Les lois de Newton

Débutant

Une force est une poussée ou une traction. Certaines exigent un contact, comme le pied qui frappe un ballon ou la corde qui tire une luge ; d'autres agissent à travers le vide, comme la pesanteur ou un aimant. Les forces se mesurent en newtons (N).

Les forces ont une direction et un sens : elles se combinent comme des flèches. Poussez une caisse vers la droite avec 30 N pendant qu'un ami la pousse vers la gauche avec 20 N : la force résultante vaut 10 N vers la droite.

Petit test : et si votre ami pousse lui aussi avec 30 N ? (La résultante est nulle.)

Première loi : sans force résultante, un objet immobile le reste, et un objet en mouvement continue en ligne droite à la même vitesse. Cela surprend, car un canapé qu'on lâche s'arrête. C'est le frottement, une force exercée par le sol. Sur une glace lisse, un palet glisse très longtemps.

Deuxième loi : une force résultante modifie le mouvement, et accélération = force résultante ÷ masse. Doublez la force, l'accélération double ; doublez la masse, elle est divisée par deux. Dans l'animation, la même poussée (flèches rouges) agit sur un bloc de 2 kg et un bloc de 5 kg sur un sol sans frottement : le bloc léger prend de la vitesse 2,5 fois plus vite.

Petit test : un chariot de 6 kg subit une force résultante de 18 N. Quelle est son accélération ? (3 m/s².)

La masse n'est pas le poids. La masse, en kilogrammes, dit à quel point un objet est difficile à mettre en vitesse et ne dépend pas du lieu ; le poids est l'attraction de la pesanteur, en newtons, environ six fois plus faible sur la Lune.

Troisième loi : les forces vont par paires. Poussez un mur, il vous repousse tout aussi fort ; sautez, et vous poussez la Terre vers le bas pendant qu'elle vous pousse vers le haut. Les deux forces s'exercent sur des objets différents : elles ne s'annulent jamais.

Intermédiaire

Force, masse et force résultante

Une force est une poussée ou une traction qu'un corps exerce sur un autre, comme l'attraction de la Terre sur une pomme qui tombe. C'est un vecteur, $\vec{F}$, caractérisé par une intensité en newtons (N), une direction et un sens. Pour un mouvement rectiligne, choisissez un sens positif et donnez un signe à chaque force : avec un axe orienté vers la droite, une force de 10 N dirigée vers la gauche s'écrit $-10\mathrm{N}$.

Ce qui modifie le mouvement, c'est la force résultante $\sum \vec{F}$, somme vectorielle de toutes les forces qui s'exercent sur ce seul corps. Poussez une caisse de 4 kg avec 30 N vers la droite pendant qu'un ami la pousse avec 10 N vers la gauche : la force résultante vaut $30-10=20\mathrm{N}$ vers la droite. La masse $m$, en kilogrammes, mesure l'inertie, c'est-à-dire la résistance du corps à toute variation de sa vitesse ; elle est la même sur la Terre, sur la Lune et dans l'espace lointain.

Première et deuxième lois

Quand la force résultante est nulle, la vitesse ne change pas : un corps immobile reste immobile, et un corps en mouvement continue en ligne droite à la même vitesse.
$\sum \vec{F}=0\iff \vec{v}=\mathrm{cte}$
Le mouvement lui-même n'exige aucune force ; seule une modification du mouvement en demande une. Une voiture qui roule à 20 m/s constants malgré 600 N de traînée et de résistance au roulement a besoin d'une force motrice d'exactement 600 N : les forces se compensent et la voiture est en équilibre.

Quand les forces ne se compensent pas, le corps accélère dans le sens de la force résultante :
$\sum \vec{F}=m\vec{a}$
Doublez la force résultante, l'accélération double ; doublez la masse, elle est divisée par deux. La caisse ci-dessus prend une accélération $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$. Cette loi définit aussi le newton : 1 N communique à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s², donc $1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$.

Poids et diagrammes des forces

Le poids est la force de gravitation qui s'exerce sur un corps. Près de la surface de la Terre,
$P=mg$
avec $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$ : le poids est donc une force en newtons, et non une masse en kilogrammes. Pour une astronaute de 70 kg, il vaut $70\cdot 9,81\approx 687\mathrm{N}$ sur la Terre et $70\cdot 1,62\approx 113\mathrm{N}$ sur la Lune, environ six fois moins ; pourtant, sa masse reste de 70 kg. Une surface repousse le corps avec une réaction normale $N$, perpendiculaire à cette surface, et une corde tendue le tire avec une tension $T$.

Pour appliquer les lois, tracez un diagramme des forces en quatre étapes.

• Isolez un corps et représentez-le seul, par un rectangle ou par un point.
• Dessinez toutes les forces qui s'exercent sur ce corps : poids, réaction normale, tension, frottement, poussées.
• Laissez de côté les forces que ce corps exerce sur les autres ; elles figurent sur d'autres diagrammes.
• Choisissez des axes, de préférence l'un dans la direction de l'accélération, et appliquez la deuxième loi selon chaque axe.

Comme c'est une équation vectorielle, la loi se décompose en une équation par axe :
$\sum F_x=m{a}_x\sum F_y=m{a}_y$
Pour un bloc posé sur un sol horizontal, sans accélération verticale, la seconde équation donne $N-mg=0$, donc $N=mg$ ; sur une pente ou dans un ascenseur qui accélère, la réaction normale diffère du poids.

Troisième loi : les forces vont par paires

Les forces traduisent des interactions : elles vont donc par paires. Si un corps A pousse un corps B, alors B pousse A avec une force de même intensité et de sens opposé :
${\vec{F}}_{AB}=-{\vec{F}}_{BA}$
où ${\vec{F}}_{AB}$ désigne la force exercée par A sur B. Les deux forces sont de même nature et s'exercent au même instant, mais sur des corps différents : elles ne se compensent donc jamais et ne figurent jamais sur le même diagramme des forces.

Un livre posé sur une table subit son poids et la réaction normale de la table. Ces deux forces se compensent, mais elles ne forment pas une paire action–réaction : toutes deux s'exercent sur le livre, et elles ne sont égales que parce que le livre n'accélère pas. La force qui forme une paire avec le poids, c'est l'attraction que le livre exerce sur la Terre. Lors d'un choc, une voiture de 1000 kg et un camion de 6000 kg subissent la même force, disons 30 kN, qui donne à la voiture une accélération de 30 m/s², mais au camion seulement 5 m/s².

Exemple résolu : les blocs de l'animation

Dans l'animation, la même force horizontale $F=20\mathrm{N}$ pousse un bloc léger, $m_1=2\mathrm{kg}$, et un bloc lourd, $m_2=5\mathrm{kg}$ : les flèches rouges ont la même longueur. Les sols sont sans frottement et chaque poids est compensé par la réaction normale (19,62 N et 49,05 N) ; la poussée est donc la force résultante :
$a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{20}{2}=10m/{\mathrm{s}}^2,a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{20}{5}=4m/{\mathrm{s}}^2$

Les deux blocs partent du repos ; au bout de $t=3\mathrm{s}$, on a donc
$v_1=a_{1}t=10\cdot 3=30m/s,v_2=a_{2}t=4\cdot 3=12m/s$
Ce sont les valeurs finales affichées pour $v_1$ et $v_2$, qui augmentent de 10 et de 4 m/s chaque seconde. Avec $x=\frac{1}{2}a{t}^2$, les blocs parcourent 45 m et 18 m. Les traits gris marquent la position de l'avant de chaque bloc après 0, 1 et 2 s : le bloc léger se trouve à 5 m puis à 20 m de son départ, le lourd à 2 m puis à 8 m. À chaque instant, la vitesse et la distance parcourue du bloc léger valent 2,5 fois celles du bloc lourd, soit l'inverse du rapport des masses.

Exemple résolu : un pèse-personne dans un ascenseur

Vous êtes debout sur un pèse-personne dans un ascenseur. Votre masse est de 70 kg, et l'ascenseur démarre vers le haut avec une accélération de 1,0 m/s². Deux forces s'exercent sur vous : votre poids, $mg=686,7\mathrm{N}$, vers le bas, et la réaction normale $N$ du pèse-personne, vers le haut. En orientant l'axe vers le haut, la deuxième loi donne
$N-mg=ma\Rightarrow N=m(g+a)=70\cdot (9,81+1,0)\approx 757\mathrm{N}$

D'après la troisième loi, vous appuyez sur le pèse-personne avec ces mêmes 757 N, et c'est cette force qu'il mesure ; gradué en kilogrammes, il la divise par 9,81 et affiche 77,1 kg. À vitesse constante, il indique vos vrais 70 kg. Quand l'ascenseur ralentit en arrivant en haut, $a=-1,0m/{\mathrm{s}}^2$ et l'indication tombe à $70\cdot 8,81\approx 617\mathrm{N}$, soit 62,9 kg. En chute libre, il indiquerait zéro : l'apesanteur signifie que plus rien ne vous soutient, pas que la pesanteur a disparu.

Erreurs fréquentes

• Un mouvement n'exige pas de force résultante : la voiture qui roule à 20 m/s constants malgré 600 N de résistance est propulsée par exactement 600 N, et une force plus grande la ferait accélérer.
• La masse n'est pas le poids : l'astronaute de 70 kg a un poids de 687 N sur la Terre et de 113 N sur la Lune, mais elle est tout aussi difficile à mettre en mouvement aux deux endroits.
• La réaction normale ne vaut pas toujours $mg$ : dans l'ascenseur qui accélère, elle atteint 757 N alors que votre poids est de 687 N.
• Utilisez la force résultante, pas une seule des forces : la caisse poussée avec 30 N d'un côté et 10 N de l'autre prend $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$, et non $30/4=7,5m/{\mathrm{s}}^2$.

Où on le rencontre

Les zones de déformation programmée et les ceintures de sécurité exploitent $a=F/m$ dans l'autre sens : étaler un choc sur une durée plus longue diminue l'accélération, et donc la force, que subissent les passagers. Les fusées, les nageurs et les marcheurs poussent quelque chose vers l'arrière et c'est la force réciproque, prévue par la troisième loi, qui les pousse vers l'avant. Viennent ensuite « Frottement et plan incliné », « Mouvement circulaire », où la force résultante fait tourner le vecteur vitesse, et « Gravitation et orbites » ; « Quantité de mouvement et chocs » et « Travail, énergie et puissance » découlent de la deuxième loi cumulée dans le temps et le long du trajet.

Avancé

La force, taux de variation de la quantité de mouvement

On rencontre d'habitude la deuxième loi de Newton sous la forme $\vec{F}=m\vec{a}$. Sa forme générale fait intervenir la quantité de mouvement $\vec{p}=m\vec{v}$, et la lire comme une relation entre vecteurs explique d'emblée comment une force peut accélérer un corps, le ralentir ou le faire tourner.

Légende

$\vec{F}$	Force résultante sur le corps, représenté par le point.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\parallel }$	Composante de $\vec{F}$ selon le mouvement : elle modifie la valeur de la vitesse.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\perp }$	Composante de $\vec{F}$ perpendiculaire au mouvement, vers l'intérieur du virage : elle courbe la trajectoire.	$\mathrm{N}$
$\vec{p}$	Quantité de mouvement $m\vec{v}$ du corps, dirigée selon son mouvement.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$d\vec{p}$	Variation de la quantité de mouvement pendant une courte durée $dt$ : $d\vec{p}=\vec{F}dt$, elle a donc la direction et le sens de $\vec{F}$.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Quantité de mouvement un court instant plus tard : $\vec{p}+d\vec{p}$, plus longue que $\vec{p}$ et tournée.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

La figure 1 suit un corps dans un virage : la courbe noire est sa trajectoire, et la pointe de flèche indique le sens de son mouvement. À gauche, regardez le point. La force résultante $\vec{F}$ qui s'exerce sur le corps est décomposée en deux composantes perpendiculaires. La composante ${\vec{F}}_{\parallel }$ est dirigée selon le mouvement ; elle modifie la valeur de la vitesse sans toucher à sa direction. La composante ${\vec{F}}_{\perp }$ est perpendiculaire au mouvement et pointe vers l'intérieur du virage ; elle change la direction sans toucher à la valeur de la vitesse. Le mouvement circulaire uniforme est le cas où seule ${\vec{F}}_{\perp }$ est présente.

À droite, le même instant est représenté avec les quantités de mouvement. Pendant une courte durée $dt$, la quantité de mouvement $\vec{p}$ varie de $d\vec{p}=\vec{F}dt$ : $d\vec{p}$ est donc parallèle à $\vec{F}$, et non à $\vec{p}$. En la plaçant à l'extrémité de $\vec{p}$, on obtient la nouvelle quantité de mouvement ${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}+d\vec{p}$. Comparez maintenant ${\vec{p}}^{\prime }$ à l'arc en pointillés, de rayon $|\vec{p}|$ : l'extrémité de ${\vec{p}}^{\prime }$ se trouve au-delà de l'arc, donc la quantité de mouvement a augmenté, et ${\vec{p}}^{\prime }$ pointe en outre dans une nouvelle direction. La composante parallèle de la force a produit l'augmentation, la composante perpendiculaire le changement de direction.

Mise en équation, c'est la deuxième loi sous sa forme générale : la force résultante qui s'exerce sur un corps est égale au taux de variation de sa quantité de mouvement,
$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$
Si la masse est constante, $d\vec{p}/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$, et l'on retrouve la forme familière. Une équation vectorielle contient trois équations à la fois, une par axe ; en notant les dérivées par rapport au temps avec des points ($\ddot{x}=d^{2}x/d{t}^2$),
$m\ddot{x}=F_x,m\ddot{y}=F_y,m\ddot{z}=F_z$

Chacune est une équation différentielle du second ordre : elle contient la dérivée seconde de la position. Pour la résoudre, il faut donc deux valeurs de départ par axe, la position initiale et la vitesse initiale. Avec celles-ci et la force, le mouvement est fixé à tous les instants ultérieurs. Notez ce que relie la loi : la force résultante fixe l'accélération, quelle que soit la vitesse à cet instant. Un corps peut aller très vite sans subir aucune force, et une balle au sommet de sa montée est immobile un instant tout en ayant l'accélération $g$.

Référentiels galiléens : ce qu'ajoute la première loi

La première loi est plus que le cas particulier $\sum \vec{F}=0$ de la deuxième. Elle affirme qu'il existe des référentiels dans lesquels un corps qui ne subit aucune force est en mouvement rectiligne uniforme. On les appelle référentiels galiléens, et c'est seulement dans ces référentiels que $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ s'applique sous cette forme. Tout référentiel en translation à vitesse constante par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen, car ajouter la même vitesse constante à tous les corps ne change aucune accélération. Les référentiels accélérés demandent une correction, décrite plus loin.

Impulsion et travail : aires sous la force

Cumuler une force dans le temps donne la variation de la quantité de mouvement ; la cumuler le long du trajet donne la variation de l'énergie cinétique. Ces deux théorèmes mènent des lois de Newton aux lois de conservation, et la figure 2 les montre tous les deux pour la poussée de l'animation.

Légende

$F$	Force constante qui pousse chaque bloc.	$\mathrm{N}$
$t$	Temps écoulé depuis le début de la poussée.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Durée de la poussée.	$\mathrm{s}$
$J$	Impulsion de la force : l'aire sous $F(t)$, $J=F\Delta t$. Elle est égale à la quantité de mouvement gagnée.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$
$x$	Position d'un bloc le long du sol, mesurée depuis l'endroit où la poussée a commencé.	$\mathrm{m}$
$m_1$	Le bloc léger.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Le bloc lourd.	$\mathrm{kg}$
$x_1$	Distance parcourue par le bloc léger pendant $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Distance parcourue par le bloc lourd pendant $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$W_1$	Travail de la force sur le bloc léger : l'aire sous $F(x)$ jusqu'à $x_1$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Travail de la force sur le bloc lourd : l'aire sous $F(x)$ jusqu'à $x_2$.	$\mathrm{J}$

Sur la figure 2, la même force constante $F=20\mathrm{N}$ agit pendant $\Delta t=3\mathrm{s}$ sur le bloc léger $m_1=2\mathrm{kg}$ et sur le bloc lourd $m_2=5\mathrm{kg}$. Le graphique de gauche représente la force en fonction du temps $t$. C'est une droite horizontale, et l'aire colorée sous cette droite, $F\Delta t$, est l'impulsion $J$. Ce graphique est le même pour les deux blocs, puisque tous deux subissent la même force pendant la même durée. Les deux graphiques de droite représentent la force en fonction de la position $x$ de chaque bloc. Leurs hauteurs sont égales, mais pas leurs largeurs : le bloc léger est poussé sur la plus grande distance $x_1$, le bloc lourd seulement sur $x_2$. Les aires colorées, les travaux $W_1$ et $W_2$, sont donc inégales.

Voyons d'abord le mouvement lui-même. Sous la poussée de 20 N, l'accélération $a=F/m$ vaut constamment 10 m/s² pour le bloc léger et 4 m/s² pour le bloc lourd ; dans les graphiques de la leçon, $a(t)$ est donc une droite horizontale et $v(t)$ une droite dont la pente est cette accélération. L'aire sous $a(t)$ sur les 3 s est la vitesse gagnée, $10\cdot 3=30m/s$ et $4\cdot 3=12m/s$. Partant du repos, chaque bloc parcourt $\frac{1}{2}a(\Delta t{)}^2$, soit $x_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2=45\mathrm{m}$ et $x_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3^2=18\mathrm{m}$.

Dans le temps : intégrez $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ de $0$ à $t$. Le membre de gauche devient l'impulsion de la force, celui de droite la variation de la quantité de mouvement :
${\int }_0^t\vec{F}d{t}^{\prime }=\vec{p}(t)-\vec{p}(0)$
Les deux blocs partent du repos et reçoivent l'impulsion $J=F\Delta t=20\cdot 3=60\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$ : ils finissent donc avec la même quantité de mouvement, $2\cdot 30=5\cdot 12=60\mathrm{kg}\cdot m/s$.

Le long du trajet : par la dérivation des fonctions composées, l'accélération peut s'écrire $a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx$. Alors $F=ma$ devient $Fdx=mvdv$, et l'intégration des deux membres du début à la fin de la poussée donne le théorème de l'énergie cinétique :
${\int }_{x_0}^{x}Fd{x}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
Pour le bloc léger, le travail vaut $W_1=F{x}_1=20\cdot 45=900\mathrm{J}$, et l'on a bien $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 30^2=900\mathrm{J}$. Pour le bloc lourd, $W_2=20\cdot 18=360\mathrm{J}$, ce qui est égal à $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12^2$.

Bilan : des quantités de mouvement égales, mais des énergies cinétiques dans le rapport 2,5. La raison en est $E_c=p^2/(2m)$ : pour une même quantité de mouvement, le corps le plus léger emporte plus d'énergie. Il va plus vite, parcourt donc une plus grande distance pendant que la force agit, et la force effectue sur lui un travail plus grand.

Ce qui donne son contenu à la deuxième loi

Si $\vec{F}=m\vec{a}$ n'était que la définition de la force, elle ne prédirait rien : on pourrait attribuer n'importe quelle accélération observée à une force inventée pour l'occasion. La loi a un contenu parce que les forces peuvent être connues indépendamment des mouvements qu'elles provoquent. Trois faits le permettent. Toute force a une source, un autre corps voisin ou un champ produit par un corps : un corps éloigné de tout ne subit donc aucune force. Les forces s'additionnent comme des vecteurs. Et elles obéissent à leurs propres lois : la gravitation $GMm/r^2$, la force de rappel d'un ressort $-kx$, la force électrique entre charges, et le frottement, à peu près proportionnel à la réaction normale.

La masse, elle aussi, se mesure sans raisonnement circulaire. Faites se repousser deux corps, par exemple au moyen d'un ressort comprimé placé entre eux. D'après la troisième loi, les deux forces sont égales et opposées, donc les accélérations sont dans le rapport inverse des masses, $a_1/a_2=m_2/m_1$. Les poussées égales de l'animation donnent le même rapport, $10/4=5/2$. Une fois un corps choisi comme unité de masse, cette méthode mesure tous les autres.

Une fois connues les masses et les lois de force, la deuxième loi devient une machine à prédire. La position et la vitesse actuelles donnent la force ; la force donne l'accélération ; l'accélération donne la position et la vitesse un instant plus tard ; et l'étape se répète. Avec une force de ressort $-kx$, on obtient une oscillation ; avec la force $GMm/r^2$ de la gravitation, une orbite elliptique.

Troisième loi et conservation de la quantité de mouvement

La troisième loi dit que, lorsque deux corps $A$ et $B$ interagissent, la force ${\vec{F}}_{AB}$ que $A$ exerce sur $B$ et la force ${\vec{F}}_{BA}$ que $B$ exerce sur $A$ sont égales et opposées. Combinée à la forme générale de la deuxième loi, elle donne la loi de conservation la plus utile de la mécanique.

Prenez deux corps qui n'interagissent qu'entre eux. La quantité de mouvement de chacun varie au rythme fixé par la force qu'il subit : $d{\vec{p}}_B/dt={\vec{F}}_{AB}$ et $d{\vec{p}}_A/dt={\vec{F}}_{BA}$. En additionnant ces deux relations et en utilisant la troisième loi,
$\frac{d}{dt}\left({\vec{p}}_A+{\vec{p}}_B\right)={\vec{F}}_{AB}+{\vec{F}}_{BA}=0$
donc la quantité de mouvement totale ne change jamais. Par exemple, un ressort écarte deux chariots de 2 kg et de 5 kg partis du repos. Leur quantité de mouvement totale reste nulle : ils partent donc en sens opposés, à des vitesses dans le rapport 5 à 2, par exemple 2,5 m/s et 1,0 m/s, quelle que soit la façon dont la poussée a varié pendant la détente.

Pour un ensemble de corps, le même raisonnement s'applique paire par paire. Les forces intérieures se compensent, et il reste $d\vec{P}/dt=\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$, où $\vec{P}$ est la quantité de mouvement totale et $\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ la somme des forces extérieures. Comme $\vec{P}$ est égale à la masse totale multipliée par la vitesse du centre de masse, le centre de masse se déplace comme un point unique portant toute la masse. C'est pourquoi chaque bloc de l'animation peut être traité comme un point.

La conservation de la quantité de mouvement est plus solide que la troisième loi elle-même. Les forces entre corps éloignés ne peuvent pas réagir instantanément, car aucune influence ne se propage plus vite que la lumière, et les forces magnétiques entre deux charges en mouvement ne sont en général pas égales et opposées. La quantité de mouvement totale reste pourtant conservée dès que l'on compte celle que transporte le champ électromagnétique.

Référentiels accélérés et forces d'inertie

Les lois de Newton ne sont valables que dans les référentiels galiléens, et pourtant on décrit souvent le mouvement depuis une voiture, un ascenseur ou la Terre qui tourne. Dans un tel référentiel, on peut sauver les lois en ajoutant des forces d'inertie. La figure 3 montre comment, pour un bus qui freine.

Légende

$\vec{v}$	Vitesse du bus par rapport à la route.	$m/s$
${\vec{a}}_B$	Accélération du bus, c'est-à-dire du référentiel $B$, par rapport à la route ; elle pointe vers l'arrière parce que le bus freine.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{F}$	Force de la ceinture de sécurité sur le passager : une force réelle, exercée par un corps.	$\mathrm{N}$
$m{\vec{a}}_B$	Masse $m$ du passager multipliée par ${\vec{a}}_B$. La flèche en pointillés est la force d'inertie $-m{\vec{a}}_B$, dirigée vers l'avant ; aucun corps ne l'exerce.	$\mathrm{N}$

Par rapport à la route, que l'on considère comme galiléenne, le bus de la figure 3 avance avec la vitesse $\vec{v}$, mais son accélération ${\vec{a}}_B$ pointe vers l'arrière parce qu'il freine. Décrivez maintenant le mouvement dans un référentiel $B$ lié au bus et sans rotation. La position d'un corps par rapport à la route est la position du bus plus la position du corps par rapport au bus. En dérivant deux fois, les accélérations s'ajoutent de la même façon, $\vec{a}={\vec{a}}_B+{\vec{a}}^{\prime }$, où ${\vec{a}}^{\prime }$ est l'accélération vue depuis le bus. Donc ${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}-{\vec{a}}_B$, et en multipliant par $m$ et en utilisant $m\vec{a}=\sum \vec{F}$, on obtient
$m{\vec{a}}^{\prime }=\sum \vec{F}-m{\vec{a}}_B$

Le terme supplémentaire $-m{\vec{a}}_B$ agit comme une force proportionnelle à la masse ; c'est la flèche en pointillés de la figure. Mais aucun corps ne l'exerce, et elle n'a pas de partenaire selon la troisième loi. C'est à cela qu'on reconnaît une force d'inertie.

Regardez maintenant le passager, de masse 60 kg, pendant que le bus freine à 4 m/s². Vu de l'intérieur du bus, le passager semble poussé vers l'avant avec $m{a}_B=60\cdot 4=240\mathrm{N}$. Vu de la route, rien ne pousse le passager vers l'avant : il continue simplement sur sa lancée jusqu'à ce que la ceinture de sécurité exerce sur lui la vraie force $\vec{F}$ de 240 N vers l'arrière. Cette force seule donne au passager la même accélération ${\vec{a}}_B$ que le bus. Vu de l'intérieur du bus, le passager reste immobile, ${\vec{a}}^{\prime }=0$, car $\vec{F}$ et la force d'inertie $-m{\vec{a}}_B$ se compensent, comme le montrent les deux flèches horizontales sur le passager.

Les autres référentiels accélérés fonctionnent de la même façon. Dans un ascenseur qui accélère vers le haut à 1,0 m/s², la force d'inertie est dirigée vers le bas et s'ajoute à la pesanteur : à l'intérieur, tout se passe comme si $g$ valait $9,81+1,0=10,81m/{\mathrm{s}}^2$. Un référentiel en rotation demande deux forces d'inertie : la force centrifuge et la force de Coriolis, qui n'agit que sur les corps en mouvement par rapport au référentiel tournant. La surface de la Terre est un tel référentiel. Avec la vitesse angulaire de rotation de la Terre $\omega$ et son rayon $R$, le sol à l'équateur a l'accélération centripète ${\omega }^{2}R\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, soit seulement environ 0,35 % de $g$ ; et pourtant la force de Coriolis décide du sens de rotation des cyclones. Enfin, les forces d'inertie sont, comme la pesanteur, proportionnelles à la masse : aucune expérience menée dans un laboratoire fermé ne peut distinguer sa propre accélération de la pesanteur. C'est l'indice qui a mené à la relativité générale.

Problème résolu : c'est un bloc suspendu qui tire

Ce problème remplace la main de l'animation par la pesanteur. Il montre la méthode habituelle pour des corps liés : un diagramme des forces par corps (un schéma de ce corps seul avec toutes les forces qui s'exercent sur lui), plus une condition qui relie leurs mouvements.

Légende

$m_1$	Le bloc suspendu.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Le bloc posé sur la table.	$\mathrm{kg}$
$\vec{T}$	Force du fil sur un bloc ; sa valeur $T$ est la tension, la même aux deux extrémités du fil.	$\mathrm{N}$
$\vec{a}$	Accélération, de même valeur pour les deux blocs.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$m_1\vec{g}$	Poids du bloc suspendu.	$\mathrm{N}$

Sur la figure 4, le bloc $m_2=5\mathrm{kg}$ repose sur une table sans frottement. Un fil léger le relie, en passant sur une poulie légère et sans frottement, au bloc suspendu $m_1=2\mathrm{kg}$. Le poids du bloc suspendu vaut $m_{1}g=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, presque la poussée de 20 N de l'animation. Cherchez l'accélération $a$ et la tension $T$ du fil.

Deux faits relient les blocs. Le fil garde sa longueur : les deux blocs parcourent donc la même distance dans le même temps et ont la même accélération $\vec{a}$, vers la droite pour $m_2$ et vers le bas pour $m_1$, comme le montrent les deux flèches notées $\vec{a}$. Et comme le fil et la poulie sont légers et sans frottement, le fil tire avec la même force à ses deux extrémités : ce sont les deux flèches notées $\vec{T}$. Prenez maintenant, pour chaque bloc, le sens du mouvement le long du fil comme sens positif. Dans la direction de son mouvement, le bloc qui glisse ne subit que $T$ ; son poids et la réaction normale se compensent, et la figure ne les représente pas. Le bloc suspendu subit son poids $m_{1}g$ vers le bas, dans le sens de son mouvement, et $T$ vers le haut, en sens contraire. La deuxième loi pour chaque bloc s'écrit
$m_{2}a=T,m_{1}a=m_{1}g-T$
Numériquement, $5a=T$ et $2a=19,62-T$. En additionnant les deux équations, on élimine la tension inconnue et il reste $7a=19,62$, donc
$a=\frac{m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{19,62}{7}\approx 2,80m/{\mathrm{s}}^2,T=m_{2}a\approx 14,0\mathrm{N}$

Lisez maintenant le résultat. Poussé à la main avec 20 N, le bloc de 5 kg prenait 4 m/s² ; tiré par un poids de 19,62 N, il ne prend plus que 2,80 m/s². La force motrice est presque la même, mais elle doit maintenant accélérer 7 kg, car le bloc suspendu doit lui aussi être accéléré. La tension, 14,0 N, est inférieure au poids suspendu : c'est pourquoi la flèche $\vec{T}$ sur le bloc suspendu est plus courte que $m_1\vec{g}$. La différence, $m_{1}g-T=m_{1}a\approx 5,6\mathrm{N}$, est la force résultante qui accélère le bloc suspendu ; si la tension et le poids étaient égaux, il ne pourrait pas accélérer du tout. Trois secondes après le départ du repos, les blocs se déplacent à $2,80\cdot 3\approx 8,4m/s$ et ont parcouru $\frac{1}{2}\cdot 2,80\cdot 3^2\approx 12,6\mathrm{m}$.

Deux vérifications. En remplaçant $a$ dans $T=m_{2}a$, on obtient $T=m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$, expression symétrique en $m_1$ et $m_2$. Si l'on échange les blocs, en suspendant celui de 5 kg, l'accélération devient donc $a=49,05/7\approx 7,01m/{\mathrm{s}}^2$, mais la tension reste d'environ 14,0 N. Et les cas limites sont cohérents : quand la masse suspendue est de loin la plus grande, $a\to g$ et elle tombe presque en chute libre ; quand elle est très petite, $a\to 0$ et la tension tend vers le poids du bloc suspendu lui-même, comme s'il pendait simplement au repos.

Limites de validité

Les lois de Newton, telles qu'elles sont énoncées ici, décrivent des corps ponctuels, ou le centre de masse de corps étendus, dans des référentiels galiléens, à des vitesses très inférieures à celle de la lumière et à des échelles très supérieures à celle des atomes. Chaque condition marque une frontière.

La rotation d'un corps étendu demande une loi propre, où le moment de force remplace la force et le moment d'inertie remplace la masse. Les forces de contact, comme la tension et la réaction normale, sont elles-mêmes l'effet moyen d'innombrables forces électriques entre atomes ; les lois de Newton les prennent comme des données au lieu de les expliquer.

À grande vitesse, $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ reste valable, mais la quantité de mouvement devient $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, avec le facteur de Lorentz $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, où $c$ est la vitesse de la lumière. Une force constante agissant à partir du repos donne toujours $p=Ft$ ; en tirant $v$ de $\gamma mv=Ft$, on obtient
$v=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+{\left(Ft/(mc)\right)}^2}}$
qui tend vers $c$ sans jamais l'atteindre. Continuez à pousser le bloc de 2 kg avec 20 N. La réponse newtonienne $v=Ft/m$ atteindrait $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ au bout d'environ 347 jours ; à cet instant, $Ft/(mc)=1$, donc la vitesse réelle n'est que $c/\sqrt{2}\approx 0,71c$. Aux 30 m/s de l'animation, la correction relativiste est de l'ordre de $v^2/c^2\approx 10^{-14}$, bien en deçà de toute mesure.

À l'échelle atomique, une particule n'a pas de trajectoire nette, et la mécanique quantique remplace $\vec{F}=m\vec{a}$. La loi de Newton réapparaît comme loi du mouvement moyen des corps de grande taille.

Ce qui vient ensuite

L'essentiel de la mécanique classique, c'est la deuxième loi plus une loi de force. « Frottement et plan incliné » ajoute les forces des surfaces rugueuses, « Mouvement circulaire » la force résultante qui ne fait que changer la direction de la vitesse, et « Gravitation et orbites » la loi de la gravitation qui explique le mouvement des planètes. Cumulées dans le temps et le long du trajet, les lois deviennent « Quantité de mouvement et chocs » et « Travail, énergie et puissance » ; appliquées aux corps qui tournent, « Dynamique de rotation et moment de force » ; avec une force de ressort, « Oscillations harmoniques » ; avec une force qui croît avec la vitesse, « Traînée et vitesse limite ». Aux grandes vitesses, elles cèdent la place à « Relativité restreinte », et l'égalité de la masse inerte et de la masse grave ouvre la voie à « La gravitation, courbure de l'espace-temps ».