Força magnética sobre cargas em movimento

Iniciante

Coloque um fio atravessando a fenda de um ímã em ferradura e ligue a corrente: o fio pula para o lado, para fora da fenda ou mais fundo nela. Inverta a corrente e ele pula para o outro lado. Vire o ímã também e ele volta ao primeiro sentido.

Por que isso acontece? Uma corrente nada mais é que cargas elétricas em movimento. Um ímã empurra cada uma dessas cargas em movimento e, como elas não podem sair do fio, o fio é arrastado junto com elas. Uma carga parada ao lado de um ímã não sente nada: o empurrão só aparece quando a carga se move.

A parte surpreendente é a direção do empurrão. Ele nunca é na direção do movimento: atua para o lado, em ângulo reto tanto com o sentido em que a carga vai quanto com o campo magnético. Um empurrão lateral não pode fazer nada ir mais rápido ou mais devagar; ele só pode desviá-lo, como um barbante que faz uma bola girar sobre a sua cabeça. Assim, uma carga voando livremente pelo campo de um ímã continua girando, e sua trajetória se curva em um círculo.

É isso que a animação mostra. Os × cinza são um campo magnético apontando para dentro da tela. Acompanhe a carga vermelha: a seta azul mostra para onde ela está indo, a seta vermelha mostra o empurrão. O empurrão sempre aponta para o centro do círculo, e a carga nunca acelera nem desacelera.

O mesmo empurrão guia partículas do Sol em direção aos polos da Terra, onde fazem o céu brilhar como auroras, e enormes anéis de ímãs mantêm partículas correndo em círculos nos aceleradores.

Teste-se: um elétron está parado entre os polos de um ímã forte. Que força magnética atua sobre ele? (Nenhuma: só cargas em movimento sentem uma.)

Intermediário

Carga, velocidade e campo

Três coisas determinam a força magnética sobre uma partícula: sua carga $q$, em coulombs e com seu sinal ($+1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ para um próton); sua velocidade $\vec{v}$, incluindo a direção; e o campo magnético $\vec{B}$ no local da partícula, medido em tesla (T). Um tesla é um campo forte: o da Terra fica entre 25 e 65 µT, um ímã de geladeira dá alguns militesla e um aparelho de ressonância magnética, de 1,5 a 3 T. A animação usa $B=0,10\mathrm{T}$, aproximadamente o campo entre os polos de um bom ímã em ferradura.

Em diagramas planos, uma cruz × é a ponta de uma seta que se afasta de você; assim, as cruzes cinza na animação significam campo entrando na tela. Um ponto • é a ponta de uma seta vindo na sua direção, ou seja, campo saindo da tela. O ângulo $\theta$ é medido entre $\vec{v}$ e $\vec{B}$; o próton se move transversalmente ao campo, então $\theta =90^{\circ }$ o tempo todo.

O tamanho da força

Experimentos com feixes de partículas mostram que a força é proporcional à carga, à velocidade e ao campo, e que depende do ângulo entre o movimento e o campo:
$F=qvB\sin \theta$

Só conta a parte da velocidade que cruza as linhas de campo, $v\sin \theta$. Uma carga que se move ao longo das linhas de campo não sente nada; uma que as cruza em ângulo reto sente o máximo, $F=qvB$, e a 30° sente metade disso. Para uma carga negativa use o valor de $q$; o sinal só muda a direção.

Uma carga em repouso não sente força magnética alguma, por mais forte que seja o ímã: essa é a diferença mais marcante em relação a um campo elétrico. A regra também define o tesla: 1 T empurra com 1 N uma carga de 1 C que o cruza a 1 m/s, então $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}\cdot s/(\mathrm{C}\cdot \mathrm{m})=1N/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{m})$.

Lendo o diagrama: a regra da mão direita

A força é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo. Seu tamanho e sua direção cabem em uma única equação vetorial:
$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

O produto vetorial $\vec{v}\times \vec{B}$ tem módulo $vB\sin \theta$, e sua direção segue a regra da mão direita: aponte os dedos da mão direita na direção de $\vec{v}$, curve-os em direção a $\vec{B}$, e o polegar mostra a força sobre uma carga positiva. A ordem importa, pois $\vec{B}\times \vec{v}$ aponta para o lado oposto.

Teste na animação. No ponto mais baixo do círculo, o próton se move para a direita e o campo entra na tela, então o polegar aponta para cima, em direção ao centro, exatamente como a seta vermelha $F$: o próton gira no sentido anti-horário. Inverter o campo ou a velocidade inverte a força; inverter os dois a mantém igual.

Sem trabalho, então a trajetória é um círculo

Como $\vec{F}$ é sempre perpendicular a $\vec{v}$, ela não realiza trabalho. A energia cinética não pode mudar, e portanto a velocidade também não: o indicador $|v|$ permanece em $1,0\times 10^{6}m/s$. Uma força de intensidade fixa que apenas gira a velocidade é exatamente o que o movimento circular uniforme exige; assim, a força magnética atua como força centrípeta do Movimento circular:
$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

Isolando o raio, e usando $T=2\pi r/v$ para o período e $\omega =2\pi /T$ para a frequência angular, obtemos três fórmulas úteis:

• $r=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• $\omega =\frac{qB}{m}$

Uma partícula mais rápida ou mais pesada percorre um círculo mais largo; um campo mais forte ou uma carga maior o tornam mais fechado. A surpresa está na segunda linha: a velocidade se cancelou, então uma partícula mais rápida percorre um círculo maior exatamente no mesmo tempo.

Exemplo resolvido: o próton da animação

Um próton tem $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ e $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$. Na animação ele se move com $v=1,0\times 10^{6}m/s$ transversalmente a um campo de $B=0,10\mathrm{T}$, então $\sin \theta =1$:
$F=qvB=1,60\times 10^{-19}\cdot 1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1,67\times 10^{-27}\cdot 1,0\times 10^6}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 0,104\mathrm{m}$
$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 6,6\times 10^{-7}\mathrm{s}$

Esses são os valores dos indicadores: $F=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, $r=10,4\mathrm{cm}$ e $|v|=1,0\times 10^{6}m/s$ constante. O próton real dá uma volta em 0,66 µs, cerca de 1,5 milhão de vezes por segundo; a animação, com 4 s por volta, é desacelerada cerca de seis milhões de vezes.

A força parece minúscula, mas a massa é ainda menor: a aceleração $F/m\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$ é cerca de $10^{12}$ vezes $g$, então a gravidade não tem papel algum. A seta azul $v$ permanece tangente ao círculo tracejado com comprimento fixo, enquanto a seta vermelha $F$ fica sobre o raio cinza $r$ e aponta para o centro: sempre a 90° de $v$, ela não realiza trabalho.

Exemplo resolvido: separando íons por massa

Um espectrômetro de massa pesa átomos pelo tamanho de seus círculos. Íons de neônio com carga única, com $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$, saem da fonte com uma faixa de velocidades; por isso passam primeiro por um seletor de velocidades, onde uma força elétrica $qE$ e uma força magnética $qvB$ empurram em sentidos opostos. Só os íons com $qE=qvB$ seguem em linha reta por uma fenda. Com 250 V entre placas separadas por 1 cm, $E=2,5\times 10^{4}V/m$, e com $B=0,25\mathrm{T}$,
$v=\frac{E}{B}=\frac{2,5\times 10^4}{0,25}=1,0\times 10^{5}m/s$

No mesmo campo, sem as placas, os íons então descrevem meia volta até um detector. O neônio-20 tem $m=3,32\times 10^{-26}\mathrm{kg}$:
$r_{20}=\frac{mv}{qB}=\frac{3,32\times 10^{-26}\cdot 1,0\times 10^5}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,25}\approx 0,083\mathrm{m}$

O neônio-22 é 10% mais pesado e, com velocidade fixa, $r$ é proporcional a $m$, então $r_{22}\approx 0,091\mathrm{m}$. Cada íon atinge um ponto a um diâmetro da fenda, em 16,6 cm e 18,3 cm, então os dois isótopos chegam separados por 1,7 cm. Sem o seletor eles se borrariam: um íon de neônio-20 apenas 1% mais rápido cairia 1,7 mm mais adiante.

Erros comuns

• A força não segue as linhas de campo, como faria uma força elétrica, mas é perpendicular a elas: o empurrão de $1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$ do próton aponta para o centro do seu círculo, nunca para dentro da tela.
• Um campo magnético não pode mudar a velocidade de uma carga. O próton mantém seus $1,0\times 10^{6}m/s$ e seus 5,2 keV de energia cinética volta após volta; os aceleradores somam energia com campos elétricos e apenas direcionam com magnéticos.
• Um movimento inclinado sofre menos força. A 30° do campo em vez de 90°, o próton sentiria apenas $8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$, metade.
• O sinal da carga importa. Um elétron na mesma velocidade é empurrado para o outro lado e gira no sentido horário, em um raio de cerca de 0,057 mm, 1836 vezes menor, na proporção da sua massa.

Onde isso aparece

As auroras são o caso mais bonito: partículas carregadas do Sol são guiadas pelas linhas do campo terrestre até as regiões polares, onde fazem a alta atmosfera brilhar. Cíclotrons hospitalares aceleram prótons para produzir os isótopos usados em exames PET, espectrômetros de massa datam carbono antigo e testam atletas por doping, e detectores de partículas leem a quantidade de movimento a partir da curvatura dos rastros.

A mesma força atua sobre as cargas que se deslocam em um fio. Se a carga $Q$ em um comprimento $L$ de fio se desloca com velocidade $v$, a corrente é $I=Qv/L$, e as forças se somam em $QvB=BIL$ para um fio transversal ao campo: 0,025 N para 5,0 A em 5,0 cm de fio transversal a 0,10 T. Esse empurrão faz um fio saltar entre os polos de um ímã em ferradura e movimenta todo motor elétrico, em Motores, geradores e transformadores. Mover um fio através de um campo empurra suas cargas ao longo dele: o início de Indução eletromagnética.

Avançado

A força de Lorentz define os campos

Esta seção enuncia a única lei sobre a qual toda a lição se apoia e tira dela sua consequência mais importante: um campo magnético pode desviar uma carga, mas nunca acelerá-la. Uma carga pontual $q$ que se move com velocidade $\vec{v}$ por um campo elétrico $\vec{E}$ e um campo magnético $\vec{B}$ sente a força de Lorentz
$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

A lei pode ser lida ao contrário, como uma receita para medir os dois campos com uma carga de teste. Parada, a carga sente apenas $q\vec{E}$, o que dá $\vec{E}$. Em movimento, ela sente uma força extra que cresce com sua velocidade e aponta sempre em ângulo reto com ela. Essa força extra é zero para o movimento ao longo de uma linha específica, e essa linha é a direção de $\vec{B}$. Para qualquer outra velocidade, ela fixa a parte de $\vec{B}$ transversal a $\vec{v}$; uma segunda velocidade não paralela fornece a parte que falta ao longo da primeira. Duas medições fixam, portanto, as três componentes de $\vec{B}$.

A direção da força vem da regra do produto vetorial. Com os vetores unitários $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ ao longo dos eixos, $\hat{x}\times \hat{y}=\hat{z}$, e o mesmo vale para as versões cíclicas $\hat{y}\times \hat{z}=\hat{x}$ e $\hat{z}\times \hat{x}=\hat{y}$. Assim, uma carga positiva que se move ao longo de $+y$ em um campo ao longo de $+z$ é empurrada ao longo de $\hat{y}\times \hat{z}=+\hat{x}$.

Agora a energia. Uma força altera a energia cinética $K$ à taxa $\vec{F}\cdot \vec{v}$, a potência que ela fornece. Com a força de Lorentz,
$\frac{dK}{dt}=q\vec{E}\cdot \vec{v}+q\vec{v}\cdot (\vec{v}\times \vec{B})$
O último termo é zero, porque o produto vetorial $\vec{v}\times \vec{B}$ é perpendicular a $\vec{v}$. Logo $dK/dt=q\vec{E}\cdot \vec{v}$: somente o campo elétrico altera a energia de uma partícula, qualquer que seja a forma do campo magnético. Uma força magnética pode mudar a direção da velocidade, mas nunca alongá-la ou encurtá-la. Quando um campo magnético variável parece realizar trabalho, como em um transformador, o trabalho é feito pelo campo elétrico que a variação induz.

Movimento circular: dois osciladores acoplados

Legenda

$C$	Centro do círculo, o ponto $(x_c,y_c)$.
$r$	Raio do círculo, $r=mv/(qB)$, desenhado de $C$ até o ponto de partida.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Ângulo girado desde o início; $\omega =qB/m$ é a taxa de rotação.	$\mathrm{rad}$
$q$	Carga da partícula, aqui um próton; o ponto aberto é onde ele começou.	$\mathrm{C}$
$\vec{v}$	Velocidade: tangente ao círculo, com comprimento igual à velocidade constante $v$.	$m/s$
$\vec{F}$	Força magnética $q\vec{v}\times \vec{B}$: perpendicular a $\vec{v}$, em direção a $C$.	$\mathrm{N}$
$\vec{B}$	Campo magnético, uniforme e apontando para dentro da página (as cruzes).	$\mathrm{T}$
$v_x$	Componente de $\vec{v}$ ao longo de $x$, $v\cos \omega t$; negativa no instante desenhado.	$m/s$
$v_y$	Componente de $\vec{v}$ ao longo de $y$, $v\sin \omega t$.	$m/s$

Esta seção resolve exatamente o movimento em um campo magnético uniforme. O método, que separa a velocidade em componentes que se alimentam mutuamente, vale a pena aprender por si só, e o resultado, um círculo percorrido a uma taxa constante, fundamenta tudo o que vem depois na lição.

A figura 1 mostra a geometria da animação. O campo aponta para dentro da página (as cruzes). Com $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ saindo da página, temos $\vec{B}=-B\hat{z}$. A força é perpendicular a $\vec{B}$, então o próton nunca ganha uma velocidade ao longo de $z$, e o movimento permanece no plano $xy$. À esquerda, acompanhe o próton de carga $q$: ele partiu do ponto aberto na base do círculo, movendo-se ao longo de $+x$, e desde então girou o ângulo $\omega t$ em torno do centro $C$. Sua velocidade $\vec{v}$ é tangente à trajetória, e a força $\vec{F}$ aponta ao longo do raio em direção a $C$. À direita, a mesma $\vec{v}$ está desenhada a partir de um ponto fixo. Suas sombras nos eixos, as barras horizontal e vertical, são suas componentes $v_x$ e $v_y$. A seta girou o mesmo ângulo $\omega t$ a partir do eixo $v_x$, porque a velocidade permanece perpendicular ao raio e, por isso, gira exatamente tão rápido quanto o raio.

Agora as equações. A segunda lei de Newton é $md\vec{v}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$, com $m$ a massa do próton. Calculando o produto vetorial com $\vec{B}=-B\hat{z}$, obtemos $\vec{v}\times \vec{B}=B(-v_y,v_x,0)$. Dividindo por $m$ e escrevendo $\omega =qB/m$, as duas componentes da lei ficam
${\dot{v}}_x=-\omega v_y,{\dot{v}}_y=\omega v_x$
onde um ponto significa a derivada em relação ao tempo.

Cada componente alimenta a outra: $v_y$ determina com que rapidez $v_x$ muda, e $v_x$ determina com que rapidez $v_y$ muda. Para separá-las, derive a primeira equação mais uma vez e substitua ${\dot{v}}_y$ pela segunda:
${\ddot{v}}_x=-\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$
Essa é a equação do movimento harmônico simples com frequência angular $\omega$, e os mesmos passos a fornecem para $v_y$. As condições iniciais escolhem a solução. Em $t=0$ o próton se move ao longo de $+x$ com sua velocidade total $v$, logo $v_x=v$ e $v_y=0$, portanto
$v_x=v\cos \omega t,v_y=v\sin \omega t$
Essas são as duas barras à direita da figura 1. Mais uma integração dá a posição:
$x=x_c+\frac{v}{\omega }\sin \omega t,y=y_c-\frac{v}{\omega }\cos \omega t$
As constantes $(x_c,y_c)$ são o ponto $C$. Em $t=0$, essas fórmulas colocam o próton em $y=y_c-v/\omega$, diretamente abaixo de $C$, como na figura. A trajetória é um círculo de raio
$r=\frac{v}{\omega }=\frac{mv}{qB}$
percorrido no sentido anti-horário quando $q>0$. Para uma carga negativa, $\omega$ é negativo, e as mesmas fórmulas descrevem um círculo no sentido horário de raio $|mv/(qB)|$.

Números complexos encurtam a solução. Combine as duas componentes em um único número complexo, $w=v_x+i{v}_y$. O par de equações se torna a equação única $\dot{w}=i\omega w$, cuja solução é $w=v{e}^{i\omega t}$: uma seta de comprimento fixo $v$ girando a uma taxa constante $\omega$, exatamente a seta à direita da figura 1. Em linguagem vetorial, a mesma afirmação é $\dot{\vec{v}}=\vec{\omega }\times \vec{v}$ com $\vec{\omega }=-q\vec{B}/m$: a velocidade gira (precessa) em torno da direção do campo à taxa $qB/m$. Para $q>0$, o vetor de rotação $\vec{\omega }$ aponta contra $\vec{B}$, aqui para fora da página, e uma rotação cujo vetor aponta para você parece anti-horária. É por isso que o próton gira no sentido anti-horário em um campo que aponta para longe de você.

Lendo os gráficos de velocidade

Legenda

$v$	Amplitude das duas curvas: a velocidade constante.	$m/s$
$t$	Tempo, medido desde o início.	$\mathrm{s}$
$T/4$	Um quarto do período: $v_y$ atinge o pico enquanto $v_x$ cruza o zero.	$\mathrm{s}$
$T$	Período de uma volta completa, $T=2\pi m/(qB)$.	$\mathrm{s}$
$v_x$	Componente da velocidade ao longo de $x$, $v\cos \omega t$.	$m/s$
$v_y$	Componente da velocidade ao longo de $y$, $v\sin \omega t$.	$m/s$
$\omega v$	Inclinação de $v_y$ em $t=0$, sua mais acentuada: igual à aceleração $F/m$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

Os gráficos de $v_x$ e $v_y$ em função do tempo contêm todo o movimento: a velocidade constante, o período e a força podem ser lidos a partir deles. A figura 2 desenha os gráficos do nível avançado da animação ao longo de um período $T$, o tempo de uma volta completa.

Comece pelas formas. A curva azul $v_x$ é um cosseno e a curva verde $v_y$ um seno, ambas com amplitude $v=1,0\times 10^{6}m/s$, a velocidade do próton. Elas estão defasadas de um quarto de período $T/4$: 1 s na animação em câmera lenta, 0,16 µs na realidade. Onde uma curva cruza o zero, a outra está em um pico ou vale, como na linha tracejada em $T/4$. A cada instante $v_x^2+v_y^2=10^{12}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, porque ${\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t=1$. As duas componentes mudam o tempo todo; a velocidade, nunca.

Agora as inclinações. A inclinação de um gráfico de velocidade é uma aceleração e, pela segunda lei de Newton, é a força dividida pela massa. Em $t=0$, $v_x$ está no pico, onde seu gráfico é plano, enquanto $v_y$ cruza o zero com a inclinação mais acentuada, a linha vermelha da figura 2. Essa inclinação é
$\omega v\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$
com $\omega =qB/m\approx 9,6\times 10^{6}rad/s$ para um próton no campo de 0,10 T da animação. Como $v_x$ não está mudando nesse momento, esta é a aceleração total $F/m$. Ela aponta ao longo de $+y$, diretamente para o centro, que fica acima do ponto de partida. Um quarto de volta depois os papéis se invertem: $v_x$ é o mais inclinado e $v_y$ é plano, porque a aceleração girou junto com o raio e agora aponta ao longo de $-x$.

O período não depende da velocidade. O próton roxo da animação parte do mesmo ponto com $1,5v$ e percorre um círculo de raio 15,7 cm em vez de 10,4 cm. Suas componentes são as mesmas senoides, com amplitude 1,5 vez maior e o mesmo período, por isso ele volta ao ponto de partida no mesmo instante que o próton vermelho. Esse é o conteúdo de
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$
na qual a velocidade se cancelou. Em 0,10 T, todo próton que se move bem abaixo da velocidade da luz leva 0,66 µs por volta, qualquer que seja o tamanho de sua órbita.

Hélices e espelhos magnéticos

Legenda

$\theta$	Ângulo entre a velocidade inicial e $\vec{B}$; aqui $60^{\circ }$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{v}$	Velocidade no início; seu comprimento é a velocidade constante $v$.	$m/s$
$v_{\perp }$	Parte de $\vec{v}$ transversal a $\vec{B}$, $v\sin \theta$: ela gira no círculo.	$m/s$
$v_{\parallel }$	Parte de $\vec{v}$ ao longo de $\vec{B}$, $v\cos \theta$: não sofre força e nunca muda.	$m/s$
$r$	Raio do círculo, $r=m{v}_{\perp }/(qB)$.	$\mathrm{m}$
$h$	Passo da hélice: a distância avançada ao longo de $\vec{B}$ em um período $T$, $h=v_{\parallel }T$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético, apontando para cima aqui.	$\mathrm{T}$

Até agora a velocidade estava transversal ao campo. Esta seção trata do caso geral, uma velocidade em qualquer ângulo com $\vec{B}$, que é como partículas carregadas realmente chegam ao campo magnético da Terra ou se movem em um plasma.

A figura 3 mostra o resultado. À esquerda, a velocidade inicial $\vec{v}$ forma com $\vec{B}$ o ângulo $\theta$, aqui $60^{\circ }$, e se divide em duas partes: $v_{\parallel }=v\cos \theta$ ao longo do campo e $v_{\perp }=v\sin \theta$ transversal a ele. As duas partes se comportam de maneira bem diferente. A força $q\vec{v}\times \vec{B}$ é sempre perpendicular a $\vec{B}$, então não tem componente ao longo do campo, e $v_{\parallel }$ nunca muda. E como o produto vetorial de vetores paralelos é zero, $v_{\parallel }$ não acrescenta nada à força: a força depende apenas de $v_{\perp }$. Assim, $v_{\perp }$ se comporta exatamente como nas seções anteriores. Ele gira em um círculo de raio $r=m{v}_{\perp }/(qB)$, desenhado na base da hélice, no mesmo período $T$.

Juntando as duas partes: o círculo é levado continuamente ao longo do campo, e a trajetória é uma hélice. Siga-a no desenho de baixo para cima. Cada volta leva o período $T$, e nesse tempo o próton avança ao longo de $\vec{B}$ o passo
$h=v_{\parallel }T=2\pi r\cot \theta$
A segunda forma segue de $T=2\pi r/v_{\perp }$ e $v_{\parallel }/v_{\perp }=\cot \theta$. A $60^{\circ }$, o passo é cerca de 3,6 vezes o raio. Para o próton da animação, lançado com $1,0\times 10^{6}m/s$ a 60° do campo de 0,10 T, $v_{\perp }=8,7\times 10^{5}m/s$ dá um círculo de raio 9,0 cm, e $v_{\parallel }=5,0\times 10^{5}m/s$ o leva 33 cm ao longo do campo a cada volta.

Campos reais raramente são uniformes. Suponha que $B$ cresça lentamente ao longo das linhas de campo, mudando pouco durante uma volta. Então a grandeza $m{v}_{\perp }^2/(2B)$, a energia cinética do movimento circular dividida por $B$, permanece quase constante. Conforme o próton entra em um campo mais forte, $v_{\perp }^2$ precisa crescer em proporção a $B$. A velocidade total não pode mudar, então $v_{\parallel }$ diminui para abrir espaço: a hélice se aperta, e onde $v_{\perp }$ teria que ultrapassar $v$, o próton para de avançar e retorna. Uma região de campo forte age como um espelho. As linhas de campo da Terra se concentram perto dos polos, então prótons e elétrons oscilam de um hemisfério ao outro, presos nos cinturões de radiação da Terra.

Quantidade de movimento em qualquer velocidade

As relações até aqui foram deduzidas para partículas lentas. Esta seção curta mostra quais delas valem em alta velocidade. Como a força magnética nunca altera a velocidade, ela apenas muda a direção da quantidade de movimento $\vec{p}$, e a lei de Newton na forma $d\vec{p}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$ vale em qualquer velocidade. Para o movimento transversal ao campo, ela dá um círculo com
$p=qBr$
em que $p=\gamma mv$ é a quantidade de movimento relativística, $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ é o fator de Lorentz e $c$ é a velocidade da luz. Como a velocidade é constante, $\gamma$ também é, e os passos das seções anteriores valem sem alteração, trocando $m$ por $\gamma m$.

Em unidades práticas, uma trajetória de raio 1 m em um campo de 1 T pertence a uma partícula de carga elementar com quantidade de movimento de 0,30 GeV/c. O que muda em alta energia é a taxa de giro, $\omega =qB/(\gamma m)$, que cai à medida que a energia sobe. O cíclotron abaixo precisa lidar exatamente com isso.

Campos cruzados: a deriva

Acrescente um campo elétrico uniforme $\vec{E}$ em ângulo reto com $\vec{B}$, e os círculos deixam de se fechar: eles deslizam para o lado. Este caso é importante porque mostra como uma mudança de referencial pode eliminar um campo elétrico, e é o princípio do seletor de velocidades.

O truque é observar a partir de um referencial que se move com a velocidade constante
${\vec{v}}_d=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{B^2}$
Em baixa velocidade, um observador que se move com ${\vec{v}}_d$ mede o campo elétrico ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+{\vec{v}}_d\times \vec{B}$. Quando $\vec{E}$ é perpendicular a $\vec{B}$, vale $(\vec{E}\times \vec{B})\times \vec{B}=-B^2\vec{E}$, então o segundo termo é exatamente $-\vec{E}$, e ${\vec{E}}^{\prime }=0$. Nesse referencial resta apenas $\vec{B}$, e a partícula descreve um círculo comum. No laboratório, esse círculo é levado junto com a velocidade de deriva $v_d=E/B$. A deriva não contém $q$ nem $m$, então toda partícula, de qualquer sinal e massa, deriva do mesmo modo e com a mesma velocidade. O tratamento relativístico exato dá o mesmo resultado, desde que $E<cB$, para que $v_d$ fique abaixo da velocidade da luz.

Com $E=1,0\times 10^{4}V/m$ nos 0,10 T da animação, a velocidade de deriva é $1,0\times 10^{5}m/s$, e os laços do próton avançam $v_{d}T=6,6\mathrm{cm}$ por volta. Um seletor de velocidades usa o mesmo equilíbrio: uma partícula lançada exatamente com ${\vec{v}}_d$ sente forças elétrica e magnética que se cancelam, então passa em linha reta, enquanto partículas mais rápidas e mais lentas são desviadas.

Problema resolvido: um pequeno cíclotron

Legenda

$R$	Raio dos eletrodos: a maior órbita, onde os prótons saem.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético, apontando para dentro da página através dos dois eletrodos.	$\mathrm{T}$
$V$	Tensão alternada entre os dois eletrodos, através da fenda.	$\mathrm{V}$
$q$	Carga do próton, mostrada no ponto de partida.	$\mathrm{C}$

Um cíclotron aproveita a independência do período em relação à velocidade. Como cada próton em um dado campo leva o mesmo tempo por volta, uma tensão alternada em frequência fixa pode empurrá-lo repetidamente, qualquer que seja sua energia.

A figura 4 mostra a máquina vista de cima. Dois eletrodos ocos em forma de D, de raio $R$, ficam frente a frente através de uma fenda estreita. O campo $\vec{B}$ aponta para dentro da página através dos dois, e uma fonte de tensão alternada $V$ está ligada entre os eletrodos. O próton $q$ começa no centro. Dentro de um eletrodo oco não há campo elétrico, apenas $\vec{B}$, então o próton percorre um semicírculo e volta à fenda. Se a tensão já tiver invertido até lá, ela empurra o próton através da fenda e soma a energia $qV$. Um próton mais rápido percorre um semicírculo maior, então a trajetória espirala para fora até atingir a borda em $R$, onde os prótons saem. O desenho mostra apenas quatro voltas; a máquina abaixo precisa de 30.

O problema. Um pequeno cíclotron usa o campo da animação, $B=0,10\mathrm{T}$, com eletrodos de raio $R=0,50\mathrm{m}$ e uma tensão alternada de amplitude 2,0 kV através da fenda. Os prótons começam perto do centro, quase em repouso. Em que frequência a tensão deve alternar, que energia os prótons atingem e em quantas voltas? Use $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ e $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$.

Passo 1, a frequência. Cada próton cruza a fenda duas vezes por volta e precisa encontrar a tensão invertida toda vez. Logo, a tensão deve completar um ciclo completo por volta do próton: ela alterna na frequência do cíclotron
$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,52\mathrm{MHz}$

Passo 2, a energia final. A última órbita tem raio $R$, então, por $p=qBR$, os prótons saem com quantidade de movimento
$p=qBR=1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10\cdot 0,50=8,0\times 10^{-21}\mathrm{kg}\cdot m/s$
e energia cinética
$K=\frac{p^2}{2m}=\frac{(8,0\times 10^{-21}{)}^2}{2\cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,92\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 120\mathrm{keV}$
usando $1\mathrm{eV}=1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Isso corresponde a uma velocidade $p/m=4,8\times 10^{6}m/s$, 1,6% da velocidade da luz. A tensão não aparece nesse resultado: a energia final é fixada apenas por $B$ e $R$, e a tensão só determina quantas voltas são necessárias para chegar lá.

Passo 3, o número de voltas. Um próton que cruza a fenda no pico da tensão ganha 2,0 keV por cruzamento, ou seja, 4,0 keV por volta. São necessárias $120/4,0=30$ voltas, que duram 30 períodos, cerca de 20 µs. Como $K$ cresce em passos iguais e $K\propto r^2$, o raio após $n$ voltas é $R\sqrt{n/30}$: 9,1 cm após uma volta, 18,3 cm após quatro, 27,4 cm após nove. O círculo de 10,4 cm da animação, a 5,2 keV, fica entre a primeira e a segunda volta.

Onde o projeto falha. A máquina depende de cada meia volta levar os mesmos 0,33 µs. A relatividade estraga isso lentamente, porque a verdadeira frequência de revolução é $qB/(2\pi \gamma m)$, e, para uma energia cinética $K$, $\gamma =1+K/(m{c}^2)$, em que a energia de repouso $m{c}^2$ do próton é 938 MeV. A 120 keV, $\gamma \approx 1,00013$, e a frequência cai inofensivos 0,013%. A 20 MeV, ela estaria 2,1% baixa. Um próton girando nessa energia ficaria meio ciclo atrás da tensão em cerca de 24 voltas, e então chegaria à fenda justamente quando a tensão o freia. Cíclotrons para energias mais altas, portanto, ou diminuem a frequência à medida que os prótons ganham energia, ou fazem o campo crescer em direção à borda, de modo que $\gamma m/B$, e com ele o período, permaneça constante.

Elétrico ou magnético: uma questão de referencial

Se uma força conta como elétrica ou magnética depende de quem observa. Esta seção mostra por quê, usando o próton da animação.

No laboratório, o próton sente apenas uma força magnética. Agora observe a partir de seu referencial de repouso momentâneo, um referencial que se move junto com ele naquele instante. Ali o próton não tem velocidade, então a força sobre ele não pode ser magnética. Ainda assim, a força é real, e em baixa velocidade ela é a mesma nos dois referenciais, de modo que esse observador deve ver um campo elétrico,
${\vec{E}}^{\prime }\approx \vec{v}\times \vec{B}(v\ll c)$
Para os números da animação, sua intensidade é $vB=1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,0\times 10^{5}V/m$, e $q{E}^{\prime }=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, exatamente a força magnética $qvB$ medida no laboratório. Um campo puramente magnético em um referencial é uma mistura de campos elétrico e magnético em outro. Nenhum dos dois campos isoladamente é o mesmo para todo observador; só o campo eletromagnético como um todo é.

A relatividade especial torna isso exato. Em uma mudança de referencial, os dois campos se transformam um no outro, mas duas combinações deles assumem o mesmo valor para todo observador inercial:
$E^2-c^2{B}^2\text{and}\vec{E}\cdot \vec{B}$
Esses invariantes determinam o que uma mudança de referencial pode e não pode fazer. Um campo puramente magnético tem $E^2-c^2{B}^2<0$, e como esse sinal é o mesmo em todo referencial, nenhum observador pode ver o campo como puramente elétrico. Campos cruzados com $E<cB$ também têm $E^2-c^2{B}^2<0$ e $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$, então sempre podem ser reduzidos a um campo magnético puro: esse é o referencial de deriva da seção sobre campos cruzados.

Limites de validade

Todos os resultados acima tratam o próton como uma carga pontual clássica, que se move no vácuo e não perde energia. Esta seção verifica cada uma dessas suposições com números.

Radiação. Uma carga acelerada irradia, e uma carga que percorre um círculo está sempre acelerada. Em baixa velocidade, a potência irradiada é dada pela fórmula de Larmor,
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$
onde $a$ é a aceleração e ${\epsilon }_0$ a permissividade do vácuo. Para o próton da animação, com $a\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$, isso dá cerca de $5\times 10^{-28}\mathrm{W}$. Em uma volta ele perde $4\times 10^{-19}$ de sua energia, então seu círculo é exato para todos os efeitos práticos.

A perda nem sempre é pequena. Para partículas de mesma energia em círculos de mesmo raio, a perda por volta cresce com o inverso da quarta potência da massa, então partículas leves irradiam muito mais. Elétrons em um anel de armazenamento de 3 GeV, curvados em um raio de 7 m, perdem cerca de 1 MeV por volta como radiação síncrotron, e esses anéis são construídos para produzi-la como uma fonte potente de raios X. Um próton é 1836 vezes mais pesado que um elétron, e $1836^4\approx 10^{13}$, então prótons perdem pouco mesmo no Grande Colisor de Hádrons, onde prótons de 7 TeV em ímãs de 8,3 T se curvam em um raio $p/(qB)\approx 2,8\mathrm{km}$.

Relatividade. Em $1,0\times 10^{6}m/s$, $\gamma -1\approx v^2/(2c^2)=5,6\times 10^{-6}$, então as fórmulas não relativísticas são excelentes. Em geral, troque $mv$ por $p$ e $m$ por $\gamma m$, como na seção sobre a quantidade de movimento.

Mecânica quântica. Na teoria quântica, o movimento circular só pode ter certas energias, os níveis de Landau, espaçados por $\hslash \omega$, em que $\hslash$ é a constante de Planck reduzida. Para o próton da animação, o espaçamento é de cerca de $6\times 10^{-9}\mathrm{eV}$, $10^{-12}$ de seus 5,2 keV, fino demais para ser percebido. Para um elétron em 10 T, ele é 1,2 meV, mais de dez vezes a energia térmica típica a 1 K, e aí a quantização aparece, de forma mais marcante no efeito Hall quântico.

O vácuo. Por fim, tudo isso supõe vácuo. No ar, colisões com moléculas parariam um próton de 5 keV muito antes de completar uma volta, e é por isso que cíclotrons e anéis de armazenamento são esvaziados por bombeamento.

Para onde isso leva

A força $q\vec{v}\times \vec{B}$ percorre o restante do eletromagnetismo. Empurre uma haste metálica de comprimento $L$ através de um campo com velocidade $v$, e a força impulsiona suas cargas livres ao longo da haste: é a fem $\epsilon =BLv$ da Indução eletromagnética. Somando-se sobre todas as cargas em movimento em um fio com corrente $I$, a mesma força dá $F=BIL\sin \theta$ em um comprimento $L$ de fio formando o ângulo $\theta$ com o campo, e o torque sobre uma bobina, assuntos de Motores, geradores e transformadores.

Em um condutor com corrente atravessando um campo, o empurrão lateral acumula carga em uma borda até que o campo elétrico dessa carga equilibre o efeito. O sinal da tensão Hall resultante indica se os portadores são elétrons ou lacunas, como em Semicondutores, diodos e LEDs, e sensores Hall medem campos magnéticos em celulares e carros.

A dependência de $\vec{E}$ e $\vec{B}$ em relação ao referencial pertence à Relatividade restrita, e os campos que variam no tempo, cada um criando o outro, formam as Ondas eletromagnéticas. Por fim, $p=qBr$ é a forma como a quantidade de movimento das partículas é medida em Partículas e forças: o Modelo Padrão, desde as espirais em fotografias de câmaras de bolhas até os detectores do Grande Colisor de Hádrons.