Движение по окружности

Начальный

Раскрутите мяч на верёвке, проедьте на велосипеде поворот или посмотрите, как Луна обходит Землю: во всех этих случаях тело движется по кривой. Разберёмся в этом за четыре небольших шага.

Шаг 1. Скорость — это сразу и быстрота, и направление. Мяч, который кружится с неизменной быстротой, в каждый момент меняет направление, а значит, его скорость всё время меняется. Любое изменение скорости — это ускорение. Даже при постоянной быстроте движение по окружности ускоренное.

Шаг 2. Для ускорения нужна равнодействующая сила. При движении по окружности она всегда направлена к центру и называется центростремительной, то есть «стремящейся к центру». Это не особый вид силы, а роль, которую играет какая-то настоящая сила: для мяча — натяжение верёвки, тянущей к руке, для машины на повороте — сцепление шин с дорогой, для Луны — притяжение Земли.

Шаг 3. Отпустите верёвку — и тянуть стало некому. Траекторию больше ничто не искривляет, и мяч продолжает двигаться туда, куда летел в этот миг: по прямой вдоль касательной, то есть прямой, которая лишь касается окружности. В анимации после того, как мяч отпустили, серые точки ложатся на эту прямую на равных расстояниях. Мяч не летит прямо от центра; рывок наружу, который чувствует рука, — это мяч тянет верёвку.

Шаг 4. Чем быстрее движение или чем меньше окружность, тем сильнее нужно тянуть к центру. Поэтому водители сбрасывают скорость перед крутым поворотом.

Проверьте себя: спутник обращается вокруг Земли с постоянной по модулю скоростью. Действует ли на него сила и куда она направлена? (Да: сила тяготения, направленная к центру Земли.)

Средний

Что мы измеряем на окружности

Поместите начало координат в центр окружности. Тело остаётся на одном и том же расстоянии $r$ от центра — это радиус, — поэтому его положение задаёт один угол $\theta$, отсчитываемый против часовой стрелки от опорной линии. Углы измеряют в радианах: угол $\theta$ отсекает дугу $s=r\theta$, так что полный оборот равен $2\pi \approx 6,28\mathrm{рад}$.

Угловая скорость $\omega =\Delta \theta /\Delta t$, в рад/с, показывает, как быстро растёт угол, а линейная скорость $v$ — как быстро тело движется по дуге. Поскольку длина дуги в $r$ раз больше угла,
$v=\omega r$
у всех точек вращающегося колеса одна и та же $\omega$, но точка, вдвое более удалённая от оси, движется вдвое быстрее.

Время одного оборота называют периодом $T$; частота $f=1/T$, в герцах (Гц), показывает число оборотов в секунду. Оборот — это дуга $2\pi r$, или угол $2\pi$, поэтому
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

Поворот с постоянной по модулю скоростью — это ускорение

Скорость — вектор: у неё есть величина, то есть модуль скорости, и направление, которое на окружности всегда идёт по касательной. Это направление всё время поворачивается, поэтому скорость меняется даже при постоянном модуле, а любое изменение скорости — это ускорение.

Нарисуйте скорость в два момента времени, разделённые промежутком $\Delta t$, совместив начала стрелок. Обе стрелки имеют длину $v$, а вторая повернулась на угол $\omega \Delta t$, как и радиус. Маленькая стрелка, соединяющая их концы, — это изменение $\Delta v$ длиной около $v\omega \Delta t$; при уменьшении $\Delta t$ она становится перпендикулярной скорости и направлена к центру. Разделив на $\Delta t$, получаем $a=v\omega$, а с учётом $\omega =v/r$:
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

Это центростремительное, то есть «стремящееся к центру», ускорение содержит $v$ дважды: чем быстрее движется тело, тем быстрее поворачивается его вектор скорости и тем длиннее этот вектор.

Откуда берётся сила, направленная к центру

По второму закону Ньютона тело массой $m$, движущееся с постоянной по модулю скоростью, остаётся на окружности, только если равнодействующая сила направлена к центру и по модулю равна
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
Эта центростремительная сила — не особый вид силы, а роль, которую играет какая-то настоящая сила: натяжение нити для раскрученного мяча, трение о дорогу для автомобиля на ровном повороте, тяготение для Луны, давление стенки барабана на бельё при отжиме.

Поэтому на рисунке с силами изображайте только настоящие силы, складывайте их проекции на направление к центру и приравнивайте сумму к $m{v}^2/r$; никогда не рисуйте лишней центростремительной стрелки. Какую форму $a$ брать, зависит от того, что задано: при одной и той же скорости на окружности меньшего радиуса нужна большая сила, $a\propto 1/r$, а на вращающемся диске, где $\omega$ общая, большая сила нужна точкам, более удалённым от оси, $a\propto r$.

Пример: мяч из анимации

Если смотреть сверху, мяч массой 0,2 кг скользит по гладкому горизонтальному столу, привязанный нитью длиной $r=0,8\mathrm{м}$ к руке в центре, и вращается с $\omega =3,0\mathrm{рад}/\mathrm{с}$. Стол уравновешивает силу тяжести, поэтому вбок мяч тянет одна лишь нить:
$v=\omega r=3,0\cdot 0,8=2,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2,4^2}{0,8}=\frac{5,76}{0,8}=7,2\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$F=ma=0,2\cdot 7,2=1,44\mathrm{Н}$

Именно эти значения показывают числовые индикаторы: $v=2,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$, $\omega =3,0\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ и $a=7,2\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$; вторая форма даёт то же самое: ${\omega }^{2}r=9\cdot 0,8=7,2\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Один оборот занимает $T=2\pi /3,0\approx 2,09\mathrm{с}$, поэтому 1,75 оборота до момента, когда нить отпускают, длятся около 3,67 с.

Если раскручивать мяч над головой по той же окружности с той же скоростью, его нужно ещё и удерживать от падения: нить идёт к мячу наклонно вниз, и её натяжение возрастает примерно до 2,4 Н, но траекторию искривляет только горизонтальная составляющая натяжения, по-прежнему равная 1,44 Н.

Пример: автомобиль на ровном повороте

Автомобиль массой 1200 кг проходит ровный поворот радиусом 50 м со скоростью 15 м/с (54 км/ч). Для этого необходимы
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4,5\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2,F=ma=1200\cdot 4,5=5400\mathrm{Н}$
и обеспечить такую силу может только трение шин о дорогу. На сухом асфальте коэффициент трения около $\mu =0,7$, поэтому дорога может дать до $\mu mg=0,7\cdot 1200\cdot 9,81\approx 8240\mathrm{Н}$: автомобиль удерживается на повороте. В предельном случае $m{v}^2/r=\mu mg$ масса сокращается, и $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0,7\cdot 9,81\cdot 50}\approx 18,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$, около 67 км/ч.

На мокрой дороге $\mu \approx 0,4$ позволяет получить лишь около 4710 Н — меньше необходимых 5400 Н. Автомобиль уходит к внешнему краю поворота потому, что он движется прямее, чем идёт дорога, а вовсе не потому, что его что-то выталкивает. Безопасная скорость падает до $\sqrt{0,4\cdot 9,81\cdot 50}\approx 14\mathrm{м}/\mathrm{с}$, около 50 км/ч. При 30 м/с понадобилась бы сила вчетверо больше, 21 600 Н, — больше, чем может дать даже сухая дорога.

Как читать стрелки в анимации

Синяя стрелка $v$ лежит на касательной, имеет неизменную длину и каждую секунду поворачивается на 3,0 рад (около 172°). Красная стрелка $a$ направлена вдоль нити (она подписана $r$) к руке. Эти две стрелки всё время перпендикулярны, поэтому натяжение меняет направление движения, но никогда не меняет модуль скорости.

Поскольку стрелка $a$ поворачивается вместе с мячом, ускорение не является постоянным вектором, и уравнения равноускоренного движения из урока «Прямолинейное движение» здесь неприменимы. За половину оборота скорость меняет направление на противоположное, и её проекция на ось переходит от $+2,4$ к $-2,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$ за $T/2\approx 1,05\mathrm{с}$: среднее ускорение равно лишь $4,8/1,05\approx 4,6\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, ведь $a$ всё время меняет направление, а за целый оборот среднее ускорение равно нулю.

В момент, когда нить отпускают, в нижней точке рисунка, красная стрелка исчезает, а индикатор $a$ падает до нуля; синяя стрелка сохраняет длину и направление, и мяч движется по пунктирной касательной с неизменной скоростью 2,4 м/с.

Частые ошибки

• Постоянный модуль скорости — это не нулевое ускорение: мяч сохраняет 2,4 м/с, но движется с ускорением 7,2 м/с², потому что направление скорости всё время меняется.
• На мяч не действует никакая сила, направленная наружу; тяга, которую чувствует рука, — это мяч тянет нить (третий закон Ньютона). Отпущенный мяч улетает по касательной, и через 0,25 с он оказывается в 1,0 м от центра лишь потому, что прямая линия удаляется от окружности.
• Центростремительная сила — не дополнительная сила: на столе это само натяжение, 1,44 Н, а не натяжение плюс ещё 1,44 Н.
• Удвоение скорости не удваивает силу: $F\propto v^2$, поэтому при 4,8 м/с натяжение возрастает с 1,44 Н до 5,76 Н.
• Используйте радианы в секунду: 3,0 рад/с — это около 28,6 оборота в минуту, и если подставить 28,6 в $v=\omega r$, получится 22,9 м/с вместо 2,4 м/с.

Где это встречается

Повороты дорог, велосипедисты, наклоняющиеся на виражах, велотреки с наклонным полотном: каждый раз $m{v}^2/r$ создаёт какая-то настоящая сила. Стиральная машина при 1200 об/мин с барабаном радиусом 0,25 м сообщает содержимому ускорение около 3950 м/с², примерно в 400 раз больше $g$; барабан толкает бельё по кругу, а вода уходит через отверстия по касательной. Лабораторная центрифуга при 10 000 об/мин с плечом 10 см развивает ускорение примерно в 11 000 раз больше $g$.

У спутников роль центростремительной силы играет тяготение: Международная космическая станция «падает» вокруг Земли с ускорением около 8,6 м/с². Дальше эти идеи ведут к урокам «Тяготение и орбиты»; «Динамика вращения и момент силы», где каждая точка вращающегося тела движется по окружности; «Гармонические колебания», то есть движение по окружности, увиденное сбоку; и «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд», где магнитное поле заставляет заряженные частицы двигаться по окружностям.

Продвинутый

Положение, скорость и ускорение как векторы

В этом разделе два главных факта о движении по окружности выводятся дифференцированием радиус-вектора: скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру, и его модуль равен $v^2/r$. Векторы дают и модули, и направления за один шаг. Все числа взяты из анимации: мяч массой 0,2 кг лежит на гладком столе, его удерживает нить длиной $r=0,8\mathrm{м}$, и он вращается с угловой скоростью $\omega =3,0\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, так что его скорость равна $v=\omega r=2,4\mathrm{м}/\mathrm{с}$, ускорение — $a=7,2\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, а нить тянет его с силой 1,44 Н.

Обозначения

$\vec{r}$	Радиус-вектор: от центра к телу; его длина равна радиусу $r$.	$\mathrm{м}$
$\vec{v}$	Скорость: по касательной, в сторону движения; её модуль $v=\omega r$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{a}$	Ускорение: противоположно $\vec{r}$, к центру; его модуль ${\omega }^{2}r=v^2/r$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\theta$	Угол, на который радиус повернулся от оси $x$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{рад}$
$x$	Горизонтальная ось; тело стартует с её положительной части.	$\mathrm{м}$
$y$	Вертикальная ось.	$\mathrm{м}$

Рисунок 1 останавливает движение в один момент. Центр находится в начале координат; тело стартовало с положительной полуоси $x$ и вращается против часовой стрелки с постоянной $\omega$, поэтому за время $t$ радиус поворачивается на угол $\theta =\omega t$, отмеченный у центра. Радиус-вектор $\vec{r}$ идёт от центра к телу. Его длина всегда равна $r$, а его компоненты — это его тени на две оси:
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
Скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{a}$ относятся к телу, поэтому они отложены от него. Обратите внимание на две вещи: на маленький квадратик между $\vec{v}$ и штриховым продолжением радиуса и на вектор $\vec{a}$, который лежит на одной прямой с $\vec{r}$, но направлен в другую сторону. ($\vec{a}$ нарисован чуть в стороне от $\vec{r}$ только для того, чтобы стрелки не сливались.)

Чтобы найти $\vec{v}$, продифференцируйте каждую компоненту по времени. По правилу дифференцирования сложной функции производная $\cos \omega t$ равна $-\omega \sin \omega t$, а производная $\sin \omega t$ равна $\omega \cos \omega t$, поэтому
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
Дифференцируя ещё раз тем же способом, получаем
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

Теперь прочитаем результаты. Скобка в $\vec{v}$ — это скобка из $\vec{r}$, повёрнутая на четверть оборота против часовой стрелки, и её длина равна 1. Значит, $\vec{v}$ перпендикулярен радиусу — это и есть прямой угол, отмеченный на рисунке 1: скорость направлена по касательной, а её модуль равен $\omega r$. Ускорение — это радиус-вектор с обратным знаком, умноженный на ${\omega }^2$. Поэтому оно направлено точно в центр, а его модуль равен ${\omega }^{2}r=v^2/r$, то есть 7,2 м/с² для мяча.

Тот же результат без координат

Вывод выше предполагал равномерное вращение. Более короткое рассуждение опирается только на то, что расстояние до центра не меняется, поэтому оно годится и для тела, которое разгоняется или тормозит на окружности.

Длина $\vec{r}$ постоянна, поэтому $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ — постоянная величина. Продифференцируйте это равенство по правилу дифференцирования произведения: $2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$, так что скорость перпендикулярна радиусу при любом движении по окружности. Продифференцируйте $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ ещё раз: $\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$, то есть $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$. Разделив на $r$, получаем проекцию $\vec{a}$ на радиус, направленный от центра: $-v^2/r$. Значит, составляющая ускорения, направленная к центру, равна $v^2/r$ при любом движении по окружности, равномерном или нет.

Если и модуль скорости постоянен, тот же приём, применённый к $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$, даёт $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$. Тогда у ускорения нет составляющей вдоль касательной, и остаётся только составляющая, направленная к центру.

Собственная окружность скорости: годограф

Скорость описывает свою собственную окружность, и она нагляднее всего показывает, почему $a=v^2/r$: ускорение относится к скорости так же, как скорость к положению.

Перенесите стрелки $\vec{v}$ с рисунка 1, взятые в разные моменты времени, в одно общее начало; такой чертёж называют годографом. Все стрелки имеют одну и ту же длину $v$, и каждая повёрнута на четверть оборота вперёд относительно $\vec{r}$ в тот же момент, поэтому стрелки поворачиваются с той же угловой скоростью $\omega$, что и радиус. Значит, их концы бегут по окружности радиусом $v$ с угловой скоростью $\omega$.

Теперь примените к этой окружности то, что мы знаем о первой. Конец $\vec{r}$ движется со скоростью $\omega r$, и эта скорость — модуль $\vec{v}$. Точно так же конец $\vec{v}$ движется со скоростью $\omega v$, и эта скорость — модуль $\vec{a}$, потому что ускорение — это быстрота изменения скорости. Значит, $a=\omega v=v^2/r$. Конец $\vec{v}$ движется по касательной к годографу, на четверть оборота впереди $\vec{v}$. Поскольку $\vec{v}$ уже на четверть оборота впереди $\vec{r}$, вектор $\vec{a}$ повёрнут относительно $\vec{r}$ на пол-оборота: он направлен в центр. Положение, скорость и ускорение — три стрелки длиной $r$, $\omega r$ и ${\omega }^{2}r$, каждая на четверть оборота впереди предыдущей, потому что каждая — быстрота изменения предыдущей.

Падение по окружности

Ньютон увидел то же ускорение иначе: тело на окружности всё время падает к центру и никогда его не достигает, потому что движется ещё и вбок. Этот взгляд связывает движение по окружности со свободным падением, и именно он привёл к первой проверке закона тяготения.

Обозначения

$r$	Радиус окружности: длина нити.	$\mathrm{м}$
$\omega t$	Угол, на который радиус поворачивается за время $t$.	$\mathrm{рад}$
$vt$	Расстояние, которое тело прошло бы вдоль касательной за время $t$ без нити.	$\mathrm{м}$
$h$	Расстояние от этого свободного положения до реального на окружности: на сколько тело упало к центру.	$\mathrm{м}$

Рисунок 2 прослеживает тело в течение времени $t$ от верхней точки окружности. Оно стартует из точки, и его скорость направлена по касательной, здесь — влево. Без силы оно двигалось бы по прямой, прошло бы вдоль касательной расстояние $vt$ и оказалось бы у бледного шарика. Но нить удерживает его на окружности: радиус $r$ поворачивается на угол $\omega t$, тело проходит дугу той же длины $r\omega t=vt$ и оказывается у закрашенного шарика. Стрелка $h$ идёт от того места, где тело было бы, к тому, где оно есть: это расстояние, на которое оно упало. (Время на рисунке взято большим, чтобы были видны формы; результат ниже относится к малым временам.)

Чему равна длина $h$? Касательная в верхней точке проходит на расстоянии $r$ над центром, а реальное положение находится на высоте $r\cos \omega t$ над ним, поэтому тело опустилось на $r(1-\cos \omega t)$ ниже касательной. За малое время свободное положение лежит почти точно над реальным, поэтому $h$ почти точно равно этому опусканию и направлено почти точно вниз, к центру. Для малого угла $x$ справедливо $\cos x\approx 1-x^2/2$, и, поскольку $r\omega t=vt$,
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
Сравните со свободным падением из состояния покоя: $h=\frac{1}{2}a{t}^2$. Они совпадают, если $a=v^2/r$: тело падает к центру точно так же, как падал бы отпущенный камень с таким ускорением, а движение вбок не даёт ему хоть сколько-нибудь приблизиться к центру.

За 0,1 с мяч прошёл бы вдоль касательной $vt=0,24\mathrm{м}$, а радиус повернулся бы на 0,3 рад. Окружность при этом оказывается на $0,8(1-\cos 0,3)\approx 0,0357\mathrm{м}$, то есть на 3,57 см, ниже касательной, а приближённая формула даёт $\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 0,1^2=0,036\mathrm{м}$.

Ньютон использовал эту картину, чтобы проверить свой закон тяготения на Луне. Радиус её орбиты $R\approx 3,84\times 10^8\mathrm{м}$, около 60,3 радиуса Земли, а период обращения $T$ равен 27,3 суток. При $v=2\pi R/T$ Луна падает к Земле с ускорением
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
Если тяготение ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния, то на расстоянии 60,3 радиуса Земли оно должно давать $g/60,3^2\approx 2,70\times 10^{-3}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Два значения совпадают с точностью до 1 %: та же сила, что роняет яблоко, заставляет Луну всё время падать вокруг Земли.

Тени на осях: гармонические колебания

Если смотреть сбоку, движение по окружности превращается в колебание. Именно из-за этой связи математика окружности встречается в физике повсюду — от пружин до переменного тока.

Возьмите проекцию $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$ на ось $x$. Она имеет вид $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, где каждая точка означает одну производную по времени. Это уравнение груза массой $m$ на пружине жёсткостью $k$, $m\ddot{x}=-kx$, при $k/m={\omega }^2$, и проекция на ось $y$ даёт то же уравнение. Значит, тень равномерного движения по окружности на любую прямую совершает гармонические колебания с той же $\omega$ и амплитудой, равной радиусу.

Это видно в слое анимации «Продвинутый». Фиолетовые точки на осях — это тени: они скользят между $-0,8$ и $+0,8\mathrm{м}$ с периодом $2\pi /\omega =2,09\mathrm{с}$. Быстрее всего, со скоростью 2,4 м/с, они движутся, проходя середину, где мяч движется параллельно оси, а на концах на мгновение останавливаются, и там их ускорение достигает максимума — 7,2 м/с². Графики $x(t)$ и $y(t)$ — косинус и синус, сдвинутые на четверть периода (0,52 с).

Комплексные числа выражают то же самое одной строкой. Запишите положение как $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$. Тогда $\dot{z}=i\omega z$, а умножение комплексного числа на $i$ поворачивает его на четверть оборота против часовой стрелки: скорость направлена под прямым углом к радиусу. Повторное дифференцирование даёт $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$ — центростремительное ускорение. Действительная часть, $x=r\cos \omega t$, — это колебание. Колебание — это вращение, увиденное с ребра, поэтому $e^{i\omega t}$ — естественный язык колебаний, волн и переменных токов.

Момент, когда нить отпускают, показывает, что происходит, если тяга к центру исчезает. Это случается при $\omega t=7\pi /2$, когда мяч находится в точке $(0,-r)$ со скоростью $(+v,0)$; с этого мгновения $\vec{a}=0$. График $x(t)$ уходит с косинусоиды по её касательной с наклоном 2,4 м/с и через 0,5 с у края графика достигает 1,2 м, то есть $1,5r$. График $y(t)$ остаётся на уровне $-0,8\mathrm{м}$, потому что синусоида была в минимуме, где её наклон равен нулю. Это первый закон Ньютона, нарисованный в виде двух графиков.

Единичные векторы, поворачивающиеся вместе с телом

До сих пор модуль скорости был постоянным. Когда тело разгоняется на окружности или движется по любой кривой, у ускорения появляется составляющая вдоль траектории. Проще всего найти все составляющие с помощью единичных векторов, которые поворачиваются вместе с телом.

Для любого движения в плоскости задайте положение тела расстоянием $r$ от начала координат и углом $\theta$; теперь обе величины могут меняться. В точке, где находится тело, введите два единичных вектора: $\hat{r}$, направленный вдоль радиуса от центра, и $\hat{\theta }$, повёрнутый относительно него на четверть оборота вперёд, в сторону роста $\theta$ (против часовой стрелки). Тогда $\vec{r}=r\hat{r}$.

В компонентах $\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ и $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$. Дифференцируя по правилу дифференцирования сложной функции, как в первом разделе, получаем
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
Иначе говоря, с ростом угла $\hat{r}$ наклоняется к $\hat{\theta }$, а $\hat{\theta }$ — к центру.

Продифференцируйте $\vec{r}=r\hat{r}$ по правилу дифференцирования произведения. Первое слагаемое — движение от центра, второе — движение по кругу:
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
Продифференцируйте ещё раз, почленно, используя два правила выше:
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
Собирая составляющие вдоль $\hat{r}$ и вдоль $\hat{\theta }$, получаем
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

На окружности $r$ постоянно, поэтому $\dot{r}=\ddot{r}=0$. Остаются составляющая, направленная к центру, $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$, с модулем $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, и тангенциальная составляющая $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$. Обозначьте угловое ускорение $\alpha =\ddot{\theta }$. Тогда тангенциальная составляющая имеет модуль $r\alpha$, и, поскольку $v=r\dot{\theta }$, он равен $dv/dt$ — быстроте изменения модуля скорости.

Разгон по окружности

Когда модуль скорости меняется, ускорение уже не направлено в центр. В этом разделе показано, насколько оно отклоняется и что это значит для нити.

Обозначения

$\hat{r}$	Единичный вектор вдоль радиуса, направленный от центра.
$\hat{\theta }$	Единичный вектор по касательной, в сторону роста $\theta$ (против часовой стрелки).
$a_c$	Составляющая ускорения, направленная к центру (центростремительная), вдоль $-\hat{r}$; её модуль $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$a_t$	Тангенциальная составляющая ускорения, вдоль $\hat{\theta }$, пока тело разгоняется; её модуль $r\alpha =dv/dt$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\vec{a}$	Полное ускорение: векторная сумма двух составляющих.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\beta$	Угол между $\vec{a}$ и линией, направленной к центру; $\tan \beta =a_t/a_c$.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 3 показано движение по окружности в один момент; тело находится справа от центра. Единичные векторы $\hat{r}$ и $\hat{\theta }$ отложены от тела под прямым углом друг к другу. У ускорения есть составляющая, направленная к центру, с модулем $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, вдоль $-\hat{r}$, и тангенциальная составляющая с модулем $a_t=r\alpha$, вдоль $\hat{\theta }$, потому что тело разгоняется (при торможении она была бы направлена вдоль $-\hat{\theta }$). Если приложить начало одной к концу другой, они складываются в полное ускорение $\vec{a}$ — длинную стрелку, выходящую из тела. Поэтому $\vec{a}$ отклонено вперёд от линии, направленной к центру, на угол $\beta$, и из прямоугольного треугольника
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
Тангенциальная стрелка нарисована гораздо длиннее, чем в следующем примере, чтобы наклон был заметен.

Раскрутите мяч из состояния покоя до 3,0 рад/с за 2,0 с при постоянном угловом ускорении $\alpha =1,5\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$. Тангенциальная составляющая всё это время остаётся равной $a_t=r\alpha =0,8\cdot 1,5=1,2\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, а составляющая, направленная к центру, растёт как ${\omega }^2$ и в конце достигает 7,2 м/с². В этот момент полное ускорение равно $\sqrt{7,2^2+1,2^2}\approx 7,30\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ и отклонено вперёд на 9,5°, поскольку $\tan \beta =1,2/7,2$. На гладком столе нить — единственная горизонтальная сила, а нить может тянуть только вдоль себя, поэтому она должна наклониться вперёд на тот же угол: рука опережает мяч.

Радиальные силы и криволинейные траектории

У общей формулы есть ещё два применения. Она объясняет, почему планеты заметают равные площади, и даёт ускорение на любой криволинейной траектории.

Слагаемое $2\dot{r}\dot{\theta }$ важно, когда расстояние до центра меняется в ходе вращения. Если сила чисто радиальная, как тяготение Солнца, действующее на планету, составляющая ускорения вдоль $\hat{\theta }$ должна обращаться в нуль. Эта составляющая — замаскированная производная одной-единственной величины (раскройте правую часть, чтобы проверить):
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
Значит, $r^2\dot{\theta }$ остаётся постоянным. Умноженная на массу, эта величина — момент импульса, который, следовательно, сохраняется. Её половина, $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, — это площадь, которую отрезок от Солнца до планеты заметает за единицу времени, поэтому тот же результат — это закон площадей Кеплера.

Наконец, вблизи каждой своей точки любая гладкая траектория похожа на окружность; радиус наилучшим образом прилегающей окружности называют радиусом кривизны $\rho$. Составляющая ускорения поперёк траектории тогда равна $v^2/\rho$, а вдоль неё — $dv/dt$. В верхней точке траектории брошенного тела, которое движется там горизонтально со скоростью 10 м/с, сила тяжести — единственная сила, и она направлена точно поперёк траектории, поэтому $g=v^2/\rho$ и $\rho =v^2/g\approx 10,2\mathrm{м}$.

Задача: мяч, раскрученный над головой

Теперь уберите мяч со стола. Держите нить над головой и раскручивайте тот же мяч массой 0,2 кг по горизонтальной окружности радиусом 0,8 м с угловой скоростью 3,0 рад/с, как в анимации. Нить описывает конус. На сколько ниже руки движется мяч, какова длина нити и чему равно её натяжение $F_s$?

Обозначения

$\phi$	Угол между нитью и вертикалью.	$\mathrm{рад}$
$h$	Расстояние от руки вниз до плоскости окружности мяча.	$\mathrm{м}$
$r$	Радиус горизонтальной окружности мяча.	$\mathrm{м}$
$L$	Длина нити.	$\mathrm{м}$
$F_s$	Сила натяжения: сила, с которой нить тянет мяч; направлена вдоль нити к руке.	$\mathrm{Н}$
$F_s\cos \phi$	Вертикальная составляющая натяжения; она уравновешивает силу тяжести.	$\mathrm{Н}$
$F_s\sin \phi$	Горизонтальная составляющая натяжения, направленная к оси: центростремительная сила $m{\omega }^{2}r$.	$\mathrm{Н}$
$mg$	Сила тяжести, действующая на мяч; направлена вертикально вниз.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 4 слева конус показан сбоку, а справа — силы, действующие на мяч. Слева нить длиной $L$ образует угол $\phi$ с вертикальной осью, проходящей через руку. Мяч движется по окружности на расстоянии $r$ от этой оси, в горизонтальной плоскости на расстоянии $h$ ниже руки. (Это $h$ — новая длина, а не падение с рисунка 2.)

Справа на мяч действуют только две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения $F_s$, направленная вдоль нити к руке. Разложите натяжение на вертикальную составляющую $F_s\cos \phi$ и горизонтальную составляющую $F_s\sin \phi$; угол между нитью и вертикалью снова равен $\phi$. Мяч не поднимается и не опускается, поэтому вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести, и на рисунке эти две стрелки одинаковой длины. Горизонтальная составляющая направлена к оси и остаётся единственной неуравновешенной силой, поэтому она и есть центростремительная сила:
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

Разделив второе уравнение на первое, исключаем и $F_s$, и $m$:
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7,2}{9,81}\approx 0,734$
поэтому нить отклонена от вертикали на 36,3°. Треугольник слева со сторонами $r$, $h$ и $L$ имеет тот же угол $\phi$ у руки, поэтому также $\tan \phi =r/h$. Приравнивая два выражения для $\tan \phi$, получаем
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9,81}{9}\approx 1,09\mathrm{м}$
и эта величина зависит только от $\omega$, а не от массы или радиуса. По теореме Пифагора длина нити $L=\sqrt{0,8^2+1,09^2}\approx 1,35\mathrm{м}$. Чтобы найти натяжение, подставьте $\sin \phi =r/L$ в уравнение для горизонтальной составляющей: $F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$, откуда $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0,2\cdot 9\cdot 1,35\approx 2,43\mathrm{Н}$. Это в 1,24 раза больше силы тяжести, равной 1,96 Н. Горизонтальная составляющая по-прежнему равна 1,44 Н, как в варианте со столом, потому что мячу по-прежнему нужна сила $m{\omega }^{2}r$, чтобы оставаться на своей окружности.

Три следствия удивляют большинство людей. Во-первых, $h=g/{\omega }^2$ стремится к нулю, только когда $\omega$ неограниченно растёт, поэтому нить никогда не бывает строго горизонтальной: часть натяжения всегда должна уравновешивать силу тяжести. Во-вторых, $h$ не может превышать длину нити, поэтому для конуса нужно $g/{\omega }^2<L$: с этой нитью при угловой скорости ниже $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2,69\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ конуса нет вообще, и мяч просто висит. В-третьих, в вертикальной окружности нить может только тянуть. В верхней точке и сила тяжести, и нить направлены к центру, поэтому натяжение равно $m(v^2/r-g)$, и оно не может быть отрицательным: мяч остаётся на окружности, только если $v^2/r\ge g$, то есть $v\ge \sqrt{gr}\approx 2,80\mathrm{м}/\mathrm{с}$. У мяча, проходящего верхнюю точку со скоростью 2,4 м/с, как в анимации, нить провисла бы.

Вращающиеся системы отсчёта и силы инерции

До сих пор всё рассматривалось относительно стола — инерциальной системы отсчёта. Наблюдатель, вращающийся вместе с нитью, описывает то же движение иначе, а земля у нас под ногами — как раз такая вращающаяся система, и это важно для погоды.

В системе отсчёта, вращающейся вместе с нитью, мяч покоится, но нить по-прежнему тянет его к центру с силой 1,44 Н. Второй закон Ньютона остаётся в силе, только если добавить силы инерции, которые возникают из-за ускорения самой системы отсчёта, а не из-за действия других тел. Первая из них — центробежная сила $m{\omega }^{2}r$, направленная наружу, здесь ровно 1,44 Н; она уравновешивает нить. Вторая действует только на тело, которое движется относительно вращающейся системы со скоростью $\vec{v}$: это сила Кориолиса $-2m[\vec{\omega }\times \vec{v}]$, перпендикулярная этой скорости, где $\vec{\omega }$ — вектор угловой скорости системы, направленный вдоль оси вращения. После того как нить отпустили, вращающийся наблюдатель видит, как мяч уходит наружу и отстаёт от нити — примерно на 30° через 0,5 с; если смотреть со стороны стола, он просто летит по прямой.

Обе силы инерции пропорциональны массе, как и сила тяжести, поэтому сообщают всем телам одинаковое ускорение. Эйнштейн сделал это совпадение отправной точкой общей теории относительности: в достаточно малой области никакой опыт не отличит систему отсчёта, движущуюся с ускорением, от поля тяготения. Сама земная поверхность — вращающаяся система отсчёта, которая поворачивается с угловой скоростью Земли ${\omega }_E$. На экваторе, на расстоянии радиуса Земли $R_E$ от оси, центробежное слагаемое равно ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0,034\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, то есть 0,35 % от $g$. Для ветра со скоростью 20 м/с на широте 45° ускорение Кориолиса составляет всего около 0,002 м/с², но, действуя часами, оно закручивает большие бури в циклоны.

Границы применимости

Во всём сказанном тело считается точкой, а нить — невесомой и нерастяжимой. Настоящая нить немного растягивается при росте натяжения, поэтому $r$ слегка зависит от $\omega$. Система отсчёта должна быть инерциальной, но в таких масштабах вращение Земли безвредно: вызванное им ускорение Кориолиса для мяча, движущегося со скоростью 2,4 м/с, не превышает $2{\omega }_{E}v\approx 3,5\times 10^{-4}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$, что примерно в 20 000 раз меньше 7,2 м/с², которые создаёт нить.

Вблизи скорости света $c$ импульс равен $\gamma mv$, где $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ неограниченно растёт по мере приближения $v$ к $c$. Сила, перпендикулярная $\vec{v}$, меняет только направление движения, но не модуль скорости, поэтому $\gamma$ остаётся постоянным, и сила, нужная для движения по окружности, становится равной $\gamma m{v}^2/r$. Следовательно, заряд $q$ в магнитном поле $B$ обращается с $\omega =qB/(\gamma m)$ вместо $qB/m$. Медленный протон в поле 1,0 Тл делает 15,2 миллиона оборотов в секунду; при кинетической энергии 10 МэВ $\gamma \approx 1,011$, и частота падает примерно на 1 %, чего достаточно, чтобы нарушился синхронизм с ускоряющим напряжением циклотрона, частота которого фиксирована.

В атомных масштабах классические орбиты не работают. Заряд, движущийся с ускорением, излучает, поэтому электрон, обращающийся вокруг протона, терял бы энергию и упал бы по спирали примерно за $10^{-11}\mathrm{с}$. Для устойчивых атомов нужна квантовая механика.

Что дальше

Когда центростремительную силу создаёт тяготение, из $GMm/r^2=m{v}^2/r$ получаются орбитальные скорости и третий закон Кеплера — предмет урока «Тяготение и орбиты»; Международной космической станции на высоте 420 км нужна скорость 7,66 км/с, и она обходит Землю примерно за 93 минуты. Вращающееся твёрдое тело — это множество точек с одной и той же $\omega$, у каждой из которых $v=\omega r$ и $a_t=r\alpha$: с этого начинается урок «Динамика вращения и момент силы», а постоянная $r^2\dot{\theta }$ вырастает в «Момент импульса и закон его сохранения». Образ тени продолжается в уроке «Гармонические колебания». В уроке «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» из $qvB=m{v}^2/r$ получается радиус $r=mv/(qB)$, который используют масс-спектрометры и циклотроны, а урок «Модели атома: атом Бора» показывает, как квантовые правила спасают электрон, обращающийся вокруг ядра. Эквивалентность сил инерции и тяготения вернётся в уроке «Гравитация как искривление пространства-времени».