Трение и наклонная плоскость

Начальный

Трение — это сила, которая мешает одной поверхности скользить по другой. Она действует вдоль поверхностей против скольжения или против того скольжения, которое вот-вот начнётся.

Слегка толкните тяжёлый диван — он не сдвинется: пол удерживает его так же сильно, как вы толкаете, это трение покоя. Толкайте всё сильнее — и в какой-то момент трение покоя достигнет предела, и диван поедет. Когда он уже движется, действует трение скольжения; обычно оно немного меньше, поэтому сдвинуть диван труднее, чем потом его двигать.

Проверьте себя: вы толкаете ящик так, что он скользит с постоянной скоростью. Как ваш толчок соотносится с трением? (Они равны: постоянная скорость означает нулевую равнодействующую.)

От чего зависит сила трения? Она растёт с тем, насколько сильно поверхности прижаты друг к другу (эту силу называют силой нормальной реакции $N$), и зависит от материалов через число, называемое коэффициентом трения $\mu$. При скольжении $F_{\mathrm{тр}}=\mu N$. На ящик массой 10 кг (сила тяжести около 98 Н), скользящий по полу с $\mu =0,3$, действует трение около 29 Н; поставьте сверху второй такой ящик — и трение удвоится.

Проверьте себя: у резины на сухом асфальте $\mu$ около 0,8, у стального конька на льду — около 0,02. Кому нужен более длинный путь, чтобы остановиться? (Коньку.)

На склоне часть силы тяжести тянет тело вниз. В анимации брусок съезжает по склону под углом 30° всё быстрее. Стрелка силы тяжести направлена вниз, стрелка опоры (сила нормальной реакции) — от поверхности, а маленькая стрелка трения — вверх по склону. Трение сдерживает брусок, но на таком крутом склоне не может его остановить.

Средний

Сила нормальной реакции и два закона трения

Когда две поверхности соприкасаются, сила взаимодействия между ними состоит из двух частей. Сила нормальной реакции $N$ перпендикулярна поверхности и ровно настолько велика, чтобы тело не продавило поверхность. Трение $F_{\mathrm{тр}}$ действует вдоль поверхности и препятствует скольжению. Обе силы измеряются в ньютонах. Сколько трения может дать данная сила нормальной реакции, определяет коэффициент трения — безразмерное число, зависящее от пары материалов.

Пока поверхности не проскальзывают, трение — это трение покоя: оно принимает ту величину и то направление, которые не дают телу проскользнуть, но не больше предела, который задаёт коэффициент трения покоя ${\mu }_{\mathrm{п}}$:
$F_{\mathrm{пок}}\le {\mu }_{\mathrm{п}}N$
Коробка на ровном полу, которую никто не толкает, не испытывает никакого трения. Толкните её с силой 50 Н — и трение ответит силой 50 Н; сорвёт коробку с места только толчок сильнее предела.

Когда поверхности уже скользят, трение называют трением скольжения. Оно направлено против скольжения и имеет определённую величину, которую задаёт коэффициент трения скольжения $\mu$:
$F_{\mathrm{ск}}=\mu N$
Обычно $\mu$ немного меньше ${\mu }_{\mathrm{п}}$, поэтому диван труднее сдвинуть с места, чем потом двигать. Типичные значения: 0,8 для резины по сухой дороге, 0,3 для дерева по дереву и 0,02 для конька на льду; ни один из законов почти не зависит от площади контакта и от скорости.

Разложение силы тяжести на склоне

На наклонной плоскости с углом $\theta$ направим одну ось вдоль склона, положительным считая направление вниз, а другую — перпендикулярно ему. Тогда $N$ и $F_{\mathrm{тр}}$ лежат на осях, и раскладывать нужно только силу тяжести $mg$. Наклон поверхности на угол $\theta$ поворачивает её перпендикуляр на тот же угол, поэтому сила тяжести составляет с ним угол $\theta$. Составляющая вдоль склона тянет брусок вниз, а составляющая поперёк прижимает его к поверхности и уравновешивается силой нормальной реакции:

• $F_{\parallel }=mg\sin \theta$
• $N=mg\cos \theta$

Проверьте крайние случаи: на горизонтальной поверхности, $\theta =0$, вдоль неё ничто не тянет; у вертикальной стены, $\theta =90^{\circ }$, ничто не прижимает к ней. На склоне 30° из анимации $\sin 30^{\circ }=0,5$ и $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$: вниз по склону тянет половина силы тяжести, а $N$ составляет только 87 % её величины, а не всю силу тяжести.

Второй закон Ньютона вдоль склона

У бруска, скользящего вниз, трение скольжения $\mu mg\cos \theta$ направлено вверх по склону. Второй закон Ньютона вдоль склона, $ma=mg\sin \theta -\mu mg\cos \theta$, содержит массу в каждом слагаемом, поэтому она сокращается:
$a=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )$
Значит, тяжёлый и лёгкий бруски из одного материала съезжают рядом. У бруска, скользящего вверх, трение тоже направлено вниз по склону, и он тормозит с ускорением (по модулю) $g(\sin \theta +\mu \cos \theta )$.

Покоящийся брусок начинает скользить, когда тянущая составляющая $mg\sin \theta$ превзойдёт наибольшее трение покоя, ${\mu }_{\mathrm{п}}mg\cos \theta$. Разделив обе части на $mg\cos \theta$, получаем
$\mathrm{tg}\theta >{\mu }_{\mathrm{п}}$
Масса снова выпала. Предельный угол ${\theta }_0$, при котором $\mathrm{tg}{\theta }_0={\mu }_{\mathrm{п}}$, называют углом трения, а для кучи сыпучего материала — углом естественного откоса.

Пример: брусок из анимации

Брусок соскальзывает из состояния покоя по склону 30° при $\mu =0,2$. Масса не нужна, но возьмём $m=2\mathrm{кг}$, чтобы увидеть силы в ньютонах. Сила тяжести равна $mg=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{Н}$, поэтому
$F_{\parallel }=19,62\cdot 0,5=9,81\mathrm{Н},N=19,62\cdot 0,866\approx 16,99\mathrm{Н}$
$F_{\mathrm{ск}}=0,2\cdot 16,99\approx 3,40\mathrm{Н},a=\frac{9,81-3,40}{2}\approx 3,21\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
Формула даёт тот же результат и без массы: $a=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Именно это значение напечатано под формулой в анимации, а без трения было бы $g\sin 30^{\circ }\approx 4,91\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$.

Поскольку $a$ постоянно, применима кинематика прямолинейного движения. Через 1 с скорость бруска равна 3,21 м/с, а пройденный путь равен $\frac{1}{2}\cdot 3,21\cdot 1^2\approx 1,60\mathrm{м}$; через 2 с его скорость 6,41 м/с, а пройдено 6,41 м. Именно эти положения показывают серые контуры. Спуск имеет длину 7,8 м и длится около 2,2 с, а показания индикаторов в конце — около $v=7,1\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $s=7,8\mathrm{м}$, как и предсказывает $v^2=2as$. Без трения брусок покинул бы тот же склон со скоростью 8,7 м/с.

Пример: ящик на погрузочном пандусе

Ящик массой 30 кг лежит на пандусе с наклоном 20°, при ${\mu }_{\mathrm{п}}=0,5$ и $\mu =0,4$. Останется ли он на месте, и какая сила вдоль пандуса поднимает его с постоянной скоростью?

Сила тяжести равна $30\cdot 9,81=294,3\mathrm{Н}$, поэтому $F_{\parallel }=294,3\cdot \sin 20^{\circ }\approx 100,7\mathrm{Н}$ и $N=294,3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276,6\mathrm{Н}$. Так как $\mathrm{tg}20^{\circ }\approx 0,36$ меньше 0,5, ящик остаётся на месте, и трение покоя равно тянущей вниз составляющей: 100,7 Н вверх по пандусу, а не предельные ${\mu }_{\mathrm{п}}N\approx 138,3\mathrm{Н}$.

При постоянной скорости вверх по пандусу равнодействующая равна нулю. Теперь трение препятствует скольжению вверх, поэтому оно направлено вниз по пандусу — туда же, куда и тянущая вниз составляющая:
$F=mg(\sin \theta +\mu \cos \theta )=100,7+0,4\cdot 276,6\approx 211,3\mathrm{Н}$
Чтобы поднять ящик вертикально вверх, понадобились бы все 294 Н; гладкий пандус сократил бы это до 100,7 Н, а трение поднимает эту силу до 211 Н.

Как читать силовую диаграмму

Все стрелки сил в анимации нарисованы в одном масштабе, поэтому диаграмму можно читать как числа. Зелёная стрелка $mg$ — диагональ прямоугольника, сторонами которого служат две тонкие зелёные стрелки её составляющих: составляющая вдоль склона — ровно половина $mg$, составляющая в склон — 87 % от неё, и её уравновешивает синяя стрелка $N$. Маленькая золотая стрелка трения (на рисунке она подписана $f$), равная пятой части $N$, компенсирует около трети тянущей вниз составляющей, и равнодействующая получается $0,5mg-0,173mg\approx 0,327mg$.

Вместе $N$ и трение дают полную силу, с которой склон действует на брусок. Чтобы брусок покоился, она должна быть направлена строго вверх и уравновешивать силу тяжести; у скользящего бруска трения не хватает, и остаток направлен вниз по склону. Следствие видно на индикаторах: $v$ растёт на 3,21 м/с каждую секунду, а $s$ увеличивается на 1,60 м за первую секунду и на 4,81 м за следующую.

Частые ошибки

• Сила нормальной реакции не всегда равна силе тяжести: на склоне 30° у бруска массой 2 кг $N\approx 16,99\mathrm{Н}$, а не 19,62 Н.
• Трение покоя не равно ${\mu }_{\mathrm{п}}N$ по умолчанию: на ящик, лежащий на пандусе 20°, действует 100,7 Н, а не предельные 138,3 Н, а на коробку, которую на ровном полу никто не толкает, трение не действует вовсе.
• Трение не всегда направлено вверх по склону. Оно направлено против скольжения или против того скольжения, которое вот-вот начнётся: у ящика, который толкают вверх по пандусу, оно направлено вниз, поэтому толчок должен быть равен 211,3 Н.
• Тяжёлые бруски не скользят быстрее: масса сокращается, и брусок массой 20 кг из того же материала на склоне из анимации тоже разгоняется с ускорением 3,21 м/с².
• Если для бруска, скользящего вниз, прибавить трение к тянущей составляющей, получится $9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ — так быстро тормозит брусок, скользящий вверх. Проверьте синус и косинус при $\theta =0$: на горизонтальной поверхности вдоль неё ничто не тянет.

Где это встречается

Катящаяся шина сцепляется с дорогой благодаря трению покоя, потому что пятно контакта по дороге не проскальзывает; антиблокировочные тормоза не дают колёсам остановиться, чтобы не вступило в силу более слабое трение скольжения. Пандусы для инвалидных колясок делают с уклоном около 1 к 12, меньше 5°, чтобы не требовалось слишком большое усилие. Кучи песка или гравия стоят под углом естественного откоса, около 30–40°, а большинство снежных лавин сходит со склонов 30–45°. Дальше в уроке «Работа, энергия и мощность» видно, куда уходит энергия, отнятая трением; в уроке «Движение по окружности» — как трение удерживает автомобиль на повороте; а в уроке «Простые механизмы: рычаги, блоки и зубчатые передачи» наклонная плоскость, клин и винт рассматриваются как механизмы.

Продвинутый

Гладкий склон

Начнём без трения: гладкий склон задаёт две составляющие силы тяжести, на которых держатся все дальнейшие уравнения. Брусок массой $m$ лежит на плоскости, наклонённой под углом $\theta$ к горизонту. Сила тяжести $m\vec{g}$ направлена вертикально вниз. Разложите её на составляющую вдоль склона и составляющую поперёк него, по нормали (прямой, перпендикулярной поверхности). Сила тяжести образует с нормалью угол $\theta$, поэтому составляющая вдоль склона равна $mg\sin \theta$, а составляющая, прижимающая брусок к поверхности, — $mg\cos \theta$. Брусок не проваливается в склон и не отрывается от него, значит, склон давит на него в ответ с силой нормальной реакции $N=mg\cos \theta$.

Составляющую вдоль склона можно получить и из одних энергетических соображений. Медленно поднимайте груз с силой тяжести $W$ по гладкому склону длиной $L$ и высотой $h$. Толкающая сила $F$ совершает работу $FL$, и вся она переходит в потенциальную энергию $Wh$, откуда $F=Wh/L=W\sin \theta$.

Симон Стевин пришёл к тому же результату в 1586 году с помощью мысленного эксперимента: замкнутая цепочка бусин наброшена на треугольный клин и свободно свисает под ним. Цепочка никогда не начнёт сама двигаться по кругу — это был бы вечный двигатель, — а её свисающая часть симметрична и уравновешивает сама себя. Значит, многие бусины на длинной пологой грани должны тянуть вдоль своей грани так же сильно, как немногие бусины на короткой крутой грани. Число бусин на грани пропорционально её длине $L$, поэтому тяга одной бусины пропорциональна $1/L$. Обе грани поднимаются на одну и ту же высоту $h$, так что эта тяга пропорциональна $h/L$, то есть $\sin \theta$.

Два вида трения

Теперь сделаем поверхности шероховатыми. Трение — это составляющая силы контакта вдоль поверхности (на рисунках силу трения обозначает $f$), и оно бывает двух видов, подчиняющихся разным правилам. Умение их различать решает каждую из задач ниже.

Когда поверхности скользят друг по другу, трение скольжения — это вполне определённая сила. Её величина равна $\mu N$, где коэффициент трения скольжения $\mu$ (на рисунках — ${\mu }_k$) — безразмерное число, зависящее от пары материалов; в первом приближении он не зависит от скорости скольжения. Сила направлена против скорости $\vec{v}$ одной поверхности относительно другой. Разделив $\vec{v}$ на её модуль $|\vec{v}|$, получаем единичный вектор вдоль движения, поэтому
${\vec{F}}_{\mathrm{ск}}=-\mu N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Когда поверхности не скользят, трение покоя — это сила связи, как и сила нормальной реакции. Её величина и направление в плоскости контакта таковы, чтобы поверхности не проскальзывали. Единственный закон для неё — верхний предел, который задаёт коэффициент трения покоя ${\mu }_{\mathrm{п}}$ (на рисунках — ${\mu }_s$):
$|{\vec{F}}_{\mathrm{пок}}|\le {\mu }_{\mathrm{п}}N$

Для большинства пар ${\mu }_{\mathrm{п}}>\mu$. Поэтому трение — не функция скорости: при $v=0$ оно может принимать любое значение до ${\mu }_{\mathrm{п}}N$, а в момент начала скольжения скачком становится равным $\mu N$.

На склоне направьте ось $x$ вниз по склону, тогда $\ddot{x}$ — ускорение вниз по склону. На брусок, скользящий вниз, трение действует вверх по склону, и второй закон Ньютона в проекции на склон, делённый на $m$, даёт
$\ddot{x}=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )$
На брусок, скользящий вверх, трение действует вниз по склону, добавляясь к силе тяжести:
$\ddot{x}=g(\sin \theta +\mu \cos \theta )$
Это $\ddot{x}$ положительно, а скорость $\dot{x}$ отрицательна, поэтому брусок тормозит. Покоящемуся бруску нужно трение покоя $mg\sin \theta$, направленное вверх по склону; оно не превышает предела ${\mu }_{\mathrm{п}}mg\cos \theta$ ровно тогда, когда $\mathrm{tg}\theta \le {\mu }_{\mathrm{п}}$, и тогда брусок остаётся в покое.

Одно следствие легко упустить. Если $\mathrm{tg}\theta <\mu$, первое уравнение даёт отрицательное $\ddot{x}$, так что брусок, пущенный вниз, замедляется и останавливается. Затем его удерживает трение покоя: трение останавливает движение, но никогда не толкает брусок обратно вверх.

Трение покоя подстраивается под тягу

Обозначения

$f$	Сила трения вдоль склона, положительная вверх по склону.	$\mathrm{Н}$
$F$	Тяга вдоль склона, положительная вверх по склону; отрицательное значение тянет вниз по склону.	$\mathrm{Н}$
${\mu }_{s}N$	Наибольшее трение покоя, ${\mu }_{\mathrm{п}}N$: пунктирный потолок, который прямая не может пересечь.	$\mathrm{Н}$
${\mu }_{k}N$	Величина трения скольжения, $\mu N$, когда брусок уже скользит.	$\mathrm{Н}$
$mg\sin \theta$	Составляющая силы тяжести вдоль склона: тяга, при которой трение равно нулю.	$\mathrm{Н}$
$F_1$	Наименьшая тяга, при которой брусок ещё покоится, $mg(\sin \theta -{\mu }_{\mathrm{п}}\cos \theta )$; здесь отрицательна.	$\mathrm{Н}$
$F_2$	Наибольшая тяга, при которой брусок ещё покоится, $mg(\sin \theta +{\mu }_{\mathrm{п}}\cos \theta )$.	$\mathrm{Н}$
$f_s$	Трение покоя: ровно столько, сколько нужно для равновесия, $mg\sin \theta -F$.	$\mathrm{Н}$
$f_k$	Трение скольжения, всегда против скольжения: здесь $-\mu N$, так как брусок скользит вверх по склону.	$\mathrm{Н}$

Этот раздел показывает закон трения покоя в действии: величину и направление трения покоя задают остальные силы, а не отдельная формула. Рисунок 1 прослеживает силу трения $f$, действующую на брусок, который сам покоится на пологом склоне ($\mathrm{tg}\theta <{\mu }_{\mathrm{п}}$), пока тяга $F$ вдоль склона медленно растёт. И $F$, и $f$ считаются положительными вверх по склону.

Пока брусок покоится, $\ddot{x}=0$, и силы вдоль склона уравновешены: силы $f+F$, направленные вверх по склону, равны составляющей $mg\sin \theta$, направленной вниз. Поэтому бруску нужно трение
$f=mg\sin \theta -F$
Это нисходящая прямая $f_s$ на рисунке 1. Читайте её слева направо. При $F=0$ трение несёт всю составляющую $mg\sin \theta$ и направлено вверх по склону. Оно уменьшается по мере того, как тяга берёт эту работу на себя, обращается в нуль там, где прямая пересекает ось, при $F=mg\sin \theta$ (зелёная точка), а дальше становится отрицательным: теперь трение направлено вниз по склону и удерживает брусок против тяги.

Прямая допустима только между пунктирными уровнями $+{\mu }_{\mathrm{п}}N$ и $-{\mu }_{\mathrm{п}}N$. Подставив $f=+{\mu }_{\mathrm{п}}N$ и $f=-{\mu }_{\mathrm{п}}N$ при $N=mg\cos \theta$, получаем два конца допустимого отрезка:
$F_1=mg(\sin \theta -{\mu }_{\mathrm{п}}\cos \theta )$
$F_2=mg(\sin \theta +{\mu }_{\mathrm{п}}\cos \theta )$
Брусок покоится при любой тяге от $F_1$ до $F_2$ — это закрашенная область. Здесь $F_1$ отрицательна: брусок сопротивляется даже тяге вниз по склону, пока её модуль не превысит $|F_1|$. (На более крутом склоне, при $\mathrm{tg}\theta >{\mu }_{\mathrm{п}}$, $F_1$ была бы положительной: чтобы вообще удержать брусок, нужна хотя бы такая тяга вверх по склону.)

Вне закрашенной области брусок скользит, и трение скачком падает от ${\mu }_{\mathrm{п}}N$ до $\mu N$, к пустым кружкам. При тяге меньше $F_1$ брусок скользит вниз, поэтому трение $+\mu N$ направлено вверх по склону. При тяге больше $F_2$ он скользит вверх, поэтому трение $f_k=-\mu N$ направлено вниз по склону. Отсюда правило для задач: прежде чем записывать направление трения в уравнения, решите, куда брусок движется или вот-вот начнёт двигаться.

Спуск в анимации

В этом разделе уравнение скольжения получает числа из анимации: брусок отпускают без начальной скорости на склоне 30° при $\mu =0,2$. Его ускорение вниз по склону равно
$a=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )=9,81(0,5-0,2\cdot 0,866)\approx 3,21\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
Поэтому на графике экспертного слоя анимации $v(t)$ — сплошная прямая с наклоном 3,21 м/с². Над ней проходит пунктирная прямая для гладкого склона с наклоном $g\sin \theta \approx 4,91\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Прямые расходятся на величину члена трения, $g\mu \cos \theta \approx 1,70\mathrm{м}/\mathrm{с}$ каждую секунду. Спуск длится 2,2 с, так что в конце брусок движется со скоростью 7,1 м/с вместо 10,8 м/с. Площадь под сплошной прямой — пройденный путь, $\frac{1}{2}\cdot 2,2\cdot 7,06\approx 7,8\mathrm{м}$, то есть длина спуска.

Куда уходит энергия

Обозначения

$s$	Расстояние, которое брусок проходит вдоль склона.	$\mathrm{м}$
$h$	Высота, на которую опускается брусок: $h=s\sin \theta$.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол наклона склона к горизонту.	$\mathrm{рад}$
$W_g$	Работа силы тяжести, $mgh=mgs\sin \theta$: высвобожденная энергия.	$\mathrm{Дж}$
$Q$	Теплота, выделенная трением, $F_{\mathrm{ск}}s=\mu mgs\cos \theta$.	$\mathrm{Дж}$
$K$	Приобретённая кинетическая энергия, $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$.	$\mathrm{Дж}$

Тот же спуск можно проследить через энергию, а не через силы. Так видно, куда уходит энергия, высвобожденная силой тяжести, и конечная скорость получается без знания времени.

На рисунке 2 брусок начинает движение из покоя в бледном положении и проскальзывает расстояние $s$ до сплошного. Слева видно, на сколько он опустился: $h=s\sin \theta$. Сила тяжести совершает работу $W_g=mgh=mgs\sin \theta$ — зелёный столбик, нарисованный в том же масштабе высоты, что и $h$, так что они совпадают. Трение имеет постоянную величину $F_{\mathrm{ск}}=\mu N=\mu mg\cos \theta$ на том же пути $s$, поэтому оно превращает в теплоту энергию $Q=F_{\mathrm{ск}}s=\mu mgs\cos \theta$ — золотистую часть второго столбика. Остальное, фиолетовая часть, — кинетическая энергия $K=\frac{1}{2}m{v}^2$. Это теорема о кинетической энергии, $K=W_g-Q$:
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\sin \theta -\mu \cos \theta )$

Если разделить $Q$ на $W_g$, сократятся $m$, $g$ и $s$: трение забирает долю $Q/W_g=\mu \cos \theta /\sin \theta =\mu \mathrm{ctg}\theta$ высвобожденной энергии. Здесь это $0,2\cdot 1,732\approx 0,35$ — золотистая треть второго столбика. Для спуска длиной 7,78 м в анимации в расчёте на килограмм массы бруска сила тяжести высвобождает $9,81\cdot 0,5\cdot 7,78\approx 38,2\mathrm{Дж}$; 13,2 Дж превращаются в теплоту, а 24,9 Дж — в кинетическую энергию, так что $v=\sqrt{2\cdot 24,9}\approx 7,06\mathrm{м}/\mathrm{с}$ — та же скорость, что дал график скорости.

Теплота растёт с длиной пути, а не зависит только от его начала и конца. Поэтому для трения нельзя ввести потенциальную энергию.

Конус трения

Обозначения

$\vec{R}$	Сила, с которой склон действует на брусок: $\vec{N}+\vec{f}$.	$\mathrm{Н}$
$\vec{N}$	Сила нормальной реакции: составляющая $\vec{R}$, перпендикулярная склону.	$\mathrm{Н}$
$\vec{f}$	Сила трения: составляющая $\vec{R}$ вдоль склона, здесь направленная вверх по склону.	$\mathrm{Н}$
$m\vec{g}$	Сила тяжести, которую $\vec{R}$ должна уравновесить, чтобы брусок покоился.	$\mathrm{Н}$
$\theta$	Угол наклона склона; он же угол между $\vec{R}$ и нормалью.	$\mathrm{рад}$
${\phi }_s$	Угол полураствора конуса трения покоя: $\mathrm{tg}{\phi }_s={\mu }_{\mathrm{п}}$.	$\mathrm{рад}$
${\phi }_k$	Угол полураствора конуса трения скольжения: $\mathrm{tg}{\phi }_k=\mu$.	$\mathrm{рад}$

У двух законов трения есть геометрическая форма, которая сводит вопрос о скольжении к сравнению углов. Вместо того чтобы рассматривать $N$ и $f$ по отдельности, рисунок 3 изображает всю силу, с которой склон действует на покоящийся брусок, одним вектором — силой контакта $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$. Её составляющая, перпендикулярная склону, — сила нормальной реакции $\vec{N}$, а составляющая вдоль склона — сила трения $\vec{f}$; пунктирные линии достраивают сумму. Угол $\phi$, на который $\vec{R}$ отклоняется от нормали, удовлетворяет условию $\mathrm{tg}\phi =f/N$.

Поэтому закон трения покоя $f\le {\mu }_{\mathrm{п}}N$ принимает вид $\mathrm{tg}\phi \le {\mu }_{\mathrm{п}}$: вектор $\vec{R}$ должен лежать внутри конуса трения с углом полураствора ${\phi }_s$, где $\mathrm{tg}{\phi }_s={\mu }_{\mathrm{п}}$, — это широкая закрашенная область вокруг нормали. Теперь посмотрите на покоящийся брусок. На него действуют только две силы, $\vec{R}$ и сила тяжести $m\vec{g}$, поэтому $\vec{R}$ должна быть направлена вертикально вверх. На склоне с наклоном $\theta$ вертикаль образует с нормалью угол $\theta$ — это угол, отмеченный между $\vec{N}$ и $\vec{R}$. Значит, брусок может покоиться, только пока $\theta \le {\phi }_s$.

Поэтому самый крутой склон, на котором брусок ещё держится, — предельный угол покоя ${\theta }_0$ — равен углу трения: $\mathrm{tg}{\theta }_0={\mu }_{\mathrm{п}}$, то есть 26,6° при ${\mu }_{\mathrm{п}}=0,5$. Это даёт простой способ измерить ${\mu }_{\mathrm{п}}$: наклоняйте доску, пока лежащий на ней брусок не соскользнёт. Масса в условие не входит, поэтому нагруженный брусок соскальзывает при том же угле.

Как только брусок скользит, $f=\mu N$ в точности, и $\vec{R}$ лежит на границе более узкого конуса трения скольжения с углом полураствора ${\phi }_k$, где $\mathrm{tg}{\phi }_k=\mu$, — более тёмной области внутри первой. На рисунке 3 угол склона лежит между ними: ${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$. Вертикальная сила $\vec{R}$ попадает внутрь конуса трения покоя, поэтому покоящийся брусок остаётся в покое. Но она лежит вне конуса трения скольжения, поэтому сила контакта, действующая на скользящий брусок, не может быть вертикальной и не может уравновесить силу тяжести: такой брусок разгоняется. На склоне с $\theta <{\phi }_k$ всё наоборот: трение пересиливает составляющую силы тяжести вдоль склона, и скользящий брусок тормозит до остановки.

Лучший угол тяги

Обозначения

$\vec{F}$	Тяга верёвки; изображена наименьшая тяга, уравновешивающая две другие силы.	$\mathrm{Н}$
$m\vec{g}$	Сила тяжести ящика.	$\mathrm{Н}$
$\vec{R}$	Сила, с которой пол действует на ящик: нормальная реакция плюс трение.	$\mathrm{Н}$
$\phi$	Угол трения между $\vec{R}$ и вертикалью: $\mathrm{tg}\phi =\mu$.	$\mathrm{рад}$
$\alpha$	Угол верёвки к горизонту.	$\mathrm{рад}$

Угол трения отвечает и на практический вопрос: под каким углом должна тянуть верёвка, чтобы тащить тяжёлый ящик с наименьшей силой? Слева на рисунке 4 ящик массой 30 кг равномерно скользит по горизонтальному полу при $\mu =0,4$; его тянут за верёвку, направленную под углом $\alpha$ к горизонту.

Равномерное скольжение означает, что равнодействующая равна нулю. Действуют три силы: тяга $\vec{F}$, сила тяжести $m\vec{g}$ и сила $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$, с которой действует пол. Их сумма равна нулю, $\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$, поэтому, отложенные одна за другой, они образуют замкнутый треугольник — справа на рисунке 4.

Две стороны треугольника заданы. Сила тяжести $m\vec{g}$ фиксирована по величине и направлению. Направление $\vec{R}$ тоже фиксировано: ящик скользит, поэтому $f=\mu N$, и $\vec{R}$ отклонена от вертикали назад, против движения, на угол трения $\phi$, где $\mathrm{tg}\phi =\mu$. Свободна только $\vec{F}$: она должна начинаться на прямой, вдоль которой направлена $\vec{R}$, и заканчиваться в начале вектора $m\vec{g}$. Пунктирные линии — некоторые другие тяги, которые тоже обеспечили бы равновесие, каждая при своём $\alpha$. Кратчайший отрезок от точки до прямой перпендикулярен этой прямой, поэтому наименьшая тяга перпендикулярна $\vec{R}$. Поскольку $\vec{R}$ отклонена от вертикали на $\phi$, эта тяга отклонена на $\phi$ от горизонтали: лучший угол верёвки $\alpha =\phi$, и тогда $F=mg\sin \phi$.

Алгебра даёт то же. Верёвка снимает часть нагрузки, поэтому пол давит вверх лишь с силой $N=mg-F\sin \alpha$. Для равномерного скольжения горизонтальная составляющая тяги должна равняться трению, $F\cos \alpha =\mu (mg-F\sin \alpha )$, откуда
$F=\frac{\mu mg}{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }$
Тяга наименьшая, когда знаменатель наибольший, то есть там, где его производная $-\sin \alpha +\mu \cos \alpha$ равна нулю: при $\mathrm{tg}\alpha =\mu$, здесь $\alpha =21,8^{\circ }$. Тогда $F=109,3\mathrm{Н}$ против 117,7 Н при горизонтальной тяге, и треугольник даёт то же самое: $mg\sin \phi =294,3\cdot \sin 21,8^{\circ }\approx 109,3\mathrm{Н}$. Угол трения определяет лучший угол тяги.

Почему трение пропорционально нагрузке

Законы трения — эмпирические правила, а не фундаментальные законы, как закон тяготения. Этот раздел объясняет, откуда они берутся. Леонардо да Винчи около 1500 года заметил, что трение не зависит от площади контакта; Гийом Амонтон в 1699 году сформулировал его пропорциональность нагрузке, а Шарль Огюстен Кулон в 1781 году добавил, что трение скольжения почти не зависит от скорости.

Главное в том, что даже полированные поверхности касаются только вершинами самых высоких бугорков. Эти вершины сминаются, пока все вместе не начнут нести нагрузку, а смятая вершина выдерживает давление, примерно равное твёрдости $H$ более мягкого материала. Поэтому фактическая площадь контакта составляет примерно $S_{\mathrm{факт}}\approx N/H$. Стальной брусок массой 2 кг на стали при $N\approx 20\mathrm{Н}$ и $H\approx 2\times 10^9\mathrm{Па}$ касается её лишь на площади $10^{-8}{\mathrm{м}}^2$ — примерно одной миллионной доли грани 10 на 10 см. Вот почему кажущаяся площадь не важна: у большей грани каждая вершина прижата слабее, но полная фактическая площадь по-прежнему определяется $N$.

В вершинах атомы двух поверхностей образуют связи. При скольжении эти мостики нужно срезать, а для этого нужна сила $\tau S_{\mathrm{факт}}$, где $\tau$ — прочность на срез более мягкого материала. Соединив оба шага, получаем
$F_{\mathrm{тр}}\approx \tau S_{\mathrm{факт}}\approx \frac{\tau }{H}N$
— закон трения с $\mu \approx \tau /H$. Для металлов $\tau /H$ составляет примерно 1/6, то есть около 0,2. Измеренные значения лежат примерно от 0,1 до 1, потому что мостики при срезе разрастаются, а твёрдые бугорки пропахивают борозды в более мягкой поверхности. Совершённая работа превращается в колебания атомов кристаллической решётки, то есть в теплоту. Объяснить трение подъёмом скользящего тела на бугорки нельзя: энергия, затраченная на подъём на бугорок, вернулась бы, когда тело спускается с его другой стороны.

Прерывистое скольжение и качение

Отсюда следуют два повседневных эффекта: один — из разницы между двумя коэффициентами, другой — из того, что скольжения можно вообще избежать.

Поскольку ${\mu }_{\mathrm{п}}>\mu$, тело, которое тянут через что-нибудь упругое, склонно двигаться рывками. Оно стоит на месте, пока сила натяжения пружины нарастает до ${\mu }_{\mathrm{п}}N$. Затем оно срывается, трение падает до $\mu N$, и тело рывком продвигается вперёд, ослабляя пружину, пока снова не застрянет. Это прерывистое скольжение («прилипание — проскальзывание», стик-слип) заставляет скрипеть двери, поддерживает колебания струны скрипки под смычком и позволяет разломам в земной коре столетиями оставаться запертыми, а затем соскальзывать при землетрясениях.

Катящееся колесо избегает скольжения. Его точка контакта в каждый момент неподвижна относительно земли, поэтому трение покоя там действует, но работы не совершает. Остаётся только сопротивление качению с коэффициентами около 0,001 для железнодорожного колеса и 0,01 для автомобильной шины.

Задача: брусок, отправленный обратно вверх

У подножия склона из анимации брусок движется со скоростью 7,06 м/с. Пружинный буфер отправляет его обратно вверх по склону с той же по модулю скоростью; примите $\mu =0,2$ и ${\mu }_{\mathrm{п}}=0,3$. Как далеко вверх по склону он поднимется и с какой скоростью вернётся?

При движении вверх сила тяжести и трение направлены вниз по склону, поэтому брусок тормозит с ускорением
$g(\sin \theta +\mu \cos \theta )=9,81(0,5+0,2\cdot 0,866)\approx 6,60\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
При постоянном замедлении скорость падает до нуля через $t=v/a=7,06/6,60\approx 1,07\mathrm{с}$, а из $v^2=2ad$ следует, что брусок поднялся вдоль склона на $d=7,06^2/(2\cdot 6,60)\approx 3,78\mathrm{м}$.

Остаться там он не может: $\mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,577$ больше ${\mu }_{\mathrm{п}}$, поэтому трение покоя его не удержит. Он соскальзывает обратно с ускорением 3,21 м/с² из анимации и достигает буфера через $\sqrt{2\cdot 3,78/3,21}\approx 1,53\mathrm{с}$ со скоростью $\sqrt{2\cdot 3,21\cdot 3,78}\approx 4,9\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Спуск длится дольше подъёма, потому что его ускорение меньше. Оба участка имеют одну и ту же длину $d$, поэтому из $v^2=2ad$ скорость возвращения составляет $\sqrt{3,21/6,60}\approx 0,70$ от начальной, а кинетическая энергия — 0,49 от начальной. Остальное превратилось в теплоту на пройденных 7,55 м: трение $g\mu \cos \theta \approx 1,70\mathrm{Н}$ на килограмм на пути 7,55 м даёт 12,8 Дж на килограмм, что совпадает с потерянной кинетической энергией.

Если считать направление вниз по склону положительным, $v(t)$ — две прямые, сходящиеся при $v=0$, с наклонами 6,60 и 3,21 м/с². Скорость непрерывна, а ускорение меняется скачком, потому что трение меняет направление вместе с движением. Каждый отскок снова даёт множитель 0,70, а все времена в пробеге пропорциональны его начальной скорости, поэтому каждый пробег туда и обратно длится 0,70 от предыдущего. Первый длится $1,07+1,53=2,60\mathrm{с}$, так что всё более короткие пробеги образуют геометрическую прогрессию общей длительностью $2,60/(1-0,697)\approx 8,6\mathrm{с}$.

Границы применимости

Механика Ньютона уступает место другим теориям вблизи скорости света или в масштабах атомов. У закона трения такой единой границы нет: он нарушается всякий раз, когда поверхности перестают вести себя как средняя сухая пара. Чистые металлы в вакууме, без оксидной плёнки между ними, соединяются как единое целое: $\mu$ становится больше 1, и детали могут свариваться холодной сваркой, что всерьёз беспокоит конструкторов космических аппаратов. Таблицы $\mu$ для стали по стали на самом деле описывают оксидные плёнки и смазку.

Резина затекает в шероховатости дороги, поэтому её сцепление зависит от площади, скорости и температуры, а у гоночных шин $\mu$ больше 1. Очень ровные поверхности, например полированное стекло, слипаются за счёт адгезии даже без нагрузки. У конька на льду $\mu \approx 0,02$, потому что его смазывает тонкий жидкоподобный слой. При больших скоростях скольжения вершины контакта мгновенно раскаляются до сотен градусов, и $\mu$ падает.

У точечной модели есть собственный предел: настоящий брусок может опрокинуться, а не соскользнуть. На склоне он опрокидывается через нижнее ребро, как только $\mathrm{tg}\theta$ превысит отношение его длины вдоль склона к высоте, и соскальзывает, как только $\mathrm{tg}\theta$ превысит ${\mu }_{\mathrm{п}}$. Поэтому брусок, высота которого больше длины более чем в $1/{\mu }_{\mathrm{п}}$ раз (вдвое при ${\mu }_{\mathrm{п}}=0,5$), опрокинется раньше, чем соскользнёт.

Что дальше

В уроке «Работа, энергия и мощность» трение скольжения — типичная неконсервативная сила: её работа $-\mu Ns$ превращается в теплоту. В уроке «Движение по окружности» трение покоя удерживает автомобиль на плоском повороте при скорости до $v=\sqrt{{\mu }_{\mathrm{п}}gr}$, а расчёт виражей использует составляющие силы тяжести из этого урока. В уроке «Динамика вращения и момент силы» объясняется качение: сплошной шар скатывается по склону 30° с ускорением $\frac{5}{7}g\sin \theta \approx 3,50\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, быстрее скользящего бруска, не теряя ничего на трение. В уроке «Статическое равновесие и рычаги» разбираются лестницы и опрокидывание; в уроке «Простые механизмы: рычаги, блоки и зубчатые передачи» пандус превращается в клин и винт, который удерживает груз, потому что угол его резьбы меньше угла трения; а в уроке «Сопротивление среды и предельная скорость» рассматривается жидкостное трение, которое растёт со скоростью.