Динамика вращения и момент силы

Начальный

Толкните дверь у самых петель — она почти не сдвинется; толкните так же сильно у ручки — и она легко откроется. Вращение подчиняется правилам, очень похожим на законы Ньютона для движения по прямой. Разберём их по очереди.

Шаг 1. Вращающее действие силы называется моментом силы. Он зависит от того, как сильно вы толкаете и как далеко от оси: та же сила, приложенная вдвое дальше, поворачивает вдвое сильнее. Поэтому у гаечных ключей длинные рукоятки. А толчок, направленный прямо на петли, дверь вообще не поворачивает.

Шаг 2. Постоянный толчок разгоняет тележку всё быстрее и быстрее; точно так же постоянный момент силы раскручивает колесо всё быстрее. В анимации груз висит на нити, намотанной на ступицу тяжёлого колеса. Падая, груз всё время закручивает колесо, и синяя полоска показывает, как равномерно растёт скорость вращения.

Шаг 3. Масса сопротивляется изменению движения, а при вращении важно, где эта масса находится. Масса, удалённая от оси, делает колесо гораздо труднее раскрутить — и труднее остановить. Поэтому груз в анимации падает так медленно, а маховики делают тяжёлыми по ободу.

Шаг 4. Когда груз касается пола, нить провисает и закручивание прекращается. Колесо не останавливается: оно продолжает вращаться равномерно, как движущееся тело продолжает двигаться, если на него не действуют силы. В настоящей машине его постепенно остановит трение в оси.

Проверьте себя: двое детей одинаково сильно толкают карусель, один у края, другой на полпути к центру. Кто сильнее её раскручивает? (Тот, кто у края: та же сила приложена вдвое дальше от оси.)

Средний

Как описывают вращение

Чтобы указать положение твёрдого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, достаточно одного числа — угла $\theta$, на который оно повернулось. Его измеряют в радианах (полный оборот равен $2\pi \approx 6,28\mathrm{рад}$). Угловая скорость $\omega$ — это быстрота изменения угла, в рад/с, а угловое ускорение $\alpha$ — быстрота изменения $\omega$, в рад/с². В анимации колесо вращается по часовой стрелке, вдоль изогнутой зелёной стрелки; это направление примем за положительное.

У всех точек тела одни и те же $\omega$ и $\alpha$, но точка на расстоянии $r$ от оси движется со скоростью $v=\omega r$ и имеет касательное ускорение $a=\alpha r$. Поэтому груз, нить которого сматывается со ступицы без проскальзывания, движется ровно с той же скоростью, что и край ступицы.

Момент силы: сила на плечо

Толкните дверь за ручку, в 0,80 м от петель, с силой 20 Н перпендикулярно двери: вращающее действие, то есть момент силы, равно $\tau =0,80\cdot 20=16\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$. Тот же толчок в 0,10 м от петель даёт всего $2\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$. В общем случае для силы $F$, приложенной на расстоянии $r$ от оси,
$\tau =rF\sin \theta$
где $\theta$ — угол между силой и радиусом, проведённым в точку её приложения (а не угол, на который повернулось тело).

Это можно сказать двумя способами: тело поворачивает только составляющая силы, перпендикулярная радиусу, $F\sin \theta$, или вся сила, но с плечом $d=r\sin \theta$ — перпендикулярным расстоянием от оси до линии действия силы. Толкните ручку под углом 30° к двери — и $\tau =16\cdot \sin 30^{\circ }=8\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$; толкните прямо в сторону петель — и ничто не повернётся.

Момент силы измеряют в ньютон-метрах, но не в джоулях: это не энергия. Моментам, которые поворачивают тело в противоположные стороны, приписывают противоположные знаки.

Основной закон динамики вращения

Результирующий момент вызывает угловое ускорение, как результирующая сила вызывает ускорение:
$\tau =I\alpha$

Момент инерции $I$, в кг·м², играет роль массы. Малая частица массой $m$ на расстоянии $s$ от оси имеет касательное ускорение $\alpha s$; для этого нужна сила $ms\alpha$, а значит, и момент $m{s}^2\alpha$. Сложив моменты всех частиц, получаем $\tau =(\sum m{s}^2)\alpha$, откуда $I=\sum m{s}^2$. Каждый килограмм учитывается с квадратом своего расстояния до оси: вдвое дальше — вчетверо большее сопротивление.

У тонкого кольца массой $M$ и радиусом $R$ вся масса сосредоточена на ободе, поэтому $I=M{R}^2$; у сплошного шара $I=\frac{2}{5}M{R}^2$. Колесо в анимации — однородный диск:
$I=\frac{1}{2}M{R}^2\text{(однородный диск)}$
При $M=10\mathrm{кг}$ и $R=0,40\mathrm{м}$ получаем $I=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,40^2=0,80\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ — вдвое меньше, чем у тонкого кольца той же массы и размера.

При постоянном результирующем моменте угловое ускорение $\alpha$ постоянно, и уравнения прямолинейного движения переносятся на вращение с заменой $x$, $v$, $a$ на $\theta$, $\omega$, $\alpha$:

• $\omega ={\omega }_0+\alpha t$
• $\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$
• ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \Delta \theta$

Сложив $\frac{1}{2}m{v}^2$ по всем частицам при $v=\omega s$, получаем энергию, запасённую во вращении, — кинетическую энергию вращения
$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Пример: колесо из анимации

На нити, намотанной на ступицу радиусом $r=0,12\mathrm{м}$, висит груз $m=1\mathrm{кг}$. Сила натяжения $F$ неизвестна, поэтому запишем три уравнения: для груза (вниз — положительное направление), для колеса и для нити, которая не проскальзывает:
$mg-F=ma,Fr=I\alpha ,a=\alpha r$
Подставив $F=I\alpha /r$ и $a=\alpha r$ в первое уравнение, получаем
$\alpha =\frac{mgr}{I+m{r}^2}=\frac{1\cdot 9,81\cdot 0,12}{0,80+1\cdot 0,12^2}=\frac{1,177}{0,814}\approx 1,45\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$

Значит, груз разгоняется всего с ускорением $a=\alpha r\approx 0,173\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, сила натяжения равна $F=m(g-a)\approx 9,64\mathrm{Н}$ — чуть меньше силы тяжести груза, 9,81 Н, — а момент равен $\tau =rF\approx 1,16\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$. Это постоянное значение на красном индикаторе $\tau$; красная стрелка $F$ у края ступицы и красная линия $r$ показывают, откуда оно берётся.

Груз опускается на $h=0,88\mathrm{м}$ за $t=\sqrt{2h/a}=\sqrt{2\cdot 0,88/0,173}\approx 3,19\mathrm{с}$. Всё это время показание синего индикатора $\omega$ растёт на 1,45 рад/с каждую секунду, до $\omega =\alpha t\approx 4,60\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, а колесо поворачивается на $0,88/0,12\approx 7,33\mathrm{рад}$ — чуть больше одного оборота. Затем нить провисает: стрелка $F$ исчезает, показание $\tau$ падает до нуля, $\alpha =0$, а $\omega$ остаётся равной 4,60 рад/с, о чём говорит и зелёная подпись.

Пример: торможение маховика

Маховик велотренажёра — однородный диск массой 8,0 кг и радиусом 0,20 м — вращается с угловой скоростью 30 рад/с (около 287 об/мин), когда спортсмен перестаёт крутить педали, и войлочная колодка трётся о его обод с силой трения 4,0 Н. Через какое время он остановится и сколько оборотов сделает?

Трение действует вдоль обода, поэтому плечо силы равно полному радиусу:
$I=\frac{1}{2}\cdot 8,0\cdot 0,20^2=0,16\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2,\tau =0,20\cdot 4,0=0,80\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
Тогда $\alpha =-0,80/0,16=-5,0\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$; знак отрицательный, потому что момент направлен против вращения. Колесо остановится через $30/5,0=6,0\mathrm{с}$, а из ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \Delta \theta$ получаем $\Delta \theta =30^2/(2\cdot 5,0)=90\mathrm{рад}$, то есть около 14,3 оборота.

Это подтверждает энергия: в начале $K=\frac{1}{2}\cdot 0,16\cdot 30^2=72\mathrm{Дж}$, а сила трения, направленная против вращения, совершает работу $\tau \Delta \theta =0,80\cdot 90=72\mathrm{Дж}$ и нагревает колодку и обод. Кольцо той же массы и радиуса запасло бы 144 Дж, и на остановку ему понадобилось бы 12 с.

Силы, действующие на колесо

На колесо действуют три силы: сила тяжести $Mg=98,1\mathrm{Н}$ в центре, сила натяжения 9,64 Н у края ступицы и сила реакции оси, которая должна быть направлена вверх и равна $98,1+9,64\approx 107,7\mathrm{Н}$, потому что центр колеса остаётся на месте. Результирующая сила равна нулю, а результирующий момент — нет: сила тяжести и реакция оси проходят через ось и плеча не имеют, поэтому колесо поворачивает только натяжение нити.

Бывает и наоборот. Потяните руль вверх с силой 10 Н с одной стороны и вниз с силой 10 Н с другой, причём обе точки приложения находятся в 0,18 м от центра: силы уравновешивают друг друга, а моменты складываются: $2\cdot 10\cdot 0,18=3,6\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$. Две такие силы называют парой сил.

Одной $\omega$ соответствует много скоростей: к моменту, когда груз коснётся пола, обод колеса движется со скоростью $\omega R\approx 1,84\mathrm{м}/\mathrm{с}$, а груз — всего $\omega r\approx 0,55\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Частые ошибки

• Брать за плечо силы радиус колеса. Нить тянет ступицу, поэтому плечо равно $r=0,12\mathrm{м}$; если взять $R=0,40\mathrm{м}$, получится 3,85 Н·м — более чем втрое больше настоящего момента.
• Считать силу натяжения равной силе тяжести груза $mg$. Тогда груз не мог бы ускоряться: натяжение равно 9,64 Н, а недостающие 0,17 Н — это в точности $ma$.
• Думать, что значение имеет только масса. Если вынести 10 кг колеса на обод, $I$ удвоится до $1,60\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$, а угловое ускорение уменьшится с 1,45 до примерно 0,73 рад/с².
• Подставлять обороты в минуту или градусы в $v=\omega r$ или $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$. Здесь нужны радианы: 4,60 рад/с — это 44 оборота в минуту, а подстановка 44 в $K$ даёт около 770 Дж вместо 8,5 Дж.

Где это встречается

Гаечные ключи, дверные ручки и педали велосипеда дают длинное плечо. Двигатели — тепловые и электрические — характеризуют моментом на валу (у автомобильного двигателя это несколько сотен ньютон-метров), а зубчатые передачи обменивают угловую скорость на момент. Маховики в двигателях и гончарные круги сосредоточивают массу в тяжёлом ободе, чтобы сглаживать неравномерный привод.

Этот урок опирается на урок «Движение по окружности». Если приравнять результирующий момент нулю, придём к уроку «Статическое равновесие и рычаги»; если развить $L=I\omega$, — к уроку «Момент импульса и закон его сохранения». Как эти моменты работают в технике, показывает урок «Простые механизмы: рычаги, блоки и зубчатые передачи».

Продвинутый

Момент силы через работу

Сила может сильно давить на колесо и всё же не повернуть его, если она направлена прямо на ось. Чтобы описать вращение, нужна величина, которая учитывает не только то, насколько сильно действует сила, но и то, где и в каком направлении она приложена. Проще всего найти её, если спросить, какую работу совершает сила при повороте тела. Все числа ниже относятся к анимации: однородный диск массой 10 кг и радиусом 0,40 м вращается на неподвижной оси без трения; его раскручивает нить, намотанная на лёгкую ступицу радиусом 0,12 м, а на конце нити висит груз массой 1 кг, который опускается на 0,88 м.

Обозначения

$O$	Неподвижная ось, видная с торца: она направлена из плоскости рисунка.
$r$	Расстояние от оси до точки приложения силы.	$\mathrm{м}$
$d\theta$	Малый угол, на который поворачивается тело.	$\mathrm{рад}$
$d\vec{l}$	Шаг точки: по касательной, перпендикулярно радиусу, длиной $dl=rd\theta$.	$\mathrm{м}$
$\vec{F}$	Сила, приложенная к точке.	$\mathrm{Н}$
$F_{\perp }$	Составляющая $\vec{F}$ вдоль шага, перпендикулярная радиусу: только она совершает работу.	$\mathrm{Н}$
$F_{\parallel }$	Составляющая $\vec{F}$ вдоль радиуса, перпендикулярная шагу: она работы не совершает.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 1 показано тело, которое может вращаться только вокруг неподвижной оси; ось видна с торца в точке $O$ и направлена из плоскости рисунка на нас. Положение тела тогда задаётся одним числом — углом $\theta$, на который оно повернулось. Сила $\vec{F}$ приложена в точке на расстоянии $r$ от оси. Повернём тело на малый угол $d\theta$. Точка сместится по своей окружности на короткий шаг $d\vec{l}$. Поскольку поворот мал, шаг направлен по касательной, перпендикулярно радиусу $r$, а его длина — короткая дуга окружности: $dl=rd\theta$, где $d\theta$ выражен в радианах.

Теперь посмотрите на две стрелки, отложенные из точки одна за другой. Они разлагают $\vec{F}$ на составляющую $F_{\parallel }$ вдоль радиуса и составляющую $F_{\perp }$ вдоль шага. Работа силы равна её проекции на перемещение, умноженной на это перемещение. $F_{\parallel }$ перпендикулярна шагу и работы не совершает; $F_{\perp }$ направлена вдоль шага и совершает всю работу:
$dW=\vec{F}\cdot d\vec{l}=F_{\perp }rd\theta$

Множитель перед $d\theta$ — та самая величина, которую мы искали. Определим момент силы относительно оси как
$\tau =r{F}_{\perp }$
Тогда работа при малом повороте равна $dW=\tau d\theta$: момент, умноженный на угол, даёт работу, так же как сила, умноженная на путь. То же произведение можно прочитать иначе. Если $\phi$ — угол между радиусом и силой, то $F_{\perp }=F\sin \phi$, а $r\sin \phi$ — плечо силы, то есть расстояние от оси до линии действия силы. Значит, момент — это ещё и вся сила, умноженная на своё плечо. У силы, направленной прямо на ось, $F_{\perp }=0$ и плеча нет, поэтому нет и момента: это и есть колесо, которое не хотело поворачиваться.

Координаты дают тот же результат в виде удобной формулы. Направим ось вдоль $z$ через начало координат. Когда тело поворачивается на $d\theta$ против часовой стрелки, точка $(x,y)$ смещается на $dx=-yd\theta$ и $dy=xd\theta$. Это шаг $d\vec{l}$ с рисунка 1, записанный в компонентах: он перпендикулярен радиусу и имеет длину $rd\theta$. Приложенная в этой точке сила $(F_x,F_y)$ совершает работу
$dW=F_{x}dx+F_{y}dy=(x{F}_y-y{F}_x)d\theta$
поэтому $\tau =x{F}_y-y{F}_x$. Это $z$-компонента векторного произведения $\vec{r}\times \vec{F}$; она положительна, когда сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси $z$. Поскольку $r$, $x$ и $y$ отсчитываются от оси, значение момента зависит от выбора оси, поэтому всегда указывайте, относительно какой оси взят момент.

Разделив $dW=\tau d\theta$ на время поворота $dt$, получим мощность, передаваемую вращающемуся телу. С угловой скоростью $\omega =d\theta /dt$ она равна
$P=\tau \omega$
Это вращательный двойник формулы $P=Fv$.

Числа из анимации это подтверждают. Перед самым приземлением груза нить тянет с натяжением $T\approx 9,64\mathrm{Н}$. На ступице, при плече 0,12 м, это даёт момент $\tau =9,64\cdot 0,12\approx 1,16\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$, а колесо вращается с угловой скоростью 4,60 рад/с, так что нить передаёт колесу мощность $\tau \omega \approx 1,16\cdot 4,60\approx 5,3\mathrm{Вт}$. На другом конце нить тянет вверх груз, который движется вниз со скоростью 0,553 м/с, и забирает у него энергию с мощностью $Tv\approx 9,64\cdot 0,553\approx 5,3\mathrm{Вт}$. Мощности совпадают: лёгкая нить не запасает энергию, а только передаёт её дальше.

Второй закон Ньютона для вращающегося тела

Момент силы показывает, насколько сильно тело поворачивают. Нужен ещё закон, который говорит, как быстро тело на это откликается, — вращательная форма $F=ma$. Получим его, применив второй закон Ньютона к каждому элементу тела и сложив результаты.

Обозначения

$O$	Ось через центр, видная с торца.
$R$	Радиус диска.	$\mathrm{м}$
$s$	Расстояние от золотистого кольца до оси.	$\mathrm{м}$
$ds$	Ширина кольца.	$\mathrm{м}$
$\ell$	Длина разрезанного и выпрямленного кольца — длина его окружности $2\pi s$.	$\mathrm{м}$
$dm$	Масса кольца: его площадь $2\pi sds$, умноженная на массу единицы площади $M/(\pi R^2)$.	$\mathrm{кг}$
${\omega }^{2}s$	Центростремительное ускорение каждого элемента кольца, направленное к оси.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\alpha s$	Касательное ускорение каждого элемента кольца, направленное вдоль окружности.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$

На рисунке 2 показаны эти элементы. Соберём вместе всё вещество, находящееся на одном и том же расстоянии $s$ от оси: в диске это тонкое кольцо, как золотистое на рисунке, шириной $ds$ и массой $dm$. Каждый элемент кольца движется по окружности радиусом $s$ с угловой скоростью $\omega$ и угловым ускорением $\alpha =d\omega /dt$ всего тела. Поэтому его ускорение состоит из двух частей, обе нарисованы вверху кольца: центростремительной части ${\omega }^{2}s$, направленной к оси $O$, которая удерживает элемент на окружности, и касательной части $\alpha s$ вдоль окружности, которая его разгоняет.

По второму закону Ньютона равнодействующая сил, приложенных к кольцу, состоит из тех же двух частей: масса, умноженная на каждое из ускорений. Центростремительная сила направлена к оси, поэтому у неё нет ни плеча, ни момента. Момент есть только у касательной силы $\alpha sdm$, и её плечо равно $s$:
$d\tau =s\cdot (\alpha sdm)=s^2\alpha dm$

Теперь сложим эти моменты по всему телу. Равнодействующая, приложенная к каждому элементу, складывается из внешних сил и внутренних сил со стороны других элементов. Внутренние силы выпадают парами: два элемента действуют друг на друга равными и противоположными силами вдоль соединяющей их прямой, поэтому у обеих сил одно и то же плечо, а поворачивают они в противоположные стороны. Остаются только моменты внешних сил, а поскольку $\alpha$ у всех элементов одно и то же, его можно вынести за знак суммы:
${\tau }_{\mathrm{внеш}}=\left(\int s^{2}dm\right)\alpha =I\alpha$
Интеграл $I=\int s^{2}dm$ — это момент инерции. Он играет ту же роль, что масса в $F=ma$, но зависит от того, где расположена масса, а не только от её количества: каждый элемент входит с квадратом своего расстояния до оси.

Для однородного диска с рисунка 2, радиусом $R$ и массой $M$, интеграл — это сумма по кольцам. Разрежьте золотистое кольцо и выпрямите его, как показано под диском: получится полоска длиной $\ell =2\pi s$ и шириной $ds$, то есть площадью $2\pi sds$. Масса диска равномерно распределена по его площади $\pi R^2$, поэтому масса единицы площади равна $M/(\pi R^2)$, а масса кольца —
$dm=\frac{M}{\pi R^2}\cdot 2\pi sds=\frac{2M}{R^2}sds$
Складывая кольца от центра до края, получаем
$I={\int }_0^R{s}^2\frac{2M}{R^2}sds=\frac{2M}{R^2}\cdot \frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}M{R}^2$
Это вдвое меньше, чем $M{R}^2$ для тонкого обруча той же массы и того же радиуса, потому что значительная часть массы диска лежит близко к оси. Для диска из анимации $I=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,40^2=0,80\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$.

Момент инерции зависит и от выбора оси. Для оси, параллельной оси через центр масс и отстоящей от неё на расстояние $d$, теорема Штейнера о параллельных осях даёт
$I=I_{\mathrm{цм}}+M{d}^2$
Чтобы понять почему, запишите квадрат расстояния каждого элемента до новой оси как квадрат его расстояния до старой оси плюс $d^2$ плюс перекрёстное слагаемое. После суммирования по телу перекрёстное слагаемое пропорционально среднему положению, взвешенному по массе и отсчитанному от центра масс, а это среднее равно нулю по самому определению центра масс. Если подвесить диск из анимации на штифте у обода, то $d=0,40\mathrm{м}$ и $I=0,80+10\cdot 0,40^2=2,40\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ — втрое больше, чем относительно центра.

Момент импульса и словарь вращения

В прямолинейном движении закон Ньютона в самой общей форме записывается как $F=dp/dt$. Вращение подчиняется закону той же формы, как только определён момент импульса, и вместе с ним на вращение переносится любой результат одномерной динамики.

Каждый элемент кольца на рисунке 2 движется со скоростью $\omega s$, поэтому его импульс равен $\omega sdm$ и направлен по окружности. Его момент импульса относительно оси — этот импульс, умноженный на плечо $s$, то есть $s\cdot (\omega s)dm$. Сумма по телу даёт полный момент импульса $L=I\omega$. У твёрдого тела $I$ не меняется, поэтому $I\alpha =d(I\omega )/dt$, и закон вращения принимает вид
$L=I\omega ,\tau =\frac{dL}{dt}$
Это двойник закона $F=dp/dt$: момент силы равен скорости изменения момента импульса.

Кинетическая энергия строится так же. Элемент, движущийся со скоростью $\omega s$, несёт энергию $\frac{1}{2}(\omega s{)}^{2}dm$, а сумма даёт
$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$
Работа момента, $\int \tau d\theta$, равна изменению $K$ — точно так же, как $\int Fdx$ равна изменению $\frac{1}{2}m{v}^2$.

Словарь, который переводит прямолинейное движение во вращательное, теперь полон: $x\leftrightarrow \theta$, $v\leftrightarrow \omega$, $a\leftrightarrow \alpha$, $m\leftrightarrow I$, $F\leftrightarrow \tau$, $p\leftrightarrow L$, $\frac{1}{2}m{v}^2\leftrightarrow \frac{1}{2}I{\omega }^2$ и $Fv\leftrightarrow \tau \omega$. Экспертная панель анимации перечисляет четыре из этих пар. Любой результат одномерной динамики переносится на вращение, включая уравнения равноускоренного движения.

Одна пара словаря не имеет точного двойника. Масса тела постоянна, а момент инерции меняется всякий раз, когда тело меняет форму, потому что $I$ зависит от того, где расположена масса. Тогда $\tau =dL/dt$ по-прежнему верно, а $\tau =I\alpha$ — нет. Так фигуристка начинает вращаться быстрее, прижимая руки к телу, хотя никакой момент на неё не действует: $L=I\omega$ сохраняется, $I$ уменьшается, значит, $\omega$ растёт.

График угловой скорости

График зависимости угловой скорости от времени сразу показывает всё движение колеса. Он читается точно так же, как график скорости от времени: наклон — это угловое ускорение, а площадь под графиком — угол поворота.

Обозначения

$t$	Время, прошедшее с того момента, когда груз отпустили.	$\mathrm{с}$
$\omega$	Угловая скорость колеса, $d\theta /dt$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$t_1$	Момент приземления груза.	$\mathrm{с}$
${\omega }_1$	Угловая скорость в момент приземления — наибольшее достигнутое значение.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\Delta t$	Промежуток времени: горизонтальный катет треугольника наклона.	$\mathrm{с}$
$\alpha \Delta t$	Прирост $\omega$ за время $\Delta t$: наклон $\alpha$, умноженный на $\Delta t$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$
$\tau$	Момент силы натяжения нити, действующий на колесо: постоянен, пока нить тянет, и равен нулю после приземления.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
$\theta$	Угол поворота от момента, когда груз отпустили, до приземления: закрашенная площадь под прямой.	$\mathrm{рад}$

Рисунок 3 — это график, который строит экспертный слой анимации: $\omega$ в зависимости от времени $t$, прошедшего с того момента, когда груз отпустили. Пока нить тянет, её момент $\tau$ постоянен, поэтому, согласно $\tau =I\alpha$, постоянно и угловое ускорение, а график — прямая. Посмотрите на маленький треугольник наклона: за любое время $\Delta t$ угловая скорость $\omega$ возрастает на $\alpha \Delta t$, поэтому наклон прямой равен
$\alpha =\tau /I=1,16/0,80\approx 1,45\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$

Теперь посмотрите на закрашенный треугольник. Каждый короткий промежуток $dt$ добавляет $\omega dt$ к углу поворота, поэтому площадь под прямой — это угол $\theta$. Груз приземляется в момент $t_1=3,19\mathrm{с}$, когда колесо разогналось до ${\omega }_1=4,60\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, поэтому
$\theta =\frac{1}{2}\cdot 3,19\mathrm{с}\cdot 4,60\mathrm{рад}/\mathrm{с}\approx 7,3\mathrm{рад}$
Нить даёт независимую проверку. Она сматывается со ступицы без проскальзывания, поэтому 0,88 м нити, смотанные со ступицы радиусом 0,12 м, означают $\theta =0,88/0,12\approx 7,33\mathrm{рад}$ — тот же угол. Индикатор $L$ в анимации — это просто $I$, умноженное на этот график: он растёт на 1,16 кг·м²/с каждую секунду, потому что наклон $L(t)$ — это момент силы.

В момент $t_1$ груз приземляется, нить перестаёт тянуть и $\tau =0$, как отмечено на горизонтальном участке графика. Тогда $dL/dt=0$: линия становится горизонтальной, а $L$ остаётся равным $0,80\cdot 4,60\approx 3,68\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$, поскольку нет трения, которое тормозило бы колесо. Площадь под графиком продолжает расти, теперь на 4,60 рад каждую секунду. В точке излома наклон скачком падает с 1,45 рад/с² до нуля, но сама $\omega$ не скачет: скачок $\omega$ изменил бы $L$ на конечную величину за нулевое время, а для этого нужен бесконечный момент.

Энергия и эффективная масса

Закон сохранения энергии независимо проверяет весь расчёт. Он же даёт полезный образ колеса: это как бы добавочная масса, которую падающему грузу приходится тащить за собой.

Опустившись на $h=0,88\mathrm{м}$, груз массой $m=1\mathrm{кг}$ высвободил $mgh\approx 8,63\mathrm{Дж}$. В колесе теперь запасено $\frac{1}{2}I{\omega }^2\approx 8,48\mathrm{Дж}$, в грузе — $\frac{1}{2}m{v}^2\approx 0,15\mathrm{Дж}$, то есть 98 % энергии перешло во вращение. Поскольку нить не проскальзывает, груз движется со скоростью края ступицы, $v=\omega r$, где $r=0,12\mathrm{м}$ — радиус ступицы. Если записать $\omega =v/r$, баланс энергии примет вид
$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}\left(m+\frac{I}{r^2}\right)v^2$

Значит, с точки зрения нити колесо ведёт себя как добавочная масса $I/r^2=0,80/0,12^2\approx 55,6\mathrm{кг}$, которую грузу приходится тащить за собой. Продифференцировав баланс по времени (скорость изменения $h$ равна $v$, а скорость изменения $v$ равна $a$), получим $mgv=(m+I/r^2)va$, откуда
$a=\frac{mg}{m+I/r^2}$
Груз в 1 кг должен разгонять эффективную массу 56,6 кг, поэтому он ползёт вниз с ускорением всего 0,17 м/с².

Радиус ступицы — вопрос конструкции. Уменьшите его вдвое, до 0,06 м, и $I/r^2$ вырастет вчетверо, до 222 кг, так что груз будет разгоняться примерно вчетверо медленнее. Угловое ускорение колеса $\alpha =a/r$ падает меньше, потому что с меньшей ступицей колесо поворачивается на больший угол на каждый метр нити, но всё же уменьшается вдвое, примерно до 0,73 рад/с². В общем случае
$\alpha =\frac{mgr}{I+m{r}^2}$
и это выражение растёт с $r$, пока $m{r}^2<I$, то есть вплоть до $r=\sqrt{I/m}\approx 0,89\mathrm{м}$. Это больше собственного радиуса колеса, 0,40 м, поэтому для этого колеса более широкая ступица всегда раскручивает его быстрее: выигрыш в плече перевешивает растущую долю инерции, которую вносит сам груз, $m{r}^2$.

Задача: колесо как йо-йо

До сих пор ось была неподвижной. Йо-йо показывает те же законы в действии, когда движется сама ось. Привяжите свободный конец нити к потолку и отпустите колесо: оно падает, разматываясь со ступицы, как большое йо-йо, с $M=10\mathrm{кг}$, $I=0,80\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и радиусом ступицы $r=0,12\mathrm{м}$. С каким ускорением оно движется, с какой силой тянет нить и как делится энергия после падения на 0,88 м?

Обозначения

$Mg$	Сила тяжести колеса, приложенная в его центре.	$\mathrm{Н}$
$T$	Натяжение нити, направленное вверх и приложенное к краю ступицы.	$\mathrm{Н}$
$r$	Радиус ступицы: плечо силы $T$ относительно центра.	$\mathrm{м}$
$a$	Ускорение центра, направленное вниз.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\alpha$	Угловое ускорение колеса, против часовой стрелки, потому что нить тянет вверх справа от центра.	$\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$

На рисунке 4 в масштабе показаны две силы, действующие на колесо. Сила тяжести $Mg$ приложена в центре. Натяжение нити $T$ направлено вверх и приложено к правому краю ступицы, на расстоянии $r$ от центра; его стрелка немного короче стрелки $Mg$. Их разность $Mg-T$ разгоняет центр вниз с ускорением $a$ — это прямая стрелка слева. Относительно центра у силы тяжести нет плеча, поэтому колесо поворачивает только $T$. Поскольку натяжение тянет вверх справа от центра, оно поворачивает колесо против часовой стрелки с угловым ускорением $\alpha$, которое показано изогнутой стрелкой.

Можно ли пользоваться $\tau =I\alpha$, когда ось падает? Да, если ось проходит через центр масс и не меняет направления. В системе отсчёта, падающей вместе с центром, колесо просто вращается вокруг неподвижной оси, а единственная дополнительная сила в этой системе — сила инерции $-M\vec{a}$ — приложена в центре масс, где у неё нет плеча.

Два движения связаны. Нить закреплена на потолке, поэтому точка ступицы, в которой нить с неё сходит, в данный момент покоится. Колесо поворачивается вокруг этой точки, поэтому центр, находящийся от неё на расстоянии $r$, опускается на $r$ за каждый радиан поворота: $a=\alpha r$.

Поступательное движение, вращение вокруг центра и это условие качения дают три уравнения для $a$, $T$ и $\alpha$:
$Mg-T=Ma,Tr=I\alpha ,a=\alpha r$
Подставьте $\alpha =a/r$ во второе уравнение и получите $T=Ia/r^2$, затем подставьте это в первое:
$a=\frac{g}{1+I/(M{r}^2)}=\frac{9,81}{1+5,56}\approx 1,50\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2,T=M(g-a)\approx 83,1\mathrm{Н}$
и $\alpha =a/r\approx 12,5\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$. Это снова результат для эффективной массы: вращение добавляет $I/r^2\approx 55,6\mathrm{кг}$ к 10 кг, на которые действует сила тяжести. После падения на 0,88 м $v=\sqrt{2ah}\approx 1,62\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и $\omega =v/r\approx 13,5\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ — почти втрое больше, чем 4,60 рад/с в анимации, потому что теперь колесо раскручивает вся его собственная сила тяжести, а не груз массой 1 кг.

Высвободившаяся энергия $Mgh\approx 86,3\mathrm{Дж}$ делится на $\frac{1}{2}M{v}^2\approx 13,2\mathrm{Дж}$ поступательного и $\frac{1}{2}I{\omega }^2\approx 73,2\mathrm{Дж}$ вращательного движения. Их отношение постоянно и равно $I/(M{r}^2)\approx 5,56$ при любой высоте, потому что в каждый момент $\omega =v/r$. Нить тянет с силой 83,1 Н, а не со всей силой тяжести 98,1 Н, поэтому пружинные весы, удерживающие нить, во время падения показывают меньше веса йо-йо. А внизу, когда нить полностью размотана, колесо всё ещё вращается и потому само наматывается обратно на нить: так йо-йо возвращается.

Границы применимости

Модель предполагает жёсткое колесо, лёгкую нить, которая не растягивается и не проскальзывает, и ось без трения. Трение важнее при выбеге, чем при раскручивании. Момент трения в подшипнике 0,02 Н·м составляет меньше 2 % от 1,16 Н·м, которые создаёт нить, поэтому он уменьшил бы $\alpha$ менее чем на 2 %. Но после приземления груза это единственный момент, и он остановил бы выбегающее колесо за $I\omega /\tau =0,80\cdot 4,60/0,02\approx 184\mathrm{с}$ — около трёх минут.

Жёсткость нарушается при высокой скорости. Напряжение в тонком вращающемся ободе порядка $\rho v^2$, где $\rho$ — плотность, а $v$ — скорость обода, поэтому обод разрывается, когда $\rho v^2$ достигает прочности материала. Стальной обод (плотность 7800 кг/м³, прочность около $10^9\mathrm{Па}$) разрывается примерно при 360 м/с. Обод колеса в анимации движется со скоростью $4,60\cdot 0,40\approx 1,84\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Скалярный закон $\tau =I\alpha$ требует неподвижной оси или оси через центр масс, не меняющей направления. В трёх измерениях момент силы — вектор, $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$, а $\vec{L}$ связан с $\vec{\omega }$ не одним числом, а тензором инерции — набором из девяти чисел, который заменяет $I$. При вращении вокруг оси симметрии у колеса $\vec{L}$ параллелен $\vec{\omega }$. У несбалансированного колеса $\vec{L}$ отклонён от оси, поэтому при вращении колеса $\vec{L}$ описывает конус, и подшипники должны создавать момент $d\vec{L}/dt$ даже при постоянной скорости. Вот почему автомобильные колёса балансируют, и именно здесь начинаются гироскопы и прецессия.

Релятивистские поправки порядка $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-17}$ для обода роли не играют. В квантовой механике момент импульса меняется шагами порядка $\hslash \approx 1,05\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$. Момент импульса колеса, $3,68\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$, составляет около $3,5\times 10^{34}$ таких шагов, поэтому его вращение выглядит совершенно непрерывным, а вот вращение молекулы идёт по дискретным уровням, которые видны в микроволновых спектрах.

Что дальше

Приравняйте нулю результирующие момент и силу — и вы придёте к уроку «Статическое равновесие и рычаги». Позвольте моменту инерции меняться или оси наклоняться — и вы придёте к уроку «Момент импульса и закон его сохранения», где речь пойдёт о фигуристах, законе равных площадей Кеплера и прецессирующем гироскопе. Тело, подвешенное на оси, испытывает возвращающий момент силы тяжести и качается как физический маятник с периодом $2\pi \sqrt{I/(Mgd)}$ при малых колебаниях, где $d$ — расстояние от оси до центра масс. Диск, подвешенный за обод, с $I=2,40\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и $d=0,40\mathrm{м}$ качается с периодом около 1,55 с; это развивает урок «Гармонические колебания». Момент, который магнитное поле создаёт на рамке с током, приводит в движение каждый электродвигатель — это тема урока «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы», а формула мощности $P=\tau \omega$ связывает этот урок с уроком «Работа, энергия и мощность».