Fissão, fusão e E = mc²

Iniciante

Passo 1. No centro de cada átomo há um núcleo minúsculo, um agrupamento compacto de prótons e nêutrons. O número de prótons indica o elemento: 92 significa urânio, 1 significa hidrogênio. As reações químicas apenas rearranjam os elétrons externos; mudar um núcleo exige uma reação nuclear.

Passo 2. Fissão significa dividir. Na animação, um nêutron azul voa até um núcleo dourado de urânio-235. O núcleo o engole, treme e se parte em dois núcleos menores, com um clarão de energia e dois ou três novos nêutrons. As duas partes disparam em direções opostas.

Passo 3. Cada novo nêutron pode dividir outro núcleo de urânio: uma reação em cadeia. Siga os caminhos tracejados, que se ramificam: 1, 2, 4… Numa usina, as barras de controle absorvem os nêutrons excedentes, para que cada divisão cause apenas mais uma.

Passo 4. Fusão significa unir. À direita, dois núcleos de hidrogênio pesado se lançam um contra o outro. Ambos são positivos, então se repelem e desaceleram; só uma colisão em velocidade enorme, a milhões de graus, deixa que se fundam em hélio e um nêutron rápido. O Sol também brilha por fusão: ele une hidrogênio comum em hélio.

Passo 5. Energia nunca é criada do nada; ela apenas muda de forma. Então de onde ela vem? Pese tudo com muita precisão: depois de qualquer uma das reações, as partes são um pouco mais leves. A massa que falta virou energia, $E=m{c}^2$. Como a velocidade da luz $c$ é enorme, um pedacinho de massa dá muita energia: um quilograma de urânio-235, totalmente dividido, dá tanto calor quanto cerca de 2.700 toneladas de carvão.

Teste você mesmo: o núcleo de hélio e o nêutron pesam mais ou menos do que os dois núcleos de hidrogênio pesado de que vieram? (Menos: a diferença saiu como energia.)

Intermediário

O que medimos: núcleos, massas e energias

Um núcleo é descrito por dois números inteiros: o número de prótons $Z$, que fixa o elemento, e o número de nêutrons $N$. A soma $A=Z+N$, o número de massa, conta os núcleons. O urânio-235, ${}^{235}\mathrm{U}$, tem $Z=92$ prótons e $N=143$ nêutrons. Isótopos têm o mesmo $Z$, mas $N$ diferente: o deutério, ${}^2\mathrm{H}$, e o trítio, ${}^3\mathrm{H}$, são hidrogênio com um e dois nêutrons.

As massas nucleares são dadas em unidades de massa atômica, $1\mathrm{u}=1,6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, um doze avos da massa de um átomo de carbono-12. As energias nucleares são dadas em mega-elétron-volts, $1\mathrm{MeV}=1,602\times 10^{-13}\mathrm{J}$, um milhão de elétron-volts, contra os poucos elétron-volts de uma ligação química. As massas tabeladas são as de átomos neutros; nessas reações os elétrons se cancelam.

Defeito de massa: de onde vem a energia

De onde vem a energia de uma reação? A relatividade restrita responde: um corpo em repouso possui a energia de repouso
$E=m{c}^2$
então um sistema que cede energia fica mais leve dessa energia dividida por $c^2$. Como $c^2=8,99\times 10^{16}J/kg$, uma pequena perda de massa carrega uma energia enorme.

O defeito de massa $\Delta m$ é a massa total dos reagentes menos a dos produtos, e a energia liberada, o valor $Q$, é
$Q=\Delta m{c}^2,1\mathrm{u}\cdot c^2=931,5\mathrm{MeV}$
Um $Q$ negativo significa que a reação precisa de energia para ocorrer.

Nada é destruído: núcleons e carga se conservam ($1+235=141+92+3$ e $92=56+36$ na fissão), mas os núcleons acabam mais firmemente presos. A energia necessária para separar um núcleo em prótons e nêutrons livres é a sua energia de ligação; por núcleon ela sobe de 1,1 MeV no deutério para cerca de 8,8 MeV perto do ferro-56 e depois desce para 7,6 MeV no urânio. Fissão e fusão levam os núcleons para esse pico, e a ligação extra sai como energia.

As equações de trabalho

Além de $Q=\Delta m{c}^2$, quatro relações fazem a maior parte do trabalho: as duas reações da animação, o crescimento de uma reação em cadeia e a energia cinética de um corpo de massa $m$ e quantidade de movimento $p$:

• $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n+173\mathrm{MeV}$
• ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n+17,6\mathrm{MeV}$
• $N_g=N_0{k}^g$
• $K=\frac{p^2}{2m}$

Para achar a energia de uma reação, balanceie-a (mesmos números de massa e cargas dos dois lados), subtraia as massas somadas e multiplique por 931,5 MeV por u. Para saber quem leva a energia, use a quantidade de movimento: reagentes quase em repouso dão produtos com quantidades de movimento iguais e opostas, e como $K=p^2/(2m)$, o produto mais leve fica com mais.

Exemplo resolvido: as reações da animação

Comecemos pela fissão. Com as massas atômicas 235,0439 u para o urânio-235, 140,9144 u para o bário-141, 91,9262 u para o criptônio-92 e 1,0087 u para o nêutron:
$m_{\mathrm{before}}=235,0439+1,0087=236,0526\mathrm{u}$
$m_{\mathrm{after}}=140,9144+91,9262+3\cdot 1,0087=235,8667\mathrm{u}$
$\Delta m=236,0526-235,8667\approx 0,186\mathrm{u},Q\approx 0,186\cdot 931,5\approx 173\mathrm{MeV}$

Esses são os rótulos $\Delta m$ e $Q$ na primeira divisão. O contador de fissões então sobe para 3 e 7 (passando brevemente por 5), e o medidor de energia para 520 e 1213 MeV: um $Q$ por fissão. Os 173 MeV são quarenta milhões de vezes os 4 eV que a queima de um átomo de carbono libera.

Cerca de 160 MeV viram energia cinética dos dois fragmentos. Os outros 13 MeV vão para os três nêutrons (cerca de 6 MeV) e para os raios gama imediatos (cerca de 7 MeV). O urânio estava praticamente em repouso, então os fragmentos saem com quantidades de movimento iguais e opostas, e o criptônio, mais leve, fica com a parcela maior: $160\cdot 141/233\approx 97\mathrm{MeV}$ contra 63 MeV para o bário. Suas velocidades, $0,048c$ e $0,031c$, diferem pelo fator $141/92\approx 1,5$ que as duas setas verdes $v$ mostram. O combustível logo freia os fragmentos, e a energia deles vira calor.

A fusão funciona do mesmo jeito, com um defeito de massa dez vezes menor, então são necessárias mais casas decimais: 2.014102 u para o deutério, 3.016049 u para o trítio, 4.002603 u para o hélio-4 e 1.008665 u para o nêutron.
$\Delta m=5,030151-5,011268=0,018883\mathrm{u},Q=0,018883\cdot 931,5\approx 17,6\mathrm{MeV}$

De novo, as quantidades de movimento são iguais e opostas. O nêutron, quatro vezes mais leve que o núcleo de hélio, se move quatro vezes mais rápido e leva quatro quintos da energia, $\frac{4}{5}\cdot 17,6\approx 14,1\mathrm{MeV}$, contra 3,5 MeV para o hélio: são os dois rótulos de energia ao lado dos produtos.

Exemplo resolvido: um ano em uma usina

Um grande reator produz 3000 MW de calor, que suas turbinas transformam em cerca de 1000 MW de eletricidade. Quanto urânio-235 ele divide em um ano, e quanta massa desaparece? Com $3,156\times 10^7\mathrm{s}$ em um ano,
$E=Pt=3,0\times 10^9\mathrm{W}\cdot 3,156\times 10^7\mathrm{s}=9,47\times 10^{16}\mathrm{J}$
Contando cerca de 200 MeV, ou $3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}$, por fissão (incluindo os decaimentos posteriores dos fragmentos), o número de fissões é
$N_{\mathrm{fis}}=\frac{9,47\times 10^{16}\mathrm{J}}{3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}}=2,96\times 10^{27}$

Isso equivale a $2,96\times 10^{27}/(6,02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})=4,91\times 10^3\mathrm{mol}$ de urânio-235, ou $4,91\times 10^3\mathrm{mol}\cdot 0,235kg/mol\approx 1150\mathrm{kg}$. A massa que desaparece é muito menor, $\Delta m=E/c^2\approx 1,05\mathrm{kg}$, cerca de um milésimo do urânio dividido.

Uma usina a carvão que dê o mesmo calor, a 30 MJ por quilograma, queimaria mais de três milhões de toneladas, mas perderia os mesmos 1,05 kg de massa.

Lendo as setas e os contadores

Cada seta verde é uma velocidade. Com quase nenhuma quantidade de movimento total no início, dois produtos se movem em direções opostas, com velocidades na razão inversa de suas massas: 141 para 92 no criptônio e no bário, 4 para 1 no nêutron e no núcleo de hélio. No lado da fusão, as setas de entrada estão na razão 3 : 2, porque o núcleo leve de deutério precisa se mover mais rápido para igualar a quantidade de movimento do núcleo de trítio. As duas encurtam conforme a repulsão entre os núcleos positivos os desacelera.

As linhas tracejadas são caminhos de nêutrons. Cada fissão inicial libera três nêutrons, dos quais dois dividem novos núcleos, então cada fissão causa $k=2$ novas fissões. A geração $g$ contém então $N_g=N_0{k}^g=2^g$ fissões, partindo de $N_0=1$: 1, 2 e 4. Uma bomba é uma cadeia com $k>1$ em metal denso, com gerações separadas por cerca de dez nanossegundos. Um reator de potência é mantido em $k=1$: barras de controle de boro ou cádmio absorvem os nêutrons excedentes, e um moderador como a água desacelera o resto, já que nêutrons lentos dividem o urânio-235 com muito mais facilidade.

Erros comuns

• Núcleons não são destruídos. O número de massa se equilibra, $1+235=141+92+3$; a massa cai porque os fragmentos são mais firmemente ligados, cerca de 0,8 MeV por núcleon.
• $E=m{c}^2$ não é exclusivo dos núcleos. Queimar carvão também perde massa, cerca de $3\times 10^{-10}$ dela; a fissão perde cerca de um milésimo e a fusão D–T, quatro milésimos.
• Fissão e fusão não se cancelam. Ambas levam núcleons para o pico de ligação perto do ferro; dividir o ferro, ou fundir além dele, custaria energia.
• Conte todas as partículas. Deixar de fora os três nêutrons que saem na equação da fissão dá $\Delta m=3,21\mathrm{u}$ e quase 3000 MeV, dezessete vezes demais.
• Cuidado com as unidades. Multiplique uma massa em u por 931,5 MeV, ou converta primeiro para quilogramas: $0,0189\cdot 1,66\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 8,99\times 10^{16}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=2,82\times 10^{-12}\mathrm{J}$, que de novo é 17,6 MeV.

Onde isso aparece

Cerca de um décimo da eletricidade mundial vem de reatores de fissão. O Sol funde hidrogênio em hélio e transforma cerca de 4,3 milhões de toneladas de massa em luz a cada segundo; experimentos de fusão buscam fazer o mesmo na Terra com combustível D–T. Os fragmentos de fissão são radioativos, o que liga ao tema Radioatividade e meia-vida, e a energia de repouso $m{c}^2$ vem da Relatividade restrita. Adiante, a Equação de Schrödinger e tunelamento explica como os núcleos escapam pela barreira de Coulomb, e Partículas e forças: o Modelo Padrão mostra o que mantém prótons e nêutrons juntos.

Avançado

Massa como energia armazenada

Legenda

$E$	Energia; o eixo aponta para energias maiores.	$\mathrm{J}$
$Z{m}_p{c}^2$	Energia de repouso dos $Z$ prótons da reação, afastados e em repouso.	$\mathrm{J}$
$N{m}_n{c}^2$	Energia de repouso dos $N$ nêutrons da reação, afastados e em repouso.	$\mathrm{J}$
$E_i$	Energia de repouso dos reagentes: o núcleo ${}^{235}\mathrm{U}$ e um nêutron.	$\mathrm{J}$
$E_f$	Energia de repouso dos produtos: ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ e três nêutrons.	$\mathrm{J}$
$B_i$	Energia de ligação dos reagentes, $\sum B(\text{before})$: a distância de seu nível abaixo dos núcleons soltos.	$\mathrm{J}$
$B_f$	Energia de ligação dos produtos, $\sum B(\text{after})$: a distância de seu nível abaixo dos núcleons soltos.	$\mathrm{J}$
$Q$	Energia liberada pela reação: $Q=E_i-E_f=B_f-B_i$.	$\mathrm{J}$
${}^{235}U$	Núcleo de urânio-235, com 92 prótons e 143 nêutrons.
${}^{141}Ba$	Núcleo de bário-141, um fragmento da fissão.
${}^{92}Kr$	Núcleo de criptônio-92, o outro fragmento.
$n$	Nêutron (azul); $3n$ são três nêutrons livres.

Fissão e fusão liberam energia reorganizando núcleons, e quanto liberam pode ser lido apenas a partir das massas. A Figura 1 mostra por quê. Ela é o balanço energético da fissão da animação, $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n$, desenhado em escala.

Comece na linha do topo. Considere todos os $Z=92$ prótons e $N=144$ nêutrons que participam da reação (os 143 do urânio mais o nêutron incidente) e imagine-os separados e em repouso. A energia deles é então apenas sua energia de repouso, $Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2$, onde $m_p$ e $m_n$ são as massas do próton e do nêutron.

Agora deixe os núcleons se reunirem em núcleos. A força nuclear forte os puxa, e a energia cai. A medida dessa queda é a energia de ligação $B$: a energia que você teria de fornecer para separar os núcleons de novo. À esquerda, os reagentes, o núcleo de ${}^{235}\mathrm{U}$ e o nêutron $n$, estão no nível $E_i$, a uma profundidade $B_i$ abaixo da linha do topo. À direita, os produtos, ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ e três nêutrons livres, estão no nível $E_f$, a uma profundidade $B_f$ abaixo dela. O pequeno degrau entre os dois níveis inferiores é a energia cedida ao ambiente:
$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$
Repare como ele é pequeno: cerca de um décimo de qualquer uma das profundidades. Os núcleons estão quase tão firmemente ligados antes da divisão quanto depois; a fissão apenas os aperta um pouco mais.

Por que essa energia apareceria como mudança de massa? Imagine uma caixa selada, com paredes perfeitamente isolantes, contendo um núcleo de urânio-235 e um nêutron lento, sobre uma balança. Deixe a fissão ocorrer lá dentro. Os fragmentos se afastam, e a energia cinética deles vira calor nas paredes, mas nada sai da caixa; então a energia total e a massa permanecem as mesmas. Agora abra uma janela e deixe o calor sair: a caixa fica mais leve exatamente em $Q/c^2$. A massa que falta, o defeito de massa, não foi destruída; é a massa carregada pela energia liberada.

A regra geral é que a massa de qualquer corpo composto é sua energia interna total dividida por $c^2$: as energias de repouso de suas partes mais suas energias cinéticas e potenciais. Dentro de um núcleo, a força forte torna a energia potencial grande e negativa, então um núcleo pesa menos que seus núcleons livres. Essa diferença, multiplicada por $c^2$, é a energia de ligação, a profundidade de um nível abaixo da linha do topo da Figura 1:
$B=(Z{m}_p+N{m}_n-M)c^2$
Aqui $M$ é a massa do núcleo. As tabelas trazem as massas de átomos neutros, com os elétrons incluídos; com elas, use a massa do átomo de hidrogênio $m_{\mathrm{H}}$ no lugar de $m_p$, de modo que as massas dos elétrons se cancelem.

Agora a contabilidade. Reescreva a definição como $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$ para cada núcleo, e some esses termos antes e depois da reação. A fissão e a fusão do deutério com o trítio (fusão D–T, ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n$) conservam separadamente o número total de prótons e o número total de nêutrons. Assim, as energias de repouso dos núcleons são iguais dos dois lados e se cancelam; um nêutron livre simplesmente conta como um núcleo com $B=0$. Restam apenas as energias de ligação:
$Q=\sum B(\text{after})-\sum B(\text{before})$
Nos símbolos da Figura 1, $B_i=\sum B(\text{before})$ e $B_f=\sum B(\text{after})$, então isso é o mesmo $Q=B_f-B_i$. Uma reação libera energia quando seus produtos estão mais firmemente ligados que seus reagentes, e uma tabela de massas basta para dizer quanto, sejam quais forem os detalhes das forças ou a maneira como o núcleo se quebra.

Lendo a curva de energia de ligação

Legenda

$A$	Número de massa: o número de núcleons do núcleo.
$B/A$	Energia de ligação por núcleon: a ligação total $B$ dividida por $A$, a ligação média de um núcleon. A linha tracejada marca $8\mathrm{MeV}$.	$\mathrm{J}$
${}^{2}H$	Deutério, com $B/A=1,112\mathrm{MeV}$.
${}^{3}H$	Trítio, com $B/A=2,827\mathrm{MeV}$.
${}^{4}He$	Hélio-4, com $B/A=7,074\mathrm{MeV}$: o produto da fusão D–T.
${}^{56}Fe$	Ferro-56, com $B/A=8,790\mathrm{MeV}$, perto do topo da curva.
${}^{92}Kr$	Criptônio-92, com $B/A=8,513\mathrm{MeV}$: um fragmento da fissão.
${}^{141}Ba$	Bário-141, com $B/A=8,326\mathrm{MeV}$: o outro fragmento.
${}^{235}U$	Urânio-235, com $B/A=7,591\mathrm{MeV}$: o núcleo que se divide.

A curva de energia de ligação mostra quão firmemente cada núcleo está ligado e, portanto, quais reações podem liberar energia. A Figura 2 mostra a energia de ligação por núcleon, $B/A$, contra o número de massa $A$, o número de núcleons, em um eixo logarítmico para que núcleos leves e pesados caibam juntos. Os pontos são núcleos medidos. A curva roxa é a fórmula da gota líquida da próxima seção, desenhada a partir de $A=10$ (o gráfico do nível avançado da animação mostra o mesmo diagrama, com a curva em dourado).

Leia da esquerda para a direita. Ela sobe acentuadamente entre os núcleos mais leves: 1,112 MeV por núcleon para o deutério, ${}^2\mathrm{H}$, 2,827 MeV para o trítio, ${}^3\mathrm{H}$, e 7,074 MeV para o hélio-4. Atinge o pico de 8,790 MeV perto do ferro-56, ${}^{56}\mathrm{Fe}$, e depois desce devagar até 7,591 MeV para o urânio-235. Qualquer reação que leve núcleons para cima na curva libera energia. No lado esquerdo íngreme, isso significa unir núcleos leves: fusão. No lado direito suave, significa dividir núcleos pesados: fissão.

As setas na Figura 2 são as duas reações da animação, cujos marcadores sobem a curva da mesma maneira. As setas da fusão vão de ${}^2\mathrm{H}$ e ${}^3\mathrm{H}$ para cima, até ${}^4\mathrm{He}$. As setas da fissão vão de ${}^{235}\mathrm{U}$ até seus dois fragmentos, o criptônio-92 com 8,513 MeV e o bário-141 com 8,326 MeV, ambos acima do urânio. Como $B/A$ vezes $A$ é a energia de ligação $B$ de um núcleo, a regra $Q=\sum B(\text{after})-\sum B(\text{before})$ dá as duas energias sem uma única massa, contando os nêutrons livres como zero:
$Q_{\mathrm{fus}}=4\cdot 7,074-2\cdot 1,112-3\cdot 2,827=17,59\mathrm{MeV}$
$Q_{\mathrm{fis}}=141\cdot 8,326+92\cdot 8,513-235\cdot 7,591=173,3\mathrm{MeV}$

Por núcleon, os dois processos são muito diferentes. A fusão D–T libera cerca de 3,5 MeV para cada um de seus cinco núcleons, em uma subida única e íngreme. A fissão ganha muito menos por núcleon. Dos 235 núcleons do urânio, 233 permanecem ligados nos fragmentos, cada um cerca de 0,81 MeV mais firmemente que antes (o $B/A$ médio dos fragmentos, de 8,400 MeV, menos 7,591 MeV). Os outros dois viram nêutrons livres e cedem, cada um, seus 7,591 MeV de ligação. O saldo, $233\cdot 0,809-2\cdot 7,591\approx 173\mathrm{MeV}$, é o mesmo $Q$: o grande total da fissão vem do grande número de núcleons, não de um grande ganho por núcleon.

O ferro estabelece o limite para as duas. Fundir núcleos além do pico, ou dividir núcleos abaixo dele, move núcleons para baixo na encosta, para uma ligação menos firme, de modo que a reação custa energia em vez de liberá-la.

Por que a curva tem um pico: a gota líquida

A forma da curva vem de uma disputa entre duas forças: a força nuclear, que prende cada núcleon a seus vizinhos, e a repulsão elétrica entre os prótons. Um modelo simples que trata o núcleo como uma gota de líquido carregado captura as duas e fornece a curva da Figura 2.

Comece pela força nuclear. Ela é forte, mas de curto alcance, atuando apenas em cerca de $10^{-15}\mathrm{m}$, e é saturada: cada núcleon se liga apenas aos vizinhos mais próximos, não importa quantos outros existam. Disso decorrem duas coisas. Primeiro, os núcleons se empacotam da mesma forma em todos os núcleos, então todos têm aproximadamente a mesma densidade; o volume cresce em proporção a $A$, e o raio é $R=r_0{A}^{1/3}$ com $r_0\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{m}$. Segundo, a ligação se comporta como a de um líquido. Cada núcleon interno contribui com a mesma quantia, então a ligação cresce com o volume, como $a_{V}A$. Núcleons na superfície têm menos vizinhos, então um termo proporcional à área da superfície, $a_S{A}^{2/3}$, é subtraído. Nos núcleos leves, uma grande parte dos núcleons fica na superfície: por isso a curva sobe tão acentuadamente à esquerda.

Depois, a repulsão. Uma esfera de raio $R$ com carga $Ze$ espalhada uniformemente armazena a energia elétrica $\frac{3}{5}{Z}^2{e}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$. Substituindo $R=r_0{A}^{1/3}$, obtém-se um termo $a_C{Z}^2/A^{1/3}$, com o coeficiente
$a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\approx 0,72\mathrm{MeV}$

Por fim, o princípio de exclusão de Pauli: dois nêutrons, e dois prótons, não podem ocupar o mesmo estado, então cada tipo preenche sua própria escada de níveis de energia. Um núcleo com mais nêutrons que prótons precisa colocar os nêutrons excedentes em degraus mais altos, o que custa energia. Esse termo de assimetria desaparece quando $N=Z$. Juntos, os quatro termos dão
$B=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\frac{a_C{Z}^2}{A^{1/3}}-\frac{a_A(N-Z{)}^2}{A}$
com $a_V=15,75$, $a_S=17,8$, $a_C=0,711$ e $a_A=23,7\mathrm{MeV}$, ajustados a massas medidas; esses são os valores por trás da curva da Figura 2. O $a_C$ ajustado concorda bem com a estimativa acima.

Agora o pico. Sozinho, o termo de volume daria a cada núcleon a mesma ligação e tornaria $B/A$ plano. O termo de superfície puxa $B/A$ para baixo sobretudo nos núcleos leves. O termo de Coulomb puxa para baixo sobretudo nos pesados: como $Z$ é aproximadamente proporcional a $A$, ele cresce cerca de $A^{5/3}$, mais rápido que o termo de volume. No urânio-235 custa 975 MeV de uma ligação total de 1784 MeV. Entre essas duas perdas está o máximo perto do ferro. Dois núcleos menores mantêm os mesmos 92 prótons com menos energia elétrica no total, porque cada próton agora é repelido apenas pelos prótons de seu próprio fragmento; a energia de superfície sobe um pouco, mas a economia de Coulomb é maior, e a fissão libera a diferença.

A mesma disputa explica por que núcleos pesados carregam nêutrons extras. O termo de Coulomb favorece menos prótons, o termo de assimetria favorece $N=Z$, e à medida que os núcleos crescem o equilíbrio se desloca para os nêutrons: o urânio-235 tem 143 nêutrons para 92 prótons. Os fragmentos herdam esse excesso. O bário-141 tem 85 nêutrons, enquanto o bário estável mais pesado, o bário-138, tem apenas 82; com nêutrons demais para o seu tamanho, os fragmentos são radioativos.

A barreira de fissão

Legenda

$\epsilon$	Alongamento: quanto a gota é esticada de uma esfera para uma forma alongada de mesmo volume.
$E$	Energia do núcleo nessa forma, medida a partir da de uma esfera.	$\mathrm{J}$
$E_B$	Altura da barreira de fissão acima da esfera: cerca de 6 MeV para o urânio.	$\mathrm{J}$
${}^{236}{U}^{\ast }$	Energia de excitação de ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$, formado por ${}^{235}\mathrm{U}$ e um nêutron lento: 6,5 MeV, acima da barreira.	$\mathrm{J}$
${}^{239}{U}^{\ast }$	Energia de excitação de ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$, formado por ${}^{238}\mathrm{U}$ e um nêutron lento: 4,8 MeV, abaixo da barreira.	$\mathrm{J}$

A curva diz que o urânio liberaria energia ao se dividir; então por que um núcleo de urânio não se divide sozinho? A Figura 3 responde. Ela traça a energia $E$ do núcleo, medida a partir da de uma esfera, contra seu alongamento $\epsilon$: um número pequeno que indica o quanto a gota foi esticada, de uma esfera para uma forma alongada de mesmo volume. As formas abaixo do eixo mostram a esfera, a gota esticada e a gota prestes a romper.

Dois termos da gota líquida mudam ao esticá-la. A superfície cresce, então a energia de superfície $E_S$ sobe, em $\frac{2}{5}{\epsilon }^2{E}_S$. Os prótons ficam, em média, mais afastados, então a energia de Coulomb $E_C$ cai, em $\frac{1}{5}{\epsilon }^2{E}_C$. A variação líquida, $(\frac{2}{5}{E}_S-\frac{1}{5}{E}_C){\epsilon }^2$, é positiva enquanto $E_C<2E_S$: então a curva sobe a partir da esfera, e um pequeno alongamento é puxado de volta. Pela gota líquida, $E_C/E_S=(a_C/a_S)Z^2/A$, então a condição fica $Z^2/A<2a_S/a_C\approx 50$.

O urânio, com $Z^2/A\approx 36$, passa nesse teste: ele está na depressão à esquerda da Figura 3. Para se dividir, precisa primeiro ser esticado sobre a elevação, a barreira de fissão, cuja altura $E_B$ é de cerca de 6 MeV. Além do topo, a energia de Coulomb vence, e a energia cai de forma contínua à medida que o núcleo forma um pescoço e se parte em dois: a seta descendente à direita.

De onde vem a energia para cruzar a barreira? Um nêutron capturado traz sua energia de ligação para o núcleo como energia de excitação, e as duas setas azuis da Figura 3 mostram quanta. O urânio-235 e um nêutron lento formam ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$ (a estrela marca um núcleo excitado) com 6,5 MeV de excitação, mais que a barreira: sua seta ultrapassa a elevação, e o núcleo se divide. Este é o breve tremor do núcleo na animação. O urânio-238 e um nêutron lento formam ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$ com apenas 4,8 MeV: sua seta bate na parede da elevação e para. A diferença está no emparelhamento. Os núcleons se ligam mais fortemente em pares, e o nêutron acrescentado ao urânio-235 completa um par, enquanto o acrescentado ao urânio-238 fica sozinho. Para dividir o urânio-238, o nêutron incidente precisa trazer a energia que falta como energia cinética, cerca de 1 MeV.

Por isso os reatores usam o isótopo raro urânio-235, apenas 0,7 % do urânio natural: ele se divide com nêutrons de qualquer energia. Nêutrons lentos são capturados por ele muito mais facilmente que os rápidos, então os reatores desaceleram seus nêutrons.

Reações em cadeia e nêutrons retardados

Cada fissão libera dois ou três nêutrons, três na reação da animação, e eles podem dividir outros núcleos. O fator de multiplicação $k$ é o número médio de nêutrons de uma fissão que vão causar outra fissão. Depois de $g$ gerações, $N_0$ nêutrons se tornaram $N_g=N_0{k}^g$. Com $k<1$ a cadeia se extingue, com $k=1$ ela se mantém e com $k>1$ ela cresce. Um reator opera com $k=1$.

A velocidade de crescimento da cadeia depende do tempo entre as gerações. Se cada nêutron fosse emitido no instante da fissão (um nêutron imediato), uma geração duraria cerca de $10^{-4}\mathrm{s}$, o que dá $10^4$ gerações por segundo. Então, mesmo $k=1,001$ multiplicaria a potência por $1,001^{10^4}\approx 2\times 10^4$ em um segundo, rápido demais para qualquer controle mecânico.

O controle depende dos nêutrons retardados. Cerca de 0,65 % dos nêutrons da fissão não são emitidos na divisão, mas segundos depois, por fragmentos em decaimento. Esperar por eles estica a geração média para cerca de 0,1 s, de modo que o mesmo $k=1,001$ eleva a potência em apenas cerca de 1 % por segundo, lento o bastante para mover as barras de controle. Isso funciona apenas enquanto a cadeia precisa dos nêutrons retardados. Acima de $k\approx 1,0065$, os nêutrons imediatos sozinhos mantêm a cadeia crescendo, e a multiplicação rápida retorna; por isso um reator deve sempre permanecer abaixo desse valor.

Fusão: a barreira de Coulomb e o tunelamento

Legenda

$r$	Distância entre os centros dos dois núcleos.	$\mathrm{m}$
$U$	Energia potencial do par: repulsão elétrica fora de $r_n$, atração nuclear dentro.	$\mathrm{J}$
$U_C$	Altura da colina de Coulomb no contato: cerca de 0,4 MeV.	$\mathrm{J}$
$E$	Energia de colisão do par: 10 keV no exemplo do texto.	$\mathrm{J}$
$r_n$	Distância de contato, onde a força nuclear atua: cerca de 3,5 fm.	$\mathrm{m}$
$r_t$	Ponto de retorno, onde $U=E$: cerca de 144 fm para 10 keV.	$\mathrm{m}$
$P$	Probabilidade de um par atravessar a barreira por tunelamento de $r_t$ até $r_n$.

A fusão enfrenta o problema oposto. Os núcleos a serem unidos são ambos positivos, então se repelem, e a força nuclear só os agarra quando se tocam. A Figura 4 mostra o obstáculo. Ela traça a energia potencial $U$ de um par deutério-trítio contra a distância $r$ entre seus centros. Longe, $U$ é a repulsão elétrica deles, $e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$: a curva vermelha, que sobe para a esquerda. No raio de contato $r_n$, cerca de 3,5 fm, a força nuclear assume, e o par cai no poço nuclear profundo à esquerda. O topo da colina vermelha, em $r_n$, é a barreira de Coulomb $U_C$. Com $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}$,
$U_C=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n}=\frac{1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{3,5\mathrm{fm}}\approx 0,4\mathrm{MeV}$

Agora acompanhe um par que chega pela direita com energia de colisão $E$, a seta roxa. Classicamente ele sobe a colina até que toda a sua energia cinética tenha se tornado energia potencial, onde $U=E$; esse é o ponto de retorno $r_t$, onde ele para e volta. Em um plasma a $1,2\times 10^8\mathrm{K}$, a energia térmica é $k_{\mathrm{B}}T=10\mathrm{keV}$. Um par que colide de frente com 10 keV retorna em $r_t=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}/0,010\mathrm{MeV}=144\mathrm{fm}$, cerca de 40 vezes mais longe que $r_n$. Classicamente, ele nunca se funde.

A mecânica quântica muda isso. Um núcleo também se comporta como onda, e uma onda pode vazar por uma região que uma partícula não pode entrar classicamente. Isso é o tunelamento: a seta tracejada da Figura 4 de $r_t$ até $r_n$, atravessada com probabilidade $P$. Na animação, é a etapa rotulada como tunelamento, em que os núcleos desacelerados saltam o último trecho. Para D–T com energia de colisão $E$,
$P\approx e^{-\sqrt{E_G/E}}$
onde a energia de Gamow $E_G\approx 1,2\mathrm{MeV}$ é uma constante fixada pelas cargas e massas do par. $P$ é minúscula, mas sobe rapidamente com a energia: $2\times 10^{-5}$ a 10 keV, $2\times 10^{-3}$ a 30 keV.

Dois efeitos, portanto, competem. Em um plasma, núcleos rápidos são raros, e seu número cai rapidamente com a energia; núcleos lentos são comuns, mas quase nunca tunelam. O produto dos dois tem um pico bem acima da energia térmica, de modo que, em um plasma a 10 keV, a maioria das fusões vem dos poucos pares com energias perto de 30 keV.

Um plasma de fusão libera mais energia do que perde apenas quando é denso o bastante, quente o bastante e confinado por tempo suficiente. A condição recai sobre o produto da densidade $n$, da temperatura $T$ e do tempo de confinamento $\tau$: $nT\tau$ precisa atingir cerca de $3\times 10^{21}\mathrm{keV}\cdot s/{\mathrm{m}}^3$, por exemplo $10^{20}$ íons por metro cúbico a 10 keV, mantidos por 3 s.

Exemplo resolvido: o que afasta os fragmentos

Problema: na fissão da animação, os dois fragmentos levam cerca de 160 MeV de energia cinética, a maior parte dos 173 MeV; os nêutrons e os raios gama ficam com o resto. Qual força a fornece, a que distância os fragmentos estão quando se separam, e como eles dividem a energia?

A força precisa atuar a distâncias muito maiores que o alcance da força nuclear, então é a repulsão elétrica entre os 56 prótons do bário e os 36 do criptônio. Modele os fragmentos como duas cargas que começam em repouso com seus centros a uma distância $d$. Ao se afastarem, sua energia potencial elétrica se transforma inteiramente em energia cinética:
$K_{\mathrm{tot}}=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}d}=\frac{56\cdot 36\cdot 1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}=\frac{2903\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}$

Etapa 1, a separação. Se os fragmentos fossem esferas se tocando, de raios $r_0{A}^{1/3}=6,2$ e $5,4\mathrm{fm}$, então $d=11,7\mathrm{fm}$, e a fórmula daria cerca de 250 MeV, mais que todo o $Q$. Os 160 MeV reais exigem uma distância inicial maior, $d=2903/160=18,1\mathrm{fm}$. Assim, quando se separam, os fragmentos não são esferas, mas formas alongadas ligadas por um pescoço fino, com os centros cerca de 6 fm mais afastados do que se fossem esferas se tocando. A energia de deformação deles não se perde: ela aquece os fragmentos, que então esfriam evaporando nêutrons.

Etapa 2, a divisão. O núcleo que se divide está quase em repouso, então os fragmentos saem com quantidades de movimento iguais e opostas. Com $K=p^2/(2m)$ e o mesmo $p$, a energia cinética é inversamente proporcional à massa, então o fragmento mais leve fica com a parcela maior: $K_{\mathrm{Kr}}=160\cdot 141/233=97\mathrm{MeV}$ e $K_{\mathrm{Ba}}=63\mathrm{MeV}$. Ambos têm a mesma quantidade de movimento, $p=\sqrt{2mK}\approx 4070\mathrm{MeV}/c$.

Etapa 3, a rapidez. À distância $r$, a energia cinética é igual à energia potencial perdida até ali, $K(r)=K_{\mathrm{tot}}(1-d/r)$. Os fragmentos têm, portanto, 90 % de sua energia em $r=10d\approx 180\mathrm{fm}$, ainda bem dentro da nuvem eletrônica do átomo, que tem cerca de $10^5\mathrm{fm}$ de diâmetro. A energia da fissão é entregue pela repulsão elétrica, quase inteiramente dentro de uma região minúscula ao redor do núcleo.

Limites de validade

A gota líquida é um ajuste, não uma teoria. Ela reproduz núcleos pesados com cerca de 0,5 % de erro (1786 MeV para o urânio-235, contra 1784 MeV medidos), mas ignora a estrutura de camadas: como os elétrons nos átomos, os núcleons preenchem camadas, e núcleos com 2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126 prótons ou nêutrons, os chamados números mágicos, são especialmente estáveis. Assim, a gota dá ao ${}^4\mathrm{He}$ apenas 16 MeV de ligação em vez dos 28,3 MeV medidos, prevê 162 MeV em vez de 173 MeV para a fissão da animação e dividiria o urânio em duas metades iguais, enquanto os efeitos de camadas fazem com que ele se divida de forma desigual, sobretudo em fragmentos perto de $A=95$ e $A=140$.

Duas partes da contabilidade também são aproximações. A divisão de energia por $K=p^2/(2m)$ é não relativística. Na fusão D–T, o nêutron leva quatro quintos dos 17,59 MeV, isto é, 14,07 MeV, e se move a $0,17c$; o cálculo relativístico exato de dois corpos com as massas reais dá 14,03 MeV, 0,3 % a menos. E escrever $Q$ como diferença de energias de ligação exige que $Z$ e $N$ se conservem separadamente. Quando a força fraca transforma prótons em nêutrons, como na reação líquida do Sol, $4{}^1\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+2e^{+}+2\nu$, a diferença de massa entre um nêutron e um átomo de hidrogênio, 0,78 MeV, entra para cada próton convertido: a energia liberada é $28,3-2\cdot 0,78=26,7\mathrm{MeV}$, 0,7 % da massa. O que permanece exato nessas energias é a conservação da energia, da quantidade de movimento, da carga e do número de núcleons.

Para onde isso leva

A Equação de Schrödinger e tunelamento transforma o fator $e^{-\sqrt{E_G/E}}$ em um cálculo. Partículas e forças: o Modelo Padrão mostra de onde vem a força nuclear, como um resíduo da interação forte que prende quarks com glúons, e descreve a força fraca que permite ao Sol transformar prótons em nêutrons. Olhando para trás, a Relatividade restrita fornece $E=m{c}^2$, Radioatividade e meia-vida descreve os fragmentos em decaimento que fornecem os nêutrons retardados, a Lei de Coulomb fornece a barreira, e Quantidade de movimento e colisões reparte a energia entre os produtos.