Движение тела, брошенного под углом

Начальный

Брошенное тело — это всё, что бросили, пнули или запустили и что дальше движется только под действием силы тяжести: баскетбольный мяч, прыгун в длину, струя воды из шланга. Его траектория — кривая, называемая параболой.

Секрет в том, чтобы разделить движение на два. По горизонтали на мяч, вылетевший из руки, ничто не действует (если не учитывать воздух), поэтому его горизонтальная скорость не меняется. По вертикали сила тяжести действует точно так же, как на просто отпущенный мяч: каждую секунду она добавляет 9,81 м/с скорости вниз.

Бросьте камень горизонтально со скоростью 10 м/с с вершины обрыва. Через 1 с он окажется в 10 м от края и опустится примерно на 4,9 м; через 2 с — в 20 м от края и примерно на 19,6 м ниже.

Проверьте себя: какова через 2 с его скорость вперёд и вниз? (Вперёд по-прежнему 10 м/с; вниз — около 20 м/с.)

Поскольку эти два движения не влияют друг на друга, монета, щелчком сброшенная со стола, и монета, просто отпущенная с того же края, падают на пол одновременно.

Важен и угол броска. При слишком пологом броске мяч быстро падает; при слишком крутом — взлетает высоко, но недалеко. На ровной площадке без воздуха дальше всего летит мяч, брошенный под углом 45°, а броски под 30° и 60° приземляются в одной точке.

Ньютон представлял себе пушку на вершине горы, стреляющую всё быстрее: каждое ядро падает дальше, пока одно не начнёт падать ровно так же быстро, как круглая Земля уходит из-под него, — и оно уже никогда не упадёт. Это орбита.

В анимации следите за серыми точками, по одной на каждые полсекунды: по горизонтали они всегда на одинаковом расстоянии, а по вертикали промежутки уменьшаются при подъёме и растут при спуске.

Средний

Оси, проекции и знаки

Поместите начало координат в точку броска, ось $x$ направьте горизонтально в сторону броска, а ось $y$ — вертикально вверх. Мяч брошен со скоростью $v_0$ под углом $\theta$ над горизонтом; его скорость — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого — проекции скорости, равные
$v_x=v_0\cos \theta$
$v_{y0}=v_0\sin \theta$

Обе проекции — числа со знаком, в метрах в секунду: $v_y>0$ означает подъём, $v_y<0$ — падение. Модуль скорости по проекциям находят так: $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Если направление вверх считать положительным, вертикальное ускорение равно $-g$, где $g=9,81\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ — модуль ускорения свободного падения. Обратите внимание, как задан угол: если его отсчитывают от вертикали, синус и косинус меняются местами.

Два независимых прямолинейных движения

Когда мяч уже вылетел из руки, единственная сила, действующая на него (воздух не учитываем), — сила тяжести, направленная вертикально вниз. Вбок мяч ничто не толкает, поэтому его горизонтальная скорость не меняется: по горизонтали движение равномерное. По вертикали мяч движется точно так же, как мяч, брошенный прямо вверх со скоростью $v_0\sin \theta$; этот случай разобран в уроке «Свободное падение». У двух движений общие только часы.

Поэтому через время $t$ после броска
$x=v_0\cos \theta t$
$v_y=v_0\sin \theta -gt$
$y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Простая проверка независимости: щелчком сбросьте монету со стола и в тот же момент отпустите другую с того же края. У обеих в начале $v_y=0$, и падают они с одной высоты, поэтому на пол попадают одновременно; сброшенная щелчком просто приземляется дальше от стола.

Время полёта, высота и дальность

На ровной площадке время в воздухе, высота и дальность следуют из вертикального движения и одного умножения. Мяч поднимается, пока $v_y$ не станет равной нулю, то есть до момента $t=v_0\sin \theta /g$, а спуск зеркально повторяет подъём, поэтому приземляется мяч через вдвое большее время. Подстановка времени подъёма в $y(t)$ даёт максимальную высоту, а горизонтальная скорость, умноженная на время полёта, — дальность:

• $T=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$
• $H=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g}$
• $L=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$

Время полёта и высота зависят только от вертикальной проекции $v_0\sin \theta$. Для дальности нужны обе проекции, $L=v_0\cos \theta \cdot 2v_0\sin \theta /g$, а тождество $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ приводит выражение к компактному виду.

Под каким углом бросок получается самым дальним? При крутом броске мяч долго остаётся в воздухе, но по горизонтали движется медленно; при пологом горизонтальная скорость велика, но мяч почти сразу падает. Дальность — произведение времени полёта на горизонтальную скорость — наибольшая где-то между этими крайностями: $\sin 2\theta$ достигает наибольшего значения 1 при $2\theta =90^{\circ }$, поэтому на ровной площадке лучший угол — $\theta =45^{\circ }$, и тогда $L_{\max }=v_0^2/g$. Углы, одинаково удалённые от 45° вверх и вниз, дают одну и ту же дальность, потому что $\sin 2\theta =\sin (180^{\circ }-2\theta )$: 30° и 60° дают одну и ту же точку падения, так же как 40° и 50°.

Пример: бросок из анимации

Мяч вылетает с земли со скоростью $v_0=20\mathrm{м}/\mathrm{с}$ под углом $\theta =50^{\circ }$. Его проекции скорости равны
$v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12,9\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_{y0}=20\sin 50^{\circ }\approx 15,3\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Именно эти значения показывают индикаторы $v_x$ и $v_y$ в момент броска. Верхней точки мяч достигает через $t=15,3/9,81\approx 1,56\mathrm{с}$, а приземляется через вдвое большее время, $T\approx 3,12\mathrm{с}$. Тогда
$H=\frac{15,32^2}{2\cdot 9,81}\approx 12,0\mathrm{м}$
$L=\frac{20^2\sin 100^{\circ }}{9,81}\approx 40,2\mathrm{м}$
и для проверки $v_{x}T=12,9\cdot 3,12\approx 40,2\mathrm{м}$.

Весь полёт золотистый индикатор $v_x$ показывает 12,9 м/с. Зелёный индикатор $v_y$ каждую секунду уменьшается на 9,81 м/с, проходит через нуль в момент 1,56 с, когда мяч находится на вершине пунктирной линии с отметкой $H$, и к приземлению достигает $-15,3\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Мяч опускается в 40,2 м от точки броска со скоростью 20 м/с, направленной на 50° ниже горизонта: спуск — это подъём, прокрученный в обратную сторону.

При 40° та же скорость даёт те же 40,2 м, но мяч поднимается лишь на 8,4 м и приземляется через 2,62 с. При 45° он падает в 40,8 м, всего на 1,5 % дальше, чем при 50°: вблизи наилучшего угла дальность почти не чувствительна к небольшим ошибкам в угле.

Пример: толкание ядра

Спортсмен выпускает ядро на высоте 2,0 м над землёй со скоростью 13 м/с под углом 40° к горизонту. На каком расстоянии по горизонтали оно приземлится? Формулы для ровной площадки здесь не годятся, потому что ядро падает на 2,0 м ниже высоты, с которой оно вылетело.

Проекции скорости равны $v_x=13\cos 40^{\circ }\approx 9,96\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $v_{y0}=13\sin 40^{\circ }\approx 8,36\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Ядро приземляется, когда $y=-2,0\mathrm{м}$, то есть когда $4,905t^2-8,36t-2,0=0$, где $4,905$ — это $\frac{1}{2}g$. Положительный корень равен
$t=\frac{8,36+\sqrt{8,36^2+4\cdot 4,905\cdot 2,0}}{2\cdot 4,905}\approx 1,92\mathrm{с}$
значит, ядро приземляется на расстоянии $x=9,96\cdot 1,92\approx 19,1\mathrm{м}$.

Формула для ровной площадки дала бы $13^2\sin 80^{\circ }/9,81\approx 17,0\mathrm{м}$: высота вылета добавляет к дальности 2,1 м. Ядро поднимается на $8,36^2/(2\cdot 9,81)\approx 3,6\mathrm{м}$ над рукой и приземляется со скоростью 14,4 м/с — большей, чем при вылете, потому что его путь заканчивается ниже. Если точка падения ниже точки броска, наилучший угол немного меньше 45°, здесь около 42°; спортсмены выпускают ядро ещё более полого, потому что при пологих углах руки способны придать ядру большую скорость.

Как читать стробоскопические точки и стрелки

Серые точки отмечают положение мяча через каждые 0,5 с. По горизонтали они всегда отстоят друг от друга на $12,9\cdot 0,5\approx 6,4\mathrm{м}$: равные расстояния за равные промежутки времени — признак равномерного движения. По вертикали, считая от точки броска, мяч за каждые полсекунды поднимается на 6,4 м, 4,0 м и 1,5 м, а затем опускается на 0,9 м, 3,4 м и 5,8 м. Каждый следующий шаг смещён вниз на 2,45 м по сравнению с предыдущим — подъём короче, а спуск длиннее на 2,45 м, — потому что $g(0,5\mathrm{с}{)}^2=2,45\mathrm{м}$: это картина падения отпущенного мяча, которому в начале дали толчок вверх.

Стрелки рассказывают о том же. Синяя стрелка $v$ всегда направлена по касательной к пунктирному следу. Золотистая стрелка $v_x$ сохраняет длину от броска до приземления, а зелёная стрелка $v_y$ укорачивается, исчезает в верхней точке и затем снова растёт, но направлена уже вниз. Поэтому синяя стрелка короче всего в верхней точке, где модуль скорости равен $v_x$, то есть 12,9 м/с, а при приземлении она такой же длины, как при броске.

Частые ошибки

• Скорость в верхней точке не равна нулю. Нулю равна только $v_y$; мяч по-прежнему движется вбок со скоростью 12,9 м/с — это наименьший модуль скорости за весь полёт.
• Ускорение в верхней точке тоже не нулевое. Оно по-прежнему равно 9,81 м/с² и направлено вниз, поэтому через 0,1 с после верхней точки $v_y$ уже равна $-0,98\mathrm{м}/\mathrm{с}$.
• Более быстрый бросок вбок не удерживает тело в воздухе дольше. Шарик, скатившийся со стола высотой 1,0 м со скоростью 2 м/с или 4 м/с, падает через 0,45 с в обоих случаях — на расстоянии 0,9 м или 1,8 м от стола.
• В формулу дальности входит $\sin 2\theta$, а не $\sin \theta$. Если подставить $\sin 50^{\circ }$ вместо $\sin 100^{\circ }$, бросок из анимации приземлился бы, как кажется, в 31,2 м, а не в 40,2 м.
• Формула дальности предполагает приземление на высоте броска. Для толкания ядра она даёт 17,0 м вместо 19,1 м.

Где это встречается

Игры с мячом, прыжки в длину, струя из шланга или фонтана (каждая капля летит по своей параболе), прыжки в воду с трамплина и фейерверки подчиняются этим уравнениям, пока воздух почти не мешает. Для тяжёлого ядра это выполняется хорошо, для футбольного мяча — хуже, а для волана совсем не выполняется: это уже тема урока «Сопротивление среды и предельная скорость».

Галилей показал в 1638 году, что траектория брошенного тела — парабола, сложив равномерное горизонтальное движение с равноускоренным падением. Почему эти два движения независимы, объясняет урок «Законы Ньютона». Если довести те же рассуждения достаточно далеко, они приведут к орбитам: тело, брошенное горизонтально со скоростью около 7,9 км/с, падает вокруг Земли так же быстро, как поверхность уходит из-под него, — об этом урок «Тяготение и орбиты».

Продвинутый

Закон Ньютона по проекциям

Вся тема держится на одном приёме: движение в плоскости раскладывается на два движения вдоль прямых. Поместите точку броска в начало координат, ось $x$ направьте горизонтально, а ось $y$ — вверх. Мяч вылетает со скоростью $v_0$ под углом $\theta$ к горизонту, поэтому проекции его начальной скорости ${\vec{v}}_0$ равны $v_0\cos \theta$ и $v_0\sin \theta$. Обозначьте через $g=9,81\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ модуль ускорения свободного падения, так что вектор $\vec{g}=(0,-g)$ направлен вертикально вниз.

Когда мяч уже летит, а сопротивлением воздуха можно пренебречь, на него действует только сила тяжести $m\vec{g}$. Второй закон Ньютона принимает вид $m\vec{a}=m\vec{g}$. Два вектора равны, только когда равны их проекции, поэтому одно это уравнение распадается на два (точка над буквой означает производную по времени):
$m\ddot{x}=0,m\ddot{y}=-mg$

Отсюда сразу следуют два вывода. Уравнения не перемешиваются: $y$ не входит в первое, а $x$ — во второе, поэтому каждое из них — самостоятельная задача о движении вдоль прямой. Кроме того, масса сокращается: стеклянный шарик и пушечное ядро, запущенные с одной и той же скоростью, летят по одной и той же траектории. По горизонтали мяч движется равномерно, а по вертикали свободно падает.

Проинтегрируйте каждое уравнение один раз, чтобы найти скорость, и ещё раз, чтобы найти координату. При каждом интегрировании появляется постоянная, которую определяет состояние при $t=0$: мяч стартует из начала координат с указанными выше проекциями скорости. В результате
$\dot{x}=v_0\cos \theta ,x=v_0\cos \theta t$
$\dot{y}=v_0\sin \theta -gt,y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Понадобились четыре постоянные: две начальные координаты и две проекции начальной скорости. Для движения в плоскости всегда нужны четыре начальных числа — вдвое больше, чем для движения по прямой.

Числа ниже относятся к броску из анимации: $v_0=20\mathrm{м}/\mathrm{с}$ под углом $\theta =50^{\circ }$. Горизонтальная проекция скорости равна $v_x=20\cos 50^{\circ }\approx 12,9\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а начальная вертикальная — $20\sin 50^{\circ }\approx 15,3\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Положение как сумма векторов

Два результата для проекций можно снова собрать в одно векторное уравнение. Это стоит сделать: векторная запись сразу показывает, как сила тяжести уводит мяч с прямой, вдоль которой его нацелили.

Обозначения

$\theta$	Угол линии прицеливания над горизонтом.	$\mathrm{рад}$
${\vec{v}}_{0}t$	Где был бы мяч без силы тяжести: начальная скорость, умноженная на время, вдоль линии прицеливания.	$\mathrm{м}$
$\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$	Отклонение вниз из-за силы тяжести: вертикально вниз, растёт как $t^2$.	$\mathrm{м}$
$\vec{r}$	Положение мяча: стрелка из точки броска к мячу.	$\mathrm{м}$
$M$	Точка на линии прицеливания, где в момент броска висит обезьяна.

На рисунке 1 изображено уравнение
$\vec{r}(t)={\vec{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$
Читайте его как две стрелки, приставленные одна к концу другой. Стрелка ${\vec{v}}_{0}t$ начинается в точке броска и идёт вдоль линии прицеливания под углом $\theta$ к горизонту. Она заканчивается там, где мяч оказался бы в момент $t$, если бы не было силы тяжести. От её конца стрелка $\frac{1}{2}\vec{g}{t}^2$ направлена вертикально вниз: это расстояние, на которое мяч опустился ниже линии прицеливания. Радиус-вектор $\vec{r}$, проведённый из точки броска к мячу, — сумма этих двух стрелок, а красная кривая — пройденная к этому моменту часть траектории.

Первая стрелка растёт пропорционально $t$, вторая — пропорционально $t^2$. В начале полёта отклонение вниз ничтожно по сравнению с расстоянием вдоль линии прицеливания; потом оно берёт верх, и мяч всё быстрее уходит вниз от этой линии.

Этим решается классическая задача. Обезьяна висит на ветке в точке $M$ на линии прицеливания и отпускает ветку в тот самый момент, когда мяч бросают прямо в неё. Пролетит ли мяч над падающей обезьяной? Нет. На рисунке 1 показан момент, когда стрелка ${\vec{v}}_{0}t$ дошла до $M$. Мяч в этот момент находится на $\frac{1}{2}g{t}^2$ ниже линии прицеливания, точно под $M$. Обезьяна, падая из состояния покоя в течение того же времени $t$, опустилась ровно на столько же. Поэтому мяч встречается с обезьяной при любой начальной скорости, лишь бы он долетел до неё раньше, чем оба достигнут земли: сила тяжести опускает их на одно и то же расстояние, так что целиться прямо в обезьяну — ровно то, что нужно.

Скорость устроена так же: $\vec{v}(t)={\vec{v}}_0+\vec{g}t$. Её горизонтальная проекция не меняется, а вертикальная каждую секунду уменьшается на 9,81 м/с. Отложите стрелки скорости в последовательные моменты из одной точки: их концы спускаются по вертикальной прямой, на 4,9 м/с за каждые полсекунды.

Исключаем время: парабола

Полученные уравнения говорят, где находится мяч в каждый момент. Чтобы увидеть форму самой траектории, исключите время.

Поскольку $x$ растёт с постоянной скоростью $v_0\cos \theta$, мяч достигает заданного $x$ в момент $t=x/(v_0\cos \theta )$. Подставив это в $y(t)$, получаем высоту как функцию расстояния по горизонтали:
$y=x\mathrm{tg}\theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$

Разберите её почленно. Первый член, $x\mathrm{tg}\theta$, — это линия прицеливания. Второй — то же отклонение вниз $\frac{1}{2}g{t}^2$, что и на рисунке 1, только теперь выраженное через $x$. Так как отклонение растёт как $x^2$, траектория — парабола ветвями вниз.

Отсюда следуют две характерные точки. Мяч возвращается на высоту броска там, где $y=0$: при $x=0$ и на расстоянии, равном дальности полёта,
$L=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$
где использовано тождество $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$. Вершина дуги — то место, где траектория горизонтальна. Наклон равен $dy/dx=\mathrm{tg}\theta -gx/(v_0^2{\cos }^2\theta )$ и обращается в нуль при $x=v_0^2\sin \theta \cos \theta /g=L/2$. Значит, вершина лежит ровно посередине, как и требует симметрия параболы, на высоте $H=v_0^2{\sin }^2\theta /(2g)$.

Для броска из анимации траектория — это $y=1,192x-0,02968x^2$, где $x$ и $y$ в метрах. Мяч возвращается на землю на расстоянии 40,2 м и достигает наибольшей высоты 12,0 м при $x=20,1\mathrm{м}$.

Прицеливание: два угла и граница досягаемости

До сих пор бросок был задан, и мы спрашивали, куда полетит мяч. Перед бросающим стоит обратный вопрос: под каким углом должен вылететь мяч при заданной скорости, чтобы попасть в данную цель? Ответ даёт то же уравнение траектории.

Обозначения

$v_0$	Начальная скорость, одна и та же для обоих бросков и для штриховой параболы.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\theta }_1$	Угол настильного броска.	$\mathrm{рад}$
${\theta }_2$	Угол навесного броска.	$\mathrm{рад}$
$T$	Цель.
$x$	Расстояние по горизонтали от точки броска до цели.	$\mathrm{м}$
$y$	Высота цели над точкой броска.	$\mathrm{м}$
$v_0^2/(2g)$	Наибольшая высота, достижимая при скорости $v_0$ броском вертикально вверх: вершина штриховой параболы.	$\mathrm{м}$
$v_0^2/g$	Наибольшая дальность на ровной площадке, при $45^{\circ }$: точка, где штриховая парабола пересекает землю.	$\mathrm{м}$

На рисунке 2 мяч вылетает из точки броска со скоростью $v_0$ и должен попасть в цель $T$, удалённую по горизонтали на $x$ и расположенную на высоте $y$ над точкой броска. Это удаётся двум траекториям — настильной, с углом ${\theta }_1$, и навесной, с углом ${\theta }_2$, — и они пересекаются в точке $T$.

Чтобы найти эти углы, примите $\theta$ за неизвестное. В уравнение траектории входят и $\mathrm{tg}\theta$, и $1/{\cos }^2\theta$. Тождество $1/{\cos }^2\theta =1+{\mathrm{tg}}^2\theta$ превращает его в уравнение для одной величины $u=\mathrm{tg}\theta$:
$y=xu-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\left(1+u^2\right)$
Величина $D=g{x}^2/(2v_0^2)$ — это длина: на столько опустится на расстоянии $x$ мяч, брошенный горизонтально со скоростью $v_0$. С её помощью, собрав степени $u$, получаем квадратное уравнение — уравнение прицеливания:
$D{u}^2-xu+(y+D)=0$

Квадратное уравнение имеет два действительных корня, один или ни одного, и у каждого случая есть смысл. Два корня: в цель попадают и настильный, и навесной броски — это две траектории рисунка 2. Двойной корень: цель лежит точно на границе досягаемости, и попасть в неё можно лишь под одним углом. Нет действительных корней: при этой скорости цель недосягаема.

Произведение двух корней даёт изящный результат. Для любого квадратного уравнения оно равно свободному члену, делённому на коэффициент при $u^2$, здесь $1+y/D$. На ровной площадке, при $y=0$, произведение равно 1, поэтому $\mathrm{tg}{\theta }_1\mathrm{tg}{\theta }_2=1$ и ${\theta }_2=90^{\circ }-{\theta }_1$: два угла дополняют друг друга до прямого, и броски под 30° и под 60° приземляются в одной точке. Для цели выше точки броска, как на рисунке 2, произведение больше 1. Тогда $\mathrm{tg}({\theta }_1+{\theta }_2)=(\mathrm{tg}{\theta }_1+\mathrm{tg}{\theta }_2)/(1-\mathrm{tg}{\theta }_1\mathrm{tg}{\theta }_2)$ отрицателен, и сумма двух углов больше $90^{\circ }$.

Двойной корень и описывает саму границу досягаемости. Он появляется, когда дискриминант обращается в нуль: $x^2=4D(y+D)$. Выразив отсюда $y$ и подставив обратно $D=g{x}^2/(2v_0^2)$, получаем границу досягаемости:
$y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$

Эта кривая, которую часто называют параболой безопасности, — штриховая кривая на рисунке 2. Каждая траектория с начальной скоростью $v_0$ касается её в одной точке и остаётся внутри неё, поэтому она ограничивает все точки, до которых может долететь мяч. Её вершина находится на $v_0^2/(2g)$ выше точки броска — на высоте броска вертикально вверх, — а землю она пересекает на расстоянии $v_0^2/g$. Это наибольшая дальность на ровной площадке, которая достигается при 45°, когда $\sin 2\theta =1$. При 20 м/с эти длины равны 20,4 м и 40,8 м. Траектории, брошенные под углом больше 45°, касаются кривой во время полёта, как навесная траектория на рисунке 2 сразу за своей вершиной; более пологие коснулись бы её, только если продолжить их ниже уровня земли.

График скорости и связь скорости с высотой

Ещё два инструмента описывают полёт, не требуя решать ничего нового: график вертикальной проекции скорости и соотношение между скоростью и высотой, в которое время вообще не входит.

На экспертном уровне анимации строится график $v_y(t)$. Так как ${\dot{v}}_y=-g$ постоянно, это прямая с наклоном $-g=-9,81\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, идущая здесь от 15,3 м/с до $-15,3\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Она пересекает нуль при $t=15,3/9,81\approx 1,56\mathrm{с}$ — в момент прохождения вершины. Площадь под графиком скорости равна перемещению, поэтому треугольник над осью, $\frac{1}{2}\cdot 1,562\cdot 15,32\approx 12,0\mathrm{м}$, — это высота $H$. Равный ему треугольник под осью соответствует спуску, и мяч снова оказывается при $y=0$ в момент 3,12 с.

Скорость и высота связаны без участия времени. Начните с ${\dot{v}}_y=-g$ и умножьте обе части на $v_y=\dot{y}$. Левая часть превращается в $\frac{1}{2}d(v_y^2)/dt$, правая — в $-gdy/dt$. Теперь обе части — производные по времени, и интегрирование от момента броска даёт $v_y^2=v_0^2{\sin }^2\theta -2gy$. Горизонтальная проекция не меняется, поэтому, прибавив к обеим частям $v_x^2=v_0^2{\cos }^2\theta$, получаем
$v^2=v_0^2-2gy$

Модуль скорости зависит только от высоты — не от времени и не от направления движения. Мяч проходит каждый уровень с одной и той же скоростью и при подъёме, и при спуске, а приземляется со скоростью 20 м/с, равной начальной. В вершине $v^2=400-2\cdot 9,81\cdot 12,0\approx 165{\mathrm{м}}^2/{\mathrm{с}}^2$, то есть ровно $v_x^2$, как и должно быть, когда мяч движется горизонтально. После умножения на $m/2$ соотношение принимает вид $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2$: сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна.

Кривизна траектории

Парабола — не окружность, но в каждой её точке есть окружность, которая прилегает к ней лучше всех остальных, и радиус этой окружности показывает, насколько круто в этом месте изгибается путь. Найдя его, мы увидим, что сила тяжести играет две разные роли: поворачивает мяч и меняет модуль его скорости.

Обозначения

$P$	Точка траектории, в которой скорость составляет угол $\alpha$ с горизонтом.
$\vec{v}$	Скорость в точке $P$, направленная вдоль траектории.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\alpha$	Угол между $\vec{v}$ и горизонтом; такой же угол — между $\vec{g}$ и направлением поперёк траектории.	$\mathrm{рад}$
$\vec{g}$	Ускорение свободного падения, направленное вертикально вниз.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$g\sin \alpha$	Составляющая $\vec{g}$ вдоль траектории: при подъёме направлена против $\vec{v}$ и меняет только модуль скорости.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$g\cos \alpha$	Составляющая $\vec{g}$ поперёк траектории, к $C$: меняет только направление скорости.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\rho$	Радиус кривизны в точке $P$: расстояние от $P$ до $C$.	$\mathrm{м}$
$C$	Центр окружности, наилучшим образом прилегающей к траектории в точке $P$.

На рисунке 3 мяч находится в точке $P$ и движется со скоростью $\vec{v}$ вдоль траектории под углом $\alpha$ к горизонту. Разложите $\vec{g}$ на составляющую вдоль траектории и составляющую поперёк неё, перпендикулярную $\vec{v}$; маленький квадрат в точке $P$ отмечает этот прямой угол. Направления «вдоль» и «поперёк» — это просто горизонталь и вертикаль, повёрнутые на угол $\alpha$. Поскольку $\vec{g}$ направлено по вертикали, оно составляет тот же угол $\alpha$ с направлением поперёк траектории, что показывает дуга между $\vec{g}$ и $g\cos \alpha$. Поэтому составляющая вдоль траектории равна $g\sin \alpha$ и при подъёме направлена против $\vec{v}$, а составляющая поперёк равна $g\cos \alpha$.

У этих двух составляющих разные задачи. Ускорение вдоль скорости меняет только её модуль, ускорение поперёк скорости — только направление. Поэтому путь искривляет только $g\cos \alpha$. Эта составляющая направлена к центру $C$ окружности, наилучшим образом прилегающей к траектории в точке $P$, на расстоянии $\rho$ от неё. Телу, которое движется со скоростью $v$ по окружности радиуса $\rho$, нужно ускорение $v^2/\rho$, направленное к центру, поэтому $g\cos \alpha =v^2/\rho$. Так как $\cos \alpha =v_x/v$, радиус кривизны равен
$\rho =\frac{v^2}{g\cos \alpha }=\frac{v^3}{g{v}_x}$

Поскольку $v_x$ не меняется, $\rho$ меньше всего там, где меньше всего скорость, — в вершине. Там $\alpha =0$, сила тяжести целиком направлена поперёк траектории, и $\rho =v_x^2/g=12,9^2/9,81\approx 17\mathrm{м}$. В момент броска $\rho =20^3/(9,81\cdot 12,9)\approx 63\mathrm{м}$. Круче всего дуга изгибается в вершине.

Другая составляющая, $g\sin \alpha$, меняет модуль скорости. Пока мяч поднимается, она направлена против $\vec{v}$ и тормозит его. При спуске скорость $\vec{v}$ направлена ниже горизонта, составляющая вдоль траектории направлена так же, как $\vec{v}$, и мяч разгоняется.

Сопротивление воздуха и пошаговый расчёт

Настоящие мячи летят в воздухе. Сопротивление разрушает изящные формулы, полученные выше, но компьютер всё равно может проследить движение шаг за шагом, и этот способ годится для любой силы.

Обозначения

$R$	Дальность с сопротивлением воздуха: расстояние от точки броска до точки падения.	$\mathrm{м}$
$R_0$	Дальность без воздуха: место, где приземляется штриховая траектория.	$\mathrm{м}$
$\vec{v}$	Скорость мяча, показанная в момент броска и в момент приземления.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
${\vec{a}}_d$	Ускорение от сопротивления: вдоль траектории, против $\vec{v}$, по модулю $g(v/v_{\mathrm{уст}}{)}^2$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$

На рисунке 4 бросок из анимации в воздухе (красная кривая) показан рядом с тем же броском без воздуха (штриховая кривая). Сила сопротивления всегда направлена против скорости и для мяча при обычных скоростях растёт примерно как квадрат скорости. Обозначьте через $v_{\mathrm{уст}}$ предельную скорость — ту, при которой сопротивление равно силе тяжести; её достигает мяч, выпущенный с большой высоты. Тогда ускорение, вызванное сопротивлением, по модулю равно $g(v/v_{\mathrm{уст}}{)}^2$ и направлено против $\vec{v}$; в векторной форме оно равно $-kv\vec{v}$, где $k=g/v_{\mathrm{уст}}^2$. На рисунке 4 каждая стрелка ${\vec{a}}_d$ направлена назад вдоль траектории, против $\vec{v}$, и стрелка в момент приземления короче, потому что мяч приземляется медленнее, чем вылетел.

С учётом силы тяжести уравнения движения принимают вид
$\ddot{x}=-kv\dot{x},\ddot{y}=-g-kv\dot{y}$
где $v=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}$. В модуль скорости входят обе проекции, поэтому каждое уравнение теперь зависит от движения вдоль другой оси: горизонтальное и вертикальное движения связаны, и никакая формула не даёт траекторию.

Тем не менее движение можно проследить шаг за шагом. Выберите малый шаг по времени $\epsilon$. По текущим положению и скорости вычислите ускорение $\vec{a}$, затем сделайте шаг вперёд,
$\vec{v}\to \vec{v}+\vec{a}\epsilon ,\vec{r}\to \vec{r}+\vec{v}\epsilon$
и повторяйте, пока мяч не приземлится. За один короткий шаг ускорение и скорость почти не меняются, поэтому, считая их постоянными, мы делаем лишь небольшую ошибку. В этой простейшей схеме — методе Эйлера — полная погрешность уменьшается пропорционально $\epsilon$: если вдвое уменьшить шаг, вдвое уменьшится и погрешность. Уже при шаге 0,01 с дальность, приведённая ниже, получается с точностью около 0,2 м. Ничто в методе не зависит от вида силы, поэтому он годится для любого закона силы.

Красная траектория на рисунке 4 — результат такого расчёта для мяча с предельной скоростью 30 м/с. В начале сопротивление составляет $(20/30{)}^2\approx 0,44$ силы тяжести, а при приземлении — лишь $(15,6/30{)}^2\approx 0,27$. Дальность $R$ уменьшается с $R_0=40,2\mathrm{м}$ (это дальность $L$ без воздуха) до 30,0 м, а наибольшая высота — с 12,0 м до 10,1 м.

Дуга перестаёт быть симметричной. При подъёме сопротивление вместе с силой тяжести тормозит мяч; при спуске оно мешает падению. Поэтому подъём длится 1,39 с, а спуск — 1,48 с. Кроме того, сопротивление всё время «съедает» горизонтальную скорость, поэтому при подъёме мяч пролетает по горизонтали больше, чем при спуске: вершина находится в 15,9 м от точки броска, дальше середины. Мяч приземляется со скоростью 15,6 м/с под углом 57° к горизонту — круче, чем вылетел под углом 50°. Угол, дающий наибольшую дальность, уменьшается примерно до 43°, потому что более высокий бросок дольше находится в воздухе и сильнее теряет скорость из-за сопротивления. Чем больше скорость броска по сравнению с $v_{\mathrm{уст}}$, тем меньше наилучший угол.

Задача: два способа попасть в цель

Применим уравнение прицеливания к цели с рисунка 2 при скорости броска из анимации, 20 м/с. Под какими углами нужно бросать, чтобы попасть в цель на расстоянии 30 м и на 5,0 м выше точки броска?

Сначала отклонение: $D=g{x}^2/(2v_0^2)=9,81\cdot 900/800\approx 11,04\mathrm{м}$, поэтому $y+D\approx 16,04\mathrm{м}$. При $x=30\mathrm{м}$ уравнение прицеливания принимает вид
$11,04u^2-30u+16,04=0$
и формула корней квадратного уравнения даёт
$u=\frac{30\pm \sqrt{900-4\cdot 11,04\cdot 16,04}}{2\cdot 11,04}=\frac{30\pm 13,84}{22,08}$
откуда $u\approx 0,732$ или $u\approx 1,986$, то есть $\theta \approx 36,2^{\circ }$ или $\theta \approx 63,3^{\circ }$. Это и есть углы ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ с рисунка 2. Их сумма равна 99,5°, больше $90^{\circ }$, как и следовало ожидать для цели выше точки броска.

Время полёта находим из $t=x/(v_0\cos \theta )$: $30/(20\cos 36,2^{\circ })\approx 1,86\mathrm{с}$ для настильного броска и $30/(20\cos 63,3^{\circ })\approx 3,34\mathrm{с}$ для навесного. Оба приходят в цель с одной и той же скоростью, $\sqrt{400-2\cdot 9,81\cdot 5,0}\approx 17,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$, потому что модуль скорости зависит только от высоты. Но подходят они с разных направлений. Настильный бросок уже прошёл свою вершину на высоте 7,1 м и приходит под углом 22° ниже горизонта; навесной падает под углом 59° из вершины на высоте 16,3 м. Вот почему баскетболисты предпочитают крутые дуги: для мяча, падающего круто, кольцо открыто шире.

Можно ли тем же броском попасть в цель на том же расстоянии, но на высоте 10 м? Граница досягаемости при $x=30\mathrm{м}$ проходит на высоте $20,39-11,04\approx 9,35\mathrm{м}$. Цель выше неё, у уравнения прицеливания нет действительных корней, и ни один угол не подходит. В цель ровно на высоте 9,35 м попадает единственный бросок. Двойной корень равен $u=x/(2D)$, здесь это $\mathrm{tg}\theta =v_0^2/(gx)\approx 1,36$, то есть $\theta \approx 53,7^{\circ }$: настильное и навесное решения слились в одно.

Границы применимости

Всё сказанное выше опирается на три идеализации: мяч ведёт себя как точка, земля плоская, сила тяжести однородна. Для брошенных мячей все три выполняются хорошо, и каждая нарушается известным образом.

Модель считает мяч невращающейся точкой. Вращающийся мяч испытывает ещё и подъёмную силу, перпендикулярную скорости, — эффект Магнуса: он закручивает мяч при штрафном ударе и удерживает в воздухе мяч для гольфа с обратным вращением. Сопротивление существенно, когда скорость составляет заметную долю предельной, ведь отношение силы сопротивления к силе тяжести равно $(v/v_{\mathrm{уст}}{)}^2$. У ядра массой 7,26 кг предельная скорость около 150 м/с, поэтому при 13 м/с сопротивление составляет менее 1 % силы тяжести, и парабола описывает полёт превосходно.

Плоская земля и однородное $\vec{g}$ — тоже приближения. При радиусе Земли $R_{\mathrm{З}}\approx 6371\mathrm{км}$ поверхность на протяжении 40 м анимации изгибается вниз лишь на $x^2/(2R_{\mathrm{З}})\approx 0,1\mathrm{мм}$. Сила тяжести ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли, поэтому в вершине, на высоте 12 м, ускорение $g$ меньше на долю $2H/R_{\mathrm{З}}\approx 4\times 10^{-6}$. С ростом дальности эти эффекты растут. Бросок со скоростью 1 км/с под углом 45°, дальность которого в вакууме составила бы 102 км, закончился бы там, где поверхность ушла вниз на 0,8 км, хотя воздух стал бы главным фактором задолго до этого. Вращение Земли смещает точку падения броска длительностью 3,1 с менее чем на сантиметр, а снаряда, летящего минуту, — на десятки метров.

Строго говоря, сила тяжести направлена к центру Земли, а не в одну неизменную сторону, и траектория — дуга эллипса, один из фокусов которого находится в этом центре. На коротком участке, где направления к центру почти параллельны, эллипс невозможно отличить от параболы. Тело, брошенное горизонтально со скоростью $\sqrt{g{R}_{\mathrm{З}}}\approx 7,9\mathrm{км}/\mathrm{с}$, если пренебречь воздухом, падает вокруг Земли ровно так же быстро, как поверхность уходит из-под него: брошенное тело стало спутником, а брошенный мяч и Луна подчиняются одному закону.

Что дальше

Исходные уравнения для проекций — это второй закон Ньютона, подробно разобранный в уроке «Законы Ньютона». Соотношение $v^2=v_0^2-2gy$ — это сохранение энергии, которое развивается в уроке «Работа, энергия и мощность». В верхней точке сила тяжести играет роль центростремительного ускорения из урока «Движение по окружности»: $g=v_x^2/\rho$. Связанные уравнения с сопротивлением — предмет урока «Сопротивление среды и предельная скорость», а пушка Ньютона и эллипс относятся к уроку «Тяготение и орбиты».

Мяч, выпущенный из окна равномерно движущегося поезда, для пассажира падает по вертикали, а для человека на платформе описывает параболу: одно и то же движение в двух системах отсчёта, как в уроке «Векторы и относительное движение». А заряженная частица в однородном поле между двумя заряженными пластинами движется по такой же параболе, только $g$ заменяется на $qE/m$; электронно-лучевые трубки осциллографов и некоторые струйные принтеры направляют так электроны и капли чернил (урок «Электрическое поле и потенциал»).