Leyes de Newton

Principiante

Una fuerza es un empujón o un tirón. Algunas necesitan contacto, como el pie que patea un balón o la cuerda que tira de un trineo; otras actúan a través del espacio vacío, como la gravedad o un imán. Las fuerzas se miden en newtons (N).

Las fuerzas tienen dirección, así que se combinan como flechas. Empuja una caja hacia la derecha con 30 N mientras un amigo la empuja hacia la izquierda con 20 N: la fuerza neta es de 10 N hacia la derecha.

Comprueba: ¿y si tu amigo también empuja con 30 N? (La fuerza neta es cero.)

Primera ley: sin fuerza neta, un objeto en reposo sigue en reposo, y uno en movimiento sigue en línea recta con la misma rapidez. Esto sorprende, porque un sofá deja de moverse cuando lo sueltas. Es el rozamiento, una fuerza que ejerce el suelo. Sobre hielo liso, un disco de hockey se desliza muchísimo.

Segunda ley: una fuerza neta cambia el movimiento, y aceleración = fuerza neta ÷ masa. Duplica la fuerza y la aceleración se duplica; duplica la masa y se reduce a la mitad. En la animación, el mismo empujón (flechas rojas) actúa sobre un bloque de 2 kg y otro de 5 kg en un suelo sin rozamiento, así que el ligero gana rapidez 2,5 veces más deprisa.

Comprueba: sobre un carrito de 6 kg actúa una fuerza neta de 18 N. ¿Cuál es su aceleración? (3 m/s².)

La masa no es el peso. La masa, en kilogramos, indica lo difícil que es acelerar un objeto y es la misma en todas partes; el peso es el tirón de la gravedad, en newtons, unas seis veces menor en la Luna.

Tercera ley: las fuerzas vienen en parejas. Empuja una pared y te empuja a ti con la misma fuerza; salta, y empujas la Tierra hacia abajo mientras ella te empuja hacia arriba. Las dos fuerzas actúan sobre objetos distintos, así que nunca se anulan entre sí.

Intermedio

Fuerza, masa y fuerza neta

Una fuerza es un empujón o un tirón que un cuerpo ejerce sobre otro, como la atracción de la Tierra sobre una manzana que cae. Es un vector, $\vec{F}$, con un módulo en newtons (N), una dirección y un sentido. A lo largo de una recta, elige un sentido positivo y da a cada fuerza un signo: si la derecha es positiva, 10 N hacia la izquierda son $-10\mathrm{N}$.

Lo que cambia el movimiento es la fuerza neta $\sum \vec{F}$, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ese único cuerpo. Si empujas una caja de 4 kg con 30 N hacia la derecha y un amigo la empuja con 10 N hacia la izquierda, la fuerza neta es $30-10=20\mathrm{N}$ hacia la derecha. La masa $m$, en kilogramos, mide la inercia, es decir, lo mucho que el cuerpo se resiste a cambiar de velocidad; es la misma en la Tierra, en la Luna y en el espacio profundo.

La primera y la segunda ley

Si la fuerza neta es cero, la velocidad no cambia: un cuerpo en reposo sigue en reposo, y uno en movimiento conserva su rapidez y su dirección.
$\sum \vec{F}=0\iff \vec{v}=\mathrm{cte}$
El movimiento en sí no necesita ninguna fuerza; solo la necesita un cambio de movimiento. Un coche que circula a una velocidad constante de 20 m/s, contra 600 N de resistencia del aire y de rodadura, necesita una fuerza motriz de exactamente 600 N: las fuerzas se compensan y el coche está en equilibrio.

Cuando las fuerzas no se compensan, el cuerpo acelera en la dirección y el sentido de la fuerza neta:
$\sum \vec{F}=m\vec{a}$
Si duplicas la fuerza neta, la aceleración se duplica; si duplicas la masa, se reduce a la mitad. La caja de antes adquiere $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$. La ley define además el newton: 1 N da a una masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s², así que $1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$.

Peso y diagramas de cuerpo libre

El peso es la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo. Cerca de la superficie terrestre,
$P=mg$
con $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$, de modo que el peso es una fuerza, medida en newtons, y no una masa en kilogramos. Una astronauta de 70 kg pesa $70\cdot 9,81\approx 687\mathrm{N}$ en la Tierra y $70\cdot 1,62\approx 113\mathrm{N}$ en la Luna, alrededor de una sexta parte, aunque su masa sigue siendo de 70 kg. Una superficie responde con un empuje perpendicular a ella, la fuerza normal $N$, y una cuerda tensa tira con una tensión $T$.

Para aplicar las leyes, dibuja un diagrama de cuerpo libre en cuatro pasos.

• Aísla un cuerpo y dibújalo solo, como una caja o un punto.
• Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo: peso, fuerza normal, tensión, rozamiento, empujes.
• Deja fuera las fuerzas que este cuerpo ejerce sobre otros; pertenecen a otros diagramas.
• Elige los ejes, a ser posible uno en la dirección de la aceleración, y aplica la segunda ley a lo largo de cada eje.

Como es una ecuación vectorial, la ley se descompone en una ecuación por eje:
$\sum F_x=m{a}_x\sum F_y=m{a}_y$
Para un bloque sobre un suelo horizontal, sin aceleración vertical, la segunda ecuación da $N-mg=0$, de donde $N=mg$; en un plano inclinado o en un ascensor que acelera, la fuerza normal difiere del peso.

La tercera ley: las fuerzas vienen en parejas

Las fuerzas son interacciones, así que vienen en parejas. Si un cuerpo A empuja a un cuerpo B, entonces B empuja a A con una fuerza del mismo módulo y la misma dirección, pero de sentido opuesto:
${\vec{F}}_{AB}=-{\vec{F}}_{BA}$
donde ${\vec{F}}_{AB}$ es la fuerza que A ejerce sobre B. Las dos fuerzas son de la misma naturaleza y actúan en el mismo instante, pero sobre cuerpos distintos, de modo que nunca se anulan y nunca aparecen en el mismo diagrama de cuerpo libre.

Sobre un libro apoyado en una mesa actúan su peso y la fuerza normal de la mesa. Se equilibran, pero no forman un par de acción y reacción: las dos actúan sobre el libro, y solo son iguales porque el libro no acelera. La pareja del peso es la atracción gravitatoria que el libro ejerce sobre la Tierra. En un choque, un coche de 1000 kg y un camión de 6000 kg experimentan la misma fuerza, digamos 30 kN, que da al coche 30 m/s² pero al camión solo 5 m/s².

Ejemplo resuelto: los bloques de la animación

La animación empuja un bloque ligero, $m_1=2\mathrm{kg}$, y otro pesado, $m_2=5\mathrm{kg}$, con la misma fuerza horizontal $F=20\mathrm{N}$: las flechas rojas tienen la misma longitud. Los suelos no tienen rozamiento y cada peso queda equilibrado por la fuerza normal (19,62 N y 49,05 N), así que el empuje es la fuerza neta:
$a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{20}{2}=10m/{\mathrm{s}}^2,a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{20}{5}=4m/{\mathrm{s}}^2$

Los dos bloques parten del reposo, así que tras $t=3\mathrm{s}$
$v_1=a_{1}t=10\cdot 3=30m/s,v_2=a_{2}t=4\cdot 3=12m/s$
Son los valores finales de las lecturas $v_1$ y $v_2$, que crecen 10 y 4 m/s cada segundo. Con $x=\frac{1}{2}a{t}^2$, los bloques recorren 45 m y 18 m. Las marcas grises señalan dónde estaba el borde delantero de cada bloque a los 0, 1 y 2 s: el bloque ligero había avanzado 5 m y después 20 m; el pesado, 2 m y después 8 m. En cada instante, la rapidez y la distancia recorrida del bloque ligero son 2,5 veces las del pesado, la razón inversa de las masas.

Ejemplo resuelto: una báscula en un ascensor

Estás de pie sobre una báscula de baño dentro de un ascensor. Tu masa es de 70 kg y el ascensor arranca hacia arriba con una aceleración de 1,0 m/s². Sobre ti actúan dos fuerzas: tu peso, $mg=686,7\mathrm{N}$, hacia abajo, y la fuerza normal $N$ de la báscula, hacia arriba. Tomando el sentido hacia arriba como positivo, la segunda ley da
$N-mg=ma\Rightarrow N=m(g+a)=70\cdot (9,81+1,0)\approx 757\mathrm{N}$

Por la tercera ley, tú empujas la báscula hacia abajo con esos mismos 757 N, y eso es lo que ella mide; una báscula graduada en kilogramos divide entre 9,81 y marca 77,1 kg. A velocidad constante marca tus 70 kg reales. Mientras el ascensor frena al llegar arriba, $a=-1,0m/{\mathrm{s}}^2$ y la lectura baja a $70\cdot 8,81\approx 617\mathrm{N}$, es decir, 62,9 kg. En caída libre marcaría cero: la ingravidez significa que no hay fuerza de apoyo, no que no haya gravedad.

Errores frecuentes

• El movimiento no necesita fuerza neta: al coche que avanza a una velocidad constante de 20 m/s contra 600 N de resistencia lo impulsa una fuerza de exactamente 600 N, y una mayor lo haría acelerar.
• La masa no es el peso: la astronauta de 70 kg pesa 687 N en la Tierra y 113 N en la Luna, pero cuesta lo mismo ponerla en movimiento en los dos sitios.
• La fuerza normal no siempre vale $mg$: en el ascensor que acelera es de 757 N, mientras que tu peso es de 687 N.
• Usa la fuerza neta, no una sola fuerza: la caja empujada con 30 N en un sentido y con 10 N en el otro adquiere $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$, no $30/4=7,5m/{\mathrm{s}}^2$.

Dónde aparece

Las zonas de deformación programada y los cinturones de seguridad usan $a=F/m$ al revés: repartir un choque en un tiempo más largo reduce la aceleración de los pasajeros y, con ella, la fuerza que sufren. Los cohetes, los nadadores y quienes caminan empujan algo hacia atrás, y la otra fuerza del par de acción y reacción los empuja hacia delante. Después vienen Rozamiento y plano inclinado; Movimiento circular, donde la fuerza neta hace girar la velocidad; y Gravitación y órbitas. Sumar la segunda ley a lo largo del tiempo y del recorrido lleva a Cantidad de movimiento y choques y a Trabajo, energía y potencia.

Avanzado

La fuerza como ritmo de cambio de la cantidad de movimiento

La segunda ley de Newton suele presentarse como $\vec{F}=m\vec{a}$. Su forma general usa la cantidad de movimiento $\vec{p}=m\vec{v}$, y leerla como una afirmación sobre vectores explica de inmediato cómo una fuerza puede acelerar un cuerpo, frenarlo o hacerlo girar.

Leyenda

$\vec{F}$	Fuerza neta sobre el cuerpo, representado por el punto.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\parallel }$	Componente de $\vec{F}$ a lo largo del movimiento: cambia la rapidez.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\perp }$	Componente de $\vec{F}$ transversal al movimiento, hacia el interior de la curva: curva la trayectoria.	$\mathrm{N}$
$\vec{p}$	Cantidad de movimiento $m\vec{v}$ del cuerpo, en la dirección de su movimiento.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$d\vec{p}$	Cambio de la cantidad de movimiento en un tiempo breve $dt$: $d\vec{p}=\vec{F}dt$, así que apunta hacia donde apunta $\vec{F}$.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Cantidad de movimiento un instante después: $\vec{p}+d\vec{p}$, más larga que $\vec{p}$ y girada.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

La figura 1 sigue a un cuerpo en una curva: la línea negra es su trayectoria, y la punta de flecha indica hacia dónde se mueve. A la izquierda, fíjate en el punto. La fuerza neta $\vec{F}$ sobre el cuerpo se descompone en dos componentes perpendiculares. La componente ${\vec{F}}_{\parallel }$ está en la dirección del movimiento; cambia la rapidez y deja intacta la dirección. La componente ${\vec{F}}_{\perp }$ es transversal al movimiento y apunta hacia el interior de la curva; cambia la dirección y deja intacta la rapidez. El movimiento circular con rapidez constante es el caso en que solo está presente ${\vec{F}}_{\perp }$.

A la derecha se dibuja el mismo instante con cantidades de movimiento. En un tiempo breve $dt$, la cantidad de movimiento $\vec{p}$ cambia en $d\vec{p}=\vec{F}dt$, así que $d\vec{p}$ es paralelo a $\vec{F}$, no a $\vec{p}$. Al colocarlo en la punta de $\vec{p}$ se obtiene la nueva cantidad de movimiento ${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}+d\vec{p}$. Compara ahora ${\vec{p}}^{\prime }$ con el arco discontinuo, de radio $|\vec{p}|$: la punta de ${\vec{p}}^{\prime }$ queda fuera del arco, así que la cantidad de movimiento ha crecido, y además ${\vec{p}}^{\prime }$ apunta en una dirección nueva. La componente paralela de la fuerza causó el aumento; la perpendicular, el giro.

Escrito como ecuación, esto es la segunda ley en su forma general: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al ritmo con que cambia su cantidad de movimiento,
$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$
Si la masa es constante, $d\vec{p}/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$, que es la forma conocida. Una ecuación vectorial son tres ecuaciones a la vez, una por eje; con puntos para las derivadas respecto al tiempo ($\ddot{x}=d^{2}x/d{t}^2$),
$m\ddot{x}=F_x,m\ddot{y}=F_y,m\ddot{z}=F_z$

Cada una es una ecuación diferencial de segundo orden: contiene la segunda derivada de la posición. Por eso, para resolverla hacen falta dos valores de partida por eje, la posición inicial y la velocidad inicial. Con ellos y la fuerza, el movimiento queda fijado para todos los instantes posteriores. Fíjate en lo que relaciona la ley: la fuerza neta fija la aceleración, sea cual sea la velocidad en ese momento. Un cuerpo puede moverse muy deprisa sin ninguna fuerza sobre él, y una pelota en lo más alto de su lanzamiento está un instante en reposo mientras sigue acelerando con $g$.

Sistemas inerciales: lo que añade la primera ley

La primera ley es algo más que el caso particular $\sum \vec{F}=0$ de la segunda. Afirma que existen sistemas de referencia en los que un cuerpo libre de fuerzas se mueve en línea recta con rapidez constante. Se llaman sistemas inerciales, y solo en ellos vale $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ tal como está escrita. Todo sistema que se mueve con velocidad constante respecto a uno inercial también es inercial, porque sumar la misma velocidad constante a todos los cuerpos no cambia ninguna aceleración. Los sistemas que aceleran necesitan una corrección, que se describe más adelante.

Impulso y trabajo: áreas bajo la fuerza

Sumar una fuerza a lo largo del tiempo da el cambio de la cantidad de movimiento; sumarla a lo largo del recorrido da el cambio de la energía cinética. Estos dos teoremas llevan de las leyes de Newton a las leyes de conservación, y la figura 2 muestra ambos para el empuje de la animación.

Leyenda

$F$	Fuerza constante que empuja cada bloque.	$\mathrm{N}$
$t$	Tiempo desde que empezó el empuje.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Duración del empuje.	$\mathrm{s}$
$J$	Impulso de la fuerza: el área bajo $F(t)$, $J=F\Delta t$. Es igual a la cantidad de movimiento ganada.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$
$x$	Posición de un bloque a lo largo del suelo, medida desde donde empezó el empuje.	$\mathrm{m}$
$m_1$	El bloque ligero.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	El bloque pesado.	$\mathrm{kg}$
$x_1$	Distancia que recorre el bloque ligero durante $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Distancia que recorre el bloque pesado durante $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$W_1$	Trabajo realizado sobre el bloque ligero: el área bajo $F(x)$ hasta $x_1$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Trabajo realizado sobre el bloque pesado: el área bajo $F(x)$ hasta $x_2$.	$\mathrm{J}$

En la figura 2, la misma fuerza constante $F=20\mathrm{N}$ actúa durante $\Delta t=3\mathrm{s}$ sobre el bloque ligero $m_1=2\mathrm{kg}$ y sobre el bloque pesado $m_2=5\mathrm{kg}$. La gráfica de la izquierda representa la fuerza frente al tiempo $t$. Es una recta horizontal, y el área sombreada bajo ella, $F\Delta t$, es el impulso $J$. Esta gráfica es la misma para los dos bloques, porque ambos sienten la misma fuerza durante el mismo tiempo. Las dos gráficas de la derecha representan la fuerza frente a la posición $x$ de cada bloque. Tienen la misma altura, pero no la misma anchura: el bloque ligero es empujado a lo largo de la distancia mayor $x_1$; el pesado, solo a lo largo de $x_2$. Por eso las áreas sombreadas, los trabajos $W_1$ y $W_2$, son distintas.

Primero, el movimiento en sí. Con el empuje de 20 N, la aceleración $a=F/m$ vale constantemente 10 m/s² para el bloque ligero y 4 m/s² para el pesado, así que en las gráficas de la lección $a(t)$ es una recta horizontal y $v(t)$ una recta cuya pendiente es esa aceleración. El área bajo $a(t)$ durante los 3 s es la velocidad ganada, $10\cdot 3=30m/s$ y $4\cdot 3=12m/s$. Partiendo del reposo, cada bloque recorre $\frac{1}{2}a(\Delta t{)}^2$, es decir, $x_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2=45\mathrm{m}$ y $x_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3^2=18\mathrm{m}$.

Respecto al tiempo: integra $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ desde $0$ hasta $t$. El lado izquierdo se convierte en el impulso de la fuerza; el derecho, en el cambio de la cantidad de movimiento:
${\int }_0^t\vec{F}d{t}^{\prime }=\vec{p}(t)-\vec{p}(0)$
Los dos bloques parten del reposo y reciben el impulso $J=F\Delta t=20\cdot 3=60\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$, así que ambos terminan con la misma cantidad de movimiento, $2\cdot 30=5\cdot 12=60\mathrm{kg}\cdot m/s$.

Respecto al recorrido: por la regla de la cadena, la aceleración puede escribirse $a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx$. Entonces $F=ma$ se convierte en $Fdx=mvdv$, e integrando ambos lados desde el comienzo del empuje hasta su final se obtiene el teorema del trabajo y la energía:
${\int }_{x_0}^{x}Fd{x}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
Para el bloque ligero, el trabajo es $W_1=F{x}_1=20\cdot 45=900\mathrm{J}$, y efectivamente $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 30^2=900\mathrm{J}$. Para el pesado, $W_2=20\cdot 18=360\mathrm{J}$, que es igual a $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12^2$.

El resultado: cantidades de movimiento iguales, pero energías cinéticas en la razón 2,5. El motivo es $E_c=p^2/(2m)$: con la misma cantidad de movimiento, el cuerpo más ligero lleva más energía. Se mueve más deprisa, así que recorre más distancia mientras actúa la fuerza, y la fuerza realiza más trabajo sobre él.

Lo que da contenido a la segunda ley

Si $\vec{F}=m\vec{a}$ fuera una simple definición de fuerza, no predeciría nada: cualquier aceleración observada podría atribuirse a una fuerza inventada a medida. La ley tiene contenido porque las fuerzas pueden conocerse con independencia de los movimientos que causan. Tres hechos lo hacen posible. Toda fuerza tiene una fuente, otro cuerpo cercano o un campo producido por algún cuerpo, así que un cuerpo alejado de todo no siente ninguna fuerza. Las fuerzas se suman como vectores. Y obedecen leyes propias: la gravedad, $GMm/r^2$; la fuerza de un muelle, $-kx$; la fuerza eléctrica entre cargas; y el rozamiento, aproximadamente proporcional a la fuerza normal.

También la masa puede medirse sin caer en un círculo vicioso. Haz que dos cuerpos se empujen mutuamente hasta separarse, por ejemplo con un muelle comprimido entre ellos. Por la tercera ley, las dos fuerzas son iguales y opuestas, así que las aceleraciones están en la razón inversa de las masas, $a_1/a_2=m_2/m_1$. Los empujes iguales de la animación dan la misma razón, $10/4=5/2$. Una vez elegido un cuerpo como unidad de masa, este método mide todos los demás.

Conocidas las masas y las leyes de fuerza, la segunda ley se convierte en una máquina de predecir. La posición y la velocidad actuales dan la fuerza; la fuerza da la aceleración; la aceleración da la posición y la velocidad un instante después; y el paso se repite. Con una fuerza de muelle $-kx$ el resultado es una oscilación; con la gravedad, $GMm/r^2$, una órbita elíptica.

Tercera ley y conservación de la cantidad de movimiento

La tercera ley dice que, cuando dos cuerpos $A$ y $B$ interaccionan, la fuerza ${\vec{F}}_{AB}$ que $A$ ejerce sobre $B$ y la fuerza ${\vec{F}}_{BA}$ que $B$ ejerce sobre $A$ son iguales y opuestas. Combinada con la forma general de la segunda ley, da la ley de conservación más útil de la mecánica.

Toma dos cuerpos que solo interaccionan entre sí. La cantidad de movimiento de cada uno cambia al ritmo que marca la fuerza que actúa sobre él: $d{\vec{p}}_B/dt={\vec{F}}_{AB}$ y $d{\vec{p}}_A/dt={\vec{F}}_{BA}$. Sumando las dos y usando la tercera ley,
$\frac{d}{dt}\left({\vec{p}}_A+{\vec{p}}_B\right)={\vec{F}}_{AB}+{\vec{F}}_{BA}=0$
así que la cantidad de movimiento total nunca cambia. Por ejemplo, un muelle separa dos carritos de 2 kg y 5 kg que parten del reposo. Su cantidad de movimiento total sigue siendo cero, así que salen en sentidos opuestos con rapideces en la razón de 5 a 2, por ejemplo 2,5 m/s y 1,0 m/s, sea cual sea la forma en que varió el empuje mientras el muelle se soltaba.

Con muchos cuerpos, el mismo argumento funciona pareja por pareja. Las fuerzas internas se anulan, y lo que queda es $d\vec{P}/dt=\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$, donde $\vec{P}$ es la cantidad de movimiento total y $\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ la suma de las fuerzas exteriores. Como $\vec{P}$ es igual a la masa total por la velocidad del centro de masas, el centro de masas se mueve como un único punto que llevara toda la masa. Por eso cada bloque de la animación puede tratarse como un punto.

La conservación de la cantidad de movimiento es más sólida que la propia tercera ley. Las fuerzas entre cuerpos separados no pueden responder al instante, porque ninguna influencia viaja más deprisa que la luz, y las fuerzas magnéticas entre dos cargas en movimiento, en general, no son iguales y opuestas. Aun así, la cantidad de movimiento total se conserva en cuanto se cuenta la que transporta el campo electromagnético.

Sistemas acelerados y fuerzas ficticias

Las leyes de Newton solo valen en sistemas inerciales, y sin embargo a menudo describimos el movimiento desde un coche, un ascensor o la Tierra que gira. En un sistema así, las leyes pueden salvarse añadiendo fuerzas ficticias. La figura 3 muestra cómo, para un autobús que frena.

Leyenda

$\vec{v}$	Velocidad del autobús respecto a la carretera.	$m/s$
${\vec{a}}_B$	Aceleración del autobús, el sistema $B$, respecto a la carretera; apunta hacia atrás porque el autobús frena.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{F}$	Fuerza del cinturón de seguridad sobre el pasajero: una fuerza real, ejercida por un cuerpo.	$\mathrm{N}$
$m{\vec{a}}_B$	Masa $m$ del pasajero por ${\vec{a}}_B$. La flecha discontinua es la fuerza ficticia $-m{\vec{a}}_B$, que apunta hacia delante; ningún cuerpo la ejerce.	$\mathrm{N}$

Respecto a la carretera, que tomamos como inercial, el autobús de la figura 3 avanza con velocidad $\vec{v}$, pero su aceleración ${\vec{a}}_B$ apunta hacia atrás porque está frenando. Describe ahora el movimiento desde un sistema $B$ fijo al autobús y que no gira. La posición de un cuerpo respecto a la carretera es la posición del autobús más la posición del cuerpo respecto al autobús. Derivando dos veces, las aceleraciones se suman igual, $\vec{a}={\vec{a}}_B+{\vec{a}}^{\prime }$, donde ${\vec{a}}^{\prime }$ es la aceleración vista desde el autobús. Así que ${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}-{\vec{a}}_B$, y multiplicando por $m$ y usando $m\vec{a}=\sum \vec{F}$ se obtiene
$m{\vec{a}}^{\prime }=\sum \vec{F}-m{\vec{a}}_B$

El término adicional $-m{\vec{a}}_B$ actúa como una fuerza proporcional a la masa; es la flecha discontinua de la figura. Pero ningún cuerpo la ejerce, y no tiene pareja de acción y reacción. Así se reconoce una fuerza ficticia.

Fíjate ahora en el pasajero, de 60 kg de masa, mientras el autobús frena a 4 m/s². Visto desde dentro del autobús, el pasajero parece empujado hacia delante con $m{a}_B=60\cdot 4=240\mathrm{N}$. Visto desde la carretera, nada empuja al pasajero hacia delante: simplemente sigue avanzando hasta que el cinturón de seguridad le aplica la fuerza real $\vec{F}$ de 240 N hacia atrás. Esa fuerza, por sí sola, da al pasajero la misma aceleración ${\vec{a}}_B$ que al autobús. Visto desde dentro del autobús, el pasajero permanece en reposo, ${\vec{a}}^{\prime }=0$, porque $\vec{F}$ y la fuerza ficticia $-m{\vec{a}}_B$ se equilibran, como muestran las dos flechas horizontales sobre el pasajero.

Otros sistemas acelerados funcionan igual. En un ascensor que acelera hacia arriba a 1,0 m/s², la fuerza ficticia apunta hacia abajo y se suma a la gravedad, así que todo lo que hay dentro se comporta como si $g$ valiera $9,81+1,0=10,81m/{\mathrm{s}}^2$. Un sistema que gira necesita dos fuerzas ficticias: la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, que solo actúa sobre los cuerpos que se mueven respecto al sistema que gira. La superficie terrestre es un sistema así. Con la velocidad angular de rotación de la Tierra $\omega$ y su radio $R$, el suelo en el ecuador tiene la aceleración centrípeta ${\omega }^{2}R\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, solo alrededor del 0,35 % de $g$; y sin embargo la fuerza de Coriolis decide en qué sentido giran los ciclones. Por último, las fuerzas ficticias, igual que la gravedad, son proporcionales a la masa, así que ningún experimento dentro de un laboratorio cerrado puede distinguir su propia aceleración de la gravedad. Esa pista condujo a la relatividad general.

Problema resuelto: un bloque colgante tira del otro

Este problema sustituye la mano de la animación por la gravedad. Muestra el método habitual para cuerpos enlazados: un diagrama de cuerpo libre por cada cuerpo (un esquema de ese cuerpo solo, con todas las fuerzas que actúan sobre él), más una condición que relaciona sus movimientos.

Leyenda

$m_1$	El bloque colgante.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	El bloque sobre la mesa.	$\mathrm{kg}$
$\vec{T}$	Fuerza del hilo sobre un bloque; su módulo $T$ es la tensión, igual en los dos extremos del hilo.	$\mathrm{N}$
$\vec{a}$	Aceleración, del mismo módulo para los dos bloques.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$m_1\vec{g}$	Peso del bloque colgante.	$\mathrm{N}$

En la figura 4, el bloque $m_2=5\mathrm{kg}$ está sobre una mesa sin rozamiento. Un hilo ligero va desde él, pasando por una polea ligera y sin rozamiento, hasta el bloque colgante $m_1=2\mathrm{kg}$. El peso del bloque colgante es $m_{1}g=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, casi el empuje de 20 N de la animación. Halla la aceleración $a$ y la tensión $T$ del hilo.

Dos hechos relacionan los bloques. El hilo conserva su longitud, así que los dos bloques recorren la misma distancia en el mismo tiempo y comparten la aceleración $\vec{a}$: hacia la derecha para $m_2$ y hacia abajo para $m_1$, como muestran las dos flechas marcadas con $\vec{a}$. Y como el hilo y la polea son ligeros y sin rozamiento, el hilo tira con la misma fuerza en sus dos extremos: son las dos flechas marcadas con $\vec{T}$. Toma ahora como positivo, para cada bloque, el sentido del movimiento a lo largo del hilo. El bloque que desliza solo tiene $T$ en la dirección de su movimiento; su peso y la fuerza normal se anulan, por lo que la figura no los dibuja. El bloque colgante tiene su peso $m_{1}g$ hacia abajo, a favor de su movimiento, y $T$ hacia arriba, en contra. La segunda ley para cada bloque dice
$m_{2}a=T,m_{1}a=m_{1}g-T$
Con números, $5a=T$ y $2a=19,62-T$. Al sumar las dos ecuaciones desaparece la tensión desconocida y queda $7a=19,62$, así que
$a=\frac{m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{19,62}{7}\approx 2,80m/{\mathrm{s}}^2,T=m_{2}a\approx 14,0\mathrm{N}$

Lee ahora el resultado. Empujado por una mano con 20 N, el bloque de 5 kg ganaba 4 m/s²; tirado por un peso de 19,62 N, gana solo 2,80 m/s². La fuerza que tira es casi la misma, pero ahora tiene que acelerar 7 kg, porque también hay que acelerar el bloque colgante. La tensión, 14,0 N, es menor que el peso colgante, y por eso la flecha $\vec{T}$ sobre el bloque colgante es más corta que $m_1\vec{g}$. La diferencia, $m_{1}g-T=m_{1}a\approx 5,6\mathrm{N}$, es la fuerza neta que acelera el bloque colgante; si la tensión y el peso fueran iguales, no podría acelerar en absoluto. Tres segundos después de partir del reposo, los bloques se mueven a $2,80\cdot 3\approx 8,4m/s$ y han recorrido $\frac{1}{2}\cdot 2,80\cdot 3^2\approx 12,6\mathrm{m}$.

Dos comprobaciones. Sustituyendo $a$ en $T=m_{2}a$ se obtiene $T=m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$, que es simétrica en las dos masas. Así que, si se intercambian los bloques y cuelga el de 5 kg, la aceleración pasa a ser $a=49,05/7\approx 7,01m/{\mathrm{s}}^2$, pero la tensión se queda en unos 14,0 N. Y los límites tienen sentido: cuando la masa colgante es mucho mayor, $a\to g$ y el bloque cae casi libremente; cuando es muy pequeña, $a\to 0$ y la tensión se acerca al propio peso del bloque colgante, como si simplemente colgara en reposo.

Límites de validez

Las leyes de Newton, tal como se enuncian aquí, describen cuerpos puntuales, o los centros de masas de cuerpos extensos, en sistemas inerciales, a velocidades muy inferiores a la de la luz y a escalas muy superiores a la atómica. Cada condición marca una frontera.

La rotación de un cuerpo extenso necesita una ley propia, con el momento de fuerza en lugar de la fuerza y el momento de inercia en lugar de la masa. Las fuerzas de contacto, como la tensión y la fuerza normal, son a su vez el efecto promedio de innumerables fuerzas eléctricas entre átomos; las leyes de Newton las toman como dadas en lugar de explicarlas.

A gran velocidad, $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ sigue valiendo, pero la cantidad de movimiento pasa a ser $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, con el factor de Lorentz $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ y $c$ la velocidad de la luz. Una fuerza constante que actúa desde el reposo sigue dando $p=Ft$; despejando $v$ de $\gamma mv=Ft$ se obtiene
$v=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+{\left(Ft/(mc)\right)}^2}}$
que se acerca a $c$ pero nunca la alcanza. Sigue empujando el bloque de 2 kg con 20 N. La respuesta newtoniana $v=Ft/m$ llegaría a $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ al cabo de unos 347 días; en ese momento $Ft/(mc)=1$, así que la velocidad real es solo $c/\sqrt{2}\approx 0,71c$. A los 30 m/s de la animación, la corrección relativista es del orden de $v^2/c^2\approx 10^{-14}$, muy por debajo de lo medible.

A escala atómica, una partícula no tiene una trayectoria nítida, y la mecánica cuántica sustituye a $\vec{F}=m\vec{a}$. La ley de Newton reaparece como la ley del movimiento medio de los cuerpos grandes.

Lo que viene después

Casi toda la mecánica clásica es la segunda ley más una ley de fuerza. Rozamiento y plano inclinado añade las fuerzas de las superficies rugosas; Movimiento circular, la fuerza neta que solo hace girar la velocidad; y Gravitación y órbitas, la ley de la gravedad que explica los planetas. Sumadas a lo largo del tiempo y del recorrido, las leyes se convierten en Cantidad de movimiento y choques y en Trabajo, energía y potencia; aplicadas a cuerpos que giran, en Dinámica de rotación y momento de fuerza; con la fuerza de un muelle, en Movimiento armónico simple; con una fuerza que crece con la velocidad, en Fuerza de arrastre y velocidad terminal. A grandes velocidades dejan paso a Relatividad especial, y la igualdad entre la masa inercial y la gravitatoria abre La gravedad como curvatura del espacio-tiempo.