Fission, fusion et E = mc²

Débutant

Étape 1. Au centre de chaque atome se trouve un minuscule noyau, un amas serré de protons et de neutrons. Le nombre de protons désigne l'élément : 92 pour l'uranium, 1 pour l'hydrogène. Les réactions chimiques ne remuent que les électrons extérieurs ; pour changer un noyau, il faut une réaction nucléaire.

Étape 2. La fission, c'est la cassure. Dans l'animation, un neutron bleu fonce sur un noyau d'uranium 235 doré. Le noyau l'absorbe, tremble et se casse en deux noyaux plus petits, avec un éclair d'énergie et deux ou trois nouveaux neutrons. Les deux morceaux partent dans des directions opposées.

Étape 3. Chaque nouveau neutron peut casser un autre noyau d'uranium : c'est une réaction en chaîne. Suivez les pointillés qui se ramifient : 1, 2, 4… Dans une centrale, des barres de contrôle absorbent les neutrons en trop pour que chaque fission n'en provoque qu'une seule autre.

Étape 4. La fusion, c'est l'union. À droite, deux noyaux d'hydrogène lourd foncent l'un vers l'autre. Tous deux sont positifs : ils se repoussent et ralentissent. Seul un choc à une vitesse énorme, à des millions de degrés, leur permet de s'unir en hélium en éjectant un neutron rapide. Le Soleil brille lui aussi par fusion : il unit de l'hydrogène ordinaire en hélium.

Étape 5. L'énergie ne naît jamais de rien ; elle change seulement de forme. D'où vient-elle donc ? Pesez tout très précisément : après chaque réaction, les morceaux sont un peu plus légers. La masse manquante est devenue de l'énergie, $E=m{c}^2$. Comme la vitesse de la lumière $c$ est immense, une poussière de masse donne énormément d'énergie : un kilogramme d'uranium 235 entièrement fissionné dégage autant de chaleur qu'environ 2 700 tonnes de charbon.

À vous : le noyau d'hélium et le neutron pèsent-ils plus ou moins que les deux noyaux d'hydrogène lourd dont ils sont issus ? (Moins : la différence est devenue énergie.)

Intermédiaire

Ce que l'on mesure : noyaux, masses et énergies

Un noyau se décrit par deux nombres entiers : le nombre de protons $Z$ (le numéro atomique), qui fixe l'élément, et le nombre de neutrons $N$. Leur somme $A=Z+N$, le nombre de masse, compte les nucléons. L'uranium 235, ${}^{235}\mathrm{U}$, possède $Z=92$ protons et $N=143$ neutrons. Les isotopes ont le même $Z$ mais des $N$ différents : le deutérium, ${}^2\mathrm{H}$, et le tritium, ${}^3\mathrm{H}$, sont de l'hydrogène avec un et deux neutrons.

Les masses nucléaires s'expriment en unités de masse atomique, $1\mathrm{u}=1,6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, soit un douzième d'un atome de carbone 12. Les énergies nucléaires s'expriment en mégaélectronvolts, $1\mathrm{MeV}=1,602\times 10^{-13}\mathrm{J}$, un million d'électronvolts, contre quelques électronvolts pour une liaison chimique. Les masses des tables sont celles d'atomes neutres ; dans ces réactions, les électrons se compensent.

Défaut de masse : d'où vient l'énergie

D'où vient l'énergie d'une réaction ? La relativité restreinte répond : un corps au repos possède l'énergie de repos
$E=m{c}^2$
de sorte qu'un système qui cède de l'énergie devient plus léger de cette énergie divisée par $c^2$. Comme $c^2=8,99\times 10^{16}J/kg$, une perte de masse minuscule correspond à une énergie énorme.

Le défaut de masse $\Delta m$ est la masse totale des réactifs moins celle des produits, et l'énergie libérée, la valeur $Q$, vaut
$Q=\Delta m{c}^2,1\mathrm{u}\cdot c^2=931,5\mathrm{MeV}$
Un $Q$ négatif signifie que la réaction a besoin d'énergie pour se produire.

Rien n'est détruit : les nucléons et la charge se conservent ($1+235=141+92+3$ et $92=56+36$ dans la fission), mais les nucléons se retrouvent plus fortement liés. L'énergie qu'il faut fournir pour séparer un noyau en protons et neutrons libres est son énergie de liaison ; par nucléon, elle passe de 1,1 MeV pour le deutérium à environ 8,8 MeV près du fer 56, puis retombe à 7,6 MeV pour l'uranium. La fission et la fusion rapprochent toutes deux les nucléons de ce sommet, et la liaison supplémentaire repart sous forme d'énergie.

Les équations utiles

Outre $Q=\Delta m{c}^2$, quatre relations font l'essentiel du travail : les deux réactions de l'animation, la croissance d'une réaction en chaîne, et l'énergie cinétique d'un corps de masse $m$ et de quantité de mouvement $p$ :

• $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n+173\mathrm{MeV}$
• ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n+17,6\mathrm{MeV}$
• $N_g=N_0{k}^g$
• $K=\frac{p^2}{2m}$

Pour trouver l'énergie d'une réaction, équilibrez-la (mêmes nombres de masse et mêmes charges des deux côtés), soustrayez les masses totales et multipliez par 931,5 MeV par u. Pour savoir comment elle se partage, utilisez la quantité de mouvement : des réactifs presque au repos donnent des produits de quantités de mouvement égales et opposées, et comme $K=p^2/(2m)$, le produit le plus léger reçoit le plus d'énergie.

Exemple résolu : les réactions de l'animation

Commençons par la fission. Avec les masses atomiques 235,0439 u pour l'uranium 235, 140,9144 u pour le baryum 141, 91,9262 u pour le krypton 92 et 1,0087 u pour le neutron :
$m_{\mathrm{i}}=235,0439+1,0087=236,0526\mathrm{u}$
$m_{\mathrm{f}}=140,9144+91,9262+3\cdot 1,0087=235,8667\mathrm{u}$
$\Delta m=236,0526-235,8667\approx 0,186\mathrm{u},Q\approx 0,186\cdot 931,5\approx 173\mathrm{MeV}$

Ce sont les étiquettes $\Delta m$ et $Q$ qui apparaissent à la première cassure. Le compteur de fissions monte ensuite à 3 puis à 7 (en passant brièvement par 5), et l'affichage d'énergie à 520 puis à 1 213 MeV : un $Q$ par fission. Les 173 MeV valent quarante millions de fois les 4 eV que donne la combustion d'un atome de carbone.

Environ 160 MeV deviennent de l'énergie cinétique des deux fragments. Les 13 MeV restants vont aux trois neutrons (environ 6 MeV) et aux rayons gamma prompts (environ 7 MeV). L'uranium étant pratiquement au repos, les fragments partent avec des quantités de mouvement égales et opposées, et le krypton, plus léger, prend la plus grande part : $160\cdot 141/233\approx 97\mathrm{MeV}$ contre 63 MeV pour le baryum. Leurs vitesses, $0,048c$ et $0,031c$, diffèrent du facteur $141/92\approx 1,5$ que montrent les deux flèches vertes $v$. Le combustible arrête très vite les fragments, et leur énergie devient de la chaleur.

La fusion se traite de la même façon, avec un défaut de masse dix fois plus petit, donc plus de décimales : 2,014102 u pour le deutérium, 3,016049 u pour le tritium, 4,002603 u pour l'hélium 4 et 1,008665 u pour le neutron.
$\Delta m=5,030151-5,011268=0,018883\mathrm{u},Q=0,018883\cdot 931,5\approx 17,6\mathrm{MeV}$

Là encore, les quantités de mouvement sont égales et opposées. Le neutron, quatre fois plus léger que le noyau d'hélium, va quatre fois plus vite et prend les quatre cinquièmes de l'énergie, $\frac{4}{5}\cdot 17,6\approx 14,1\mathrm{MeV}$, contre 3,5 MeV pour l'hélium : ce sont les deux étiquettes d'énergie placées à côté des produits.

Exemple résolu : une année dans une centrale

Un grand réacteur produit 3 000 MW de chaleur, que ses turbines transforment en environ 1 000 MW d'électricité. Quelle quantité d'uranium 235 fissionne-t-il en un an, et quelle masse disparaît ? Avec $3,156\times 10^7\mathrm{s}$ dans une année,
$E=Pt=3,0\times 10^9\mathrm{W}\cdot 3,156\times 10^7\mathrm{s}=9,47\times 10^{16}\mathrm{J}$
En comptant environ 200 MeV, soit $3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}$, par fission (désintégrations ultérieures des fragments comprises), le nombre de fissions est
$N_{\mathrm{fis}}=\frac{9,47\times 10^{16}\mathrm{J}}{3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}}=2,96\times 10^{27}$

Cela fait $2,96\times 10^{27}/(6,02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})=4,91\times 10^3\mathrm{mol}$ d'uranium 235, soit $4,91\times 10^3\mathrm{mol}\cdot 0,235kg/mol\approx 1150\mathrm{kg}$. La masse qui disparaît est bien plus petite, $\Delta m=E/c^2\approx 1,05\mathrm{kg}$, environ un millième de l'uranium fissionné.

Une centrale à charbon fournissant la même chaleur, à 30 MJ par kilogramme, brûlerait plus de trois millions de tonnes, et pourtant perdrait la même masse de 1,05 kg.

Lire les flèches et les compteurs

Chaque flèche verte est une vitesse. Comme la quantité de mouvement totale est presque nulle au départ, deux produits partent en sens opposés avec des vitesses dans le rapport inverse de leurs masses : 141 : 92 pour le krypton et le baryum, 4 : 1 pour le neutron et le noyau d'hélium. Du côté de la fusion, les flèches entrantes sont dans le rapport 3 : 2, car le noyau de deutérium, plus léger, doit aller plus vite pour égaler la quantité de mouvement du noyau de tritium. Ces deux flèches raccourcissent à mesure que la répulsion entre les noyaux positifs les ralentit.

Les pointillés sont des trajets de neutrons. Chacune des premières fissions libère trois neutrons, dont deux cassent de nouveaux noyaux, si bien que chaque fission en provoque $k=2$ nouvelles. La génération $g$ compte alors $N_g=N_0{k}^g=2^g$ fissions, à partir de $N_0=1$ : 1, 2 et 4. Une bombe est une chaîne avec $k>1$ dans un métal dense, dont les générations se succèdent à environ dix nanosecondes d'intervalle. Un réacteur de puissance est maintenu à $k=1$ : des barres de contrôle en bore ou en cadmium absorbent les neutrons en excès, et un modérateur comme l'eau ralentit les autres, car les neutrons lents cassent l'uranium 235 beaucoup plus facilement.

Erreurs fréquentes

• Les nucléons ne sont pas détruits. Le nombre de masse s'équilibre, $1+235=141+92+3$ ; la masse diminue parce que les fragments sont plus fortement liés, d'environ 0,8 MeV par nucléon.
• $E=m{c}^2$ n'est pas propre aux noyaux. Brûler du charbon fait aussi perdre de la masse, une fraction d'environ $3\times 10^{-10}$ ; la fission en perd environ un millième et la fusion D–T quatre millièmes.
• La fission et la fusion ne s'annulent pas. Toutes deux rapprochent les nucléons du sommet de la courbe de liaison, près du fer ; casser du fer, ou fusionner des noyaux plus lourds que lui, coûterait de l'énergie.
• Comptez toutes les particules. Oublier les trois neutrons sortants dans l'équation de la fission donne $\Delta m=3,21\mathrm{u}$ et près de 3 000 MeV, dix-sept fois trop.
• Surveillez les unités. Multipliez une masse en u par 931,5 MeV, ou convertissez d'abord en kilogrammes : $0,0189\cdot 1,66\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 8,99\times 10^{16}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=2,82\times 10^{-12}\mathrm{J}$, ce qui fait de nouveau 17,6 MeV.

Où on le rencontre

Environ un dixième de l'électricité mondiale provient de réacteurs à fission. Le Soleil fusionne l'hydrogène en hélium et transforme environ 4,3 millions de tonnes de masse en lumière chaque seconde ; les expériences de fusion visent à en faire autant sur Terre avec du combustible D–T. Les fragments de fission sont radioactifs, ce qui renvoie à la leçon Radioactivité et demi-vie, et l'énergie de repos $m{c}^2$ vient de la leçon Relativité restreinte. Plus loin, la leçon Équation de Schrödinger et effet tunnel explique comment les noyaux traversent la barrière coulombienne, et la leçon Particules et forces : le modèle standard montre ce qui maintient ensemble protons et neutrons.

Avancé

La masse, énergie stockée

Légende

$E$	Énergie ; l'axe est orienté vers les énergies croissantes.	$\mathrm{J}$
$Z{m}_p{c}^2$	Énergie de repos des $Z$ protons de la réaction, très éloignés les uns des autres et au repos.	$\mathrm{J}$
$N{m}_n{c}^2$	Énergie de repos des $N$ neutrons de la réaction, très éloignés les uns des autres et au repos.	$\mathrm{J}$
$E_i$	Énergie de repos des réactifs : le noyau ${}^{235}\mathrm{U}$ et un neutron.	$\mathrm{J}$
$E_f$	Énergie de repos des produits : ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ et trois neutrons.	$\mathrm{J}$
$B_i$	Énergie de liaison des réactifs, $\sum B(\text{avant})$ : de combien leur niveau se trouve sous celui des nucléons libres.	$\mathrm{J}$
$B_f$	Énergie de liaison des produits, $\sum B(\text{apreˋs})$ : de combien leur niveau se trouve sous celui des nucléons libres.	$\mathrm{J}$
$Q$	Énergie libérée par la réaction : $Q=E_i-E_f=B_f-B_i$.	$\mathrm{J}$
${}^{235}U$	Noyau d'uranium 235, avec 92 protons et 143 neutrons.
${}^{141}Ba$	Noyau de baryum 141, un fragment de fission.
${}^{92}Kr$	Noyau de krypton 92, l'autre fragment.
$n$	Neutron (en bleu) ; $3n$ désigne trois neutrons libres.

La fission et la fusion libèrent toutes deux de l'énergie en réarrangeant des nucléons, et la quantité libérée peut se lire sur les seules masses. La figure 1 montre pourquoi. C'est le bilan énergétique de la fission de l'animation, $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n$, dessiné à l'échelle.

Partez de la ligne du haut. Prenez les $Z=92$ protons et les $N=144$ neutrons qui participent à la réaction (les 143 de l'uranium plus celui qui arrive) et imaginez-les très éloignés les uns des autres et au repos. Leur énergie se réduit alors à leur énergie de repos, $Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2$, où $m_p$ et $m_n$ sont les masses du proton et du neutron.

Laissez maintenant les nucléons se rassembler en noyaux. La force nucléaire forte les attire, donc l'énergie diminue. L'ampleur de cette baisse est l'énergie de liaison $B$ : l'énergie qu'il faudrait fournir pour séparer de nouveau les nucléons. À gauche, les réactifs, le noyau ${}^{235}\mathrm{U}$ et le neutron $n$, se trouvent au niveau $E_i$, à une profondeur $B_i$ sous la ligne du haut. À droite, les produits, ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ et trois neutrons libres, se trouvent au niveau $E_f$, à une profondeur $B_f$ sous elle. Le petit palier entre les deux niveaux inférieurs est l'énergie cédée au milieu extérieur :
$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$
Remarquez combien il est petit : environ un dixième de chacune des profondeurs. Les nucléons sont presque aussi fortement liés avant la scission qu'après ; la fission ne fait que les resserrer un peu.

Pourquoi cette énergie devrait-elle se traduire par un changement de masse ? Imaginez une boîte fermée aux parois parfaitement isolantes, posée sur une balance, qui contient un noyau d'uranium 235 et un neutron lent. Laissez la fission se produire à l'intérieur. Les fragments s'écartent et leur énergie cinétique devient de la chaleur dans les parois, mais rien ne sort de la boîte : son énergie totale est inchangée, et sa masse aussi. Ouvrez maintenant une fenêtre et laissez la chaleur s'échapper : la boîte devient plus légère d'exactement $Q/c^2$. La masse manquante, le défaut de masse, n'a pas été détruite ; c'est la masse emportée par l'énergie libérée.

La règle générale est que la masse d'un corps composite quelconque est son énergie interne totale divisée par $c^2$ : les énergies de repos de ses parties plus leurs énergies cinétiques et potentielles. Dans un noyau, la force nucléaire forte rend l'énergie potentielle grande et négative, si bien qu'un noyau pèse moins que ses nucléons libres. Ce déficit, multiplié par $c^2$, est l'énergie de liaison, la profondeur d'un niveau sous la ligne du haut de la figure 1 :
$B=(Z{m}_p+N{m}_n-M)c^2$
Ici, $M$ est la masse du noyau. Les tables donnent les masses d'atomes neutres, électrons compris ; avec elles, utilisez la masse de l'atome d'hydrogène $m_{\mathrm{H}}$ à la place de $m_p$, afin que les masses des électrons se compensent.

Faisons maintenant le bilan. Récrivez la définition sous la forme $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$ pour chaque noyau, et additionnez avant et après la réaction. La fission, et la fusion du deutérium avec le tritium (fusion D–T, ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n$), conservent séparément le nombre total de protons et le nombre total de neutrons. Les énergies de repos des nucléons sont donc les mêmes des deux côtés et se compensent ; un neutron libre compte simplement comme un noyau de $B=0$. Il ne reste que les énergies de liaison :
$Q=\sum B(\text{apreˋs})-\sum B(\text{avant})$
Avec les symboles de la figure 1, $B_i=\sum B(\text{avant})$ et $B_f=\sum B(\text{apreˋs})$, c'est donc la même relation $Q=B_f-B_i$. Une réaction libère de l'énergie quand ses produits sont plus fortement liés que ses réactifs, et une table de masses suffit pour dire combien, quels que soient les détails des forces ou la manière dont le noyau se casse.

Lire la courbe de l'énergie de liaison

Légende

$A$	Nombre de masse : le nombre de nucléons du noyau.
$B/A$	Énergie de liaison par nucléon : l'énergie de liaison totale $B$ divisée par $A$, la liaison moyenne d'un nucléon. Le trait en pointillés marque $8\mathrm{MeV}$.	$\mathrm{J}$
${}^{2}H$	Deutérium, avec $B/A=1,112\mathrm{MeV}$.
${}^{3}H$	Tritium, avec $B/A=2,827\mathrm{MeV}$.
${}^{4}He$	Hélium 4, avec $B/A=7,074\mathrm{MeV}$ : le produit de la fusion D–T.
${}^{56}Fe$	Fer 56, avec $B/A=8,790\mathrm{MeV}$, près du sommet de la courbe.
${}^{92}Kr$	Krypton 92, avec $B/A=8,513\mathrm{MeV}$ : un fragment de fission.
${}^{141}Ba$	Baryum 141, avec $B/A=8,326\mathrm{MeV}$ : l'autre fragment.
${}^{235}U$	Uranium 235, avec $B/A=7,591\mathrm{MeV}$ : le noyau qui se scinde.

La courbe de l'énergie de liaison dit à quel point chaque noyau est fortement lié, donc quelles réactions peuvent libérer de l'énergie. La figure 2 trace l'énergie de liaison par nucléon, $B/A$, en fonction du nombre de masse $A$, le nombre de nucléons, sur un axe logarithmique pour que les noyaux légers et lourds y tiennent ensemble. Les points sont des noyaux mesurés. La courbe violette est la formule de la goutte liquide de la section suivante, tracée à partir de $A=10$ (le graphe de la vue experte de l'animation montre le même tracé, avec la courbe en doré).

Lisez-la de gauche à droite. Elle grimpe rapidement à travers les noyaux les plus légers : 1,112 MeV par nucléon pour le deutérium, ${}^2\mathrm{H}$, 2,827 MeV pour le tritium, ${}^3\mathrm{H}$, et 7,074 MeV pour l'hélium 4. Elle culmine à 8,790 MeV près du fer 56, ${}^{56}\mathrm{Fe}$, puis redescend lentement jusqu'à 7,591 MeV pour l'uranium 235. Toute réaction qui fait monter des nucléons le long de la courbe libère de l'énergie. Sur le versant raide de gauche, cela veut dire réunir des noyaux légers : la fusion. Sur le versant doux de droite, cela veut dire casser des noyaux lourds : la fission.

Les flèches de la figure 2 sont les deux réactions de l'animation, dont les marqueurs gravissent la courbe de la même façon. Les flèches de fusion vont de ${}^2\mathrm{H}$ et ${}^3\mathrm{H}$ vers ${}^4\mathrm{He}$. Les flèches de fission vont de ${}^{235}\mathrm{U}$ vers ses deux fragments, le krypton 92 à 8,513 MeV et le baryum 141 à 8,326 MeV, tous deux plus haut que l'uranium. Comme $B/A$ multiplié par $A$ est l'énergie de liaison $B$ d'un noyau, la règle $Q=\sum B(\text{apreˋs})-\sum B(\text{avant})$ donne les deux énergies sans une seule masse, les neutrons libres comptant pour zéro :
$Q_{\mathrm{fus}}=4\cdot 7,074-2\cdot 1,112-3\cdot 2,827=17,59\mathrm{MeV}$
$Q_{\mathrm{fis}}=141\cdot 8,326+92\cdot 8,513-235\cdot 7,591=173,3\mathrm{MeV}$

Par nucléon, les deux processus sont très différents. La fusion D–T libère environ 3,5 MeV pour chacun de ses cinq nucléons, en une seule montée raide. La fission gagne bien moins par nucléon. Sur les 235 nucléons de l'uranium, 233 restent liés dans les fragments, chacun environ 0,81 MeV plus fortement qu'avant (le $B/A$ moyen des fragments, 8,400 MeV, moins 7,591 MeV). Les deux autres partent sous forme de neutrons libres et abandonnent chacun leurs 7,591 MeV de liaison. Le bilan, $233\cdot 0,809-2\cdot 7,591\approx 173\mathrm{MeV}$, est le même $Q$ : le gros total de la fission vient du grand nombre de nucléons, non d'un gros gain pour chacun.

Le fer fixe la limite pour les deux. Fusionner des noyaux au-delà du sommet, ou casser des noyaux en dessous, fait redescendre les nucléons le long de la pente, vers une liaison moins forte : la réaction coûte alors de l'énergie au lieu d'en libérer.

Pourquoi la courbe culmine : la goutte liquide

La forme de la courbe vient d'une lutte entre deux forces : la force nucléaire, qui lie chaque nucléon à ses voisins, et la répulsion électrique entre les protons. Un modèle simple qui traite le noyau comme une goutte de liquide chargé rend compte des deux et redonne la courbe de la figure 2.

Commençons par la force nucléaire. Elle est intense mais de courte portée, n'agissant que sur environ $10^{-15}\mathrm{m}$, et elle sature : chaque nucléon ne se lie qu'à ses plus proches voisins, quel que soit le nombre des autres. Deux conséquences. D'abord, les nucléons se rangent de la même façon dans tous les noyaux, qui ont donc à peu près la même densité ; le volume croît proportionnellement à $A$, et le rayon est $R=r_0{A}^{1/3}$ avec $r_0\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{m}$. Ensuite, la liaison se comporte comme celle d'un liquide. Chaque nucléon intérieur apporte la même quantité, donc la liaison croît avec le volume, comme $a_{V}A$. Les nucléons de surface ont moins de voisins : on retranche donc un terme proportionnel à l'aire de la surface, $a_S{A}^{2/3}$. Dans les noyaux légers, une grande part des nucléons est en surface : voilà pourquoi la courbe monte si raide à gauche.

Vient ensuite la répulsion. Une sphère de rayon $R$ portant une charge $Ze$ répartie uniformément emmagasine l'énergie électrique $\frac{3}{5}{Z}^2{e}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$. Avec $R=r_0{A}^{1/3}$, on obtient un terme $a_C{Z}^2/A^{1/3}$, de coefficient
$a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\approx 0,72\mathrm{MeV}$

Enfin, le principe d'exclusion de Pauli : deux neutrons, ou deux protons, ne peuvent occuper le même état, de sorte que chaque espèce remplit sa propre échelle de niveaux d'énergie. Un noyau qui a plus de neutrons que de protons doit placer ses neutrons en surplus sur des échelons plus élevés, ce qui coûte de l'énergie. Ce terme d'asymétrie s'annule quand $N=Z$. Ensemble, les quatre termes donnent
$B=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\frac{a_C{Z}^2}{A^{1/3}}-\frac{a_A(N-Z{)}^2}{A}$
avec $a_V=15,75$, $a_S=17,8$, $a_C=0,711$ et $a_A=23,7\mathrm{MeV}$, ajustés sur les masses mesurées ; ce sont les valeurs qui sous-tendent la courbe de la figure 2. Le $a_C$ ajusté s'accorde bien avec l'estimation ci-dessus.

Passons au sommet. Pris seul, le terme de volume donne à chaque nucléon la même liaison et rendrait $B/A$ constant. Le terme de surface fait baisser $B/A$ surtout dans les noyaux légers. Le terme coulombien le fait baisser surtout dans les noyaux lourds : comme $Z$ est à peu près proportionnel à $A$, il croît comme $A^{5/3}$, plus vite que le terme de volume. Dans l'uranium 235, il coûte 975 MeV sur une liaison totale de 1 784 MeV. Entre ces deux pertes se trouve le maximum, près du fer. Deux noyaux plus petits contiennent les mêmes 92 protons avec moins d'énergie électrique au total, car chaque proton n'est plus repoussé que par les protons de son propre fragment ; l'énergie de surface augmente un peu, mais l'économie coulombienne est plus grande, et la fission restitue la différence.

La même lutte explique pourquoi les noyaux lourds portent des neutrons en excès. Le terme coulombien favorise un nombre de protons plus faible, le terme d'asymétrie favorise $N=Z$, et à mesure que les noyaux grossissent l'équilibre se déplace vers les neutrons : l'uranium 235 a 143 neutrons pour 92 protons. Les fragments héritent de cet excédent. Le baryum 141 a 85 neutrons, alors que le baryum stable le plus lourd, le baryum 138, n'en a que 82 ; avec trop de neutrons pour leur taille, les fragments sont radioactifs.

La barrière de fission

Légende

$\epsilon$	Allongement : de combien la goutte est étirée, d'une sphère à une forme allongée de même volume.
$E$	Énergie du noyau pour cette forme, mesurée à partir de celle de la sphère.	$\mathrm{J}$
$E_B$	Hauteur de la barrière de fission au-dessus de la sphère : environ 6 MeV pour l'uranium.	$\mathrm{J}$
${}^{236}{U}^{\ast }$	Énergie d'excitation de ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$, formé par ${}^{235}\mathrm{U}$ et un neutron lent : 6,5 MeV, au-dessus de la barrière.	$\mathrm{J}$
${}^{239}{U}^{\ast }$	Énergie d'excitation de ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$, formé par ${}^{238}\mathrm{U}$ et un neutron lent : 4,8 MeV, en dessous de la barrière.	$\mathrm{J}$

La courbe dit que l'uranium libérerait de l'énergie en se cassant ; pourquoi un noyau d'uranium ne se casse-t-il donc pas tout seul ? La figure 3 répond. Elle trace l'énergie $E$ du noyau, mesurée à partir de celle de la sphère, en fonction de son allongement $\epsilon$ : un petit nombre qui dit de combien la goutte a été étirée, d'une sphère à une forme allongée de même volume. Les formes sous l'axe montrent la sphère, la goutte étirée et la goutte sur le point de se rompre.

Deux termes de la goutte liquide changent quand elle s'étire. La surface croît, donc l'énergie de surface $E_S$ augmente de $\frac{2}{5}{\epsilon }^2{E}_S$. Les protons s'éloignent en moyenne les uns des autres, donc l'énergie coulombienne $E_C$ diminue de $\frac{1}{5}{\epsilon }^2{E}_C$. La variation nette, $(\frac{2}{5}{E}_S-\frac{1}{5}{E}_C){\epsilon }^2$, est positive tant que $E_C<2E_S$ : la courbe part alors vers le haut depuis la sphère, et un petit étirement est rappelé en arrière. D'après la goutte liquide, $E_C/E_S=(a_C/a_S)Z^2/A$, si bien que la condition s'écrit $Z^2/A<2a_S/a_C\approx 50$.

L'uranium, avec $Z^2/A\approx 36$, passe ce test : il repose dans la cuvette à gauche de la figure 3. Pour se scinder, il doit d'abord être étiré par-dessus la bosse, la barrière de fission, dont la hauteur $E_B$ vaut environ 6 MeV. Au-delà du sommet, l'énergie coulombienne l'emporte et l'énergie diminue régulièrement tandis que le noyau forme un col et se casse en deux : c'est la flèche qui descend à droite.

D'où vient l'énergie pour franchir la barrière ? Un neutron capturé apporte son énergie de liaison au noyau sous forme d'énergie d'excitation, et les deux flèches bleues de la figure 3 montrent combien. L'uranium 235 et un neutron lent forment ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$ (l'étoile signale un noyau excité) avec 6,5 MeV d'excitation, plus que la barrière : sa flèche passe par-dessus la bosse, et le noyau se scinde. C'est le bref tremblement du noyau dans l'animation. L'uranium 238 et un neutron lent forment ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$ avec seulement 4,8 MeV : sa flèche vient buter contre la paroi de la bosse et s'arrête. La différence tient à l'appariement. Les nucléons se lient plus fortement par paires ; le neutron ajouté à l'uranium 235 complète une paire, alors que celui qui est ajouté à l'uranium 238 reste seul. Pour fissionner l'uranium 238, le neutron incident doit donc apporter l'énergie manquante sous forme d'énergie cinétique, environ 1 MeV.

C'est pourquoi les réacteurs fonctionnent avec l'isotope rare, l'uranium 235, qui ne forme que 0,7 % de l'uranium naturel : il se scinde avec des neutrons de n'importe quelle énergie. Les neutrons lents y sont capturés bien plus facilement que les rapides, et les réacteurs ralentissent donc leurs neutrons.

Réaction en chaîne et neutrons retardés

Chaque fission libère deux ou trois neutrons, trois dans la réaction de l'animation, et ceux-ci peuvent casser d'autres noyaux. Le facteur de multiplication $k$ est le nombre moyen de neutrons d'une fission qui provoquent à leur tour une fission. Après $g$ générations, $N_0$ neutrons sont devenus $N_g=N_0{k}^g$. Avec $k<1$ la chaîne s'éteint, avec $k=1$ elle se maintient, et avec $k>1$ elle croît. Un réacteur fonctionne à $k=1$.

La rapidité de croissance de la chaîne dépend du temps entre générations. Si chaque neutron était émis à l'instant de la fission (un neutron prompt), une génération durerait environ $10^{-4}\mathrm{s}$, soit $10^4$ générations par seconde. Même $k=1,001$ multiplierait alors la puissance par $1,001^{10^4}\approx 2\times 10^4$ en une seconde, bien trop vite pour toute commande mécanique.

Le contrôle repose sur les neutrons retardés. Environ 0,65 % des neutrons de fission ne sont pas émis à la scission mais quelques secondes plus tard, par des fragments en cours de désintégration. En les attendant, la génération moyenne s'allonge jusqu'à environ 0,1 s, de sorte que le même $k=1,001$ n'augmente la puissance que d'environ 1 % par seconde, assez lentement pour déplacer des barres de contrôle. Cela ne vaut que tant que la chaîne a besoin des neutrons retardés. Au-dessus de $k\approx 1,0065$, les neutrons prompts suffisent seuls à faire croître la chaîne et la multiplication rapide revient ; un réacteur doit donc toujours rester en dessous de cette valeur.

La fusion : barrière coulombienne et effet tunnel

Légende

$r$	Distance entre les centres des deux noyaux.	$\mathrm{m}$
$U$	Énergie potentielle de la paire : répulsion électrique au-delà de $r_n$, attraction nucléaire en deçà.	$\mathrm{J}$
$U_C$	Hauteur de la colline coulombienne au contact : environ 0,4 MeV.	$\mathrm{J}$
$E$	Énergie de collision de la paire : 10 keV dans l'exemple du texte.	$\mathrm{J}$
$r_n$	Distance de contact, où la force nucléaire saisit les noyaux : environ 3,5 fm.	$\mathrm{m}$
$r_t$	Point de rebroussement, où $U=E$ : environ 144 fm pour 10 keV.	$\mathrm{m}$
$P$	Probabilité qu'une paire franchisse la barrière par effet tunnel de $r_t$ à $r_n$.

La fusion se heurte au problème inverse. Les noyaux à réunir sont tous deux positifs, donc ils se repoussent, et la force nucléaire ne les saisit qu'une fois en contact. La figure 4 montre l'obstacle. Elle trace l'énergie potentielle $U$ d'une paire deutérium–tritium en fonction de la distance $r$ entre leurs centres. Loin l'un de l'autre, $U$ est leur répulsion électrique, $e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$ : la courbe rouge, qui monte vers la gauche. À la distance de contact $r_n$, environ 3,5 fm, la force nucléaire prend le relais et la paire tombe dans le puits nucléaire profond, en bas à gauche. Le sommet de la colline rouge, en $r_n$, est la barrière coulombienne $U_C$. Avec $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}$,
$U_C=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n}=\frac{1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{3,5\mathrm{fm}}\approx 0,4\mathrm{MeV}$

Suivons maintenant une paire qui arrive de la droite avec l'énergie de collision $E$, la flèche violette. Classiquement, elle gravit la colline jusqu'à ce que toute son énergie cinétique soit devenue énergie potentielle, là où $U=E$ ; c'est le point de rebroussement $r_t$, où elle s'arrête et fait demi-tour. Dans un plasma à $1,2\times 10^8\mathrm{K}$, l'énergie thermique est $k_{\mathrm{B}}T=10\mathrm{keV}$. Une paire en collision frontale avec 10 keV fait demi-tour en $r_t=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}/0,010\mathrm{MeV}=144\mathrm{fm}$, environ 40 fois plus loin que $r_n$. Classiquement, elle ne fusionne jamais.

La mécanique quantique change cela. Un noyau se comporte aussi comme une onde, et une onde peut fuir à travers une région où une particule ne peut pas entrer classiquement. C'est l'effet tunnel : la flèche en pointillés de la figure 4 de $r_t$ à $r_n$, franchie avec la probabilité $P$. Dans l'animation, c'est l'étape marquée « effet tunnel », où les noyaux ralentis sautent le dernier tronçon. Pour D–T à l'énergie de collision $E$,
$P\approx e^{-\sqrt{E_G/E}}$
où l'énergie de Gamow $E_G\approx 1,2\mathrm{MeV}$ est une constante fixée par les charges et les masses de la paire. $P$ est minuscule mais croît très vite avec l'énergie : $2\times 10^{-5}$ à 10 keV, $2\times 10^{-3}$ à 30 keV.

Deux effets s'opposent donc. Dans un plasma, les noyaux rapides sont rares, et leur nombre chute vite avec l'énergie ; les noyaux lents sont nombreux mais traversent à peine. Le produit des deux culmine bien au-dessus de l'énergie thermique, de sorte que dans un plasma à 10 keV la plupart des fusions viennent des quelques paires dont l'énergie avoisine 30 keV.

Un plasma de fusion ne fournit plus d'énergie qu'il n'en perd que s'il est assez dense, assez chaud et maintenu assez longtemps. La condition porte sur le produit de la densité $n$, de la température $T$ et du temps de confinement $\tau$ : $nT\tau$ doit atteindre environ $3\times 10^{21}\mathrm{keV}\cdot s/{\mathrm{m}}^3$, par exemple $10^{20}$ ions par mètre cube à 10 keV, maintenus pendant 3 s.

Problème résolu : ce qui écarte les fragments

Problème : dans la fission de l'animation, les deux fragments emportent environ 160 MeV d'énergie cinétique, l'essentiel des 173 MeV ; les neutrons et les rayons gamma prennent le reste. Quelle force fournit cette énergie, à quelle distance l'un de l'autre les fragments se trouvent-ils quand ils se séparent, et comment se partagent-ils l'énergie ?

La force doit agir à des distances bien plus grandes que la portée de la force nucléaire : c'est la répulsion électrique entre les 56 protons du baryum et les 36 du krypton. Modélisez les fragments comme deux charges qui partent du repos, leurs centres séparés d'une distance $d$. Quand ils s'écartent, leur énergie potentielle électrique se transforme entièrement en énergie cinétique :
$K_{\mathrm{tot}}=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}d}=\frac{56\cdot 36\cdot 1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}=\frac{2903\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}$

Étape 1, la séparation. Si les fragments étaient des sphères en contact, de rayons $r_0{A}^{1/3}=6,2$ et $5,4\mathrm{fm}$, on aurait $d=11,7\mathrm{fm}$, et la formule donnerait environ 250 MeV, plus que tout le $Q$. Les 160 MeV réels exigent une distance de départ plus grande, $d=2903/160=18,1\mathrm{fm}$. Au moment où ils se séparent, les fragments ne sont donc pas des sphères mais des formes allongées reliées par un fin col, leurs centres environ 6 fm plus éloignés que pour des sphères en contact. Leur énergie de déformation n'est pas perdue : elle chauffe les fragments, qui se refroidissent en évaporant des neutrons.

Étape 2, le partage. Le noyau qui se scinde est presque au repos, donc les fragments partent avec des quantités de mouvement égales et opposées. Avec $K=p^2/(2m)$ et le même $p$, l'énergie cinétique est inversement proportionnelle à la masse, si bien que le fragment le plus léger prend la plus grande part : $K_{\mathrm{Kr}}=160\cdot 141/233=97\mathrm{MeV}$ et $K_{\mathrm{Ba}}=63\mathrm{MeV}$. Tous deux ont la même quantité de mouvement, $p=\sqrt{2mK}\approx 4070\mathrm{MeV}/c$.

Étape 3, la rapidité du processus. À la séparation $r$, l'énergie cinétique est égale à l'énergie potentielle perdue jusque-là, $K(r)=K_{\mathrm{tot}}(1-d/r)$. Les fragments ont donc 90 % de leur énergie dès $r=10d\approx 180\mathrm{fm}$, encore bien à l'intérieur du nuage électronique de l'atome, large d'environ $10^5\mathrm{fm}$. L'énergie de la fission est fournie par la répulsion électrique, presque entièrement dans une minuscule région autour du noyau.

Limites de validité

La goutte liquide est un ajustement, pas une théorie. Elle reproduit les noyaux lourds à 0,5 % près (1 786 MeV pour l'uranium 235, contre 1 784 MeV mesurés), mais ignore la structure en couches : comme les électrons dans les atomes, les nucléons remplissent des couches, et les noyaux de 2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126 protons ou neutrons, les nombres magiques, sont particulièrement stables. Ainsi, la goutte ne donne à ${}^4\mathrm{He}$ que 16 MeV de liaison au lieu des 28,3 MeV mesurés. Elle prédit 162 MeV au lieu de 173 MeV pour la fission de l'animation et casserait l'uranium en deux moitiés égales, alors que les effets de couches le font se scinder de façon inégale, surtout en fragments proches de $A=95$ et de $A=140$.

Deux éléments du bilan sont aussi des approximations. Le partage de l'énergie par $K=p^2/(2m)$ est non relativiste. Dans la fusion D–T, le neutron emporte quatre cinquièmes des 17,59 MeV, soit 14,07 MeV, et se déplace à $0,17c$ ; le calcul relativiste exact à deux corps, avec les vraies masses, donne 14,03 MeV, soit 0,3 % de moins. Et écrire $Q$ comme une différence d'énergies de liaison exige que $Z$ et $N$ se conservent séparément. Là où la force faible transforme des protons en neutrons, comme dans la réaction nette du Soleil $4{}^1\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+2e^{+}+2\nu$, la différence de masse entre un neutron et un atome d'hydrogène, 0,78 MeV, intervient pour chaque proton converti : l'énergie libérée vaut $28,3-2\cdot 0,78=26,7\mathrm{MeV}$, soit 0,7 % de la masse. Ce qui reste exact à ces énergies, c'est la conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement, de la charge et du nombre de nucléons.

Ce qui vient ensuite

La leçon Équation de Schrödinger et effet tunnel transforme le facteur $e^{-\sqrt{E_G/E}}$ en un calcul. La leçon Particules et forces : le modèle standard montre d'où vient la force nucléaire, un reste de l'interaction forte qui lie les quarks par l'intermédiaire de gluons, et décrit la force faible qui permet au Soleil de transformer des protons en neutrons. En amont, la leçon Relativité restreinte fournit $E=m{c}^2$, Radioactivité et demi-vie décrit les fragments en désintégration qui donnent les neutrons retardés, Loi de Coulomb donne la barrière, et Quantité de mouvement et chocs partage l'énergie entre les produits.