Частицы и взаимодействия: Стандартная модель

Начальный

Начнём с того, что вы, возможно, уже знаете: у атома есть крошечное ядро из протонов, заряженных положительно, и нейтронов, не имеющих заряда, а вокруг него — отрицательные электроны. Долгое время эти три частицы казались последними кирпичиками вещества. Но это не совсем так: каждый протон и каждый нейтрон — маленький мешочек с тремя ещё более мелкими частицами, кварками. Для обычного вещества хватает двух сортов — «верхнего» и «нижнего». Протон устроен как верхний-верхний-нижний, нейтрон — как верхний-нижний-нижний.

Проверьте себя: если один верхний кварк в протоне превратится в нижний, чем станет протон? (Нейтроном. Так действительно происходит в некоторых радиоактивных ядрах.)

Что удерживает кварки вместе? Глюоны — переносчики сильного взаимодействия. В анимации это пружинки между дрожащими кварками. Как резинки, они тянут тем сильнее, чем больше растянуты, поэтому вырвать одиночный кварк невозможно: затраченная энергия вместо этого рождает новые кварки. У каждого кварка есть ещё «цвет» (красный, зелёный или синий — просто название, а не настоящий цвет); перескакивая, глюон переносит цвет от одного кварка к другому, так что все три цвета всегда присутствуют.

Электроны принадлежат к другому семейству — лептонам. Оба электрона заряжены отрицательно, поэтому отталкиваются, и тем сильнее, чем ближе подходят друг к другу. Справа в анимации два электрона замедляются, в момент наибольшего сближения обмениваются фотоном — частицей света — и разлетаются: так физики представляют себе электрическое отталкивание.

В природе всего четыре фундаментальных взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое, вызывающее некоторые виды радиоактивного распада. А у каждой частицы есть двойник из антивещества с противоположным зарядом; при встрече оба исчезают во вспышке света.

Средний

Единицы для очень малых величин

Физики, изучающие элементарные частицы, измеряют энергию в электронвольтах: 1 эВ — это энергия, которую электрон приобретает, пройдя разность потенциалов 1 В, $1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, а 1 МэВ — миллион таких единиц. Поскольку $E=m{c}^2$, массу можно задавать как энергию покоя, делённую на $c^2$: у электрона 0,511 МэВ/c², у протона 938 МэВ/c².

Длины внутри ядер измеряют в фемтометрах, $1\mathrm{фм}=10^{-15}\mathrm{м}$; протон в анимации имеет в поперечнике около 1,7 фм. Одна постоянная связывает энергию и длину: $\hslash c\approx 197,3\mathrm{МэВ}\cdot \mathrm{фм}$, где $\hslash =h/2\pi$; разделив её на энергию, получаем расстояние.

Двенадцать частиц вещества

Стандартная модель делит вещество на двенадцать фермионов — шесть кварков и шесть лептонов — в трёх поколениях. Первое (верхний и нижний кварки, электрон и его нейтрино) содержит всё, из чего построены атомы. Второе (очарованный и странный кварки, мюон) и третье (истинный и прелестный кварки, тау-лептон), каждое со своим нейтрино, повторяют те же заряды, но с более тяжёлыми частицами.

Кварки верхнего типа (u, c, t) имеют заряд $+\frac{2}{3}e$, а кварки нижнего типа (d, s, b) — $-\frac{1}{3}e$, где $e$ — элементарный заряд; электрон, мюон и тау-лептон имеют заряд $-e$, а у нейтрино заряда нет. Тогда у двух нуклонов получаются верные заряды:

• $p=\mathrm{uud}:Q=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=+1$
• $n=\mathrm{udd}:Q=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$

У кварков есть заряд второго рода — цвет — с тремя значениями, которые называют красным, зелёным и синим; названия — просто ярлыки. В свободном виде существуют только бесцветные комбинации: три кварка разных цветов образуют барион, например протон, а кварк и антикварк соответствующего антицвета — мезон, например пион ${\pi }^{+}=\mathrm{u}\bar{\mathrm{d}}$ с зарядом $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=+1$. Вместе они называются адронами. У лептонов цвета нет, и сильное взаимодействие на них не действует.

Взаимодействия как обмен частицами

В этой картине взаимодействие — это обмен бозоном, частицей-посланником. Фотон $\gamma$ переносит электромагнитное взаимодействие между электрическими зарядами, восемь глюонов переносят сильное между цветовыми зарядами, а $W^{+}$, $W^{-}$ и $Z^0$ переносят слабое, при котором W-бозон превращает один сорт кварка или лептона в другой и тем самым вызывает β-распад. Бозон Хиггса, открытый в 2012 году, — это возбуждение поля, которое наделяет частицы массой, а не переносчик взаимодействия. Гравитация в модель не входит.

Переносчик с массой может пролететь лишь ограниченное расстояние, поэтому даёт короткодействующую силу:
$R\approx \frac{\hslash }{mc}=\frac{\hslash c}{m{c}^2},\hslash c\approx 197,3\mathrm{МэВ}\cdot \mathrm{фм}$
Фотон безмассовый, поэтому электрическая сила действует на сколь угодно больших расстояниях и сохраняет обратно-квадратичный вид закона Кулона:
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}\text{(обмен фотонами)}$

У W-бозона масса 80,4 ГэВ/c², поэтому $R\approx 197,3/80400\mathrm{фм}\approx 0,0025\mathrm{фм}$. Глюоны тоже безмассовые, но цвет заперт внутри адронов; сила между соседними нуклонами — бесцветный «остаток» цветового взаимодействия, который переносят в основном пионы с массой 140 МэВ/c², так что $R\approx 197,3/140\mathrm{фм}\approx 1,4\mathrm{фм}$.

Пример: электроны из анимации

Справа в анимации два электрона летят навстречу друг другу, на мгновение останавливаются на расстоянии 100 нм и разлетаются обратно. В момент наибольшего сближения сила при $k=8,99\times 10^9\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$ равна
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot (1,60\times 10^{-19}{)}^2}{(1,00\times 10^{-7}{)}^2}\approx 2,3\times 10^{-14}\mathrm{Н}$
то есть 23 фемтоньютона, максимум 23,1 фН на индикаторе $F$, когда индикатор $r$ показывает 100 нм.

В начале электроны находятся на расстоянии 343 нм, то есть в 3,43 раза дальше, поэтому сила слабее в $3,43^2\approx 11,8$ раза: $23,1/11,8\approx 1,96\mathrm{фН}$ (индикатор показывает 2,0 фН). Красные стрелки $F$ нарисованы в масштабе, поэтому по мере сближения они вырастают примерно в двенадцать раз.

В момент наибольшего сближения оба электрона покоятся, поэтому вся энергия пары — электрическая потенциальная энергия, $k{e}^2/r=2,3\times 10^{-21}\mathrm{Дж}$, или 14,4 мэВ. В начале 4,2 мэВ этой энергии ещё потенциальны, а 10,2 мэВ уже кинетические: на каждый электрон приходится 5,1 мэВ, что соответствует скорости около 42 км/с. Настоящая встреча длится около 8 пс, поэтому цикл в 9 с замедляет её примерно в $10^{12}$ раз.

Пример: аннигиляция в ПЭТ-сканере

Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) использует меченое вещество, например сахар (глюкозу) с фтором-18: ядро этого изотопа превращает протон в нейтрон, $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$, сохраняя заряд ($+1=0+1+0$) и лептонное число ($0=0-1+1$). Позитрон останавливается в пределах миллиметра и встречает электрон; оба почти покоятся, поэтому их суммарный импульс почти равен нулю.

Один фотон не может унести эту энергию, потому что у фотона всегда есть импульс $E/c$. Два фотона, разлетающиеся в противоположные стороны, могут — каждый уносит энергию покоя одной частицы:
$e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma ,E_{\gamma }=m_e{c}^2=511\mathrm{кэВ}\text{(в покое)}$
Здесь $m_e{c}^2=9,109\times 10^{-31}\cdot (2,998\times 10^8{)}^2=8,187\times 10^{-14}\mathrm{Дж}$, то есть 511 кэВ, а длина волны равна $\lambda =hc/E=1239,8\mathrm{кэВ}\cdot \mathrm{пм}/511\mathrm{кэВ}\approx 2,43\mathrm{пм}$, примерно в 200 000 раз короче, чем у зелёного света.

Кольцо детекторов регистрирует оба фотона с разницей не более нескольких наносекунд; аннигиляция произошла на прямой, соединяющей точки попадания. Если один фотон приходит на 200 пс раньше, то точка находится на расстоянии $c\Delta t/2=3,00\times 10^8\cdot 2\times 10^{-10}/2=3\mathrm{см}$ от середины этой прямой, в сторону детектора, который сработал первым.

Как читать пространственно-временную диаграмму

Над электронами промежуточный слой анимации рисует пространственно-временную диаграмму: положение откладывается по горизонтали, время — вверх, а пунктирная линия отмечает настоящий момент. Каждый электрон оставляет фиолетовую мировую линию: наклонную, пока они далеко друг от друга, вертикальную при $t=4,5\mathrm{с}$, когда оба стоят на месте на расстоянии 100 нм, а затем снова изгибающуюся в стороны. Чем круче мировая линия, тем медленнее частица.

Золотая волнистая линия в этот момент — обмениваемый фотон $\gamma$, соединяющий две вершины (чёрные точки). Гладкие мировые линии — классическая картина; квантовое описание суммирует диаграммы взаимодействия, где каждая вершина — это одно испускание или поглощение.

Для цвета в протоне действует похожее правило. За каждый цикл перескакивают четыре глюона, и в любой момент, когда ни один из них не летит, можно насчитать один красный, один зелёный и один синий кварк.

Частые ошибки

• Масса протона — не сумма масс его кварков: те дают около 9 МэВ/c², а у протона 938. Около 99 % — это энергия глюонного поля и движения кварков в соответствии с $E=m{c}^2$.
• Слабое взаимодействие короткодействующее потому, что его переносчики тяжёлые ($R\approx 0,0025\mathrm{фм}$ для W-бозона), а не потому, что оно самое слабое: гравитация гораздо слабее, но действует на сколь угодно больших расстояниях.
• Покоящиеся позитрон и электрон не могут аннигилировать в один фотон: фотон с энергией 1022 кэВ имел бы импульс $E/c$, а суммарный импульс равен нулю. Два фотона по 511 кэВ, летящие в противоположные стороны, уравновешивают и энергию, и импульс.
• Нейтральность не означает, что частица сама себе античастица: у антинейтрона барионное число равно $-1$, и он аннигилирует с нейтроном, тогда как фотон и ${\pi }^0$ — собственные античастицы.

Где это встречается

ПЭТ-сканеры ежедневно используют антивещество, а мюоны космических лучей — тяжёлые электроны — пронизывают каждый квадратный сантиметр на уровне моря примерно раз в минуту. Солнце светит потому, что слабое взаимодействие превращает в его недрах протоны в нейтроны (см. урок «Деление, синтез и E = mc²»), а радиоуглеродное датирование основано на подсчёте β-распадов углерода-14 (см. урок «Радиоактивность и период полураспада»).

Коллайдеры удерживают частицы на кольцевой орбите магнитами, используя движение по окружности из урока «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд»:
$R=\frac{p}{eB}\text{(кольцевой ускоритель)}$
Импульсу 1 ГэВ/c соответствует $BR=3,336\mathrm{Тл}\cdot \mathrm{м}$, поэтому протоны с импульсом 7000 ГэВ/c в поворотных магнитах Большого адронного коллайдера с полем 8,33 Тл движутся по окружности радиуса $R=7000\cdot 3,336/8,33\mathrm{м}\approx 2,80\mathrm{км}$.

Продвинутый

Радиус действия силы и масса переносчика

Обозначения

$\varphi$	Поле переносчика вокруг источника; масштаб по вертикали произвольный.
$r$	Расстояние от источника, отложенное в единицах $R$.	$\mathrm{м}$
$R$	Радиус действия силы, $R=\hslash /(mc)$; при $r=R$ сплошная кривая составляет $1/e$ от штриховой.	$\mathrm{м}$
$m$	Масса переносчика: нулевая для штриховой кривой, положительная для сплошной.	$\mathrm{кг}$

Почему электрическая сила достигает самых дальних уголков Вселенной, а ядерная обрывается уже примерно через один фемтометр? Этот раздел показывает, что ответ — в массе частицы, которая переносит взаимодействие, а затем по измеренному радиусу действия ядерных сил предсказывает массу частицы.

На рисунке 1 показано поле $\varphi$, которое неподвижный источник создаёт на расстоянии $r$, для двух видов переносчика. Штриховая кривая ($m=0$) относится к переносчику с нулевой массой. Это кулоновская зависимость $1/r$: в ней нет никакого масштаба длины, поэтому она никогда не обрывается. Сплошная кривая ($m>0$) относится к переносчику с массой $m$. Это штриховая кривая, умноженная на дополнительный множитель, который близок к 1 только совсем рядом с источником и убывает с расстоянием, так что сплошная кривая опускается всё ниже штриховой. Посмотрите на две точки над концом скобки $R$: здесь сплошная кривая спадает до $1/e\approx 0,37$ от штриховой. При $2R$ это отношение равно 0,14, при $3R$ — 0,05, а за несколькими $R$ поле практически исчезает. Длина $R$ — радиус действия силы; что её определяет, показано в остальной части раздела.

Контраст в природе разительный. Ядерная сила между протонами и нейтронами затухает на расстоянии около 1,4 фм, а электрическая действует сколь угодно далеко. В 1935 году Хидэки Юкава превратил этот контраст в предсказание. Представьте покоящийся нуклон, который испускает переносчик массы $m$. Рождение переносчика нарушает закон сохранения энергии на $m{c}^2$. Соотношение неопределённостей «энергия — время» допускает такой долг лишь на время порядка $\hslash /(m{c}^2)$, где $\hslash$ — приведённая постоянная Планка; затем переносчик должен быть поглощён снова. Даже летя почти со скоростью света, он пройдёт не больше $c$, умноженного на это время, поэтому радиус действия равен
$R\approx \frac{\hslash }{mc}=\frac{\hslash c}{m{c}^2},\hslash c\approx 197,3\mathrm{МэВ}\cdot \mathrm{фм}$
Чем тяжелее переносчик, тем короче заём и тем меньше радиус действия. Безмассовый переносчик можно занять на неограниченное время, поэтому его радиус действия бесконечен.

Тот же результат получается точно, если объединить теорию относительности и квантовую механику. Свободный квант массы $m$ подчиняется соотношению $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. В квантовой механике энергия и импульс действуют на волну как операторы $i\hslash \partial /\partial t$ и $-i\hslash \nabla$. Если подставить их вместо $E$ и $p$ и разделить на ${\hslash }^2{c}^2$, соотношение для энергии превращается в волновое уравнение для поля $\varphi$:
$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-{\nabla }^2\varphi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0$
Первые два члена составляют обычное волновое уравнение, которое само по себе описывает волны, бегущие со скоростью $c$. Третий — член массы, единственное место, где входит $m$.

Вокруг неподвижного точечного источника ничто не меняется со временем, поэтому первый член выпадает, и уравнение принимает вид ${\nabla }^2\varphi =\varphi /R^2$, где $R=\hslash /(mc)$. Чтобы решить его вдали от источника, запишем $\varphi =u/r$: для сферически симметричного поля уравнение превращается в $d^{2}u/d{r}^2=u/R^2$, и его решение, затухающее на больших $r$, есть $u=e^{-r/R}$. Следовательно,
$\varphi (r)\propto \frac{e^{-r/R}}{r},R=\frac{\hslash }{mc}$
Это в точности две кривые рисунка 1. При $m=0$ радиус действия бесконечен, экспонента равна 1 и $\varphi \propto 1/r$ — штриховая кулоновская кривая. При наличии массы $e^{-r/R}$ — тот самый дополнительный множитель сплошной кривой, и он гасит поле за пределами нескольких $R$.

Теперь пройдём рассуждение в обратную сторону. Радиусу действия 1,4 фм отвечает $m{c}^2=\hslash c/R=197,3\mathrm{МэВ}\cdot \mathrm{фм}/1,4\mathrm{фм}\approx 140\mathrm{МэВ}$, то есть переносчик с массой около 140 МэВ/c². Именно такую массу имеет пион, обнаруженный в 1947 году. Вслед за ним были открыты ещё десятки сильно взаимодействующих частиц — адронов, а позже кварки объяснили закономерности их семейств. Таблица на экспертном уровне анимации показывает сложившийся порядок: три поколения кварков и лептонов с одинаковыми зарядами, отличающиеся только массой, и переносчики взаимодействий в отдельном столбце.

Симметрия и происхождение сил

Почему именно такие переносчики и почему фотон безмассовый? Современный ответ — симметрия: силы не вводят в теорию вручную, их требуют симметрии её законов.

Связь симметрии с сохранением известна давно. Симметрия — это преобразование, которое не меняет законы. Если законы одинаковы в каждой точке пространства, сохраняется импульс; если одинаковы в любой момент времени — сохраняется энергия; если одинаковы по всем направлениям — сохраняется момент импульса. Эмми Нётер доказала в 1918 году, что это общее правило: каждой непрерывной симметрии законов отвечает своя сохраняющаяся величина.

Квантовая механика добавляет симметрию, не имеющую классического аналога. Частица описывается комплексной амплитудой $\psi$, а измеряется только вероятность $|\psi {|}^2$. Поэтому умножение всех амплитуд на один и тот же фазовый множитель $e^{i\delta }$ не меняет ничего наблюдаемого, ведь $|e^{i\delta }\psi {|}^2=|\psi {|}^2$. Подойдёт любой угол $\delta$, так что симметрия непрерывна, и сохраняющаяся величина, которую ей сопоставляет теорема Нётер, — электрический заряд.

Теперь усилим требование и позволим фазе $\delta (x,t)$ различаться от точки к точке и от момента к моменту. Вероятности по-прежнему не меняются, а вот волновое уравнение меняется. В нём стоят производные от $\psi$, и производная от $e^{i\delta }\psi$ приобретает добавочное слагаемое с производными от $\delta$. Законы могут сохранить эту локальную симметрию, только если добавить новое поле, чьё собственное изменение в точности компенсирует эти добавки. Это поле — электромагнитный потенциал, а его квант — фотон. Массовый член для этого поля сам нарушил бы симметрию, поэтому фотон должен быть безмассовым, а по предыдущему разделу именно поэтому радиус действия электрической силы бесконечен.

Тот же рецепт, применённый к более богатым симметриям, порождает остальные переносчики. Цветовая симметрия, называемая $\mathrm{SU}(3)$, потому что она перемешивает три цвета, требует $3^2-1=8$ полей — восемь глюонов. Электрослабая симметрия $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$ требует $3+1=4$ поля, которые проявляются как $W^{+}$, $W^{-}$, $Z^0$ и фотон.

Скрытая симметрия: поле Хиггса

Обозначения

$V$	Плотность потенциальной энергии поля Хиггса.	$\mathrm{Дж}/{\mathrm{м}}^3$
$\varphi$	Значение поля Хиггса (одной из его компонент), заданное как энергия в ГэВ, как принято в физике частиц.	$\mathrm{Дж}$
$v$	Значение поля в двух самых низких точках, $\varphi =\pm v$; $v\approx 246\mathrm{ГэВ}$.	$\mathrm{Дж}$

Предыдущий раздел оставляет загадку. Та же симметрия, которая делает фотон безмассовым, запрещает массовые члены и для W-, и для Z-бозона, а они тяжёлые: около 80 и 91 ГэВ/c². Выход в том, что законы сохраняют симметрию, а вакуум — состояние наименьшей энергии — нет. Как это возможно, показывает рисунок 2.

Рисунок 2 — сечение плотности потенциальной энергии $V$ поля Хиггса как функции значения поля $\varphi$ (здесь $\varphi$ — поле Хиггса, а не поле с рисунка 1). Кривая симметрична: она одинаково обращается с $+\varphi$ и $-\varphi$. Но её симметричная точка $\varphi =0$ — вершина холма, отмеченная светлым шариком. Малейшее возмущение заставляет поле скатываться вниз по штриховой траектории, пока оно не остановится в одной из двух впадин: при $\varphi =+v$ (тёмный шарик) или при $\varphi =-v$. Теперь повернём кривую вокруг вертикальной оси. Получится «мексиканская шляпа», у которой впадина — целая окружность одинаково низких точек. Поле должно занять одну из них, так что выбранное состояние менее симметрично, чем законы, допускающие любую. Расстояние впадины от нуля — это значение $v\approx 246\mathrm{ГэВ}$, и поле сохраняет его во всём пространстве.

Частицы, движущиеся в этом вездесущем фоне, взаимодействуют с ним, и это взаимодействие мы измеряем как их массу. W-бозон получает $m_W{c}^2=gv/2\approx 80\mathrm{ГэВ}$, где $g\approx 0,65$ — слабая константа связи. Каждый фермион получает $m_f{c}^2=y_{f}v/\sqrt{2}$, и эта величина задаётся его собственной константой связи $y_f$ с полем: у топ-кварка $y_t\approx 1$, у электрона лишь $y_e\approx 3\times 10^{-6}$, поэтому их массы различаются примерно в 300 000 раз. Фотон принадлежит единственной комбинации электрослабых полей, которую вакуум оставляет ненарушенной, поэтому остаётся безмассовым. Наконец, поле может колебаться около своего равновесного значения $v$, как шарик, качающийся во впадине. Квант такого колебания — бозон Хиггса, обнаруженный в 2012 году при 125 ГэВ/c².

Зеркальная симметрия и CP

Не всякая симметрия повседневной физики выполняется для слабого взаимодействия. Зеркальная симметрия нарушается, и это нарушение, обнаруженное в 1957 году, стало неожиданностью.

В том году ядра кобальта-60 охладили до очень низкой температуры и выстроили в магнитном поле так, что все их спины смотрели в одну сторону. Они испускали β-электроны преимущественно в направлении, противоположном спину ядра. Теперь представьте тот же опыт в зеркале, перпендикулярном оси спинов. Ядра вращаются в плоскостях, параллельных зеркалу, поэтому направление их вращения, а значит, и спин не меняются; зато электроны, движущиеся вдоль оси, оказываются обращены. Значит, в зеркальном изображении электроны вылетали бы в основном вдоль спина, чего никогда не бывает. Слабое взаимодействие отличает процесс от его зеркального отражения.

Зеркальное отражение в сочетании с заменой вещества антивеществом — операция, называемая CP, — почти восстанавливает симметрию, но не до конца: её нарушают нейтральные K- и B-мезоны, каоны — примерно на две тысячных, а B-мезоны в некоторых распадах — на десятки процентов.

Некоторые законы сохранения, напротив, ни разу не нарушались. Электрический заряд, барионное число $B$ ($+\frac{1}{3}$ у каждого кварка, то есть $+1$ у протона) и лептонное число $L$ ($+1$ у каждого лептона, $-1$ у каждого антилептона) сохраняются во всех наблюдавшихся реакциях. Распад $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$, например, сохранил бы заряд, но изменил бы $B$ с 1 до 0 и $L$ с 0 до $-1$; поиски показывают, что по этому каналу протон живёт дольше $10^{34}$ лет, намного дольше возраста Вселенной.

Передача импульса и константа связи

Обозначения

$F$	Электрическая сила между двумя электронами; это сила отталкивания.	$\mathrm{Н}$
$t$	Время в анимации, замедленное примерно в $10^{12}$ раз.	$\mathrm{с}$
$t_c$	Момент наибольшего сближения, середина опыта; кривая симметрична относительно него.	$\mathrm{с}$
$F_{\max }$	Наибольшая сила, достигаемая в момент наибольшего сближения: 23,1 фН.	$\mathrm{Н}$
$\Delta t$	Ширина прямоугольника высотой $F_{\max }$ с той же площадью, что и под кривой, $\Delta t=2p/F_{\max }$: длительность толчка.	$\mathrm{с}$
$p$	Импульс одного электрона в начале опыта; закрашенная площадь равна $2p$.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$

Как обмен частицей отталкивает две другие частицы друг от друга? Этот раздел прослеживает одно конкретное столкновение — двух электронов из анимации — и вычисляет, какой импульс переходит от одного к другому и как долго длится толчок. Затем с помощью картины обмена он объясняет, почему электромагнитные расчёты можно делать так точно.

На рисунке 3 построена сила $F$ между двумя электронами как функция времени $t$; это красный график экспертного уровня анимации. По нему стоит прочитать три вещи. Во-первых, кривая симметрична относительно $t_c$ — момента наибольшего сближения, когда электроны находятся на расстоянии 100 нм, — и в этот момент достигает максимума $F_{\max }=23,1\mathrm{фН}$. Во-вторых, в начале и в конце опыта электроны находятся на расстоянии 343 нм и всё ещё отталкиваются с силой 1,96 фН, поэтому кривая не доходит до нуля на краях. В-третьих, закрашенная площадь под кривой, обозначенная $2p$, — это импульс силы: полный импульс, который передаёт сила.

Почему эта площадь равна $2p$? Каждый электрон начинает с импульсом $p$, направленным к другому. Отталкивание останавливает его в момент $t_c$ и затем гонит назад, так что в конце его импульс равен $p$ и направлен от другого электрона. Импульс изменился на $2p$, а по второму закону Ньютона $F=dp/dt$ это изменение — площадь под графиком зависимости силы от времени:
$\int Fdt=\Delta p=2p$
Штриховой прямоугольник превращает эту площадь в длительность. Его площадь равна площади под кривой, а высота равна $F_{\max }$, поэтому ширина равна $\Delta t=2p/F_{\max }$. Постоянная сила $F_{\max }$, действующая в течение $\Delta t$, передала бы тот же импульс, так что $\Delta t$ измеряет длительность столкновения: это ширина пика.

Теперь числа. В момент наибольшего сближения оба электрона покоятся. При разлёте от 100 нм до 343 нм их электрическая потенциальная энергия уменьшается на 10,2 мэВ, и два одинаковых электрона делят её поровну, так что на расстоянии 343 нм у каждого кинетическая энергия $K=5,1\mathrm{мэВ}$. С массой электрона $m_e$ его импульс равен $p=\sqrt{2m_{e}K}=3,9\times 10^{-26}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$, а площадь — $2p=7,7\times 10^{-26}\mathrm{Н}\cdot \mathrm{с}$. Деление на пиковую силу даёт $\Delta t\approx 3,3\mathrm{пс}$ — реальную ширину пика. Анимация замедляет время примерно в $1,1\times 10^{12}$ раз (она показывает 8,2 пс за 9 с), и пик растягивается до 3,7 с на экране.

Импульс $2p$ переносит фотон, но необычный. В системе центра масс каждый электрон заканчивает с той же энергией, с какой начал, поэтому фотон передаёт импульс, но не энергию. У свободного фотона всегда $E=pc$, так что фотон с импульсом, но без энергии не может существовать сам по себе: он виртуальный и допускается лишь на краткое время между испусканием и поглощением. Считать, что электроны движутся по классическим траекториям, всё же допустимо, потому что их приведённая длина волны $\hslash /p\approx 2,7\mathrm{нм}$ в начале намного меньше расстояния наибольшего сближения, 100 нм.

Полное квантовое описание — это сумма членов, каждый из которых рисуется как диаграмма, где линии частиц сходятся в точках, называемых вершинами. Один обмениваемый фотон даёт член низшего порядка. Каждый следующий фотон добавляет две вершины, а каждая вершина вносит множитель, равный заряду электрона $e$. Два лишних множителя $e$ дают $e^2$, что в безразмерном виде, с электрической постоянной ${\epsilon }_0$, есть постоянная тонкой структуры
$\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\approx \frac{1}{137}$
Каждый лишний фотон поэтому уменьшает свой член примерно в 137 раз, и потому нескольких членов хватает, чтобы получить магнитный момент электрона с относительной точностью $10^{-12}$. У других взаимодействий константы связи очень разные: сильная вблизи 1 ГэВ порядка 1, так что это разложение там не работает; слабая при ядерных энергиях — около $10^{-5}$; а гравитационная между двумя протонами — всего $6\times 10^{-39}$.

Цвет, конфайнмент и асимптотическая свобода

Обозначения

$V$	Потенциальная энергия пары «кварк — антикварк» (потенциал Корнелла).	$\mathrm{Дж}$
$r$	Расстояние между кварком и антикварком.	$\mathrm{м}$
${\alpha }_s$	Сильная константа связи; задаёт глубину кулоновского по виду члена.
$\sigma$	Натяжение струны: наклон линейного члена $\sigma r$.	$\mathrm{Дж}/\mathrm{м}$
$r_1$	Расстояние, на котором два члена равны по величине и взаимно уничтожаются, так что $V=0$; около 0,3 фм.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Расстояние 1 фм для сравнения с $r_1$.	$\mathrm{м}$
$\Delta V$	Рост $V$ от $r_1$ до $r_2$: около 0,8 ГэВ.	$\mathrm{Дж}$

Ни один кварк никогда не наблюдался в одиночку, и этот раздел объясняет почему. Сила между кварком и антикварком на малых расстояниях похожа на электрическую, но на больших перестаёт ослабевать совсем.

На рисунке 4 построена потенциальная энергия $V$ кварка и антикварка как функция расстояния $r$ между ними. Сплошная кривая — потенциал Корнелла, простая формула, которая хорошо описывает массы тяжёлых пар «кварк — антикварк»:
$V(r)=-\frac{4}{3}\frac{{\alpha }_s\hslash c}{r}+\sigma r$
Два его члена нарисованы штрихами. Первый, отмеченный ${\alpha }_s$ (синий штриховой), кулоновский по виду: он меняется как $-1/r$, его глубина задаётся сильной константой связи ${\alpha }_s$, и он преобладает на малых расстояниях, круто опуская $V$. Второй, отмеченный $\sigma$ (золотистый штриховой), — прямая, наклон которой $\sigma$ называется натяжением струны; он преобладает на больших расстояниях и неограниченно растёт. Приравняв величины двух членов, $\frac{4}{3}{\alpha }_s\hslash c/r_1=\sigma r_1$, получим расстояние, на котором они уравновешиваются:
$r_1=\sqrt{\frac{4{\alpha }_s\hslash c}{3\sigma }}\approx 0,3\mathrm{фм}$
при ${\alpha }_s=0,3$ и $\sigma \approx 0,9\mathrm{ГэВ}/\mathrm{фм}$. Поскольку члены имеют противоположные знаки, в этой точке они взаимно уничтожаются, и сплошная кривая пересекает $V=0$ при $r_1$.

Почему энергия должна расти пропорционально расстоянию? Глюоны, в отличие от фотонов, несут заряд своего собственного взаимодействия — цвет, поэтому взаимодействуют друг с другом. Линии электрического поля между двумя зарядами расходятся по всему пространству. Линии цветового поля между кварком и антикварком, напротив, стягиваются в узкую трубку — струну — с постоянной энергией на единицу длины. Растяжение трубки на длину $\Delta r$ стоит энергии $\sigma \Delta r$, и это и есть линейный член.

На больших расстояниях сила притяжения, равная $dV/dr$, поэтому устанавливается на постоянном значении $\sigma$. В привычных единицах $\sigma =0,9\times 10^9\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}/10^{-15}\mathrm{м}\approx 1,4\times 10^5\mathrm{Н}$ — вес 15 тонн, и такая сила тянет один-единственный кварк.

Разведение пары поэтому требует всё больше энергии. На рисунке 4 растяжение от $r_1$ до $r_2=1\mathrm{фм}$ поднимает $V$ на $\Delta V$, около 0,8 ГэВ, — это вертикальная отметка. Этого уже достаточно для рождения новой лёгкой пары «кварк — антикварк». Поэтому струна не освобождает кварк: она рвётся, и новые кварк и антикварк на разорванных концах соединяются со старыми, образуя два бесцветных адрона. Кварк, сильно выбитый из протона, виден в детекторе не как свободный кварк, а как узкая струя адронов.

Сильная константа связи тоже меняется с расстоянием, и причина снова во взаимодействии глюонов между собой: оно заставляет ${\alpha }_s$ уменьшаться на малых расстояниях. Более высокие энергии столкновений зондируют меньшие расстояния, и ${\alpha }_s$ примерно равна 0,12 при 91 ГэВ (масса Z-бозона), 0,3 при 2 ГэВ и порядка 1 вблизи 1 ГэВ. Отсюда два поведения. Кварки, по которым сильно ударили и которые зондируются на малых расстояниях, ведут себя почти как свободные частицы: это асимптотическая свобода. Медленные кварки на больших расстояниях остаются связанными: это конфайнмент. Пружинки в анимации — гармоническая карикатура на струну: их натяжение растёт с растяжением, а у настоящей струны остаётся постоянным, но и те и другие удерживают кварки внутри.

Задача: насколько тяжёлым мог бы быть фотон?

В первом разделе показано, что бесконечный радиус действия даёт только безмассовый переносчик. Насколько мы уверены, что фотон действительно безмассовый? Эта задача показывает, что сделала бы с анимацией небольшая масса фотона и что допускают измерения.

Предположим, что у фотона есть небольшая масса $m_{\gamma }$. По первому разделу потенциальная энергия электронов получила бы множитель $e^{-r/R}$ и стала бы $k{e}^2{e}^{-r/R}/r$, где $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$ — постоянная Кулона, а $R=\hslash /(m_{\gamma }c)$. Сила — это производная этой энергии по $r$, взятая со знаком минус. Дифференцирование $1/r$ даёт знакомое $1/r^2$, а дифференцирование $e^{-r/R}$ добавляет второй член, равный первому, умноженному на $r/R$:
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}{e}^{-r/R}\left(1+\frac{r}{R}\right)$
Какая масса сделала бы это ослабление заметным в анимации, если $R$ равен расстоянию наибольшего сближения, 100 нм?
$m_{\gamma }{c}^2=\frac{\hslash c}{R}=\frac{197,3\mathrm{МэВ}\cdot \mathrm{фм}}{10^8\mathrm{фм}}\approx 2\mathrm{эВ}$
На тех же расстояниях сила умножилась бы на $e^{-1}(1+1)=2/e=0,74$ при 100 нм, где $r/R=1$, и на $e^{-3,43}(1+3,43)=4,43e^{-3,43}=0,14$ при 343 нм, где $r/R=3,43$. Индикаторы показывали бы около 17,0 фН и 0,28 фН вместо 23,1 фН и 1,96 фН, а их отношение выросло бы с 11,8 до примерно 60.

Измерения магнитного поля, уносимого солнечным ветром, ограничивают массу фотона сверху величиной около $10^{-18}\mathrm{эВ}/c^2$, поэтому
$R>\frac{197,3\times 10^6\mathrm{эВ}\cdot \mathrm{фм}}{10^{-18}\mathrm{эВ}}\approx 2\times 10^{26}\mathrm{фм}=2\times 10^{11}\mathrm{м}$
это больше расстояния от Земли до Солнца. Закон обратных квадратов поэтому выполняется по крайней мере до орбиты Земли.

Тяжёлый переносчик — обратный случай. Для $Z^0$ с массой 91,2 ГэВ/c² получаем $R=197,3/91200\mathrm{фм}=2,2\times 10^{-18}\mathrm{м}$. На расстоянии 100 нм между электронами его сила подавлена множителем $e^{-4,6\times 10^{10}}$, и она сравнивается с электромагнитной лишь в столкновениях при энергиях около 100 ГэВ.

Границы Стандартной модели

Охват модели впечатляет. Столкновения с энергией в несколько ТэВ зондируют расстояния порядка $\hslash c/E\approx 10^{-19}\mathrm{м}$, и при таком разрешении у кварков и лептонов никаких размеров не обнаружено. И всё же модели нужно около двух десятков измеряемых величин — масс, констант связи и углов смешивания, которые она предсказать не может, — и она не охватывает как минимум четыре вещи.

• Массы нейтрино: осцилляции, при которых нейтрино на лету меняют тип, показывают, что у нейтрино есть масса, меньшая примерно 0,5 эВ/c², то есть менее миллионной доли массы электрона; в модели её нет.
• Тёмная материя: движение галактик и реликтовое излучение требуют примерно в пять раз больше вещества, чем содержится в атомах.
• Дисбаланс вещества и антивещества во Вселенной, намного больший, чем способно создать нарушение CP в модели.
• Гравитация: её константа связи между двумя частицами с энергией $E$, $G{E}^2/(\hslash c^5)$, достигает порядка 1 лишь вблизи планковской энергии $1,2\times 10^{19}\mathrm{ГэВ}$, примерно в $10^{15}$ раз выше энергий коллайдеров.

Что дальше

Сила из урока «Закон Кулона» — это обмен одним фотоном, а волны из урока «Электромагнитные волны» состоят из фотонов. Формула радиуса действия и аннигиляция опираются на соотношение $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ из урока «Специальная теория относительности»; фазы, порождающие взаимодействия, — это амплитуды из уроков «Корпускулярно-волновой дуализм» и «Уравнение Шрёдингера и туннельный эффект», а связь симметрии с сохранением уже действует в уроке «Момент импульса и закон его сохранения». β-распад из урока «Радиоактивность и период полураспада» — это обмен W-бозоном, а масса, о которой идёт речь в уроке «Деление, синтез и E = mc²», — в основном энергия глюонного поля и движущихся в нём кварков. Единственное взаимодействие, которое модель оставляет в стороне, описывает урок «Гравитация как искривление пространства-времени».