运动电荷受到的磁场力

入门

把一根导线横跨马蹄形磁铁的缝隙并接通电流：导线会向侧面跳动，跳出缝隙或更深入缝隙。电流反向，它就往另一个方向跳。若把磁铁也转过来，它又会回到原来的方向。

为什么会这样？电流不过是运动的电荷。磁铁对每一个运动电荷都施加推力，而这些电荷无法离开导线，于是导线被它们一起拖动。静止在磁铁旁边的电荷完全不受力：只有电荷运动起来，推力才会出现。

推力的方向才是令人惊讶的地方。它绝不沿运动方向，而是侧向作用，与电荷的运动方向和磁场方向都成直角。侧向推力不能让任何物体加速或减速，只能使它转弯，就像你头顶甩动的绳子拉着小球转圈。因此，自由飞过磁场的电荷会不断转弯，它的路径弯成圆。

动画正是这样演示的。灰色的 × 表示指向屏幕内的磁场。跟着红色电荷看：蓝色箭头指示它的前进方向，红色箭头表示推力。推力始终指向圆心，电荷的速率既不变快也不变慢。

同样的推力把来自太阳的粒子引向地球两极，使天空发出极光；而巨大的磁体环则使粒子在加速器中高速绕行。

自我检验：一个电子静止在强磁铁的两极之间，它受到什么磁力？（没有：只有运动的电荷才受磁力。）

中级

电荷、速度与磁场

决定磁场对粒子作用力的有三个量：它的电荷 $q$，单位为库仑，并带有符号（质子为 $+1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$）；它的速度 $\vec{v}$，包括方向；以及粒子所在处的磁场 $\vec{B}$，单位为特斯拉（T）。特斯拉是很大的单位：地球磁场为 25–65 µT，冰箱磁贴为几毫特斯拉，MRI 扫描仪为 1.5–3 T。动画采用 $B=0.10\mathrm{T}$，约相当于一块好的马蹄形磁铁两极之间的磁场。

在平面图上，叉号 × 是一支远离你飞去的箭矢的尾部，因此动画中的灰色叉号表示磁场指向屏幕内；圆点 • 是朝你飞来的箭头，表示磁场指向屏幕外。角 $\theta$ 是 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 之间的夹角；质子垂直穿过磁场，因此 $\theta =90^{\circ }$ 始终成立。

力的大小

粒子束实验表明，该力与电荷、速率和磁场成正比，并且取决于运动方向与磁场方向之间的夹角：
$F=qvB\sin \theta$

只有速度中与磁场方向垂直的分量 $v\sin \theta$ 起作用。沿磁感线运动的电荷不受力，垂直穿过磁感线的电荷受力最大，$F=qvB$；若夹角为 30°，则受力为其一半。对于负电荷，取 $q$ 的大小即可，符号只决定方向。

静止的电荷无论磁场多强都不受磁力：这是它与电场最鲜明的区别。该规律也定义了特斯拉：1 T 是指 1 C 的电荷以 1 m/s 垂直穿过磁场时受到 1 N 的推力，因此 $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}\cdot s/(\mathrm{C}\cdot \mathrm{m})=1N/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{m})$。

读图：右手定则

该力与速度和磁场都垂直。其大小和方向可以用一个矢量方程同时表示：
$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

矢量积 $\vec{v}\times \vec{B}$ 的大小为 $vB\sin \theta$，其方向由右手定则给出：右手四指沿 $\vec{v}$ 方向，并向 $\vec{B}$ 方向弯曲，拇指即指向正电荷所受的力。次序很重要，因为 $\vec{B}\times \vec{v}$ 的方向相反。

在动画中验证一下。在圆周最底部，质子向右运动，磁场指向屏幕内，因此拇指向上，指向圆心，与红色 $F$ 箭头一致：质子沿逆时针方向转动。反转磁场或速度，力也随之反向；两者同时反转，力则不变。

不做功，因此路径是圆

由于 $\vec{F}$ 始终与 $\vec{v}$ 垂直，它不做功。动能不会改变，速率也就不会改变：$|v|$ 读数始终为 $1.0\times 10^{6}m/s$。只改变速度方向、大小恒定的力，正是匀速圆周运动所需要的，因此磁场力充当圆周运动的向心力：
$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

解出半径，并利用 $T=2\pi r/v$ 求周期、$\omega =2\pi /T$ 求角频率，得到三个计算公式：

• $r=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• $\omega =\frac{qB}{m}$

速度更快或质量更大的粒子绕更宽的圆；磁场更强或电荷更大则使圆更窄。关键在第二个式子：速率已经约去，因此速度更快的粒子绕行的圆更大，但所用时间完全相同。

例题：动画中的质子

质子的 $q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$，$m=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$。在动画中，它以 $v=1.0\times 10^{6}m/s$ 垂直穿过 $B=0.10\mathrm{T}$ 的磁场，故 $\sin \theta =1$：
$F=qvB=1.60\times 10^{-19}\cdot 1.0\times 10^6\cdot 0.10=1.6\times 10^{-14}\mathrm{N}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1.67\times 10^{-27}\cdot 1.0\times 10^6}{1.60\times 10^{-19}\cdot 0.10}\approx 0.104\mathrm{m}$
$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \cdot 1.67\times 10^{-27}}{1.60\times 10^{-19}\cdot 0.10}\approx 6.6\times 10^{-7}\mathrm{s}$

这些正是读数上的值：$F=1.6\times 10^{-14}\mathrm{N}$，$r=10.4\mathrm{cm}$，而 $|v|=1.0\times 10^{6}m/s$ 保持不变。真实的质子绕行一圈需 0.66 µs，每秒约转一百五十万圈；动画中每圈 4 秒，因此被放慢了约六百万倍。

这个力看起来很小，但质量更小得多：加速度 $F/m\approx 9.6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$，约为 $g$ 的 $10^{12}$ 倍，因此重力可以忽略。蓝色 $v$ 箭头始终与虚线圆相切且长度不变，而红色 $F$ 箭头沿灰色半径 $r$ 指向圆心：它与 $v$ 始终成 90°，因此不做功。

例题：按质量分选离子

质谱仪通过离子圆周的大小来称量原子。单电荷的氖离子（$q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$）从离子源射出时速率各不相同，因此它们先经过速度选择器，其中电场力 $qE$ 与磁场力 $qvB$ 方向相反。只有满足 $qE=qvB$ 的离子才能直线穿过狭缝。两极板相距 1 cm、电压 250 V，故 $E=2.5\times 10^{4}V/m$；磁场 $B=0.25\mathrm{T}$，
$v=\frac{E}{B}=\frac{2.5\times 10^4}{0.25}=1.0\times 10^{5}m/s$

在同一磁场中，撤去极板后，离子转过半个圆打到探测器上。氖-20 的 $m=3.32\times 10^{-26}\mathrm{kg}$：
$r_{20}=\frac{mv}{qB}=\frac{3.32\times 10^{-26}\cdot 1.0\times 10^5}{1.60\times 10^{-19}\cdot 0.25}\approx 0.083\mathrm{m}$

氖-22 重 10%，而在速率固定时 $r$ 与 $m$ 成正比，故 $r_{22}\approx 0.091\mathrm{m}$。每个离子落在距狭缝一个直径处，即 16.6 cm 和 18.3 cm，因此两种同位素相距 1.7 cm。若没有选择器，它们就会模糊在一起：速率仅快 1% 的氖-20 离子会多落出 1.7 mm。

常见错误

• 该力并不沿磁感线方向（那是电场力的情形），而是与磁感线垂直：质子所受的 $1.6\times 10^{-14}\mathrm{N}$ 推力指向其圆心，绝不会指向屏幕内。
• 磁场不能改变电荷的速率。质子保持其 $1.0\times 10^{6}m/s$ 的速率，其 5.2 keV 的动能在每一圈都保持不变；加速器用电场增加能量，磁场只用来导向。
• 斜向运动所受的力较小。若与磁场成 30° 而非 90°，质子只受到 $8.0\times 10^{-15}\mathrm{N}$ 的力，即只有一半。
• 电荷的符号很重要。同样速率的电子受力方向相反，沿顺时针方向转动，半径约为 0.057 mm，是质子的 1/1836，与质量之比相同。

应用实例

极光是最美丽的例子：来自太阳的带电粒子沿地球磁场线被引导至极地区域，使高层大气发光。医院的回旋加速器加速质子，以制备 PET 扫描所用的同位素；质谱仪可用于测定古代碳样的年代，并用于检测运动员是否服用兴奋剂；粒子探测器则根据径迹的弯曲程度测量动量。

同样的力也作用于导线中漂移的电荷。若长度为 $L$ 的导线中，运动电荷的总量为 $Q$、漂移速率为 $v$，则电流为 $I=Qv/L$，各力相加，得到导线与磁场垂直时的 $QvB=BIL$：在 0.10 T 的磁场中，5.0 cm 长的导线通过 5.0 A 电流时受力为 0.025 N。这种推力使导线在马蹄形磁铁两极之间跳动，也驱动所有电动机转动，见《电动机、发电机与变压器》一课。让导线在磁场中运动，则会推动其中的电荷沿导线运动：这正是《电磁感应》一课的起点。

高级

洛伦兹力定义了场

本节陈述整个课程所依据的定律，并得出其最重要的推论：磁场只能使电荷偏转，永远不能使其加速。点电荷 $q$ 以速度 $\vec{v}$ 穿过电场 $\vec{E}$ 与磁场 $\vec{B}$ 时，受到洛伦兹力
$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

这一定律也可以倒过来读，作为用试探电荷测量两种场的方法。电荷静止时只受 $q\vec{E}$，由此得到 $\vec{E}$。当它运动时，还会受到一个附加力，其大小随速率增加，且始终与速度垂直。沿某一特定直线运动时该附加力为零，这条直线就是 $\vec{B}$ 的方向。对于其他任何速度，它确定了 $\vec{B}$ 中垂直于 $\vec{v}$ 的那部分；另一个不平行的速度则提供沿第一个方向的缺失分量。因此两次测量即可确定 $\vec{B}$ 的全部三个分量。

力的方向来自矢量积的规则。取沿坐标轴的单位矢量 $\hat{x}$、$\hat{y}$、$\hat{z}$，则 $\hat{x}\times \hat{y}=\hat{z}$，循环版本 $\hat{y}\times \hat{z}=\hat{x}$ 与 $\hat{z}\times \hat{x}=\hat{y}$ 同样成立。因此，沿 $+y$ 方向运动的正电荷，在沿 $+z$ 的磁场中受力沿 $\hat{y}\times \hat{z}=+\hat{x}$ 方向。

再看能量。力以 $\vec{F}\cdot \vec{v}$ 的速率改变动能 $K$，即其输出的功率。对于洛伦兹力，
$\frac{dK}{dt}=q\vec{E}\cdot \vec{v}+q\vec{v}\cdot (\vec{v}\times \vec{B})$
最后一项为零，因为矢量积 $\vec{v}\times \vec{B}$ 与 $\vec{v}$ 垂直。所以 $dK/dt=q\vec{E}\cdot \vec{v}$：无论磁场形状如何，只有电场能改变粒子的能量。磁力可以改变速度的方向，却不能改变速度的大小。当变化的磁场看似在做功时（如在变压器中），实际做功的是由这种变化感应出的电场。

圆周运动：两个相互耦合的振子

图例

$C$	圆心，坐标为 $(x_c,y_c)$。
$r$	圆的半径，$r=mv/(qB)$，从 $C$ 画到出发点。	$\mathrm{m}$
$\omega t$	自出发以来转过的角度；$\omega =qB/m$ 为转动速率。	$\mathrm{rad}$
$q$	粒子的电荷，此处为质子；空心点为其出发位置。	$\mathrm{C}$
$\vec{v}$	速度：与圆相切，长度为恒定的速率 $v$。	$m/s$
$\vec{F}$	磁力 $q\vec{v}\times \vec{B}$：与 $\vec{v}$ 垂直，指向 $C$。	$\mathrm{N}$
$\vec{B}$	磁场：均匀，指向纸内（叉号）。	$\mathrm{T}$
$v_x$	$\vec{v}$ 沿 $x$ 方向的分量，$v\cos \omega t$；图示时刻为负值。	$m/s$
$v_y$	$\vec{v}$ 沿 $y$ 方向的分量，$v\sin \omega t$。	$m/s$

本节精确求解均匀磁场中的运动。这种把速度分解为相互驱动分量的方法本身就值得学习，而其结果——以恒定速率做圆周运动——是本课后续内容的基础。

图 1 给出了动画的几何关系。磁场指向纸面内（叉号）。取 $x$ 向右、$y$ 向上、$z$ 垂直纸面向外，则 $\vec{B}=-B\hat{z}$。力与 $\vec{B}$ 垂直，因此质子永远不会获得沿 $z$ 方向的速度，运动保持在 $xy$ 平面内。在左图中跟随电荷为 $q$ 的质子：它从圆周底部的空心点出发，沿 $+x$ 方向运动，此后绕中心 $C$ 转过了角度 $\omega t$。其速度 $\vec{v}$ 与路径相切，力 $\vec{F}$ 沿半径指向 $C$。右图中，同一个 $\vec{v}$ 从一个固定点再次画出。它在坐标轴上的投影，即水平和竖直的线段，就是其分量 $v_x$ 与 $v_y$。该箭头相对 $v_x$ 轴转过的角度也是 $\omega t$，因为速度始终与半径垂直，所以它转动得恰与半径一样快。

现在写出方程。牛顿第二定律为 $md\vec{v}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$，其中 $m$ 为质子质量。以 $\vec{B}=-B\hat{z}$ 计算矢量积，得 $\vec{v}\times \vec{B}=B(-v_y,v_x,0)$。两边除以 $m$，并记 $\omega =qB/m$，则定律的两个分量为
${\dot{v}}_x=-\omega v_y,{\dot{v}}_y=\omega v_x$
其中点号表示对时间的变化率。

两个分量相互驱动：$v_y$ 决定 $v_x$ 变化的快慢，$v_x$ 决定 $v_y$ 变化的快慢。要将它们分开，对第一个方程再求一次导数，并用第二个方程替换 ${\dot{v}}_y$：
${\ddot{v}}_x=-\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$
这就是角频率为 $\omega$ 的简谐运动方程，对 $v_y$ 用同样的步骤也得到相同形式。初始条件决定解。在 $t=0$ 时，质子沿 $+x$ 以全速 $v$ 运动，故 $v_x=v$、$v_y=0$，因此
$v_x=v\cos \omega t,v_y=v\sin \omega t$
这正是图 1 右侧的两条线段。再积分一次得到位置：
$x=x_c+\frac{v}{\omega }\sin \omega t,y=y_c-\frac{v}{\omega }\cos \omega t$
常数 $(x_c,y_c)$ 即点 $C$ 的坐标。在 $t=0$ 时，上式给出质子位于 $y=y_c-v/\omega$，即 $C$ 的正下方，与图中一致。路径是半径为
$r=\frac{v}{\omega }=\frac{mv}{qB}$
的圆，当 $q>0$ 时沿逆时针方向运行。对于负电荷，$\omega$ 为负，同样的公式描述半径为 $|mv/(qB)|$ 的顺时针圆。

复数可使求解更简洁。将两个分量合成一个复数 $w=v_x+i{v}_y$。两个方程化为单一方程 $\dot{w}=i\omega w$，其解为 $w=v{e}^{i\omega t}$：一个长度固定为 $v$、以恒定速率 $\omega$ 转动的箭头，正是图 1 右侧的那个箭头。用矢量语言表述同一结论即 $\dot{\vec{v}}=\vec{\omega }\times \vec{v}$，其中 $\vec{\omega }=-q\vec{B}/m$：速度绕磁场方向以 $qB/m$ 的速率转动（进动）。当 $q>0$ 时，转动矢量 $\vec{\omega }$ 与 $\vec{B}$ 反向，此处指向纸面外；矢量指向你的旋转看起来是逆时针的。这就是为什么质子在背离你的磁场中沿逆时针方向转动。

读取速度图像

图例

$v$	两条曲线的振幅：恒定的速率。	$m/s$
$t$	时间，从出发时刻起算。	$\mathrm{s}$
$T/4$	四分之一周期：$v_x$ 过零时 $v_y$ 达到峰值。	$\mathrm{s}$
$T$	一整圈的周期，$T=2\pi m/(qB)$。	$\mathrm{s}$
$v_x$	速度沿 $x$ 方向的分量，$v\cos \omega t$。	$m/s$
$v_y$	速度沿 $y$ 方向的分量，$v\sin \omega t$。	$m/s$
$\omega v$	$t=0$ 时 $v_y$ 的斜率，即最陡处：等于加速度 $F/m$。	$m/{\mathrm{s}}^2$

$v_x$ 与 $v_y$ 随时间变化的图像包含了整个运动：恒定速率、周期与力都可以从中读出。图 2 画出了动画高级层在一个周期 $T$（即完整转一圈的时间）内的图像。

先看形状。蓝色曲线 $v_x$ 是余弦，绿色曲线 $v_y$ 是正弦，二者振幅都是 $v=1.0\times 10^{6}m/s$，即质子的速率。两者相差四分之一周期 $T/4$：动画中为 1 s，实际上为 0.16 µs。一条曲线过零点时，另一条恰处于峰值或谷值，如 $T/4$ 处的虚线所示。在任意时刻都有 $v_x^2+v_y^2=10^{12}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$，因为 ${\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t=1$。两个分量一直在变化，而速率从不变。

再看斜率。速度图像的斜率即加速度，由牛顿第二定律，它等于力除以质量。在 $t=0$ 时，$v_x$ 处于峰值，其图线水平，而 $v_y$ 过零点，斜率最陡，即图 2 中的红线。该斜率为
$\omega v\approx 9.6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$
其中对于动画中 0.10 T 磁场里的质子，$\omega =qB/m\approx 9.6\times 10^{6}rad/s$。由于此时 $v_x$ 没有变化，这就是全部的加速度 $F/m$。它沿 $+y$ 方向，直指圆心，圆心位于起点上方。再过四分之一圈，角色互换：$v_x$ 最陡而 $v_y$ 水平，因为加速度随半径转动，现在指向 $-x$。

周期与速率无关。动画中紫色质子从同一点出发，速率为 $1.5v$，绕行半径为 15.7 cm 的圆，而非 10.4 cm。其分量是振幅为 1.5 倍、周期相同的同类正弦曲线，因此它与红色质子同时回到起点。这就是
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$
的内容，其中速率已经约去。在 0.10 T 中，每个远低于光速运动的质子，无论其轨道大小如何，每圈都需 0.66 µs。

螺旋线与磁镜

图例

$\theta$	初始速度与 $\vec{B}$ 之间的夹角；此处为 $60^{\circ }$。	$\mathrm{rad}$
$\vec{v}$	出发时的速度；其长度为恒定的速率 $v$。	$m/s$
$v_{\perp }$	$\vec{v}$ 垂直于 $\vec{B}$ 的部分，$v\sin \theta$：它在圆上转动。	$m/s$
$v_{\parallel }$	$\vec{v}$ 沿 $\vec{B}$ 的部分，$v\cos \theta$：不受力，始终不变。	$m/s$
$r$	圆的半径，$r=m{v}_{\perp }/(qB)$。	$\mathrm{m}$
$h$	螺旋线的螺距：一个周期 $T$ 内沿 $\vec{B}$ 前进的距离，$h=v_{\parallel }T$。	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	磁场，此处指向上方。	$\mathrm{T}$

到目前为止，速度都位于与磁场垂直的平面内。本节处理一般情形：速度与 $\vec{B}$ 成任意角度，这正是带电粒子实际进入地球磁场或在等离子体中运动的方式。

图 3 给出了结果。左侧，初始速度 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 成夹角 $\theta$（此处为 $60^{\circ }$），并被分解为两部分：沿磁场的 $v_{\parallel }=v\cos \theta$ 与垂直于磁场的 $v_{\perp }=v\sin \theta$。这两部分表现截然不同。力 $q\vec{v}\times \vec{B}$ 始终与 $\vec{B}$ 垂直，因此它没有沿磁场方向的分量，$v_{\parallel }$ 永不改变。并且由于平行矢量的矢量积为零，$v_{\parallel }$ 对力没有任何贡献：力只取决于 $v_{\perp }$。因此 $v_{\perp }$ 的行为与前几节完全一致，它绕一个半径为 $r=m{v}_{\perp }/(qB)$ 的圆转动，该圆画在螺旋线的底部，周期同为 $T$。

把两者合起来：圆沿磁场方向稳定地向前移动，路径即为螺旋线。沿图向上看，每一圈用时为周期 $T$，在此时间内质子沿 $\vec{B}$ 方向前进的螺距为
$h=v_{\parallel }T=2\pi r\cot \theta$
第二种形式由 $T=2\pi r/v_{\perp }$ 及 $v_{\parallel }/v_{\perp }=\cot \theta$ 得出。在 $60^{\circ }$ 时，螺距约为半径的 3.6 倍。对于动画中以 $1.0\times 10^{6}m/s$、与 0.10 T 磁场成 60° 发射的质子，$v_{\perp }=8.7\times 10^{5}m/s$ 给出半径为 9.0 cm 的圆，而 $v_{\parallel }=5.0\times 10^{5}m/s$ 使其每圈沿磁场方向前进 33 cm。

实际的磁场很少是均匀的。假设 $B$ 沿磁感线缓慢增强，在一圈内变化很小。那么量 $m{v}_{\perp }^2/(2B)$，即圆周运动的动能除以 $B$，几乎保持不变。当质子进入更强的磁场时，$v_{\perp }^2$ 必须与 $B$ 成比例增长。总速率不能改变，因此 $v_{\parallel }$ 缩小以腾出空间：螺旋线变紧；若 $v_{\perp }$ 必须超过 $v$，质子就停止前进并折返。强磁场区域起到镜子的作用。地球磁感线在两极附近密集，因此质子和电子在两个半球之间来回反弹，被困在地球辐射带中。

任意速率下的动量

前面的关系式是针对慢速粒子推导的。本节说明其中哪些在高速下仍然成立。由于磁力从不改变速率，它只改变动量 $\vec{p}$，而牛顿定律的形式 $d\vec{p}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$ 在任何速率下都成立。对于垂直磁场的运动，它给出一个圆，其中
$p=qBr$
其中 $p=\gamma mv$ 为相对论动量，$\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ 为洛伦兹因子，$c$ 为光速。由于速率恒定，$\gamma$ 也恒定，前几节的推导只需把 $m$ 替换为 $\gamma m$ 即可照常成立。

用实用单位表示：在 1 T 磁场中，半径为 1 m 的轨迹属于动量为 0.30 GeV/c 的单电荷粒子。高能时真正改变的是转动速率 $\omega =qB/(\gamma m)$，它随能量升高而下降。下文的回旋加速器正是要应对这一问题。

正交场：漂移

若在与 $\vec{B}$ 垂直的方向加上均匀电场 $\vec{E}$，圆周就不再闭合，而是向侧面滑行。这种情形很重要，因为它展示了如何通过改变参考系来消去电场，它也是速度选择器的原理。

诀窍是从以恒定速度
${\vec{v}}_d=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{B^2}$
运动的参考系去观察。在低速情况下，以 ${\vec{v}}_d$ 运动的观察者测得的电场为 ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+{\vec{v}}_d\times \vec{B}$。当 $\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 垂直时，$(\vec{E}\times \vec{B})\times \vec{B}=-B^2\vec{E}$，因此第二项恰好为 $-\vec{E}$，于是 ${\vec{E}}^{\prime }=0$。在该参考系中只剩下 $\vec{B}$，粒子做普通的圆周运动。回到实验室，这个圆以漂移速率 $v_d=E/B$ 被整体携带着前进。漂移速率中既不含 $q$ 也不含 $m$，因此任何电荷正负、任何质量的粒子都以相同速率向相同方向漂移。只要 $E<cB$，使 $v_d$ 保持低于光速，严格的相对论处理也得到同样的结果。

在动画的 0.10 T 磁场中，若 $E=1.0\times 10^{4}V/m$，漂移速率为 $1.0\times 10^{5}m/s$，质子的轨迹每圈前进 $v_{d}T=6.6\mathrm{cm}$。速度选择器利用的是同一平衡：以恰好为 ${\vec{v}}_d$ 的速度发射的粒子所受的电场力与磁场力相互抵消，因此直线穿过；速度更快或更慢的粒子则会偏转。

例题：小型回旋加速器

图例

$R$	电极半径：最大的轨道，质子在此射出。	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	磁场：穿过两个电极指向纸内。	$\mathrm{T}$
$V$	两电极之间的交变电压，跨越狭缝。	$\mathrm{V}$
$q$	质子的电荷，画在其出发点上。	$\mathrm{C}$

回旋加速器利用了周期与速率无关这一性质。由于给定磁场中每个质子每圈所用时间相同，因此以一个固定频率交变的电压就能一次又一次地推动它，而与它的能量无关。

图 4 从上方俯视该机器。两个中空的 D 形电极，半径为 $R$，隔着一条狭缝相对放置。磁场 $\vec{B}$ 穿过两个电极指向纸面内，交变电压 $V$ 接在两电极之间。质子 $q$ 从中心出发。在中空电极内部没有电场，只有 $\vec{B}$，因此质子沿半圆运行，回到狭缝处。如果此时电压已经反向，它就把质子推过狭缝，并使它获得能量 $qV$。速度更快的质子走更大的半圆，因此路径向外盘旋，直到到达边缘半径 $R$ 处，质子在此射出。图中只画了四圈；下面的机器需要 30 圈。

题目。一台小型回旋加速器使用动画中的磁场 $B=0.10\mathrm{T}$，电极半径 $R=0.50\mathrm{m}$，狭缝两端的交变电压振幅为 2.0 kV。质子从中心附近开始，几乎静止。电压应以多高的频率交变？质子能达到多大的能量？需要转过多少圈？取 $q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$，$m=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$。

第 1 步，频率。每个质子每圈穿过狭缝两次，且每次都必须遇到电压已经反向。因此电压在质子每圈的时间内必须完成一个完整周期：它以回旋频率交变
$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1.60\times 10^{-19}\cdot 0.10}{2\pi \cdot 1.67\times 10^{-27}}\approx 1.52\mathrm{MHz}$

第 2 步，最终能量。最后一圈的半径为 $R$，由 $p=qBR$，质子射出时的动量为
$p=qBR=1.60\times 10^{-19}\cdot 0.10\cdot 0.50=8.0\times 10^{-21}\mathrm{kg}\cdot m/s$
动能为
$K=\frac{p^2}{2m}=\frac{(8.0\times 10^{-21}{)}^2}{2\cdot 1.67\times 10^{-27}}\approx 1.92\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 120\mathrm{keV}$
其中用到 $1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$。这对应的速率为 $p/m=4.8\times 10^{6}m/s$，即光速的 1.6%。电压没有出现在这一结果中：最终能量只由 $B$ 和 $R$ 决定，电压只决定需要多少圈才能达到该能量。

第 3 步，圈数。在电压峰值时穿过狭缝的质子，每次穿越获得 2.0 keV，即每圈 4.0 keV。需要 $120/4.0=30$ 圈，即 30 个周期，约 20 µs。由于 $K$ 以相等的步长增长，且 $K\propto r^2$，第 $n$ 圈后的半径为 $R\sqrt{n/30}$：一圈后为 9.1 cm，四圈后为 18.3 cm，九圈后为 27.4 cm。动画中 10.4 cm 的圆对应 5.2 keV，位于第一圈与第二圈之间。

设计在何处失效。该机器依赖于每个半圈都用相同的 0.33 µs。相对论会缓慢地破坏这一点，因为真正的公转频率为 $qB/(2\pi \gamma m)$，而对于动能 $K$，$\gamma =1+K/(m{c}^2)$，其中质子的静止能 $m{c}^2$ 为 938 MeV。在 120 keV 时，$\gamma \approx 1.00013$，频率下降 0.013%，无伤大雅。在 20 MeV 时，频率将低 2.1%。在该能量下，质子会在约 24 圈内落后电压半个周期，然后恰好在电压使其减速时到达狭缝。因此，用于更高能量的回旋加速器，要么随着质子获得能量而降低频率，要么让磁场向边缘增强，使 $\gamma m/B$（以及周期）保持不变。

电还是磁：取决于参考系

一个力被认为是电力还是磁力，取决于观察者是谁。本节以动画中的质子为例说明其原因。

在实验室中，质子只受到磁力。现在从它瞬时的静止参考系（即与它在该时刻同步运动的参考系）去看。在那里质子没有速度，因此作用在它上面的力不可能是磁力。然而该力是真实存在的，且在低速时两个参考系中的力相同，因此该观察者必须观测到一个电场
${\vec{E}}^{\prime }\approx \vec{v}\times \vec{B}(v\ll c)$
对于动画中的数值，其强度为 $vB=1.0\times 10^6\cdot 0.10=1.0\times 10^{5}V/m$，且 $q{E}^{\prime }=1.6\times 10^{-14}\mathrm{N}$，恰好等于在实验室中测得的磁力 $qvB$。在一个参考系中纯粹的磁场，在另一个参考系中则是电场与磁场的混合。两者单独来看对每个观察者都不相同；只有电磁场作为一个整体才是不变的。

狭义相对论使这一点精确化。在参考系变换下，两种场相互转化，但它们的两个组合对每个惯性观察者都取相同的值：
$E^2-c^2{B}^2\text{and}\vec{E}\cdot \vec{B}$
这些不变量决定了参考系变换能做什么、不能做什么。纯磁场有 $E^2-c^2{B}^2<0$，而且这一符号在每个参考系中都相同，因此没有任何观察者能把该场看成纯电场。当 $E<cB$ 时，正交场同样有 $E^2-c^2{B}^2<0$，且 $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$，因此它们总能化为纯磁场：这正是正交场一节中的漂移参考系。

适用范围的限制

以上所有结果都把质子视为在真空中运动、且不损失能量的经典点电荷。本节用数值逐一检验这些假设。

辐射。加速运动的电荷会辐射，而沿圆周运动的电荷总是在加速。在低速时，辐射功率由拉莫尔公式给出，
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$
其中 $a$ 为加速度，${\epsilon }_0$ 为真空介电常数。对于动画中的质子，$a\approx 9.6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$，其功率约为 $5\times 10^{-28}\mathrm{W}$。每圈它损失的能量为 $4\times 10^{-19}$ 的比例，因此就实际而言，它的圆轨道是精确的。

能量损失并非总是很小。对于能量相同、半径相同的圆轨道上的粒子，每圈损失随质量的负四次方增长，因此轻粒子辐射得多得多。在 3 GeV 的储存环中，半径 7 m 弯转的电子，以同步辐射的形式每圈损失约 1 MeV，这类环形装置正是为了将其作为强大的 X 射线源而建造的。质子的质量约为电子的 1836 倍，且 $1836^4\approx 10^{13}$，因此即使在大型强子对撞机中，质子的能量损失也很小。在那里，7 TeV 的质子在 8.3 T 磁铁中弯转，半径为 $p/(qB)\approx 2.8\mathrm{km}$。

相对论。在 $1.0\times 10^{6}m/s$ 时，$\gamma -1\approx v^2/(2c^2)=5.6\times 10^{-6}$，因此非相对论公式非常精确。一般而言，将 $mv$ 替换为 $p$，将 $m$ 替换为 $\gamma m$，正如动量一节所述。

量子力学。在量子理论中，圆周运动只能具有某些特定能量，即朗道能级，其间隔为 $\hslash \omega$，其中 $\hslash$ 为约化普朗克常数。对于动画中的质子，能级间隔约为 $6\times 10^{-9}\mathrm{eV}$，即其 5.2 keV 的 $10^{-12}$，太小而无法察觉。对于在 10 T 中的电子，间隔为 1.2 meV，超过 1 K 时典型热能的十倍以上，此时量子化便显现出来，最引人注目的是量子霍尔效应。

真空。最后，以上这一切都假设处于真空中。在空气中，与分子的碰撞会在 5 keV 的质子完成一圈之前就使其停下，这就是回旋加速器和储存环需要抽成真空的原因。

后续内容

力 $q\vec{v}\times \vec{B}$ 贯穿整个电磁学的其余部分。以速率 $v$ 将长度为 $L$ 的金属棒推过磁场，该力会驱动其中的自由电荷沿棒运动：这就是《电磁感应》中的电动势 $\epsilon =BLv$。对通有电流 $I$ 的导线中所有运动电荷求和，同一个力给出长度为 $L$、与磁场成夹角 $\theta$ 的导线所受的力 $F=BIL\sin \theta$，以及线圈所受的力矩，这些正是《电动机、发电机与变压器》的主题。

在通有电流并穿过磁场的导体中，侧向的推力会使电荷在一侧堆积，直到该电荷产生的电场与之平衡。由此产生的霍尔电压的符号，可以判断载流子是电子还是空穴，这与《半导体、二极管与发光二极管》中的内容相关；霍尔传感器则用于测量手机和汽车中的磁场。

$\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 的参考系依赖性属于《狭义相对论》的内容，而随时间变化、彼此相互产生的场则构成《电磁波》。最后，$p=qBr$ 是《粒子与相互作用：标准模型》中测量粒子动量的方法，从气泡室照片中的螺旋径迹到大型强子对撞机的探测器，皆是如此。