Efecto fotoeléctrico

Principiante

Ilumina una placa de metal limpia dentro de un tubo sin aire y, con la luz adecuada, de su superficie saltan electrones; un amperímetro en el circuito marca entonces una corriente. Es el efecto fotoeléctrico. Reunamos lo que muestran los experimentos, una observación cada vez.

Observación 1: decide el color. En la animación, una lámpara roja intensa inunda la placa de sodio y no pasa nada, por mucho que esperemos. Una luz violeta tenue funciona al instante.
Observación 2: no hay espera. Incluso una luz violeta muy débil libera electrones en cuanto llega.
Observación 3: el brillo decide cuántos. Una luz violeta más brillante arranca más electrones, pero ninguno más rápido.
Observación 4: más azul, más rápido. El ultravioleta hace salir los electrones con más velocidad que el violeta.

Una onda de luz que se reparte suavemente por la placa solo explica la tercera observación. La respuesta de Einstein, en 1905: la luz llega en diminutos paquetes de energía llamados fotones, y el color fija la energía de cada paquete. Los fotones rojos llevan poca, los violetas más, los ultravioletas más todavía. Un electrón toma un fotón cada vez, todo o nada. Para salir debe pagar una «cuota de salida» fija. Un fotón rojo no puede pagarla, y más fotones rojos no ayudan, igual que una multitud en la que cada uno tiene una sola moneda no puede comprar una entrada de cinco monedas. Lo que sobra tras pagar la cuota se convierte en la velocidad del electrón.

Los fotomultiplicadores usan este efecto para contar fotones uno a uno, y los sensores de las cámaras y los paneles solares se basan en un efecto muy parecido. Le valió a Einstein el premio Nobel.

Compruébalo: una luz ultravioleta arranca electrones de un metal y la haces el doble de brillante. ¿Salen los electrones más rápido o salen más? (Salen más, con la misma velocidad máxima.)

Intermedio

Qué mide el experimento

Dos electrodos metálicos están dentro de un tubo de vidrio al vacío: una placa sobre la que cae la luz, aquí de sodio, y un colector unido a ella a través de una batería y un amperímetro. A oscuras, el medidor marca cero, porque nada transporta carga a través del vacío. Una luz de color adecuado hace pasar corriente al instante: de la placa iluminada salen electrones, llamados fotoelectrones, que llegan al colector.

En el experimento se varían dos propiedades de la luz: su frecuencia $f$, que vemos como color, y su intensidad, la potencia que entrega por metro cuadrado. Se miden dos cosas: la fotocorriente $I$, que cuenta los electrones que llegan cada segundo, y la energía de los electrones más rápidos. Al contrario de lo que esperaría la imagen ondulatoria, que salgan o no electrones, y la rapidez de los más veloces, depende solo de la frecuencia; la intensidad no fija más que la corriente.

La luz en paquetes: el fotón

En 1905 Einstein propuso que la luz se absorbe, y viaja, en paquetes de energía que hoy llamamos fotones. Un fotón de frecuencia $f$, o de longitud de onda $\lambda =c/f$, lleva la energía
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
donde $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ es la constante de Planck y $c$, la velocidad de la luz. Una luz más brillante del mismo color significa más fotones por segundo, no fotones mayores.

La física atómica mide estas energías en electronvoltios, la energía que gana un electrón al atravesar 1 V: $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Con el producto
$hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$
la energía de un fotón en electronvoltios es 1240 dividido entre su longitud de onda en nanómetros: 3,10 eV para la luz violeta de 400 nm.

El balance de energía: la ecuación de Einstein

Los electrones de conducción se mueven con libertad dentro de un metal, pero liberar incluso al más débilmente ligado cuesta una energía bien definida, la función de trabajo $\phi$: unos 2,1 eV para el cesio, 2,28 eV para el sodio, 4,3 eV para el zinc y 5,1 eV para el oro. Un electrón absorbe un fotón entero o nada. Si $hf$ supera a $\phi$, el electrón paga su salida y se queda con el resto como energía cinética:
$E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=hf-\phi$

La palabra «máxima» importa: solo un electrón que parte del nivel ocupado más alto y no pierde nada en su camino hacia fuera sale con todo el valor de $hf-\phi$. Los electrones de niveles más bajos, o de más adentro, salen con menos, desde cero hasta $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$.

Si $hf$ es menor que $\phi$, ningún fotón por sí solo puede liberar un electrón, y un electrón no puede ir ahorrando varios fotones: cede su pequeña ganancia al metal en forma de calor mucho antes de que llegue otro fotón. El caso límite $hf=\phi$ define la frecuencia umbral y la longitud de onda umbral:

• $f_0=\frac{\phi }{h}$
• ${\lambda }_0=\frac{hc}{\phi }$

El umbral es una frecuencia mínima, pero una longitud de onda máxima: la luz de longitud de onda mayor que ${\lambda }_0$ no libera nada, por intensa que sea.

Ejemplo resuelto: la placa de sodio de la animación

La placa de la animación es de sodio, $\phi =2,28\mathrm{eV}$, así que ${\lambda }_0=1240/2,28\approx 544\mathrm{nm}$, en el verde, y $f_0\approx 5,51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. La lámpara roja intensa de 700 nm da $hf=1240/700=1,77\mathrm{eV}$ y $hf-\phi =1,77-2,28=-0,51\mathrm{eV}$. Ninguno de sus 14 fotones libera un electrón, y una etiqueta roja dice «sin emisión».

La luz violeta de 400 nm da $hf=3,10\mathrm{eV}$ y $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=3,10-2,28=0,82\mathrm{eV}$; el ultravioleta de 250 nm da $hf=4,96\mathrm{eV}$ y $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=2,68\mathrm{eV}$. Son los valores de las lecturas de $\lambda$, $hf$ y $hf-\phi$. Como $0,82\mathrm{eV}=1,31\times 10^{-19}\mathrm{J}$, los electrones violetas más rápidos se mueven con $v=\sqrt{2E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}/m}\approx 5,4\times 10^{5}m/s$; los ultravioletas más rápidos alcanzan $9,7\times 10^{5}m/s$.

Las flechas azules de velocidad lo muestran. Uno de cada tres electrones sale con $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$; los demás perdieron energía dentro del metal y conservan el 45 % o el 75 % de ella, así que sus flechas son más cortas. La flecha ultravioleta más larga mide $\sqrt{2,68/0,82}\approx 1,8$ veces la violeta más larga. Cuando la luz violeta pasa a ser intensa, nueve fotones liberan nueve electrones en vez de tres, y aun así la lectura sigue en 0,82 eV.

Ejemplo resuelto: una placa de zinc bajo luz ultravioleta

Una placa de zinc limpia, $\phi =4,3\mathrm{eV}$, se ilumina con la línea ultravioleta de una lámpara de mercurio, de 254 nm. ¿Funciona con ella la luz visible, con qué rapidez salen los electrones más rápidos y cuánto vale la corriente?

El umbral del zinc es ${\lambda }_0=1240/4,3\approx 288\mathrm{nm}$, ya en el ultravioleta, así que la luz violeta que funciona con el sodio no libera nada aquí. A 254 nm, $hf=1240/254=4,88\mathrm{eV}$ y $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=4,88-4,3=0,58\mathrm{eV}$: los electrones más rápidos se mueven a unos $4,5\times 10^{5}m/s$.

Supón que a la placa llega 1,0 mW de esta luz. A $4,88\mathrm{eV}=7,82\times 10^{-19}\mathrm{J}$ por fotón, llegan unos $1,3\times 10^{15}$ fotones cada segundo. Un metal desnudo los aprovecha mal: si uno de cada mil libera un electrón, salen $1,3\times 10^{12}$ electrones por segundo y la corriente es $I\approx 1,3\times 10^{12}\cdot 1,602\times 10^{-19}\approx 2\times 10^{-7}\mathrm{A}$, es decir, 0,2 µA. Duplicar la potencia de la lámpara duplica la corriente, pero deja intactos los 0,58 eV.

Cómo leer el diagrama de energía y las gráficas

Un diagrama de energía dibuja la energía de un electrón como altura. Los electrones llenan el metal hasta un nivel superior, y un electrón en reposo justo fuera está $\phi$ más arriba. Un fotón sube un electrón exactamente $hf$. Con luz violeta, los 3,10 eV se reparten en 2,28 eV para trepar hasta fuera y 0,82 eV de movimiento; los 1,77 eV del rojo se quedan 0,51 eV cortos, y la ganancia del electrón acaba en forma de calor.

Para un color por encima del umbral, la fotocorriente frente a la intensidad es una recta que pasa por el origen, mientras que $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$ frente a la intensidad es plana. $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$ frente a la frecuencia vale cero hasta $f_0$ y luego es una recta de pendiente $h$: la misma pendiente para todos los metales, partiendo del $f_0=\phi /h$ propio de cada uno. La vista avanzada de la animación dibuja esta gráfica.

Errores frecuentes

• Una luz más brillante no da electrones más rápidos: triplicar la luz violeta de la animación libera el triple de electrones, cada uno con 0,82 eV como máximo.
• Esperar no sirve por debajo del umbral: la lámpara roja podría iluminar el sodio durante horas, y cada fotón de 1,77 eV seguiría quedándose corto frente a los 2,28 eV.
• La función de trabajo se resta, no se suma: los fotones violetas sobre el sodio dan $3,10-2,28=0,82\mathrm{eV}$, no 5,38 eV.
• El umbral pertenece al metal, no a la luz: la luz de 400 nm libera electrones del sodio, pero no del zinc, cuyo umbral es 288 nm.
• Pasa los electronvoltios a julios antes de usar $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$: 0,82 eV son $1,31\times 10^{-19}\mathrm{J}$ y dan 540 km/s, mientras que poner 0,82 directamente da $1,3\times 10^{15}m/s$, más deprisa que la luz.

Dónde aparece

Los fotomultiplicadores cuentan fotones sueltos en escáneres médicos, detectores de partículas y telescopios, y multiplican cada fotoelectrón alrededor de un millón de veces. Los intensificadores de visión nocturna funcionan igual, y las naves espaciales expuestas al sol se cargan a unos pocos voltios positivos cuando la luz ultravioleta arranca electrones de su superficie. Las células solares y los sensores de las cámaras usan el efecto fotoeléctrico interno, en el que el fotón levanta un electrón dentro de un semiconductor en vez de sacarlo de él.

Los cuantos de $hf$ recorren el resto de la física moderna. En Modelos atómicos: el átomo de Bohr, los átomos emiten y absorben fotones que corresponden a la diferencia entre dos niveles de energía; Semiconductores, diodos y LED da la vuelta al efecto; y Dualidad onda-corpúsculo da una longitud de onda también a los electrones.

Avanzado

Medir la energía: el potencial de frenado

El efecto fotoeléctrico se decide con dos medidas: cuántos electrones salen cada segundo de un metal iluminado y cuánta energía cinética llevan los más rápidos de ellos. La primera es simplemente una corriente. La segunda necesita un truco, el potencial de frenado, y la figura 1 muestra cómo funciona.

Leyenda

$I$	Fotocorriente: la carga por segundo que transportan los electrones que llegan al colector.	$\mathrm{A}$
$V$	Tensión del colector respecto a la placa iluminada; los valores negativos devuelven los electrones.	$\mathrm{V}$
$V_0$	Potencial de frenado para la luz violeta: la corriente se anula en $V=-V_0$.	$\mathrm{V}$
$V_0^{\prime }$	Potencial de frenado para la luz ultravioleta; mayor que $V_0$ porque cada fotón ultravioleta lleva más energía.	$\mathrm{V}$
$I_1$	Fotocorriente con luz violeta tenue; su meseta es la corriente de saturación.	$\mathrm{A}$
$I_2$	Fotocorriente con luz violeta brillante, con el triple de fotones por segundo que para $I_1$.	$\mathrm{A}$
$I_3$	Fotocorriente con luz ultravioleta, dibujada con el mayor número de fotones por segundo.	$\mathrm{A}$

El montaje es un tubo de vacío con dos electrodos: una placa de sodio sobre la que cae la luz y un colector enfrente. Se aplica al colector una tensión $V$, medida respecto a la placa iluminada, y un medidor registra la fotocorriente $I$, la carga por segundo que transportan los electrones que llegan al colector. La figura 1 muestra tres series de medidas: luz violeta tenue ($I_1$), luz más brillante del mismo color violeta ($I_2$) y luz ultravioleta ($I_3$).

Empieza por la derecha de la figura 1, donde $V$ es positiva. El colector atrae a los electrones, todos los que salen de la placa se recogen y cada curva se aplana en una meseta, la corriente de saturación. Una meseta cuenta electrones por segundo, así que para luz de un solo color es proporcional al número de fotones que llegan por segundo: $I_2$, con el triple de fotones que $I_1$, tiene una meseta tres veces más alta. La serie ultravioleta está dibujada con el mayor número de fotones por segundo, por lo que su meseta es la más alta. Una meseta dice cuántos electrones salen, nunca con qué rapidez van.

Ahora muévete hacia la izquierda, donde $V$ es negativa. El colector repele ahora a los electrones, y para llegar un electrón debe subir una colina de energía potencial de altura $e|V|$, donde $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ es la carga elemental. Solo la supera un electrón que sale de la placa con más energía cinética que esa. Los electrones salen con una dispersión de energías y de direcciones (la figura 2 muestra de dónde viene), así que, al hacer $V$ más negativa, se devuelve primero a los más lentos y la corriente cae poco a poco. Llega a cero en $V=-V_0$, cuando hasta los electrones más rápidos, los de mayor energía cinética $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$, quedan justo detenidos:
$e{V}_0=E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$

La tensión $V_0$ es el potencial de frenado. Convierte una medida de energía en una lectura de tensión: un electrón detenido por exactamente 1 V tenía 1 eV de energía cinética, donde el electronvoltio, la energía que gana un electrón al atravesar 1 V, vale $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Para el sodio, $V_0=0,82\mathrm{V}$ con luz violeta de 400 nm y $2,68\mathrm{V}$ con luz ultravioleta de 250 nm, los valores del indicador de $V_0$ de la animación. Los electrones más rápidos llevan, por tanto, 0,82 eV y 2,68 eV.

Compara ahora dónde llegan a cero las curvas de la figura 1. Las dos curvas violetas difieren en altura en un factor tres, y sin embargo ambas llegan a cero en el mismo $-V_0$. La curva ultravioleta $I_3$ llega a cero en $-V_0^{\prime }$, más a la izquierda, porque sus electrones son más rápidos. Lo mismo vale para cualquier conjunto de medidas: todas las intensidades de un color se detienen con la misma tensión, y cada color con la suya. La intensidad fija la corriente; la frecuencia fija la energía. Ese es todo el enigma en una figura, y el resto de esta explicación muestra por qué.

Conservación de la energía para un fotón

¿Por qué iba la energía a depender solo del color? La respuesta de Einstein, en 1905, fue que la luz se absorbe en cuantos enteros, los fotones, cada uno con energía $hf$, donde $f$ es la frecuencia de la luz y $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ es la constante de Planck. La figura 2 sigue la energía de un fotón desde que se absorbe hasta que su electrón está fuera del metal.

Leyenda

$E$	Energía de un electrón.	$\mathrm{J}$
$E_F$	Nivel de Fermi: el estado ocupado más alto del metal.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Nivel de vacío: la energía de un electrón en reposo justo fuera del metal.	$\mathrm{J}$
$\phi$	Función de trabajo: el intervalo de $E_F$ a $E_0$, la energía mínima que libera un electrón.	$\mathrm{J}$
$hf$	Energía del fotón absorbido, la misma para los dos electrones.	$\mathrm{J}$
$\epsilon$	Cuánto por debajo del nivel de Fermi parte el segundo electrón: la energía extra que debe gastar para salir.	$\mathrm{J}$
$K{E}_{\max }$	Energía cinética $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$, una vez fuera, del electrón que parte del nivel de Fermi: $hf-\phi$.	$\mathrm{J}$
$KE$	Energía cinética $E_c$, una vez fuera, del electrón que parte $\epsilon$ más abajo: $hf-\phi -\epsilon$.	$\mathrm{J}$

El eje vertical de la figura 2 es la energía $E$ de un electrón. Dentro de un metal, los electrones de conducción llenan los estados disponibles de abajo arriba hasta un nivel ocupado más alto, el nivel de Fermi $E_F$; la banda sombreada son los estados llenos. Un electrón en reposo justo fuera de la superficie tiene la energía del nivel de vacío $E_0$. La diferencia entre ambos, $\phi =E_0-E_F$, es la función de trabajo: la energía mínima que saca a un electrón del metal. Para el sodio vale 2,28 eV.

Al absorber un fotón, un electrón sube exactamente $hf$: son las flechas moradas, iguales para los dos electrones. Sigue primero al electrón de la izquierda. Parte del nivel de Fermi, así que solo necesita $\phi$ para llegar al nivel de vacío. Si no pierde nada por el camino, conserva el resto como energía cinética, la flecha azul sobre $E_0$. Ningún electrón puede hacerlo mejor, de modo que este es el máximo:
$E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=hf-\phi$

Sigue ahora al electrón de la derecha. Parte de una energía $\epsilon$ por debajo del nivel de Fermi, así que debe gastar $\epsilon$ más para salir, y el mismo fotón le deja solo
$E_c=hf-\phi -\epsilon$
Su flecha azul es más corta en $\epsilon$. Los electrones de estados más profundos, y los que pierden energía en colisiones antes de llegar a la superficie, salen todavía más despacio: esa es la dispersión de energías que hace que las curvas de la figura 1 caigan poco a poco. Con $\epsilon =0$ se recupera $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=hf-\phi$. La ecuación de Einstein es la conservación de la energía para un fotón y un electrón, nada más; la física nueva está por completo en la afirmación de que la luz llega en cuantos de tamaño $hf$.

Las flechas están dibujadas a escala para luz ultravioleta sobre sodio: $hf=4,96\mathrm{eV}$ y $\phi =2,28\mathrm{eV}$ dan $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=2,68\mathrm{eV}$, justo el $e{V}_0$ medido en la figura 1, y el electrón que parte $\epsilon =0,9\mathrm{eV}$ más abajo sale con $1,78\mathrm{eV}$.

En esta contabilidad se esconde un detalle: un electrón libre no puede absorber un fotón. Para verlo, supón que un electrón de masa $m$ parte del reposo y absorbe un fotón de energía $E$, que además lleva cantidad de movimiento $E/c$. El electrón tendría entonces energía $m{c}^2+E$ y cantidad de movimiento $p=E/c$. Pero la relatividad fija la energía de una partícula por su cantidad de movimiento: el cuadrado de la energía debe ser $(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2=(m{c}^2{)}^2+E^2$. El cuadrado de $m{c}^2+E$ es mayor que eso en $2m{c}^{2}E$, así que la energía y la cantidad de movimiento no pueden conservarse a la vez. Algo más debe absorber la cantidad de movimiento, la red cristalina o la superficie; por eso el efecto pertenece a los electrones ligados en un metal, no a los electrones aislados.

Tampoco es la función de trabajo una constante propia de la luz. La misma barrera gobierna la emisión termoiónica, en la que el calor libera los electrones: el movimiento térmico aleatorio da a unos pocos energía suficiente para saltarla, y la corriente depende del factor $e^{-\phi /kT}$, donde $k$ es la constante de Boltzmann y $T$ la temperatura absoluta. A temperatura ambiente $kT\approx 0,025\mathrm{eV}$, y para el sodio el factor es menor que $10^{-38}$: ninguna emisión. Un filamento de wolframio ($\phi \approx 4,5\mathrm{eV}$) a 2500 K tiene $kT\approx 0,22\mathrm{eV}$, y el factor llega a unos $10^{-9}$, suficiente para una corriente útil. El calor paga la cuota de salida al azar, unos pocos electrones cada vez; un fotón la paga de una sola vez.

La recta y su pendiente

La ecuación de Einstein hace una predicción nítida y comprobable: representada frente a la frecuencia, $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$ es una recta cuya pendiente es la misma para todos los metales. La figura 3 dibuja esa predicción, que es también la forma en que se midió $h$ por primera vez con luz.

Leyenda

$K{E}_{\max }$	Mayor energía cinética de los fotoelectrones, $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=hf-\phi$.	$\mathrm{J}$
$f$	Frecuencia de la luz.	$\mathrm{Hz}$
$f_0$	Frecuencia umbral del sodio, $\phi /h$: donde su recta corta el eje $f$.	$\mathrm{Hz}$
$f_0^{\prime }$	Frecuencia umbral del zinc, mayor porque su función de trabajo es mayor.	$\mathrm{Hz}$
$\phi$	Función de trabajo del sodio: la prolongación a trazos corta el eje de energía en $-\phi$.	$\mathrm{J}$
$\Delta f$	Un paso a lo largo del eje de frecuencias, dado en cualquier punto de la recta.	$\mathrm{Hz}$
$h\Delta f$	Subida de la recta en ese paso, la misma en todas partes: la pendiente de la recta es $h$.	$\mathrm{J}$

La figura 3 representa $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=hf-\phi$ frente a la frecuencia $f$ de la luz; la línea gruesa es el sodio. Fíjate primero en el pequeño triángulo que hay sobre ella: un paso $\Delta f$ hacia la derecha eleva la recta $h\Delta f$, se dé el paso donde se dé. Eso es lo que significa una pendiente $h$.

Fíjate luego en dónde corta la recta a los ejes. Corta el eje de frecuencias en la frecuencia umbral $f_0=\phi /h$, donde un fotón tiene justo la energía para liberar un electrón, sin nada de sobra. Por debajo de $f_0$ no se emite ningún electrón, por brillante que sea la luz, así que no hay nada que medir. Prolongada por debajo de $f_0$ (a trazos), la recta es una extrapolación, no una medida; corta el eje de energía en $-\phi$, a una profundidad $\phi$ bajo el eje de frecuencias, y leer esa ordenada en el origen es una manera de hallar la función de trabajo.

La línea fina pertenece a un metal con mayor función de trabajo, el zinc, con $\phi \approx 4,3\mathrm{eV}$. Tiene la misma pendiente $h$, así que corre paralela a la recta del sodio, pero empieza en el umbral mayor $f_0^{\prime }=4,3\mathrm{eV}/h\approx 1,04\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, ya en el ultravioleta.

La vista experta de la animación dibuja la recta del sodio con tres puntos. El punto rojo, en $4,28\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, queda por debajo del umbral $f_0=5,51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ y está en cero: no hay electrones. El violeta, en $7,49\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, está en 0,82 eV, y el ultravioleta, en $1,20\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, en 2,68 eV: son los dos potenciales de frenado de la figura 1. Las series violeta tenue y violeta brillante comparten un único punto, porque la intensidad no aparece en absoluto en esta gráfica.

En el laboratorio se mide $V_0$ en lugar de $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$. Dividir la ecuación de Einstein entre $e$ da
$V_0=\frac{h}{e}f-\frac{\phi }{e}$
una recta de pendiente $h/e=4,14\times 10^{-15}\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$: el potencial de frenado aumenta unos 0,41 V por cada $10^{14}\mathrm{Hz}$. La pendiente es universal y solo la ordenada en el origen depende del metal, de modo que las rectas del cesio, el sodio y el zinc son paralelas, como en la figura 3. Millikan, que dudaba de los cuantos de luz de Einstein, midió rectas así entre 1914 y 1916 y obtuvo $h$ con un error de alrededor del 1 % respecto al valor actual. El Nobel de Einstein de 1921 citaba esta ley, no la relatividad.

Por qué una onda clásica no puede explicarlo

La luz entendida como onda clásica explica a la perfección la interferencia y la difracción, entonces ¿por qué hizo falta una idea nueva? Porque la imagen ondulatoria se equivoca en las tres observaciones de la figura 1.

La primera es el tiempo. Una onda entrega la energía de forma continua, repartida por todo su frente, y un electrón solo puede recogerla de más o menos el área de su propio átomo, unos $10^{-20}{\mathrm{m}}^2$. Con luz tenue de 0,01 W/m², esa área recibe $0,01\cdot 10^{-20}=10^{-22}\mathrm{W}$, de modo que reunir la función de trabajo del sodio, $2,28\mathrm{eV}=3,65\times 10^{-19}\mathrm{J}$, llevaría
$t=\frac{3,65\times 10^{-19}\mathrm{J}}{10^{-22}\mathrm{W}}\approx 3650\mathrm{s}$
alrededor de una hora. Los experimentos no encuentran ningún retraso, hasta los pocos nanosegundos que son capaces de resolver.

La segunda es la energía. Una luz más brillante tiene un campo eléctrico más intenso, que debería sacudir más a los electrones y lanzarlos más rápido; la figura 1 muestra que una luz más brillante da más electrones, no electrones más rápidos. La tercera es el umbral. Con tiempo suficiente, una onda de cualquier frecuencia debería entregar energía bastante, y sin embargo por debajo de $f_0$ no sale nada, por mucho que se espere. Las tres predicciones fallan.

Con fotones, los tres hechos se siguen de una vez. La absorción es todo o nada, así que la emisión empieza en cuanto llega el primer fotón. La energía $hf$ de cada fotón la fija el color, de modo que más brillo significa más fotones, no fotones mayores. Y un fotón con menos energía que $\phi$ no libera nada, lleguen los que lleguen. Un contador de fotones hace audible el carácter granular: atenúa la luz y sus clics no suenan más flojos; siguen siendo todos iguales y solo se vuelven menos frecuentes.

Un fotón lleva también cantidad de movimiento, $p=h/\lambda =E/c$, de modo que $E^2-(pc{)}^2=0$: es una partícula de masa nula, como la relatividad exige a todo lo que se mueve a $c$. La dispersión de rayos X por electrones, estudiada por Compton, confirmó esa cantidad de movimiento en 1923. Dónde caerá un fotón concreto solo puede predecirse como una probabilidad, y esa probabilidad sigue la intensidad de la onda clásica, razón por la que la imagen ondulatoria sigue acertando con la interferencia.

Una advertencia: un modelo semiclásico, en el que los electrones obedecen a la mecánica cuántica pero la luz sigue siendo una onda clásica, produce también el umbral, la corriente proporcional a la intensidad y la emisión inmediata. El efecto fotoeléctrico apunta, por tanto, a los fotones sin demostrarlos. La prueba llegó con experimentos con fotones individuales: el antiagrupamiento en 1977, en el que se comprobó que la luz de un solo átomo nunca entrega dos fotones en el mismo instante, y en 1986 el hallazgo de que un fotón enviado a un divisor de haz nunca se registra a los dos lados a la vez.

Más allá del umbral de un solo fotón

La ley simple supone un fotón por electrón, un metal frío y un electrón que debe abandonar el material. Relajar cada una de esas hipótesis, o recorrer la ley al revés, da cuatro ampliaciones importantes.

• Los pulsos láser intensos entregan fotones tan densamente que un electrón puede absorber $n$ de ellos a la vez: $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}=nhf-\phi$. La tasa crece como la potencia $n$ de la intensidad, de modo que hace falta luz muy intensa. Dos fotones de la luz roja de la animación, $2\cdot 1,77=3,54\mathrm{eV}$, liberarían del sodio electrones de hasta 1,26 eV, más de lo que dan los fotones violeta sueltos.
• A cualquier temperatura por encima del cero absoluto hay unos pocos electrones algo por encima del nivel de Fermi, así que el umbral no es perfectamente nítido, sino difuminado en unos pocos $kT$. Las medidas cuidadosas de $\phi$ ajustan la forma de esta cola térmica.
• La espectroscopia de fotoemisión recorre la ecuación al revés. Con un $hf$ conocido, normalmente ultravioleta o rayos X, la energía cinética medida da la energía de ligadura $E_{\mathrm{l}}$ de cada electrón, su profundidad bajo el nivel de Fermi (la $\epsilon$ de la figura 2), mediante $E_c=hf-E_{\mathrm{l}}-\phi$.
• En un semiconductor, un fotón no necesita liberar el electrón del material, solo elevarlo a través de la banda prohibida, el intervalo de energía entre los estados llenos y los estados vacíos en los que un electrón puede transportar corriente: 1,12 eV en el silicio. El electrón se queda dentro y contribuye a una corriente. Por eso las células solares de silicio y los sensores de las cámaras responden a todas las longitudes de onda menores que unos 1100 nm.

Problema resuelto: medir la constante de Planck

La recta de la figura 3 convierte dos lecturas del potencial de frenado en una medida de $h$. Finge que no conoces ni $h$ ni $\phi$, solo las lecturas de la animación: 0,82 V a 400 nm y 2,68 V a 250 nm.

Primero las frecuencias. A partir de $f=c/\lambda$ resultan $7,495\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ y $1,1992\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, de modo que $\Delta f=4,497\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, mientras que $\Delta V_0=2,68-0,82=1,86\mathrm{V}$.

Después escribe $e{V}_0=hf-\phi$ para cada longitud de onda y resta. La función de trabajo es la misma en ambas ecuaciones, así que se cancela y queda $e\Delta V_0=h\Delta f$:
$h=\frac{e\Delta V_0}{\Delta f}=\frac{1,602\times 10^{-19}\cdot 1,86}{4,497\times 10^{14}}\approx 6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$

Conocida $h$, cualquiera de las lecturas da $\phi$. A 400 nm la energía del fotón es $hc/\lambda =1240/400=3,10\mathrm{eV}$, usando $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, así que $\phi =hf-e{V}_0=3,10-0,82=2,28\mathrm{eV}$. La recta predice ahora el potencial de frenado para cualquier otra longitud de onda, por ejemplo $V_0=1240/300-2,28=1,85\mathrm{V}$ a 300 nm.

Quita ahora el colector y haz incidir la luz ultravioleta sobre una bola de sodio aislada de radio $R=1,0\mathrm{cm}$. Cada electrón que escapa deja la bola más positiva, así que cada electrón posterior debe salir del potencial creciente $V$ de la bola y pierde $eV$ por el camino. La emisión se detiene cuando $eV$ alcanza $E_{c,\mathrm{m}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{x}}$, es decir, en $V=2,68\mathrm{V}$: la bola se carga hasta el potencial de frenado. El potencial de una esfera es $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, donde ${\epsilon }_0$ es la permitividad del vacío y $4\pi {\epsilon }_0=1,11\times 10^{-10}F/m$, así que la carga final es
$Q=4\pi {\epsilon }_{0}RV=1,11\times 10^{-10}\cdot 0,010\cdot 2,68\approx 3,0\times 10^{-12}\mathrm{C}$
o $Q/e\approx 1,9\times 10^7$ electrones que le faltan. Una luz más brillante la carga más deprisa, nunca más alto.

Límites de validez

La ley limpia de la figura 3 descansa en idealizaciones. En la práctica importan tres: la superficie, el tubo y el intervalo de energías de los fotones.

La función de trabajo pertenece a una superficie, no solo a un metal: cambia con la cara cristalina expuesta e incluso con una sola capa de átomos adsorbidos. Los valores publicados para el sodio van de unos 2,3 a 2,75 eV, y una película de cesio puede dejar una superficie por debajo de 1,5 eV. También el rendimiento está idealizado: la animación libera un electrón por cada fotón por encima del umbral, mientras que los metales desnudos dan bastante menos de un electrón por cada cien fotones, y los mejores cátodos de fotomultiplicador, alrededor de uno por cada cuatro.

Un tubo real suele tener dos metales distintos, la placa y el colector, y entre dos metales distintos unidos en un circuito hay un potencial de contacto, igual a la diferencia de sus funciones de trabajo dividida entre $e$. Desplaza el corte medido: en un tubo ideal, $e{V}_0$ es en realidad $hf$ menos la función de trabajo del colector, no la de la placa. El desplazamiento es el mismo a toda frecuencia, así que la pendiente $h/e$ no se altera, lo que la convierte en el resultado robusto.

Estas energías son minúsculas junto a la energía en reposo del electrón, 511 keV: los electrones ultravioleta más rápidos, con 2,68 eV, se mueven a $9,7\times 10^{5}m/s$, el 0,3 % de $c$, así que $\frac{1}{2}m{v}^2$ es precisa. Los rayos X de decenas de keV expulsan electrones de capas internas con tanta rapidez que exigen la relatividad. A energías mayores se imponen otros procesos: por encima de unos 30 keV la dispersión Compton supera a la fotoabsorción en el agua y en los tejidos blandos, y por encima de 1,022 MeV, el doble de la energía en reposo del electrón, un fotón puede crear un par electrón-positrón.

Lo que viene después

En Radiación de cuerpo negro y cuantos apareció por primera vez $h$, en el espectro de los cuerpos calientes; aquí se ha convertido en una propiedad de la propia luz. Modelos atómicos: el átomo de Bohr aplica $hf=E_2-E_1$ a las líneas espectrales; Semiconductores, diodos y LED hace funcionar al revés el efecto interno, con fotones de energía próxima a la de la banda prohibida; y Dualidad onda-corpúsculo sigue fotones sueltos a través de una doble rendija y da también a los electrones la longitud de onda $h/p$. La cantidad de movimiento de un fotón enlaza el tema con Relatividad especial y con Cantidad de movimiento y choques, y Partículas y fuerzas: el modelo estándar presenta el fotón como portador de la fuerza electromagnética.