Прямолинейное движение

Где, как быстро и как скоро: координата $x$ , скорость $v$ и ускорение $a$ — язык для описания движения вдоль прямой.

Равноускоренное движение автомобиля. Серые точки отмечают его положение каждую секунду: растущие промежутки показывают ускорение, а синяя стрелка скорости равномерно растёт.

Начальный

Главное

Координата показывает, где находится тело; скорость — как быстро оно движется и в каком направлении.
Ускорение показывает, как быстро меняется скорость; его измеряют в метрах в секунду за секунду (м/с²).
Средняя путевая скорость = путь ÷ время: $100 м \div 20 с = 5 м / с$ .
Торможение — тоже ускорение: считается любое изменение скорости.
Разгоняющаяся машина каждую секунду проезжает больше, поэтому промежутки между её положениями растут.

Кинематика — это раздел физики, который описывает движение, не выясняя его причин. Чтобы описать движение тела по прямой, достаточно трёх понятий.

Координата показывает, где находится тело относительно начальной точки, в метрах. Скорость показывает, как быстро меняется координата и в каком направлении, в метрах в секунду. В быту под скоростью понимают только то, насколько быстро движется тело; в физике у скорости есть ещё и направление. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость, в метрах в секунду за секунду (м/с²).

Если велосипедистка проезжает 100 метров за 20 секунд, её средняя скорость равна $100 \div 20 = 5 м / с$ . Если автомобиль разгоняется с места до 20 м/с за 4 секунды, он каждую секунду прибавляет 5 м/с, то есть его ускорение равно 5 м/с².

Частая ошибка — думать, что быстро движущееся тело обязательно ускоряется. Автомобиль, который едет по шоссе с постоянной скоростью 30 м/с, имеет нулевое ускорение, потому что его скорость не меняется. А у велосипедистки, которая тормозит, ускорение есть: замедление — это тоже изменение скорости, и её ускорение направлено назад.

В анимации машина каждую секунду прибавляет 6 м/с, а серые точки отмечают её положение через каждую секунду. Промежутки между ними растут — так выглядит ускорение.

Посмотрите на золотые отрезки: 3 м, 9 м, 15 м, 21 м. Они растут как нечётные числа 1, 3, 5, 7 (умноженные на 3 м). Галилей обнаружил эту закономерность в начале XVII века, измеряя время скатывания шаров по наклонному жёлобу. Это отличительный признак равноускоренного движения из состояния покоя.

Средний

Главное

Средняя скорость перемещения = перемещение ÷ время; перемещение (изменение координаты) — не то же самое, что пройденный путь.
При $a = const$ : $v = v_{0} + a t$ , $x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ , $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ , $Δ x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t$ .
Выбирайте уравнение, в которое не входит единственная величина, которую вы не знаете и которая вам не нужна.
На графике $v (t)$ наклон — это ускорение, а площадь под графиком — перемещение.

Что мы измеряем и откуда

Чтобы описать движение, сначала нужна система отсчёта: начало координат, положительное направление вдоль прямой и часы. Тогда координата $x$ — это число метров со знаком: $x = 30 м$ означает точку в 30 метрах от начала отсчёта в положительную сторону, $x = - 5 м$ — точку в 5 метрах по другую сторону. В другой системе отсчёта то же самое движение описывается другими числами.

Изменение координаты называют перемещением: $Δ x = x - x_{0}$ , где $x_{0}$ — начальная координата. Перемещение имеет знак и зависит только от того, где тело начало движение и где его закончило. Пройденный путь — это длина всей траектории, и он никогда не бывает отрицательным. Пройдите 10 м вперёд и 10 м назад: путь равен 20 м, а перемещение равно нулю.

Скорость и ускорение: быстрота изменения

Скорость показывает, как быстро меняется координата. За промежуток времени $Δ t$ средняя скорость перемещения равна
$v_{ср} = \frac{Δ x}{Δ t}$

Её знак указывает направление движения. Модуль скорости — это её величина без знака. Средняя путевая скорость, то есть пройденный путь, делённый на время, совпадает с модулем $v_{ср}$ , только если тело ни разу не поворачивает назад. Мгновенная скорость, которую показывает спидометр, — это средняя скорость за очень малый промежуток времени.

Ускорение показывает, как быстро меняется скорость: $a = Δ v /Δ t$ , в метрах в секунду за секунду (м/с²). Ускорение 6 м/с² означает, что скорость каждую секунду увеличивается на 6 м/с. Если $v$ и $a$ одного знака, тело разгоняется; если их знаки противоположны, оно тормозит. При $a = 0$ движение равномерное: $x = x_{0} + v t$ , за равные промежутки времени тело проходит равные расстояния.

Уравнения равноускоренного движения

Если $a$ постоянно, скорость каждую секунду меняется на одну и ту же величину, поэтому её среднее значение на любом промежутке лежит ровно посередине между начальным и конечным: $\frac{1}{2} (v_{0} + v)$ . Умножив это среднее на время, получаем перемещение. Из этих двух фактов следуют четыре уравнения:

$v = v_{0} + a t$
$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$
$Δ x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t$

Каждое уравнение связывает четыре из пяти величин $Δ x$ , $v_{0}$ , $v$ , $a$ и $t$ , поэтому по любым трём известным можно найти две остальные. Выбирайте уравнение, в которое не входит величина, которую вы не знаете и которая вам не нужна: если время в задаче не участвует, берите третье; если неизвестно ускорение — четвёртое.

Пример: машина из анимации

Машина трогается с места в начале координат, то есть $v_{0} = 0$ и $x_{0} = 0$ , с ускорением $a = 6 м / с^{2}$ . Через $t = 4 с$ :
$v = v_{0} + a t = 0 + 6 \cdot 4 = 24 м / с$
$x = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4^{2} = 48 м$

Именно эти значения показывают в конце числовые индикаторы $v$ и $x$ . Третье уравнение проверяет их без участия времени: $v^{2} = 2 \cdot 6 \cdot 48 = 576 м^{2} / с^{2}$ , значит, $v = 24 м / с$ . Через 1, 2 и 3 с машина находится в точках 3 м, 12 м и 27 м, поэтому промежутки между серыми точками равны 3, 9, 15 и 21 м — каждый на 6 м длиннее предыдущего. Средняя скорость равна $48/4 = 12 м / с$ , половине конечной, как и предсказывает четвёртое уравнение для движения из состояния покоя.

При этом синяя стрелка $v$ каждую секунду удлиняется на одну и ту же величину, а зелёная стрелка $a$ не меняет длины: постоянное ускорение означает равные приращения скорости за равные промежутки времени, а не равные расстояния.

Пример: остановочный путь

Водитель едет со скоростью 14 м/с (около 50 км/ч) и видит, как на дорогу выкатывается мяч. На реакцию ему нужно около 1,0 с, затем он тормозит с постоянным ускорением 7 м/с² по модулю. Какой путь проедет машина до остановки?

За время реакции машина проезжает с постоянной скоростью $14 \cdot 1, 0 = 14 м$ . При торможении $v_{0} = 14 м / с$ , $v = 0$ и $a = - 7 м / с^{2}$ : ускорение отрицательно, потому что направлено против движения. Время не спрашивают, поэтому берём третье уравнение:
$Δ x = \frac{v ^{2} - v _{0}^{2}}{2 a} = \frac{0 - 1 4 ^{2}}{2 \cdot ( - 7 )} = 14 м$

Машина останавливается через 28 м после появления мяча. При 28 м/с (около 100 км/ч) путь за время реакции удваивается до 28 м, а тормозной путь становится $2 8^{2} / (2 \cdot 7) = 56 м$ , то есть вчетверо больше: всего 84 м. Тормозной путь растёт пропорционально квадрату скорости — поэтому возле школ такие низкие ограничения скорости.

Как читать графики координаты и скорости

На графике зависимости координаты от времени наклон — это скорость: прямая означает равномерное движение, горизонтальная прямая — покой, линия, идущая вниз, — движение в отрицательном направлении, а кривая, которая становится всё круче, — разгон.

На графике зависимости скорости от времени наклон — это ускорение, а площадь под графиком — перемещение (площадь под осью времени берётся со знаком минус). У машины $v$ растёт по прямой от 0 до 24 м/с за 4 с: наклон равен $24/4 = 6 м / с^{2}$ , а площадь треугольника под графиком — $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 24 = 48 м$ . Если $v_{0}$ не равно нулю, под графиком оказывается трапеция площадью $\frac{1}{2} (v_{0} + v) t$ — это и есть четвёртое уравнение.

Частые ошибки

Модуль скорости — не то же самое, что скорость: у двух машин, едущих со скоростью 20 м/с в противоположные стороны, модули скорости одинаковы, а проекции скорости равны $+ 20$ и $- 20 м / с$ .
Нулевая скорость не означает нулевого ускорения. Мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью 15 м/с, останавливается через $15/9, 81 \approx 1, 5 с$ на высоте около 11,5 м и падает обратно; в верхней точке его ускорение по-прежнему равно $- g$ .
Отрицательное ускорение — не всегда торможение: у машины, разгоняющейся в отрицательном направлении, $v < 0$ и $a < 0$ . Сравнивайте знаки $v$ и $a$ .
Четыре уравнения требуют постоянного $a$ : движение, которое меняется (например, равномерная езда, а затем торможение), разбивайте на этапы.
Сначала переведите км/ч в м/с (разделите на 3,6) и не теряйте ½ и квадрат в $\frac{1}{2} a t^{2}$ : без них 48 м превращаются в 96 м или 12 м.

Где это встречается

Остановочный путь автомобиля, спринтер, пробегающий 100 м со средней скоростью 10 м/с, лифты и поезда, которые разгоняются примерно с ускорением 1 м/с², чтобы пассажирам было комфортно, — всё это кинематика прямолинейного движения. Кроме того, это язык всей механики. Свободное падение — это та же тема при $a = - g$ , движение тела, брошенного под углом, — два прямолинейных движения одновременно, а второй закон Ньютона даёт ускорение, которое эти уравнения превращают в траекторию.

Продвинутый

Главное

$v = d x / d t$ и $a = d v / d t$ ; двукратное интегрирование постоянного $a$ даёт уравнения равноускоренного движения.
При переменном $a$ интегрируют: $a (v)$ — разделением переменных, $a (x)$ — через $a = v d v / d x$ .
Нулевая скорость не означает нулевого ускорения: в верхней точке вертикального броска $a = - g$ .
Преобразование Галилея меняет все скорости на одну и ту же постоянную величину, а ускорения оставляет прежними.

От средней скорости к мгновенной

Законы движения говорят о мгновениях, а любая измеренная скорость относится к промежутку времени. В этом разделе показано, как найти скорость в один-единственный момент: взять среднюю скорость за короткий промежуток, а затем посмотреть, к какому значению она приближается при сокращении промежутка.

**Рисунок 1.** Координата $x$ в зависимости от времени. Хорда от $t$ до $t + h$ имеет наклон $\overset{v}{ˉ}$ — среднюю скорость; при уменьшении $h$ (штриховая хорда) она превращается в касательную, наклон которой $v$ — скорость в момент $t$ .

На рисунке 1 показана координата машины из анимации, $x (t) = 3 t^{2}$ , где $x$ выражено в метрах, а $t$ — в секундах. Выберите момент $t$ и чуть более поздний момент $t + h$ , где $h$ — малый промежуток времени. Отрезок прямой, соединяющий две точки кривой, называется хордой. Вдоль неё координата возрастает на $Δ x$ , пока время увеличивается на $h$ , поэтому её наклон $Δ x / h$ — это средняя скорость $\overset{v}{ˉ}$ на этом промежутке. Раскрывая скобки, $(t + h)^{2} = t^{2} + 2 t h + h^{2}$ , получаем
$\overset{v}{ˉ} = \frac{Δ x}{h} = \frac{3 ( t + h ) ^{2} - 3 t ^{2}}{h} = \frac{6 t h + 3 h ^{2}}{h} = 6 t + 3 h$

Теперь посмотрите на штриховую хорду: её дальний конец соскользнул по кривой к точке, соответствующей моменту $t$ . По мере уменьшения $h$ хорда поворачивается и ложится на прямую с подписью $v$ — касательную, которая лишь касается кривой в момент $t$ . В формуле слагаемое $3 h$ стремится к нулю, так что наклон хорды стремится к $6 t$ , наклону касательной. Значит, при $t = 2 с$ машина едет со скоростью ровно 12 м/с, хотя любой конечный промежуток, начинающийся в этот момент, даёт чуть больше: $12 + 3 h$ .

Предел этого отношения — производная $x$ по $t$ ; он и определяет мгновенную скорость. Тот же шаг, применённый к скорости, определяет ускорение:
$v = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{d x}{d t}, a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$

Отсюда два следствия. Во-первых, ни один отдельный снимок не может показать скорость, потому что скорость сравнивает положения в соседние моменты времени. В этом ответ на апорию Зенона о летящей стреле, которая в каждый момент полёта будто бы неподвижна: в каждый момент у стрелы есть положение, а её скорость заключена в том, как это положение меняется в близкие моменты. Во-вторых, координата, скорость и ускорение образуют цепочку производных, $x \to v \to a$ . Ньютоновские обозначения с точками записывают оба шага компактно: $\overset{x}{˙}$ и $\overset{x}{¨}$ .

Обратно к координате: постоянное ускорение

Спуск по цепочке — это дифференцирование, подъём обратно — интегрирование. Если известно ускорение, одно интегрирование даёт скорость, а второе — координату. В этом разделе так сделано для самого частого случая, постоянного ускорения $a$ , и каждый шаг считывается с графика.

**Рисунок 2.** Скорость в зависимости от времени при постоянном ускорении: площадь под прямой равна перемещению $Δ x$ . Два более тёмных треугольника равны, поэтому $Δ x$ — это и площадь прямоугольника высотой $\overset{v}{ˉ}$ и шириной $t$ .

На рисунке 2 показан график зависимости скорости от времени. Скорость начинается со значения $v_{0}$ . Поскольку ускорение постоянно, скорость каждую секунду увеличивается на одну и ту же величину, так что график — прямая с наклоном $a$ . За время $t$ скорость вырастает на $a t$ (вертикальный отрезок справа) до $v = v_{0} + a t$ . В виде интеграла, где переменная интегрирования обозначена $t^{'}$ , чтобы не путать её с верхним пределом $t$ :
$v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a d t^{'} = v_{0} + a t$

За очень малое время скорость почти постоянна, поэтому перемещение равно скорости, умноженной на это время, — это тонкая полоска площади под графиком. Складывая полоски, получаем, что перемещение $Δ x = x - x_{0}$ за всё время $t$ равно закрашенной площади под прямой. Разбейте её на прямоугольник высотой $v_{0}$ и шириной $t$ , площадь которого $v_{0} t$ , и треугольник с основанием $t$ и высотой $a t$ , площадь которого $\frac{1}{2} a t^{2}$ :
$x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v (t^{'}) d t^{'} = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

Ту же площадь можно сосчитать и целиком. Штриховой уровень $\overset{v}{ˉ}$ лежит посередине между $v_{0}$ и $v$ . Поскольку график — прямая, он пересекает этот уровень точно в середине промежутка, в момент $t /2$ . На левой половине прямая идёт ниже уровня и оставляет треугольный пробел; на правой — выше и добавляет треугольник. Это два более тёмных треугольника, и они равны: у каждого основание $t /2$ и высота $a t /2$ . Отрежьте правый треугольник, переложите его в пробел слева — и площадь под прямой превратится в прямоугольник высотой $\overset{v}{ˉ}$ и шириной $t$ :
$Δ x = \overset{v}{ˉ} t = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t$

Каждое интегрирование добавляло постоянную: $v_{0}$ в первый раз, $x_{0}$ во второй. Это не украшение. Ускорение задаёт форму движения, а начальные координата и скорость выбирают, какое именно движение этой формы происходит на самом деле. Поэтому второму закону Ньютона, который даёт ускорение, всегда нужны ровно два начальных условия.

Ещё одно соотношение обходится без времени; оно полезно, когда время не дано и не спрашивается. Оно получается по правилу дифференцирования сложной функции: поскольку $d x / d t = v$ ,
$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}, откуда a d x = v d v$
При постоянном $a$ проинтегрируйте левую часть от $x_{0}$ до $x$ , а правую — от $v_{0}$ до $v$ . Получится $a (x - x_{0}) = \frac{1}{2} (v^{2} - v_{0}^{2})$ , то есть
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$

Умножьте обе части равенства $a (x - x_{0}) = \frac{1}{2} (v^{2} - v_{0}^{2})$ на массу $m$ , и получится $ma Δ x = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . Поскольку $ma$ — это сила, равенство говорит, что сила, умноженная на перемещение, равна изменению кинетической энергии: теорема о кинетической энергии уже скрыта в кинематике.

Из четырёх уравнений равноускоренного движения самое старое — $Δ x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t$ . Учёные оксфордского Мертон-колледжа сформулировали его около 1335 года как теорему о средней скорости, а Николай Орем вскоре доказал его, сравнивая площади почти так же, как это делает рисунок 2, — примерно за два с половиной века до того, как Галилей проверил его, скатывая шары по наклонному жёлобу. Отсюда же следует правило нечётных чисел Галилея. При движении из состояния покоя путь за $n$ -ю секунду равен $x (n) - x (n - 1) = \frac{1}{2} a [n^{2} - (n - 1)^{2}] = \frac{1}{2} a (2 n - 1)$ , так что пути за последовательные секунды растут как 1, 3, 5, 7. Для машины, у которой $a = 6 м / с^{2}$ , это 3, 9, 15 и 21 м.

Наклоны и площади

Графики координаты, скорости и ускорения — самый быстрый способ прочитать движение, и каждое правило их чтения — утверждение о производных (наклонах) или об интегралах (площадях). Рисунок 3 показывает все эти правила на одном примере.

**Рисунок 3.** Координата, скорость и ускорение машины на общей оси времени. Наклоны ведут вниз по стопке графиков (в момент $t_{1}$ касательная к $x (t)$ имеет наклон $v$ ), площади — вверх (площадь под $v$ равна приросту $Δ x$ , площадь под $a$ — приросту $Δ v$ ).

На рисунке 3 три графика машины из анимации расположены один над другим на общей оси времени: $x (t) = 3 t^{2}$ вверху, $v (t) = 6 t$ посередине и постоянное $a = 6 м / с^{2}$ внизу. Сначала прочитайте его сверху вниз — по наклонам. В момент $t_{1} = 4 с$ касательная к параболе $x (t)$ имеет наклон, равный скорости в этот момент, $v = 6 \cdot 4 = 24 м / с$ : она поднимается на 24 м за каждую секунду. Средний график $v (t)$ — прямая, потому что его наклон, ускорение, одинаков в каждый момент.

Изгиб графика $x (t)$ показывает знак ускорения, потому что $a$ — это быстрота изменения наклона $v$ . У графика, загибающегося кверху (выпуклостью вниз), наклон растёт, значит, $a > 0$ ; у загибающегося книзу (выпуклостью вверх) $a < 0$ ; на прямом участке $a = 0$ .

Теперь прочитайте его снизу вверх — по площадям. Площадь под графиком $v (t)$ от 0 до $t_{1}$ — треугольник, $\frac{1}{2} \cdot 4 с \cdot 24 м / с = 48 м$ , и она равна приросту $Δ x$ графика $x (t)$ за то же время: действительно, $x (4) = 3 \cdot 16 = 48 м$ . Площадь под графиком $a (t)$ — прямоугольник, $6 м / с^{2} \cdot 4 с = 24 м / с$ , и она равна приросту $Δ v$ графика $v (t)$ . На рисунке каждая площадь подписана так же, как прирост, который она даёт.

Два предостережения. Во-первых, площадь под графиком $v (t)$ считается отрицательной там, где $v < 0$ , поэтому она даёт перемещение, а не пройденный путь; путь равен $\int ∣ v ∣ d t$ . Во-вторых, графики $v$ и $a$ ничего не говорят о том, где началось движение: сдвиг $x (t)$ вверх или вниз их не меняет, поэтому начальную координату $x_{0}$ всегда нужно задавать отдельно.

Когда ускорение непостоянно

Реальные ускорения меняются: тяга двигателя слабеет, воздух сопротивляется тем сильнее, чем выше скорость, пружина тянет тем сильнее, чем больше растянута. Способ решения зависит от того, функцией чего является ускорение, и большинство задач сводится к трём случаям.

Ускорение задано как функция времени, $a (t)$ : интегрируем дважды, сначала $v = v_{0} + \int_{0}^{t} a d t^{'}$ , затем $x = x_{0} + \int_{0}^{t} v d t^{'}$ . Задача, разобранная ниже, как раз такого типа.
Ускорение зависит от скорости, $a (v)$ , как при сопротивлении среды: поскольку $a = d v / d t$ , разделяем переменные, $d t = d v / a (v)$ , и интегрируем. Для линейного сопротивления $a = - k v$ , где $k$ — постоянная, получаем $v = v_{0} e^{- k t}$ и $x = x_{0} + (v_{0} / k) (1 - e^{- k t})$ . Тело никогда полностью не останавливается, но проходит лишь конечное расстояние $v_{0} / k$ . Если бы машину из анимации, едущую со скоростью 24 м/с, тормозило только такое сопротивление с $k = 0, 5 с^{- 1}$ , она прокатилась бы не больше $24/0, 5 = 48 м$ . Для тела, падающего при квадратичном сопротивлении, $a = g - b v^{2}$ (положительное направление — вниз), ускорение исчезает по мере того, как $v$ приближается к предельной скорости $g / b$ , при которой $a = 0$ .
Ускорение зависит от координаты, $a (x)$ , как у пружины: интегрируем полученное выше соотношение $a d x = v d v$ . Для $a = - ω^{2} x$ это даёт $v^{2} = v_{0}^{2} - ω^{2} (x^{2} - x_{0}^{2})$ . После умножения на $\frac{1}{2} m$ это закон сохранения энергии для осциллятора, найденный ещё до того, как введено само понятие энергии.

Шаг за шагом: численный расчёт

Большинство ускорений, встречающихся на практике, приводит к уравнениям, которые не решаются никакой формулой. Тогда движение строят малыми шагами по времени, и на каждом шаге используют ускорение, известное в его начале. Рисунок 4 показывает простейшую такую схему, метод Эйлера, на случае с известным точным ответом, чтобы была видна её погрешность.

Рисунок 4 прослеживает машину, катящуюся по инерции при сопротивлении $a = - k v$ , с числами из примера выше: $k = 0, 5 с^{- 1}$ и $v_{0} = 24 м / с$ . Синяя кривая — точное решение $v (t) = v_{0} e^{- k t}$ . Чёрная ломаная — численная оценка с намеренно крупным шагом $Δ t = 1 с$ , чтобы погрешность была хорошо видна.

Каждый шаг выполняется по одному правилу. В начале шага найдите ускорение по текущей скорости, $a = - k v$ . Считайте, что оно сохраняет это значение весь шаг, так что скорость меняется на $a Δ t$ : замените $v$ на $v + a Δ t$ . Так же продвиньте координату, заменив $x$ на $x + v Δ t$ , и повторите всё с новыми значениями. Выделенный шаг показывает один такой проход: его наклон — это ускорение $a$ , найденное в его начале, поэтому за время $Δ t$ скорость падает на $a Δ t$ , и не больше.

Здесь каждый шаг умножает скорость на $1 - k Δ t = 0, 5$ . Через 1, 2, 3 и 4 с шаги дают 12; 6; 3 и 1,5 м/с, а точные значения равны 14,6; 8,8; 5,4 и 3,2 м/с. Шаги идут ниже кривой, потому что настоящее замедление ослабевает по мере того, как $v$ падает в течение шага, а численный шаг сохраняет то более сильное значение, с которого начал. Погрешность пропорциональна $Δ t$ : когда шаг уже мал, уменьшение его вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность, поэтому при $Δ t \to 0$ шаги сходятся к точному движению. Орбиты, прогнозы погоды и физику в компьютерных играх рассчитывают усовершенствованными вариантами этой идеи.

Задача: ослабевающая тяга

Вот ускорение, меняющееся со временем; с ним справляются двукратным интегрированием. Пусть тяга машины равномерно ослабевает: $a (t) = a_{0} (1 - t / τ)$ , где $a_{0} = 6 м / с^{2}$ и $τ = 8 с$ , а движение начинается из состояния покоя в точке $x = 0$ . Ускорение линейно убывает от $a_{0}$ до нуля в момент $t = τ$ . Какой будет скорость машины и какой путь она пройдёт к тому моменту, когда тяга исчезнет?

Интегрируем один раз, при $v_{0} = 0$ :
$v (t) = \int_{0}^{t} a_{0} (1 - \frac{t ^{'}}{τ}) d t^{'} = a_{0} (t - \frac{t ^{2}}{2 τ})$
откуда $v (τ) = a_{0} (τ - τ /2) = a_{0} τ /2 = 24 м / с$ — та же конечная скорость, что и в анимации. Интегрируем ещё раз, при $x_{0} = 0$ :
$x (t) = a_{0} (\frac{t ^{2}}{2} - \frac{t ^{3}}{6 τ}), x (τ) = \frac{a _{0} τ ^{2}}{3} = \frac{6 \cdot 64}{3} = 128 м$

Сравните с машиной из анимации, которая набирала 24 м/с за 4 с на пути 48 м: этой нужно 8 с и 128 м. Её график $v (t)$ теперь парабола, которая выходит на горизонталь при $t = τ$ , где $a = 0$ , а площадь под ним составляет две трети прямоугольника 8 с на 24 м/с: $\frac{2}{3} \cdot 192 = 128 м$ .

Заманчивый короткий путь не работает. Среднее ускорение равно $24/8 = 3 м / с^{2}$ , но если считать его постоянным, получится $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8^{2} = 96 м$ — на 32 м меньше. Эта машина набирает большую часть скорости в начале, поэтому дольше едет быстро: её средняя скорость равна $128/8 = 16 м / с$ , а не 12 м/с, как при равномерном разгоне. Формулы равноускоренного движения нельзя спасти, подставив в них среднее ускорение.

Границы применимости

Всё сказанное выше опирается на три идеализации, и каждая где-то перестаёт работать. Во-первых, тело рассматривается как материальная точка с единственной координатой. Для машины или планеты это значит следить за её центром масс; вращение и деформации требуют отдельного описания.

Во-вторых, предполагается, что функция $x (t)$ достаточно гладкая, чтобы её можно было дважды продифференцировать. Удар, который будто бы мгновенно меняет направление скорости, на самом деле — очень большое ускорение в течение очень короткого времени. В масштабах атомов сама идея чёткой траектории $x (t)$ теряет смысл: квантовая механика не допускает, чтобы у частицы одновременно были точно определены и координата, и скорость.

В-третьих, кинематика Галилея предполагает, что у всех наблюдателей одни и те же часы. Тогда скорости просто складываются: в системе отсчёта, движущейся с постоянной скоростью $u$ , скорость тела равна $v^{'} = v - u$ , а его ускорение во всех таких системах одинаково. Поэтому законы Ньютона выполняются во всех инерциальных системах отсчёта.

Специальная теория относительности показывает, что общие для всех часы — лишь приближение, верное для скоростей, много меньших скорости света $c \approx 3, 00 \times 1 0^{8} м / с$ . Для машины, едущей со скоростью 24 м/с, поправки порядка $v^{2} / c^{2} \approx 6 \times 1 0^{- 15}$ , то есть намного меньше всего, что можно измерить. Со спутниками GPS, летящими со скоростью около 3,9 км/с, дело обстоит иначе: из-за одного только этого эффекта их часы отстают примерно на 7 микросекунд в сутки, и без поправки вычисленные координаты за сутки уходили бы на километры. (Гравитация, согласно общей теории относительности, даёт ещё больший эффект противоположного знака.)

Что дальше

Кинематика описывает движение, динамика его объясняет. Второй закон Ньютона даёт ускорение, $a = F / m$ , а кинематика превращает это ускорение в траекторию: в этом и состоит вся программа классической механики. Встретившиеся здесь случаи будут возвращаться постоянно. Свободное падение — это постоянное ускорение величиной $g$ , направленное вниз. Движение тела, брошенного под углом, — это два независимых прямолинейных движения, равномерное и равноускоренное. При движении по окружности модуль скорости может оставаться постоянным, пока направление скорости поворачивается, а для этого нужно ускорение $v^{2} / r$ , направленное к центру. Гармонические колебания — это $a = - ω^{2} x$ , сопротивление среды даёт зависимость $a (v)$ , а $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ возвращается в виде теоремы о кинетической энергии. Относительные скорости и движущиеся системы отсчёта — дальше, в уроке «Векторы и относительное движение».

Главные формулы

Средняя скорость

v_{ср} = \frac{Δ x}{Δ t}

Перемещение делят на время, за которое оно совершено. Результат — та постоянная скорость, при которой тело совершило бы то же перемещение за то же время; о том, как шло движение внутри промежутка, он ничего не говорит. Поскольку $Δ x$ имеет знак, его имеет и $v_{ср}$ , а при возвращении в исходную точку средняя скорость перемещения равна нулю.

Обозначения
$v_{ср}$	средняя скорость на промежутке	$м / с$
$Δ x$	перемещение за этот промежуток	$м$
$Δ t$	длительность промежутка	$с$

Когда верна: Верна для любого движения. Если тело поворачивает назад, это не средняя путевая скорость (путь, делённый на время); при $Δ t \to 0$ получается мгновенная скорость $d x / d t$ .

Пример: Машина из анимации проезжает 48 м за 4 с: $v_{ср} = 48/4 = 12 м / с$ — половина конечной скорости.

Ускорение

a = \frac{Δ v}{Δ t}

Ускорение — это изменение скорости, делённое на время, за которое оно произошло, поэтому его единица — метр в секунду за секунду, м/с². Знак ускорения — это знак изменения $Δ v$ , а не самой скорости: у машины, которая тормозит, двигаясь в положительном направлении, $a < 0$ .

Обозначения
$a$	среднее ускорение на промежутке	$м / с^{2}$
$Δ v$	изменение скорости (конечная минус начальная)	$м / с$
$Δ t$	длительность промежутка	$с$

Когда верна: Даёт среднее ускорение за время $Δ t$ . С ускорением в каждый момент оно совпадает, только если ускорение постоянно; в общем случае $a = d v / d t$ .

Пример: С места до 24 м/с за 4 с: $a = 24/4 = 6 м / с^{2}$ .

Скорость при равноускоренном движении

v = v_{0} + a t

При постоянном ускорении скорость каждую секунду меняется на $a$ , поэтому за время $t$ она изменяется на $a t$ . На графике скорости от времени это прямая, которая начинается в точке $v_{0}$ и имеет наклон $a$ .

Обозначения
$v$	скорость в момент $t$	$м / с$
$v_{0}$	начальная скорость, при $t = 0$	$м / с$
$a$	ускорение (постоянное)	$м / с^{2}$
$t$	время от начала движения	$с$

Когда верна: Только пока ускорение постоянно; при меняющемся ускорении его нужно проинтегрировать по времени.

Пример: Торможение со скорости 14 м/с при $a = - 7 м / с^{2}$ : $v = 14 - 7 t$ обращается в нуль через 2 с.

Координата при равноускоренном движении

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Перемещение — это площадь под графиком скорости: прямоугольник $v_{0} t$ для начальной скорости плюс треугольник $\frac{1}{2} a t^{2}$ для набранной скорости. Прибавив его к начальной координате, получаем положение тела в момент $t$ . Из-за множителя $t^{2}$ пути, проходимые за последовательные секунды, всё время растут.

Обозначения
$x$	координата в момент $t$	$м$
$x_{0}$	начальная координата, при $t = 0$	$м$
$v_{0}$	начальная скорость	$м / с$
$a$	ускорение (постоянное)	$м / с^{2}$
$t$	время от начала движения	$с$

Когда верна: Только пока ускорение постоянно, причём $t$ отсчитывается от момента, когда тело находится в точке $x_{0}$ и имеет скорость $v_{0}$ .

Пример: Машина из анимации, из состояния покоя с $a = 6 м / с^{2}$ : через 4 с $x = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4^{2} = 48 м$ .

Связь скорости и перемещения без времени

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Если исключить $t$ из двух предыдущих уравнений, скорость и перемещение связываются напрямую — это естественный выбор, когда время не дано и не спрашивается. После умножения на $m /2$ уравнение выражает теорему о кинетической энергии: работа силы равна изменению кинетической энергии.

Обозначения
$v$	конечная скорость	$м / с$
$v_{0}$	начальная скорость	$м / с$
$a$	ускорение (постоянное)	$м / с^{2}$
$Δ x$	перемещение	$м$

Когда верна: Только при постоянном ускорении. Уравнение даёт $v^{2}$ , поэтому знак $v$ определяют из условия: мяч, брошенный вверх, проходит каждую высоту дважды — при подъёме и при спуске.

Пример: Торможение с ускорением 7 м/с² по модулю со скорости 28 м/с: $Δ x = 2 8^{2} / (2 \cdot 7) = 56 м$ .

Глоссарий

Кинематика: Описание движения (где находится тело, как быстро оно движется, как меняется его скорость) без вопроса о причинах. Причинами движения занимается динамика.
Система отсчёта: То, относительно чего измеряют движение: начало отсчёта, положительное направление и часы. Координаты и скорости зависят от системы отсчёта; для систем, равномерно движущихся друг относительно друга, ускорения от неё не зависят.
Материальная точка: Тело, которое рассматривают как точку с единственной координатой, пренебрегая его размерами и вращением. Хорошая модель, когда размеры тела не важны для поставленного вопроса.
Перемещение: Изменение координаты, $Δ x = x - x_{0}$ . Имеет знак и зависит только от начального и конечного положений, а не от пути между ними.
Пройденный путь: Полная длина траектории; никогда не бывает отрицательным. Если пройти 10 м вперёд и 10 м назад, путь равен 20 м, а перемещение — нулю.
Модуль скорости: Насколько быстро движется тело, независимо от направления: величина скорости без знака. Средняя путевая скорость — это путь, делённый на время.
Скорость: Быстрота изменения координаты; её знак указывает направление движения. Мгновенная скорость — это производная $v = d x / d t$ , а на промежутке времени берут среднее значение $Δ x /Δ t$ .
Ускорение: Быстрота изменения скорости, $a = Δ v /Δ t$ , в м/с². Разгон, торможение и поворот — всё это движение с ускорением.
Торможение: Уменьшение модуля скорости, когда ускорение направлено против скорости. Оно отрицательно, только если тело движется в положительном направлении.
Равномерное прямолинейное движение: Движение по прямой с постоянной скоростью: $a = 0$ , и за равные промежутки времени тело проходит равные расстояния, $x = x_{0} + v t$ .
Равноускоренное движение: Движение с постоянным ускорением: скорость каждую секунду меняется на одну и ту же величину, и применимы четыре уравнения равноускоренного движения.
Свободное падение: Движение только под действием силы тяжести, без учёта сопротивления воздуха. Вблизи поверхности Земли все тела падают тогда с одинаковым ускорением $g \approx 9, 81 м / с^{2}$ , направленным вниз.

Величины
$x$	Координата	$м$	Положение тела на прямой, отсчитанное от начала координат; по другую сторону от него координата отрицательна.
$x_{0}$	Начальная координата	$м$	Координата в момент $t = 0$ , с которого отсчитывают движение.
$Δ x$	Перемещение	$м$	Разность конечной и начальной координат, $x - x_{0}$ : насколько и в какую сторону сместилось тело.
$t$	Время	$с$	Показание часов системы отсчёта, обычно отсчитываемое от начала движения.
$v$	Скорость	$м / с$	Быстрота изменения координаты в данный момент; знак указывает направление движения.
$v_{0}$	Начальная скорость	$м / с$	Скорость в момент $t = 0$ .
$v_{ср}$	Средняя скорость	$м / с$	Перемещение, делённое на затраченное время, $Δ x /Δ t$ : та постоянная скорость, при которой тело совершило бы то же перемещение за то же время.
$a$	Ускорение	$м / с^{2}$	Быстрота изменения скорости; $a = 6 м / с^{2}$ означает, что скорость каждую секунду растёт на 6 м/с.
$g$	Ускорение свободного падения	$м / с^{2}$	Ускорение свободно падающего тела вблизи поверхности Земли, около $9, 81 м / с^{2}$ ; направлено вниз.

Тест

Начальный Бегунья пробегает 400 м за 80 с. Какова её средняя скорость?
1. 5 м/с
2. 320 м/с
3. 0,2 м/с
4. 4,8 м/с
Показать ответ
Ответ: A. 5 м/с
Средняя скорость = путь ÷ время: 400 ÷ 80 = 5 м/с.
Начальный Что измеряет ускорение?
1. Быстроту изменения скорости
2. Пройденный путь
3. Массу тела
4. Быстроту изменения координаты
Показать ответ
Ответ: A. Быстроту изменения скорости
Ускорение — это скорость изменения скорости, в м/с².
Средний Вы прошли 30 м на восток, затем 30 м на запад. Чему равно перемещение?
1. 0 м
2. 60 м
3. 30 м на восток
4. 30 м на запад
Показать ответ
Ответ: A. 0 м
Перемещение — изменение положения. Вы вернулись в исходную точку, поэтому оно равно нулю, хотя путь 60 м.
Средний Что означает площадь под графиком скорости от времени?
1. Перемещение
2. Ускорение
3. Скорость
4. Силу
Показать ответ
Ответ: A. Перемещение
Площадь = скорость × время, то есть перемещение. Наклон графика — ускорение.
Продвинутый Мяч брошен вертикально вверх. Каково его ускорение в верхней точке?
1. 9,81 м/с² вниз
2. Ноль
3. 9,81 м/с² вверх
4. Зависит от начальной скорости
Показать ответ
Ответ: A. 9,81 м/с² вниз
Скорость на мгновение равна нулю, но сила тяжести действует, поэтому ускорение всё время равно −g.
Продвинутый Ускорение тела a = −k·v. Как меняется его скорость?
1. Убывает экспоненциально
2. Убывает линейно
3. Остаётся постоянной
4. Колеблется
Показать ответ
Ответ: A. Убывает экспоненциально
dv/dt = −kv после разделения переменных даёт dv/v = −k dt, откуда v = v₀·e^(−kt).
Начальный Автомобиль едет по прямому шоссе с постоянной скоростью 30 м/с. Каково его ускорение?
1. 30 м/с²
2. 0 м/с²
3. 9,81 м/с²
4. Без массы автомобиля определить нельзя
Показать ответ
Ответ: B. 0 м/с²
Ускорение — это изменение скорости за каждую секунду. Скорость остаётся равной 30 м/с, поэтому ускорение равно нулю, как бы быстро ни ехал автомобиль.
Средний Автомобиль трогается с места с постоянным ускорением 6 м/с². Какой путь он пройдёт за 4 с?
1. 24 м
2. 96 м
3. 48 м
4. 12 м
Показать ответ
Ответ: C. 48 м
x = ½·a·t² = ½·6·4² = 48 м. 24 — это a·t, скорость в м/с, а не расстояние; в 96 м забыт множитель ½; в 12 м время не возведено в квадрат.

$x$	Координата машины на её пути; кривая — график $x (t)$ .	$м$
$t$	Момент, в который ищется скорость.	$с$
$t + h$	Чуть более поздний момент, через время $h$ после $t$ .	$с$
$h$	Длительность промежутка от $t$ до $t + h$ .	$с$
$Δ x$	Изменение координаты от $t$ до $t + h$ : подъём хорды.	$м$
$\overset{v}{ˉ}$	Средняя скорость на промежутке: наклон хорды, $Δ x / h$ .	$м / с$
$v$	Скорость в момент $t$ : наклон касательной, к которой приближаются хорды при $h \to 0$ .	$м / с$

$v_{0}$	Начальная скорость.	$м / с$
$v$	Скорость через время $t$ : $v = v_{0} + a t$ .	$м / с$
$\overset{v}{ˉ}$	Средняя скорость $\frac{1}{2} (v_{0} + v)$ : штриховой уровень посередине между $v_{0}$ и $v$ .	$м / с$
$a t$	Скорость, набранная за время $t$ : постоянное ускорение $a$ , умноженное на время.	$м / с$
$t$	Время, прошедшее от начала движения.	$с$
$Δ x$	Перемещение за время $t$ : закрашенная площадь под прямой.	$м$

$x$	Координата; её график (вверху) — парабола.	$м$
$v$	Скорость: прямая на среднем графике и наклон касательной к $x (t)$ в момент $t_{1}$ .	$м / с$
$a$	Ускорение: здесь постоянное, поэтому его график (внизу) — горизонтальная прямая.	$м / с^{2}$
$t$	Время — горизонтальная ось, общая для всех трёх графиков.	$с$
$t_{1}$	Момент, в который проведена касательная и на котором заканчиваются площади.	$с$
$Δ x$	Изменение координаты от 0 до $t_{1}$ : прирост $x (t)$ , равный площади под $v (t)$ .	$м$
$Δ v$	Изменение скорости от 0 до $t_{1}$ : прирост $v (t)$ , равный площади под $a (t)$ .	$м / с$

$v$	Скорость машины, катящейся по инерции; синяя кривая — точная зависимость $v (t)$ , ломаная — численные шаги.	$м / с$
$t$	Время.	$с$
$Δ t$	Длительность одного шага по времени.	$с$
$a$	Ускорение $a = - k v$ , найденное в начале шага и сохраняемое весь шаг: наклон шага (отрицательный, так как $v$ убывает).	$м / с^{2}$
$a Δ t$	Изменение скорости за один шаг: здесь отрицательное, то есть убыль.	$м / с$