牛顿运动定律

入门

力是推或拉。有些力需要接触，比如脚踢球或绳子拉雪橇；另一些力隔空作用，比如重力或磁力。力的单位是牛顿（N）。

力有方向，因此像箭头一样合成。一个人用 30 N 向右推箱子，同时朋友用 20 N 向左推，合力为 10 N，方向向右。

快速检查：如果你的朋友也用 30 N 推呢？（合力为零。）

第一定律：合力为零时，静止的物体保持静止，运动的物体以相同速度沿直线继续运动。松手后被推的沙发会停下，只是因为摩擦力，即地面给它的力。在光滑的冰面上，冰球会一直滑下去。

第二定律：合力改变运动，加速度 = 合力 ÷ 质量。力加倍，加速度加倍；质量加倍，加速度减半。在动画中，同样的推力（红色箭头）作用在无摩擦地面上的 2 kg 和 5 kg 物块上，因此轻物块速度的增长是重物块的 2.5 倍快。

快速检查：一个 6 kg 的手推车受到 18 N 的合力，它的加速度是多少？（3 m/s²。）

质量不是重量。质量以千克计，表示物体有多难被加速，处处相同；重量是重力，以牛顿计，在月球上约为地球上的六分之一。

第三定律：力成对出现。推墙时，墙也以同样大小的力推你；跳起时，你向下推地球，地球也向上推你。这两个力作用在不同的物体上，因此它们不会相互抵消。

中级

力、质量与合力

力是一个物体对另一个物体施加的推或拉，例如地球对落下苹果的拉力。它是一个矢量 $\vec{F}$，有大小（单位为牛顿 N）和方向。沿直线方向时，选定正方向并给每个力标上正负号：取向右为正，则向左 10 N 为 $-10\mathrm{N}$。

改变运动的是合力 $\sum \vec{F}$，即作用于同一物体上所有力的矢量和。一个 4 kg 的箱子，一人向右推 30 N，朋友向左推 10 N，合力为 $30-10=20\mathrm{N}$，方向向右。质量 $m$（单位 kg）表示惯性，即物体抵抗速度变化的能力；它在地球上、月球上和深空中都一样。

第一和第二定律

合力为零时速度不变：静止的物体保持静止，运动的物体保持相同的速度和方向。
$\sum \vec{F}=0\iff \vec{v}=\mathrm{const}$
运动本身不需要力，只有运动的改变才需要。一辆以 20 m/s 匀速行驶、受到 600 N 空气阻力和滚动阻力的汽车，需要恰好 600 N 的驱动力：各力平衡，汽车处于平衡状态。

当各力不平衡时，物体沿合力的方向加速：
$\sum \vec{F}=m\vec{a}$
合力加倍，加速度加倍；质量加倍，加速度减半。上面那个箱子的加速度为 $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$。该定律同时定义了牛顿：1 N 使 1 kg 的质量产生 1 m/s² 的加速度，因此 $1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$。

重量与受力图

重量是作用在物体上的重力。在地球表面附近
$W=mg$
其中 $g=9.81m/{\mathrm{s}}^2$，因此重量是以牛顿计的力，而不是以千克计的质量。一个 70 kg 的宇航员在地球上重 $70\cdot 9.81\approx 687\mathrm{N}$，在月球上重 $70\cdot 1.62\approx 113\mathrm{N}$，约为六分之一，但她的质量仍是 70 kg。支撑面以垂直于它的法向力 $N$ 向上推，绳子拉紧时以张力 $T$ 拉。

要使用定律，请按以下四个步骤画出受力图。

• 将一个物体隔离出来，单独画出，可以用方框或一个点表示。
• 画出作用在该物体上的每个力：重力、法向力、张力、摩擦力、推力。
• 不要画出该物体施加给其他物体的力；它们属于其他受力图。
• 选定坐标轴，最好让一根轴沿加速度方向，然后沿每个坐标轴应用第二定律。

写成矢量方程时，该定律分解为每个坐标轴上的一个方程：
$\sum F_x=m{a}_x\sum F_y=m{a}_y$
对于在水平地面上、竖直方向无加速度的木块，第二个方程给出 $N-mg=0$，因此 $N=mg$；在斜面上或加速上升的电梯中，法向力与重量并不相等。

第三定律：力成对出现

力是相互作用，因此成对出现。若物体 A 推物体 B，则 B 以大小相同、方向相反的力推 A：
${\vec{F}}_{AB}=-{\vec{F}}_{BA}$
其中 ${\vec{F}}_{AB}$ 是 A 施加在 B 上的力。这两个力性质相同，同时产生，但作用在不同的物体上，因此它们不会相互抵消，也绝不会出现在同一张受力图中。

桌上的书受到自身重力和桌子的法向力。这两个力平衡，但它们不是第三定律的一对：两者都作用在书上，之所以大小相等，只是因为书没有加速。重力的反作用力是书对地球的引力。在碰撞中，一辆 1000 kg 的汽车和一辆 6000 kg 的卡车受到相同的力，比如 30 kN，这使汽车获得 30 m/s² 的加速度，而卡车只获得 5 m/s²。

例题：动画中的物块

动画中用相同的水平力 $F=20\mathrm{N}$ 推动轻物块 $m_1=2\mathrm{kg}$ 和重物块 $m_2=5\mathrm{kg}$：红色箭头长度相同。地面无摩擦，每个物块的重量都被法向力平衡（19.62 N 和 49.05 N），因此推力就是合力：
$a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{20}{2}=10m/{\mathrm{s}}^2,a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{20}{5}=4m/{\mathrm{s}}^2$

两个物块都从静止开始，因此经过 $t=3\mathrm{s}$ 后
$v_1=a_{1}t=10\cdot 3=30m/s,v_2=a_{2}t=4\cdot 3=12m/s$
这些是 $v_1$ 和 $v_2$ 读数的最终值，它们每秒分别增加 10 m/s 和 4 m/s。利用 $x=\frac{1}{2}a{t}^2$，两个物块分别移动 45 m 和 18 m。灰色标记显示 0、1 和 2 s 时的前缘位置：轻物块先移动 5 m 再移动 20 m，重物块先移动 2 m 再移动 8 m。在任一时刻，轻物块的速度和距离都是重物块的 2.5 倍，即质量比的倒数。

例题：电梯中的秤

你站在电梯里的体重秤上。你的质量为 70 kg，电梯开始以 1.0 m/s² 的加速度向上运动。作用在你身上的有两个力：竖直向下的重力 $mg=686.7\mathrm{N}$，以及秤向上的法向力 $N$。取向上为正，第二定律给出
$N-mg=ma\Rightarrow N=m(g+a)=70\cdot (9.81+1.0)\approx 757\mathrm{N}$

根据第三定律，你以同样的 757 N 向下压秤，这就是秤所测的数值；按千克刻度的秤会除以 9.81，显示 77.1 kg。以恒定速度运动时，它显示你真实的 70 kg。电梯接近顶层减速时，$a=-1.0m/{\mathrm{s}}^2$，读数降为 $70\cdot 8.81\approx 617\mathrm{N}$，即 62.9 kg。自由下落时读数为零：失重意味着没有支撑力，而不是没有重力。

常见错误

• 运动不需要合力：以稳定 20 m/s 行驶、受 600 N 阻力的汽车，驱动力恰好为 600 N；更大的力才会使它加速。
• 质量不是重量：70 kg 的宇航员在地球上重 687 N，在月球上重 113 N，但在两地都同样难以被推动。
• 法向力并不总是 $mg$：在加速上升的电梯中，它是 757 N，而你的重量是 687 N。
• 使用合力，而不是单个力：箱子一边受 30 N、另一边受 10 N，其加速度为 $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$，而不是 $30/4=7.5m/{\mathrm{s}}^2$。

应用场景

汽车的吸能区和安全带是反过来使用 $a=F/m$：把碰撞过程拉长，可以降低乘员的加速度，从而降低作用在乘员身上的力。火箭、游泳者和行人向后推某物，并被该物的第三定律反作用力向前推。接下来是摩擦力与斜面、圆周运动（合力改变速度的方向）以及万有引力与轨道；动量与碰撞、功、能与功率则由第二定律在时间和距离上积分得到。

高级

力是动量的变化率

牛顿第二定律通常以 $\vec{F}=m\vec{a}$ 的形式出现。它的一般形式用到动量 $\vec{p}=m\vec{v}$；把它理解为关于矢量的陈述，就能立即说明力如何使物体加速、减速或转向。

图例

$\vec{F}$	作用于圆点处物体的合力。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\parallel }$	$\vec{F}$ 沿运动方向的分量：改变速率。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\perp }$	$\vec{F}$ 垂直于运动方向、指向弯道内侧的分量：使路径弯曲。	$\mathrm{N}$
$\vec{p}$	物体的动量 $m\vec{v}$，沿其运动方向。	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$d\vec{p}$	短时间 $dt$ 内动量的变化：$d\vec{p}=\vec{F}dt$，因此它指向 $\vec{F}$ 所指的方向。	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	经过一段短时间后的动量：$\vec{p}+d\vec{p}$，比 $\vec{p}$ 更长且方向已偏转。	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

图 1 跟踪一个物体绕过一个弯道：黑色曲线是它的轨迹，箭头表示它运动的方向。看左图中的点。物体所受的合力 $\vec{F}$ 被分解为两个互相垂直的分量。沿运动方向的分量 ${\vec{F}}_{\parallel }$ 改变速率，但不改变方向；垂直于运动方向、指向弯道内侧的分量 ${\vec{F}}_{\perp }$ 改变方向，但不改变速率。匀速圆周运动正是只存在 ${\vec{F}}_{\perp }$ 的情形。

右图用动量画出同一时刻。在很短的时间 $dt$ 内，动量 $\vec{p}$ 改变 $d\vec{p}=\vec{F}dt$，因此 $d\vec{p}$ 与 $\vec{F}$ 平行，而不与 $\vec{p}$ 平行。把它接在 $\vec{p}$ 的箭头末端，得到新的动量 ${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}+d\vec{p}$。现在将 ${\vec{p}}^{\prime }$ 与虚线圆弧比较，该圆弧的半径为 $|\vec{p}|$：${\vec{p}}^{\prime }$ 的末端位于圆弧之外，因此动量变大了，而且 ${\vec{p}}^{\prime }$ 的方向也变了。力的平行分量造成动量变大，垂直分量造成方向偏转。

写成方程，这就是一般形式的第二定律：物体所受的合力等于其动量的变化率：
$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$
若质量恒定，则 $d\vec{p}/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$，即熟悉的形式。矢量方程同时是三个方程，每个坐标轴一个；用点表示对时间的导数（$\ddot{x}=d^{2}x/d{t}^2$），
$m\ddot{x}=F_x,m\ddot{y}=F_y,m\ddot{z}=F_z$

每一个都是二阶微分方程：它包含位置的二阶导数。因此求解它需要每个坐标轴上的两个初始值，即初始位置和初始速度。知道这两个值和力，此后所有时刻的运动便被确定。注意该定律联系的是什么：合力决定加速度，与速度大小无关。物体可以在不受力时快速运动；而抛出的球到达最高点时瞬间静止，却仍以 $g$ 的加速度加速。

惯性系：第一定律增加了什么

第一定律不仅仅是第二定律在 $\sum \vec{F}=0$ 时的特例。它断言存在这样的参考系：在其中，不受力的物体做匀速直线运动。这些参考系称为惯性系，只有在惯性系中，$\sum \vec{F}=m\vec{a}$ 才以原样成立。任何相对于惯性系做匀速运动的参考系也是惯性系，因为给每个物体加上同一个恒定速度，并不改变加速度。加速的参考系需要修正，下文会说明。

冲量与功：力图线下的面积

力对时间积分得到动量的变化；对距离积分得到动能的变化。这两个定理把牛顿定律引向守恒定律。图 2 展示了动画中推力的这两种情形。

图例

$F$	推动每个物块的恒力。	$\mathrm{N}$
$t$	自推力开始后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	推力的持续时间。	$\mathrm{s}$
$J$	力的冲量：$F(t)$ 下的面积，$J=F\Delta t$。它等于获得的动量。	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$
$x$	物块沿地面的位置，从推力开始处算起。	$\mathrm{m}$
$m_1$	轻物块。	$\mathrm{kg}$
$m_2$	重物块。	$\mathrm{kg}$
$x_1$	轻物块在 $\Delta t$ 内移动的距离。	$\mathrm{m}$
$x_2$	重物块在 $\Delta t$ 内移动的距离。	$\mathrm{m}$
$W_1$	对轻物块做的功：$F(x)$ 下直到 $x_1$ 的面积。	$\mathrm{J}$
$W_2$	对重物块做的功：$F(x)$ 下直到 $x_2$ 的面积。	$\mathrm{J}$

图 2 中，同一个恒力 $F=20\mathrm{N}$ 在 $\Delta t=3\mathrm{s}$ 的时间内分别作用于轻物块 $m_1=2\mathrm{kg}$ 和重物块 $m_2=5\mathrm{kg}$。左图画出力随时间 $t$ 的变化。它是一条水平线，其下方的阴影面积 $F\Delta t$ 即为冲量 $J$。两个物块的这张图相同，因为二者在相同时间内受到相同的力。右边两张图画出力随每个物块位置 $x$ 的变化。两图的高度相等，但宽度不同：轻物块被推过的距离 $x_1$ 更长，重物块只被推过 $x_2$。因此阴影面积，即功 $W_1$ 和 $W_2$，并不相等。

先看运动本身。在 20 N 的推力下，轻物块的加速度 $a=F/m$ 为恒定的 10 m/s²，重物块为 4 m/s²，因此在本课的图中，$a(t)$ 是一条水平线，$v(t)$ 是一条斜率为该加速度的直线。$a(t)$ 在 3 s 内的面积即为获得的速度，$10\cdot 3=30m/s$ 和 $4\cdot 3=12m/s$。从静止开始，每个物块移动 $\frac{1}{2}a(\Delta t{)}^2$，即 $x_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2=45\mathrm{m}$ 和 $x_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3^2=18\mathrm{m}$。

对时间积分：将 $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ 从 $0$ 积分到 $t$。左边成为力的冲量，右边为动量的变化：
${\int }_0^t\vec{F}d{t}^{\prime }=\vec{p}(t)-\vec{p}(0)$
两个物块都从静止开始并获得冲量 $J=F\Delta t=20\cdot 3=60\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$，因此两者最终的动量相同，$2\cdot 30=5\cdot 12=60\mathrm{kg}\cdot m/s$。

对距离积分：由链式法则，加速度可写为 $a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx$。于是 $F=ma$ 变为 $Fdx=mvdv$，将两边从推力开始到结束积分，得到动能定理：
${\int }_{x_0}^{x}Fd{x}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
轻物块的功为 $W_1=F{x}_1=20\cdot 45=900\mathrm{J}$，而 $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 30^2=900\mathrm{J}$，二者确实相等。重物块的功为 $W_2=20\cdot 18=360\mathrm{J}$，即 $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12^2$。

结果是：动量相等，而动能之比为 2.5。原因在于 $E_k=p^2/(2m)$：动量相同时，较轻的物体具有更多的能量。它运动得更快，因此在力作用期间走得更远，力对它做的功也更多。

第二定律的实际内容从何而来

如果 $\vec{F}=m\vec{a}$ 只是对力的定义，它将无法作出任何预测：任何观测到的加速度都可以归因于为此而虚构的一个力。该定律之所以有实际内容，是因为力可以独立于它引起的运动而得知。三个事实使之成为可能。每个力都有来源，即附近的另一个物体，或某个物体产生的场，因此远离一切物体的物体不受力。力按矢量相加。力还服从它们自身的规律：引力 $GMm/r^2$、弹簧力 $-kx$、电荷之间的电力，以及大致与法向力成正比的摩擦力。

质量也可以在不循环论证的情况下测量。让两个物体相互推开，例如它们之间夹有一根压缩的弹簧。由第三定律，两个力大小相等、方向相反，因此加速度与质量成反比，$a_1/a_2=m_2/m_1$。动画中相等的推力给出同样的比例，$10/4=5/2$。一旦选定某个物体的质量作为单位，就可以测量其他所有物体的质量。

在已知质量和力的规律之后，第二定律就成为一台预测机器。当前的位置和速度给出力；力给出加速度；加速度给出片刻之后的位置和速度；这一步不断重复。在弹簧力 $-kx$ 下，结果是振动；在引力 $GMm/r^2$ 下，结果是椭圆轨道。

第三定律与动量守恒

第三定律指出，当两个物体 $A$ 和 $B$ 相互作用时，$A$ 施加于 $B$ 的力 ${\vec{F}}_{AB}$ 与 $B$ 施加于 $A$ 的力 ${\vec{F}}_{BA}$ 大小相等、方向相反。结合一般形式的第二定律，它给出力学中最有用的守恒定律。

考虑两个只彼此相互作用的物体。每个物体的动量按其所受力决定的变化率改变：$d{\vec{p}}_B/dt={\vec{F}}_{AB}$，$d{\vec{p}}_A/dt={\vec{F}}_{BA}$。将二者相加并利用第三定律，
$\frac{d}{dt}\left({\vec{p}}_A+{\vec{p}}_B\right)={\vec{F}}_{AB}+{\vec{F}}_{BA}=0$
因此总动量永远不变。例如，一根弹簧把两辆原来静止的小车推开，质量分别为 2 kg 和 5 kg。它们的总动量保持为零，因此两车沿相反方向运动，速率之比为 5 比 2，例如 2.5 m/s 和 1.0 m/s，无论释放过程中推力如何变化。

对于多个物体，同样的论证可以逐对应用。内力相互抵消，剩下 $d\vec{P}/dt=\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$，其中 $\vec{P}$ 为总动量，$\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ 为外部施加的力之和。由于 $\vec{P}$ 等于总质量乘以质心的速度，质心的运动就像一个携带全部质量的质点。这就是动画中每个物块可以被视为质点的原因。

动量守恒比第三定律本身更为稳固。相隔一定距离的物体之间的力不可能瞬时响应，因为任何作用的传播速度都不会超过光速；而且两个运动电荷之间的磁力一般并不大小相等、方向相反。然而，一旦计入电磁场所携带的动量，总动量仍然守恒。

加速参考系与惯性力

牛顿定律只在惯性系中成立，然而我们常常从汽车、电梯或自转的地球上描述运动。在这样的参考系中，可以通过引入惯性力来补救这些定律。图 3 展示了一辆正在刹车的公共汽车的情形。

图例

$\vec{v}$	公共汽车相对于路面的速度。	$m/s$
${\vec{a}}_B$	公共汽车（参考系 $B$）相对于路面的加速度；因为公共汽车在刹车，它指向后方。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{F}$	安全带施加于乘客的力：真实的力，由某个物体施加。	$\mathrm{N}$
$m{\vec{a}}_B$	乘客的质量 $m$ 乘以 ${\vec{a}}_B$。虚线箭头为惯性力 $-m{\vec{a}}_B$，指向前方；没有任何物体施加它。	$\mathrm{N}$

相对于我们视为惯性系的路面，图 3 中的公共汽车以速度 $\vec{v}$ 向前运动，但由于它在刹车，其加速度 ${\vec{a}}_B$ 指向后方。现在从一个固定在公共汽车上、且不转动的参考系 $B$ 来描述运动。物体相对于路面的位置等于公共汽车的位置加上物体相对于公共汽车的位置。两次求导后，加速度以同样的方式相加，$\vec{a}={\vec{a}}_B+{\vec{a}}^{\prime }$，其中 ${\vec{a}}^{\prime }$ 是从公共汽车上看到的加速度。于是 ${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}-{\vec{a}}_B$，两边乘以 $m$，并利用 $m\vec{a}=\sum \vec{F}$，得到
$m{\vec{a}}^{\prime }=\sum \vec{F}-m{\vec{a}}_B$

附加项 $-m{\vec{a}}_B$ 的作用类似于与质量成正比的力，即图中的虚线箭头。但没有任何物体施加它，它也没有第三定律的反作用力。这正是识别惯性力的方法。

现在看看质量为 60 kg 的乘客，此时公共汽车以 4 m/s² 刹车。从车内看，乘客似乎被向前推动，推力为 $m{a}_B=60\cdot 4=240\mathrm{N}$。从路面看，没有任何东西向前推乘客：乘客只是继续向前，直到安全带提供真实的向后力 $\vec{F}$（240 N）。这一个力就使乘客获得与公共汽车相同的加速度 ${\vec{a}}_B$。从车内看，乘客保持静止，${\vec{a}}^{\prime }=0$，因为 $\vec{F}$ 与惯性力 $-m{\vec{a}}_B$ 平衡，正如乘客身上两个水平箭头所示。

其他加速参考系的情形也一样。在以 1.0 m/s² 加速上升的电梯中，惯性力向下，与重力叠加，因此其中的一切表现得仿佛 $g$ 为 $9.81+1.0=10.81m/{\mathrm{s}}^2$。转动参考系需要两个惯性力：离心力，以及科里奥利力，后者仅作用于相对转动参考系运动的物体。地球表面就是这样一个参考系。取地球的自转角速度为 $\omega$、半径为 $R$，赤道上的地面具有向心加速度 ${\omega }^{2}R\approx 0.034m/{\mathrm{s}}^2$，仅约为 $g$ 的 0.35 %；然而正是科里奥利力决定了气旋的旋转方向。最后，惯性力和重力一样与质量成正比，因此在封闭的实验室内，任何实验都无法区分自身的加速度与重力。这一线索引出了广义相对论。

例题：悬挂的物块施加拉力

本题用重力代替动画中的手。它展示了处理相连物体的标准方法：每个物体各画一张受力图（即只画该物体及作用其上的每个力的草图），再加上一个联系它们运动的条件。

图例

$m_1$	悬挂的物块。	$\mathrm{kg}$
$m_2$	桌面上的物块。	$\mathrm{kg}$
$\vec{T}$	绳子作用于物块的力；其大小 $T$ 为张力，绳子两端相同。	$\mathrm{N}$
$\vec{a}$	加速度，两个物块的大小相同。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$m_1\vec{g}$	悬挂物块的重量。	$\mathrm{N}$

图 4 中，物块 $m_2=5\mathrm{kg}$ 放在无摩擦的桌面上。一根轻绳从它出发，绕过一个轻质无摩擦的滑轮，连接到悬挂的物块 $m_1=2\mathrm{kg}$。悬挂物块的重量为 $m_{1}g=2\cdot 9.81=19.62\mathrm{N}$，几乎等于动画中的 20 N 推力。求加速度 $a$ 和绳中的张力 $T$。

有两个事实联系着两个物块。绳子长度不变，因此两个物块在相同时间内移动相同的距离，并共享加速度 $\vec{a}$：对 $m_2$ 为向右，对 $m_1$ 为向下，如两个标有 $\vec{a}$ 的箭头所示。又因为绳子和滑轮都是轻质且无摩擦的，绳子在两端施加相同的力，即两个标有 $\vec{T}$ 的箭头。现在对每个物块，取沿绳方向的运动方向为正。滑动的物块沿运动方向只受 $T$；其重力与法向力相互抵消，因此图中未画出。悬挂的物块，其重力 $m_{1}g$ 沿运动方向向下，$T$ 则向上，与运动方向相反。对每个物块应用第二定律，得
$m_{2}a=T,m_{1}a=m_{1}g-T$
代入数值，$5a=T$ 且 $2a=19.62-T$。将两式相加，消去未知的张力，得 $7a=19.62$，因此
$a=\frac{m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{19.62}{7}\approx 2.80m/{\mathrm{s}}^2,T=m_{2}a\approx 14.0\mathrm{N}$

现在来看结果。在 20 N 的手推力下，5 kg 的物块获得 4 m/s² 的加速度；而被 19.62 N 的重量拉动时，它只获得 2.80 m/s²。拉力几乎相同，但现在要加速的质量为 7 kg，因为悬挂的物块也必须被加速。张力 14.0 N 小于悬挂物块的重量，因此悬挂物块上的 $\vec{T}$ 箭头比 $m_1\vec{g}$ 短。两者之差 $m_{1}g-T=m_{1}a\approx 5.6\mathrm{N}$ 是使悬挂物块加速的合力；若张力与重量相等，它将根本无法加速。从静止开始三秒后，两个物块的速度为 $2.80\cdot 3\approx 8.4m/s$，已移动 $\frac{1}{2}\cdot 2.80\cdot 3^2\approx 12.6\mathrm{m}$。

有两项检验。将 $a$ 代入 $T=m_{2}a$，得 $T=m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$，它对两个质量是对称的。所以若两个物块互换，让 5 kg 的那个悬挂，加速度变为 $a=49.05/7\approx 7.01m/{\mathrm{s}}^2$，而张力仍约为 14.0 N。极限情形也合理：当悬挂的质量远大于另一个时，$a\to g$，它几乎自由下落；当它很小时，$a\to 0$，张力趋近于悬挂物块自身的重量，仿佛它只是静止地挂着。

适用范围的限制

此处所述的牛顿定律，描述的是惯性系中的质点，或有一定大小的物体的质心；适用于远低于光速的速度，以及远大于原子的尺度。每个条件都划定了一个边界。

有一定大小的物体的转动需要它自己的规律，其中力矩取代力，转动惯量取代质量。诸如张力和法向力这样的接触力，本身就是原子之间无数电力的平均效果；牛顿定律把它们当作已知，而不去解释它们。

在高速情形下，$\vec{F}=d\vec{p}/dt$ 仍然成立，但动量变为 $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$，其中洛伦兹因子 $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$，$c$ 为光速。从静止开始作用的恒力仍给出 $p=Ft$；由 $\gamma mv=Ft$ 解出 $v$，得
$v=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+{\left(Ft/(mc)\right)}^2}}$
它趋近于 $c$，却永远达不到。继续用 20 N 推动 2 kg 的物块。牛顿力学给出的 $v=Ft/m$ 将在约 347 天后达到 $c\approx 3.00\times 10^{8}m/s$；而在那一刻 $Ft/(mc)=1$，因此真实速度仅为 $c/\sqrt{2}\approx 0.71c$。在动画中的 30 m/s 下，相对论修正量级为 $v^2/c^2\approx 10^{-14}$，远低于任何可测量的程度。

在原子尺度上，粒子没有确定的轨迹，量子力学取代了 $\vec{F}=m\vec{a}$。牛顿定律则作为大物体平均运动的规律重新出现。

由此通向何处

经典力学的大部分内容，就是第二定律加上力的规律。“摩擦力与斜面”加入了粗糙表面的作用力；“圆周运动”研究只改变速度方向的合力；“万有引力与轨道”引入解释行星运动的引力定律。将这些定律在时间和距离上积分，就得到“动量与碰撞”以及“功、能与功率”。应用于转动物体时，得到“转动动力学与力矩”；对于弹簧力，得到“简谐运动”；对于随速度增大的力，得到“阻力与终端速度”。在高速下，它们让位于“狭义相对论”；而惯性质量与引力质量的相等，则引出“引力即时空弯曲”。