न्यूटन के गति के नियम

वस्तुएँ क्यों चलना शुरू करती हैं, रुकती हैं और घूमती हैं: बल $F$ , द्रव्यमान $m$ और उन्हें जोड़ने वाले तीन नियम, जिनके केंद्र में $\sum F = m a$ है।

एक ही बल F एक हल्के ब्लॉक (m) और 2.5 गुना भारी ब्लॉक (2.5m) को धकेलता है। हल्का ब्लॉक 2.5 गुना अधिक त्वरण पाता है, इसलिए वह लगातार आगे निकलता जाता है।

इस विषय से पहले: सरल रेखा में गति

शुरुआती

मुख्य विचार

बल धक्का या खिंचाव है, जिसे न्यूटन (N) में मापते हैं; बल तीरों की तरह जुड़कर एक परिणामी बल बनाते हैं।
परिणामी बल न हो तो स्थिर वस्तु स्थिर रहती है और चलती वस्तु उसी चाल से सीधी रेखा में चलती रहती है।
वही धक्का हल्की वस्तु को भारी वस्तु से अधिक तेज़ी से चलाता है: त्वरण = बल ÷ द्रव्यमान।
द्रव्यमान (kg) हर जगह एक-सा रहता है; भार गुरुत्व का खिंचाव है, जो चंद्रमा पर लगभग छठा भाग होता है।
बल जोड़ियों में आते हैं और अलग-अलग वस्तुओं पर लगते हैं: दीवार को धकेलें तो वह भी उतने ही बल से आपको धकेलती है।

बल धक्का या खिंचाव है। कुछ बलों के लिए स्पर्श चाहिए, जैसे पैर से गेंद को लात मारना या रस्सी से स्लेज खींचना; दूसरे बल खाली जगह के पार काम करते हैं, जैसे गुरुत्व या चुंबक। बलों को न्यूटन (N) में मापा जाता है।

बलों की दिशा होती है, इसलिए वे तीरों की तरह जुड़ते हैं। किसी बक्से को 30 N से दाईं ओर धकेलें और आपका दोस्त 20 N से बाईं ओर धकेले, तो परिणामी बल 10 N दाईं ओर होगा।

त्वरित जाँच: अगर आपका दोस्त भी 30 N से धकेले तो? (परिणामी बल शून्य होगा।)

पहला नियम: परिणामी बल शून्य हो तो स्थिर वस्तु स्थिर रहती है, और चलती वस्तु उसी चाल से सीधी रेखा में चलती रहती है। धकेला गया सोफ़ा हाथ छोड़ने पर इसलिए रुकता है क्योंकि उस पर घर्षण, यानी फ़र्श का बल, लगता है। चिकनी बर्फ़ पर हॉकी का पक (puck) फिसलता रहता है।

दूसरा नियम: परिणामी बल गति बदलता है, और त्वरण = परिणामी बल ÷ द्रव्यमान। बल दोगुना, तो त्वरण दोगुना; द्रव्यमान दोगुना, तो त्वरण आधा। एनिमेशन में वही धक्का (लाल तीर) घर्षणरहित फ़र्श पर 2 kg और 5 kg के ब्लॉकों पर लगता है, इसलिए हल्का ब्लॉक अपनी चाल 2.5 गुना तेज़ी से बढ़ाता है।

त्वरित जाँच: 6 kg की ट्रॉली पर 18 N का परिणामी बल लगता है। उसका त्वरण क्या है? (3 m/s²।)

द्रव्यमान भार नहीं है। द्रव्यमान किलोग्राम में बताता है कि वस्तु की चाल बदलना कितना कठिन है, और यह हर जगह एक-सा रहता है; भार गुरुत्व का खिंचाव है, न्यूटन में मापा जाता है, और चंद्रमा पर लगभग छठा भाग होता है।

तीसरा नियम: बल जोड़ियों में आते हैं। दीवार को धकेलें तो वह भी उतने ही बल से आपको धकेलती है; कूदें, तो आप पृथ्वी को नीचे धकेलते हैं और वह आपको ऊपर। दोनों बल अलग-अलग वस्तुओं पर लगते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को कभी निरस्त नहीं करते।

मध्यम

मुख्य विचार

परिणामी बल का प्रयोग करें, यानी किसी एक पिंड पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग: $\sum F = m a$ ।
$\sum F = 0$ का अर्थ शून्य त्वरण है: पिंड स्थिर है या स्थिर वेग से चलता है। गति अपने-आप में बल नहीं माँगती।
द्रव्यमान (kg) जड़त्व मापता है। भार $W = m g$ (N) वह बल है जो स्थानीय गुरुत्व पर निर्भर करता है।
मुक्त-पिंड आरेख: एक वस्तु, उस पर लगे सभी बल, फिर हर अक्ष के अनुदिश $\sum F = ma$ ।
तीसरे नियम के बल युग्म अलग-अलग पिंडों पर लगते हैं, इसलिए वे कभी एक ही मुक्त-पिंड आरेख में नहीं आते और न ही निरस्त होते हैं।

बल, द्रव्यमान और परिणामी बल

बल वह धक्का या खिंचाव है जो एक पिंड दूसरे पर लगाता है, जैसे पृथ्वी का किसी गिरते सेब को खींचना। यह एक सदिश $F$ है, जिसका परिमाण न्यूटन (N) में और एक दिशा होती है। सीधी रेखा पर चलते हुए एक धनात्मक दिशा चुनें और हर बल को चिह्न दें: दाईं दिशा को धन मानें तो बाईं ओर 10 N का बल $- 10 N$ है।

गति को बदलता है परिणामी बल $\sum F$ , यानी उसी एक पिंड पर लगे सभी बलों का सदिश योग। एक 4 kg के बक्से को एक व्यक्ति 30 N से दाईं ओर धकेले और दोस्त 10 N से बाईं ओर, तो परिणामी बल $30 - 10 = 20 N$ दाईं ओर होगा। द्रव्यमान $m$ , किलोग्राम में, जड़त्व का माप है, यानी वस्तु वेग में बदलाव का कितना विरोध करती है; यह पृथ्वी पर, चंद्रमा पर और गहरे अंतरिक्ष में एक-सा रहता है।

पहला और दूसरा नियम

शून्य परिणामी बल पर वेग नहीं बदलता: स्थिर वस्तु स्थिर रहती है, और चलती वस्तु उसी चाल और दिशा में चलती रहती है।
$\sum F = 0 \Leftrightarrow v = const$
गति अपने-आप में बल नहीं माँगती; केवल गति में बदलाव के लिए बल चाहिए। 600 N के वायु-अवरोध और लोटन प्रतिरोध के विरुद्ध 20 m/s की स्थिर चाल से चलती कार को ठीक 600 N के चालक बल की आवश्यकता होती है: बल संतुलित हैं, और कार साम्यावस्था में है।

जब बल संतुलित नहीं होते, तो पिंड परिणामी बल की दिशा में त्वरित होता है:
$\sum F = m a$
परिणामी बल दोगुना करें तो त्वरण दोगुना; द्रव्यमान दोगुना करें तो त्वरण आधा। ऊपर वाले बक्से का त्वरण $a = 20/4 = 5 m/ s^{2}$ है। यह नियम न्यूटन को भी परिभाषित करता है: 1 N, 1 kg के द्रव्यमान में 1 m/s² का त्वरण देता है, अतः $1 N = 1 kg \cdot m/ s^{2}$ ।

भार और मुक्त-पिंड आरेख

भार किसी पिंड पर लगा गुरुत्वीय बल है। पृथ्वी की सतह के पास
$W = m g$
जहाँ $g = 9.81 m/ s^{2}$ है, इसलिए भार न्यूटन में मापा गया बल है, किलोग्राम में मापा गया द्रव्यमान नहीं। 70 kg के अंतरिक्ष यात्री का भार पृथ्वी पर $70 \cdot 9.81 \approx 687 N$ है और चंद्रमा पर $70 \cdot 1.62 \approx 113 N$ , यानी लगभग एक-छठा, फिर भी उसका द्रव्यमान 70 kg ही रहता है। कोई सतह उसके लंबवत एक अभिलंब बल $N$ से पीछे धकेलती है, और तनी हुई रस्सी तनाव $T$ से खींचती है।

नियमों के उपयोग के लिए चार चरणों में मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।

एक पिंड को अलग करके अकेला बनाएँ, जैसे एक बक्सा या एक बिंदु।
उस पर लगने वाले हर बल को बनाएँ: भार, अभिलंब बल, तनाव, घर्षण, धक्के।
वे बल न लें जो यह पिंड दूसरों पर लगाता है; वे दूसरे आरेखों में आते हैं।
अक्ष चुनें, आदर्श रूप से एक त्वरण की दिशा में, और हर अक्ष के अनुदिश दूसरा नियम लगाएँ।

सदिश समीकरण के रूप में, नियम प्रति अक्ष एक समीकरण में बँट जाता है:
$\sum F_{x} = m a_{x} \sum F_{y} = m a_{y}$
समतल फ़र्श पर रखे ब्लॉक के लिए, जिसमें ऊर्ध्वाधर त्वरण नहीं है, दूसरा समीकरण $N - m g = 0$ देता है, अतः $N = m g$ ; ढलान पर या त्वरित लिफ़्ट में अभिलंब बल भार से भिन्न होता है।

तीसरा नियम: बल जोड़ियों में

बल अंतःक्रियाएँ हैं, इसलिए वे जोड़ियों में आते हैं। यदि पिंड A पिंड B को धकेलता है, तो B भी A को उतने ही परिमाण के, विपरीत दिशा के बल से धकेलता है:
$F_{A B} = - F_{B A}$
जहाँ $F_{A B}$ वह बल है जो A, B पर लगाता है। दोनों बल एक ही प्रकार के होते हैं और एक ही क्षण पर लगते हैं, पर अलग-अलग पिंडों पर, इसलिए वे कभी निरस्त नहीं होते और न ही एक ही मुक्त-पिंड आरेख में आते हैं।

मेज़ पर रखी किताब पर उसका भार और मेज़ का अभिलंब बल लगते हैं। ये संतुलित होते हैं, पर ये तीसरे नियम का युग्म नहीं हैं: दोनों किताब पर लगते हैं, और वे केवल इसलिए बराबर हैं क्योंकि किताब त्वरित नहीं है। भार का युग्म किताब का पृथ्वी पर गुरुत्वीय खिंचाव है। टक्कर में 1000 kg की कार और 6000 kg का ट्रक एक ही बल, मान लें 30 kN, महसूस करते हैं, जो कार को 30 m/s² और ट्रक को केवल 5 m/s² देता है।

उदाहरण: एनिमेशन के ब्लॉक

एनिमेशन में एक हल्के ब्लॉक $m_{1} = 2 kg$ और एक भारी ब्लॉक $m_{2} = 5 kg$ को एक ही क्षैतिज बल $F = 20 N$ से धकेला जाता है: लाल तीरों की लंबाई बराबर है। फ़र्श घर्षणरहित हैं और हर ब्लॉक का भार अभिलंब बल से संतुलित है (19.62 N और 49.05 N), इसलिए धक्का ही परिणामी बल है:
$a_{1} = \frac{F}{m _{1}} = \frac{20}{2} = 10 m/ s^{2}, a_{2} = \frac{F}{m _{2}} = \frac{20}{5} = 4 m/ s^{2}$

दोनों ब्लॉक स्थिर अवस्था से शुरू होते हैं, इसलिए $t = 3 s$ के बाद
$v_{1} = a_{1} t = 10 \cdot 3 = 30 m/s, v_{2} = a_{2} t = 4 \cdot 3 = 12 m/s$
ये $v_{1}$ और $v_{2}$ के पाठ्यांक के अंतिम मान हैं, जो हर सेकंड क्रमशः 10 और 4 m/s बढ़ते हैं। $x = \frac{1}{2} a t^{2}$ से दोनों ब्लॉक क्रमशः 45 m और 18 m चलते हैं। भूरे निशान 0, 1 और 2 s पर अगले किनारों की स्थिति दिखाते हैं: हल्का ब्लॉक पहले 5 m और फिर 20 m चलता है, भारी ब्लॉक 2 m और फिर 8 m। हर क्षण पर हल्के ब्लॉक की चाल और दूरी भारी ब्लॉक की 2.5 गुना होती है, जो द्रव्यमान अनुपात का व्युत्क्रम है।

उदाहरण: लिफ़्ट में तराज़ू

आप लिफ़्ट में एक बाथरूम के तराज़ू पर खड़े हैं। आपका द्रव्यमान 70 kg है और लिफ़्ट 1.0 m/s² के त्वरण से ऊपर की ओर चलना शुरू करती है। आप पर दो बल लगते हैं: आपका भार $m g = 686.7 N$ नीचे की ओर, और तराज़ू का अभिलंब बल $N$ ऊपर की ओर। ऊपर को धन मानें तो दूसरा नियम देता है
$N - m g = ma \Rightarrow N = m (g + a) = 70 \cdot (9.81 + 1.0) \approx 757 N$

तीसरे नियम से आप उसी 757 N से तराज़ू को नीचे दबाते हैं, और यही तराज़ू मापता है; किलोग्राम में अंकित तराज़ू 9.81 से भाग देता है और 77.1 kg दिखाता है। स्थिर चाल पर वह आपका वास्तविक 70 kg दिखाता है। लिफ़्ट ऊपर पहुँचते हुए धीमी होती है, तब $a = - 1.0 m/ s^{2}$ होता है और पाठ्यांक घटकर $70 \cdot 8.81 \approx 617 N$ , यानी 62.9 kg हो जाता है। मुक्त पतन में वह शून्य दिखाएगा: भारहीनता का अर्थ है कोई सहारा बल न होना, न कि गुरुत्व का न होना।

आम गलतियाँ

चलने के लिए परिणामी बल की आवश्यकता नहीं होती: 600 N के प्रतिरोध के विरुद्ध 20 m/s पर चलती कार को ठीक 600 N से चलाया जाता है, अधिक बल उसे तेज़ करेगा।
द्रव्यमान भार नहीं है: 70 kg के अंतरिक्ष यात्री का भार पृथ्वी पर 687 N और चंद्रमा पर 113 N है, फिर भी दोनों जगह उसे चलाना उतना ही कठिन है।
अभिलंब बल हमेशा $m g$ नहीं होता: त्वरित लिफ़्ट में यह 757 N है, जबकि आपका भार 687 N है।
परिणामी बल का उपयोग करें, किसी एक बल का नहीं: बक्सा एक ओर 30 N और दूसरी ओर 10 N से धकेला गया, तो उसका त्वरण $a = 20/4 = 5 m/ s^{2}$ होगा, न कि $30/4 = 7.5 m/ s^{2}$ ।

इनका उपयोग कहाँ होता है

कुचलन क्षेत्र और सीट बेल्ट $a = F / m$ को उल्टा प्रयोग करते हैं: टक्कर को लंबे समय तक फैलाने से यात्रियों पर त्वरण, और इसलिए बल, घट जाता है। रॉकेट, तैराक और चलने वाले लोग किसी वस्तु को पीछे धकेलते हैं और उसके तीसरे-नियम युग्म से आगे धकेले जाते हैं। आगे आते हैं घर्षण और आनत तल, वृत्तीय गति, जहाँ परिणामी बल वेग की दिशा मोड़ता है, और गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ; संवेग और संघट्ट तथा कार्य, ऊर्जा और शक्ति दूसरे नियम को समय और दूरी पर जोड़ने से निकलते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

सामान्य रूप $F = d p / d t$ है; स्थिर द्रव्यमान के लिए $F = m a$ : प्रति अक्ष एक समीकरण, कुल तीन।
$F = m a$ केवल परिभाषा नहीं है: बलों के भौतिक स्रोत और अपने नियम होते हैं, जैसे $GM m / r^{2}$ या $- k x$ ।
तीसरा नियम: $d (p_{A} + p_{B}) / d t = 0$ । संवेग संरक्षण अधिक मज़बूत नियम है: क्षेत्र भी संवेग वहन करते हैं।
केवल जड़त्वीय निर्देश तंत्र उपयुक्त हैं; त्वरित निर्देश तंत्र में $- m a_{frame}$ जैसे आभासी बल चाहिए, जिनका कोई भौतिक स्रोत नहीं होता।
$c$ के निकट $p = γm v$ : स्थिर बल से त्वरण लगातार घटता है और $v$ कभी $c$ तक नहीं पहुँचता।

बल: संवेग के परिवर्तन की दर

न्यूटन का दूसरा नियम आमतौर पर $F = m a$ के रूप में मिलता है। इसका सामान्य रूप संवेग $p = m v$ का उपयोग करता है, और इसे सदिशों के बारे में एक कथन के रूप में पढ़ने से तुरंत स्पष्ट होता है कि बल किसी पिंड को कैसे तेज़ कर सकता है, धीमा कर सकता है या मोड़ सकता है।

चित्र 1 एक मोड़ से गुज़रते पिंड को दिखाता है: काली वक्र रेखा उसका पथ है, और तीर दिखाता है कि वह किस दिशा में चलता है। बाईं ओर बिंदु को देखें। पिंड पर लगने वाले परिणामी बल $F$ को दो लंबवत भागों में बाँटा गया है। भाग $F_{∥}$ गति की दिशा में होता है; यह चाल बदलता है और दिशा को अपरिवर्तित रखता है। भाग $F_{⊥}$ गति के लंबवत, मोड़ के भीतर की ओर इंगित करता है; यह दिशा बदलता है और चाल को अपरिवर्तित रखता है। स्थिर चाल से वृत्तीय गति वह स्थिति है जिसमें केवल $F_{⊥}$ मौजूद है।

दाईं ओर उसी क्षण को संवेगों से दिखाया गया है। एक छोटे समय $d t$ में संवेग $p$ बदलकर $d p = F d t$ हो जाता है, इसलिए $d p$ , $p$ के नहीं बल्कि $F$ के समांतर है। इसे $p$ के सिरे पर रखने से नया संवेग $p^{'} = p + d p$ मिलता है। अब $p^{'}$ की तुलना बिंदीदार चाप से करें, जिसकी त्रिज्या $∣ p ∣$ है: $p^{'}$ का सिरा चाप के बाहर है, इसलिए संवेग बढ़ गया है, और $p^{'}$ की दिशा भी नई है। बल के समांतर भाग ने वृद्धि की, और लंबवत भाग ने मोड़ दिया।

समीकरण के रूप में यह दूसरे नियम का सामान्य रूप है: किसी पिंड पर परिणामी बल उसके संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,
$F = \frac{d p}{d t}$
यदि द्रव्यमान स्थिर हो, तो $d p / d t = m d v / d t = m a$ , जो परिचित रूप है। सदिश समीकरण एक साथ तीन समीकरण होता है, हर अक्ष के लिए एक; समय-अवकलजों के लिए बिंदु लगाकर ( $\overset{x}{¨} = d^{2} x / d t^{2}$ ),
$m \overset{x}{¨} = F_{x}, m \overset{y}{¨} = F_{y}, m \overset{z}{¨} = F_{z}$

इनमें से हर एक द्वितीय-क्रम का अवकल समीकरण है: इसमें स्थिति का द्वितीय अवकलज होता है। इसलिए इसे हल करने के लिए हर अक्ष पर दो प्रारंभिक मान चाहिए, प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग। ये और बल दिए हों, तो बाद के सभी समयों के लिए गति निश्चित हो जाती है। ध्यान दें कि नियम किसे किससे जोड़ता है: परिणामी बल त्वरण तय करता है, चाहे वेग कुछ भी हो। कोई पिंड बिना बल के भी तेज़ी से चल सकता है, और फेंकी गई गेंद अपने शिखर पर क्षण भर के लिए स्थिर होती है, फिर भी $g$ से त्वरित होती है।

जड़त्वीय निर्देश तंत्र: पहला नियम क्या जोड़ता है

पहला नियम दूसरे नियम की $\sum F = 0$ वाली विशेष स्थिति से अधिक है। यह दावा करता है कि ऐसे निर्देश तंत्र होते हैं जिनमें बल-रहित पिंड स्थिर चाल से सीधी रेखा में चलता है। इन्हें जड़त्वीय निर्देश तंत्र कहते हैं, और केवल इन्हीं में $\sum F = m a$ जैसा लिखा गया है वैसा सही होता है। जड़त्वीय तंत्र के सापेक्ष स्थिर वेग से चलने वाला कोई भी तंत्र भी जड़त्वीय है, क्योंकि हर पिंड में एक ही स्थिर वेग जोड़ने से त्वरण नहीं बदलता। त्वरित तंत्रों को एक सुधार चाहिए, जिसका वर्णन आगे है।

आवेग और कार्य: बल के नीचे के क्षेत्रफल

समय के साथ बल का योग करने पर संवेग का परिवर्तन मिलता है; दूरी के साथ योग करने पर गतिज ऊर्जा का परिवर्तन मिलता है। ये दोनों प्रमेय न्यूटन के नियमों से संरक्षण नियमों तक ले जाते हैं, और चित्र 2 एनिमेशन के धक्के के लिए दोनों को दिखाता है।

चित्र 2 में वही स्थिर बल $F = 20 N$ $Δ t = 3 s$ तक हल्के ब्लॉक $m_{1} = 2 kg$ और भारी ब्लॉक $m_{2} = 5 kg$ पर लगता है। बायाँ ग्राफ़ बल को समय $t$ के विरुद्ध दर्शाता है। यह एक सपाट रेखा है, और इसके नीचे का छायांकित क्षेत्रफल $F Δ t$ आवेग $J$ है। यह ग्राफ़ दोनों ब्लॉकों के लिए एक ही है, क्योंकि दोनों पर समान समय के लिए समान बल लगता है। दाईं ओर के दो ग्राफ़ हर ब्लॉक की स्थिति $x$ के विरुद्ध बल दर्शाते हैं। उनकी ऊँचाई बराबर है, पर चौड़ाई नहीं: हल्के ब्लॉक को लंबी दूरी $x_{1}$ तक धकेला जाता है, भारी को केवल $x_{2}$ तक। अतः छायांकित क्षेत्रफल, यानी कार्य $W_{1}$ और $W_{2}$ , असमान हैं।

पहले गति स्वयं। 20 N के धक्के के नीचे हल्के ब्लॉक का त्वरण $a = F / m$ स्थिर 10 m/s² है और भारी का 4 m/s², इसलिए पाठ के ग्राफ़ में $a (t)$ एक सपाट रेखा है और $v (t)$ एक सीधी रेखा जिसकी ढलान वही त्वरण है। 3 s में $a (t)$ के नीचे का क्षेत्रफल प्राप्त वेग है, $10 \cdot 3 = 30 m/s$ और $4 \cdot 3 = 12 m/s$ । स्थिर अवस्था से शुरू होकर हर ब्लॉक $\frac{1}{2} a (Δ t)^{2}$ तय करता है, यानी $x_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3^{2} = 45 m$ और $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^{2} = 18 m$ ।

समय के अनुसार: $0$ से $t$ तक $F = d p / d t$ का समाकलन करें। बायाँ पक्ष बल का आवेग बन जाता है, दायाँ पक्ष संवेग का परिवर्तन:
$\int_{0}^{t} F d t^{'} = p (t) - p (0)$
दोनों ब्लॉक स्थिर अवस्था से शुरू होते हैं और आवेग $J = F Δ t = 20 \cdot 3 = 60 N \cdot s$ पाते हैं, इसलिए दोनों का अंतिम संवेग समान होता है, $2 \cdot 30 = 5 \cdot 12 = 60 kg \cdot m/s$ ।

दूरी के अनुसार: शृंखला नियम से त्वरण को $a = d v / d t = (d v / d x) (d x / d t) = v d v / d x$ लिखा जा सकता है। तब $F = ma$ बन जाता है $F d x = m v d v$ , और धक्के के आरंभ से अंत तक दोनों पक्षों का समाकलन कार्य-ऊर्जा प्रमेय देता है:
$\int_{x_{0}}^{x} F d x^{'} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$
हल्के ब्लॉक का कार्य $W_{1} = F x_{1} = 20 \cdot 45 = 900 J$ है, और सचमुच $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 0^{2} = 900 J$ है। भारी ब्लॉक के लिए $W_{2} = 20 \cdot 18 = 360 J$ है, जो $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 2^{2}$ के बराबर है।

परिणाम: संवेग समान, पर गतिज ऊर्जाएँ 2.5 के अनुपात में। कारण $E_{k} = p^{2} / (2 m)$ है: समान संवेग के लिए हल्का पिंड अधिक ऊर्जा रखता है। वह तेज़ चलता है, इसलिए बल के लगते समय अधिक दूरी तय करता है, और बल उस पर अधिक कार्य करता है।

दूसरे नियम को अर्थ कहाँ से मिलता है

यदि $F = m a$ केवल बल की परिभाषा होता, तो यह कुछ भी भविष्यवाणी नहीं करता: देखे गए किसी भी त्वरण का दोष उसी उद्देश्य से गढ़े गए बल पर डाला जा सकता था। यह नियम सार्थक इसलिए है क्योंकि बल उन गतियों से स्वतंत्र रूप से जाने जा सकते हैं जो वे उत्पन्न करते हैं। तीन तथ्य यह संभव बनाते हैं। हर बल का एक स्रोत होता है, पास का कोई दूसरा पिंड या कोई पिंड जो क्षेत्र उत्पन्न करता है, इसलिए हर चीज़ से बहुत दूर स्थित पिंड पर कोई बल नहीं लगता। बल सदिशों की तरह जुड़ते हैं। और बल अपने स्वतंत्र नियमों का पालन करते हैं: गुरुत्व $GM m / r^{2}$ , स्प्रिंग बल $- k x$ , आवेशों के बीच का विद्युत बल, और घर्षण, जो लगभग अभिलंब बल के समानुपाती है।

द्रव्यमान भी बिना वृत्तीय तर्क के मापा जा सकता है। दो पिंडों को एक-दूसरे को दूर धकेलने दें, जैसे उनके बीच दबा हुआ स्प्रिंग। तीसरे नियम से दोनों बल समान और विपरीत हैं, इसलिए त्वरण द्रव्यमानों के व्युत्क्रम अनुपात में हैं, $a_{1} / a_{2} = m_{2} / m_{1}$ । एनिमेशन के समान धक्के वही अनुपात देते हैं, $10/4 = 5/2$ । एक पिंड का द्रव्यमान इकाई चुन लेने पर यह अन्य सभी को माप देता है।

द्रव्यमान और बल-नियम ज्ञात होने पर दूसरा नियम भविष्यवाणी की मशीन बन जाता है। वर्तमान स्थिति और वेग बल देते हैं; बल त्वरण देता है; त्वरण कुछ क्षण बाद की स्थिति और वेग देता है; और यह चरण दोहराया जाता है। स्प्रिंग बल $- k x$ के साथ परिणाम दोलन है; गुरुत्व $GM m / r^{2}$ के साथ यह दीर्घवृत्तीय कक्षा है।

तीसरा नियम और संवेग संरक्षण

तीसरा नियम कहता है कि जब दो पिंड $A$ और $B$ अंतःक्रिया करते हैं, तो $A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $F_{A B}$ और $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_{B A}$ समान और विपरीत होते हैं। सामान्य दूसरे नियम के साथ मिलाकर यह यांत्रिकी का सबसे उपयोगी संरक्षण नियम देता है।

दो ऐसे पिंड लें जो केवल एक-दूसरे से अंतःक्रिया करते हैं। हर पिंड का संवेग उस पर लगे बल से तय दर पर बदलता है: $d p_{B} / d t = F_{A B}$ और $d p_{A} / d t = F_{B A}$ । दोनों को जोड़कर और तीसरे नियम का उपयोग करके,
$\frac{d}{d t} (p_{A} + p_{B}) = F_{A B} + F_{B A} = 0$
इसलिए कुल संवेग कभी नहीं बदलता। उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग विराम से शुरू होने वाली 2 kg और 5 kg की गाड़ियों को अलग धकेलता है। उनका कुल संवेग शून्य रहता है, इसलिए वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं, जिनकी चालों का अनुपात 5 से 2 है, मान लें 2.5 m/s और 1.0 m/s, चाहे मुक्त होते समय धक्का कैसे भी बदलता रहा हो।

कई पिंडों के लिए वही तर्क युग्म-दर-युग्म लागू होता है। आंतरिक बल एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, और जो शेष रहता है वह $d P / d t = \sum F_{ext}$ है, जहाँ $P$ कुल संवेग है और $\sum F_{ext}$ बाहर से लगने वाले बलों का योग। चूँकि $P$ कुल द्रव्यमान और द्रव्यमान-केंद्र के वेग के गुणनफल के बराबर है, द्रव्यमान-केंद्र एक ऐसे एकल बिंदु की तरह चलता है जिसमें पूरा द्रव्यमान हो। इसीलिए एनिमेशन के हर ब्लॉक को एक बिंदु माना जा सकता है।

संवेग संरक्षण स्वयं तीसरे नियम से अधिक मज़बूत है। दूर-दूर स्थित पिंडों के बीच के बल तुरंत प्रतिक्रिया नहीं कर सकते, क्योंकि कोई प्रभाव प्रकाश से तेज़ नहीं चलता, और दो गतिमान आवेशों के बीच के चुंबकीय बल सामान्यतः समान और विपरीत नहीं होते। फिर भी, विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र द्वारा वहन किए गए संवेग को गिनने पर कुल संवेग संरक्षित रहता है।

त्वरित निर्देश तंत्र और आभासी बल

न्यूटन के नियम केवल जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में मान्य हैं, फिर भी हम अक्सर कार, लिफ़्ट या घूमती पृथ्वी से गति का वर्णन करते हैं। ऐसे तंत्र में आभासी बल जोड़कर नियमों को बचाया जा सकता है। चित्र 3 दिखाता है कि एक ब्रेक लगाती बस के लिए यह कैसे होता है।

जिस सड़क को हम जड़त्वीय मानते हैं, उसके सापेक्ष चित्र 3 की बस वेग $v$ से आगे बढ़ती है, पर उसका त्वरण $a_{B}$ पीछे की ओर इंगित करता है, क्योंकि वह ब्रेक लगा रही है। अब बस पर स्थिर और न घूमने वाले तंत्र $B$ से गति का वर्णन करें। सड़क के सापेक्ष किसी पिंड की स्थिति बस की स्थिति और बस के सापेक्ष पिंड की स्थिति के योग के बराबर है। दो बार अवकलन करने पर त्वरण उसी प्रकार जुड़ते हैं, $a = a_{B} + a^{'}$ , जहाँ $a^{'}$ बस से देखा गया त्वरण है। अतः $a^{'} = a - a_{B}$ , और इसे $m$ से गुणा करके तथा $m a = \sum F$ का उपयोग करके मिलता है
$m a^{'} = \sum F - m a_{B}$

अतिरिक्त पद $- m a_{B}$ द्रव्यमान के समानुपाती एक बल की तरह काम करता है; यह चित्र में बिंदीदार तीर है। पर इसे कोई पिंड नहीं लगाता, और इसका तीसरे नियम का कोई युग्म नहीं है। आभासी बल को इसी प्रकार पहचाना जाता है।

अब 60 kg के यात्री को देखें, जबकि बस 4 m/s² से ब्रेक लगाती है। बस के भीतर से यात्री आगे की ओर धकेला जाता प्रतीत होता है, $m a_{B} = 60 \cdot 4 = 240 N$ के बल से। सड़क से देखने पर यात्री को आगे कुछ नहीं धकेलता: यात्री तब तक आगे बढ़ता रहता है, जब तक सीट बेल्ट 240 N का वास्तविक पीछे की ओर का बल $F$ नहीं देता। यह बल अकेले यात्री को वही त्वरण $a_{B}$ देता है जो बस को मिलता है। बस के भीतर से देखने पर यात्री स्थिर रहता है, $a^{'} = 0$ , क्योंकि $F$ और आभासी बल $- m a_{B}$ संतुलित हैं, जैसा यात्री पर दो क्षैतिज तीर दिखाते हैं।

अन्य त्वरित तंत्र भी इसी प्रकार काम करते हैं। 1.0 m/s² से ऊपर को त्वरित लिफ़्ट में आभासी बल नीचे की ओर है और गुरुत्व में जुड़ता है, इसलिए अंदर की हर चीज़ ऐसे व्यवहार करती है मानो $g$ $9.81 + 1.0 = 10.81 m/ s^{2}$ हो। घूर्णी निर्देश तंत्र को दो आभासी बल चाहिए: अपकेंद्रीय बल, और कोरिओलिस बल, जो केवल घूमते तंत्र के सापेक्ष गति करने वाले पिंडों पर लगता है। पृथ्वी की सतह ऐसा ही एक तंत्र है। पृथ्वी की घूर्णन दर $ω$ और त्रिज्या $R$ लेने पर, विषुवत रेखा पर भूमि का अभिकेंद्र त्वरण $ω^{2} R \approx 0.034 m/ s^{2}$ है, जो $g$ का केवल लगभग 0.35 % है; फिर भी कोरिओलिस बल तय करता है कि चक्रवात किस दिशा में घूमते हैं। अंत में, आभासी बल, गुरुत्व की तरह, द्रव्यमान के समानुपाती होते हैं, इसलिए किसी बंद प्रयोगशाला के भीतर का कोई प्रयोग अपने त्वरण को गुरुत्व से अलग नहीं बता सकता। इसी संकेत से सामान्य सापेक्षता तक पहुँचा गया।

उदाहरण: लटकता ब्लॉक खींचता है

यह प्रश्न एनिमेशन के हाथ की जगह गुरुत्व रखता है। यह जुड़े हुए पिंडों की मानक विधि दिखाता है: हर पिंड के लिए एक मुक्त-पिंड आरेख (केवल उसी पिंड का, जिस पर लगने वाले हर बल के साथ, एक खाका), और उनकी गतियों को जोड़ने वाली एक शर्त।

चित्र 4 में ब्लॉक $m_{2} = 5 kg$ घर्षणरहित मेज़ पर है। एक हल्की डोरी उससे एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी पर होकर लटकते ब्लॉक $m_{1} = 2 kg$ तक जाती है। लटकते ब्लॉक का भार $m_{1} g = 2 \cdot 9.81 = 19.62 N$ है, जो एनिमेशन के 20 N धक्के के लगभग बराबर है। त्वरण $a$ और डोरी में तनाव $T$ ज्ञात कीजिए।

दो तथ्य ब्लॉकों को जोड़ते हैं। डोरी की लंबाई नहीं बदलती, इसलिए दोनों ब्लॉक समान समय में समान दूरी तय करते हैं और त्वरण $a$ साझा करते हैं: $m_{2}$ के लिए दाईं ओर, $m_{1}$ के लिए नीचे की ओर, जैसा $a$ अंकित दो तीर दिखाते हैं। और क्योंकि डोरी और घिरनी हल्की व घर्षणरहित हैं, डोरी दोनों सिरों पर समान बल से खींचती है, जो $T$ अंकित दो तीर हैं। अब हर ब्लॉक के लिए डोरी के अनुदिश गति की दिशा को धनात्मक लें। फिसलने वाले ब्लॉक पर गति के अनुदिश केवल $T$ है; उसका भार और अभिलंब बल एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, इसलिए चित्र में वे नहीं दिखाए गए। लटकते ब्लॉक पर उसका भार $m_{1} g$ नीचे की ओर है, गति की दिशा में, और $T$ ऊपर की ओर, गति के विरुद्ध। हर ब्लॉक के लिए दूसरा नियम है
$m_{2} a = T, m_{1} a = m_{1} g - T$
संख्याओं में, $5 a = T$ और $2 a = 19.62 - T$ । दोनों समीकरण जोड़ने पर अज्ञात तनाव हट जाता है और $7 a = 19.62$ बचता है, अतः
$a = \frac{m _{1} g}{m _{1} + m _{2}} = \frac{19.62}{7} \approx 2.80 m/ s^{2}, T = m_{2} a \approx 14.0 N$

अब परिणाम पढ़ें। 20 N के हाथ से धकेले जाने पर 5 kg का ब्लॉक 4 m/s² त्वरण पाता था; 19.62 N के भार से खींचे जाने पर उसे केवल 2.80 m/s² मिलता है। खींचने वाला बल लगभग वही है, पर अब 7 kg को त्वरित करना है, क्योंकि लटकते ब्लॉक को भी त्वरित करना होता है। तनाव 14.0 N है, जो लटकते भार से कम है, इसीलिए लटकते ब्लॉक पर $T$ तीर $m_{1} g$ से छोटा है। अंतर $m_{1} g - T = m_{1} a \approx 5.6 N$ वह परिणामी बल है जो लटकते ब्लॉक को त्वरित करता है; यदि तनाव और भार बराबर होते, तो वह बिल्कुल त्वरित नहीं हो सकता था। स्थिर अवस्था से शुरू होने के तीन सेकंड बाद ब्लॉक $2.80 \cdot 3 \approx 8.4 m/s$ से चल रहे होंगे और $\frac{1}{2} \cdot 2.80 \cdot 3^{2} \approx 12.6 m$ तय कर चुके होंगे।

दो जाँच। $a$ को $T = m_{2} a$ में रखने पर $T = m_{1} m_{2} g / (m_{1} + m_{2})$ मिलता है, जो दोनों द्रव्यमानों में सममित है। अतः यदि ब्लॉक अदला-बदली किए जाएँ, और 5 kg वाला लटके, तो त्वरण $a = 49.05/7 \approx 7.01 m/ s^{2}$ हो जाता है, पर तनाव लगभग 14.0 N ही रहता है। और सीमाएँ भी तर्कसंगत हैं: जब लटकता द्रव्यमान कहीं बड़ा होता है, तब $a \to g$ और वह लगभग मुक्त गिरता है; जब वह बहुत छोटा होता है, तब $a \to 0$ और तनाव लटकते ब्लॉक के अपने भार के निकट पहुँचता है, मानो वह बस स्थिर लटका हो।

वैधता की सीमाएँ

यहाँ बताए गए न्यूटन के नियम बिंदु-पिंडों, या विस्तारित पिंडों के द्रव्यमान-केंद्रों का वर्णन करते हैं, जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में, प्रकाश की गति से कहीं कम चालों पर और परमाणुओं से कहीं बड़े पैमानों पर। हर शर्त एक सीमा खींचती है।

किसी विस्तारित पिंड के घूमने के लिए उसका अपना नियम चाहिए, जिसमें बल की जगह बल-आघूर्ण और द्रव्यमान की जगह जड़त्वाघूर्ण होता है। तनाव और अभिलंब बल जैसे स्पर्श बल स्वयं परमाणुओं के बीच असंख्य विद्युत बलों के औसत प्रभाव हैं; न्यूटन के नियम उन्हें समझाने के बजाय दिया हुआ मान लेते हैं।

उच्च चाल पर $F = d p / d t$ बचा रहता है, पर संवेग $p = γm v$ हो जाता है, जिसमें लोरेंत्ज़ गुणांक $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ है और $c$ प्रकाश की चाल है। विराम से लगने वाला स्थिर बल अब भी $p = Ft$ देता है; $γm v = Ft$ को $v$ के लिए हल करने पर
$v = \frac{Ft / m}{1 + ( Ft / ( m c ) ) ^{2}}$
मिलता है, जो $c$ के निकट पहुँचता है पर उसे कभी छूता नहीं। 2 kg के ब्लॉक को 20 N से धकेलते रहें। न्यूटन का उत्तर $v = Ft / m$ लगभग 347 दिनों बाद $c \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ तक पहुँच जाता; उस क्षण $Ft / (m c) = 1$ होता है, इसलिए वास्तविक चाल केवल $c / 2 \approx 0.71 c$ है। एनिमेशन की 30 m/s चाल पर सापेक्षिक सुधार $v^{2} / c^{2} \approx 1 0^{- 14}$ की कोटि का है, जो किसी भी मापनीय मात्रा से बहुत नीचे है।

परमाणु पैमाने पर कण का कोई तीक्ष्ण पथ नहीं होता, और क्वांटम यांत्रिकी $F = m a$ की जगह लेती है। न्यूटन का नियम बड़े पिंडों की औसत गति के नियम के रूप में फिर लौटता है।

इसके आगे क्या

चिरसम्मत यांत्रिकी का अधिकांश भाग दूसरा नियम और एक बल-नियम है। घर्षण और आनत तल खुरदरी सतहों के बल जोड़ता है; वृत्तीय गति केवल वेग को मोड़ने वाले परिणामी बल का अध्ययन करती है; गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ ग्रहों की व्याख्या करने वाला गुरुत्व-नियम लाते हैं। समय और दूरी पर जोड़ने से ये नियम संवेग और संघट्ट तथा कार्य, ऊर्जा और शक्ति बन जाते हैं। घूमते पिंडों पर लागू होने से घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण मिलते हैं; स्प्रिंग बल से सरल आवर्त गति; और चाल के साथ बढ़ने वाले बल से कर्षण और सीमांत वेग। उच्च चालों पर ये विशिष्ट आपेक्षिकता को मार्ग देते हैं, और जड़त्वीय तथा गुरुत्वीय द्रव्यमान की समानता वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व खोलती है।

मुख्य सूत्र

पहला नियम (जड़त्व का नियम)

\sum F = 0 \Leftrightarrow v = const

यदि किसी पिंड पर लगे बल संतुलित हों, तो उसके वेग का परिमाण और दिशा स्थिर रहते हैं; विराम $v = 0$ की स्थिति है। इसका विलोम भी सत्य है: स्थिर वेग से चलने वाले पिंड पर परिणामी बल शून्य होता है, पर इसका अर्थ यह नहीं कि उस पर कोई बल लगे ही न। यह नियम जड़त्वीय निर्देश तंत्रों को भी पहचानता है, यानी वे तंत्र जिनमें यह सत्य है।

चिह्न
$\sum F$	परिणामी बल, यानी पिंड पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग	$N$
$v$	पिंड का वेग	$m/s$

कब लागू होता है: केवल जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में, और बिंदु-पिंड या विस्तारित पिंड के द्रव्यमान-केंद्र के लिए। त्वरित निर्देश तंत्र में स्वतंत्र पिंड त्वरित प्रतीत होता है।

उदाहरण: 20 m/s की स्थिर चाल से चलती कार, जिस पर 600 N का अवरोध और लोटन प्रतिरोध है, पर चालक बल ठीक 600 N है: परिणामी बल शून्य है।

दूसरा नियम

\sum F = m a

पिंड पर परिणामी बल उसमें उसी दिशा में त्वरण उत्पन्न करता है, जो उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है। यह सदिश समीकरण है, इसलिए यह हर अक्ष पर अलग से लागू होता है: $\sum F_{x} = m a_{x}$ , $\sum F_{y} = m a_{y}$ । यह न्यूटन को भी परिभाषित करता है: $1 N = 1 kg \cdot m/ s^{2}$ ।

चिह्न
$\sum F$	पिंड पर परिणामी बल	$N$
$m$	पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$a$	पिंड का त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में, स्थिर द्रव्यमान वाले पिंड के लिए, प्रकाश की गति से बहुत कम चालों पर। अन्यथा $F = d p / d t$ का उपयोग करें, उच्च चाल पर आपेक्षिक संवेग के साथ।

उदाहरण: एनिमेशन का 20 N का धक्का 2 kg के ब्लॉक को $a = 20/2 = 10 m/ s^{2}$ और 5 kg के ब्लॉक को $a = 20/5 = 4 m/ s^{2}$ देता है।

तीसरा नियम (क्रिया और प्रतिक्रिया)

F_{A B} = - F_{B A}

बल अंतःक्रियाओं से आते हैं, इसलिए जोड़ियों में आते हैं: A जो भी B पर लगाता है, उसके बराबर B का A पर लगाया बल होता है, जो परिमाण में समान, दिशा में विपरीत और एक ही प्रकार का होता है। वे अलग-अलग पिंडों पर लगते हैं और कभी निरस्त नहीं होते। दूसरे नियम के साथ, यह युग्म दो पिंडों का कुल संवेग स्थिर रखता है।

चिह्न
$F_{A B}$	पिंड A द्वारा पिंड B पर लगाया गया बल	$N$
$F_{B A}$	पिंड B द्वारा पिंड A पर लगाया गया बल	$N$

कब लागू होता है: स्पर्श बलों, और विराम या धीमी गति वाले पिंडों के बीच गुरुत्वीय और विद्युत बलों के लिए मान्य है। गतिमान आवेशों के बीच के चुंबकीय बलों के लिए विफल हो सकता है, क्योंकि क्षेत्र संवेग वहन करता है; संवेग संरक्षण फिर भी मान्य रहता है।

उदाहरण: टक्कर में 1000 kg की कार और 6000 kg का ट्रक एक ही 30 kN बल महसूस करते हैं, इसलिए कार 30 m/s² और ट्रक केवल 5 m/s² से त्वरित होता है।

भार

W = m g

भार किसी पिंड पर गुरुत्वीय बल है: उसका द्रव्यमान गुणा स्थानीय गुरुत्वीय क्षेत्र-प्रबलता $g$ । यह न्यूटन में मापा गया, नीचे की ओर लगने वाला बल है, और स्थान के अनुसार बदलता है, जबकि द्रव्यमान एक-सा रहता है। कोई तराज़ू वास्तव में अभिलंब बल मापता है, जो भार के बराबर तभी होता है जब तराज़ू ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरित न हो।

चिह्न
$W$	भार, यानी पिंड पर गुरुत्वीय बल	$N$
$m$	पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$g$	गुरुत्वीय क्षेत्र-प्रबलता, पृथ्वी की सतह पर $9.81 m/ s^{2}$	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: किसी ग्रह या उपग्रह की सतह के पास, जहाँ $g$ लगभग स्थिर है; दूर के लिए गुरुत्व-नियम का उपयोग करें, जिसमें $g$ , $1/ r^{2}$ के अनुसार घटता है।

उदाहरण: 70 kg का अंतरिक्ष यात्री: पृथ्वी पर $W = 70 \cdot 9.81 \approx 687 N$ , और चंद्रमा पर $70 \cdot 1.62 \approx 113 N$ ।

बल संवेग के परिवर्तन की दर है

F = \frac{d p}{d t}

यह दूसरे नियम का सामान्य रूप है: परिणामी बल संवेग $p = m v$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है। स्थिर द्रव्यमान के लिए यह $F = m a$ बन जाता है। समय पर समाकलित करने पर यह कहता है कि बल का आवेग संवेग के परिवर्तन के बराबर है।

चिह्न
$F$	पिंड पर परिणामी बल	$N$
$p$	पिंड का संवेग, $m v$	$kg \cdot m/s$
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में; विशेष आपेक्षिकता में भी $p = γm v$ के साथ सत्य रहता है। द्रव्यमान प्राप्त या खोने वाले पिंड, जैसे रॉकेट, के लिए इसे ऐसे बंद तंत्र पर लगाएँ जिसमें प्रवेश या निर्गम करने वाला द्रव्यमान भी शामिल हो।

उदाहरण: 3 s तक लगने वाला 20 N बल एनिमेशन के दोनों ब्लॉकों को समान संवेग देता है: $2 \cdot 30 = 5 \cdot 12 = 60 kg \cdot m/s$ ।

शब्दावली

बल: एक पिंड द्वारा दूसरे पर स्पर्श से या दूरी से लगाया गया धक्का या खिंचाव। यह सदिश है, जो न्यूटन में मापा जाता है: $1 N = 1 kg \cdot m/ s^{2}$ ।
परिणामी बल: एक पिंड पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग $\sum F$ । केवल परिणामी बल त्वरण तय करता है: एक ओर 30 N और दूसरी ओर 10 N हो तो परिणामी बल 20 N होता है।
जड़त्व: पिंड की वह प्रवृत्ति कि वह अपना वेग बनाए रखे, चाहे स्थिर हो या गतिमान, जब तक उस पर परिणामी बल न लगे। द्रव्यमान इसका माप है: द्रव्यमान जितना अधिक, उतना कम त्वरण वही बल उत्पन्न करता है।
जड़त्वीय निर्देश तंत्र: वह तंत्र जिसमें बिना परिणामी बल वाला पिंड स्थिर वेग से चलता है, इसलिए न्यूटन के नियम जैसे लिखे गए हैं वैसे सत्य होते हैं। जड़त्वीय तंत्र के सापेक्ष स्थिर वेग से चलने वाला तंत्र भी जड़त्वीय है; त्वरित या घूमने वाला तंत्र नहीं है।
साम्यावस्था: वह अवस्था जिसमें पिंड पर परिणामी बल शून्य है, $\sum F = 0$ : वह स्थिर है या स्थिर वेग से चलता है। 20 m/s की स्थिर चाल से चलती कार उतनी ही साम्यावस्था में है जितनी खड़ी कार।
भार: पिंड पर गुरुत्वीय बल, $W = m g$ , नीचे की दिशा में और न्यूटन में मापा गया। यह स्थान के अनुसार बदलता है (चंद्रमा पर पृथ्वी की तुलना में लगभग छठा भाग), जबकि द्रव्यमान नहीं बदलता।
अभिलंब बल: किसी सतह पर टिके पिंड पर उस सतह का धक्का, जो सतह के लंबवत होता है। यह आवश्यकतानुसार समायोजित होता है: समतल फ़र्श पर स्थिर पिंड के लिए $m g$ के बराबर, और ऊपर को त्वरित लिफ़्ट में अधिक।
तनाव: किसी तनी हुई रस्सी, धागे या केबल का खिंचाव, जो उसकी दिशा में और उससे जुड़े पिंड से दूर की ओर होता है। हल्की डोरी की पूरी लंबाई में समान तनाव रहता है।
मुक्त-पिंड आरेख: एक पिंड का अकेला खाका, उस पर लगने वाले हर बल के साथ, और केवल वही बल। यह हर अक्ष के अनुदिश $\sum F = m a$ लिखने का आरंभ-बिंदु है।
तीसरे नियम का युग्म: एक अंतःक्रिया के दो बल, A का B पर और B का A पर: परिमाण में समान, दिशा में विपरीत और एक ही प्रकार के। वे अलग-अलग पिंडों पर लगते हैं, इसलिए कभी निरस्त नहीं होते।
संवेग: द्रव्यमान गुणा वेग, $p = m v$ । परिणामी बल इसकी परिवर्तन-दर है, और केवल एक-दूसरे से अंतःक्रिया करने वाले पिंडों का कुल संवेग स्थिर रहता है।
आभासी बल: प्रतीत होने वाला बल, जिसे काल्पनिक बल भी कहते हैं और जिसे जोड़ना पड़ता है ताकि न्यूटन के नियम त्वरित तंत्र में काम करें: $- m a_{frame}$ , जिसे कोई पिंड नहीं लगाता और जिसका तीसरे नियम का युग्म नहीं होता। अपकेंद्रीय बल इसका एक उदाहरण है।

राशियाँ
$F$	बल	$N$	पिंड पर धक्का या खिंचाव, जिसका परिमाण न्यूटन में और एक दिशा होती है।
$\sum F$	परिणामी बल	$N$	एक पिंड पर लगे सभी बलों का सदिश योग। शून्य हो तो वेग स्थिर रहता है; अन्यथा यह $m a$ के बराबर है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	पिंड का जड़त्व, यानी उसका वेग बदलना कितना कठिन है। यह हर जगह एक-सा है।
$a$	त्वरण	$m/ s^{2}$	वेग के परिवर्तन की दर। यह परिणामी बल की दिशा में इंगित करता है, और इसका परिमाण परिणामी बल को द्रव्यमान से भाग देने पर मिलता है।
$v$	वेग	$m/s$	स्थिति के परिवर्तन की दर, उसकी दिशा सहित। परिणामी बल शून्य हो तो यह स्थिर रहता है।
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$	प्रति किलोग्राम भार, जो मुक्त-पतन त्वरण के बराबर है: पृथ्वी की सतह पर लगभग $9.81 m/ s^{2}$ (N/kg) और चंद्रमा पर $1.62 m/ s^{2}$ ।
$N$	अभिलंब बल	$N$	सतह का पिंड पर लंबवत धक्का। समतल सतह पर यह $m g$ के बराबर तभी होता है जब कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल न लगे और पिंड ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरित न हो।
$F_{A B}$	A द्वारा B पर लगाया बल	$N$	एक अंतःक्रिया का एक बल; इसका तीसरे नियम का युग्म B द्वारा A पर लगाया बल है, $F_{B A} = - F_{A B}$ ।
$p$	संवेग	$kg \cdot m/s$	द्रव्यमान गुणा वेग, $m v$ । परिणामी बल इसकी परिवर्तन-दर है।
$a_{frame}$	तंत्र का त्वरण	$m/ s^{2}$	एक अजड़त्वीय तंत्र का जड़त्वीय तंत्र के सापेक्ष त्वरण। उस तंत्र से देखने पर हर पिंड पर अतिरिक्त बल $- m a_{frame}$ लगता प्रतीत होता है।

क्विज़

शुरुआती एक 3 kg की गेंद पर 12 N का परिणामी बल लगता है। उसका त्वरण कितना है?
1. 4 m/s²
2. 36 m/s²
3. 0.25 m/s²
4. 15 m/s²
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. 4 m/s²
न्यूटन का दूसरा नियम: a = F ÷ m = 12 ÷ 3 = 4 m/s²।
शुरुआती एक बर्फ़ीली सतह पर, जहाँ घर्षण नहीं है और कोई अन्य क्षैतिज बल नहीं है, एक हॉकी पक फिसल रहा है। उसके साथ क्या होता है?
1. वह स्थिर वेग से चलता रहता है
2. वह धीरे-धीरे धीमा होकर रुक जाता है
3. वह धीरे-धीरे तेज़ होता है
4. वह तुरंत रुक जाता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. वह स्थिर वेग से चलता रहता है
शून्य परिणामी बल पर कोई त्वरण नहीं होता (पहला नियम), इसलिए वेग वही रहता है।
शुरुआती एक छोटी कार और एक बड़ा ट्रक आमने-सामने टकराते हैं। किसे अधिक बल महसूस होता है?
1. दोनों पर बिल्कुल एक ही परिमाण का बल लगता है
2. ट्रक, क्योंकि वह बड़ा है
3. कार, क्योंकि वह हल्की है
4. जो भी तेज़ चल रहा था, उस पर
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. दोनों पर बिल्कुल एक ही परिमाण का बल लगता है
तीसरा नियम: कार ट्रक को जितने बल से धकेलती है, ट्रक कार को भी उतने ही बल से धकेलता है। कार अधिक क्षतिग्रस्त होती है, क्योंकि वही बल उसके छोटे द्रव्यमान में बहुत अधिक त्वरण देता है (a = F ÷ m)।
मध्यम 70 kg का एक अंतरिक्ष यात्री चंद्रमा की यात्रा करता है। क्या बदलता है?
1. उसका भार घटता है, द्रव्यमान 70 kg ही रहता है
2. उसका द्रव्यमान और भार दोनों घटते हैं
3. उसका द्रव्यमान घटता है, भार वही रहता है
4. कुछ नहीं बदलता
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. उसका भार घटता है, द्रव्यमान 70 kg ही रहता है
द्रव्यमान जड़त्व का माप है और हर जगह एक-सा रहता है। भार W = m·g स्थानीय गुरुत्व पर निर्भर करता है, जो चंद्रमा पर कमज़ोर है।
मध्यम एक कार सीधी, समतल सड़क पर 20 m/s की स्थिर चाल से चल रही है। हवा का अवरोध और लोटन प्रतिरोध मिलकर 600 N हैं। आगे की ओर चालक बल कितना बड़ा है?
1. ठीक 600 N
2. 600 N से अधिक, नहीं तो कार धीमी हो जाएगी
3. 0 N, क्योंकि कार त्वरित नहीं है
4. कार के द्रव्यमान पर निर्भर करता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. ठीक 600 N
स्थिर वेग का अर्थ है शून्य त्वरण, इसलिए परिणामी बल शून्य है (पहला नियम): चालक बल ठीक 600 N के अवरोध को संतुलित करता है। अधिक बल कार को तेज़ करेगा। स्थिर गति के लिए परिणामी बल नहीं चाहिए।
मध्यम एक किताब मेज़ पर रखी है। किताब के भार का तीसरे नियम वाला युग्म कौन-सा बल है?
1. किताब द्वारा पृथ्वी को लगाया गुरुत्वीय खिंचाव
2. मेज़ का किताब पर अभिलंब बल
3. किताब का मेज़ पर धक्का
4. कोई नहीं, क्योंकि किताब स्थिर है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. किताब द्वारा पृथ्वी को लगाया गुरुत्वीय खिंचाव
भार वह बल है जिससे पृथ्वी किताब को खींचती है, इसलिए उसका युग्म यह है कि किताब पृथ्वी को खींचती है। अभिलंब बल भार को संतुलित करता है, पर दोनों किताब पर लगते हैं, इसलिए वे युग्म नहीं हैं।
उन्नत एक घोड़ा गाड़ी खींचता है, और गाड़ी भी उतने ही बल से घोड़े को पीछे खींचती है। फिर भी वे त्वरित कैसे हो सकते हैं?
1. दोनों बल अलग-अलग पिंडों पर लगते हैं, इसलिए वे निरस्त नहीं होते
2. घोड़ा गाड़ी के पीछे खींचने के बल से थोड़ा अधिक बल लगाता है
3. क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म केवल तब निरस्त होते हैं जब वस्तुएँ स्थिर हों
4. प्रतिक्रिया क्रिया के एक क्षण बाद प्रकट होती है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. दोनों बल अलग-अलग पिंडों पर लगते हैं, इसलिए वे निरस्त नहीं होते
बल केवल एक ही पिंड पर निरस्त होते हैं। हर पिंड का त्वरण उस पर लगे परिणामी बल पर निर्भर करता है: गाड़ी इसलिए कि खिंचाव घर्षण से अधिक है, और घोड़ा इसलिए कि ज़मीन का धक्का गाड़ी के खिंचाव से अधिक होता है।
उन्नत एक आपातकालीन ब्रेक लगाती कार में एक यात्री आगे फेंका जाता प्रतीत होता है। कार के तंत्र में इसका वर्णन कैसे होता है?
1. एक आभासी बल द्वारा, क्योंकि कार का तंत्र जड़त्वीय नहीं है
2. सीट से लगने वाले एक वास्तविक आगे के बल द्वारा
3. ब्रेक की ओर से तीसरे नियम की प्रतिक्रिया द्वारा
4. यात्री के द्रव्यमान में वृद्धि द्वारा
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. एक आभासी बल द्वारा, क्योंकि कार का तंत्र जड़त्वीय नहीं है
ब्रेक लगाती कार एक त्वरित तंत्र है, इसलिए आभासी बल −m·a_frame प्रकट होता है। भूमि के तंत्र में यात्री बस आगे बढ़ता रहता है, जबकि कार धीमी होती है।

$F$	बिंदु पर स्थित पिंड पर परिणामी बल।	$N$
$F_{∥}$	$F$ का गति के अनुदिश भाग: यह चाल बदलता है।	$N$
$F_{⊥}$	$F$ का गति के लंबवत भाग, मोड़ के भीतर की ओर: यह पथ मोड़ता है।	$N$
$p$	पिंड का संवेग $m v$ , उसकी गति के अनुदिश।	$kg \cdot m/s$
$d p$	छोटे समय $d t$ में संवेग का परिवर्तन: $d p = F d t$ , इसलिए यह $F$ की दिशा में है।	$kg \cdot m/s$
$p^{'}$	थोड़े समय बाद का संवेग: $p + d p$ , जो $p$ से लंबा और मुड़ा हुआ है।	$kg \cdot m/s$

$F$	हर ब्लॉक को धकेलने वाला स्थिर बल।	$N$
$t$	धक्का शुरू होने के बाद का समय।	$s$
$Δ t$	धक्के की अवधि।	$s$
$J$	बल का आवेग: $F (t)$ के नीचे का क्षेत्रफल, $J = F Δ t$ । यह प्राप्त संवेग के बराबर है।	$N \cdot s$
$x$	ब्लॉक की फ़र्श पर स्थिति, जो धक्के की शुरुआत से मापी गई है।	$m$
$m_{1}$	हल्का ब्लॉक।	$kg$
$m_{2}$	भारी ब्लॉक।	$kg$
$x_{1}$	$Δ t$ के दौरान हल्के ब्लॉक द्वारा तय की गई दूरी।	$m$
$x_{2}$	$Δ t$ के दौरान भारी ब्लॉक द्वारा तय की गई दूरी।	$m$
$W_{1}$	हल्के ब्लॉक पर किया गया कार्य: $x_{1}$ तक $F (x)$ के नीचे का क्षेत्रफल।	$J$
$W_{2}$	भारी ब्लॉक पर किया गया कार्य: $x_{2}$ तक $F (x)$ के नीचे का क्षेत्रफल।	$J$

$v$	सड़क के सापेक्ष बस का वेग।	$m/s$
$a_{B}$	सड़क के सापेक्ष बस का त्वरण, तंत्र $B$ ; यह पीछे की ओर है, क्योंकि बस ब्रेक लगा रही है।	$m/ s^{2}$
$F$	सीट बेल्ट द्वारा यात्री पर लगाया बल: एक वास्तविक बल, जो किसी पिंड द्वारा लगाया जाता है।	$N$
$m a_{B}$	यात्री का द्रव्यमान $m$ गुणा $a_{B}$ । बिंदीदार तीर आभासी बल $- m a_{B}$ है, जो आगे की ओर है; इसे कोई पिंड नहीं लगाता।	$N$

$m_{1}$	लटकता ब्लॉक।	$kg$
$m_{2}$	मेज़ पर रखा ब्लॉक।	$kg$
$T$	डोरी का किसी ब्लॉक पर लगने वाला बल; इसका परिमाण $T$ तनाव है, जो डोरी के दोनों सिरों पर समान है।	$N$
$a$	त्वरण, दोनों ब्लॉकों के लिए समान परिमाण का।	$m/ s^{2}$
$m_{1} g$	लटकते ब्लॉक का भार।	$N$