As leis de Newton

Iniciante

Força é um empurrão ou um puxão. Algumas forças exigem contato, como um pé chutando uma bola ou uma corda puxando um trenó; outras atuam através do espaço vazio, como a gravidade ou um ímã. As forças são medidas em newtons (N).

As forças têm direções, então se combinam como setas. Se você empurra uma caixa para a direita com 30 N enquanto um amigo a empurra para a esquerda com 20 N, a força resultante é de 10 N para a direita.

Verificação rápida: e se o seu amigo também empurrar com 30 N? (A força resultante é zero.)

Primeira lei: com força resultante zero, um objeto em repouso continua em repouso, e um objeto em movimento segue em linha reta com a mesma velocidade. Um sofá empurrado para de se mover quando você solta só por causa do atrito, uma força do chão. No gelo liso, um disco de hóquei desliza sem parar.

Segunda lei: uma força resultante altera o movimento, e aceleração = força resultante ÷ massa. Dobre a força e a aceleração dobra; dobre a massa e ela cai pela metade. Na animação, o mesmo empurrão (setas vermelhas) atua sobre um bloco de 2 kg e outro de 5 kg em um piso sem atrito, então o bloco leve ganha velocidade 2,5 vezes mais rápido.

Verificação rápida: um carrinho de 6 kg sente uma força resultante de 18 N. Qual é a aceleração dele? (3 m/s².)

Massa não é peso. A massa, em quilogramas, diz quão difícil é acelerar um objeto e é a mesma em qualquer lugar; o peso é a atração da gravidade, em newtons, cerca de seis vezes menor na Lua.

Terceira lei: forças vêm em pares. Empurre uma parede e ela empurra você com a mesma força; pule, e você empurra a Terra para baixo enquanto ela empurra você para cima. As duas forças atuam em objetos diferentes, então nunca se cancelam.

Intermediário

Força, massa e força resultante

Força é um empurrão ou um puxão que um corpo exerce sobre outro, como a atração da Terra sobre uma maçã que cai. É um vetor, $\vec{F}$, com um módulo em newtons (N) e uma direção. Ao longo de uma reta, escolha um sentido positivo e dê a cada força um sinal: com a direita como positiva, 10 N para a esquerda valem $-10\mathrm{N}$.

O que altera o movimento é a força resultante $\sum \vec{F}$, a soma vetorial de todas as forças sobre aquele corpo. Empurre uma caixa de 4 kg com 30 N para a direita enquanto um amigo a empurra com 10 N para a esquerda, e a força resultante é $30-10=20\mathrm{N}$ para a direita. A massa $m$, em quilogramas, mede a inércia, isto é, o quanto o corpo resiste a uma mudança de velocidade; ela é a mesma na Terra, na Lua e no espaço profundo.

A primeira e a segunda leis

Com força resultante zero, a velocidade não muda: um corpo em repouso continua em repouso, e um corpo em movimento mantém a mesma velocidade na mesma direção.
$\sum \vec{F}=0\iff \vec{v}=\mathrm{const}$
O movimento em si não precisa de força; só uma mudança de movimento precisa. Um carro andando a uma velocidade constante de 20 m/s contra 600 N de arrasto e resistência de rolamento precisa de uma força motriz de exatamente 600 N: as forças se equilibram e o carro está em equilíbrio.

Quando as forças não se equilibram, o corpo acelera na direção da força resultante:
$\sum \vec{F}=m\vec{a}$
Dobre a força resultante e a aceleração dobra; dobre a massa e ela cai pela metade. A caixa acima recebe $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$. A lei também define o newton: 1 N dá a uma massa de 1 kg uma aceleração de 1 m/s², então $1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$.

Peso e diagramas de corpo livre

O peso é a força gravitacional sobre um corpo. Perto da superfície da Terra
$W=mg$
com $g=9,81m/{\mathrm{s}}^2$, então o peso é uma força em newtons, não uma massa em quilogramas. Um astronauta de 70 kg pesa $70\cdot 9,81\approx 687\mathrm{N}$ na Terra e $70\cdot 1,62\approx 113\mathrm{N}$ na Lua, cerca de um sexto disso, mas sua massa continua sendo 70 kg. Uma superfície empurra de volta com uma força normal $N$, perpendicular a ela, e uma corda esticada puxa com uma tração $T$.

Para usar as leis, desenhe um diagrama de corpo livre em quatro passos.

• Isole um corpo e desenhe-o sozinho, como uma caixa ou um ponto.
• Desenhe cada força que atua sobre esse corpo: peso, força normal, tração, atrito, empurrões.
• Deixe de fora as forças que esse corpo exerce sobre outros; elas pertencem a outros diagramas.
• Escolha os eixos, de preferência um na direção da aceleração, e aplique a segunda lei em cada eixo.

Como equação vetorial, a lei se divide em uma equação por eixo:
$\sum F_x=m{a}_x\sum F_y=m{a}_y$
Para um bloco sobre um piso horizontal sem aceleração vertical, a segunda dá $N-mg=0$, logo $N=mg$. Em um plano inclinado ou em um elevador acelerando, a força normal difere do peso.

A terceira lei: forças vêm em pares

Forças são interações, por isso vêm em pares. Se o corpo A empurra o corpo B, então B empurra A com uma força de mesmo módulo e direção oposta:
${\vec{F}}_{AB}=-{\vec{F}}_{BA}$
onde ${\vec{F}}_{AB}$ é a força que A exerce sobre B. As duas forças são do mesmo tipo e atuam no mesmo instante, mas em corpos diferentes; por isso nunca se cancelam e nunca aparecem no mesmo diagrama de corpo livre.

Um livro sobre uma mesa sente o próprio peso e a força normal da mesa. Elas se equilibram, mas não são um par da terceira lei: ambas atuam no livro, e são iguais só porque o livro não acelera. O par do peso é a atração gravitacional do livro sobre a Terra. Em uma batida, um carro de 1000 kg e um caminhão de 6000 kg sentem a mesma força, digamos 30 kN, que dá ao carro 30 m/s² mas ao caminhão apenas 5 m/s².

Exemplo resolvido: os blocos da animação

A animação empurra um bloco leve, $m_1=2\mathrm{kg}$, e um pesado, $m_2=5\mathrm{kg}$, com a mesma força horizontal $F=20\mathrm{N}$: as setas vermelhas têm o mesmo comprimento. Os pisos não têm atrito e cada peso é equilibrado pela força normal (19,62 N e 49,05 N), então o empurrão é a força resultante:
$a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{20}{2}=10m/{\mathrm{s}}^2,a_2=\frac{F}{m_2}=\frac{20}{5}=4m/{\mathrm{s}}^2$

Os dois blocos partem do repouso, então após $t=3\mathrm{s}$
$v_1=a_{1}t=10\cdot 3=30m/s,v_2=a_{2}t=4\cdot 3=12m/s$
Estes são os valores finais nos marcadores $v_1$ e $v_2$, que aumentam 10 e 4 m/s a cada segundo. Com $x=\frac{1}{2}a{t}^2$, os blocos percorrem 45 m e 18 m. As marcas cinzas mostram as bordas frontais após 0, 1 e 2 s: o bloco leve andou 5 m e depois 20 m, o pesado 2 m e depois 8 m. A cada instante, a velocidade e a distância do bloco leve são 2,5 vezes as do pesado, o inverso da razão das massas.

Exemplo resolvido: uma balança no elevador

Você está em pé sobre uma balança de banheiro em um elevador. Sua massa é 70 kg, e o elevador começa a subir com aceleração de 1,0 m/s². Duas forças atuam sobre você: seu peso, $mg=686,7\mathrm{N}$, para baixo, e a força normal $N$ da balança, para cima. Com o sentido para cima positivo, a segunda lei dá
$N-mg=ma\Rightarrow N=m(g+a)=70\cdot (9,81+1,0)\approx 757\mathrm{N}$

Pela terceira lei, você empurra a balança para baixo com os mesmos 757 N, e isso é o que ela mede; uma balança graduada em quilogramas divide por 9,81 e mostra 77,1 kg. Em velocidade constante, ela mostra seus verdadeiros 70 kg. Enquanto o elevador desacelera perto do topo, $a=-1,0m/{\mathrm{s}}^2$ e a leitura cai para $70\cdot 8,81\approx 617\mathrm{N}$, ou 62,9 kg. Em queda livre ela marcaria zero: a ausência de peso significa ausência de força de apoio, não ausência de gravidade.

Erros comuns

• Movimento não precisa de força resultante: o carro a 20 m/s constantes contra 600 N de resistência é impulsionado por exatamente 600 N, e uma força maior o aceleraria.
• Massa não é peso: o astronauta de 70 kg pesa 687 N na Terra e 113 N na Lua, mas é igualmente difícil de pôr em movimento nos dois lugares.
• A força normal nem sempre é $mg$: no elevador acelerando ela vale 757 N, enquanto seu peso é 687 N.
• Use a força resultante, não uma força isolada: a caixa empurrada com 30 N para um lado e 10 N para o outro recebe $a=20/4=5m/{\mathrm{s}}^2$, não $30/4=7,5m/{\mathrm{s}}^2$.

Onde você encontra isso

Zonas de deformação e cintos de segurança usam $a=F/m$ ao contrário: espalhar uma batida por um tempo maior reduz a aceleração, e assim a força, sobre os ocupantes. Foguetes, nadadores e caminhantes empurram algo para trás e são empurrados para a frente pelo seu par da terceira lei. Vêm em seguida Atrito e plano inclinado, Movimento circular, em que a força resultante gira a velocidade, e Gravitação e órbitas; Quantidade de movimento e colisões e Trabalho, energia e potência decorrem da segunda lei somada ao longo do tempo e da distância.

Avançado

Força como taxa de variação da quantidade de movimento

A segunda lei de Newton costuma ser apresentada como $\vec{F}=m\vec{a}$. Sua forma geral usa a quantidade de movimento $\vec{p}=m\vec{v}$, e lê-la como uma afirmação sobre vetores explica de imediato como uma força pode acelerar um corpo, freá-lo ou fazê-lo girar.

Legenda

$\vec{F}$	Força resultante sobre o corpo no ponto.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\parallel }$	Parte de $\vec{F}$ ao longo do movimento: muda a velocidade.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{\perp }$	Parte de $\vec{F}$ transversal ao movimento, para o interior da curva: curva a trajetória.	$\mathrm{N}$
$\vec{p}$	Quantidade de movimento $m\vec{v}$ do corpo, na direção do movimento.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$d\vec{p}$	Variação da quantidade de movimento em um intervalo curto $dt$: $d\vec{p}=\vec{F}dt$, apontando no sentido de $\vec{F}$.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
${\vec{p}}^{\prime }$	Quantidade de movimento um instante depois: $\vec{p}+d\vec{p}$, maior que $\vec{p}$ e girado.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$

A figura 1 acompanha um corpo numa curva: a curva preta é sua trajetória, e a ponta da seta mostra o sentido do movimento. À esquerda, observe o ponto. A força resultante $\vec{F}$ sobre o corpo se divide em duas partes perpendiculares. A parte ${\vec{F}}_{\parallel }$ fica ao longo do movimento; ela muda o módulo da velocidade e deixa a direção intacta. A parte ${\vec{F}}_{\perp }$ aponta através do movimento, para o interior da curva; ela muda a direção e deixa o módulo da velocidade intacto. O movimento circular com velocidade de módulo constante é o caso em que só ${\vec{F}}_{\perp }$ está presente.

À direita, o mesmo instante é desenhado com quantidades de movimento. Em um intervalo curto $dt$, a quantidade de movimento $\vec{p}$ muda de $d\vec{p}=\vec{F}dt$, então $d\vec{p}$ é paralelo a $\vec{F}$, não a $\vec{p}$. Colocando-o na ponta de $\vec{p}$, obtém-se a nova quantidade de movimento ${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}+d\vec{p}$. Agora compare ${\vec{p}}^{\prime }$ com o arco tracejado, cujo raio é $|\vec{p}|$: a ponta de ${\vec{p}}^{\prime }$ fica além do arco, então a quantidade de movimento cresceu, e ${\vec{p}}^{\prime }$ também aponta para uma nova direção. A parte paralela da força causou o crescimento, e a parte perpendicular, a curva.

Escrito como equação, isto é a segunda lei em sua forma geral: a força resultante sobre um corpo é igual à taxa com que sua quantidade de movimento varia,
$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$
Se a massa é constante, $d\vec{p}/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$, a forma familiar. Uma equação vetorial equivale a três equações ao mesmo tempo, uma para cada eixo; com pontos indicando derivadas no tempo ($\ddot{x}=d^{2}x/d{t}^2$),
$m\ddot{x}=F_x,m\ddot{y}=F_y,m\ddot{z}=F_z$

Cada uma delas é uma equação diferencial de segunda ordem: contém a segunda derivada da posição. Resolvê-la exige, portanto, dois valores iniciais por eixo, a posição inicial e a velocidade inicial. Com eles e a força, o movimento fica fixado para todos os instantes seguintes. Note o que a lei relaciona: a força resultante determina a aceleração, seja qual for a velocidade naquele momento. Um corpo pode estar em alta velocidade sem força atuando sobre ele, e uma bola no topo do lançamento está momentaneamente parada enquanto ainda acelera a $g$.

Referenciais inerciais: o que a primeira lei acrescenta

A primeira lei é mais do que o caso especial $\sum \vec{F}=0$ da segunda. Ela afirma que existem referenciais nos quais um corpo livre de forças se move em linha reta com velocidade constante. Eles são chamados referenciais inerciais, e só neles vale $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ como escrito. Qualquer referencial que se move com velocidade constante em relação a um referencial inercial também é inercial, pois somar a mesma velocidade constante a todos os corpos não altera nenhuma aceleração. Referenciais que aceleram precisam de uma correção, descrita mais adiante.

Impulso e trabalho: áreas sob a força

Somar uma força ao longo do tempo dá a variação da quantidade de movimento; somá-la ao longo da distância dá a variação da energia cinética. Esses dois teoremas levam das leis de Newton às leis de conservação, e a figura 2 mostra ambos para o empurrão da animação.

Legenda

$F$	Força constante que empurra cada bloco.	$\mathrm{N}$
$t$	Tempo desde o início do empurrão.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Duração do empurrão.	$\mathrm{s}$
$J$	Impulso da força: a área sob $F(t)$, $J=F\Delta t$. É igual à quantidade de movimento ganha.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$
$x$	Posição de um bloco no piso, medida a partir do início do empurrão.	$\mathrm{m}$
$m_1$	O bloco leve.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	O bloco pesado.	$\mathrm{kg}$
$x_1$	Distância percorrida pelo bloco leve durante $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Distância percorrida pelo bloco pesado durante $\Delta t$.	$\mathrm{m}$
$W_1$	Trabalho sobre o bloco leve: a área sob $F(x)$ até $x_1$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Trabalho sobre o bloco pesado: a área sob $F(x)$ até $x_2$.	$\mathrm{J}$

Na figura 2, a mesma força constante $F=20\mathrm{N}$ atua durante $\Delta t=3\mathrm{s}$ sobre o bloco leve $m_1=2\mathrm{kg}$ e sobre o bloco pesado $m_2=5\mathrm{kg}$. O gráfico da esquerda mostra a força em função do tempo $t$. É uma reta horizontal, e a área sombreada abaixo dela, $F\Delta t$, é o impulso $J$. Este gráfico é o mesmo para os dois blocos, porque ambos sentem a mesma força pelo mesmo tempo. Os dois gráficos da direita mostram a força em função da posição $x$ de cada bloco. Suas alturas são iguais, mas suas larguras não: o bloco leve é empurrado ao longo da distância maior $x_1$, o pesado apenas ao longo de $x_2$. Assim, as áreas sombreadas, os trabalhos $W_1$ e $W_2$, são desiguais.

Primeiro, o movimento em si. Sob o empurrão de 20 N, a aceleração $a=F/m$ é constante, 10 m/s² para o bloco leve e 4 m/s² para o pesado; por isso, nos gráficos da aula, $a(t)$ é uma reta horizontal e $v(t)$ uma reta cuja inclinação é essa aceleração. A área sob $a(t)$ ao longo dos 3 s é a velocidade ganha, $10\cdot 3=30m/s$ e $4\cdot 3=12m/s$. Partindo do repouso, cada bloco percorre $\frac{1}{2}a(\Delta t{)}^2$, ou seja, $x_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2=45\mathrm{m}$ e $x_2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3^2=18\mathrm{m}$.

Ao longo do tempo: integre $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ de $0$ a $t$. O lado esquerdo se torna o impulso da força, e o lado direito a variação da quantidade de movimento:
${\int }_0^t\vec{F}d{t}^{\prime }=\vec{p}(t)-\vec{p}(0)$
Os dois blocos partem do repouso e recebem o impulso $J=F\Delta t=20\cdot 3=60\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$, então ambos terminam com a mesma quantidade de movimento, $2\cdot 30=5\cdot 12=60\mathrm{kg}\cdot m/s$.

Ao longo da distância: pela regra da cadeia, a aceleração pode ser escrita como $a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx$. Então $F=ma$ torna-se $Fdx=mvdv$, e integrando os dois lados do início ao fim do empurrão obtém-se o teorema do trabalho e da energia:
${\int }_{x_0}^{x}Fd{x}^{\prime }=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
Para o bloco leve, o trabalho é $W_1=F{x}_1=20\cdot 45=900\mathrm{J}$, e de fato $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 30^2=900\mathrm{J}$. Para o bloco pesado, $W_2=20\cdot 18=360\mathrm{J}$, que é igual a $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12^2$.

O resultado: quantidades de movimento iguais, mas energias cinéticas na razão 2,5. O motivo é $E_k=p^2/(2m)$: para a mesma quantidade de movimento, o corpo mais leve carrega mais energia. Ele se move mais rápido, então percorre uma distância maior enquanto a força atua, e a força realiza mais trabalho sobre ele.

O que dá conteúdo à segunda lei

Se $\vec{F}=m\vec{a}$ apenas definisse a força, não preveria nada: qualquer aceleração observada poderia ser atribuída a uma força inventada para isso. A lei tem conteúdo porque as forças podem ser conhecidas independentemente dos movimentos que causam. Três fatos tornam isso possível. Toda força tem uma fonte, outro corpo próximo ou um campo que algum corpo produz, de modo que um corpo longe de tudo não sente força alguma. As forças se somam como vetores. E as forças obedecem a leis próprias: a gravidade $GMm/r^2$, a força da mola $-kx$, a força elétrica entre cargas e o atrito, aproximadamente proporcional à força normal.

A massa também pode ser medida sem andar em círculos. Deixe dois corpos se empurrarem, por exemplo com uma mola comprimida entre eles. Pela terceira lei, as duas forças são iguais e opostas, então as acelerações estão na razão inversa das massas, $a_1/a_2=m_2/m_1$. Os empurrões iguais da animação dão a mesma razão, $10/4=5/2$. Escolhido um corpo como unidade de massa, isso mede todos os outros.

Com massas e leis de força conhecidas, a segunda lei torna-se uma máquina de previsão. A posição e a velocidade atuais dão a força; a força dá a aceleração; a aceleração dá a posição e a velocidade um instante depois; e o passo se repete. Com uma força de mola $-kx$ o resultado é uma oscilação; com a gravidade $GMm/r^2$, uma órbita elíptica.

A terceira lei e a conservação da quantidade de movimento

A terceira lei diz que, quando dois corpos $A$ e $B$ interagem, a força ${\vec{F}}_{AB}$ que $A$ exerce sobre $B$ e a força ${\vec{F}}_{BA}$ que $B$ exerce sobre $A$ são iguais e opostas. Combinada com a segunda lei geral, ela dá a lei de conservação mais útil da mecânica.

Tome dois corpos que interajam apenas entre si. A quantidade de movimento de cada um muda na taxa definida pela força sobre ele: $d{\vec{p}}_B/dt={\vec{F}}_{AB}$ e $d{\vec{p}}_A/dt={\vec{F}}_{BA}$. Somando os dois e usando a terceira lei,
$\frac{d}{dt}\left({\vec{p}}_A+{\vec{p}}_B\right)={\vec{F}}_{AB}+{\vec{F}}_{BA}=0$
a quantidade de movimento total nunca muda. Por exemplo, uma mola empurra para longe dois carrinhos de 2 kg e 5 kg que partem do repouso. A quantidade de movimento total continua zero, então eles se afastam em sentidos opostos com velocidades na razão 5 para 2, digamos 2,5 m/s e 1,0 m/s, não importa como o empurrão variou durante a liberação.

Para muitos corpos, o mesmo argumento vale par a par. As forças internas se cancelam, e o que sobra é $d\vec{P}/dt=\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$, em que $\vec{P}$ é a quantidade de movimento total e $\sum {\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ a soma das forças externas. Como $\vec{P}$ é igual à massa total vezes a velocidade do centro de massa, o centro de massa se move como um único ponto que carrega toda a massa. É por isso que cada bloco da animação pode ser tratado como um ponto.

A conservação da quantidade de movimento é mais robusta do que a própria terceira lei. Forças entre corpos separados não podem reagir instantaneamente, pois nenhuma influência viaja mais rápido que a luz, e as forças magnéticas entre duas cargas em movimento, em geral, não são iguais e opostas. Ainda assim, a quantidade de movimento total se conserva quando se conta a transportada pelo campo eletromagnético.

Referenciais acelerados e pseudoforças

As leis de Newton valem apenas em referenciais inerciais, mas muitas vezes descrevemos o movimento de dentro de um carro, de um elevador ou da Terra em rotação. Nesses referenciais, as leis podem ser recuperadas acrescentando pseudoforças. A figura 3 mostra como, para um ônibus freando.

Legenda

$\vec{v}$	Velocidade do ônibus em relação à rua.	$m/s$
${\vec{a}}_B$	Aceleração do ônibus, o referencial $B$, em relação à rua; aponta para trás porque o ônibus freia.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{F}$	Força do cinto de segurança sobre o passageiro: uma força real, exercida por um corpo.	$\mathrm{N}$
$m{\vec{a}}_B$	Massa $m$ do passageiro vezes ${\vec{a}}_B$. A seta tracejada é a pseudoforça $-m{\vec{a}}_B$, apontando para a frente; ninguém a exerce.	$\mathrm{N}$

Em relação à rua, que tomamos como inercial, o ônibus da figura 3 se move para a frente com velocidade $\vec{v}$, mas sua aceleração ${\vec{a}}_B$ aponta para trás porque ele está freando. Agora descreva o movimento a partir de um referencial $B$ preso ao ônibus e sem rotação. A posição de um corpo em relação à rua é a posição do ônibus mais a posição do corpo em relação ao ônibus. Derivando duas vezes, as acelerações se somam do mesmo modo, $\vec{a}={\vec{a}}_B+{\vec{a}}^{\prime }$, onde ${\vec{a}}^{\prime }$ é a aceleração vista do ônibus. Assim, ${\vec{a}}^{\prime }=\vec{a}-{\vec{a}}_B$; multiplicando por $m$ e usando $m\vec{a}=\sum \vec{F}$, obtém-se
$m{\vec{a}}^{\prime }=\sum \vec{F}-m{\vec{a}}_B$

O termo extra $-m{\vec{a}}_B$ atua como uma força proporcional à massa; é a seta tracejada na figura. Mas nenhum corpo a exerce, e ela não tem par na terceira lei. É assim que se reconhece uma pseudoforça.

Agora observe o passageiro, de 60 kg, enquanto o ônibus freia a 4 m/s². Visto de dentro do ônibus, o passageiro parece empurrado para a frente com $m{a}_B=60\cdot 4=240\mathrm{N}$. Visto da rua, nada empurra o passageiro para a frente: ele simplesmente continua andando até o cinto de segurança fornecer a força real para trás $\vec{F}$ de 240 N. Essa força, sozinha, dá ao passageiro a mesma aceleração ${\vec{a}}_B$ do ônibus. Visto de dentro do ônibus, o passageiro permanece em repouso, ${\vec{a}}^{\prime }=0$, porque $\vec{F}$ e a pseudoforça $-m{\vec{a}}_B$ se equilibram, como mostram as duas setas horizontais sobre o passageiro.

Outros referenciais acelerados funcionam da mesma forma. Em um elevador acelerando para cima a 1,0 m/s², a pseudoforça aponta para baixo e se soma à gravidade, de modo que tudo lá dentro se comporta como se $g$ valesse $9,81+1,0=10,81m/{\mathrm{s}}^2$. Um referencial em rotação precisa de duas pseudoforças: a força centrífuga e a força de Coriolis, que atua apenas sobre corpos que se movem em relação ao referencial girante. A superfície da Terra é um desses referenciais. Com a taxa de rotação da Terra $\omega$ e seu raio $R$, o chão no equador tem a aceleração centrípeta ${\omega }^{2}R\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, apenas cerca de 0,35 % de $g$; ainda assim, a força de Coriolis determina o sentido de rotação dos ciclones. Por fim, pseudoforças, como a gravidade, são proporcionais à massa; por isso, nenhum experimento dentro de um laboratório fechado consegue distinguir a própria aceleração da gravidade. Essa pista levou à relatividade geral.

Problema resolvido: um bloco suspenso puxa

Este problema substitui a mão da animação pela gravidade. Ele mostra o método padrão para corpos ligados: um diagrama de corpo livre para cada corpo (um esboço desse corpo sozinho com todas as forças que atuam sobre ele), mais uma condição que relaciona seus movimentos.

Legenda

$m_1$	O bloco suspenso.	$\mathrm{kg}$
$m_2$	O bloco sobre a mesa.	$\mathrm{kg}$
$\vec{T}$	Força do fio sobre um bloco; seu módulo $T$ é a tração, a mesma nas duas extremidades do fio.	$\mathrm{N}$
$\vec{a}$	Aceleração, de mesmo módulo para os dois blocos.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$m_1\vec{g}$	Peso do bloco suspenso.	$\mathrm{N}$

Na figura 4, o bloco $m_2=5\mathrm{kg}$ repousa sobre uma mesa sem atrito. Um fio leve vai dele, passando por uma polia leve e sem atrito, até o bloco suspenso $m_1=2\mathrm{kg}$. O peso do bloco suspenso é $m_{1}g=2\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$, quase os 20 N do empurrão da animação. Encontre a aceleração $a$ e a tração $T$ no fio.

Dois fatos ligam os blocos. O fio mantém o comprimento, então ambos percorrem a mesma distância no mesmo tempo e compartilham a aceleração $\vec{a}$: para a direita no caso de $m_2$, para baixo no de $m_1$, como mostram as duas setas rotuladas $\vec{a}$. E, como o fio e a polia são leves e sem atrito, o fio puxa com a mesma força nas duas extremidades, as duas setas rotuladas $\vec{T}$. Agora tome o sentido do movimento ao longo do fio como positivo para cada bloco. O bloco que desliza tem apenas $T$ na direção do movimento; seu peso e a força normal se cancelam, por isso a figura não os mostra. O bloco suspenso tem seu peso $m_{1}g$ para baixo, no sentido do movimento, e $T$ para cima, contra o movimento. A segunda lei para cada bloco fica
$m_{2}a=T,m_{1}a=m_{1}g-T$
Com números, $5a=T$ e $2a=19,62-T$. Somando as duas equações, a tração desconhecida desaparece e resta $7a=19,62$, logo
$a=\frac{m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{19,62}{7}\approx 2,80m/{\mathrm{s}}^2,T=m_{2}a\approx 14,0\mathrm{N}$

Agora leia o resultado. Empurrado por uma mão com 20 N, o bloco de 5 kg ganhou 4 m/s²; puxado por um peso de 19,62 N, ele ganha apenas 2,80 m/s². A força que puxa é quase a mesma, mas agora precisa acelerar 7 kg, pois o bloco suspenso também tem de ser acelerado. A tração, 14,0 N, é menor que o peso do bloco suspenso, por isso a seta $\vec{T}$ no bloco suspenso é mais curta que $m_1\vec{g}$. A diferença, $m_{1}g-T=m_{1}a\approx 5,6\mathrm{N}$, é a força resultante que acelera o bloco suspenso; se a tração e o peso fossem iguais, ele não poderia acelerar. Três segundos após partir do repouso, os blocos se movem a $2,80\cdot 3\approx 8,4m/s$ e percorreram $\frac{1}{2}\cdot 2,80\cdot 3^2\approx 12,6\mathrm{m}$.

Duas verificações. Substituindo $a$ em $T=m_{2}a$ obtém-se $T=m_1{m}_{2}g/(m_1+m_2)$, que é simétrica nas duas massas. Assim, se os blocos forem trocados, com o de 5 kg suspenso, a aceleração passa a ser $a=49,05/7\approx 7,01m/{\mathrm{s}}^2$, mas a tração continua em cerca de 14,0 N. E os limites fazem sentido: quando a massa suspensa é muito maior, $a\to g$ e ela quase cai livremente; quando é minúscula, $a\to 0$ e a tração se aproxima do próprio peso do bloco suspenso, como se ele simplesmente pendesse em repouso.

Limites de validade

As leis de Newton, como enunciadas aqui, descrevem corpos pontuais, ou os centros de massa de corpos extensos, em referenciais inerciais, em velocidades muito abaixo da velocidade da luz e em escalas muito acima dos átomos. Cada condição marca uma fronteira.

A rotação de um corpo extenso precisa de uma lei própria, com torque no lugar da força e momento de inércia no lugar da massa. Forças de contato, como a tração e a força normal, são elas mesmas o efeito médio de inúmeras forças elétricas entre átomos; as leis de Newton as tomam como dadas em vez de explicá-las.

Em alta velocidade, $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ continua valendo, mas a quantidade de movimento passa a ser $\vec{p}=\gamma m\vec{v}$, com o fator de Lorentz $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ e $c$ a velocidade da luz. Uma força constante atuando a partir do repouso ainda dá $p=Ft$; resolvendo $\gamma mv=Ft$ para $v$, obtém-se
$v=\frac{Ft/m}{\sqrt{1+{\left(Ft/(mc)\right)}^2}}$
que se aproxima de $c$ mas nunca o alcança. Continue empurrando o bloco de 2 kg com 20 N. A resposta newtoniana $v=Ft/m$ atingiria $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ após cerca de 347 dias; nesse instante $Ft/(mc)=1$, então a velocidade verdadeira é apenas $c/\sqrt{2}\approx 0,71c$. Com os 30 m/s da animação, a correção relativística é da ordem de $v^2/c^2\approx 10^{-14}$, muito abaixo de qualquer medida possível.

Em escalas atômicas, uma partícula não tem uma trajetória nítida, e a mecânica quântica substitui $\vec{F}=m\vec{a}$. A lei de Newton volta como a lei do movimento médio de corpos grandes.

Para onde isso leva

Grande parte da mecânica clássica é a segunda lei mais uma lei de força. Atrito e plano inclinado acrescenta as forças de superfícies rugosas; Movimento circular estuda a força resultante que apenas gira a velocidade; Gravitação e órbitas traz a lei da gravitação que explica os planetas. Somadas ao longo do tempo e da distância, as leis se tornam Quantidade de movimento e colisões e Trabalho, energia e potência. Aplicadas a corpos que giram, dão Dinâmica rotacional e torque; com uma força de mola, Movimento harmônico simples; com uma força que cresce com a velocidade, Arrasto e velocidade terminal. Em altas velocidades, cedem lugar à Relatividade restrita, e a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional abre caminho para A gravidade como espaço-tempo curvo.