Магнитное поле магнитов и токов

Начальный

Подвесьте полосовой магнит на нитке — и он остановится, повернувшись одним концом к северу. Этот конец называют северным полюсом, другой — южным. Одноимённые полюсы отталкиваются, а северный и южный притягиваются.

Стрелка компаса — это просто маленький магнит на оси. Где бы вы её ни поставили, её северный конец покажет направление магнитного поля в этом месте. Обведите компасом магнит — и вы нарисуете линии поля: они выходят из северного полюса, изгибаются и входят в южный.

Земля тоже огромный магнит, но с подвохом. Раз притягиваются разноимённые полюсы, то магнитный полюс, скрытый под Арктикой, на самом деле южный: именно поэтому к нему тянется северный конец любого компаса.

В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил, что провод с током тоже создаёт магнитное поле. Анимация повторяет его опыт, вид сверху: вокруг вертикального провода стоят маленькие компасы. Без тока все они смотрят на север. Включите ток — и стрелки развернутся, выстроившись в кольцо вокруг провода; измените направление тока — кольцо повернётся в другую сторону. Чтобы запомнить направление, обхватите провод правой рукой, большой палец — по току: согнутые пальцы покажут, куда направлено поле.

Сверните провод в катушку — и эти кольца сложатся внутри неё: получится электромагнит, который можно выключить. Сердечник из мягкого железа делает его намного сильнее. Даже магнит на холодильнике устроен так же: его электроны движутся по кругу и вращаются, как крошечные токи, выстроенные в одну сторону.

Проверьте себя: компас стоит прямо к северу от вертикального провода, по которому ток идёт вверх. Куда покажет стрелка? (На запад: если смотреть сверху, поле закручено против часовой стрелки.)

Средний

Что такое магнитное поле и какова его сила

Магнитное поле — это то, что поворачивает стрелку компаса вблизи магнита или тока. У него есть направление — туда встаёт северный конец компаса — и величина, магнитная индукция $B$, которая измеряется в теслах (Тл): в поле 1 Тл на провод с током 1 А, расположенный поперёк поля, действует сила 1 Н на каждый метр длины.

Тесла — это много: магнитик на холодильнике создаёт несколько миллитесла, МРТ-томограф — 1,5–3 Тл, а поле Земли — всего 25–65 мкТл. Компас, лежащий горизонтально, чувствует лишь горизонтальную составляющую, около 20 мкТл в средних широтах, — это зелёное значение на анимации.

Линии поля идут туда, куда показывает компас, сгущаются там, где поле сильнее, и никогда не пересекаются; у полосового магнита они выходят из северного полюса и загибаются к южному. Магнитный полюс Земли под Арктикой притягивает северный конец любого компаса, поэтому он южный.

Поле длинного прямого провода

В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед заметил, как качнулась стрелка компаса, когда он включил ток в проводе рядом: электрические токи создают магнитные поля. Линии поля длинного прямого провода — окружности с центром на проводе, поэтому стрелка поворачивается поперёк провода, а железные опилки на картоне вокруг провода собираются в кольца. На расстоянии $r$ от провода
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

где $I$ — сила тока, а ${\mu }_0$ — магнитная постоянная,
${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm{Тл}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{А}$
При удвоении $I$ индукция $B$ тоже удваивается; при удвоении $r$ она уменьшается вдвое. Удобное сокращение: ${\mu }_0/(2\pi )=2\cdot 10^{-7}\mathrm{Тл}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{А}$, так что $B=2\cdot 10^{-7}I/r$, если $I$ выражено в амперах, а $r$ — в метрах.

Куда направлено поле: читаем схему

Направление задаёт правило правой руки (буравчика): обхватите провод правой рукой, большой палец — по току, и согнутые пальцы покажут, куда направлены линии поля. Правило относится к условному направлению тока $I$, то есть к движению положительных зарядов; в металле электроны дрейфуют в обратную сторону.

Анимация смотрит на картон сверху, поэтому провод виден с торца: точка (•) означает ток из экрана на вас, как остриё летящей в вас стрелы, а крестик (×) — ток в экран, как её оперение. При токе $I=20\mathrm{А}$ из экрана большой палец направлен на вас, а поле обходит провод против часовой стрелки: синие стрелки $B$ с восточной стороны направлены на север. Когда ток меняет направление, стрелки $B$ переворачиваются, а каждая стрелка компаса разворачивается; показания $B$, которые дают лишь величину поля, остаются прежними.

Внутренние стрелки, находящиеся в более сильном поле, поворачиваются быстрее внешних, потому что вращающий момент, с которым поле действует на магнит, растёт с $B$.

Витки и соленоиды

Согните провод в круговой виток радиуса $R$, и каждый его участок создаёт в центре поле одного и того же направления. В центре витка
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\text{(центр витка)}$
это в $\pi$ раз больше, чем даёт прямой провод на расстоянии $R$; плоская катушка из $N$ витков даёт в $N$ раз больше.

Намотайте много витков на трубку — получится соленоид. Внутри длинного соленоида поля витков складываются в почти однородное поле вдоль оси, а снаружи почти уничтожают друг друга:
$B={\mu }_{0}nI,n=\frac{N}{L}$
Здесь $n$ — число витков на метр, то есть $N$ витков на длине $L$; радиус не важен, если катушка длинная по сравнению с её диаметром. Концы катушки действуют как полюсы полосового магнита: согните пальцы правой руки вдоль тока в витках — и большой палец укажет на северный конец. Если внутрь вставить сердечник из мягкого железа, катушка станет электромагнитом.

Пример: компасы из анимации

По проводу течёт ток $I=20\mathrm{А}$, а компасы стоят на расстоянии 2 см и 4 см от него. Выразив расстояния в метрах, получаем:
$B_1=\frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 20}{0,02}=2,0\cdot 10^{-4}\mathrm{Тл}=200\mathrm{мкТл}$
$B_2=\frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 20}{0,04}=1,0\cdot 10^{-4}\mathrm{Тл}=100\mathrm{мкТл}$

Это два синих показания на табло: в десять и в пять раз больше горизонтальных 20 мкТл поля Земли. Компас, однако, показывает суммарное поле — провода и Земли. У внутреннего компаса, стоящего точно к северу от провода, поле провода направлено на запад, а поле Земли — на север, поэтому стрелка отклоняется от окружности к северу на угол, тангенс которого равен $20/200$: около 5,7°. На расстоянии 4 см это отношение равно $20/100$, и внешние стрелки отклоняются к северу на угол примерно до 11°.

На каком расстоянии поле провода сравняется с полем Земли $B_{\mathrm{З}}=20\mathrm{мкТл}$?
$r=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi B_{\mathrm{З}}}=\frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 20}{20\cdot 10^{-6}}=0,20\mathrm{м}$
Если ток направлен из экрана, поле в 20 см точно к западу от провода направлено на юг и уравновешивает поле Земли: компас там не показывает никакого определённого направления. Точно к северу два поля складываются под прямым углом, давая около 28 мкТл, и стрелка указывает на северо-запад. При смене направления тока точка компенсации переходит на восток.

Пример: намотка электромагнита

Нужно получить 10 мТл внутри катушки длиной 25 см, а провод рассчитан на 2 А. Выразим из $B={\mu }_{0}nI$ число витков на метр:
$n=\frac{B}{{\mu }_{0}I}=\frac{0,010}{4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 2}\approx 4,0\cdot 10^3{\mathrm{м}}^{-1}$
Это около 4000 витков на метр, то есть $N=nL=4000\cdot 0,25=1000$ витков, а $B=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 4000\cdot 2\approx 1,0\cdot 10^{-2}\mathrm{Тл}$ — примерно в 500 раз больше горизонтальной составляющей поля Земли.

На трубке радиусом 2 см катушка расходует $1000\cdot 2\pi \cdot 0,02\approx 126\mathrm{м}$ провода. У медного провода сечением 0,5 мм² сопротивление равно $\rho \ell /S=1,7\cdot 10^{-8}\cdot 126/(0,5\cdot 10^{-6})\approx 4,3\mathrm{Ом}$, поэтому для тока 2 А нужно около 8,5 В, и 17 Вт превращаются в тепло.

Сердечник из мягкого железа выстраивает свои атомные магнитики вдоль поля катушки и многократно его усиливает: до нескольких десятых тесла в прямом стержне и почти до 2 Тл, когда железо насыщается, в замкнутом железном магнитопроводе, как у подъёмного электромагнита.

Частые ошибки

• Линии поля провода — окружности, а не лучи: компас, стоящий в 2 см к северу от провода с током 20 А, идущим вверх, показывает почти на запад.
• Поле длинного провода убывает как $1/r$, а не как $1/r^2$: 100 мкТл на расстоянии 4 см превращаются в 50 мкТл на расстоянии 8 см, а не в 25 мкТл.
• Расстояния подставляют в метрах: $r=2$ вместо 0,02 даёт 2 мкТл вместо 200 мкТл. Точно так же $n$ — число витков на метр: 1000 витков на 25 см дают $n=4000{\mathrm{м}}^{-1}$, а не 1000.
• Компас показывает суммарное поле, а не одно только поле провода: в 20 см от провода из анимации они равны, и стрелки перестают следовать окружностям.
• Бытовой кабель с током 10 А почти не действует на компас: два его проводника несут противоположные токи на расстоянии нескольких миллиметров друг от друга, и на расстоянии 10 см остаётся около 1 мкТл вместо 20 мкТл для одного провода, да ещё и ток меняет направление 100 раз в секунду.

Где это встречается

Электромагниты поднимают металлолом, удерживают открытыми противопожарные двери и переключают реле. Громкоговоритель приводит в движение диффузор катушкой в поле магнита, а МРТ-томограф — это большой соленоид: для 1,5 Тл нужно $nI\approx 1,2\cdot 10^6\mathrm{А}/\mathrm{м}$, скажем, 2000 витков на метр при токе 600 А, поэтому его катушку охлаждают до сверхпроводящего состояния.

Дальше урок «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» покажет, что поле делает с током, «Электромагнитная индукция» — как меняющееся поле создаёт ток, а «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» применяют и то и другое.

Продвинутый

Два локальных закона для стационарных токов

В этом разделе сформулированы два правила, которым подчиняется любое стационарное магнитное поле. Всё остальное в уроке, от прямого провода до коаксиального кабеля, следует из них.

Для токов, не меняющихся со временем, магнитное поле $\vec{B}$ удовлетворяет уравнениям
$\nabla \cdot \vec{B}=0,\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$
Здесь $\vec{J}$ — плотность тока, то есть ток на единицу площади поперечного сечения (А/м²), а ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm{Тл}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{А}$ — магнитная постоянная. Дивергенция $\nabla \cdot \vec{B}$ показывает, сколько поля вытекает из крошечного объёма; ротор $\nabla \times \vec{B}$ — насколько оно циркулирует вокруг крошечного контура.

Первый закон говорит, что суммарный поток $\vec{B}$ через любую замкнутую поверхность равен нулю. Поэтому линии поля нигде не начинаются и не кончаются: магнитных зарядов нет. Линии $\vec{E}$ в уроке «Электрическое поле и потенциал», напротив, начинаются и кончаются на зарядах.

Второй закон говорит, что $\vec{B}$ закручивается вокруг токов — и только вокруг токов. Там, где $\vec{J}=0$, у поля нет ротора вовсе.

Закон Ампера: циркуляция равна току

Закон для ротора выполняется в каждой точке. Чтобы применить его к реальному проводу, нужна форма, которая складывает циркуляцию по целому контуру. Проинтегрируем закон для ротора по любой поверхности, опирающейся на замкнутый контур $C$: по теореме Стокса левая часть превращается в линейный интеграл по $C$, а правая становится произведением ${\mu }_0$ на ток $I_{\mathrm{охв}}$, пронизывающий поверхность. Получается закон Ампера (теорема о циркуляции вектора $\vec{B}$):
$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{охв}}$

Обозначения

$I$	Ток в проводе, направленный вверх. Он пронизывает $S_1$ и $S_2$ одинаково, поэтому это и есть $I_{\mathrm{охв}}$ закона Ампера.	$\mathrm{А}$
$C$	Замкнутый контур, по которому суммируется $\vec{B}$.
$S_1$	Плоский диск, опирающийся на $C$.
$S_2$	Купол, опирающийся на тот же контур $C$; провод пронзает и его.
$d\vec{l}$	Короткий шаг вдоль $C$ в том направлении, куда загибаются пальцы правой руки, когда большой палец направлен вдоль $I$.	$\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле на $C$; оно обходит провод в том же направлении, что и шаги.	$\mathrm{Тл}$

На рисунке 1 контур $C$ разбит на малые шаги $d\vec{l}$. На каждом шаге возьмём составляющую $\vec{B}$ вдоль шага и умножим её на длину шага. Левая часть закона — сумма этих произведений по всему контуру $C$.

Знак определяется направлением обхода. Направьте правый большой палец вдоль тока: если пальцы загибаются так же, как идут шаги, этот ток считается положительным. Здесь по проводу идёт ток $I$ вверх, поэтому шаги идут против часовой стрелки, если смотреть сверху. Поле $\vec{B}$ обходит провод в том же направлении, так что все произведения положительны.

$I_{\mathrm{охв}}$ — ток, пронизывающий поверхность, опирающуюся на $C$. Очевидный выбор — плоский диск $S_1$. Но пунктирный купол $S_2$ имеет тот же край $C$, а закон не говорит, какую поверхность брать, поэтому обе должны давать один и тот же ответ. На рисунке 1 так и есть: провод пронзает и $S_1$, и $S_2$, так что через каждую идёт ток $I$.

Это совпадение не автоматическое. Дивергенция любого ротора равна нулю, поэтому, взяв дивергенцию закона для ротора, получаем $\nabla \cdot \vec{J}=0$: заряд нигде не накапливается, ток течёт по замкнутым цепям, и через любую поверхность, натянутую на $C$, проходит один и тот же ток. Заряжающийся конденсатор это нарушает. Купол, проходящий между его обкладками, не пересекается никаким током, тогда как плоский диск пересекается проводом. Это первый признак того, что для меняющихся полей нужно дополнительное слагаемое; с ним мы встретимся в конце урока.

Прямой провод: снаружи и внутри

Закон Ампера даёт $B$ в одну строку, но лишь когда симметрия заранее говорит, что поле одинаково по всему контуру. Длинный прямой провод — самый ясный случай, и на нём видно, как строится рассуждение о симметрии.

Длинный прямой провод выглядит одинаково после сдвига вдоль него или поворота вокруг него. Поэтому каждая составляющая $\vec{B}$ может зависеть только от расстояния $r$ до провода. Разложим $\vec{B}$ на три составляющие: радиальную (от провода), направленную вдоль провода и обходящую провод по окружности.

Радиальная составляющая равна нулю. Возьмём замкнутый цилиндр радиуса $r$ вокруг провода. Его два плоских торца компенсируют друг друга, потому что поле вдоль провода на обоих одинаково: оно входит через один торец так же, как выходит через другой. Радиальная составляющая тогда выходила бы через боковую поверхность повсюду и давала бы ненулевой поток, а $\nabla \cdot \vec{B}=0$ это запрещает.

Составляющая вдоль провода вне его равна нулю. Возьмём прямоугольник в плоскости, проходящей через провод, у которого обе длинные стороны лежат вне провода, по одну сторону от него. Он не охватывает тока. Его короткие стороны радиальны, а радиальной составляющей у поля нет, поэтому две длинные стороны должны компенсироваться: поле вдоль провода одинаково на всех расстояниях. Вдали оно должно исчезать, значит, оно исчезает везде вне провода.

Остаётся составляющая, обходящая провод по окружности, с модулем $B$, зависящим только от $r$. По окружности радиуса $r$ с центром на проводе $\vec{B}$ всегда направлен вдоль шага, поэтому левая часть закона Ампера равна $B\cdot 2\pi r$. Приравняв её к ${\mu }_{0}I$, получаем
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

Внутри провода радиуса $a$, по которому ток течёт равномерно, окружность радиуса $r<a$ охватывает лишь часть тока — долю, равную отношению площадей, $\pi r^2/(\pi a^2)=r^2/a^2$. Поэтому $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$, и
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$
На оси поле равно нулю, а до поверхности оно растёт линейно до ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$: это 4,0 мТл при токе 20 А в проводе радиусом 1 мм. Снаружи поле убывает как $1/r$. На рисунке 4 ниже нарисованы окружности Ампера в обеих областях.

Соленоид: однородное поле внутри

Соленоид — длинная катушка провода, стандартный способ получить однородное поле. Закон Ампера показывает почему, причём достаточно одного прямоугольника, наполовину лежащего внутри катушки и наполовину снаружи.

Обозначения

$C$	Прямоугольный контур для закона Ампера, обходимый против часовой стрелки.
$\ell$	Длина двух сторон $C$, параллельных оси.	$\mathrm{м}$
$I$	Ток в каждом витке: из страницы вверху, в страницу внизу.	$\mathrm{А}$
$B$	Поле внутри соленоида, вдоль оси; снаружи оно равно нулю.	$\mathrm{Тл}$
$n\ell$	Число витков, проходящих сквозь $C$; $n$ — число витков на метр.

На рисунке 2 длинный соленоид разрезан вдоль оси. В верхнем ряду ток идёт из страницы (точки), в нижнем — в страницу (крестики). Согните пальцы правой руки вдоль тока в витках, и большой палец укажет поле внутри: вдоль оси, вправо, как показывают стрелки $B$.

Снаружи катушки поле равно нулю. Прямоугольник, целиком лежащий снаружи, не охватывает тока, поэтому две его длинные стороны, параллельные оси, должны компенсироваться: поле вдоль оси одинаково на всех расстояниях снаружи. Вдали от катушки оно должно затухать, значит, оно равно нулю везде снаружи. Это и есть $B=0$ под катушкой.

Теперь обойдём прямоугольник $C$ с рисунка 2. Его внутренняя сторона длиной $\ell$ идёт вдоль оси внутри катушки в направлении $B$ и вносит $B\ell$. Его внешняя сторона лежит там, где $B=0$, и ничего не вносит. Две короткие стороны пересекают осевое поле под прямым углом внутри катушки, а снаружи лежат в нулевом поле, поэтому тоже ничего не дают. Левая часть закона Ампера — просто $B\ell$.

В правой части контур $C$ пронизывают $n\ell$ витков, где $n$ — число витков на метр, и в каждом течёт ток $I$. Значит, $I_{\mathrm{охв}}=n\ell I$, и из $B\ell ={\mu }_{0}n\ell I$ следует
$B={\mu }_{0}nI$
Ничто здесь не зависит от того, как далеко внутренняя сторона от оси, поэтому поле одинаково везде внутри: однородно. Оно зависит от числа витков на метр и от тока, но не от радиуса катушки.

График B(r) и окружности равного потока

На уровне «Продвинутый» анимация показывает поле провода с током 20 А: зависимость $B$ от $r$ в пределах от 1 до 6 см. В этом разделе мы читаем график и выясняем, почему его форму задаёт закон Ампера.

Кривая — гипербола $Br={\mu }_{0}I/(2\pi )=4,0\cdot 10^{-6}\mathrm{Тл}\cdot \mathrm{м}$, или 400 мкТл·см. Она проходит через 400 мкТл на 1 см, через отмеченные 200 мкТл на 2 см, 100 мкТл на 4 см и 67 мкТл на 6 см. В двойном логарифмическом масштабе это была бы прямая с наклоном −1, тогда как у точечного заряда наклон −2, а у далёкого магнита −3.

Постоянство произведения $Br$ — именно то, чего требует закон Ампера. Возьмём контур, не охватывающий тока: наружу вдоль радиуса от 2 до 4 см, по окружности радиусом 4 см на угол $\Delta \phi$, внутрь вдоль другого радиуса и обратно по окружности радиусом 2 см. На радиальных участках $\vec{B}$ перпендикулярен пути, поэтому они ничего не вносят. Внешняя дуга идёт по полю и даёт $100\mathrm{мкТл}\cdot 4\mathrm{см}\cdot \Delta \phi$; внутренняя идёт против поля и даёт $-200\mathrm{мкТл}\cdot 2\mathrm{см}\cdot \Delta \phi$. Они сокращаются, как и должно быть, когда внутри нет тока. Поле, убывающее быстрее или медленнее, чем $1/r$, этой проверки не выдержало бы.

Поток через полосу длиной один метр, лежащую в плоскости, проходящей через провод, и простирающуюся от $r_1$ до $r_2$, — это сумма $Bdr$ по её ширине:
$\Phi =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r_2}{r_1}$
Он зависит лишь от отношения $r_2/r_1$, поэтому каждое удвоение $r$ добавляет одно и то же значение, $2,8\cdot 10^{-6}\mathrm{Тл}\cdot {\mathrm{м}}^2$. Линии поля, проведённые через равные приращения потока, — это окружности радиусом 1, 2, 4 и 8 см, расходящиеся по мере ослабления поля; две пунктирные окружности на анимации — соседние в таком наборе.

Закон Био — Савара: виток, увиденный с оси

Закон Ампера даёт $B$ лишь тогда, когда симметрия делает поле постоянным вдоль некоторого контура. Вокруг одиночного кругового витка такого контура нет, поэтому нужен закон, пригодный для цепи любой формы. Закон Био — Савара строит поле из коротких элементов тока:
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
Здесь $d\vec{l}$ — короткий элемент провода, направленный вдоль тока, $r$ — его расстояние до точки наблюдения, а $\hat{r}$ — единичный вектор от элемента к этой точке. Каждый элемент вносит вклад, убывающий как $1/r^2$ и направленный перпендикулярно и току, и линии, соединяющей элемент с точкой.

Обозначения

$I$	Ток в витке, против часовой стрелки, если смотреть сверху.	$\mathrm{А}$
$R$	Радиус витка.	$\mathrm{м}$
$z$	Высота точки $P$ над центром витка вдоль оси.	$\mathrm{м}$
$P$	Точка на оси, в которой находят поле.
$r$	Расстояние от элемента $d\vec{l}$ до $P$, равное $\sqrt{R^2+z^2}$.	$\mathrm{м}$
$\hat{r}$	Единичный вектор от элемента к $P$.
$d\vec{l}$	Короткий элемент витка справа, где ток идёт в страницу; в этой перспективе нарисован направленным вверх.	$\mathrm{м}$
$d\vec{B}$	Поле этого элемента в точке $P$, перпендикулярное и $d\vec{l}$, и $\hat{r}$.	$\mathrm{Тл}$
$d{B}_z$	Осевая составляющая $d\vec{B}$; осевые составляющие всех элементов направлены вверх и складываются.	$\mathrm{Тл}$

На рисунке 3 закон применён к круговому витку радиуса $R$ с током $I$ в точке $P$ на его оси на высоте $z$ над центром. Сначала посмотрим на элемент $d\vec{l}$ на правой стороне кольца. Там ток идёт в страницу; на этом рисунке в перспективе «в страницу» нарисовано как «вверх».

Два факта упрощают дело. Расстояние от элемента до $P$ равно $r=\sqrt{R^2+z^2}$ по теореме Пифагора для треугольника со сторонами $R$ и $z$. А $d\vec{l}$, идущий вдоль кольца, перпендикулярен линии $r$, поэтому векторное произведение имеет наибольшую величину: $dB={\mu }_{0}Idl/(4\pi r^2)$. Направлен вклад перпендикулярно и $d\vec{l}$, и $\hat{r}$: вверх и от оси, как показывает стрелка $d\vec{B}$.

Теперь посмотрим на серый элемент на противоположной стороне кольца. Ток в нём идёт в другую сторону, поэтому его поле — зеркальное отражение: вверх и от оси на его собственной стороне. Боковые составляющие двух вкладов компенсируются. Если сопоставить каждый элемент с противоположным, все боковые составляющие сократятся, и останутся только осевые $d{B}_z$, направленные вверх.

Чему равно $d{B}_z$? Стрелка $d\vec{B}$ перпендикулярна линии $r$, поэтому маленький треугольник из $d\vec{B}$ и $d{B}_z$ подобен большому треугольнику со сторонами $R$, $z$ и $r$. Следовательно, $d{B}_z=dBR/r$.

Все элементы находятся на одинаковом расстоянии $r$ и дают одно и то же отношение $R/r$, а длины элементов в сумме дают длину окружности $2\pi R$. Поэтому сумма — просто произведение:
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

Два предельных случая проверяют результат. В центре $z=0$, так что $r=R$, каждый элемент перпендикулярен направлению на центр, и $B={\mu }_{0}I\cdot 2\pi R/(4\pi R^2)={\mu }_{0}I/(2R)$. Для тока 20 А в витке радиусом 2 см это 628 мкТл, то есть в $\pi$ раз больше 200 мкТл, которые даёт прямой провод на том же расстоянии 2 см.

Далеко на оси, при $z\gg R$, множитель $(R^2+z^2{)}^{3/2}$ становится равным $z^3$, и $B\approx {\mu }_{0}I{R}^2/(2z^3)$: поле убывает как $1/z^3$. На расстоянии 20 см тот же виток даёт лишь 0,62 мкТл, тогда как прямой провод даёт там ещё 20 мкТл. Маленький виток — магнитный диполь с таким же дальним полем, как у полосового магнита. Всякая реальная цепь, вместе с обратными проводами, — замкнутый контур, поэтому на достаточном удалении её поле тоже убывает как куб расстояния.

Провода конечной длины и короткие соленоиды

Та же сумма справляется с прямыми отрезками провода и с катушками конечной длины и показывает, насколько хороши идеальные формулы.

Прямой отрезок длиной $\ell$ создаёт в точке на перпендикуляре к его середине на расстоянии $r$ от неё поле
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{\ell /2}{\sqrt{(\ell /2{)}^2+r^2}}$
Первый множитель — значение для бесконечного провода; второй, всегда меньший 1, — поправка на недостающие концы. Для провода длиной 1 м на расстоянии 4 см он равен 0,9968, так что поле оказывается меньше лишь на 0,3 %.

Для соленоида длиной в шесть радиусов, как на анимации, сложение полей его витков даёт 95 % от ${\mu }_{0}nI$ в центре и 49 % на концах, где рассчитанные линии поля расходятся веером. Идеальное $B={\mu }_{0}nI$ — предел очень длинной катушки.

Задача: коаксиальный обратный провод

Коаксиальный кабель посылает ток по центральному стержню и возвращает его по окружающей трубке. Это хорошая проверка закона Ампера, потому что охваченный ток меняется от одной окружности к другой.

Пусть 20 А из анимации текут из экрана по медному стержню радиуса $a=1\mathrm{см}$ и возвращаются в экран по тонкой трубке радиуса $b=3\mathrm{см}$, окружающей стержень. Что почувствуют компасы на расстоянии 2 см и 4 см и каково поле на расстоянии 0,5 см от оси?

Обозначения

$I$	Ток в стержне, из страницы; трубка возвращает тот же ток.	$\mathrm{А}$
$a$	Радиус стержня.	$\mathrm{м}$
$b$	Радиус трубки.	$\mathrm{м}$
$B$	Модуль поля на окружности радиуса $r$ вокруг оси.	$\mathrm{Тл}$
$r$	Расстояние от оси.	$\mathrm{м}$

Левая половина рисунка 4 — поперечное сечение. Точка в центре — ток $I$, выходящий из страницы по стержню радиуса $a$; крестики — его возврат в страницу по трубке радиуса $b$. Пунктирные окружности 1, 2 и 3 — окружности Ампера на расстояниях 0,5 см, 2 см и 4 см. Чтобы хватило места для подписей, радиусы на рисунке сжаты, поэтому он не в масштабе.

Кабель, как и прямой провод, выглядит одинаково после поворота вокруг оси или сдвига вдоль неё, так что поле снова обходит ось по окружности с модулем, зависящим только от $r$. На каждой окружности закон Ампера даёт $B\cdot 2\pi r={\mu }_0{I}_{\mathrm{охв}}$, то есть $B=({\mu }_0/2\pi )I_{\mathrm{охв}}/r$, где ${\mu }_0/(2\pi )=2\cdot 10^{-7}\mathrm{Тл}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{А}$. Вся работа — найти $I_{\mathrm{охв}}$.

Окружность 1, внутри стержня, охватывает $(0,5/1{)}^2$, то есть четверть площади стержня, а значит, четверть его тока. Окружность 2 охватывает весь ток стержня и ничего от трубки. Окружность 3 охватывает оба тока, и они сокращаются:
$I_{\mathrm{охв}}(0,5\mathrm{см})=20\cdot (0,5/1{)}^2=5\mathrm{А},B=\frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 5}{0,005}=2,0\cdot 10^{-4}\mathrm{Тл}$
$I_{\mathrm{охв}}(2\mathrm{см})=20\mathrm{А},B=200\mathrm{мкТл}$
$I_{\mathrm{охв}}(4\mathrm{см})=20-20=0,B=0$

Правая половина рисунка 4 — график $B$ от $r$ для всего кабеля. Поле растёт по прямой до максимума 400 мкТл при $r=a$, идёт по гиперболе $1/r$ из анимации до $r=b$, а затем падает до нуля. Окружности 1 и 2 находятся на одной высоте: 200 мкТл внутри стержня на расстоянии 0,5 см и 200 мкТл снаружи на расстоянии 2 см.

Поэтому внутренние компасы, на расстоянии 2 см, не замечают ничего нового: ток трубки лежит вне их окружности, а равномерная трубка не создаёт поля внутри себя. Внешние компасы, на расстоянии 4 см, чувствуют только горизонтальную составляющую поля Земли, около 20 мкТл, и указывают на север, как при выключенном токе.

Если бы 5 А утекали в землю где-то в другом месте и по трубке возвращались бы лишь 15 А, окружность 3 охватывала бы 5 А. Внешние компасы чувствовали бы тогда от кабеля $2\cdot 10^{-7}\cdot 5/0,04=25\mathrm{мкТл}$ — больше, чем поле Земли. На этом основано устройство защитного отключения (УЗО): кольцо вокруг обоих проводников чувствует только их суммарный ток — то самое $I_{\mathrm{охв}}$ закона Ампера — и отключает цепь, когда он не равен нулю.

Одно поле в двух системах отсчёта

Магнетизм — не отдельная сила. В этом разделе показано, что магнитная сила провода — это электрическая сила, увиденная из другой системы отсчёта.

Пусть провод медный, сечением 2,5 мм². Его подвижные электроны несут около $3,4\cdot 10^4\mathrm{Кл}$ на метр провода, точно уравновешенные положительными ионами, так что провод нейтрален. Чтобы нести ток 20 А, электронам достаточно дрейфовать со скоростью всего $v\approx 0,59\mathrm{мм}/\mathrm{с}$.

Теперь пусть заряд движется рядом с проводом, параллельно электронам и с их скоростью $v$. В лабораторной системе на него действует магнитная сила, потому что он движется в поле $B$. В его собственной системе он покоится, а магнитное поле не действует на покоящийся заряд. Сила не может исчезнуть от смены точки зрения, поэтому в той системе она должна быть электрической.

Так оно и есть. В системе заряда ионы движутся, поэтому расстояние между ними испытывает лоренцево сокращение, и они расположены теснее, чем в лабораторной системе. Электроны теперь покоятся, и расстояние между ними — их собственное, большее, чем сокращённое расстояние в лабораторной системе, так что они расположены реже. Провод больше не нейтрален.

Две плотности отличаются на долю $v^2/c^2\approx 4\cdot 10^{-24}$: нескомпенсированный заряд меньше одного электрона на метр провода. Тем не менее на расстоянии 2 см этот крошечный заряд создаёт электрическое поле $1,2\cdot 10^{-7}\mathrm{В}/\mathrm{м}$ — столько же, сколько $vB$ для заряда, движущегося со скоростью $v$ в поле 200 мкТл. Электрическое и магнитное поля — две стороны одного поля, смешиваемые при смене системы отсчёта, а ${\mu }_0{\epsilon }_0=1/c^2$ служит обменным курсом.

Правило правой руки — лишь соглашение. $\vec{B}$ входит и в закон для поля, и в силу $q\vec{v}\times \vec{B}$, поэтому правило левой руки, применённое в обоих местах, поменяло бы знак $\vec{B}$, не изменив ни одного предсказания.

Постоянные магниты подчиняются тем же уравнениям. Их токи находятся внутри атомов: прежде всего это спины электронов, выстроенные одинаково в целых доменах железа.

Границы применимости

Это законы стационарных токов. Когда токи меняются, в закон для ротора к ${\mu }_0\vec{J}$ добавляется слагаемое Максвелла ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$. Оно устраняет противоречие с заряжающимся конденсатором с рисунка 1 и заставляет изменения поля распространяться со скоростью $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}\approx 3,00\cdot 10^8\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Статические формулы остаются справедливыми на расстояниях, много меньших длины волны. При частоте 50 Гц длина волны равна 6000 км, поэтому бытовая проводка магнитостатична; на частоте 100 МГц она равна 3 м, и провод излучает.

Законы предполагают также вакуум или воздух, магнитная проницаемость которого отличается от ${\mu }_0$ меньше чем на миллионную долю. Сильнейшие стационарные поля в лабораториях составляют около 45 Тл, а магнетары — особый вид нейтронных звёзд — достигают около $10^{10}\mathrm{Тл}$.

Магнетизм вещества по своей природе квантовый. Классическая физика вообще не предсказывает намагниченности для зарядов в тепловом равновесии, а выстраивание спинов в железе — квантовый эффект.

Что дальше

Урок «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» добавляет силу $q\vec{v}\times \vec{B}$, притяжение параллельных токов и круговые орбиты заряженных частиц. «Электромагнитная индукция» показывает, что меняющееся $\vec{B}$ создаёт электрическое поле, обходящее контур, — двойник закона Ампера, а «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» применяют катушки и железные сердечники. Со слагаемым Максвелла два закона для ротора дают волны урока «Электромагнитные волны», а переход между системами отсчёта, описанный выше, развивается в уроке «Специальная теория относительности».