Fisión, fusión y E = mc²

Principiante

Paso 1. En el centro de cada átomo hay un núcleo diminuto, un grupo apretado de protones y neutrones. El número de protones indica el elemento: 92 es uranio, 1 es hidrógeno. Las reacciones químicas solo mueven los electrones de fuera; para cambiar un núcleo hace falta una reacción nuclear.

Paso 2. La fisión consiste en partir. En la animación, un neutrón azul choca contra un núcleo dorado de uranio-235. El núcleo lo absorbe, tiembla y se rompe en dos núcleos más pequeños, con un destello de energía y dos o tres neutrones nuevos. Los dos trozos salen disparados en sentidos opuestos.

Paso 3. Cada neutrón nuevo puede partir otro núcleo de uranio: es una reacción en cadena. Sigue las líneas discontinuas, que se ramifican: 1, 2, 4… En una central nuclear, las barras de control absorben los neutrones sobrantes para que cada fisión provoque solo una más.

Paso 4. La fusión consiste en unir. A la derecha, dos núcleos de hidrógeno pesado se lanzan uno contra otro. Ambos son positivos, así que se repelen y frenan; solo un choque a una velocidad enorme, a millones de grados, les permite unirse en helio y expulsar un neutrón rápido. El Sol también brilla por fusión: une hidrógeno ordinario para formar helio.

Paso 5. La energía nunca sale de la nada; solo cambia de forma. Entonces, ¿de dónde viene? Pesa todo con mucha precisión: tras cada reacción, las piezas son un poco más ligeras. La masa que falta se ha convertido en energía, $E=m{c}^2$. Como la velocidad de la luz $c$ es enorme, una pizca de masa da muchísima energía: un kilogramo de uranio-235 fisionado por completo libera tanto calor como quemar unas 2700 toneladas de carbón.

Compruébalo: ¿el núcleo de helio y el neutrón pesan más o menos que los dos núcleos de hidrógeno pesado de los que salieron? (Menos: la diferencia se liberó como energía.)

Intermedio

Qué medimos: núcleos, masas y energías

Un núcleo se describe con dos números enteros: el número de protones $Z$, que fija el elemento, y el número de neutrones $N$. Su suma $A=Z+N$, el número másico, cuenta los nucleones. El uranio-235, ${}^{235}\mathrm{U}$, tiene $Z=92$ protones y $N=143$ neutrones. Los isótopos comparten $Z$ pero difieren en $N$: el deuterio, ${}^2\mathrm{H}$, y el tritio, ${}^3\mathrm{H}$, son hidrógeno con uno y dos neutrones.

Las masas nucleares se dan en unidades de masa atómica, $1\mathrm{u}=1,6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, la doceava parte de un átomo de carbono-12. Las energías nucleares se dan en megaelectronvoltios, $1\mathrm{MeV}=1,602\times 10^{-13}\mathrm{J}$, un millón de electronvoltios, frente a los pocos electronvoltios de un enlace químico. Las masas de las tablas son las de átomos neutros; en estas reacciones los electrones se cancelan.

Defecto de masa: de dónde sale la energía

¿De dónde sale la energía de una reacción? La relatividad especial responde: un cuerpo en reposo guarda la energía en reposo
$E=m{c}^2$
así que un sistema que cede energía se vuelve más ligero en esa energía dividida entre $c^2$. Como $c^2=8,99\times 10^{16}J/kg$, una pérdida minúscula de masa equivale a una energía enorme.

El defecto de masa $\Delta m$ es la masa total de los reactivos menos la de los productos, y la energía liberada, el valor $Q$, es
$Q=\Delta m{c}^2,1\mathrm{u}\cdot c^2=931,5\mathrm{MeV}$
Un $Q$ negativo significa que la reacción necesita energía para producirse.

No se destruye nada: los nucleones y la carga se conservan ($1+235=141+92+3$ y $92=56+36$ en la fisión), pero los nucleones quedan más fuertemente ligados. La energía necesaria para separar un núcleo en protones y neutrones libres es su energía de enlace; por nucleón, sube de 1,1 MeV en el deuterio a unos 8,8 MeV cerca del hierro-56 y luego baja a 7,6 MeV en el uranio. La fisión y la fusión acercan los nucleones a esa cima, y el enlace adicional sale en forma de energía.

Las ecuaciones básicas

Además de $Q=\Delta m{c}^2$, cuatro relaciones hacen casi todo el trabajo: las dos reacciones de la animación, el crecimiento de una reacción en cadena y la energía cinética de un cuerpo de masa $m$ y cantidad de movimiento $p$:

• $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n+173\mathrm{MeV}$
• ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n+17,6\mathrm{MeV}$
• $N_g=N_0{k}^g$
• $K=\frac{p^2}{2m}$

Para hallar la energía de una reacción, ajústala (con los mismos números másicos y las mismas cargas a ambos lados), resta las masas sumadas y multiplica por 931,5 MeV por u. Para saber quién se la lleva, usa la cantidad de movimiento: unos reactivos casi en reposo dan productos con cantidades de movimiento iguales y opuestas, y como $K=p^2/(2m)$, el producto más ligero se lleva más.

Ejemplo resuelto: las reacciones de la animación

Empecemos por la fisión. Con las masas atómicas 235,0439 u para el uranio-235, 140,9144 u para el bario-141, 91,9262 u para el criptón-92 y 1,0087 u para el neutrón:
$m_{\text{antes}}=235,0439+1,0087=236,0526\mathrm{u}$
$m_{\text{despueˊs}}=140,9144+91,9262+3\cdot 1,0087=235,8667\mathrm{u}$
$\Delta m=236,0526-235,8667\approx 0,186\mathrm{u},Q\approx 0,186\cdot 931,5\approx 173\mathrm{MeV}$

Son las etiquetas $\Delta m$ y $Q$ de la primera ruptura. El contador de fisiones sube luego a 3 y a 7 (pasando brevemente por 5) y la lectura de energía a 520 y 1213 MeV: un $Q$ por fisión. Los 173 MeV son cuarenta millones de veces los 4 eV que da quemar un átomo de carbono.

Unos 160 MeV se convierten en energía cinética de los dos fragmentos. Los 13 MeV restantes van a los tres neutrones (unos 6 MeV) y a los rayos gamma inmediatos (unos 7 MeV). El uranio estaba prácticamente en reposo, así que los fragmentos salen con cantidades de movimiento iguales y opuestas, y el criptón, más ligero, se lleva la parte mayor: $160\cdot 141/233\approx 97\mathrm{MeV}$ frente a 63 MeV para el bario. Sus velocidades, $0,048c$ y $0,031c$, se diferencian en el factor $141/92\approx 1,5$ que muestran las dos flechas verdes $v$. El combustible no tarda en frenar a los fragmentos, y su energía se convierte en calor.

La fusión funciona igual, con un defecto de masa diez veces menor, así que hacen falta más decimales: 2,014102 u para el deuterio, 3,016049 u para el tritio, 4,002603 u para el helio-4 y 1,008665 u para el neutrón.
$\Delta m=5,030151-5,011268=0,018883\mathrm{u},Q=0,018883\cdot 931,5\approx 17,6\mathrm{MeV}$

De nuevo las cantidades de movimiento son iguales y opuestas. El neutrón, cuatro veces más ligero que el núcleo de helio, se mueve cuatro veces más deprisa y se lleva cuatro quintos de la energía, $\frac{4}{5}\cdot 17,6\approx 14,1\mathrm{MeV}$, frente a 3,5 MeV para el helio: son las dos etiquetas de energía junto a los productos.

Ejemplo resuelto: un año en una central

Un reactor grande produce 3000 MW de calor, que sus turbinas convierten en unos 1000 MW de electricidad. ¿Cuánto uranio-235 fisiona en un año y cuánta masa desaparece? Con $3,156\times 10^7\mathrm{s}$ en un año,
$E=Pt=3,0\times 10^9\mathrm{W}\cdot 3,156\times 10^7\mathrm{s}=9,47\times 10^{16}\mathrm{J}$
Contando unos 200 MeV, o $3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}$, por fisión (incluidas las desintegraciones posteriores de los fragmentos), el número de fisiones es
$N_{\mathrm{fis}}=\frac{9,47\times 10^{16}\mathrm{J}}{3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}}=2,96\times 10^{27}$

Eso son $2,96\times 10^{27}/(6,02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})=4,91\times 10^3\mathrm{mol}$ de uranio-235, es decir, $4,91\times 10^3\mathrm{mol}\cdot 0,235kg/mol\approx 1150\mathrm{kg}$. La masa que desaparece es mucho menor, $\Delta m=E/c^2\approx 1,05\mathrm{kg}$, alrededor de una milésima del uranio fisionado.

Una central de carbón que diera el mismo calor, a 30 MJ por kilogramo, quemaría más de tres millones de toneladas y, aun así, perdería los mismos 1,05 kg de masa.

Cómo leer las flechas y los contadores

Cada flecha verde es una velocidad. Como al principio la cantidad de movimiento total es casi nula, dos productos se mueven en sentidos opuestos con rapideces en proporción inversa a sus masas: 141 a 92 para el criptón y el bario, 4 a 1 para el neutrón y el núcleo de helio. En el lado de la fusión, las flechas de entrada están en la proporción 3 : 2, porque el núcleo de deuterio, más ligero, debe moverse más deprisa para igualar la cantidad de movimiento del de tritio. Ambas se acortan a medida que la repulsión entre los núcleos positivos los frena.

Las líneas discontinuas son trayectorias de neutrones. Cada fisión temprana libera tres neutrones, dos de los cuales parten núcleos nuevos, así que cada fisión provoca $k=2$ fisiones más. La generación $g$ contiene entonces $N_g=N_0{k}^g=2^g$ fisiones, partiendo de $N_0=1$: 1, 2 y 4. Una bomba es una cadena con $k>1$ en metal denso, con sus generaciones separadas unos diez nanosegundos. Un reactor de potencia se mantiene en $k=1$: las barras de control de boro o de cadmio absorben los neutrones sobrantes, y un moderador, como el agua, frena el resto, ya que los neutrones lentos parten el uranio-235 con mucha más facilidad.

Errores frecuentes

• Los nucleones no se destruyen. El número másico se conserva, $1+235=141+92+3$; la masa baja porque los fragmentos están más fuertemente ligados, unos 0,8 MeV más de enlace por nucleón.
• $E=m{c}^2$ no es exclusiva de los núcleos. Quemar carbón también hace perder masa, aproximadamente $3\times 10^{-10}$ de ella; la fisión pierde cerca de una milésima y la fusión D–T cuatro milésimas.
• La fisión y la fusión no se anulan entre sí. Ambas acercan los nucleones al máximo de enlace que hay cerca del hierro; partir hierro, o fusionar más allá de él, costaría energía.
• Cuenta todas las partículas. Si dejas fuera los tres neutrones salientes de la ecuación de la fisión, obtienes $\Delta m=3,21\mathrm{u}$ y casi 3000 MeV, diecisiete veces más de lo debido.
• Vigila las unidades. Multiplica una masa en u por 931,5 MeV, o pásala antes a kilogramos: $0,0189\cdot 1,66\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 8,99\times 10^{16}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=2,82\times 10^{-12}\mathrm{J}$, que vuelve a ser 17,6 MeV.

Dónde aparece

Alrededor de una décima parte de la electricidad del mundo procede de reactores de fisión. El Sol fusiona hidrógeno en helio y convierte en luz unos 4,3 millones de toneladas de masa cada segundo; los experimentos de fusión pretenden hacer lo mismo en la Tierra con combustible D–T. Los fragmentos de fisión son radiactivos, lo que enlaza con la lección Radiactividad y semivida, y la energía en reposo $m{c}^2$ viene de Relatividad especial. Más adelante, Ecuación de Schrödinger y efecto túnel explica cómo los núcleos se cuelan a través de la barrera de Coulomb, y Partículas y fuerzas: el modelo estándar muestra qué mantiene unidos a protones y neutrones.

Avanzado

La masa como energía almacenada

Leyenda

$E$	Energía; el eje apunta hacia energías mayores.	$\mathrm{J}$
$Z{m}_p{c}^2$	Energía en reposo de los $Z$ protones de la reacción, muy separados y en reposo.	$\mathrm{J}$
$N{m}_n{c}^2$	Energía en reposo de los $N$ neutrones de la reacción, muy separados y en reposo.	$\mathrm{J}$
$E_i$	Energía en reposo de los reactivos: el núcleo ${}^{235}\mathrm{U}$ y un neutrón.	$\mathrm{J}$
$E_f$	Energía en reposo de los productos: ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ y tres neutrones.	$\mathrm{J}$
$B_i$	Energía de enlace de los reactivos, $\sum B(\text{antes})$: cuánto está su nivel por debajo de los nucleones sueltos.	$\mathrm{J}$
$B_f$	Energía de enlace de los productos, $\sum B(\text{despueˊs})$: cuánto está su nivel por debajo de los nucleones sueltos.	$\mathrm{J}$
$Q$	Energía liberada por la reacción: $Q=E_i-E_f=B_f-B_i$.	$\mathrm{J}$
${}^{235}U$	Núcleo de uranio-235, con 92 protones y 143 neutrones.
${}^{141}Ba$	Núcleo de bario-141, un fragmento de fisión.
${}^{92}Kr$	Núcleo de criptón-92, el otro fragmento.
$n$	Neutrón (en azul); $3n$ son tres neutrones libres.

La fisión y la fusión liberan energía reorganizando nucleones, y cuánta liberan puede leerse solo a partir de las masas. La figura 1 muestra por qué. Es el balance de energía de la fisión de la animación, $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n$, dibujado a escala.

Empieza por la línea de arriba. Toma los $Z=92$ protones y los $N=144$ neutrones que intervienen en la reacción (los 143 del uranio más el que llega) e imagínalos muy separados y en reposo. Su energía es entonces solo su energía en reposo, $Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2$, donde $m_p$ y $m_n$ son las masas del protón y del neutrón.

Deja ahora que los nucleones se junten en núcleos. La fuerza nuclear fuerte los atrae, así que la energía baja. El tamaño de esa bajada es la energía de enlace $B$: la energía que tendrías que aportar para volver a separar los nucleones. A la izquierda, los reactivos, el núcleo ${}^{235}\mathrm{U}$ y el neutrón $n$, están en el nivel $E_i$, a una profundidad $B_i$ bajo la línea de arriba. A la derecha, los productos, ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ y tres neutrones libres, están en el nivel $E_f$, a una profundidad $B_f$ bajo ella. El pequeño escalón entre los dos niveles inferiores es la energía entregada al entorno:
$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$
Fíjate en lo pequeño que es: alrededor de una décima de cualquiera de las dos profundidades. Los nucleones están ligados casi tan fuertemente antes de la rotura como después; la fisión solo los aprieta un poco más.

¿Por qué esta energía debería aparecer como un cambio de masa? Imagina una caja cerrada de paredes perfectamente aislantes, con un núcleo de uranio-235 y un neutrón lento dentro, sobre una balanza. Deja que la fisión ocurra en su interior. Los fragmentos salen disparados y su energía cinética se convierte en calor en las paredes, pero nada sale de la caja, así que su energía total no cambia, y su masa tampoco. Abre ahora una ventana y deja escapar el calor: la caja se vuelve más ligera exactamente en $Q/c^2$. La masa que falta, el defecto de masa, no se ha destruido; es la masa que se ha llevado la energía liberada.

La regla general es que la masa de cualquier cuerpo compuesto es su energía interna total dividida entre $c^2$: las energías en reposo de sus partes más sus energías cinética y potencial. Dentro de un núcleo, la fuerza nuclear fuerte hace que la energía potencial sea grande y negativa, así que un núcleo pesa menos que sus nucleones libres. Esa diferencia, multiplicada por $c^2$, es la energía de enlace, la profundidad de un nivel bajo la línea de arriba de la figura 1:
$B=(Z{m}_p+N{m}_n-M)c^2$
Aquí, $M$ es la masa del núcleo. Las tablas dan las masas de átomos neutros, con sus electrones; con ellas, usa la masa del átomo de hidrógeno $m_{\mathrm{H}}$ en lugar de $m_p$, de modo que las masas de los electrones se cancelen.

Ahora, la contabilidad. Reescribe la definición como $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$ para cada núcleo y suma antes y después de la reacción. La fisión y la fusión del deuterio con el tritio (fusión D–T, ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n$) conservan por separado el número total de protones y el número total de neutrones. Así, las energías en reposo de los nucleones son las mismas a ambos lados y se cancelan; un neutrón libre cuenta simplemente como un núcleo con $B=0$. Solo quedan las energías de enlace:
$Q=\sum B(\text{despueˊs})-\sum B(\text{antes})$
Con los símbolos de la figura 1, $B_i=\sum B(\text{antes})$ y $B_f=\sum B(\text{despueˊs})$, de modo que es la misma relación $Q=B_f-B_i$. Una reacción libera energía cuando sus productos están más fuertemente ligados que sus reactivos, y una tabla de masas basta para decir cuánta, sean cuales sean los detalles de las fuerzas o la manera en que se rompa el núcleo.

Cómo leer la curva de energía de enlace

Leyenda

$A$	Número másico: el número de nucleones del núcleo.
$B/A$	Energía de enlace por nucleón: la energía de enlace total $B$ dividida entre $A$, el enlace medio de un nucleón. La línea discontinua marca $8\mathrm{MeV}$.	$\mathrm{J}$
${}^{2}H$	Deuterio, con $B/A=1,112\mathrm{MeV}$.
${}^{3}H$	Tritio, con $B/A=2,827\mathrm{MeV}$.
${}^{4}He$	Helio-4, con $B/A=7,074\mathrm{MeV}$: el producto de la fusión D–T.
${}^{56}Fe$	Hierro-56, con $B/A=8,790\mathrm{MeV}$, cerca de la cima de la curva.
${}^{92}Kr$	Criptón-92, con $B/A=8,513\mathrm{MeV}$: un fragmento de fisión.
${}^{141}Ba$	Bario-141, con $B/A=8,326\mathrm{MeV}$: el otro fragmento.
${}^{235}U$	Uranio-235, con $B/A=7,591\mathrm{MeV}$: el núcleo que se parte.

La curva de energía de enlace indica lo fuertemente ligado que está cada núcleo y, por tanto, qué reacciones pueden liberar energía. La figura 2 representa la energía de enlace por nucleón, $B/A$, frente al número másico $A$, el número de nucleones, en un eje logarítmico para que quepan núcleos ligeros y pesados. Los puntos son núcleos medidos. La curva morada es la fórmula de la gota líquida de la sección siguiente, dibujada desde $A=10$ (la gráfica experta de la animación muestra la misma representación, con la curva en dorado).

Léela de izquierda a derecha. Sube con fuerza a través de los núcleos más ligeros: 1,112 MeV por nucleón para el deuterio, ${}^2\mathrm{H}$, 2,827 MeV para el tritio, ${}^3\mathrm{H}$, y 7,074 MeV para el helio-4. Alcanza su máximo, 8,790 MeV, cerca del hierro-56, ${}^{56}\mathrm{Fe}$, y luego baja despacio hasta 7,591 MeV para el uranio-235. Toda reacción que suba nucleones por la curva libera energía. En la ladera empinada de la izquierda eso significa unir núcleos ligeros: fusión. En la ladera suave de la derecha significa partir núcleos pesados: fisión.

Las flechas de la figura 2 son las dos reacciones de la animación, cuyos marcadores suben por la curva de la misma manera. Las flechas de fusión van de ${}^2\mathrm{H}$ y ${}^3\mathrm{H}$ hasta ${}^4\mathrm{He}$. Las de fisión van de ${}^{235}\mathrm{U}$ a sus dos fragmentos, el criptón-92 con 8,513 MeV y el bario-141 con 8,326 MeV, ambos más altos que el uranio. Como $B/A$ por $A$ es la energía de enlace $B$ de un núcleo, la regla $Q=\sum B(\text{despueˊs})-\sum B(\text{antes})$ da ambas energías sin una sola masa, contando los neutrones libres como cero:
$Q_{\mathrm{fus}}=4\cdot 7,074-2\cdot 1,112-3\cdot 2,827=17,59\mathrm{MeV}$
$Q_{\mathrm{fis}}=141\cdot 8,326+92\cdot 8,513-235\cdot 7,591=173,3\mathrm{MeV}$

Por nucleón, los dos procesos son muy distintos. La fusión D–T libera unos 3,5 MeV por cada uno de sus cinco nucleones, en una única subida empinada. La fisión gana mucho menos por nucleón. De los 235 nucleones del uranio, 233 siguen ligados en los fragmentos, cada uno unos 0,81 MeV más fuertemente que antes (el $B/A$ medio de los fragmentos, 8,400 MeV, menos 7,591 MeV). Los otros dos salen como neutrones libres y renuncian a sus 7,591 MeV de enlace cada uno. El balance, $233\cdot 0,809-2\cdot 7,591\approx 173\mathrm{MeV}$, es el mismo $Q$: el gran total de la fisión viene del gran número de nucleones, no de una gran ganancia por cada uno.

El hierro marca el límite para ambas. Fusionar núcleos más allá del máximo, o partir núcleos por debajo de él, hace bajar a los nucleones por la pendiente, hacia un enlace menos fuerte, de modo que la reacción cuesta energía en lugar de liberarla.

Por qué la curva tiene un máximo: la gota líquida

La forma de la curva sale de una pugna entre dos fuerzas: la fuerza nuclear, que une cada nucleón con sus vecinos, y la repulsión eléctrica entre los protones. Un modelo sencillo que trata el núcleo como una gota de líquido cargado recoge ambas y da la curva de la figura 2.

Empecemos por la fuerza nuclear. Es intensa pero de corto alcance, pues actúa solo a lo largo de unos $10^{-15}\mathrm{m}$, y se satura: cada nucleón se une solo a sus vecinos más próximos, por muchos otros que haya. De ahí se siguen dos cosas. Primero, los nucleones se empaquetan igual en todos los núcleos, así que todos tienen aproximadamente la misma densidad; el volumen crece en proporción a $A$ y el radio es $R=r_0{A}^{1/3}$ con $r_0\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{m}$. Segundo, el enlace se comporta como el de un líquido. Cada nucleón interior aporta lo mismo, así que el enlace crece con el volumen, como $a_{V}A$. Los nucleones de la superficie tienen menos vecinos, por lo que se resta un término proporcional al área de la superficie, $a_S{A}^{2/3}$. En los núcleos ligeros, una gran parte de los nucleones está en la superficie: por eso la curva sube tan empinada a la izquierda.

Luego, la repulsión. Una esfera de radio $R$ con carga $Ze$ repartida uniformemente almacena la energía eléctrica $\frac{3}{5}{Z}^2{e}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$. Al poner $R=r_0{A}^{1/3}$ sale un término $a_C{Z}^2/A^{1/3}$, con el coeficiente
$a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\approx 0,72\mathrm{MeV}$

Por último, el principio de exclusión de Pauli: no puede haber dos neutrones, ni dos protones, en el mismo estado, así que cada clase llena su propia escalera de niveles de energía. Un núcleo con más neutrones que protones debe colocar sus neutrones sobrantes en peldaños más altos, lo que cuesta energía. Este término de asimetría se anula cuando $N=Z$. Los cuatro términos juntos dan
$B=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\frac{a_C{Z}^2}{A^{1/3}}-\frac{a_A(N-Z{)}^2}{A}$
con $a_V=15,75$, $a_S=17,8$, $a_C=0,711$ y $a_A=23,7\mathrm{MeV}$, ajustados a las masas medidas; son los valores que hay detrás de la curva de la figura 2. El $a_C$ ajustado concuerda bien con la estimación de arriba.

Ahora, el máximo. Por sí solo, el término de volumen da el mismo enlace a cada nucleón y haría constante $B/A$. El término de superficie hace bajar $B/A$ sobre todo en los núcleos ligeros. El término de Coulomb lo hace bajar sobre todo en los pesados: como $Z$ es aproximadamente proporcional a $A$, crece como $A^{5/3}$, más deprisa que el término de volumen. En el uranio-235 cuesta 975 MeV de un enlace total de 1784 MeV. Entre estas dos pérdidas queda el máximo, cerca del hierro. Dos núcleos menores albergan los mismos 92 protones con menos energía eléctrica en total, porque cada protón solo es repelido ya por los protones de su propio fragmento; la energía de superficie sube un poco, pero el ahorro de Coulomb es mayor, y la fisión libera la diferencia.

La misma pugna explica por qué los núcleos pesados llevan neutrones de más. El término de Coulomb favorece menos protones, el de asimetría favorece $N=Z$, y a medida que los núcleos crecen el equilibrio se inclina hacia los neutrones: el uranio-235 tiene 143 neutrones para 92 protones. Los fragmentos heredan este exceso. El bario-141 tiene 85 neutrones, mientras que el bario estable más pesado, el bario-138, tiene solo 82; con demasiados neutrones para su tamaño, los fragmentos son radiactivos.

La barrera de fisión

Leyenda

$\epsilon$	Alargamiento: cuánto se ha estirado la gota desde una esfera hasta una forma alargada del mismo volumen.
$E$	Energía del núcleo con esa forma, medida desde la de la esfera.	$\mathrm{J}$
$E_B$	Altura de la barrera de fisión sobre la esfera: unos 6 MeV para el uranio.	$\mathrm{J}$
${}^{236}{U}^{\ast }$	Energía de excitación de ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$, formado por ${}^{235}\mathrm{U}$ y un neutrón lento: 6,5 MeV, por encima de la barrera.	$\mathrm{J}$
${}^{239}{U}^{\ast }$	Energía de excitación de ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$, formado por ${}^{238}\mathrm{U}$ y un neutrón lento: 4,8 MeV, por debajo de la barrera.	$\mathrm{J}$

La curva dice que el uranio liberaría energía al partirse, entonces ¿por qué un núcleo de uranio no se parte por sí solo? La figura 3 lo responde. Representa la energía $E$ del núcleo, medida desde la de la esfera, frente a su alargamiento $\epsilon$: un número pequeño que indica cuánto se ha estirado la gota desde la esfera hasta una forma alargada del mismo volumen. Las formas bajo el eje muestran la esfera, la gota estirada y la gota a punto de romperse.

Dos términos de la gota líquida cambian al estirarla. La superficie crece, así que la energía de superficie $E_S$ aumenta en $\frac{2}{5}{\epsilon }^2{E}_S$. Los protones se alejan unos de otros en promedio, así que la energía de Coulomb $E_C$ disminuye en $\frac{1}{5}{\epsilon }^2{E}_C$. El cambio neto, $(\frac{2}{5}{E}_S-\frac{1}{5}{E}_C){\epsilon }^2$, es positivo mientras $E_C<2E_S$: entonces la curva parte hacia arriba desde la esfera y un pequeño estiramiento se ve devuelto hacia atrás. Según la gota líquida, $E_C/E_S=(a_C/a_S)Z^2/A$, de modo que la condición queda $Z^2/A<2a_S/a_C\approx 50$.

El uranio, con $Z^2/A\approx 36$, pasa esta prueba: está en la hondonada de la izquierda de la figura 3. Para partirse, primero debe estirarse por encima del montículo, la barrera de fisión, cuya altura $E_B$ es de unos 6 MeV. Más allá de la cima gana la energía de Coulomb, y la energía cae sin parar mientras el núcleo forma un cuello y se rompe en dos: es la flecha que baja a la derecha.

¿De dónde sale la energía para cruzar la barrera? Un neutrón capturado aporta su energía de enlace al núcleo como energía de excitación, y las dos flechas azules de la figura 3 muestran cuánta. El uranio-235 y un neutrón lento forman ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$ (el asterisco marca un núcleo excitado) con 6,5 MeV de excitación, más que la barrera: su flecha salva el montículo y el núcleo se parte. Es el breve temblor del núcleo en la animación. El uranio-238 y un neutrón lento forman ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$ con solo 4,8 MeV: su flecha choca contra la pared del montículo y se detiene. La diferencia es el apareamiento. Los nucleones se ligan más fuertemente en parejas; el neutrón añadido al uranio-235 completa una pareja, mientras que el añadido al uranio-238 queda solo. Para partir el uranio-238, el neutrón incidente debe aportar la energía que falta como energía cinética, alrededor de 1 MeV.

Por eso los reactores funcionan con el isótopo raro, el uranio-235, que es solo el 0,7 % del uranio natural: se parte con neutrones de cualquier energía. Los neutrones lentos son capturados por él con mucha más facilidad que los rápidos, así que los reactores frenan sus neutrones.

Reacción en cadena y neutrones retardados

Cada fisión libera dos o tres neutrones, tres en la reacción de la animación, y estos pueden partir más núcleos. El factor de multiplicación $k$ es el número medio de neutrones de una fisión que llegan a provocar otra fisión. Tras $g$ generaciones, $N_0$ neutrones se han convertido en $N_g=N_0{k}^g$. Con $k<1$ la cadena se apaga, con $k=1$ se mantiene estable y con $k>1$ crece. Un reactor funciona con $k=1$.

La rapidez con que crece la cadena depende del tiempo entre generaciones. Si todos los neutrones se emitieran en el instante de la fisión (neutrones inmediatos), una generación duraría unos $10^{-4}\mathrm{s}$, lo que da $10^4$ generaciones por segundo. Entonces incluso $k=1,001$ multiplicaría la potencia por $1,001^{10^4}\approx 2\times 10^4$ en un segundo, demasiado deprisa para cualquier control mecánico.

El control descansa en los neutrones retardados. Cerca del 0,65 % de los neutrones de fisión no se emite en la rotura, sino segundos después, por fragmentos al desintegrarse. Esperar por ellos alarga la generación media hasta unos 0,1 s, de modo que el mismo $k=1,001$ eleva la potencia solo un 1 % por segundo, lo bastante lento para mover las barras de control. Esto vale solo mientras la cadena necesita los neutrones retardados. Por encima de $k\approx 1,0065$, los neutrones inmediatos bastan por sí solos para que la cadena crezca y vuelve la multiplicación rápida, así que un reactor debe mantenerse siempre por debajo de ese valor.

Fusión: la barrera de Coulomb y el efecto túnel

Leyenda

$r$	Distancia entre los centros de los dos núcleos.	$\mathrm{m}$
$U$	Energía potencial de la pareja: repulsión eléctrica fuera de $r_n$, atracción nuclear dentro.	$\mathrm{J}$
$U_C$	Altura de la colina de Coulomb en el contacto: unos 0,4 MeV.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía de colisión de la pareja: 10 keV en el ejemplo del texto.	$\mathrm{J}$
$r_n$	Distancia de contacto, donde la fuerza nuclear atrapa los núcleos: unos 3,5 fm.	$\mathrm{m}$
$r_t$	Punto de retorno, donde $U=E$: unos 144 fm para 10 keV.	$\mathrm{m}$
$P$	Probabilidad de que una pareja atraviese la barrera por efecto túnel de $r_t$ a $r_n$.

La fusión se enfrenta al problema contrario. Los núcleos que hay que unir son ambos positivos, así que se repelen, y la fuerza nuclear solo los atrapa cuando se tocan. La figura 4 muestra el obstáculo. Representa la energía potencial $U$ de una pareja deuterio–tritio frente a la distancia $r$ entre sus centros. Lejos uno del otro, $U$ es su repulsión eléctrica, $e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$: la curva roja, que sube hacia la izquierda. A la distancia de contacto $r_n$, de unos 3,5 fm, la fuerza nuclear toma el relevo y la pareja cae en el hondo pozo nuclear de abajo a la izquierda. La cima de la colina roja, en $r_n$, es la barrera de Coulomb $U_C$. Con $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}$,
$U_C=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n}=\frac{1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{3,5\mathrm{fm}}\approx 0,4\mathrm{MeV}$

Sigue ahora a una pareja que llega desde la derecha con energía de colisión $E$, la flecha morada. Clásicamente sube la colina hasta que toda su energía cinética se ha convertido en potencial, donde $U=E$; ese es el punto de retorno $r_t$, donde se detiene y da media vuelta. En un plasma a $1,2\times 10^8\mathrm{K}$ la energía térmica es $k_{\mathrm{B}}T=10\mathrm{keV}$. Una pareja que choca de frente con 10 keV da media vuelta en $r_t=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}/0,010\mathrm{MeV}=144\mathrm{fm}$, unas 40 veces más lejos que $r_n$. Clásicamente nunca se fusiona.

La mecánica cuántica cambia esto. Un núcleo también se comporta como una onda, y una onda puede filtrarse por una región en la que una partícula no puede entrar clásicamente. Es el efecto túnel: la flecha discontinua de la figura 4 de $r_t$ a $r_n$, que se cruza con probabilidad $P$. En la animación es el paso con la etiqueta «efecto túnel», donde los núcleos frenados saltan el último tramo. Para D–T con energía de colisión $E$,
$P\approx e^{-\sqrt{E_G/E}}$
donde la energía de Gamow $E_G\approx 1,2\mathrm{MeV}$ es una constante fijada por las cargas y las masas de la pareja. $P$ es diminuta, pero crece muy deprisa con la energía: $2\times 10^{-5}$ a 10 keV, $2\times 10^{-3}$ a 30 keV.

Compiten, pues, dos efectos. En un plasma los núcleos rápidos son escasos, y su número cae enseguida con la energía; los lentos abundan, pero casi nunca atraviesan. El producto de ambos alcanza su máximo muy por encima de la energía térmica, así que en un plasma a 10 keV la mayoría de las fusiones vienen de las pocas parejas con energías cercanas a 30 keV.

Un plasma de fusión entrega más energía de la que pierde solo si es lo bastante denso, lo bastante caliente y se mantiene confinado el tiempo suficiente. La condición recae en el producto de la densidad $n$, la temperatura $T$ y el tiempo de confinamiento $\tau$: $nT\tau$ debe alcanzar unos $3\times 10^{21}\mathrm{keV}\cdot s/{\mathrm{m}}^3$, por ejemplo $10^{20}$ iones por metro cúbico a 10 keV, mantenidos durante 3 s.

Problema resuelto: qué separa los fragmentos

Problema: en la fisión de la animación, los dos fragmentos se llevan unos 160 MeV de energía cinética, la mayor parte de los 173 MeV; los neutrones y los rayos gamma se llevan el resto. ¿Qué fuerza aporta esa energía, a qué distancia están los fragmentos cuando se separan y cómo se reparten la energía?

La fuerza debe actuar a distancias mucho mayores que el alcance de la fuerza nuclear, así que es la repulsión eléctrica entre los 56 protones del bario y los 36 del criptón. Modela los fragmentos como dos cargas que parten del reposo con sus centros a una distancia $d$. Al separarse, su energía potencial eléctrica se convierte por completo en energía cinética:
$K_{\mathrm{tot}}=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}d}=\frac{56\cdot 36\cdot 1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}=\frac{2903\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}$

Paso 1, la separación. Si los fragmentos fueran esferas en contacto, de radios $r_0{A}^{1/3}=6,2$ y $5,4\mathrm{fm}$, tendríamos $d=11,7\mathrm{fm}$, y la fórmula daría unos 250 MeV, más que todo el valor $Q$. Los 160 MeV reales exigen una distancia inicial mayor, $d=2903/160=18,1\mathrm{fm}$. Así que, al separarse, los fragmentos no son esferas, sino formas alargadas unidas por un cuello delgado, con los centros unos 6 fm más separados que en esferas en contacto. Su energía de deformación no se pierde: calienta los fragmentos, que se enfrían evaporando neutrones.

Paso 2, el reparto. El núcleo que se fisiona está casi en reposo, así que los fragmentos salen con cantidades de movimiento iguales y opuestas. Con $K=p^2/(2m)$ y el mismo $p$, la energía cinética es inversamente proporcional a la masa, de modo que el fragmento más ligero se lleva la mayor parte: $K_{\mathrm{Kr}}=160\cdot 141/233=97\mathrm{MeV}$ y $K_{\mathrm{Ba}}=63\mathrm{MeV}$. Ambos tienen la misma cantidad de movimiento, $p=\sqrt{2mK}\approx 4070\mathrm{MeV}/c$.

Paso 3, con qué rapidez. A una separación $r$, la energía cinética es igual a la energía potencial perdida hasta ese momento, $K(r)=K_{\mathrm{tot}}(1-d/r)$. Los fragmentos tienen, por tanto, el 90 % de su energía a $r=10d\approx 180\mathrm{fm}$, todavía muy dentro de la nube electrónica del átomo, de unos $10^5\mathrm{fm}$ de diámetro. La energía de la fisión la entrega la repulsión eléctrica, casi por completo en una región diminuta alrededor del núcleo.

Límites de validez

La gota líquida es un ajuste, no una teoría. Reproduce los núcleos pesados con un error de alrededor del 0,5 % (1786 MeV para el uranio-235, frente a 1784 MeV medidos), pero ignora la estructura de capas: igual que los electrones en los átomos, los nucleones llenan capas, y los núcleos con 2, 8, 20, 28, 50, 82 o 126 protones o neutrones, los números mágicos, son especialmente estables. Así, la gota da al ${}^4\mathrm{He}$ solo 16 MeV de enlace en lugar de los 28,3 MeV medidos, predice 162 MeV en lugar de 173 MeV para la fisión de la animación y partiría el uranio en dos mitades iguales, mientras que los efectos de capas hacen que se parta de forma desigual, sobre todo en fragmentos cercanos a $A=95$ y $A=140$.

También son aproximadas dos partes de la contabilidad. Repartir la energía con $K=p^2/(2m)$ es un cálculo no relativista. En la fusión D–T, el neutrón se lleva cuatro quintos de los 17,59 MeV, es decir, 14,07 MeV, y se mueve a $0,17c$; el cálculo relativista exacto de dos cuerpos con las masas reales da 14,03 MeV, un 0,3 % menos. Y escribir $Q$ como diferencia de energías de enlace exige que $Z$ y $N$ se conserven por separado. Donde la fuerza débil convierte protones en neutrones, como en la reacción neta del Sol $4{}^1\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+2e^{+}+2\nu$, interviene por cada protón convertido la diferencia de masa entre un neutrón y un átomo de hidrógeno, 0,78 MeV: la energía liberada es $28,3-2\cdot 0,78=26,7\mathrm{MeV}$, el 0,7 % de la masa. Lo que sigue siendo exacto a estas energías es la conservación de la energía, de la cantidad de movimiento, de la carga y del número de nucleones.

Lo que viene después

La lección Ecuación de Schrödinger y efecto túnel convierte el factor $e^{-\sqrt{E_G/E}}$ en un cálculo. Partículas y fuerzas: el modelo estándar muestra de dónde viene la fuerza nuclear, un resto de la interacción fuerte que une los quarks mediante gluones, y describe la fuerza débil que permite al Sol convertir protones en neutrones. Mirando atrás, Relatividad especial aporta $E=m{c}^2$, Radiactividad y semivida describe los fragmentos que se desintegran y dan los neutrones retardados, Ley de Coulomb da la barrera y Cantidad de movimiento y choques reparte la energía entre los productos.