Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд

Начальный

Положите провод поперёк зазора подковообразного магнита и включите ток: провод дёрнется вбок — наружу из зазора или глубже внутрь. Смените направление тока — он дёрнется в другую сторону. Переверните ещё и магнит — и он снова качнётся как в первый раз.

Почему так происходит? Ток — это просто движущиеся электрические заряды. Магнит толкает каждый из этих движущихся зарядов, а поскольку покинуть провод они не могут, они тянут провод за собой. Заряд, неподвижно лежащий рядом с магнитом, не чувствует ничего: толчок появляется, только когда заряд движется.

Самое удивительное — направление толчка. Он никогда не направлен вдоль движения: он действует вбок, перпендикулярно и направлению движения заряда, и магнитному полю. Боковой толчок не может ни разогнать, ни затормозить тело — он может только поворачивать его, как верёвка, на которой вы раскручиваете мячик над головой. Поэтому заряд, свободно летящий в поле магнита, всё время поворачивает, и его путь изгибается в окружность.

Это и показывает анимация. Серые значки × — магнитное поле, направленное в экран. Следите за красным зарядом: синяя стрелка показывает, куда он движется, красная — толчок. Толчок всегда направлен к центру окружности, а заряд не ускоряется и не замедляется.

Этот же толчок направляет частицы от Солнца к полюсам Земли, где они зажигают в небе полярные сияния, а огромные кольца магнитов удерживают частицы на круговой дорожке ускорителей.

Проверьте себя: электрон неподвижно находится между полюсами сильного магнита. Какая магнитная сила на него действует? (Никакая: она действует только на движущиеся заряды.)

Средний

Заряд, скорость и поле

Магнитная сила, действующая на частицу, определяется тремя величинами: зарядом $q$ — в кулонах и со знаком ($+1,60\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ у протона); скоростью $\vec{v}$ вместе с её направлением; и индукцией $\vec{B}$ магнитного поля в том месте, где находится частица, — её измеряют в теслах (Тл). Тесла — крупная единица: поле Земли составляет 25–65 мкТл, магнит на холодильнике даёт несколько миллитесла, а аппарат МРТ — 1,5–3 Тл. В анимации взято $B=0,10\mathrm{Тл}$ — примерно такое поле между полюсами хорошего подковообразного магнита.

На плоских рисунках крестик × — это оперение стрелы, улетающей от вас, поэтому серые крестики в анимации означают поле, направленное в экран; точка • — остриё стрелы, летящей к вам, то есть поле, направленное из экрана. Угол $\alpha$ отсчитывают между $\vec{v}$ и $\vec{B}$; протон движется строго поперёк поля, поэтому всё время $\alpha =90^{\circ }$.

Модуль силы

Опыты с пучками частиц показывают, что сила пропорциональна заряду, скорости и полю и зависит от угла между движением и полем:
$F=qvB\sin \alpha$

Учитывается только та часть скорости, которая пересекает линии поля, — $v\sin \alpha$. Заряд, движущийся вдоль линий поля, не чувствует ничего; заряд, пересекающий их под прямым углом, чувствует наибольшую силу, $F=qvB$, а под углом $30^{\circ }$ — половину от неё. Для отрицательного заряда берут модуль $q$: знак меняет только направление.

Неподвижный заряд не чувствует магнитной силы вообще, каким бы сильным ни был магнит: этим она резче всего отличается от электрической. Эта формула задаёт и единицу индукции: 1 Тл действует с силой 1 Н на заряд 1 Кл, пересекающий поле со скоростью 1 м/с, так что $1\mathrm{Тл}=1\mathrm{Н}\cdot \mathrm{с}/(\mathrm{Кл}\cdot \mathrm{м})=1\mathrm{Н}/(\mathrm{А}\cdot \mathrm{м})$.

Как читать рисунок: правило правой руки

Сила перпендикулярна и скорости, и полю. Её модуль и направление вместе описывает одно векторное уравнение:
$\vec{F}=q[\vec{v}\times \vec{B}]$

Модуль векторного произведения $[\vec{v}\times \vec{B}]$ равен $vB\sin \alpha$, а направление определяется правилом правой руки: направьте пальцы правой руки по $\vec{v}$, согните их к $\vec{B}$, и большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд. Порядок важен: $[\vec{B}\times \vec{v}]$ направлено в противоположную сторону. В школе обычно пользуются правилом левой руки, и оно даёт тот же результат: линии $\vec{B}$ входят в ладонь, четыре пальца направлены по $\vec{v}$, отогнутый большой палец показывает $\vec{F}$.

Проверьте на анимации. В нижней точке окружности протон движется вправо, а поле направлено в экран, поэтому большой палец смотрит вверх, к центру, — как красная стрелка $F$: протон поворачивает против часовой стрелки. Если изменить направление поля или скорости, сила изменит направление; если изменить оба, она останется прежней.

Работы нет, поэтому траектория — окружность

Поскольку $\vec{F}$ всегда перпендикулярна $\vec{v}$, она не совершает работы. Кинетическая энергия не может измениться, а значит, и модуль скорости: показание $|v|$ остаётся равным $1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Сила неизменного модуля, которая только поворачивает скорость, — именно то, что нужно для равномерного движения по окружности, поэтому магнитная сила играет роль центростремительной, как в уроке «Движение по окружности»:
$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

Решив уравнение относительно радиуса и воспользовавшись равенствами $T=2\pi r/v$ для периода и $\omega =2\pi /T$ для угловой частоты, получаем три рабочие формулы:

• $r=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• $\omega =\frac{qB}{m}$

Более быстрая или более тяжёлая частица описывает более широкую окружность, а при более сильном поле или большем заряде окружность получается теснее. Неожиданность — во второй формуле: скорость сократилась, поэтому более быстрая частица пробегает большую окружность за то же самое время.

Пример: протон из анимации

У протона $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ и $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{кг}$. В анимации он движется со скоростью $v=1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$ строго поперёк поля $B=0,10\mathrm{Тл}$, так что $\sin \alpha =1$:
$F=qvB=1,60\times 10^{-19}\cdot 1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,6\times 10^{-14}\mathrm{Н}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1,67\times 10^{-27}\cdot 1,0\times 10^6}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 0,104\mathrm{м}$
$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 6,6\times 10^{-7}\mathrm{с}$

Это значения на индикаторах: $F=1,6\times 10^{-14}\mathrm{Н}$, $r=10,4\mathrm{см}$ и неизменное $|v|=1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Настоящий протон делает оборот за 0,66 мкс, то есть около полутора миллионов оборотов в секунду; анимация, где на оборот уходит 4 с, замедлена примерно в шесть миллионов раз.

Сила кажется крошечной, но масса ещё меньше: ускорение $F/m\approx 9,6\times 10^{12}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ примерно в $10^{12}$ раз больше $g$, поэтому тяжесть не играет никакой роли. Синяя стрелка $v$ остаётся касательной к штриховой окружности и не меняет длины, а красная стрелка $F$ лежит на сером радиусе $r$ и указывает на центр: она всегда перпендикулярна $v$ и работы не совершает.

Пример: сортировка ионов по массе

Масс-спектрометр взвешивает атомы по размеру их окружностей. Однозарядные ионы неона с $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ вылетают из источника с разбросом скоростей, поэтому сначала проходят через селектор скоростей, где электрическая сила $qE$ и магнитная сила $qvB$ направлены в противоположные стороны. Прямо через щель проходят только ионы с $qE=qvB$. При напряжении 250 В между пластинами, расположенными на расстоянии 1 см друг от друга, $E=2,5\times 10^4\mathrm{В}/\mathrm{м}$, а при $B=0,25\mathrm{Тл}$
$v=\frac{E}{B}=\frac{2,5\times 10^4}{0,25}=1,0\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$

В том же поле, но уже без пластин, ионы затем описывают полуокружность и попадают на детектор. Для неона-20 $m=3,32\times 10^{-26}\mathrm{кг}$:
$r_{20}=\frac{mv}{qB}=\frac{3,32\times 10^{-26}\cdot 1,0\times 10^5}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,25}\approx 0,083\mathrm{м}$

Неон-22 тяжелее на 10 %, а при заданной скорости $r$ пропорционален $m$, поэтому $r_{22}\approx 0,091\mathrm{м}$. Каждый ион падает на расстоянии одного диаметра от щели, то есть в 16,6 см и 18,3 см, так что два изотопа приходят на расстоянии 1,7 см друг от друга. Без селектора пятна расплылись бы: ион неона-20, который быстрее нужной скорости всего на 1 %, попадает на 1,7 мм дальше.

Частые ошибки

• Сила направлена не вдоль линий поля, как была бы направлена электрическая, а под прямым углом к ним: протон получает толчок $1,6\times 10^{-14}\mathrm{Н}$ к центру своей окружности, но никогда не в экран.
• Магнитное поле не может изменить модуль скорости заряда. Протон оборот за оборотом сохраняет свои $1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$ и кинетическую энергию 5,2 кэВ; ускорители сообщают энергию электрическими полями, а магнитными только управляют направлением.
• Наклонное движение даёт меньшую силу. Под углом $30^{\circ }$ к полю вместо $90^{\circ }$ на протон действовала бы сила всего $8,0\times 10^{-15}\mathrm{Н}$, вдвое меньше.
• Знак заряда имеет значение. Электрон с той же скоростью отклоняется в другую сторону и обходит окружность по часовой стрелке; её радиус около 0,057 мм — в 1836 раз меньше, чем у протона, ведь электрон во столько же раз легче.

Где это встречается

Самый красивый пример — полярные сияния: заряженные частицы от Солнца направляются вдоль силовых линий поля Земли в полярные области и заставляют светиться верхние слои атмосферы. Больничные циклотроны ускоряют протоны для получения изотопов, которые применяют в ПЭТ-диагностике, масс-спектрометры определяют возраст древних образцов по углероду и проверяют спортсменов на допинг, а в детекторах частиц импульс находят по кривизне треков.

Та же сила действует на заряды, дрейфующие вдоль провода. Если движущийся заряд $Q$ на участке провода длиной $L$ дрейфует со скоростью $v$, то ток равен $I=Qv/L$, а силы складываются в $QvB=BIL$ для провода, расположенного поперёк поля: 0,025 Н для тока 5,0 А на 5,0 см провода в поле 0,10 Тл. Этот толчок заставляет провод подпрыгивать между полюсами подковообразного магнита и вращает каждый электродвигатель — об этом урок «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы». А если двигать провод через поле, магнитная сила погонит его заряды вдоль провода: с этого начинается урок «Электромагнитная индукция».

Продвинутый

Сила Лоренца определяет поля

В этом разделе сформулирован закон, на котором держится весь урок, и выведено его важнейшее следствие: магнитное поле может отклонять заряд, но никогда не может его разогнать. Точечный заряд $q$, движущийся со скоростью $\vec{v}$ в электрическом поле $\vec{E}$ и магнитном поле $\vec{B}$, испытывает силу Лоренца
$\vec{F}=q(\vec{E}+[\vec{v}\times \vec{B}])$

Закон можно прочитать наоборот — как рецепт измерения обоих полей с помощью пробного заряда. Неподвижный заряд чувствует только $q\vec{E}$, и это даёт $\vec{E}$. Если привести его в движение, появляется дополнительная сила, которая растёт со скоростью и всегда направлена под прямым углом к ней. Эта добавка равна нулю при движении вдоль одной определённой прямой, и эта прямая — направление $\vec{B}$. Для любой другой скорости она определяет часть $\vec{B}$, поперечную к $\vec{v}$; вторая, не параллельная первой скорость даёт недостающую часть вдоль первой. Таким образом, двух измерений достаточно, чтобы найти все три компоненты $\vec{B}$.

Направление толчка получается по правилу векторного произведения. Для единичных векторов $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ вдоль осей $[\hat{x}\times \hat{y}]=\hat{z}$, и то же верно для циклических перестановок: $[\hat{y}\times \hat{z}]=\hat{x}$ и $[\hat{z}\times \hat{x}]=\hat{y}$. Поэтому положительный заряд, движущийся вдоль $+y$ в поле, направленном вдоль $+z$, получает толчок вдоль $[\hat{y}\times \hat{z}]=+\hat{x}$.

Теперь об энергии. Сила меняет кинетическую энергию $K$ со скоростью $\vec{F}\cdot \vec{v}$ — это развиваемая ею мощность. Для силы Лоренца
$\frac{dK}{dt}=q\vec{E}\cdot \vec{v}+q\vec{v}\cdot [\vec{v}\times \vec{B}]$
Последнее слагаемое равно нулю, потому что векторное произведение $[\vec{v}\times \vec{B}]$ перпендикулярно $\vec{v}$. Значит, $dK/dt=q\vec{E}\cdot \vec{v}$: энергию частицы меняет только электрическое поле, какой бы формы ни было магнитное. Магнитная сила может повернуть скорость, но не может ни удлинить, ни укоротить её. Когда кажется, что меняющееся магнитное поле совершает работу, как в трансформаторе, работу на самом деле совершает электрическое поле, которое порождается этим изменением.

Движение по окружности: два связанных осциллятора

Обозначения

$C$	Центр окружности, точка $(x_c,y_c)$.
$r$	Радиус окружности, $r=mv/(qB)$; проведён от $C$ к начальной точке.	$\mathrm{м}$
$\omega t$	Угол поворота с начала движения; $\omega =qB/m$ — угловая скорость.	$\mathrm{рад}$
$q$	Заряд частицы, здесь протона; светлая точка — место старта.	$\mathrm{Кл}$
$\vec{v}$	Скорость: касательная к окружности, её длина равна постоянному модулю $v$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\vec{F}$	Магнитная сила $q[\vec{v}\times \vec{B}]$: перпендикулярна $\vec{v}$, направлена к $C$.	$\mathrm{Н}$
$\vec{B}$	Магнитное поле, однородное, направлено в плоскость рисунка (крестики).	$\mathrm{Тл}$
$v_x$	Компонента $\vec{v}$ вдоль $x$, $v\cos \omega t$; в показанный момент отрицательна.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_y$	Компонента $\vec{v}$ вдоль $y$, $v\sin \omega t$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$

В этом разделе движение в однородном магнитном поле решается точно. Метод — разложить скорость на компоненты, которые раскачивают друг друга, — стоит освоить сам по себе, а результат, окружность, которую проходят с неизменной угловой скоростью, лежит в основе всего дальнейшего.

Рисунок 1 показывает геометрию анимации. Поле направлено в плоскость рисунка (крестики). Если ось $x$ направлена вправо, $y$ — вверх, а $z$ — из плоскости рисунка, то $\vec{B}=-B\hat{z}$. Сила перпендикулярна $\vec{B}$, поэтому она никогда не сообщает протону скорость вдоль $z$, и движение остаётся в плоскости $xy$. Слева проследите за протоном с зарядом $q$: он стартовал из светлой точки внизу окружности, двигаясь вдоль $+x$, и с тех пор повернулся на угол $\omega t$ вокруг центра $C$. Его скорость $\vec{v}$ направлена по касательной к траектории, а сила $\vec{F}$ — по радиусу к $C$. Справа тот же вектор $\vec{v}$ нарисован ещё раз из неподвижной точки. Его тени на осях, горизонтальная и вертикальная полосы, — это компоненты $v_x$ и $v_y$. Стрелка повернулась от оси $v_x$ на тот же угол $\omega t$, потому что скорость остаётся перпендикулярной радиусу и поэтому поворачивается ровно так же быстро, как и радиус.

Теперь уравнения. Второй закон Ньютона имеет вид $md\vec{v}/dt=q[\vec{v}\times \vec{B}]$, где $m$ — масса протона. Вычисление векторного произведения при $\vec{B}=-B\hat{z}$ даёт $[\vec{v}\times \vec{B}]=B(-v_y,v_x,0)$. Разделим на $m$ и обозначим $\omega =qB/m$; две компоненты закона принимают вид
${\dot{v}}_x=-\omega v_y,{\dot{v}}_y=\omega v_x$
где точка означает скорость изменения во времени.

Каждая компонента раскачивает другую: $v_y$ определяет, как быстро меняется $v_x$, а $v_x$ — как быстро меняется $v_y$. Чтобы их разделить, продифференцируем первое уравнение ещё раз и заменим ${\dot{v}}_y$ по второму:
${\ddot{v}}_x=-\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$
Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega$, и те же шаги дают его для $v_y$. Решение выбирают начальные условия. При $t=0$ протон движется вдоль $+x$ с полной скоростью $v$, то есть $v_x=v$ и $v_y=0$, откуда
$v_x=v\cos \omega t,v_y=v\sin \omega t$
Это две полосы справа на рисунке 1. Ещё одно интегрирование даёт положение:
$x=x_c+\frac{v}{\omega }\sin \omega t,y=y_c-\frac{v}{\omega }\cos \omega t$
Постоянные $(x_c,y_c)$ — это точка $C$. При $t=0$ эти формулы ставят протон в $y=y_c-v/\omega$, прямо под $C$, как на рисунке. Траектория — окружность радиуса
$r=\frac{v}{\omega }=\frac{mv}{qB}$
которую проходят против часовой стрелки при $q>0$. Для отрицательного заряда $\omega$ отрицательна, и те же формулы описывают окружность радиуса $|mv/(qB)|$, которую проходят по часовой стрелке.

С комплексными числами решение получается короче. Объединим две компоненты в одно комплексное число $w=v_x+i{v}_y$. Пара уравнений превращается в одно: $\dot{w}=i\omega w$, решение которого $w=v{e}^{i\omega t}$ — стрелка неизменной длины $v$, поворачивающаяся с постоянной угловой скоростью $\omega$, в точности та стрелка, что справа на рисунке 1. На векторном языке то же самое записывается как $\dot{\vec{v}}=[\vec{\omega }\times \vec{v}]$ при $\vec{\omega }=-q\vec{B}/m$: скорость поворачивается (прецессирует) вокруг направления поля с угловой скоростью $qB/m$. При $q>0$ вектор $\vec{\omega }$ направлен против $\vec{B}$, то есть здесь из плоскости рисунка, а вращение, вектор которого направлен на вас, выглядит происходящим против часовой стрелки. Поэтому протон и идёт против часовой стрелки в поле, направленном от вас.

Как читать графики скорости

Обозначения

$v$	Амплитуда обеих кривых: постоянный модуль скорости.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$t$	Время, отсчитываемое от начала.	$\mathrm{с}$
$T/4$	Четверть периода: $v_y$ достигает максимума, когда $v_x$ пересекает нуль.	$\mathrm{с}$
$T$	Период одного полного оборота, $T=2\pi m/(qB)$.	$\mathrm{с}$
$v_x$	Компонента скорости вдоль $x$, $v\cos \omega t$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_y$	Компонента скорости вдоль $y$, $v\sin \omega t$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\omega v$	Наклон $v_y$ при $t=0$, наибольший: равен ускорению $F/m$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$

Графики $v_x$ и $v_y$ в зависимости от времени содержат всё движение: по ним можно прочитать постоянный модуль скорости, период и силу. Рисунок 2 показывает графики анимации на уровне «Продвинутый» за один период $T$, время одного полного оборота.

Начнём с формы. Синяя кривая $v_x$ — косинус, зелёная кривая $v_y$ — синус, обе с амплитудой $v=1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$, равной скорости протона. Они сдвинуты на четверть периода $T/4$: на 1 с в замедленной анимации и на 0,16 мкс в действительности. Когда одна кривая пересекает нуль, другая находится на максимуме или минимуме, как на пунктирной линии при $T/4$. В каждый момент $v_x^2+v_y^2=10^{12}{\mathrm{м}}^2/{\mathrm{с}}^2$, потому что ${\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t=1$. Обе компоненты меняются всё время; модуль скорости — никогда.

Теперь наклоны. Наклон графика скорости — это ускорение, а по второму закону Ньютона оно равно силе, делённой на массу. При $t=0$ компонента $v_x$ находится на вершине, где её график горизонтален, а $v_y$ пересекает нуль с наибольшим наклоном — это красная прямая на рисунке 2. Этот наклон равен
$\omega v\approx 9,6\times 10^{12}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
где $\omega =qB/m\approx 9,6\times 10^6\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ для протона в поле анимации 0,10 Тл. Поскольку в этот момент $v_x$ не меняется, это и есть всё ускорение $F/m$. Оно направлено вдоль $+y$, прямо к центру, который лежит выше начальной точки. Через четверть оборота роли меняются: наибольший наклон у $v_x$, а $v_y$ горизонтальна, потому что ускорение повернулось вместе с радиусом и теперь направлено вдоль $-x$.

Период не зависит от скорости. Фиолетовый протон анимации стартует из той же точки со скоростью $1,5v$ и описывает окружность радиуса 15,7 см вместо 10,4 см. Его компоненты — те же синусоиды с амплитудой в 1,5 раза больше и с тем же периодом, поэтому он возвращается в начальную точку в тот же момент, что и красный протон. В этом смысл формулы
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$
в которой скорость сократилась. В поле 0,10 Тл любой протон, движущийся намного медленнее света, делает оборот за 0,66 мкс, каков бы ни был размер его орбиты.

Винтовые линии и магнитные зеркала

Обозначения

$\theta$	Угол между начальной скоростью и $\vec{B}$; здесь $60^{\circ }$.	$\mathrm{рад}$
$\vec{v}$	Скорость в начале движения; её длина равна постоянному модулю $v$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_{\perp }$	Часть $\vec{v}$ поперёк $\vec{B}$, $v\sin \theta$: она вращается по окружности.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_{\parallel }$	Часть $\vec{v}$ вдоль $\vec{B}$, $v\cos \theta$: на неё сила не действует, и она не меняется.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$r$	Радиус окружности, $r=m{v}_{\perp }/(qB)$.	$\mathrm{м}$
$h$	Шаг винтовой линии: расстояние вдоль $\vec{B}$ за один период $T$, $h=v_{\parallel }T$.	$\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле, здесь направлено вверх.	$\mathrm{Тл}$

До сих пор скорость была перпендикулярна полю. В этом разделе разбирается общий случай — скорость под произвольным углом к $\vec{B}$, — именно так заряженные частицы на самом деле приходят в магнитное поле Земли или движутся в плазме.

Результат показан на рисунке 3. Слева начальная скорость $\vec{v}$ образует с $\vec{B}$ угол $\theta$, здесь $60^{\circ }$, и раскладывается на две части: $v_{\parallel }=v\cos \theta$ вдоль поля и $v_{\perp }=v\sin \theta$ поперёк. Эти части ведут себя совершенно по-разному. Сила $q[\vec{v}\times \vec{B}]$ всегда перпендикулярна $\vec{B}$, поэтому у неё нет составляющей вдоль поля, и $v_{\parallel }$ никогда не меняется. А поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю, $v_{\parallel }$ ничего не добавляет к силе: сила зависит только от $v_{\perp }$. Значит, $v_{\perp }$ ведёт себя точно так же, как в предыдущих разделах. Она поворачивается по окружности радиуса $r=m{v}_{\perp }/(qB)$, нарисованной у основания винтовой линии, с тем же периодом $T$.

Сложим обе части: окружность равномерно сносится вдоль поля, и траектория — винтовая линия. Проследите за ней вверх по рисунку. Каждый оборот занимает период $T$, и за это время протон продвигается вдоль $\vec{B}$ на шаг винтовой линии
$h=v_{\parallel }T=2\pi r\mathrm{ctg}\theta$
Вторая запись следует из $T=2\pi r/v_{\perp }$ и $v_{\parallel }/v_{\perp }=\mathrm{ctg}\theta$. При $60^{\circ }$ шаг примерно в 3,6 раза больше радиуса. Для протона анимации, запущенного со скоростью $1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$ под углом 60° к полю 0,10 Тл, $v_{\perp }=8,7\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$ даёт окружность радиуса 9,0 см, а $v_{\parallel }=5,0\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$ сдвигает его на 33 см вдоль поля за оборот.

Реальные поля редко бывают однородными. Допустим, $B$ медленно растёт вдоль линий поля, мало меняясь за один оборот. Тогда величина $m{v}_{\perp }^2/(2B)$ — кинетическая энергия кругового движения, делённая на $B$, — остаётся почти постоянной. Когда протон попадает в более сильное поле, $v_{\perp }^2$ должна поэтому расти пропорционально $B$. Модуль полной скорости измениться не может, так что $v_{\parallel }$ уменьшается, уступая место: спираль сжимается, а там, где $v_{\perp }$ пришлось бы превысить $v$, протон перестаёт продвигаться вперёд и поворачивает назад. Область сильного поля действует как зеркало. Линии поля Земли сгущаются у полюсов, поэтому протоны и электроны отражаются то от одного полюса, то от другого, оказываясь пойманными в радиационных поясах Земли.

Импульс при любой скорости

Соотношения, выведенные до сих пор, относились к медленным частицам. Этот короткий раздел показывает, какие из них сохраняются на больших скоростях. Поскольку магнитная сила не меняет модуль скорости, она лишь поворачивает импульс $\vec{p}$, и закон Ньютона в форме $d\vec{p}/dt=q[\vec{v}\times \vec{B}]$ верен при любой скорости. Для движения поперёк поля он даёт окружность, для которой
$p=qBr$
где $p=\gamma mv$ — релятивистский импульс, $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ — лоренц-фактор, а $c$ — скорость света. Модуль скорости постоянен, значит, постоянен и $\gamma$, и шаги предыдущих разделов остаются в силе при замене $m$ на $\gamma m$.

В практических единицах трек радиуса 1 м в поле 1 Тл принадлежит однозарядной частице с импульсом 0,30 ГэВ/c. На больших энергиях меняется угловая скорость обращения $\omega =qB/(\gamma m)$, которая падает с ростом энергии. С этим как раз приходится справляться циклотрону, о котором речь ниже.

Скрещённые поля: дрейф

Добавим однородное электрическое поле $\vec{E}$, перпендикулярное $\vec{B}$, и окружности перестанут замыкаться: они поползут вбок. Этот случай важен, потому что показывает, как смена системы отсчёта может убрать электрическое поле, и на нём основан селектор скоростей.

Хитрость в том, чтобы наблюдать из системы отсчёта, движущейся с постоянной скоростью
${\vec{v}}_d=\frac{[\vec{E}\times \vec{B}]}{B^2}$
При малой скорости наблюдатель, движущийся со скоростью ${\vec{v}}_d$, измеряет электрическое поле ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+[{\vec{v}}_d\times \vec{B}]$. Когда $\vec{E}$ перпендикулярно $\vec{B}$, $[[\vec{E}\times \vec{B}]\times \vec{B}]=-B^2\vec{E}$, поэтому второе слагаемое равно в точности $-\vec{E}$, и ${\vec{E}}^{\prime }=0$. В этой системе остаётся только $\vec{B}$, и частица описывает обычную окружность. В лабораторной системе эта окружность сносится со скоростью дрейфа $v_d=E/B$. В дрейф не входят ни $q$, ни $m$, поэтому все частицы, любого знака и любой массы, дрейфуют одинаково и с одной и той же скоростью. Точное релятивистское рассмотрение даёт тот же результат при условии $E<cB$, чтобы $v_d$ оставалась меньше скорости света.

При $E=1,0\times 10^4\mathrm{В}/\mathrm{м}$ в поле анимации 0,10 Тл скорость дрейфа равна $1,0\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$, и петли протона продвигаются на $v_{d}T=6,6\mathrm{см}$ за оборот. Селектор скоростей использует тот же баланс: частица, запущенная ровно со скоростью ${\vec{v}}_d$, испытывает электрическую и магнитную силы, которые компенсируют друг друга, и проходит прямо, а более быстрые и более медленные частицы отклоняются.

Задача: небольшой циклотрон

Обозначения

$R$	Радиус электродов: наибольшая орбита, на которой протоны покидают машину.	$\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле, направлено в плоскость рисунка сквозь оба электрода.	$\mathrm{Тл}$
$V$	Переменное напряжение между электродами, в зазоре.	$\mathrm{В}$
$q$	Заряд протона, показанного в начальной точке.	$\mathrm{Кл}$

Циклотрон использует независимость периода от скорости. Поскольку все протоны в данном поле тратят на оборот одно и то же время, напряжение, меняющееся с одной фиксированной частотой, может подталкивать их снова и снова, какова бы ни была их энергия.

Рисунок 4 показывает машину сверху. Два полых D-образных электрода (дуанта) радиуса $R$ обращены друг к другу через узкий зазор. Поле $\vec{B}$ направлено в плоскость рисунка сквозь оба, а между дуантами включён источник переменного напряжения $V$. Протон $q$ стартует из центра. Внутри полого электрода электрического поля нет, есть только $\vec{B}$, поэтому протон описывает полуокружность и возвращается к зазору. Если к этому времени напряжение сменило знак, оно проталкивает протон через зазор и добавляет ему энергию $qV$. Более быстрый протон описывает полуокружность большего радиуса, так что траектория раскручивается наружу, пока не дойдёт до края, на радиусе $R$, где протоны покидают машину. На рисунке показано всего четыре оборота; машине из задачи нужно 30.

Задача. Небольшой циклотрон использует поле анимации $B=0,10\mathrm{Тл}$, радиус дуантов $R=0,50\mathrm{м}$ и переменное напряжение амплитудой 2,0 кВ в зазоре. Протоны стартуют вблизи центра почти в покое. С какой частотой должно меняться напряжение, какой энергии достигнут протоны и за сколько оборотов? Примите $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$ и $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{кг}$.

Шаг 1, частота. Каждый протон пересекает зазор дважды за оборот и каждый раз должен застать напряжение сменившим знак. Значит, напряжение должно проходить один полный цикл за один оборот протона: оно меняется с циклотронной частотой
$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,52\mathrm{МГц}$

Шаг 2, конечная энергия. Последняя орбита имеет радиус $R$, поэтому по формуле $p=qBR$ протоны покидают машину с импульсом
$p=qBR=1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10\cdot 0,50=8,0\times 10^{-21}\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
и кинетической энергией
$K=\frac{p^2}{2m}=\frac{(8,0\times 10^{-21}{)}^2}{2\cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,92\times 10^{-14}\mathrm{Дж}\approx 120\mathrm{кэВ}$
где использовано $1\mathrm{эВ}=1,60\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$. Это скорость $p/m=4,8\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$, 1,6 % скорости света. Напряжение в этот результат не входит: конечная энергия определяется только $B$ и $R$, а напряжение решает лишь, сколько оборотов понадобится, чтобы её набрать.

Шаг 3, число оборотов. Протон, пересекающий зазор в максимуме напряжения, получает 2,0 кэВ за пересечение, то есть 4,0 кэВ за оборот. Ему нужно $120/4,0=30$ оборотов, то есть 30 периодов, около 20 мкс. Поскольку $K$ растёт равными шагами, а $K\propto r^2$, радиус после $n$ оборотов равен $R\sqrt{n/30}$: 9,1 см после одного оборота, 18,3 см после четырёх, 27,4 см после девяти. Окружность анимации радиуса 10,4 см при 5,2 кэВ лежит между первым и вторым оборотом.

Где конструкция перестаёт работать. Машина рассчитана на то, что каждый полуоборот занимает одно и то же время, 0,33 мкс. Релятивистские эффекты постепенно портят это условие, потому что истинная частота обращения равна $qB/(2\pi \gamma m)$, а при кинетической энергии $K$ имеем $\gamma =1+K/(m{c}^2)$, где энергия покоя протона $m{c}^2$ составляет 938 МэВ. При 120 кэВ $\gamma \approx 1,00013$, и частота падает на безобидные 0,013 %. При 20 МэВ она была бы ниже на 2,1 %. Протон, обращающийся с такой энергией, примерно за 24 оборота отстал бы от напряжения на полпериода и пришёл бы к зазору как раз тогда, когда напряжение его тормозит. Поэтому циклотроны на более высокие энергии либо понижают частоту по мере набора энергии, либо делают поле растущим к краю, чтобы $\gamma m/B$, а с ним и период, оставалось постоянным.

Электрическое или магнитное: вопрос системы отсчёта

То, считать ли силу электрической или магнитной, зависит от того, кто наблюдает. В этом разделе показано, почему так происходит, на примере протона анимации.

В лаборатории на протон действует только магнитная сила. Теперь посмотрим из его мгновенной системы покоя — системы, которая в данный момент движется вместе с ним. В ней скорость протона равна нулю, поэтому сила, действующая на него, не может быть магнитной. Однако сила реальна, и при малой скорости она одинакова в обеих системах, так что этот наблюдатель должен видеть электрическое поле
${\vec{E}}^{\prime }\approx [\vec{v}\times \vec{B}](v\ll c)$
Для чисел анимации его напряжённость равна $vB=1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,0\times 10^5\mathrm{В}/\mathrm{м}$, а $q{E}^{\prime }=1,6\times 10^{-14}\mathrm{Н}$ — в точности магнитная сила $qvB$, измеренная в лаборатории. Чисто магнитное поле в одной системе отсчёта — смесь электрического и магнитного в другой. Ни одно из полей по отдельности не одинаково для всех наблюдателей; одинаковым остаётся только электромагнитное поле в целом.

Специальная теория относительности делает это точным. При смене системы отсчёта два поля преобразуются друг в друга, но две их комбинации принимают одни и те же значения для всех инерциальных наблюдателей:
$E^2-c^2{B}^2\text{и}\vec{E}\cdot \vec{B}$
Эти инварианты определяют, что смена системы отсчёта может сделать и чего не может. У чисто магнитного поля $E^2-c^2{B}^2<0$, а поскольку знак одинаков во всех системах, никакой наблюдатель не увидит это поле чисто электрическим. Скрещённые поля с $E<cB$ тоже имеют $E^2-c^2{B}^2<0$ и $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$, поэтому их всегда можно свести к чисто магнитному полю: это и есть система дрейфа из раздела о скрещённых полях.

Границы применимости

Все приведённые выше результаты считают протон классическим точечным зарядом, который движется в вакууме и не теряет энергии. В этом разделе каждое из этих допущений проверяется числами.

Излучение. Ускоренный заряд излучает, а заряд, идущий по окружности, всегда ускорен. При малой скорости мощность излучения даёт формула Лармора
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$
где $a$ — ускорение, а ${\epsilon }_0$ — электрическая постоянная. Для протона анимации при $a\approx 9,6\times 10^{12}\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ это около $5\times 10^{-28}\mathrm{Вт}$. За один оборот он теряет $4\times 10^{-19}$ своей энергии, так что его окружность для всех практических целей точна.

Потери не всегда малы. Для частиц одинаковой энергии на окружностях одинакового радиуса потери за оборот растут обратно пропорционально четвёртой степени массы, поэтому лёгкие частицы излучают гораздо сильнее. Электроны с энергией 3 ГэВ в накопительном кольце, изгибаемые на радиусе 7 м, теряют около 1 МэВ за оборот в виде синхротронного излучения, и такие кольца строят именно ради него: это мощный источник рентгеновских лучей. Протон в 1836 раз тяжелее электрона, а $1836^4\approx 10^{13}$, поэтому протоны теряют мало даже в Большом адронном коллайдере, где протоны с энергией 7 ТэВ в магнитах 8,3 Тл изгибаются на радиусе $p/(qB)\approx 2,8\mathrm{км}$.

Релятивистские эффекты. При $1,0\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$ получаем $\gamma -1\approx v^2/(2c^2)=5,6\times 10^{-6}$, поэтому нерелятивистские формулы превосходны. В общем случае $mv$ заменяют на $p$, а $m$ — на $\gamma m$, как в разделе об импульсе.

Квантовая механика. В квантовой теории круговое движение может иметь лишь определённые энергии — уровни Ландау с интервалом $\hslash \omega$, где $\hslash$ — приведённая постоянная Планка. Для протона анимации этот интервал около $6\times 10^{-9}\mathrm{эВ}$, то есть $10^{-12}$ от его 5,2 кэВ, — слишком мало, чтобы это заметить. Для электрона в поле 10 Тл он равен 1,2 мэВ, более чем в десять раз больше типичной тепловой энергии при 1 К, и там квантование проявляется, ярче всего в квантовом эффекте Холла.

Вакуум. Наконец, всё сказанное предполагает вакуум. В воздухе столкновения с молекулами остановили бы протон с энергией 5 кэВ задолго до того, как он завершил бы оборот, и именно поэтому из циклотронов и накопительных колец откачивают воздух.

Что дальше

Сила $q[\vec{v}\times \vec{B}]$ проходит через всю остальную электродинамику. Если двигать металлический стержень длины $L$ поперёк поля со скоростью $v$, сила гонит его свободные заряды вдоль стержня: это ЭДС $\epsilon =BLv$ из урока «Электромагнитная индукция». Просуммированная по всем движущимся зарядам провода с током $I$, та же сила даёт $F=BIL\sin \theta$ на отрезок провода длины $L$, расположенный под углом $\theta$ к полю, и вращающий момент, действующий на рамку, — это темы урока «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы».

В проводнике с током, находящемся в поперечном поле, боковой толчок накапливает заряд у одного края, пока электрическое поле этого заряда не уравновесит его. Знак возникающего напряжения Холла показывает, чем являются носители тока — электронами или дырками, как в уроке «Полупроводники, диоды и светодиоды», а датчики Холла измеряют магнитные поля в телефонах и автомобилях.

Зависимость $\vec{E}$ и $\vec{B}$ от системы отсчёта — предмет урока «Специальная теория относительности», а поля, которые меняются во времени и порождают друг друга, образуют электромагнитные волны из урока «Электромагнитные волны». Наконец, $p=qBr$ — способ измерения импульсов частиц в уроке «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель»: от спиралей на фотографиях пузырьковых камер до детекторов Большого адронного коллайдера.