle.

Exemple résolu : la plaque de sodium de l'animation

La plaque de l'animation est en sodium, $\phi =2,28\mathrm{eV}$, donc ${\lambda }_0=1240/2,28\approx 544\mathrm{nm}$, dans le vert, et $f_0\approx 5,51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. La lampe rouge intense à 700 nm donne $hf=1240/700=1,77\mathrm{eV}$ et $hf-\phi =1,77-2,28=-0,51\mathrm{eV}$. Aucun de ses 14 photons ne libère d'électron, et une étiquette rouge indique « pas d'émission ».

La lumière violette à 400 nm donne $hf=3,10\mathrm{eV}$ et $E_{c,\max }=3,10-2,28=0,82\mathrm{eV}$ ; l'ultraviolet à 250 nm donne $hf=4,96\mathrm{eV}$ et $E_{c,\max }=2,68\mathrm{eV}$. Ce sont les valeurs affichées pour $\lambda$, $hf$ et $hf-\phi$. Comme $0,82\mathrm{eV}=1,31\times 10^{-19}\mathrm{J}$, les électrons violets les plus rapides vont à $v=\sqrt{2E_{c,\max }/m}\approx 5,4\times 10^{5}m/s$ ; les ultraviolets les plus rapides atteignent $9,7\times 10^{5}m/s$.

Les flèches bleues de vitesse le montrent. Un électron sur trois sort avec $E_{c,\max }$ ; les autres ont perdu de l'énergie dans le métal et n'en gardent que 45 % ou 75 %, d'où des flèches plus courtes. La flèche de l'électron ultraviolet le plus rapide est $\sqrt{2,68/0,82}\approx 1,8$ fois plus longue que celle du violet le plus rapide. Quand la lumière violette devient intense, neuf photons libèrent neuf électrons au lieu de trois, et pourtant l'indicateur reste à 0,82 eV.

Exemple résolu : une plaque de zinc sous l'ultraviolet

Une plaque de zinc propre, $\phi =4,3\mathrm{eV}$, est éclairée par la raie ultraviolette d'une lampe à mercure à 254 nm. La lumière visible est-elle efficace sur cette plaque ? À quelle vitesse vont les électrons les plus rapides, et quelle est l'intensité du courant ?

Le seuil du zinc est ${\lambda }_0=1240/4,3\approx 288\mathrm{nm}$, déjà dans l'ultraviolet : la lumière violette, efficace sur le sodium, ne libère donc rien ici. À 254 nm, $hf=1240/254=4,88\mathrm{eV}$ et $E_{c,\max }=4,88-4,3=0,58\mathrm{eV}$ : les électrons les plus rapides vont à environ $4,5\times 10^{5}m/s$.

Supposons que 1,0 mW de cette lumière atteigne la plaque. À $4,88\mathrm{eV}=7,82\times 10^{-19}\mathrm{J}$ par photon, il arrive environ $1,3\times 10^{15}$ photons chaque seconde. Un métal nu les convertit mal : si un photon sur mille libère un électron, $1,3\times 10^{12}$ électrons sortent chaque seconde et le courant vaut $I\approx 1,3\times 10^{12}\cdot 1,602\times 10^{-19}\approx 2\times 10^{-7}\mathrm{A}$, soit 0,2 µA. Doubler la puissance de la lampe double le courant, mais laisse les 0,58 eV inchangés.

Lire le diagramme d'énergie et les graphiques

Un diagramme d'énergie représente l'énergie d'un électron par une hauteur. Les électrons remplissent le métal jusqu'à un niveau supérieur, et un électron au repos juste à l'extérieur se trouve $\phi$ plus haut. Un photon élève un électron d'exactement $hf$. Pour la lumière violette, les 3,10 eV se partagent en 2,28 eV pour sortir et 0,82 eV de mouvement ; les 1,77 eV du rouge manquent de 0,51 eV, et le gain de l'électron finit en chaleur.

Pour une couleur donnée au-dessus du seuil, le photocourant en fonction de l'intensité est une droite passant par l'origine, alors que $E_{c,\max }$ en fonction de l'intensité est une droite horizontale. $E_{c,\max }$ en fonction de la fréquence est nulle jusqu'à $f_0$, puis une droite de pente $h$ : la même pente pour tous les métaux, à partir du $f_0=\phi /h$ propre à chacun. La vue avancée de l'animation trace ce graphique.

Erreurs fréquentes

• Une lumière plus intense ne produit pas des électrons plus rapides : tripler la lumière violette de l'animation libère trois fois plus d'électrons, chacun toujours avec 0,82 eV au plus.
• Attendre n'aide pas sous le seuil : la lampe rouge pourrait éclairer le sodium pendant des heures, et chaque photon de 1,77 eV resterait en dessous des 2,28 eV nécessaires.
• Le travail d'extraction se soustrait, il ne s'ajoute pas : des photons violets sur du sodium donnent $3,10-2,28=0,82\mathrm{eV}$, et non 5,38 eV.
• Le seuil est une propriété du métal, non de la lumière : la lumière de 400 nm libère des électrons du sodium mais pas du zinc, dont le seuil est à 288 nm.
• Convertissez les électronvolts en joules avant d'utiliser $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$ : 0,82 eV vaut $1,31\times 10^{-19}\mathrm{J}$ et donne 540 km/s, alors que 0,82 mis directement dans la formule donne $1,3\times 10^{15}m/s$, plus vite que la lumière.

Où on le rencontre

Les photomultiplicateurs comptent des photons un par un dans les scanners médicaux, les détecteurs de particules et les télescopes, en multipliant chaque photoélectron environ un million de fois. Les intensificateurs d'image de vision nocturne fonctionnent de la même façon, et les engins spatiaux exposés au Soleil se chargent à quelques volts positifs, car la lumière ultraviolette arrache des électrons à leur surface. Les cellules solaires et les capteurs d'appareils photo utilisent l'effet photoélectrique interne, dans lequel le photon soulève un électron à l'intérieur d'un semi-conducteur au lieu de l'en faire sortir.

Les quanta $hf$ traversent toute la physique moderne. Dans la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr, les atomes émettent et absorbent des photons correspondant à l'écart entre deux niveaux d'énergie ; Semi-conducteurs, diodes et LED retourne l'effet ; Dualité onde-corpuscule donne aussi une longueur d'onde aux électrons.

Avancé

Mesurer l'énergie : le potentiel d'arrêt

L'effet photoélectrique se joue sur deux mesures : combien d'électrons quittent chaque seconde un métal éclairé, et quelle énergie cinétique portent les plus rapides d'entre eux. La première est simplement un courant. La seconde demande une astuce, le potentiel d'arrêt, dont la figure 1 montre le principe.

Légende

$I$	Photocourant : la charge par seconde transportée par les électrons qui atteignent le collecteur.	$\mathrm{A}$
$V$	Tension du collecteur par rapport à la plaque éclairée ; les valeurs négatives repoussent les électrons.	$\mathrm{V}$
$V_0$	Potentiel d'arrêt pour la lumière violette : le courant s'annule en $V=-V_0$.	$\mathrm{V}$
$V_0^{\prime }$	Potentiel d'arrêt pour la lumière ultraviolette ; plus grand que $V_0$, car chaque photon ultraviolet porte plus d'énergie.	$\mathrm{V}$
$I_1$	Photocourant sous lumière violette faible ; son palier est le courant de saturation.	$\mathrm{A}$
$I_2$	Photocourant sous lumière violette intense, avec trois fois plus de photons par seconde que pour $I_1$.	$\mathrm{A}$
$I_3$	Photocourant sous lumière ultraviolette, dessiné avec le plus de photons par seconde.	$\mathrm{A}$

Le dispositif est un tube à vide contenant deux électrodes : une plaque de sodium sur laquelle tombe la lumière, et un collecteur placé en face. On applique au collecteur une tension $V$, mesurée par rapport à la plaque éclairée, et un appareil enregistre le photocourant $I$, la charge par seconde transportée par les électrons qui atteignent le collecteur. La figure 1 montre trois séries de mesures : une lumière violette faible ($I_1$), une lumière plus intense de la même couleur violette ($I_2$) et une lumière ultraviolette ($I_3$).

Commencez par la droite de la figure 1, où $V$ est positive. Le collecteur attire les électrons, chaque électron qui quitte la plaque est collecté, et chaque courbe atteint un palier, le courant de saturation. Un palier compte des électrons par seconde ; pour une lumière d'une seule couleur, il est donc proportionnel au nombre de photons reçus par seconde : $I_2$, avec trois fois plus de photons que $I_1$, a un palier trois fois plus haut. La série ultraviolette est dessinée avec le plus de photons par seconde, son palier est donc le plus haut. Un palier indique combien d'électrons sortent, jamais à quelle vitesse ils vont.

Déplacez-vous maintenant vers la gauche, où $V$ est négative. Le collecteur repousse désormais les électrons, et pour arriver un électron doit gravir une colline d'énergie potentielle de hauteur $e|V|$, où $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ est la charge élémentaire. Seul franchit cette colline un électron qui quitte la plaque avec une énergie cinétique supérieure à cette valeur. Les électrons sortent avec une dispersion d'énergies et de directions (la figure 2 montre d'où elle vient) ; quand on rend $V$ plus négative, les plus lents sont donc refoulés les premiers et le courant diminue progressivement. Il s'annule en $V=-V_0$, quand même les électrons les plus rapides, ceux d'énergie cinétique maximale $E_{c,\max }$, sont tout juste refoulés :
$e{V}_0=E_{c,\max }$

La tension $V_0$ est le potentiel d'arrêt. Elle transforme une mesure d'énergie en lecture de tension : un électron arrêté par exactement 1 V avait une énergie cinétique de 1 eV, l'électronvolt étant l'énergie qu'un électron gagne en traversant 1 V, soit $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Pour le sodium, $V_0=0,82\mathrm{V}$ sous une lumière violette de 400 nm et $2,68\mathrm{V}$ sous une lumière ultraviolette de 250 nm, valeurs affichées par l'indicateur de $V_0$ de l'animation. Les électrons les plus rapides portent donc 0,82 eV et 2,68 eV.

Comparez maintenant les points où les courbes de la figure 1 s'annulent. Les deux courbes violettes diffèrent en hauteur d'un facteur trois, et pourtant toutes deux s'annulent au même $-V_0$. La courbe ultraviolette $I_3$ s'annule en $-V_0^{\prime }$, plus à gauche, parce que ses électrons sont plus rapides. Il en va de même pour n'importe quel jeu de mesures : toutes les intensités d'une même couleur s'arrêtent à la même tension, et chaque couleur à la sienne. L'intensité fixe le courant ; la fréquence fixe l'énergie. C'est toute l'énigme en une figure, et la suite de cette explication montre pourquoi.

Conservation de l'énergie pour un photon

Pourquoi l'énergie ne dépendrait-elle que de la couleur ? La réponse d'Einstein, en 1905, fut que la lumière est absorbée par quanta entiers, les photons, chacun portant l'énergie $hf$, où $f$ est la fréquence de la lumière et $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ la constante de Planck. La figure 2 suit l'énergie d'un photon depuis son absorption jusqu'au moment où son électron est hors du métal.

Légende

$E$	Énergie d'un électron.	$\mathrm{J}$
$E_F$	Niveau de Fermi : le plus haut état occupé du métal.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Niveau du vide : l'énergie d'un électron au repos juste à l'extérieur du métal.	$\mathrm{J}$
$\phi$	Travail d'extraction : l'écart entre $E_F$ et $E_0$, la plus petite énergie qui libère un électron.	$\mathrm{J}$
$hf$	Énergie du photon absorbé, la même pour les deux électrons.	$\mathrm{J}$
$\epsilon$	De combien le second électron part sous le niveau de Fermi : l'énergie supplémentaire qu'il doit dépenser pour sortir.	$\mathrm{J}$
$K{E}_{\max }$	Énergie cinétique $E_{c,\max }$, une fois dehors, de l'électron qui part du niveau de Fermi : $hf-\phi$.	$\mathrm{J}$
$KE$	Énergie cinétique $E_c$, une fois dehors, de l'électron qui part de $\epsilon$ plus bas : $hf-\phi -\epsilon$.	$\mathrm{J}$

L'axe vertical de la figure 2 porte l'énergie $E$ d'un électron. Dans un métal, les électrons de conduction occupent les états disponibles du bas vers le haut, jusqu'à un plus haut niveau occupé, le niveau de Fermi $E_F$ ; la bande ombrée représente les états remplis. Un électron au repos juste à l'extérieur de la surface a l'énergie du niveau du vide $E_0$. L'écart entre les deux, $\phi =E_0-E_F$, est le travail d'extraction : la plus petite énergie qui fasse sortir un électron du métal. Pour le sodium, il vaut 2,28 eV.

L'absorption d'un photon élève un électron d'exactement $hf$ : ce sont les flèches violettes, égales pour les deux électrons. Suivez d'abord l'électron de gauche. Il part du niveau de Fermi, il lui faut donc seulement $\phi$ pour atteindre le niveau du vide. S'il ne perd rien en chemin, il garde le reste sous forme d'énergie cinétique, la flèche bleue au-dessus de $E_0$. Aucun électron ne peut faire mieux, c'est donc le maximum :
$E_{c,\max }=hf-\phi$

Suivez maintenant l'électron de droite. Il part d'une énergie $\epsilon$ sous le niveau de Fermi, il doit donc dépenser $\epsilon$ de plus pour sortir, et le même photon ne lui laisse que
$E_c=hf-\phi -\epsilon$
Sa flèche bleue est plus courte de $\epsilon$. Les électrons issus d'états plus profonds, et ceux qui perdent de l'énergie dans des collisions avant d'atteindre la surface, sortent encore plus lentement : voilà la dispersion d'énergies qui fait descendre progressivement les courbes de la figure 1. Pour $\epsilon =0$, on retrouve $E_{c,\max }=hf-\phi$. L'équation d'Einstein est la conservation de l'énergie pour un photon et un électron, rien de plus ; la physique nouvelle tient tout entière dans l'affirmation que la lumière arrive par quanta de taille $hf$.

Les flèches sont à l'échelle pour une lumière ultraviolette sur du sodium : $hf=4,96\mathrm{eV}$ et $\phi =2,28\mathrm{eV}$ donnent $E_{c,\max }=2,68\mathrm{eV}$, exactement le $e{V}_0$ mesuré sur la figure 1, et l'électron qui part de $\epsilon =0,9\mathrm{eV}$ plus bas sort avec $1,78\mathrm{eV}$.

Un détail se cache dans cette comptabilité : un électron libre ne peut pas absorber un photon. Pour le voir, prenons un électron de masse $m$, initialement au repos, qui absorbe un photon d'énergie $E$, lequel porte aussi la quantité de mouvement $E/c$. L'électron aurait alors l'énergie $m{c}^2+E$ et la quantité de mouvement $p=E/c$. Or la relativité fixe l'énergie d'une particule par sa quantité de mouvement : le carré de l'énergie doit valoir $(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2=(m{c}^2{)}^2+E^2$. Le carré de $m{c}^2+E$ dépasse cette valeur de $2m{c}^{2}E$, donc l'énergie et la quantité de mouvement ne peuvent pas être conservées toutes les deux. Quelque chose d'autre doit absorber la quantité de mouvement, le réseau cristallin ou la surface : l'effet concerne donc les électrons liés dans un métal, non les électrons isolés.

Le travail d'extraction n'est pas non plus une constante propre à la lumière. La même barrière gouverne l'émission thermoélectronique, où la chaleur libère les électrons : l'agitation thermique aléatoire donne à quelques-uns assez d'énergie pour la franchir, et le courant est régi par le facteur $e^{-\phi /kT}$, où $k$ est la constante de Boltzmann et $T$ la température absolue. À température ambiante, $kT\approx 0,025\mathrm{eV}$, et pour le sodium ce facteur est inférieur à $10^{-38}$ : aucune émission. Un filament de tungstène ($\phi \approx 4,5\mathrm{eV}$) à 2500 K a $kT\approx 0,22\mathrm{eV}$, et le facteur atteint environ $10^{-9}$, assez pour un courant utile. La chaleur paie le droit de sortie au hasard, quelques électrons à la fois ; un photon le paie d'un seul coup.

La droite et sa pente

L'équation d'Einstein fait une prédiction nette et vérifiable : en fonction de la fréquence, $E_{c,\max }$ est une droite dont la pente est la même pour tous les métaux. La figure 3 trace cette prédiction, qui est aussi la façon dont $h$ a d'abord été mesurée avec de la lumière.

Légende

$K{E}_{\max }$	Plus grande énergie cinétique des photoélectrons, $E_{c,\max }=hf-\phi$.	$\mathrm{J}$
$f$	Fréquence de la lumière.	$\mathrm{Hz}$
$f_0$	Fréquence seuil du sodium, $\phi /h$ : là où sa droite coupe l'axe $f$.	$\mathrm{Hz}$
$f_0^{\prime }$	Fréquence seuil du zinc, plus grande parce que son travail d'extraction est plus grand.	$\mathrm{Hz}$
$\phi$	Travail d'extraction du sodium : le prolongement en tirets coupe l'axe des énergies en $-\phi$.	$\mathrm{J}$
$\Delta f$	Un pas le long de l'axe des fréquences, pris n'importe où sur la droite.	$\mathrm{Hz}$
$h\Delta f$	Montée de la droite sur ce pas, la même partout : la pente de la droite est $h$.	$\mathrm{J}$

La figure 3 trace $E_{c,\max }=hf-\phi$ en fonction de la fréquence $f$ de la lumière ; le trait épais est le sodium. Regardez d'abord le petit triangle dessiné dessus : un pas $\Delta f$ vers la droite élève la droite de $h\Delta f$, où que le pas soit fait sur la droite. C'est ce que signifie une pente égale à $h$.

Regardez ensuite où la droite coupe les axes. Elle coupe l'axe des fréquences à la fréquence seuil $f_0=\phi /h$, où un photon a juste assez d'énergie pour libérer un électron, sans rien en trop. Sous $f_0$, aucun électron n'est émis, si brillante que soit la lumière : il n'y a donc rien à mesurer. Prolongée sous $f_0$ (en tirets), la droite est une extrapolation et non une mesure ; elle coupe l'axe des énergies en $-\phi$, à une profondeur $\phi$ sous l'axe des fréquences, et lire cette ordonnée à l'origine est une façon de trouver le travail d'extraction.

Le trait fin correspond à un métal de travail d'extraction plus grand, le zinc, avec $\phi \approx 4,3\mathrm{eV}$. Il a la même pente $h$, donc il est parallèle à la droite du sodium, mais il ne démarre qu'au seuil plus élevé $f_0^{\prime }=4,3\mathrm{eV}/h\approx 1,04\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, déjà dans l'ultraviolet.

La vue experte de l'animation trace la droite du sodium avec trois points. Le point rouge, à $4,28\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, est sous le seuil $f_0=5,51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ et reste à zéro : aucun électron. Le point violet, à $7,49\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, est à 0,82 eV, et le point ultraviolet, à $1,20\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, à 2,68 eV : ce sont les deux potentiels d'arrêt de la figure 1. Les séries violette faible et violette intense partagent un seul point, car l'intensité n'apparaît pas du tout sur ce graphe.

Au laboratoire, on mesure $V_0$ plutôt que $E_{c,\max }$. Diviser l'équation d'Einstein par $e$ donne
$V_0=\frac{h}{e}f-\frac{\phi }{e}$
une droite de pente $h/e=4,14\times 10^{-15}\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$ : le potentiel d'arrêt augmente d'environ 0,41 V pour chaque $10^{14}\mathrm{Hz}$. La pente est universelle et seule l'ordonnée à l'origine dépend du métal, de sorte que les droites du césium, du sodium et du zinc sont parallèles, comme sur la figure 3. Millikan, qui doutait des quanta de lumière d'Einstein, a mesuré de telles droites entre 1914 et 1916 et a trouvé $h$ à environ 1 % de la valeur actuelle. Le prix Nobel d'Einstein pour 1921 citait cette loi, et non la relativité.

Pourquoi une onde classique n'y arrive pas

La lumière vue comme une onde classique explique parfaitement les interférences et la diffraction ; pourquoi fallait-il alors une idée nouvelle ? Parce que l'image ondulatoire se trompe sur les trois observations de la figure 1.

La première concerne le temps. Une onde apporte l'énergie de façon continue, répartie sur tout son front, et un électron ne peut en recueillir que sur une surface à peu près égale à celle de son propre atome, environ $10^{-20}{\mathrm{m}}^2$. Dans une lumière faible de 0,01 W/m², cette surface reçoit $0,01\cdot 10^{-20}=10^{-22}\mathrm{W}$, de sorte que réunir le travail d'extraction du sodium, $2,28\mathrm{eV}=3,65\times 10^{-19}\mathrm{J}$, prendrait
$t=\frac{3,65\times 10^{-19}\mathrm{J}}{10^{-22}\mathrm{W}}\approx 3650\mathrm{s}$
environ une heure. Les expériences ne décèlent aucun retard, jusqu'aux quelques nanosecondes qu'elles savent résoudre.

La deuxième concerne l'énergie. Une lumière plus intense a un champ électrique plus fort, qui devrait secouer davantage les électrons et les expulser plus vite ; la figure 1 montre qu'une lumière plus intense donne plus d'électrons, non des électrons plus rapides. La troisième concerne le seuil. Avec assez de temps, une onde de n'importe quelle fréquence devrait apporter assez d'énergie, et pourtant sous $f_0$ rien ne sort, si longtemps qu'on attende. Les trois prédictions sont fausses.

Avec des photons, les trois faits découlent d'un coup. L'absorption est du tout ou rien, donc l'émission commence dès l'arrivée du premier photon. L'énergie $hf$ de chaque photon est fixée par la couleur, donc une lumière plus intense signifie plus de photons, non des photons plus gros. Et un photon d'énergie inférieure à $\phi$ ne libère rien, si nombreux que soient ceux qui arrivent. Un compteur de photons rend cette nature granulaire audible : atténuez la lumière, et ses clics ne deviennent pas plus faibles ; tous identiques, ils deviennent seulement plus rares.

Un photon porte aussi une quantité de mouvement, $p=h/\lambda =E/c$, donc $E^2-(pc{)}^2=0$ : c'est une particule de masse nulle, comme la relativité l'exige de tout ce qui se déplace à la vitesse $c$. La diffusion des rayons X par des électrons, étudiée par Compton, a confirmé cette quantité de mouvement en 1923. L'endroit où un photon donné va atterrir ne peut être prédit que comme une probabilité, et cette probabilité suit l'intensité de l'onde classique, ce qui explique que l'image ondulatoire rende encore bien compte des interférences.

Une mise en garde : un modèle semi-classique, où les électrons obéissent à la mécanique quantique mais où la lumière reste une onde classique, produit lui aussi le seuil, le courant proportionnel à l'intensité et l'émission immédiate. L'effet photoélectrique oriente donc vers les photons sans les prouver. La preuve est venue d'expériences sur des photons uniques : le dégroupement de photons en 1977, où l'on a constaté que la lumière d'un seul atome ne livre jamais deux photons au même instant, et, en 1986, la constatation qu'un photon unique envoyé sur une lame séparatrice ne se manifeste jamais des deux côtés à la fois.

Au-delà du seuil à un photon

La loi simple suppose un photon par électron, un métal froid et un électron qui doit quitter le matériau. Lever chacune de ces hypothèses, ou lire la loi à l'envers, donne quatre prolongements importants.

• Des impulsions laser intenses apportent les photons si densément qu'un électron peut en absorber $n$ à la fois : $E_{c,\max }=nhf-\phi$. Le taux croît comme la puissance $n$ de l'intensité, il faut donc une lumière très forte. Deux photons de la lumière rouge de l'animation, $2\cdot 1,77=3,54\mathrm{eV}$, libéreraient du sodium des électrons allant jusqu'à 1,26 eV, plus que ne donnent des photons violets isolés.
• À toute température supérieure au zéro absolu, quelques électrons se trouvent un peu au-dessus du niveau de Fermi : le seuil n'est donc pas parfaitement net, mais flou sur quelques $kT$. Les mesures soignées de $\phi$ ajustent la forme de cette queue thermique.
• La spectroscopie de photoémission lit l'équation à l'envers. Avec un $hf$ connu, en général des ultraviolets ou des rayons X, l'énergie cinétique mesurée donne l'énergie de liaison $E_{\mathrm{l}}$ de chaque électron, sa profondeur sous le niveau de Fermi (le $\epsilon$ de la figure 2), par $E_c=hf-E_{\mathrm{l}}-\phi$.
• Dans un semi-conducteur, un photon n'a pas besoin de libérer l'électron du matériau, seulement de lui faire franchir la bande interdite, l'écart d'énergie entre les états remplis et les états vides où un électron peut transporter du courant : 1,12 eV dans le silicium. L'électron reste à l'intérieur et contribue à un courant. Les cellules solaires au silicium et les capteurs d'appareils photo répondent donc à toutes les longueurs d'onde inférieures à environ 1100 nm.

Problème résolu : mesurer la constante de Planck

La droite de la figure 3 transforme deux lectures de potentiel d'arrêt en une mesure de $h$. Supposez que vous ne connaissiez ni $h$ ni $\phi$, seulement les valeurs affichées par l'animation : 0,82 V à 400 nm et 2,68 V à 250 nm.

D'abord les fréquences. Avec $f=c/\lambda$, elles valent $7,495\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ et $1,1992\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, donc $\Delta f=4,497\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, tandis que $\Delta V_0=2,68-0,82=1,86\mathrm{V}$.

Écrivez ensuite $e{V}_0=hf-\phi$ pour chaque longueur d'onde et soustrayez. Le travail d'extraction est le même dans les deux équations, il disparaît donc, et il reste $e\Delta V_0=h\Delta f$ :
$h=\frac{e\Delta V_0}{\Delta f}=\frac{1,602\times 10^{-19}\cdot 1,86}{4,497\times 10^{14}}\approx 6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$

Une fois $h$ connue, chaque lecture donne $\phi$. À 400 nm, l'énergie du photon vaut $hc/\lambda =1240/400=3,10\mathrm{eV}$, avec $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, donc $\phi =hf-e{V}_0=3,10-0,82=2,28\mathrm{eV}$. La droite prédit alors le potentiel d'arrêt pour toute autre longueur d'onde, par exemple $V_0=1240/300-2,28=1,85\mathrm{V}$ à 300 nm.

Retirons maintenant le collecteur et envoyons la lumière ultraviolette sur une boule de sodium isolée, de rayon $R=1,0\mathrm{cm}$. Chaque électron qui s'échappe laisse la boule plus positive, si bien que chaque électron suivant doit gravir le potentiel croissant $V$ de la boule, en perdant $eV$ en chemin. L'émission cesse quand $eV$ atteint $E_{c,\max }$, c'est-à-dire pour $V=2,68\mathrm{V}$ : la boule se charge jusqu'au potentiel d'arrêt. Le potentiel d'une sphère est $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, où ${\epsilon }_0$ est la permittivité du vide et $4\pi {\epsilon }_0=1,11\times 10^{-10}F/m$, donc la charge finale vaut
$Q=4\pi {\epsilon }_{0}RV=1,11\times 10^{-10}\cdot 0,010\cdot 2,68\approx 3,0\times 10^{-12}\mathrm{C}$
soit $Q/e\approx 1,9\times 10^7$ électrons manquants. Une lumière plus intense la charge plus vite, jamais plus haut.

Limites de validité

La loi si nette de la figure 3 repose sur des idéalisations. Trois comptent en pratique : la surface, le tube et le domaine d'énergies des photons.

Le travail d'extraction appartient à une surface, et pas seulement à un métal : il change avec la face cristalline exposée et même avec une seule couche d'atomes adsorbés. Les valeurs publiées pour le sodium vont d'environ 2,3 à 2,75 eV, et un film de césium peut amener une surface sous 1,5 eV. Le rendement est lui aussi idéalisé : l'animation libère un électron pour chaque photon au-dessus du seuil, alors que les métaux nus donnent bien moins d'un électron pour cent photons, et les meilleures photocathodes de photomultiplicateurs environ un pour quatre.

Un tube réel comporte en général deux métaux différents, la plaque et le collecteur, et entre deux métaux différents réunis dans un circuit il existe un potentiel de contact, égal à la différence de leurs travaux d'extraction divisée par $e$. Il décale la coupure mesurée : dans un tube idéal, $e{V}_0$ est en réalité égal à $hf$ moins le travail d'extraction du collecteur, et non celui de la plaque. Le décalage est le même à toute fréquence, donc la pente $h/e$ n'est pas touchée, ce qui en fait le résultat robuste.

Ces énergies sont minuscules à côté de l'énergie de masse de l'électron, 511 keV : les électrons ultraviolets les plus rapides, de 2,68 eV, vont à $9,7\times 10^{5}m/s$, soit 0,3 % de $c$, si bien que l'expression $\frac{1}{2}m{v}^2$ est précise. Des rayons X de plusieurs dizaines de keV éjectent des électrons de couches internes assez vite pour exiger la relativité. À plus haute énergie, d'autres processus prennent le relais : au-dessus d'environ 30 keV, la diffusion Compton l'emporte sur la photoabsorption dans l'eau et les tissus mous, et au-dessus de 1,022 MeV, soit deux fois l'énergie de masse de l'électron, un photon peut créer une paire électron–positron.

Ce qui vient ensuite

Rayonnement du corps noir et quanta est la leçon où $h$ est apparue pour la première fois, dans le spectre des corps chauds ; ici, elle est devenue une propriété de la lumière elle-même. Modèles atomiques : l'atome de Bohr applique $hf=E_2-E_1$ aux raies spectrales, Semi-conducteurs, diodes et LED fait fonctionner l'effet interne en sens inverse, avec des photons d'énergie proche de la bande interdite, et Dualité onde-corpuscule suit des photons uniques à travers une double fente et donne aux électrons la longueur d'onde $h/p$. La quantité de mouvement du photon relie le sujet à Relativité restreinte et à Quantité de mouvement et chocs, et Particules et forces : le modèle standard présente le photon comme le porteur de la force électromagnétique.