Teilchen und Kräfte: das Standardmodell

Einsteiger

Beginne mit dem, was du vielleicht schon weißt: Ein Atom hat einen winzigen Kern aus Protonen, die positive Ladung tragen, und Neutronen, die keine tragen, dazu negative Elektronen in der Hülle. Lange sahen diese drei wie die letzten Bausteine aus. Das sind sie nicht: Jedes Proton und jedes Neutron ist ein kleiner Beutel aus drei noch kleineren Teilchen, den Quarks. Für gewöhnliche Materie reichen zwei Sorten, „up“ und „down“. Ein Proton ist up-up-down, ein Neutron up-down-down.

Kontrollfrage: Wenn sich ein Up-Quark im Proton in ein Down-Quark verwandelt, was wird aus dem Proton? (Ein Neutron. Das passiert tatsächlich in manchen radioaktiven Kernen.)

Was hält die Quarks zusammen? Gluonen, die Austauschteilchen der starken Kraft. In der Animation sind sie die Federn zwischen den zitternden Quarks. Wie Gummibänder ziehen sie umso stärker, je weiter man sie dehnt, deshalb lässt sich ein Quark nie allein herausziehen: Die aufgewendete Energie erzeugt stattdessen neue Quarks. Jedes Quark hat außerdem eine „Farbe“ (Rot, Grün oder Blau; nur ein Name, keine echte Farbe), und ein springendes Gluon trägt Farbe von einem Quark zum anderen, sodass immer alle drei Farben vorhanden sind.

Elektronen gehören zu einer anderen Familie, den Leptonen. Zwei Elektronen sind beide negativ, stoßen sich also ab, und zwar umso stärker, je näher sie sich kommen. Rechts in der Animation werden zwei Elektronen langsamer, tauschen an ihrem nächsten Punkt ein Photon, ein Lichtteilchen, aus und fliegen auseinander. So stellen sich Physiker den elektrischen Stoß vor.

Die Natur kennt nur vier Grundkräfte: Gravitation, Elektromagnetismus, die starke Kraft und die schwache Kraft, die manche radioaktiven Zerfälle antreibt. Und jedes Teilchen hat ein Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung; treffen sich beide, verschwinden sie in einem Lichtblitz.

Mittelstufe

Einheiten für das ganz Kleine

Teilchenphysiker messen Energie in Elektronenvolt: 1 eV ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen einer Spannung von einem Volt gewinnt, $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$, und 1 MeV sind eine Million davon. Weil $E=m{c}^2$ gilt, lässt sich eine Masse als Ruheenergie geteilt durch $c^2$ angeben: das Elektron mit 0,511 MeV/c², das Proton mit 938 MeV/c².

Längen in Atomkernen misst man in Femtometern, $1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$, und das Proton in der Animation ist etwa 1,7 fm breit. Eine Konstante verbindet Energie und Länge, $\hslash c\approx 197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$, mit $\hslash =h/2\pi$: Teilt man sie durch eine Energie, erhält man eine Strecke.

Zwölf Materieteilchen

Das Standardmodell ordnet die Materie in zwölf Fermionen, sechs Quarks und sechs Leptonen, in drei Generationen. Die erste (Up- und Down-Quark, Elektron und sein Neutrino) enthält alles, woraus Atome bestehen. Die zweite (Charm, Strange, Myon) und die dritte (Top, Bottom, Tau), jeweils mit einem Neutrino, wiederholen dieselben Ladungen mit schwereren Teilchen.

Quarks vom Up-Typ (u, c, t) tragen $+\frac{2}{3}e$, Quarks vom Down-Typ (d, s, b) tragen $-\frac{1}{3}e$, wobei $e$ die Elementarladung ist; Elektron, Myon und Tau tragen $-e$, die Neutrinos keine Ladung. So ergeben sich die beiden Nukleonen richtig:

• $p=\mathrm{uud}:Q=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=+1$
• $n=\mathrm{udd}:Q=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$

Quarks tragen eine zweite Art Ladung, die Farbe, mit drei Werten, die Rot, Grün und Blau heißen; die Namen sind nur Bezeichnungen. Allein existieren nur farbneutrale Kombinationen: Drei Quarks verschiedener Farben bilden ein Baryon wie das Proton, und ein Quark mit einem Antiquark der passenden Antifarbe ein Meson wie das Pion ${\pi }^{+}=\mathrm{u}\bar{\mathrm{d}}$ mit der Ladung $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=+1$. Zusammen bilden sie die Hadronen. Leptonen haben keine Farbe und spüren die starke Kraft nicht.

Kräfte als ausgetauschte Teilchen

In diesem Bild ist eine Kraft der Austausch eines Bosons, eines Botenteilchens. Das Photon $\gamma$ überträgt den Elektromagnetismus zwischen elektrischen Ladungen, acht Gluonen übertragen die starke Kraft zwischen Farbladungen, und die $W^{+}$, $W^{-}$ und $Z^0$ übertragen die schwache Kraft, bei der das W eine Sorte Quark oder Lepton in eine andere verwandelt und so den β-Zerfall antreibt. Das 2012 entdeckte Higgs-Boson ist eine Schwingung des Feldes, das den Teilchen ihre Masse gibt, kein Kraftüberträger. Die Gravitation gehört nicht zum Modell.

Ein Träger mit Masse kann nur eine begrenzte Strecke zurücklegen und erzeugt deshalb eine kurzreichweitige Kraft:
$R\approx \frac{\hslash }{mc}=\frac{\hslash c}{m{c}^2},\hslash c\approx 197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$
Das Photon ist masselos, daher reicht die elektrische Kraft beliebig weit und behält die Form des coulombschen Gesetzes mit dem Abstandsquadrat:
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}\text{(photon exchange)}$

Das W hat 80,4 GeV/c², also $R\approx 197,3/80400\mathrm{fm}\approx 0,0025\mathrm{fm}$. Gluonen sind ebenfalls masselos, doch die Farbe bleibt in Hadronen eingeschlossen; die Kraft zwischen benachbarten Nukleonen ist ein farbneutraler Rest, der vor allem von Pionen mit 140 MeV/c² getragen wird, also $R\approx 197,3/140\mathrm{fm}\approx 1,4\mathrm{fm}$.

Durchgerechnetes Beispiel: die Elektronen der Animation

Rechts in der Animation nähern sich zwei Elektronen frontal, bleiben für einen Moment 100 nm voneinander entfernt stehen und fliegen wieder zurück. Bei der größten Annäherung gilt mit $k=8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$:
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot (1,60\times 10^{-19}{)}^2}{(1,00\times 10^{-7}{)}^2}\approx 2,3\times 10^{-14}\mathrm{N}$
Das sind 23 Femtonewton, der Spitzenwert von 23,1 fN auf der $F$-Anzeige, wenn die $r$-Anzeige 100 nm zeigt.

Am Anfang sind die Elektronen 343 nm voneinander entfernt, also 3,43-mal weiter. Die Kraft ist deshalb $3,43^2\approx 11,8$-mal schwächer, $23,1/11,8\approx 1,96\mathrm{fN}$ (die Anzeige zeigt 2,0 fN). Die roten $F$-Pfeile sind maßstabsgetreu gezeichnet und wachsen auf dem Weg nach innen etwa auf das Zwölffache.

Bei der größten Annäherung sind beide Elektronen in Ruhe, die gesamte Energie des Paares ist also elektrische potentielle Energie, $k{e}^2/r=2,3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ oder 14,4 meV. Am Anfang sind davon noch 4,2 meV potentielle Energie und 10,2 meV kinetische: Jedes Elektron hat 5,1 meV, eine Geschwindigkeit von etwa 42 km/s. Die reale Begegnung dauert etwa 8 ps, die 9 s lange Schleife der Animation verlangsamt sie also um den Faktor $10^{12}$.

Durchgerechnetes Beispiel: Annihilation im PET-Scanner

Eine Positronen-Emissions-Tomografie (PET) nutzt einen Tracer, etwa Zucker mit Fluor-18, dessen Kern ein Proton in ein Neutron verwandelt, $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$; dabei bleiben Ladung ($+1=0+1+0$) und Leptonenzahl ($0=0-1+1$) erhalten. Das Positron kommt innerhalb eines Millimeters zum Stehen und trifft auf ein Elektron; beide sind nahezu in Ruhe, ihr Gesamtimpuls ist also fast null.

Ein einzelnes Photon kann die Energie nicht wegtragen, denn ein Photon hat immer den Impuls $E/c$. Zwei Photonen, die Rücken an Rücken auseinanderfliegen, können es, jedes mit der Ruheenergie eines Teilchens:
$e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma ,E_{\gamma }=m_e{c}^2=511\mathrm{keV}\text{(at rest)}$
Hier gilt $m_e{c}^2=9,109\times 10^{-31}\cdot (2,998\times 10^8{)}^2=8,187\times 10^{-14}\mathrm{J}$, das sind 511 keV, und die Wellenlänge ist $\lambda =hc/E=1239,8\mathrm{keV}\cdot \mathrm{pm}/511\mathrm{keV}\approx 2,43\mathrm{pm}$, also etwa 200 000-mal kürzer als grünes Licht.

Ein Ring aus Detektoren registriert beide Photonen innerhalb weniger Nanosekunden; die Annihilation liegt auf der Verbindungslinie der Treffer. Kommt ein Photon 200 ps früher an, liegt der Punkt $c\Delta t/2=3,00\times 10^8\cdot 2\times 10^{-10}/2=3\mathrm{cm}$ von der Mitte der Linie entfernt, zu diesem Detektor hin.

Das Raum-Zeit-Diagramm lesen

Oberhalb der Elektronen zeichnet die mittlere Stufe ein Raum-Zeit-Diagramm: Der Ort verläuft quer, die Zeit nach oben, und eine gestrichelte Linie markiert die Gegenwart. Jedes Elektron zieht eine violette Weltlinie, schräg, solange sie weit auseinander sind, senkrecht bei $t=4,5\mathrm{s}$, wenn beide 100 nm entfernt still stehen, danach abgebogen. Je steiler eine Weltlinie, desto langsamer das Teilchen.

Die goldene Schlangenlinie zu diesem Zeitpunkt ist das ausgetauschte Photon $\gamma$, das zwei Eckpunkte (die schwarzen Punkte) verbindet. Die glatten Weltlinien sind ein klassisches Bild; die Quantenbeschreibung summiert Wechselwirkungsdiagramme, wobei jeder Eckpunkt eine Emission oder Absorption ist.

Für die Farbe gilt beim Proton eine ähnliche Regel. Bei jedem Umlauf springen vier Gluonen, und immer wenn keines unterwegs ist, kann man ein rotes, ein grünes und ein blaues Quark zählen.

Häufige Fehler

• Die Masse des Protons ist nicht die Summe seiner Quarkmassen: Sie ergeben zusammen etwa 9 MeV/c², das Proton hat 938. Etwa 99 % stammen aus der Energie des Gluonenfeldes und der Bewegung der Quarks, über $E=m{c}^2$.
• Die schwache Kraft hat eine kurze Reichweite, weil ihre Träger schwer sind ($R\approx 0,0025\mathrm{fm}$ für das W), nicht weil sie die schwächste wäre: Die Gravitation ist viel schwächer und reicht trotzdem beliebig weit.
• Ein Positron und ein Elektron in Ruhe können nicht zu einem einzigen Photon annihilieren: Ein Photon mit 1022 keV hätte den Impuls $E/c$, der Gesamtimpuls ist aber null. Zwei gegenläufige Photonen zu je 511 keV erfüllen beide Bedingungen.
• Neutral heißt nicht, dass man sein eigenes Antiteilchen ist: Das Antineutron hat die Baryonenzahl $-1$ und annihiliert mit einem Neutron, während das Photon und das ${\pi }^0$ ihre eigenen Antiteilchen sind.

Wo man ihr begegnet

PET-Scanner nutzen jeden Tag Antimaterie, und kosmische Myonen, schwere Elektronen, durchqueren auf Meereshöhe etwa einmal pro Minute jeden Quadratzentimeter. Die Sonne leuchtet, weil die schwache Kraft in ihrem Kern Protonen in Neutronen verwandelt (siehe Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²), und die Radiokohlenstoffdatierung zählt β-Zerfälle von Kohlenstoff-14 (siehe Radioaktivität und Halbwertszeit).

Beschleuniger lenken Teilchen mit Magneten auf Ringbahnen und nutzen dabei die Kreisbewegung aus „Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen“:
$R=\frac{p}{eB}\text{(circular accelerator)}$
Ein Impuls von 1 GeV/c entspricht $BR=3,336\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$. Protonen mit 7000 GeV/c haben in den 8,33 T starken Ablenkmagneten des Large Hadron Collider deshalb eine Kreisbahn mit dem Radius $R=7000\cdot 3,336/8,33\mathrm{m}\approx 2,80\mathrm{km}$.

Fortgeschritten

Reichweite einer Kraft und Masse des Trägers

Legende

$\varphi$	Feld des Trägers um die Quelle; die vertikale Skala ist willkürlich.
$r$	Abstand von der Quelle, in Einheiten von $R$ gezeichnet.	$\mathrm{m}$
$R$	Reichweite der Kraft, $R=\hslash /(mc)$; bei $r=R$ liegt die durchgezogene Kurve bei $1/e$ der gestrichelten.	$\mathrm{m}$
$m$	Masse des Trägers: null für die gestrichelte Kurve, positiv für die durchgezogene.	$\mathrm{kg}$

Warum reicht die elektrische Kraft quer durch das Universum, während die Kernkraft nach etwa einem Femtometer abrupt endet? Dieser Abschnitt zeigt, dass die Antwort die Masse des Teilchens ist, das die Kraft trägt, und verwandelt dann die gemessene Reichweite der Kernkraft in eine Vorhersage für die Masse eines Teilchens.

Abbildung 1 zeigt das Feld $\varphi$, das eine ruhende Quelle im Abstand $r$ erzeugt, für zwei Arten von Trägern. Die gestrichelte Kurve ($m=0$) gilt für einen masselosen Träger. Sie ist coulombsch, $1/r$, enthält keine Längenskala und bricht daher nie ab. Die durchgezogene Kurve ($m>0$) gilt für einen Träger der Masse $m$. Sie ist die gestrichelte Kurve multipliziert mit einem zusätzlichen Faktor, der nur ganz nahe an der Quelle etwa 1 ist und mit dem Abstand schrumpft, sodass die durchgezogene Kurve immer weiter unter die gestrichelte sinkt. Schau auf die beiden Punkte über dem Ende der Klammer $R$: Dort ist die durchgezogene Kurve auf $1/e\approx 0,37$ der gestrichelten abgesunken. Bei $2R$ beträgt das Verhältnis 0,14, bei $3R$ 0,05, und jenseits weniger $R$ ist das Feld praktisch verschwunden. Die Länge $R$ ist die Reichweite der Kraft; der Rest des Abschnitts zeigt, was sie bestimmt.

Der Gegensatz in der Natur ist auffällig. Die Kernkraft zwischen Protonen und Neutronen klingt innerhalb von etwa 1,4 fm ab, während die elektrische Kraft beliebig weit reicht. 1935 machte Hideki Yukawa aus diesem Gegensatz eine Vorhersage. Stell dir ein ruhendes Nukleon vor, das einen Träger der Masse $m$ aussendet. Das Erzeugen des Trägers verletzt die Energieerhaltung um $m{c}^2$. Die Energie-Zeit-Unschärferelation toleriert eine solche Schuld nur für eine Zeit von etwa $\hslash /(m{c}^2)$, wobei $\hslash$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ist; dann muss der Träger wieder absorbiert werden. Selbst mit nahezu Lichtgeschwindigkeit legt er höchstens $c$ mal diese Zeit zurück, also ist die Reichweite
$R\approx \frac{\hslash }{mc}=\frac{\hslash c}{m{c}^2},\hslash c\approx 197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$
Je schwerer der Träger, desto kürzer die Leihfrist und desto kürzer die Reichweite. Ein masseloser Träger kann beliebig lange ausgeliehen werden, seine Reichweite ist unendlich.

Dasselbe Ergebnis folgt exakt, wenn man Relativität und Quantenmechanik kombiniert. Ein freies Quant der Masse $m$ gehorcht $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. In der Quantenmechanik wirken Energie und Impuls auf eine Welle als Operatoren $i\hslash \partial /\partial t$ und $-i\hslash \nabla$. Setzt man sie anstelle von $E$ und $p$ ein und teilt durch ${\hslash }^2{c}^2$, wird die Energiebeziehung zu einer Wellengleichung für das Feld $\varphi$:
$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-{\nabla }^2\varphi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0$
Die ersten beiden Terme bilden die gewöhnliche Wellengleichung, die für sich allein Wellen beschreibt, die sich mit $c$ ausbreiten. Der dritte ist der Massenterm, die einzige Stelle, an der $m$ auftritt.

Um eine ruhende Punktquelle ändert sich nichts mit der Zeit, daher entfällt der erste Term, und die Gleichung wird zu ${\nabla }^2\varphi =\varphi /R^2$ mit $R=\hslash /(mc)$. Um sie außerhalb der Quelle zu lösen, setze $\varphi =u/r$: Für ein kugelsymmetrisches Feld wird daraus $d^{2}u/d{r}^2=u/R^2$, dessen Lösung, die bei großem $r$ verschwindet, $u=e^{-r/R}$ ist. Also
$\varphi (r)\propto \frac{e^{-r/R}}{r},R=\frac{\hslash }{mc}$
Das sind genau die beiden Kurven aus Abbildung 1. Mit $m=0$ ist die Reichweite unendlich, die Exponentialfunktion gleich 1 und $\varphi \propto 1/r$: die gestrichelte Coulomb-Kurve. Mit Masse ist $e^{-r/R}$ der zusätzliche Faktor der durchgezogenen Kurve, und er lässt das Feld jenseits weniger $R$ verschwinden.

Dreh nun die Argumentation um. Eine Reichweite von 1,4 fm verlangt $m{c}^2=\hslash c/R=197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}/1,4\mathrm{fm}\approx 140\mathrm{MeV}$, einen Träger von etwa 140 MeV/c². Das 1947 gefundene Pion hat genau diese Masse. Dutzende weitere stark wechselwirkende Teilchen, die Hadronen, folgten, und später erklärten Quarks ihre regelmäßigen Familien. Die Tabelle in der Expertenstufe der Animation zeigt die Ordnung, die sich herausschälte: drei Generationen von Quarks und Leptonen mit identischen Ladungen, die sich nur in der Masse unterscheiden, und die Kraftträger in einer eigenen Spalte.

Symmetrie und der Ursprung der Kräfte

Warum gerade diese Träger, und warum ist das Photon masselos? Die moderne Antwort lautet: Symmetrie. Die Kräfte werden nicht von Hand in die Theorie eingefügt, sondern von den Symmetrien ihrer Gesetze verlangt.

Der Zusammenhang zwischen Symmetrie und Erhaltung ist älter. Eine Symmetrie ist eine Veränderung, die die Gesetze unverändert lässt. Sind die Gesetze an jedem Ort gleich, ist der Impuls erhalten; sind sie zu jeder Zeit gleich, bleibt die Energie erhalten; sind sie in jeder Richtung gleich, bleibt der Drehimpuls erhalten. Emmy Noether bewies 1918, dass dies allgemein gilt: Jede kontinuierliche Symmetrie der Gesetze bringt ihre eigene Erhaltungsgröße mit sich.

Die Quantenmechanik fügt eine Symmetrie hinzu, die es klassisch nicht gibt. Ein Teilchen wird durch eine komplexe Amplitude $\psi$ beschrieben, und nur die Wahrscheinlichkeit $|\psi {|}^2$ wird je gemessen. Multipliziert man jede Amplitude mit demselben Phasenfaktor $e^{i\delta }$, ändert sich also nichts Beobachtbares, da $|e^{i\delta }\psi {|}^2=|\psi {|}^2$. Jeder Winkel $\delta$ genügt, es handelt sich also um eine kontinuierliche Symmetrie, und die Erhaltungsgröße, die Noethers Satz ihr zuordnet, ist die elektrische Ladung.

Verlange nun mehr und lass die Phase $\delta (x,t)$ von Punkt zu Punkt und von Moment zu Moment verschieden sein. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert, die Wellengleichung nicht. Sie enthält Ableitungen von $\psi$, und die Ableitung von $e^{i\delta }\psi$ bekommt einen zusätzlichen Term mit den Ableitungen von $\delta$. Die Gesetze können diese lokale Symmetrie nur bewahren, wenn ein neues Feld hinzugefügt wird, dessen eigene Änderung diese zusätzlichen Terme genau aufhebt. Dieses Feld ist das elektromagnetische Potential, und sein Quant ist das Photon. Ein Massenterm für dieses Feld würde die Symmetrie selbst brechen, also muss das Photon masselos sein; laut dem vorigen Abschnitt ist das der Grund, warum die elektrische Kraft unendliche Reichweite hat.

Dasselbe Rezept, auf reichere Symmetrien angewandt, erzeugt die anderen Träger. Die Farbsymmetrie, $\mathrm{SU}(3)$ genannt, weil sie die drei Farben mischt, braucht $3^2-1=8$ Felder: die acht Gluonen. Die elektroschwache Symmetrie $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$ braucht $3+1=4$ Felder, die als $W^{+}$, $W^{-}$, $Z^0$ und das Photon erscheinen.

Verborgene Symmetrie: das Higgs-Feld

Legende

$V$	Potentielle Energiedichte des Higgs-Feldes.	$J/{\mathrm{m}}^3$
$\varphi$	Wert des Higgs-Feldes (eine Komponente), als Energie in GeV angegeben, wie in der Teilchenphysik üblich.	$\mathrm{J}$
$v$	Wert des Feldes an den beiden tiefsten Punkten, $\varphi =\pm v$; $v\approx 246\mathrm{GeV}$.	$\mathrm{J}$

Der vorige Abschnitt lässt ein Rätsel offen. Dieselbe Symmetrie, die das Photon masselos hält, verbietet auch Massenterme für W und Z, doch sie sind schwer, etwa 80 und 91 GeV/c². Der Ausweg: Die Gesetze behalten die Symmetrie, aber das Vakuum, der Zustand niedrigster Energie, tut es nicht. Abbildung 2 zeigt, wie das geschehen kann.

Abbildung 2 ist ein Querschnitt der potentiellen Energiedichte $V$ des Higgs-Feldes, aufgetragen gegen den Feldwert $\varphi$ (hier ist $\varphi$ das Higgs-Feld, nicht das Feld aus Abbildung 1). Die Kurve ist symmetrisch: Sie behandelt $+\varphi$ und $-\varphi$ gleich. Doch ihr symmetrischer Punkt, $\varphi =0$, ist eine Bergkuppe, markiert durch die helle Kugel. Jede kleine Störung lässt das Feld hinabrollen, entlang des gestrichelten Wegs, bis es in einer der beiden Mulden zur Ruhe kommt, bei $\varphi =+v$ (die dunkle Kugel) oder bei $\varphi =-v$. Dreht man die Kurve nun um die vertikale Achse, entsteht ein Mexikanerhut, dessen Mulde ein ganzer Kreis gleich tiefer Punkte ist. Das Feld muss sich auf einen davon festlegen, der gewählte Zustand ist also weniger symmetrisch als die Gesetze, die jeden davon erlauben. Der Abstand der Mulde von null ist der Wert $v\approx 246\mathrm{GeV}$, und das Feld hat diesen Wert im ganzen Raum.

Teilchen, die sich durch diesen überall vorhandenen Hintergrund bewegen, wechselwirken mit ihm, und diese Wechselwirkung messen wir als ihre Masse. Das W erhält $m_W{c}^2=gv/2\approx 80\mathrm{GeV}$, wobei $g\approx 0,65$ die schwache Kopplung ist. Jedes Fermion erhält $m_f{c}^2=y_{f}v/\sqrt{2}$, bestimmt durch seine eigene Kopplung $y_f$ an das Feld: Das Top-Quark hat $y_t\approx 1$, das Elektron nur $y_e\approx 3\times 10^{-6}$, weshalb sich ihre Massen um einen Faktor von etwa 300 000 unterscheiden. Das Photon gehört zu der einen Kombination elektroschwacher Felder, die das Vakuum ungebrochen lässt, also bleibt es masselos. Schließlich kann das Feld um seinen Ruhewert $v$ schwingen, wie ein Ball, der in der Mulde wackelt. Das Quant dieser Schwingung ist das Higgs-Boson, 2012 bei 125 GeV/c² gefunden.

Spiegelsymmetrie und CP

Nicht jede Symmetrie der alltäglichen Physik gilt für die schwache Kraft. Die Spiegelung schlägt fehl, und ihr Versagen, 1957 gefunden, war eine Überraschung.

In jenem Jahr wurden Kobalt-60-Kerne auf eine sehr tiefe Temperatur abgekühlt und in einem Magnetfeld ausgerichtet, sodass ihre Spins alle in dieselbe Richtung zeigten. Sie sendeten β-Elektronen aus, meist in die Richtung entgegen dem Kernspin. Stell dir nun das Experiment in einem Spiegel senkrecht zur Spinachse gesehen vor. Die Kerne drehen sich in Ebenen parallel zum Spiegel, also bleibt ihr Drehsinn und damit ihr Spin unverändert; die Elektronen, die entlang der Achse fliegen, kehren sich aber um. Das Spiegelbild zeigte daher Elektronen, die meist entlang des Spins austreten, was nie geschieht. Die schwache Kraft kann einen Prozess von seinem Spiegelbild unterscheiden.

Kombiniert man den Spiegel mit dem Austausch von Materie und Antimaterie, einer Operation namens CP, wird die Symmetrie fast wiederhergestellt, aber nicht ganz: Neutrale K- und B-Mesonen brechen sie, Kaonen um etwa zwei Promille und B-Mesonen in manchen Zerfällen um einige zehn Prozent.

Manche Erhaltungssätze dagegen hat man nie versagen sehen. Elektrische Ladung, Baryonenzahl $B$ ($+\frac{1}{3}$ für jedes Quark, also $+1$ für ein Proton) und Leptonenzahl $L$ ($+1$ für jedes Lepton, $-1$ für jedes Antilepton) gelten in jeder beobachteten Reaktion. Der Zerfall $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$ zum Beispiel würde die Ladung erhalten, aber $B$ von 1 auf 0 und $L$ von 0 auf $-1$ ändern; Suchen zeigen, dass Protonen in diesem Kanal länger als $10^{34}$ Jahre leben, weit länger als das Alter des Universums.

Impulsübertrag und Kopplungskonstante

Legende

$F$	Elektrische Kraft zwischen den beiden Elektronen; sie ist abstoßend.	$\mathrm{N}$
$t$	Zeit in der Animation, etwa $10^{12}$-mal verlangsamt.	$\mathrm{s}$
$t_c$	Moment der größten Annäherung, in der Mitte des Ablaufs; die Kurve ist symmetrisch darum.	$\mathrm{s}$
$F_{\max }$	Größte Kraft, bei der größten Annäherung erreicht: 23,1 fN.	$\mathrm{N}$
$\Delta t$	Breite des Rechtecks mit der Höhe $F_{\max }$ und derselben Fläche wie die Kurve, $\Delta t=2p/F_{\max }$: wie lange der Stoß dauert.	$\mathrm{s}$
$p$	Impuls eines Elektrons zu Beginn des Ablaufs; die schraffierte Fläche ist $2p$.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

Wie stößt der Austausch eines Teilchens zwei andere auseinander? Dieser Abschnitt verfolgt eine konkrete Kollision, die zwischen den beiden Elektronen der Animation, und berechnet, wie viel Impuls zwischen ihnen übergeht und wie lange der Stoß dauert. Danach nutzt er das Austauschbild, um zu erklären, warum elektromagnetische Rechnungen so präzise sein können.

Abbildung 3 trägt die Kraft $F$ zwischen den beiden Elektronen gegen die Zeit $t$ auf; sie ist der rote Graph in der Expertenstufe der Animation. Drei Merkmale lohnen die Ablesung. Erstens ist die Kurve symmetrisch um $t_c$, den Moment der größten Annäherung, wenn die Elektronen 100 nm voneinander entfernt sind, und erreicht dort ihr Maximum $F_{\max }=23,1\mathrm{fN}$. Zweitens sind die Elektronen zu Beginn und am Ende des Ablaufs 343 nm voneinander entfernt und stoßen sich immer noch mit 1,96 fN ab; die Kurve fällt an ihren Rändern also nicht auf null. Drittens ist die schraffierte Fläche unter der Kurve, mit $2p$ bezeichnet, der Kraftstoß: der gesamte Impuls, den die Kraft übergibt.

Warum ist diese Fläche $2p$? Jedes Elektron beginnt mit dem Impuls $p$ auf das andere zu. Die Abstoßung bremst es bei $t_c$ bis zum Stillstand und treibt es dann zurück, sodass es mit dem Impuls $p$ in die Gegenrichtung endet. Sein Impuls hat sich also um $2p$ geändert, und nach dem zweiten Newtonschen Gesetz, $F=dp/dt$, ist die Impulsänderung die Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm:
$\int Fdt=\Delta p=2p$
Das gestrichelte Rechteck verwandelt diese Fläche in eine Dauer. Es hat dieselbe Fläche wie die Kurve und die Höhe $F_{\max }$, daher ist seine Breite $\Delta t=2p/F_{\max }$. Eine konstante Kraft $F_{\max }$ über die Dauer $\Delta t$ würde denselben Impuls übertragen, also misst $\Delta t$, wie lange die Kollision dauert: Es ist die Breite des Buckels.

Nun die Zahlen. Bei der größten Annäherung sind beide Elektronen in Ruhe. Beim Herausbewegen von 100 nm auf 343 nm sinkt ihre elektrische potentielle Energie um 10,2 meV, und die beiden gleichen Elektronen teilen sie gleichmäßig, sodass jedes bei 343 nm die kinetische Energie $K=5,1\mathrm{meV}$ hat. Mit der Elektronenmasse $m_e$ ist sein Impuls $p=\sqrt{2m_{e}K}=3,9\times 10^{-26}\mathrm{kg}\cdot m/s$, und die Fläche beträgt $2p=7,7\times 10^{-26}\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$. Geteilt durch die Spitzenkraft ergibt sich $\Delta t\approx 3,3\mathrm{ps}$, die reale Breite des Buckels. Die Animation verlangsamt die Zeit um einen Faktor von etwa $1,1\times 10^{12}$ (sie zeigt 8,2 ps in 9 s), was den Buckel auf dem Bildschirm auf 3,7 s dehnt.

Das $2p$ wird von einem Photon übertragen, aber einem ungewöhnlichen. Im Schwerpunktsystem behält jedes Elektron die Energie, mit der es begann, daher überträgt das Photon Impuls, aber keine Energie. Ein freies Photon hat immer $E=pc$, ein Photon mit Impuls und ohne Energie kann also nicht allein existieren: Es ist virtuell und nur für die kurze Zeit zwischen seiner Emission und seiner Absorption erlaubt. Die Elektronen als klassische Bahnen zu behandeln ist trotzdem vertretbar, denn ihre reduzierte Wellenlänge $\hslash /p\approx 2,7\mathrm{nm}$ am Anfang liegt weit unter den 100 nm der größten Annäherung.

Die vollständige Quantenbeschreibung ist eine Summe von Termen, jeder als Diagramm gezeichnet, in dem Teilchenlinien an Punkten namens Vertizes zusammentreffen. Ein ausgetauschtes Photon ergibt den Term niedrigster Ordnung. Jedes weitere Photon fügt zwei Vertizes hinzu, und jeder Vertex bringt einen Faktor der Elementarladung $e$ mit. Zwei zusätzliche Faktoren $e$ ergeben $e^2$, das in dimensionsloser Form mit der Permittivität des Vakuums ${\epsilon }_0$ die Feinstrukturkonstante ist
$\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}\approx \frac{1}{137}$
Jedes zusätzliche Photon unterdrückt seinen Term also um etwa $1/137$, und so liefern wenige Terme das magnetische Moment des Elektrons auf einen Teil in $10^{12}$ genau. Die anderen Kräfte haben Kopplungen sehr unterschiedlicher Größe: Die starke Kopplung nahe 1 GeV liegt in der Größenordnung von 1, sodass diese Entwicklung dort versagt; die schwache Kopplung bei Kernenergien beträgt etwa $10^{-5}$; und die Gravitation zwischen zwei Protonen ist mit $6\times 10^{-39}$ winzig.

Farbe, Einschluss und asymptotische Freiheit

Legende

$V$	Potentielle Energie des Quark-Antiquark-Paares (Cornell-Potential).	$\mathrm{J}$
$r$	Abstand von Quark und Antiquark.	$\mathrm{m}$
${\alpha }_s$	Starke Kopplung; bestimmt die Tiefe des coulombartigen Terms.
$\sigma$	Stringspannung: die Steigung des geraden Terms $\sigma r$.	$J/m$
$r_1$	Abstand, bei dem die beiden Terme gleich groß sind und sich aufheben, sodass $V=0$ ist; etwa 0,3 fm.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Ein Abstand von 1 fm, zum Vergleich mit $r_1$.	$\mathrm{m}$
$\Delta V$	Anstieg von $V$ von $r_1$ auf $r_2$: etwa 0,8 GeV.	$\mathrm{J}$

Kein Quark wurde je allein gesehen, und dieser Abschnitt erklärt, warum. Die Kraft zwischen einem Quark und einem Antiquark ähnelt bei kleinen Abständen der elektrischen Kraft, bei großen Abständen aber hört sie ganz auf, schwächer zu werden.

Abbildung 4 zeigt die potentielle Energie $V$ eines Quark-Antiquark-Paares gegen ihren Abstand $r$. Die durchgezogene Kurve ist das Cornell-Potential, eine einfache Formel, die die Massen schwerer Quark-Antiquark-Paare gut beschreibt:
$V(r)=-\frac{4}{3}\frac{{\alpha }_s\hslash c}{r}+\sigma r$
Ihre beiden Terme sind gestrichelt gezeichnet. Der erste, mit ${\alpha }_s$ bezeichnet (gestrichelt blau), ist coulombartig: Er verläuft wie $-1/r$, seine Tiefe wird durch die starke Kopplung ${\alpha }_s$ bestimmt, und er dominiert bei kleinen Abständen, indem er $V$ steil nach unten zieht. Der zweite, mit $\sigma$ bezeichnet (gestrichelt golden), ist eine Gerade, deren Steigung $\sigma$ Stringspannung heißt; er dominiert bei großen Abständen und steigt ohne Grenze weiter an. Setzt man die Beträge der beiden Terme gleich, $\frac{4}{3}{\alpha }_s\hslash c/r_1=\sigma r_1$, erhält man den Abstand, bei dem sie sich ausgleichen:
$r_1=\sqrt{\frac{4{\alpha }_s\hslash c}{3\sigma }}\approx 0,3\mathrm{fm}$
für ${\alpha }_s=0,3$ und $\sigma \approx 0,9GeV/fm$. Da die Terme entgegengesetzte Vorzeichen haben, heben sie sich dort auf, und die durchgezogene Kurve schneidet $V=0$ bei $r_1$.

Warum sollte die Energie proportional zum Abstand wachsen? Gluonen tragen im Gegensatz zu Photonen die Ladung ihrer eigenen Kraft, die Farbe, daher wechselwirken sie miteinander. Elektrische Feldlinien zwischen zwei Ladungen breiten sich über den ganzen Raum aus. Die Farbfeldlinien zwischen einem Quark und einem Antiquark dagegen ziehen einander zu einer schmalen Röhre zusammen, einem String, mit fester Energie pro Länge. Das Dehnen der Röhre um eine Länge $\Delta r$ kostet die Energie $\sigma \Delta r$, und das ist der lineare Term.

Bei großen Abständen stabilisiert sich also die anziehende Kraft, deren Betrag $dV/dr$ ist, auf den konstanten Wert $\sigma$. In alltäglichen Einheiten ist $\sigma =0,9\times 10^9\cdot 1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}/10^{-15}\mathrm{m}\approx 1,4\times 10^5\mathrm{N}$, das Gewicht von 15 Tonnen, das an einem einzigen Quark zieht.

Das Auseinanderziehen des Paares kostet also immer mehr Energie. In Abbildung 4 erhöht das Dehnen von $r_1$ auf $r_2=1\mathrm{fm}$ den Wert $V$ um $\Delta V$, etwa 0,8 GeV, den vertikalen Balken. Das reicht bereits, um ein neues leichtes Quark-Antiquark-Paar zu erzeugen. Der String zieht also kein Quark frei: Er reißt, und das neue Quark und Antiquark an den gebrochenen Enden verbinden sich mit den alten zu zwei farbneutralen Hadronen. Ein Quark, das hart aus einem Proton geschlagen wird, zeigt sich in einem Detektor nicht als freies Quark, sondern als schmaler Jet aus Hadronen.

Die starke Kopplung ändert sich auch mit dem Abstand, und wiederum ist die Selbstwechselwirkung der Gluonen die Ursache: Sie lässt ${\alpha }_s$ bei kleinen Abständen schrumpfen. Höhere Stoßenergien untersuchen kürzere Abstände; ${\alpha }_s$ beträgt bei der Z-Masse von 91 GeV etwa 0,12, bei 2 GeV etwa 0,3 und bei etwa 1 GeV größenordnungsmäßig 1. Zwei Verhaltensweisen folgen daraus. Stark angestoßene Quarks, die bei kleinen Abständen untersucht werden, verhalten sich fast wie freie Teilchen: das ist die asymptotische Freiheit. Langsame Quarks bleiben bei großen Abständen gebunden: das ist der Einschluss. Die Federn in der Animation sind eine harmonische Karikatur des Strings: Ihre Zugkraft wächst mit der Dehnung, während die des echten Strings konstant bleibt; trotzdem halten beide die Quarks im Inneren.

Übungsaufgabe: Wie schwer könnte das Photon sein?

Der erste Abschnitt hat gezeigt, dass nur ein masseloser Träger eine unendliche Reichweite ergibt. Wie sicher sind wir, dass das Photon wirklich masselos ist? Diese Aufgabe zeigt, was eine kleine Photonenmasse an der Animation verändern würde und welche Messungen das erlauben.

Angenommen, das Photon hätte eine kleine Masse $m_{\gamma }$. Nach dem ersten Abschnitt bekäme die potentielle Energie der Elektronen den Faktor $e^{-r/R}$ und wäre $k{e}^2{e}^{-r/R}/r$, mit der Coulomb-Konstante $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$ und $R=\hslash /(m_{\gamma }c)$. Die Kraft ist die negative Ableitung dieser Energie nach $r$. Die Ableitung von $1/r$ ergibt das vertraute $1/r^2$, und die Ableitung von $e^{-r/R}$ fügt einen zweiten Term hinzu, $r/R$ mal dem ersten:
$F=\frac{k{e}^2}{r^2}{e}^{-r/R}\left(1+\frac{r}{R}\right)$
Welche Masse würde den exponentiellen Abfall in der Animation sichtbar machen, wenn $R$ gleich dem Abstand von 100 nm bei größter Annäherung ist?
$m_{\gamma }{c}^2=\frac{\hslash c}{R}=\frac{197,3\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}}{10^8\mathrm{fm}}\approx 2\mathrm{eV}$
Bei denselben Abständen würde die Kraft bei 100 nm, wo $r/R=1$ ist, mit $e^{-1}(1+1)=2/e=0,74$ multipliziert, und bei 343 nm, wo $r/R=3,43$ ist, mit $e^{-3,43}(1+3,43)=4,43e^{-3,43}=0,14$. Die Anzeigen würden etwa 17,0 fN und 0,28 fN statt 23,1 fN und 1,96 fN zeigen, und ihr Verhältnis würde von 11,8 auf etwa 60 wachsen.

Messungen des Magnetfeldes, das der Sonnenwind mitführt, setzen die Masse des Photons unter etwa $10^{-18}\mathrm{eV}/c^2$, sodass
$R>\frac{197,3\times 10^6\mathrm{eV}\cdot \mathrm{fm}}{10^{-18}\mathrm{eV}}\approx 2\times 10^{26}\mathrm{fm}=2\times 10^{11}\mathrm{m}$
mehr als die Entfernung von der Erde zur Sonne. Das Gesetz mit dem Abstandsquadrat gilt daher mindestens bis zur Erdbahn.

Ein schwerer Träger ist der umgekehrte Fall. Für das $Z^0$ mit 91,2 GeV/c² gilt $R=197,3/91200\mathrm{fm}=2,2\times 10^{-18}\mathrm{m}$. Bei den 100 nm der Elektronen ist seine Kraft um den Faktor $e^{-4,6\times 10^{10}}$ unterdrückt, und sie wird nur bei Stößen nahe 100 GeV so stark wie die elektromagnetische Kraft.

Grenzen des Standardmodells

Die Reichweite des Modells ist beeindruckend. Stöße mit einigen TeV untersuchen Abstände von etwa $\hslash c/E\approx 10^{-19}\mathrm{m}$, und bei dieser Auflösung hat kein Quark und kein Lepton irgendeine Ausdehnung gezeigt. Doch das Modell benötigt rund zwei Dutzend gemessene Eingaben, Massen, Kopplungen und Mischungswinkel, die es nicht vorhersagen kann, und es lässt mindestens vier Dinge aus.

• Neutrinomassen: Oszillationen, bei denen sich Neutrinos auf ihrem Weg ineinander umwandeln, zeigen, dass Neutrinos eine Masse haben, unter etwa 0,5 eV/c², weniger als ein Millionstel der Elektronenmasse; das Modell hat keine.
• Dunkle Materie: Die Bewegungen von Galaxien und die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung verlangen etwa fünfmal mehr Materie, als in Atomen steckt.
• Das Ungleichgewicht zwischen Materie und Antimaterie im Universum ist weit größer, als die CP-Verletzung des Modells erzeugen kann.
• Gravitation: Ihre Kopplung zwischen zwei Teilchen der Energie $E$, $G{E}^2/(\hslash c^5)$, erreicht die Größenordnung 1 erst nahe der Planck-Energie, $1,2\times 10^{19}\mathrm{GeV}$, etwa $10^{15}$-mal oberhalb der Energien der Beschleuniger.

Wohin das führt

Das coulombsche Gesetz ist der Austausch eines einzelnen Photons, und elektromagnetische Wellen bestehen aus Photonen. Die Reichweitenformel und die Annihilation beruhen auf $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ aus der Speziellen Relativitätstheorie; die Phasen, die Kräfte erzeugen, sind die Amplituden aus Welle-Teilchen-Dualismus und Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt; und der Zusammenhang zwischen Symmetrie und Erhaltung wirkt bereits in Drehimpuls und Drehimpulserhaltung. Der β-Zerfall in Radioaktivität und Halbwertszeit ist ein W-Austausch, und die Masse hinter Kernspaltung, Kernfusion und E = mc² ist größtenteils die Energie des Gluonenfeldes und der darin bewegten Quarks. Gravitation als gekrümmte Raumzeit beschreibt die eine Kraft, die das Modell auslässt.