Particules et forces : le modèle standard

Débutant

Commençons par le connu : un atome possède un minuscule noyau formé de protons, de charge positive, et de neutrons, sans charge, entouré d'électrons négatifs. Longtemps, elles ont semblé être les briques ultimes. Ce n'est pas tout à fait le cas : chaque proton et chaque neutron est un petit sac contenant trois particules plus petites, les quarks. Deux sortes suffisent pour la matière ordinaire, « up » et « down ». Un proton est up-up-down ; un neutron, up-down-down.

Testez-vous : si l'un des quarks up d'un proton se changeait en quark down, que deviendrait le proton ? (Un neutron. Cela arrive vraiment dans certains noyaux radioactifs.)

Qu'est-ce qui retient les quarks ? Les gluons, porteurs de l'interaction forte. Dans l'animation, ce sont les ressorts entre les quarks qui s'agitent. Comme des élastiques, ils tirent d'autant plus fort qu'on les étire : impossible d'arracher un quark seul, l'énergie dépensée crée plutôt de nouveaux quarks. Chaque quark a aussi une « couleur » (rouge, vert ou bleu, un simple nom, pas une vraie couleur) ; un gluon qui saute transporte la couleur d'un quark à l'autre, si bien que les trois couleurs sont toujours présentes.

Les électrons appartiennent à une autre famille, les leptons. Deux électrons sont tous deux négatifs : ils se repoussent, d'autant plus fort qu'ils sont proches. À droite de l'animation, deux électrons ralentissent, échangent un photon, une particule de lumière, au plus près l'un de l'autre, puis s'éloignent : c'est ainsi que les physiciens se représentent la poussée électrique.

La nature ne compte que quatre forces fondamentales : la gravitation, l'électromagnétisme, l'interaction forte et l'interaction faible, à l'origine de certaines désintégrations radioactives. Enfin, chaque particule a une jumelle d'antimatière de charge opposée ; quand elles se rencontrent, toutes deux disparaissent dans un éclair de lumière.

Intermédiaire

Unités pour l'infiniment petit

Les physiciens des particules mesurent l'énergie en électronvolts : 1 eV est l'énergie que gagne un électron en traversant une différence de potentiel d'un volt, soit $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$, et 1 MeV en vaut un million. Comme $E=m{c}^2$, on peut exprimer une masse par son énergie de masse divisée par $c^2$ : l'électron fait 0,511 MeV/c², le proton 938 MeV/c².

Les longueurs à l'intérieur des noyaux se mesurent en femtomètres, $1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$, et le proton de l'animation mesure environ 1,7 fm de diamètre. Une seule constante relie énergie et longueur, $\hslash c\approx 197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$, avec $\hslash =h/2\pi$ : en la divisant par une énergie, on obtient une distance.

Douze particules de matière

Le modèle standard range la matière en douze fermions, six quarks et six leptons, répartis en trois générations. La première (quarks up et down, électron et son neutrino) contient tout ce dont les atomes sont faits. La deuxième (charme, étrange, muon) et la troisième (top, bottom, tau), chacune avec son neutrino, reprennent les mêmes charges avec des particules plus lourdes.

Les quarks de type up (u, c, t) portent $+\frac{2}{3}e$ et ceux de type down (d, s, b) $-\frac{1}{3}e$, où $e$ est la charge élémentaire ; l'électron, le muon et le tau portent $-e$, et les neutrinos aucune charge. On retrouve alors la bonne charge pour les deux nucléons :

• $p=\mathrm{uud}:Q=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=+1$
• $n=\mathrm{udd}:Q=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$

Les quarks portent une seconde sorte de charge, la couleur, qui prend trois valeurs appelées rouge, vert et bleu ; ces noms ne sont que des étiquettes. Seules les combinaisons incolores existent isolément : trois quarks de couleurs différentes forment un baryon, comme le proton, et un quark associé à un antiquark d'anticouleur correspondante forme un méson, comme le pion ${\pi }^{+}=\mathrm{u}\bar{\mathrm{d}}$, de charge $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=+1$. Baryons et mésons forment ensemble les hadrons. Les leptons n'ont pas de couleur et ne ressentent pas l'interaction forte.

Les forces comme échanges de particules

Dans cette image, une force est l'échange d'un boson, une particule messagère. Le photon $\gamma$ transmet l'électromagnétisme entre charges électriques, huit gluons transmettent l'interaction forte entre charges de couleur, et les $W^{+}$, $W^{-}$ et $Z^0$ transmettent l'interaction faible, dans laquelle le W change une sorte de quark ou de lepton en une autre et provoque ainsi la désintégration β. Le boson de Higgs, découvert en 2012, est une ondulation du champ qui donne leur masse aux particules, et non un médiateur d'interaction. La gravitation ne fait pas partie du modèle.

Un médiateur massif ne peut parcourir qu'une distance limitée et donne donc une force de courte portée :
$R\approx \frac{\hslash }{mc}=\frac{\hslash c}{m{c}^2},\hslash c\approx 197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$
Le photon étant de masse nulle, la force électrique porte aussi loin qu'on veut et garde la forme en inverse du carré de la loi de Coulomb :
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}\text{(eˊchange de photons)}$

Le W a une masse de 80,4 GeV/c², d'où $R\approx 197,3/80400\mathrm{fm}\approx 0,0025\mathrm{fm}$. Les gluons sont eux aussi de masse nulle, mais la couleur reste enfermée dans les hadrons ; la force entre nucléons voisins est un résidu incolore, transmis surtout par les pions de 140 MeV/c², d'où $R\approx 197,3/140\mathrm{fm}\approx 1,4\mathrm{fm}$.

Exemple résolu : les électrons de l'animation

À droite de l'animation, deux électrons arrivent de face, s'arrêtent un instant à 100 nm l'un de l'autre, puis repartent en sens inverse. Au plus près, avec $k=8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$,
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot (1,60\times 10^{-19}{)}^2}{(1,00\times 10^{-7}{)}^2}\approx 2,3\times 10^{-14}\mathrm{N}$
soit 23 femtonewtons, le maximum de 23,1 fN indiqué par l'affichage $F$ quand l'affichage $r$ montre 100 nm.

Au départ, les électrons sont à 343 nm l'un de l'autre, soit 3,43 fois plus loin : la force est donc $3,43^2\approx 11,8$ fois plus faible, $23,1/11,8\approx 1,96\mathrm{fN}$ (l'affichage indique 2,0 fN). Les flèches rouges $F$ sont dessinées à l'échelle ; elles grandissent donc d'un facteur douze environ pendant le rapprochement.

Au plus près, les deux électrons sont au repos : toute l'énergie de la paire est alors de l'énergie potentielle électrique, $k{e}^2/r=2,3\times 10^{-21}\mathrm{J}$, soit 14,4 meV. Au départ, 4,2 meV de cette énergie sont encore sous forme potentielle et 10,2 meV sous forme cinétique : chaque électron a 5,1 meV, soit une vitesse d'environ 42 km/s. La vraie rencontre dure environ 8 ps ; la boucle de 9 s la ralentit donc d'un facteur $10^{12}$.

Exemple résolu : l'annihilation dans un scanner TEP

Un examen de tomographie par émission de positons (TEP) utilise un traceur, par exemple du sucre marqué au fluor 18, dont le noyau transforme un proton en neutron, $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$, en conservant la charge ($+1=0+1+0$) et le nombre leptonique ($0=0-1+1$). Le positon s'arrête à moins d'un millimètre et rencontre un électron ; tous deux sont presque au repos, donc leur quantité de mouvement totale est presque nulle.

Un seul photon ne peut pas emporter l'énergie, car un photon a toujours une quantité de mouvement $E/c$. Deux photons qui partent dos à dos le peuvent, chacun avec l'énergie de masse d'une particule :
$e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma ,E_{\gamma }=m_e{c}^2=511\mathrm{keV}\text{(au repos)}$
Ici $m_e{c}^2=9,109\times 10^{-31}\cdot (2,998\times 10^8{)}^2=8,187\times 10^{-14}\mathrm{J}$, soit 511 keV, et la longueur d'onde vaut $\lambda =hc/E=1239,8\mathrm{keV}\cdot \mathrm{pm}/511\mathrm{keV}\approx 2,43\mathrm{pm}$, une longueur d'onde environ 200 000 fois plus courte que celle de la lumière verte.

Une couronne de détecteurs enregistre les deux photons à quelques nanosecondes près ; l'annihilation a eu lieu sur la droite qui joint les deux impacts. Si un photon arrive 200 ps plus tôt, le point se trouve à $c\Delta t/2=3,00\times 10^8\cdot 2\times 10^{-10}/2=3\mathrm{cm}$ du milieu de la droite, du côté de ce détecteur.

Lire le diagramme espace-temps

Au-dessus des électrons, la vue intermédiaire trace un diagramme espace-temps : la position se lit horizontalement, le temps vers le haut, et une ligne en tirets marque le présent. Chaque électron trace une ligne d'univers violette : elle est inclinée tant que les électrons sont éloignés, verticale à $t=4,5\mathrm{s}$, quand tous deux sont immobiles à 100 nm l'un de l'autre, puis elle s'incurve pour s'écarter. Plus une ligne d'univers est raide, plus la particule est lente.

L'ondulation dorée à cet instant est le photon $\gamma$ échangé, qui relie deux sommets (les points noirs). Les lignes d'univers lisses sont une image classique ; la description quantique additionne des diagrammes d'interaction, chaque sommet correspondant à une émission ou à une absorption.

Le proton obéit à une règle analogue pour la couleur. Quatre gluons sautent pendant chaque boucle, et chaque fois qu'aucun n'est en vol, on compte un quark rouge, un vert et un bleu.

Erreurs fréquentes

• La masse du proton n'est pas la somme des masses de ses quarks : elles totalisent environ 9 MeV/c², alors que le proton en a 938. Environ 99 % de cette masse vient de l'énergie du champ de gluons et du mouvement des quarks, via $E=m{c}^2$.
• L'interaction faible est de courte portée parce que ses médiateurs sont lourds ($R\approx 0,0025\mathrm{fm}$ pour le W), et non parce qu'elle serait la plus faible : la gravitation est bien plus faible, et pourtant sa portée est illimitée.
• Un positon et un électron au repos ne peuvent pas s'annihiler en un seul photon : un photon de 1022 keV aurait une quantité de mouvement $E/c$, alors que le total est nul. Deux photons de 511 keV partant dos à dos équilibrent l'énergie comme la quantité de mouvement.
• Neutre ne veut pas dire être sa propre antiparticule : l'antineutron a un nombre baryonique $-1$ et s'annihile avec un neutron, alors que le photon et le ${\pi }^0$ sont leurs propres antiparticules.

Où on le rencontre

Les scanners TEP utilisent chaque jour de l'antimatière, et les muons des rayons cosmiques, des électrons lourds, traversent chaque centimètre carré au niveau de la mer environ une fois par minute. Le Soleil brille parce que l'interaction faible transforme des protons en neutrons dans son cœur (voir Fission, fusion et E = mc²), et la datation au carbone compte les désintégrations β du carbone 14 (voir Radioactivité et demi-vie).

Les collisionneurs guident les particules le long d'anneaux au moyen d'aimants, grâce au mouvement circulaire décrit dans Force magnétique sur une charge en mouvement :
$R=\frac{p}{eB}\text{(acceˊleˊrateur circulaire)}$
Une quantité de mouvement de 1 GeV/c correspond à $BR=3,336\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$ ; des protons de 7000 GeV/c dans les aimants de courbure de 8,33 T du Grand collisionneur de hadrons décrivent donc un cercle de rayon $R=7000\cdot 3,336/8,33\mathrm{m}\approx 2,80\mathrm{km}$.

Avancé

La portée d'une force et la masse de son médiateur

Légende

$\varphi$	Champ du médiateur autour de la source ; l'échelle verticale est arbitraire.
$r$	Distance à la source, tracée en unités de $R$.	$\mathrm{m}$
$R$	Portée de la force, $R=\hslash /(mc)$ ; en $r=R$, la courbe pleine est à $1/e$ de celle en pointillés.	$\mathrm{m}$
$m$	Masse du médiateur : nulle pour la courbe en pointillés, positive pour la courbe pleine.	$\mathrm{kg}$

Pourquoi la force électrique traverse-t-elle l'Univers alors que la force nucléaire s'arrête net au bout d'environ un femtomètre ? Cette section montre que la réponse tient à la masse de la particule qui porte la force, puis transforme la portée mesurée de la force nucléaire en une prédiction de la masse d'une particule.

La figure 1 montre le champ $\varphi$ qu'une source immobile établit à la distance $r$, pour deux sortes de médiateur. La courbe en pointillés ($m=0$) correspond à un médiateur de masse nulle. C'est le $1/r$ de Coulomb, qui ne contient aucune échelle de longueur et ne s'éteint donc jamais. La courbe pleine ($m>0$) correspond à un médiateur de masse $m$. C'est la courbe en pointillés multipliée par un facteur supplémentaire, voisin de 1 seulement tout près de la source, qui diminue avec la distance : la courbe pleine descend donc de plus en plus au-dessous de celle en pointillés. Regardez les deux points au-dessus de l'extrémité du crochet $R$ : là, la courbe pleine est descendue à $1/e\approx 0,37$ de celle en pointillés. En $2R$, le rapport vaut 0,14, en $3R$ il vaut 0,05, et au-delà de quelques $R$ le champ a pratiquement disparu. La longueur $R$ est la portée de la force ; le reste de la section montre ce qui la fixe.

Dans la nature, le contraste est net. La force nucléaire entre protons et neutrons s'éteint en environ 1,4 fm, alors que la force électrique porte arbitrairement loin. En 1935, Hideki Yukawa a fait de ce contraste une prédiction. Imaginez un nucléon au repos qui émet un médiateur de masse $m$. Créer ce médiateur enfreint la conservation de l'énergie d'une quantité $m{c}^2$. La relation d'incertitude énergie–temps ne tolère une telle dette que pendant une durée d'environ $\hslash /(m{c}^2)$, où $\hslash$ est la constante de Planck réduite ; ensuite le médiateur doit être réabsorbé. Même à une vitesse voisine de celle de la lumière, il ne parcourt au plus que $c$ fois cette durée, donc la portée vaut
$R\approx \frac{\hslash }{mc}=\frac{\hslash c}{m{c}^2},\hslash c\approx 197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$
Plus le médiateur est lourd, plus le prêt est court et plus la portée est courte. Un médiateur de masse nulle peut être emprunté indéfiniment, et sa portée est donc infinie.

On obtient exactement le même résultat en combinant relativité et mécanique quantique. Un quantum libre de masse $m$ obéit à $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. En mécanique quantique, l'énergie et la quantité de mouvement agissent sur une onde comme les opérateurs $i\hslash \partial /\partial t$ et $-i\hslash \nabla$. En les mettant à la place de $E$ et de $p$ et en divisant par ${\hslash }^2{c}^2$, on transforme la relation d'énergie en équation d'onde pour le champ $\varphi$ :
$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-{\nabla }^2\varphi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0$
Les deux premiers termes forment l'équation d'onde ordinaire, qui décrit à elle seule des ondes se propageant à la vitesse $c$. Le troisième est le terme de masse, le seul endroit où $m$ intervient.

Autour d'une source ponctuelle statique, rien ne change dans le temps : le premier terme disparaît et l'équation devient ${\nabla }^2\varphi =\varphi /R^2$, avec $R=\hslash /(mc)$. Pour la résoudre loin de la source, écrivez $\varphi =u/r$ : pour un champ à symétrie sphérique, l'équation devient $d^{2}u/d{r}^2=u/R^2$, dont la solution qui s'annule aux grands $r$ est $u=e^{-r/R}$. Donc
$\varphi (r)\propto \frac{e^{-r/R}}{r},R=\frac{\hslash }{mc}$
Ce sont exactement les deux courbes de la figure 1. Avec $m=0$, la portée est infinie, l'exponentielle vaut 1 et $\varphi \propto 1/r$ : c'est la courbe de Coulomb en pointillés. Avec une masse, $e^{-r/R}$ est le facteur supplémentaire de la courbe pleine, et il éteint le champ au-delà de quelques $R$.

Remontons maintenant le raisonnement. Une portée de 1,4 fm exige $m{c}^2=\hslash c/R=197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}/1,4\mathrm{fm}\approx 140\mathrm{MeV}$, soit un médiateur d'environ 140 MeV/c². Le pion, découvert en 1947, a précisément cette masse. Des dizaines d'autres particules à interaction forte, les hadrons, ont suivi, et les quarks ont expliqué plus tard leurs familles régulières. Le tableau de la vue experte de l'animation montre l'ordre qui s'en est dégagé : trois générations de quarks et de leptons aux charges identiques, qui ne diffèrent que par la masse, et les médiateurs des forces dans une colonne à part.

Symétrie et origine des forces

Pourquoi ces médiateurs-là, et pourquoi le photon est-il de masse nulle ? La réponse moderne est la symétrie : les forces ne sont pas ajoutées à la théorie à la main, elles sont exigées par les symétries de ses lois.

Le lien entre symétrie et conservation est plus ancien. Une symétrie est une transformation qui laisse les lois inchangées. Si les lois sont les mêmes en tout lieu, la quantité de mouvement se conserve ; si elles sont les mêmes à tout instant, l'énergie se conserve ; si elles sont les mêmes dans toutes les directions, le moment cinétique se conserve. Emmy Noether a démontré en 1918 que c'est général : toute symétrie continue des lois apporte sa propre grandeur conservée.

La mécanique quantique ajoute une symétrie sans équivalent classique. Une particule est décrite par une amplitude complexe $\psi$, et l'on ne mesure jamais que la probabilité $|\psi {|}^2$. Multiplier toutes les amplitudes par un même facteur de phase $e^{i\delta }$ ne change donc rien d'observable, puisque $|e^{i\delta }\psi {|}^2=|\psi {|}^2$. N'importe quel angle $\delta$ convient : c'est une symétrie continue, et la grandeur conservée que le théorème de Noether lui associe est la charge électrique.

Durcissons maintenant l'exigence et laissons la phase $\delta (x,t)$ différer d'un point à l'autre et d'un instant à l'autre. Les probabilités restent inchangées, mais pas l'équation d'onde. Elle contient des dérivées de $\psi$, et la dérivée de $e^{i\delta }\psi$ fait apparaître un terme supplémentaire en dérivées de $\delta$. Les lois ne peuvent conserver cette symétrie locale que si l'on ajoute un nouveau champ dont la variation propre annule exactement ces termes supplémentaires. Ce champ est le potentiel électromagnétique, et son quantum est le photon. Un terme de masse pour ce champ briserait lui-même la symétrie : le photon doit donc être de masse nulle, ce qui, d'après la section précédente, explique pourquoi la force électrique a une portée infinie.

La même recette, appliquée à des symétries plus riches, produit les autres médiateurs. La symétrie de couleur, appelée $\mathrm{SU}(3)$ parce qu'elle mélange les trois couleurs, exige $3^2-1=8$ champs : les huit gluons. La symétrie électrofaible $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$ exige $3+1=4$ champs, qui apparaissent sous la forme des $W^{+}$, $W^{-}$, $Z^0$ et du photon.

Symétrie cachée : le champ de Higgs

Légende

$V$	Densité d'énergie potentielle du champ de Higgs.	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\varphi$	Valeur du champ de Higgs (l'une de ses composantes), donnée comme une énergie en GeV, comme c'est l'usage en physique des particules.	$\mathrm{J}$
$v$	Valeur du champ aux deux points les plus bas, $\varphi =\pm v$ ; $v\approx 246\mathrm{GeV}$.	$\mathrm{J}$

La section précédente laisse une énigme. La symétrie même qui garde le photon de masse nulle interdit aussi les termes de masse du W et du Z, et pourtant ils sont lourds, environ 80 et 91 GeV/c². La solution est que les lois conservent la symétrie alors que le vide, l'état d'énergie minimale, ne la conserve pas. La figure 2 montre comment cela peut arriver.

La figure 2 est une coupe de la densité d'énergie potentielle $V$ du champ de Higgs, tracée en fonction de la valeur $\varphi$ du champ (ici $\varphi$ est le champ de Higgs, et non le champ de la figure 1). La courbe est symétrique : elle traite de la même façon $+\varphi$ et $-\varphi$. Pourtant son point de symétrie, $\varphi =0$, est le sommet d'une colline, marqué par la bille claire. La moindre perturbation fait rouler le champ vers le bas, le long du trajet en pointillés, jusqu'à ce qu'il s'arrête dans l'un des deux creux, en $\varphi =+v$ (la bille sombre) ou en $\varphi =-v$. Faites maintenant tourner la courbe autour de l'axe vertical. Elle devient un chapeau mexicain, dont le creux est un cercle entier de points d'énergie également basse. Le champ doit s'installer en l'un d'eux, de sorte que l'état qu'il choisit est moins symétrique que les lois, qui les autorisent tous. La distance du creux à zéro est la valeur $v\approx 246\mathrm{GeV}$, et le champ garde cette valeur dans tout l'espace.

Les particules qui se déplacent dans ce fond omniprésent interagissent avec lui, et cette interaction est ce que nous mesurons comme leur masse. Le W reçoit $m_W{c}^2=gv/2\approx 80\mathrm{GeV}$, où $g\approx 0,65$ est le couplage faible. Chaque fermion reçoit $m_f{c}^2=y_{f}v/\sqrt{2}$, fixée par son propre couplage $y_f$ au champ : le quark top a $y_t\approx 1$, l'électron seulement $y_e\approx 3\times 10^{-6}$, ce qui explique que leurs masses diffèrent d'un facteur d'environ 300 000. Le photon appartient à l'unique combinaison de champs électrofaibles que le vide laisse intacte, et reste donc de masse nulle. Enfin, le champ peut onduler autour de sa valeur de repos $v$, comme une bille qui oscille dans le creux. Le quantum de cette ondulation est le boson de Higgs, découvert en 2012 à 125 GeV/c².

Symétrie miroir et CP

Toutes les symétries de la physique de tous les jours ne valent pas pour l'interaction faible. La réflexion dans un miroir est en défaut, et cette défaillance, découverte en 1957, fut une surprise.

Cette année-là, des noyaux de cobalt 60 ont été refroidis à très basse température et alignés dans un champ magnétique, si bien que leurs spins pointaient tous dans le même sens. Ils ont émis des électrons β surtout dans la direction opposée au spin nucléaire. Imaginez maintenant l'expérience vue dans un miroir perpendiculaire à l'axe des spins. Les noyaux tournent dans des plans parallèles au miroir : leur sens de rotation, donc leur spin, est inchangé ; mais les électrons qui se déplacent le long de l'axe sont inversés. L'image dans le miroir montrerait donc des électrons partant surtout dans le sens du spin, ce qui n'arrive jamais. L'interaction faible sait distinguer un processus de son image dans un miroir.

Combiner le miroir avec l'échange de la matière et de l'antimatière, une opération appelée CP, rétablit presque la symétrie, mais pas tout à fait : les mésons K et B neutres la brisent, les kaons d'environ deux pour mille et les mésons B de plusieurs dizaines de pour cent dans certaines désintégrations.

Certaines lois de conservation, en revanche, n'ont jamais été vues en défaut. La charge électrique, le nombre baryonique $B$ ($+\frac{1}{3}$ pour chaque quark, donc $+1$ pour un proton) et le nombre leptonique $L$ ($+1$ pour chaque lepton, $-1$ pour chaque antilepton) se conservent dans toutes les réactions observées. La désintégration $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$, par exemple, conserverait la charge mais ferait passer $B$ de 1 à 0 et $L$ de 0 à $-1$ ; les recherches montrent que, dans ce canal, les protons survivent plus de $10^{34}$ ans, bien plus que l'âge de l'Univers.

Transfert de quantité de mouvement et couplage

Légende

$F$	Force électrique entre les deux électrons ; elle est répulsive.	$\mathrm{N}$
$t$	Temps dans l'animation, ralenti d'un facteur d'environ $10^{12}$.	$\mathrm{s}$
$t_c$	Instant du rapprochement maximal, au milieu du parcours ; la courbe est symétrique par rapport à lui.	$\mathrm{s}$
$F_{\max }$	Plus grande force, atteinte au moment du rapprochement maximal : 23,1 fN.	$\mathrm{N}$
$\Delta t$	Largeur du rectangle de hauteur $F_{\max }$ et de même aire que la courbe, $\Delta t=2p/F_{\max }$ : la durée de la poussée.	$\mathrm{s}$
$p$	Quantité de mouvement d'un électron au début du parcours ; l'aire ombrée vaut $2p$.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

Comment l'échange d'une particule repousse-t-il deux autres particules l'une de l'autre ? Cette section suit une collision concrète, entre les deux électrons de l'animation, et calcule la quantité de mouvement qui passe de l'un à l'autre et la durée de la poussée. Elle utilise ensuite l'image de l'échange pour expliquer pourquoi les calculs électromagnétiques peuvent être si précis.

La figure 3 trace la force $F$ entre les deux électrons en fonction du temps $t$ ; c'est le graphe rouge de la vue experte de l'animation. On peut y lire trois choses. D'abord, la courbe est symétrique par rapport à $t_c$, l'instant du rapprochement maximal, où les électrons sont distants de 100 nm, et elle y culmine à $F_{\max }=23,1\mathrm{fN}$. Ensuite, au début et à la fin du parcours, les électrons sont distants de 343 nm et se repoussent encore avec 1,96 fN, de sorte que la courbe n'atteint pas zéro à ses bords. Enfin, l'aire ombrée sous la courbe, notée $2p$, est l'impulsion : la quantité de mouvement totale que la force transmet.

Pourquoi cette aire vaut-elle $2p$ ? Chaque électron part avec la quantité de mouvement $p$ dirigée vers l'autre. La répulsion le ralentit jusqu'au repos en $t_c$, puis le chasse vers l'extérieur, de sorte qu'il termine avec la quantité de mouvement $p$ dirigée à l'opposé. Sa quantité de mouvement a donc varié de $2p$, et, d'après la deuxième loi de Newton, $F=dp/dt$, cette variation est l'aire sous le graphe force–temps :
$\int Fdt=\Delta p=2p$
Le rectangle en pointillés transforme cette aire en une durée. Il a la même aire que la courbe et la hauteur $F_{\max }$, donc sa largeur est $\Delta t=2p/F_{\max }$. Une poussée constante $F_{\max }$ qui durerait $\Delta t$ transmettrait la même quantité de mouvement : $\Delta t$ mesure donc la durée de la collision, c'est la largeur de la bosse.

Passons aux nombres. Au plus près, les deux électrons sont au repos. En s'éloignant de 100 nm à 343 nm, leur énergie potentielle électrique diminue de 10,2 meV, et les deux électrons identiques se la partagent également : à 343 nm, chacun a donc une énergie cinétique $K=5,1\mathrm{meV}$. Avec la masse de l'électron $m_e$, sa quantité de mouvement est $p=\sqrt{2m_{e}K}=3,9\times 10^{-26}\mathrm{kg}\cdot m/s$, et l'aire vaut $2p=7,7\times 10^{-26}\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$. En divisant par la force maximale, on obtient $\Delta t\approx 3,3\mathrm{ps}$, la largeur réelle de la bosse. L'animation ralentit le temps d'un facteur d'environ $1,1\times 10^{12}$ (elle montre 8,2 ps en 9 s), ce qui étire la bosse jusqu'à 3,7 s à l'écran.

Le $2p$ est transporté par un photon, mais un photon singulier. Dans le référentiel du centre de masse, chaque électron termine avec l'énergie qu'il avait au début, de sorte que le photon livre de la quantité de mouvement mais pas d'énergie. Un photon libre a toujours $E=pc$ ; un photon qui porte de la quantité de mouvement sans énergie ne peut donc pas exister seul : il est virtuel, autorisé seulement pendant le bref intervalle entre son émission et son absorption. Traiter les électrons comme s'ils suivaient des trajectoires classiques reste raisonnable, car leur longueur d'onde réduite $\hslash /p\approx 2,7\mathrm{nm}$ au départ est très inférieure aux 100 nm du rapprochement maximal.

La description quantique complète est une somme de termes, dont chacun se dessine comme un diagramme où des lignes de particules se rencontrent en des points appelés sommets. L'échange d'un photon donne le terme de plus bas ordre. Chaque photon supplémentaire ajoute deux sommets, et chaque sommet apporte un facteur égal à la charge $e$ de l'électron. Deux facteurs $e$ en plus font $e^2$, qui, sous forme sans dimension, avec la permittivité du vide ${\epsilon }_0$, est la constante de structure fine
$\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\approx \frac{1}{137}$
Chaque photon supplémentaire réduit donc son terme d'un facteur voisin de $1/137$, et quelques termes suffisent ainsi à donner le moment magnétique de l'électron à une partie sur $10^{12}$ près. Les autres forces ont des couplages de tailles très différentes : le couplage fort vers 1 GeV est de l'ordre de 1, de sorte que ce développement y échoue ; le couplage faible aux énergies nucléaires est d'environ $10^{-5}$ ; et la gravitation entre deux protons n'est que de $6\times 10^{-39}$.

Couleur, confinement et liberté asymptotique

Légende

$V$	Énergie potentielle de la paire quark–antiquark (potentiel de Cornell).	$\mathrm{J}$
$r$	Distance entre le quark et l'antiquark.	$\mathrm{m}$
${\alpha }_s$	Couplage fort ; il fixe la profondeur du terme de type Coulomb.
$\sigma$	Tension de corde : la pente du terme linéaire $\sigma r$.	$J/m$
$r_1$	Distance où les deux termes sont de même grandeur et s'annulent, donc $V=0$ ; environ 0,3 fm.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Une distance de 1 fm, à comparer à $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\Delta V$	Hausse de $V$ de $r_1$ à $r_2$ : environ 0,8 GeV.	$\mathrm{J}$

Aucun quark n'a jamais été vu isolé, et cette section explique pourquoi. La force entre un quark et un antiquark ressemble à la force électrique à courte distance, mais à longue distance elle cesse tout à fait de s'affaiblir.

La figure 4 trace l'énergie potentielle $V$ d'un quark et d'un antiquark en fonction de la distance $r$ qui les sépare. La courbe pleine est le potentiel de Cornell, une formule simple qui s'ajuste bien aux masses des paires quark–antiquark lourdes :
$V(r)=-\frac{4}{3}\frac{{\alpha }_s\hslash c}{r}+\sigma r$
Ses deux termes sont tracés en pointillés. Le premier, repéré par ${\alpha }_s$ (en pointillés bleus), est de type Coulomb : il varie comme $-1/r$, sa profondeur est fixée par le couplage fort ${\alpha }_s$, et il domine à courte distance, où il fait plonger $V$. Le second, repéré par $\sigma$ (en pointillés dorés), est une droite dont la pente $\sigma$ s'appelle la tension de corde ; il domine à longue distance et continue de croître sans limite. En égalant les grandeurs des deux termes, $\frac{4}{3}{\alpha }_s\hslash c/r_1=\sigma r_1$, on obtient la distance où ils s'équilibrent :
$r_1=\sqrt{\frac{4{\alpha }_s\hslash c}{3\sigma }}\approx 0,3\mathrm{fm}$
pour ${\alpha }_s=0,3$ et $\sigma \approx 0,9GeV/fm$. Comme les termes sont de signes opposés, ils s'annulent en ce point, et la courbe pleine coupe $V=0$ en $r_1$.

Pourquoi l'énergie devrait-elle croître proportionnellement à la distance ? Les gluons, contrairement aux photons, portent la charge de leur propre force, la couleur, et interagissent donc entre eux. Les lignes de champ électrique entre deux charges s'étalent dans tout l'espace. Les lignes de champ de couleur entre un quark et un antiquark, elles, se resserrent en un tube étroit, une corde, d'énergie fixe par unité de longueur. Étirer le tube d'une longueur $\Delta r$ coûte l'énergie $\sigma \Delta r$, et c'est là le terme linéaire.

À longue distance, la force d'attraction, de grandeur $dV/dr$, se stabilise donc à la constante $\sigma$. En unités courantes, $\sigma =0,9\times 10^9\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}/10^{-15}\mathrm{m}\approx 1,4\times 10^5\mathrm{N}$, le poids de 15 tonnes, qui tire sur un seul quark.

Séparer la paire coûte donc toujours plus d'énergie. Sur la figure 4, l'étirer de $r_1$ à $r_2=1\mathrm{fm}$ fait monter $V$ de $\Delta V$, environ 0,8 GeV, la barre verticale. C'est déjà assez pour créer une nouvelle paire légère quark–antiquark. La corde ne libère donc pas un quark : elle se rompt, et le nouveau quark et le nouvel antiquark, aux extrémités brisées, s'associent aux anciens pour former deux hadrons incolores. Un quark éjecté violemment d'un proton apparaît dans un détecteur non comme un quark libre mais comme un jet étroit de hadrons.

Le couplage fort change aussi avec la distance, et l'interaction des gluons entre eux en est de nouveau la cause : elle fait diminuer ${\alpha }_s$ à courte distance. Des énergies de collision plus élevées sondent des distances plus courtes, et ${\alpha }_s$ vaut environ 0,12 aux 91 GeV de la masse du Z, 0,3 à 2 GeV, et de l'ordre de 1 vers 1 GeV. Deux comportements en découlent. Les quarks frappés violemment, sondés à courte distance, se comportent presque comme des particules libres : c'est la liberté asymptotique. Les quarks lents, à longue distance, restent liés : c'est le confinement. Les ressorts de l'animation sont une caricature harmonique de la corde : leur traction croît avec l'allongement, alors que celle de la vraie corde reste constante, mais les deux gardent les quarks à l'intérieur.

Problème résolu : quelle masse le photon pourrait-il avoir ?

La première section a montré que seul un médiateur de masse nulle donne une portée infinie. Dans quelle mesure sommes-nous sûrs que le photon est vraiment de masse nulle ? Ce problème montre ce que ferait à l'animation une petite masse du photon, et ce que les mesures permettent.

Supposons que le photon ait une petite masse $m_{\gamma }$. D'après la première section, l'énergie potentielle des électrons gagnerait le facteur $e^{-r/R}$ et deviendrait $k{e}^2{e}^{-r/R}/r$, avec la constante de Coulomb $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$ et $R=\hslash /(m_{\gamma }c)$. La force est l'opposé de la dérivée de cette énergie par rapport à $r$. Dériver $1/r$ donne le familier $1/r^2$, et dériver $e^{-r/R}$ ajoute un second terme, égal à $r/R$ fois le premier :
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}{e}^{-r/R}\left(1+\frac{r}{R}\right)$
Quelle masse rendrait la coupure visible dans l'animation, avec $R$ égal aux 100 nm du rapprochement maximal ?
$m_{\gamma }{c}^2=\frac{\hslash c}{R}=\frac{197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}}{10^8\mathrm{fm}}\approx 2\mathrm{eV}$
Aux mêmes distances, la force serait multipliée par $e^{-1}(1+1)=2/e=0,74$ à 100 nm, où $r/R=1$, et par $e^{-3,43}(1+3,43)=4,43e^{-3,43}=0,14$ à 343 nm, où $r/R=3,43$. Les affichages indiqueraient environ 17,0 fN et 0,28 fN au lieu de 23,1 fN et 1,96 fN, et leur rapport passerait de 11,8 à environ 60.

Des mesures du champ magnétique emporté par le vent solaire situent la masse du photon au-dessous d'environ $10^{-18}\mathrm{eV}/c^2$, donc
$R>\frac{197,3\times 10^6\mathrm{eV}\cdot \mathrm{fm}}{10^{-18}\mathrm{eV}}\approx 2\times 10^{26}\mathrm{fm}=2\times 10^{11}\mathrm{m}$
soit plus que la distance de la Terre au Soleil. La loi en inverse du carré est donc valable au moins jusqu'à l'orbite terrestre.

Un médiateur lourd est le cas opposé. Pour le $Z^0$, de 91,2 GeV/c², $R=197,3/91200\mathrm{fm}=2,2\times 10^{-18}\mathrm{m}$. À 100 nm, distance des électrons, sa force est réduite d'un facteur $e^{-4,6\times 10^{10}}$, et elle n'égale la force électromagnétique que dans des collisions proches de 100 GeV.

Limites du modèle standard

La portée du modèle est impressionnante. Des collisions de quelques TeV sondent des distances d'environ $\hslash c/E\approx 10^{-19}\mathrm{m}$, et à cette résolution aucun quark ni lepton n'a montré la moindre taille. Pourtant, le modèle exige environ deux douzaines de données mesurées, masses, couplages et angles de mélange qu'il ne peut pas prédire, et il laisse de côté au moins quatre choses.

• Les masses des neutrinos : les oscillations, où les neutrinos changent de type en voyageant, montrent qu'ils ont une masse, inférieure à environ 0,5 eV/c², moins d'un millionième de celle de l'électron ; le modèle n'en prévoit aucune.
• La matière noire : le mouvement des galaxies et le fond diffus cosmologique exigent environ cinq fois plus de matière que les atomes n'en contiennent.
• Le déséquilibre entre matière et antimatière de l'Univers, bien plus grand que ce que peut produire la violation de CP du modèle.
• La gravitation : son couplage entre deux particules d'énergie $E$, $G{E}^2/(\hslash c^5)$, n'atteint l'ordre de 1 que près de l'énergie de Planck, $1,2\times 10^{19}\mathrm{GeV}$, soit quelque $10^{15}$ fois au-delà des énergies des collisionneurs.

Ce qui vient ensuite

L'échange d'un seul photon redonne la loi de Coulomb (voir Loi de Coulomb), et les ondes électromagnétiques sont faites de photons (voir Ondes électromagnétiques). La formule de la portée et l'annihilation reposent sur $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ (voir Relativité restreinte) ; les phases qui engendrent les forces sont les amplitudes de la physique quantique (voir Dualité onde-corpuscule et Équation de Schrödinger et effet tunnel), et le lien entre symétrie et conservation est déjà à l'œuvre dans Le moment cinétique et sa conservation. La désintégration β décrite dans Radioactivité et demi-vie est un échange de W, et la masse qui intervient dans Fission, fusion et E = mc² est surtout l'énergie du champ de gluons et des quarks qui s'y déplacent. Enfin, la seule force que le modèle laisse de côté est décrite dans La gravitation, courbure de l'espace-temps.