Die newtonschen Gesetze

Einsteiger

Eine Kraft ist ein Schieben oder Ziehen. Manche Kräfte brauchen Berührung, wie ein Fuß, der einen Ball tritt, oder ein Seil, das einen Schlitten zieht; andere wirken über den leeren Raum hinweg, wie die Schwerkraft oder ein Magnet. Kräfte werden in Newton (N) gemessen.

Kräfte haben Richtungen, daher setzen sie sich wie Pfeile zusammen. Schiebst du eine Kiste mit 30 N nach rechts, während ein Freund sie mit 20 N nach links schiebt, dann beträgt die Nettokraft 10 N nach rechts.

Kurze Kontrolle: Was passiert, wenn dein Freund ebenfalls mit 30 N schiebt? (Die Nettokraft ist null.)

Erstes Gesetz: Bei null Nettokraft bleibt ein ruhender Körper in Ruhe, und ein bewegter Körper behält seine geradlinige Bewegung mit gleicher Geschwindigkeit bei. Ein angeschobenes Sofa hält an, wenn du loslässt, nur wegen der Reibung, einer Kraft vom Boden. Auf glattem Eis gleitet ein Puck immer weiter.

Zweites Gesetz: Eine Nettokraft verändert die Bewegung, und Beschleunigung = Nettokraft ÷ Masse. Verdoppelst du die Kraft, verdoppelt sich die Beschleunigung; verdoppelst du die Masse, halbiert sie sich. In der Animation wirkt derselbe Schub (rote Pfeile) auf einen 2-kg- und einen 5-kg-Block auf reibungsfreiem Boden, daher gewinnt der leichte Block 2,5-mal so schnell an Geschwindigkeit.

Kurze Kontrolle: Ein 6-kg-Wagen spürt eine Nettokraft von 18 N. Wie groß ist seine Beschleunigung? (3 m/s².)

Masse ist nicht Gewicht. Die Masse in Kilogramm sagt, wie schwer ein Körper zu beschleunigen ist, und ist überall gleich; das Gewicht ist die Anziehung der Schwerkraft in Newton, auf dem Mond etwa sechsmal kleiner.

Drittes Gesetz: Kräfte treten paarweise auf. Drückst du gegen eine Wand, drückt sie genauso stark zurück; springst du, drückst du die Erde nach unten, während sie dich nach oben drückt. Die beiden Kräfte wirken auf verschiedene Körper, daher heben sie sich nie gegenseitig auf.

Mittelstufe

Kraft, Masse und Nettokraft

Eine Kraft ist ein Schieben oder Ziehen, das ein Körper auf einen anderen ausübt, etwa die Anziehung der Erde auf einen fallenden Apfel. Sie ist eine Vektorgröße, $\vec{F}$, mit einem Betrag in Newton (N) und einer Richtung. Entlang einer Geraden wählst du eine positive Richtung und gibst jeder Kraft ein Vorzeichen: Mit rechts als positiv sind 10 N nach links $-10\mathrm{N}$.

Was die Bewegung verändert, ist die Nettokraft $\sum \vec{F}$, die vektorielle Summe aller Kräfte auf diesen einen Körper. Schiebst du eine 4-kg-Kiste mit 30 N nach rechts, während ein Freund sie mit 10 N nach links schiebt, dann beträgt die Nettokraft $30-10=20\mathrm{N}$ nach rechts. Die Masse $m$ in Kilogramm misst die Trägheit, also wie stark sich ein Körper einer Änderung seiner Geschwindigkeit widersetzt; sie ist auf der Erde, auf dem Mond und im Weltraum gleich.

Erstes und zweites Gesetz

Bei null Nettokraft ändert sich die Geschwindigkeit nicht: Ein ruhender Körper bleibt in Ruhe, und ein bewegter Körper behält Betrag und Richtung seiner Geschwindigkeit bei.
$\sum \vec{F}=0\iff \vec{v}=\mathrm{const}$
Bewegung selbst braucht keine Kraft; nur eine Änderung der Bewegung braucht eine. Ein Auto, das mit gleichbleibenden 20 m/s gegen 600 N Luft- und Rollwiderstand fährt, braucht eine Antriebskraft von genau 600 N: Die Kräfte gleichen sich aus, das Auto ist im Gleichgewicht.

Wenn sich die Kräfte nicht ausgleichen, beschleunigt der Körper in Richtung der Nettokraft:
$\sum \vec{F}=m\vec{a}$
Verdoppelst du die Nettokraft, verdoppelt sich die Beschleunigung; verdoppelst du die Masse, halbiert sie sich. Die Kiste oben erhält $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$. Das Gesetz definiert auch das Newton: 1 N gibt einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/s², also $1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$.

Gewicht und Freikörperbilder

Das Gewicht ist die Gravitationskraft auf einen Körper. In der Nähe der Erdoberfläche gilt
$W=mg$
mit $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$; das Gewicht ist also eine Kraft in Newton, keine Masse in Kilogramm. Ein 70-kg-Astronaut wiegt $70\cdot 9,81\approx 687\mathrm{N}$ auf der Erde und $70\cdot 1,62\approx 113\mathrm{N}$ auf dem Mond, also etwa ein Sechstel so viel, doch seine Masse beträgt immer noch 70 kg. Eine Unterlage drückt mit einer Normalkraft $N$ senkrecht dagegen, und ein gespanntes Seil zieht mit einer Spannkraft $T$.

Um die Gesetze anzuwenden, zeichne ein Freikörperbild in vier Schritten.

• Isoliere einen Körper und zeichne ihn allein, als Kasten oder Punkt.
• Zeichne jede Kraft ein, die auf diesen Körper wirkt: Gewicht, Normalkraft, Spannkraft, Reibung, Schübe.
• Lass die Kräfte weg, die dieser Körper auf andere ausübt; sie gehören in andere Diagramme.
• Wähle Achsen, am besten eine in Richtung der Beschleunigung, und wende das zweite Gesetz auf jede Achse an.

Als Vektorgleichung zerfällt das Gesetz in eine Gleichung pro Achse:
$\sum F_x=m{a}_x\sum F_y=m{a}_y$
Für einen Block auf einem ebenen Boden ohne vertikale Beschleunigung ergibt die zweite Gleichung $N-mg=0$, also $N=mg$. Auf einer schiefen Ebene oder in einem beschleunigten Aufzug unterscheidet sich die Normalkraft vom Gewicht.

Das dritte Gesetz: Kräfte treten paarweise auf

Kräfte sind Wechselwirkungen und treten daher paarweise auf. Wenn Körper A auf Körper B drückt, drückt B mit einer Kraft gleicher Größe in entgegengesetzter Richtung auf A:
${\vec{F}}_{AB}=-{\vec{F}}_{BA}$
wobei ${\vec{F}}_{AB}$ die Kraft ist, die A auf B ausübt. Die beiden Kräfte sind von gleicher Art und wirken im selben Moment, aber auf verschiedene Körper; daher heben sie sich nie auf und erscheinen nie im selben Freikörperbild.

Ein Buch auf einem Tisch spürt sein Gewicht und die Normalkraft des Tisches. Diese gleichen sich aus, sind aber kein Kraftpaar nach dem dritten Gesetz: Beide wirken auf das Buch, und sie sind nur gleich groß, weil das Buch nicht beschleunigt. Der Partner des Gewichts ist die Anziehung des Buches auf die Erde. Bei einem Unfall spüren ein 1000-kg-Auto und ein 6000-kg-Lkw dieselbe Kraft, etwa 30 kN, die dem Auto 30 m/s² gibt, dem Lkw aber nur 5 m/s².

Durchgerechnetes Beispiel: die Blöcke aus der Animation

Die Animation schiebt einen leichten Block, $m_1=2\mathrm{kg}$, und einen schweren, $m_2=5\mathrm{kg}$, mit derselben waagerechten Kraft $F=20\mathrm{N}$: Die roten Pfeile sind gleich lang. Die Böden sind reibungsfrei, und jedes Gewicht wird von der Normalkraft ausgeglichen (19,62 N bzw. 49,05 N), daher ist der Schub die Nettokraft:
$a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{20}{2}=10m/{\mathrm{s}}^2,a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{20}{5}=4m/{\mathrm{s}}^2$

Beide Blöcke starten aus der Ruhe, daher gilt nach $t=3\mathrm{s}$
$v_1=a_{1}t=10\cdot 3=30m/s,v_2=a_{2}t=4\cdot 3=12m/s$
Das sind die Endwerte auf den Anzeigen $v_1$ und $v_2$, die jede Sekunde um 10 bzw. 4 m/s wachsen. Mit $x=\frac{1}{2}a{t}^2$ legen die Blöcke 45 m und 18 m zurück. Die grauen Markierungen zeigen die Vorderkanten nach 0, 1 und 2 s: Der leichte Block hat sich 5 m und dann 20 m weit bewegt, der schwere 2 m und dann 8 m. Zu jedem Zeitpunkt sind Geschwindigkeit und Strecke des leichten Blocks 2,5-mal so groß wie die des schweren, der Kehrwert des Massenverhältnisses.

Durchgerechnetes Beispiel: eine Waage im Aufzug

Du stehst in einem Aufzug auf einer Badezimmerwaage. Deine Masse beträgt 70 kg, und der Aufzug fährt mit einer Beschleunigung von 1,0 m/s² nach oben los. Zwei Kräfte wirken auf dich: dein Gewicht, $mg=686,7\mathrm{N}$, nach unten, und die Normalkraft $N$ der Waage nach oben. Mit Richtung nach oben als positiv liefert das zweite Gesetz
$N-mg=ma\Rightarrow N=m(g+a)=70\cdot (9,81+1,0)\approx 757\mathrm{N}$

Nach dem dritten Gesetz drückst du mit denselben 757 N nach unten auf die Waage, und genau das misst sie; eine in Kilogramm geeichte Waage teilt durch 9,81 und zeigt 77,1 kg. Bei konstanter Geschwindigkeit zeigt sie deine wahren 70 kg. Während der Aufzug kurz vor dem Ziel bremst, ist $a=-1,0m/{\mathrm{s}}^2$, und die Anzeige sinkt auf $70\cdot 8,81\approx 617\mathrm{N}$ bzw. 62,9 kg. Im freien Fall würde sie null anzeigen: Schwerelosigkeit bedeutet keine Stützkraft, nicht keine Schwerkraft.

Häufige Fehler

• Bewegung braucht keine Nettokraft: Das Auto mit gleichbleibenden 20 m/s gegen 600 N Widerstand wird von genau 600 N angetrieben, mehr würde es beschleunigen.
• Masse ist nicht Gewicht: Der 70-kg-Astronaut wiegt 687 N auf der Erde und 113 N auf dem Mond, und doch ist er an beiden Orten gleich schwer zu beschleunigen.
• Die Normalkraft ist nicht immer $mg$: Im beschleunigten Aufzug beträgt sie 757 N, während dein Gewicht 687 N beträgt.
• Verwende die Nettokraft, nicht eine einzelne Kraft: Die Kiste, die mit 30 N in die eine und 10 N in die andere Richtung geschoben wird, erhält $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$, nicht $30/4=7,5m/{\mathrm{s}}^2$.

Wo dir das begegnet

Knautschzonen und Sicherheitsgurte nutzen $a=F/m$ rückwärts: Verteilt man einen Aufprall auf eine längere Zeit, sinken Beschleunigung und damit Kraft auf die Insassen. Raketen, Schwimmer und Fußgänger drücken etwas nach hinten und werden vom Partner dieser Kraft nach dem dritten Gesetz nach vorn gedrückt. Als Nächstes folgen Reibung und schiefe Ebene, Kreisbewegung, bei der die Nettokraft die Geschwindigkeit dreht, sowie Gravitation und Umlaufbahnen. Impuls und Stöße sowie Arbeit, Energie und Leistung ergeben sich aus dem zweiten Gesetz, über Zeit und Strecke aufsummiert.

Fortgeschritten

Kraft als zeitliche Änderung des Impulses

Newtons zweites Gesetz begegnet uns meist als $\vec{F}=m\vec{a}$. Seine allgemeine Form verwendet den Impuls $\vec{p}=m\vec{v}$, und wenn man es als Aussage über Vektoren liest, wird sofort klar, wie eine Kraft einen Körper beschleunigen, abbremsen oder drehen kann.

Legende

$\vec{F}$	Nettokraft auf den Körper am Punkt.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\parallel }$	Anteil von $\vec{F}$ entlang der Bewegung: Er ändert die Geschwindigkeit.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\perp }$	Anteil von $\vec{F}$ quer zur Bewegung, zur Innenseite der Kurve: Er dreht die Bahn.	$\mathrm{N}$
$\vec{p}$	Impuls $m\vec{v}$ des Körpers, in Bewegungsrichtung.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$d\vec{p}$	Impulsänderung in kurzer Zeit $dt$: $d\vec{p}=\vec{F}dt$, zeigt in die Richtung von $\vec{F}$.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Impuls kurze Zeit später: $\vec{p}+d\vec{p}$, länger als $\vec{p}$ und gedreht.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

Abbildung 1 verfolgt einen Körper in einer Kurve: Die schwarze Kurve ist seine Bahn, und die Pfeilspitze zeigt die Bewegungsrichtung. Links siehst du den Punkt. Die Nettokraft $\vec{F}$ auf den Körper wird in zwei senkrechte Anteile zerlegt. Der Anteil ${\vec{F}}_{\parallel }$ liegt in Bewegungsrichtung; er ändert den Betrag der Geschwindigkeit und lässt die Richtung unverändert. Der Anteil ${\vec{F}}_{\perp }$ zeigt quer zur Bewegung, zur Innenseite der Kurve; er ändert die Richtung und lässt den Betrag unverändert. Eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist der Fall, in dem nur ${\vec{F}}_{\perp }$ vorhanden ist.

Rechts ist derselbe Moment mit Impulsen dargestellt. In einer kurzen Zeit $dt$ ändert sich der Impuls $\vec{p}$ um $d\vec{p}=\vec{F}dt$, daher ist $d\vec{p}$ parallel zu $\vec{F}$, nicht zu $\vec{p}$. Setzt man ihn an die Spitze von $\vec{p}$, ergibt sich der neue Impuls ${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}+d\vec{p}$. Vergleicht man nun ${\vec{p}}^{\prime }$ mit dem gestrichelten Bogen, dessen Radius $|\vec{p}|$ ist, liegt die Spitze von ${\vec{p}}^{\prime }$ außerhalb des Bogens: Der Impuls ist gewachsen, und ${\vec{p}}^{\prime }$ zeigt außerdem in eine neue Richtung. Der parallele Anteil der Kraft bewirkte das Wachstum, der senkrechte Anteil die Drehung.

Als Gleichung geschrieben ist dies das zweite Gesetz in seiner allgemeinen Form: Die Nettokraft auf einen Körper ist gleich der Änderungsrate seines Impulses,
$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$
Bei konstanter Masse gilt $d\vec{p}/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$, die vertraute Form. Eine Vektorgleichung ist zugleich drei Gleichungen, eine für jede Achse; mit Punkten für Zeitableitungen ($\ddot{x}=d^{2}x/d{t}^2$)
$m\ddot{x}=F_x,m\ddot{y}=F_y,m\ddot{z}=F_z$

Jede davon ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung: Sie enthält die zweite Ableitung der Position. Zum Lösen braucht man deshalb pro Achse zwei Anfangswerte, die Anfangsposition und die Anfangsgeschwindigkeit. Mit diesen und der Kraft ist die Bewegung für alle späteren Zeiten festgelegt. Beachte, was das Gesetz verknüpft: Die Nettokraft bestimmt die Beschleunigung, unabhängig davon, wie schnell sich der Körper gerade bewegt. Ein Körper kann sich schnell bewegen, ohne dass eine Kraft auf ihn wirkt, und ein Ball am höchsten Punkt seines Wurfs ist für einen Augenblick in Ruhe und beschleunigt dabei trotzdem mit $g$.

Inertialsysteme: was das erste Gesetz hinzufügt

Das erste Gesetz ist mehr als der Spezialfall $\sum \vec{F}=0$ des zweiten. Es behauptet, dass es Bezugssysteme gibt, in denen sich ein kräftefreier Körper geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Diese heißen Inertialsysteme, und nur in ihnen gilt $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ in der geschriebenen Form. Jedes Bezugssystem, das sich gegenüber einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem, denn dieselbe konstante Geschwindigkeit zu allen Körpern zu addieren, ändert keine Beschleunigung. Beschleunigte Bezugssysteme brauchen eine Korrektur, die weiter unten beschrieben wird.

Impuls und Arbeit: Flächen unter der Kraft

Summiert man eine Kraft über die Zeit, erhält man die Impulsänderung; summiert man sie über die Strecke, erhält man die Änderung der kinetischen Energie. Diese beiden Sätze führen von Newtons Gesetzen zu den Erhaltungssätzen, und Abbildung 2 zeigt beide für den Schub der Animation.

Legende

$F$	Konstante Kraft, die jeden Block schiebt.	$\mathrm{N}$
$t$	Zeit seit Beginn des Schubs.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Dauer des Schubs.	$\mathrm{s}$
$J$	Kraftstoß: die Fläche unter $F(t)$, $J=F\Delta t$. Er ist gleich dem gewonnenen Impuls.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$
$x$	Position eines Blocks auf dem Boden, gemessen vom Beginn des Schubs.	$\mathrm{m}$
$m_1$	Der leichte Block.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Der schwere Block.	$\mathrm{kg}$
$x_1$	Strecke, die der leichte Block während $\Delta t$ zurücklegt.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Strecke, die der schwere Block während $\Delta t$ zurücklegt.	$\mathrm{m}$
$W_1$	Arbeit am leichten Block: die Fläche unter $F(x)$ bis $x_1$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Arbeit am schweren Block: die Fläche unter $F(x)$ bis $x_2$.	$\mathrm{J}$

In Abbildung 2 wirkt dieselbe konstante Kraft $F=20\mathrm{N}$ für $\Delta t=3\mathrm{s}$ auf den leichten Block $m_1=2\mathrm{kg}$ und auf den schweren Block $m_2=5\mathrm{kg}$. Das linke Diagramm zeigt die Kraft über der Zeit $t$. Es ist eine waagerechte Linie, und die schraffierte Fläche darunter, $F\Delta t$, ist der Kraftstoß $J$. Dieses Diagramm gilt für beide Blöcke gleichermaßen, weil beide dieselbe Kraft für dieselbe Zeit spüren. Die beiden Diagramme rechts zeigen die Kraft über der Position $x$ jedes Blocks. Ihre Höhen sind gleich, ihre Breiten aber nicht: Der leichte Block wird über die größere Strecke $x_1$ geschoben, der schwere nur über $x_2$. Daher sind die schraffierten Flächen, die Arbeiten $W_1$ und $W_2$, ungleich.

Zuerst die Bewegung selbst. Unter dem Schub von 20 N ist die Beschleunigung $a=F/m$ konstant 10 m/s² beim leichten Block und 4 m/s² beim schweren. In den Diagrammen der Lektion ist $a(t)$ daher eine waagerechte Linie und $v(t)$ eine Gerade, deren Steigung diese Beschleunigung ist. Die Fläche unter $a(t)$ über die 3 s ist der Geschwindigkeitszuwachs, $10\cdot 3=30m/s$ bzw. $4\cdot 3=12m/s$. Aus der Ruhe heraus legt jeder Block $\frac{1}{2}a(\Delta t{)}^2$ zurück, also $x_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2=45\mathrm{m}$ und $x_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3^2=18\mathrm{m}$.

Über die Zeit: Man integriere $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ von $0$ bis $t$. Die linke Seite wird zum Kraftstoß, die rechte zur Impulsänderung:
${\int }_0^t\vec{F}d{t}^{\prime }=\vec{p}(t)-\vec{p}(0)$
Beide Blöcke starten aus der Ruhe und erhalten den Kraftstoß $J=F\Delta t=20\cdot 3=60\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$, daher endet jeder mit demselben Impuls, $2\cdot 30=5\cdot 12=60\mathrm{kg}\cdot m/s$.

Über die Strecke: Mit der Kettenregel lässt sich die Beschleunigung als $a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx$ schreiben. Dann wird $F=ma$ zu $Fdx=mvdv$, und die Integration beider Seiten vom Beginn bis zum Ende des Schubs ergibt den Arbeits-Energie-Satz:
${\int }_{x_0}^{x}Fd{x}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
Für den leichten Block ist die Arbeit $W_1=F{x}_1=20\cdot 45=900\mathrm{J}$, und tatsächlich ist $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 30^2=900\mathrm{J}$. Für den schweren Block gilt $W_2=20\cdot 18=360\mathrm{J}$, was $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12^2$ entspricht.

Das Ergebnis: gleiche Impulse, aber kinetische Energien im Verhältnis 2,5. Der Grund ist $E_k=p^2/(2m)$: Bei gleichem Impuls trägt der leichtere Körper mehr Energie. Er bewegt sich schneller, legt also während der Einwirkung der Kraft eine größere Strecke zurück, und die Kraft verrichtet an ihm mehr Arbeit.

Was dem zweiten Gesetz seinen Inhalt gibt

Würde $\vec{F}=m\vec{a}$ die Kraft nur definieren, sagte es nichts voraus: Jede beobachtete Beschleunigung ließe sich einer eigens dafür erfundenen Kraft zuschreiben. Das Gesetz hat Inhalt, weil sich Kräfte unabhängig von den Bewegungen kennen lassen, die sie verursachen. Drei Tatsachen machen dies möglich. Jede Kraft hat eine Quelle, einen anderen Körper in der Nähe oder ein Feld, das ein Körper erzeugt; ein Körper, der weit von allem entfernt ist, spürt daher keine Kraft. Kräfte addieren sich als Vektoren. Und Kräfte folgen eigenen Gesetzen: der Schwerkraft $GMm/r^2$, der Federkraft $-kx$, der elektrischen Kraft zwischen Ladungen und der Reibung, die etwa proportional zur Normalkraft ist.

Auch die Masse lässt sich messen, ohne sich im Kreis zu drehen. Man lasse zwei Körper einander auseinanderschieben, etwa mit einer zusammengedrückten Feder zwischen ihnen. Nach dem dritten Gesetz sind die beiden Kräfte gleich groß und entgegengesetzt, daher verhalten sich die Beschleunigungen umgekehrt wie die Massen, $a_1/a_2=m_2/m_1$. Die gleichen Schübe der Animation ergeben dasselbe Verhältnis, $10/4=5/2$. Ist ein Körper als Masseneinheit gewählt, misst man damit jeden anderen.

Mit bekannten Massen und Kraftgesetzen wird das zweite Gesetz zu einer Vorhersagemaschine. Die gegenwärtige Position und Geschwindigkeit ergeben die Kraft; die Kraft ergibt die Beschleunigung; die Beschleunigung ergibt Position und Geschwindigkeit einen Augenblick später; und der Schritt wiederholt sich. Mit einer Federkraft $-kx$ ergibt sich eine Schwingung; mit der Gravitation $GMm/r^2$ eine elliptische Umlaufbahn.

Das dritte Gesetz und die Impulserhaltung

Das dritte Gesetz besagt: Wenn zwei Körper $A$ und $B$ aufeinander wirken, sind die Kraft ${\vec{F}}_{AB}$, die $A$ auf $B$ ausübt, und die Kraft ${\vec{F}}_{BA}$, die $B$ auf $A$ ausübt, gleich groß und entgegengesetzt. Zusammen mit dem allgemeinen zweiten Gesetz liefert es den nützlichsten Erhaltungssatz der Mechanik.

Man betrachte zwei Körper, die nur miteinander wechselwirken. Der Impuls jedes Körpers ändert sich mit der Rate, die durch die Kraft auf ihn bestimmt ist: $d{\vec{p}}_B/dt={\vec{F}}_{AB}$ und $d{\vec{p}}_A/dt={\vec{F}}_{BA}$. Addiert man beides und verwendet das dritte Gesetz,
$\frac{d}{dt}\left({\vec{p}}_A+{\vec{p}}_B\right)={\vec{F}}_{AB}+{\vec{F}}_{BA}=0$
so ändert sich der Gesamtimpuls nie. Zum Beispiel stößt eine Feder zwei Wagen mit 2 kg und 5 kg, die aus der Ruhe starten, auseinander. Ihr Gesamtimpuls bleibt null, daher bewegen sie sich in entgegengesetzte Richtungen mit Geschwindigkeiten im Verhältnis 5 zu 2, etwa 2,5 m/s und 1,0 m/s, egal wie der Schub während des Loslassens schwankte.

Für viele Körper gilt dasselbe Argument paarweise. Die inneren Kräfte heben sich auf, übrig bleibt $d\vec{P}/dt=\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$, wobei $\vec{P}$ der Gesamtimpuls ist und $\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ die Summe der äußeren Kräfte. Da $\vec{P}$ gleich der Gesamtmasse mal der Geschwindigkeit des Schwerpunkts ist, bewegt sich der Schwerpunkt wie ein einzelner Punkt, der die ganze Masse trägt. Deshalb darf man jeden Block der Animation als Punkt behandeln.

Die Impulserhaltung ist belastbarer als das dritte Gesetz selbst. Kräfte zwischen getrennten Körpern können nicht augenblicklich reagieren, denn keine Wirkung breitet sich schneller als das Licht aus, und die magnetischen Kräfte zwischen zwei bewegten Ladungen sind im Allgemeinen nicht gleich und entgegengesetzt. Dennoch bleibt der Gesamtimpuls erhalten, sobald man den Impuls mitzählt, den das elektromagnetische Feld trägt.

Beschleunigte Bezugssysteme und Scheinkräfte

Newtons Gesetze gelten nur in Inertialsystemen, doch beschreiben wir Bewegungen oft aus einem Auto, einem Aufzug oder der sich drehenden Erde. In einem solchen Bezugssystem lassen sich die Gesetze durch das Hinzufügen von Scheinkräften retten. Abbildung 3 zeigt dies für einen bremsenden Bus.

Legende

$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Busses relativ zur Straße.	$m/s$
${\vec{a}}_B$	Beschleunigung des Busses, des Bezugssystems $B$, relativ zur Straße; sie zeigt nach hinten, weil der Bus bremst.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{F}$	Kraft des Sicherheitsgurts auf den Passagier: eine echte Kraft, ausgeübt von einem Körper.	$\mathrm{N}$
$m{\vec{a}}_B$	Masse $m$ des Passagiers mal ${\vec{a}}_B$. Der gestrichelte Pfeil ist die Scheinkraft $-m{\vec{a}}_B$, die nach vorn zeigt; niemand übt sie aus.	$\mathrm{N}$

Relativ zur Straße, die wir als Inertialsystem annehmen, bewegt sich der Bus in Abbildung 3 mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ nach vorn, seine Beschleunigung ${\vec{a}}_B$ zeigt aber nach hinten, weil er bremst. Nun beschreibe man die Bewegung aus einem Bezugssystem $B$, das am Bus befestigt und nicht gedreht ist. Die Position eines Körpers relativ zur Straße ist die Position des Busses plus die Position des Körpers relativ zum Bus. Zweimal abgeleitet addieren sich die Beschleunigungen auf dieselbe Weise, $\vec{a}={\vec{a}}_B+{\vec{a}}^{\prime }$, wobei ${\vec{a}}^{\prime }$ die vom Bus aus gesehene Beschleunigung ist. Also ${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}-{\vec{a}}_B$; multipliziert man mit $m$ und verwendet $m\vec{a}=\sum \vec{F}$, erhält man
$m{\vec{a}}^{\prime }=\sum \vec{F}-m{\vec{a}}_B$

Der zusätzliche Term $-m{\vec{a}}_B$ wirkt wie eine Kraft, die proportional zur Masse ist; im Bild ist er der gestrichelte Pfeil. Aber kein Körper übt ihn aus, und er hat keinen Partner nach dem dritten Gesetz. Daran erkennt man eine Scheinkraft.

Betrachte nun den Passagier mit 60 kg, während der Bus mit 4 m/s² bremst. Vom Inneren des Busses aus scheint der Passagier nach vorn gedrückt zu werden, mit $m{a}_B=60\cdot 4=240\mathrm{N}$. Von der Straße aus gesehen schiebt niemand den Passagier nach vorn: Er bewegt sich einfach weiter, bis der Sicherheitsgurt die echte Kraft $\vec{F}$ von 240 N nach hinten aufbringt. Diese Kraft allein gibt dem Passagier dieselbe Beschleunigung ${\vec{a}}_B$ wie dem Bus. Vom Inneren des Busses aus bleibt der Passagier in Ruhe, ${\vec{a}}^{\prime }=0$, weil sich $\vec{F}$ und die Scheinkraft $-m{\vec{a}}_B$ ausgleichen, wie die beiden waagerechten Pfeile am Passagier zeigen.

Andere beschleunigte Bezugssysteme funktionieren genauso. In einem Aufzug, der mit 1,0 m/s² nach oben beschleunigt, zeigt die Scheinkraft nach unten und addiert sich zur Schwerkraft, sodass sich alles im Inneren verhält, als wäre $g$ gleich $9,81+1,0=10,81m/{\mathrm{s}}^2$. Ein rotierendes Bezugssystem braucht zwei Scheinkräfte: die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft, die nur auf Körper wirkt, die sich relativ zum rotierenden System bewegen. Die Erdoberfläche ist ein solches System. Mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ der Erde und ihrem Radius $R$ hat der Boden am Äquator die Zentripetalbeschleunigung ${\omega }^{2}R\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, nur etwa 0,35 % von $g$; dennoch entscheidet die Corioliskraft, in welche Richtung Wirbelstürme drehen. Schließlich sind Scheinkräfte wie die Schwerkraft proportional zur Masse, daher kann kein Experiment in einem geschlossenen Labor seine eigene Beschleunigung von der Schwerkraft unterscheiden. Dieser Hinweis führte zur allgemeinen Relativitätstheorie.

Durchgerechnetes Problem: ein hängender Block zieht

Dieses Problem ersetzt die Hand der Animation durch die Schwerkraft. Es zeigt die Standardmethode für verbundene Körper: ein Freikörperbild für jeden Körper (eine Skizze dieses Körpers allein mit allen auf ihn wirkenden Kräften) plus eine Bedingung, die ihre Bewegungen verknüpft.

Legende

$m_1$	Der hängende Block.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Der Block auf dem Tisch.	$\mathrm{kg}$
$\vec{T}$	Kraft des Seils auf einen Block; ihr Betrag $T$ ist die Spannkraft, an beiden Enden des Seils gleich.	$\mathrm{N}$
$\vec{a}$	Beschleunigung, für beide Blöcke gleich groß.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$m_1\vec{g}$	Gewicht des hängenden Blocks.	$\mathrm{N}$

In Abbildung 4 liegt der Block $m_2=5\mathrm{kg}$ auf einem reibungsfreien Tisch. Ein leichtes Seil läuft von ihm über eine leichte, reibungsfreie Rolle zum hängenden Block $m_1=2\mathrm{kg}$. Das Gewicht des hängenden Blocks beträgt $m_{1}g=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, fast die 20 N Schub der Animation. Gesucht sind die Beschleunigung $a$ und die Seilspannung $T$.

Zwei Tatsachen verknüpfen die Blöcke. Das Seil behält seine Länge, daher legen beide Blöcke in derselben Zeit dieselbe Strecke zurück und teilen sich die Beschleunigung $\vec{a}$: nach rechts für $m_2$, nach unten für $m_1$, wie die beiden mit $\vec{a}$ beschrifteten Pfeile zeigen. Und weil Seil und Rolle leicht und reibungsfrei sind, zieht das Seil an beiden Enden mit derselben Kraft, den beiden mit $\vec{T}$ beschrifteten Pfeilen. Nun nehme man die Bewegungsrichtung entlang des Seils als positiv für jeden Block. Der gleitende Block hat nur $T$ in Bewegungsrichtung; sein Gewicht und die Normalkraft heben sich auf, daher lässt die Abbildung sie weg. Der hängende Block hat sein Gewicht $m_{1}g$ nach unten, in Bewegungsrichtung, und $T$ nach oben, entgegen der Bewegung. Das zweite Gesetz für jeden Block lautet
$m_{2}a=T,m_{1}a=m_{1}g-T$
Mit Zahlen: $5a=T$ und $2a=19,62-T$. Addiert man beide Gleichungen, verschwindet die unbekannte Spannung und es bleibt $7a=19,62$, also
$a=\frac{m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{19,62}{7}\approx 2,80m/{\mathrm{s}}^2,T=m_{2}a\approx 14,0\mathrm{N}$

Nun zum Ergebnis. Von einer Hand mit 20 N geschoben, beschleunigte der 5-kg-Block mit 4 m/s²; von einer Gewichtskraft von 19,62 N gezogen, beschleunigt er nur mit 2,80 m/s². Die ziehende Kraft ist nahezu dieselbe, muss nun aber 7 kg beschleunigen, weil der hängende Block ebenfalls beschleunigt werden muss. Die Spannung, 14,0 N, ist kleiner als das hängende Gewicht, weshalb der Pfeil $\vec{T}$ am hängenden Block kürzer ist als $m_1\vec{g}$. Die Differenz $m_{1}g-T=m_{1}a\approx 5,6\mathrm{N}$ ist die Nettokraft, die den hängenden Block beschleunigt; wären Spannung und Gewicht gleich, könnte er gar nicht beschleunigen. Drei Sekunden nach dem Start aus der Ruhe bewegen sich die Blöcke mit $2,80\cdot 3\approx 8,4m/s$ und haben $\frac{1}{2}\cdot 2,80\cdot 3^2\approx 12,6\mathrm{m}$ zurückgelegt.

Zwei Kontrollen. Setzt man $a$ in $T=m_{2}a$ ein, ergibt sich $T=m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$, was in den beiden Massen symmetrisch ist. Vertauscht man die Blöcke, sodass der 5-kg-Block hängt, wird die Beschleunigung $a=49,05/7\approx 7,01m/{\mathrm{s}}^2$, die Spannung bleibt aber bei etwa 14,0 N. Und die Grenzfälle ergeben Sinn: Ist die hängende Masse viel größer, gilt $a\to g$, und sie fällt fast frei; ist sie winzig, gilt $a\to 0$, und die Spannung nähert sich dem Eigengewicht des hängenden Blocks, als hinge er einfach in Ruhe.

Grenzen der Gültigkeit

Newtons Gesetze, wie sie hier formuliert sind, beschreiben punktförmige Körper oder die Schwerpunkte ausgedehnter Körper in Inertialsystemen, bei Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit und auf Skalen weit oberhalb der Atome. Jede dieser Bedingungen markiert eine Grenze.

Die Drehung eines ausgedehnten Körpers braucht ein eigenes Gesetz, mit dem Drehmoment anstelle der Kraft und dem Trägheitsmoment anstelle der Masse. Kontaktkräfte wie Spannkraft und Normalkraft sind selbst der gemittelte Effekt unzähliger elektrischer Kräfte zwischen Atomen; Newtons Gesetze nehmen sie als gegeben hin, statt sie zu erklären.

Bei hoher Geschwindigkeit bleibt $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ gültig, doch der Impuls wird $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, mit dem Lorentz-Faktor $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ und $c$ als Lichtgeschwindigkeit. Eine konstante Kraft, die aus der Ruhe wirkt, ergibt immer noch $p=Ft$; löst man $\gamma mv=Ft$ nach $v$ auf, erhält man
$v=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+{\left(Ft/(mc)\right)}^2}}$
was sich $c$ nähert, es aber nie erreicht. Schiebe den 2-kg-Block weiter mit 20 N. Die newtonsche Antwort $v=Ft/m$ würde nach etwa 347 Tagen $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ erreichen; in diesem Moment ist $Ft/(mc)=1$, also beträgt die wahre Geschwindigkeit nur $c/\sqrt{2}\approx 0,71c$. Bei den 30 m/s der Animation liegt die relativistische Korrektur in der Größenordnung $v^2/c^2\approx 10^{-14}$, weit unter allem Messbaren.

Auf atomaren Skalen hat ein Teilchen keine scharfe Bahn, und die Quantenmechanik ersetzt $\vec{F}=m\vec{a}$. Newtons Gesetz kehrt als Gesetz für die mittlere Bewegung großer Körper zurück.

Wohin das führt

Der größte Teil der klassischen Mechanik ist das zweite Gesetz plus ein Kraftgesetz. Reibung und schiefe Ebene fügt die Kräfte rauer Oberflächen hinzu; Kreisbewegung untersucht die Nettokraft, die nur die Geschwindigkeit dreht; Gravitation und Umlaufbahnen bringt das Gravitationsgesetz, das die Planeten erklärt. Über Zeit und Strecke aufsummiert werden die Gesetze zu Impuls und Stöße sowie Arbeit, Energie und Leistung. Auf rotierende Körper angewandt ergeben sie Rotationsdynamik und Drehmoment; mit einer Federkraft Harmonische Schwingung; mit einer mit der Geschwindigkeit wachsenden Kraft Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit. Bei hohen Geschwindigkeiten weichen sie der Speziellen Relativitätstheorie, und die Gleichheit von träger und schwerer Masse öffnet den Weg zur Gravitation als gekrümmte Raumzeit.