Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen

Einsteiger

Lege einen Draht quer über den Spalt eines hufeisenförmigen Magneten und schalte einen Strom ein: Der Draht springt seitlich, aus dem Spalt heraus oder tiefer hinein. Kehrst du den Strom um, springt er in die andere Richtung. Drehst du zusätzlich den Magneten um, springt er wieder in die erste Richtung.

Warum passiert das? Ein Strom ist nichts anderes als bewegte elektrische Ladungen. Ein Magnet drückt auf jede dieser bewegten Ladungen, und da sie den Draht nicht verlassen können, wird der Draht mit ihnen mitgezogen. Eine ruhende Ladung neben einem Magneten spürt überhaupt nichts: Der Schub tritt erst auf, wenn sich die Ladung bewegt.

Das Überraschende ist die Richtung des Schubs. Er wirkt nie in Bewegungsrichtung, sondern seitlich, senkrecht sowohl zur Flugrichtung der Ladung als auch zum Magnetfeld. Ein seitlicher Schub kann nichts schneller oder langsamer machen; er kann nur drehen, wie eine Schnur, an der man einen Ball über dem Kopf schwingt. Eine frei durch das Feld eines Magneten fliegende Ladung dreht sich also weiter, und ihre Bahn krümmt sich zu einem Kreis.

Genau das zeigt die Animation. Die grauen × stehen für ein Magnetfeld, das in den Bildschirm zeigt. Verfolge die rote Ladung: Der blaue Pfeil zeigt, wohin sie fliegt, der rote Pfeil zeigt den Schub. Der Schub zeigt immer zur Mitte des Kreises, und die Ladung wird weder schneller noch langsamer.

Derselbe Schub lenkt Teilchen von der Sonne zu den Erdpolen, wo sie den Himmel als Polarlicht leuchten lassen, und riesige Magnetringe halten Teilchen in Beschleunigern auf ihrer Kreisbahn.

Teste dich selbst: Ein Elektron ruht zwischen den Polen eines starken Magneten. Welche magnetische Kraft wirkt auf es? (Keine: Nur bewegte Ladungen spüren eine.)

Mittelstufe

Ladung, Geschwindigkeit und Feld

Drei Dinge bestimmen die magnetische Kraft auf ein Teilchen: seine Ladung $q$ in Coulomb mit Vorzeichen ($+1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ für ein Proton); seine Geschwindigkeit $\vec{v}$ samt Richtung; und das Magnetfeld $\vec{B}$ am Ort des Teilchens, gemessen in Tesla (T). Ein Tesla ist ein starkes Feld: Das Erdfeld beträgt 25–65 µT, ein Kühlschrankmagnet einige Millitesla und ein MRT-Scanner 1,5–3 T. Die Animation verwendet $B=0,10\mathrm{T}$, etwa das Feld zwischen den Polen eines guten Hufeisenmagneten.

In flachen Diagrammen ist ein Kreuz × das Ende eines Pfeils, der von dir wegfliegt; die grauen Kreuze in der Animation bedeuten also ein Feld, das in den Bildschirm hineinzeigt. Ein Punkt • ist eine Pfeilspitze, die auf dich zukommt, also ein Feld, das aus dem Bildschirm herauszeigt. Der Winkel $\theta$ wird zwischen $\vec{v}$ und $\vec{B}$ gemessen; das Proton bewegt sich quer zum Feld, daher ist $\theta =90^{\circ }$ die ganze Zeit.

Die Größe der Kraft

Experimente mit Teilchenstrahlen zeigen, dass die Kraft proportional zu Ladung, Geschwindigkeit und Feld ist und vom Winkel zwischen Bewegung und Feld abhängt:
$F=qvB\sin \theta$

Nur der Teil der Geschwindigkeit, der die Feldlinien kreuzt, $v\sin \theta$, zählt. Eine Ladung, die sich entlang der Feldlinien bewegt, spürt nichts; eine, die sie rechtwinklig kreuzt, spürt am meisten, $F=qvB$, und bei 30° spürt sie die Hälfte davon. Bei einer negativen Ladung verwendest du die Größe von $q$; das Vorzeichen ändert nur die Richtung.

Eine ruhende Ladung spürt keine magnetische Kraft, egal wie stark der Magnet ist: Das ist der deutlichste Unterschied zu einem elektrischen Feld. Die Regel definiert zugleich das Tesla: 1 T drückt mit 1 N auf 1 C, die es mit 1 m/s kreuzt, also $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}\cdot s/(\mathrm{C}\cdot \mathrm{m})=1N/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{m})$.

Das Diagramm lesen: die Rechte-Hand-Regel

Die Kraft steht senkrecht sowohl zur Geschwindigkeit als auch zum Feld. Ihre Größe und ihre Richtung lassen sich in einer Vektorgleichung zusammenfassen:
$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

Das Vektorprodukt $\vec{v}\times \vec{B}$ hat den Betrag $vB\sin \theta$, und seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeige mit den Fingern der rechten Hand in Richtung $\vec{v}$, krümme sie zu $\vec{B}$, dann zeigt der Daumen die Kraft auf eine positive Ladung. Die Reihenfolge zählt, denn $\vec{B}\times \vec{v}$ zeigt in die Gegenrichtung.

Probier es an der Animation aus. Am tiefsten Punkt des Kreises bewegt sich das Proton nach rechts und das Feld zeigt in den Bildschirm, also zeigt der Daumen nach oben, zur Mitte, genau wie der rote Pfeil $F$: Das Proton dreht gegen den Uhrzeigersinn. Kehrst du das Feld oder die Geschwindigkeit um, kehrt sich die Kraft um; kehrst du beides um, bleibt sie gleich.

Keine Arbeit, daher ist die Bahn ein Kreis

Da $\vec{F}$ immer senkrecht zu $\vec{v}$ steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die kinetische Energie kann sich daher nicht ändern, und ebenso wenig die Geschwindigkeit: Die Anzeige $|v|$ bleibt bei $1,0\times 10^{6}m/s$. Eine Kraft konstanter Größe, die nur die Geschwindigkeit dreht, ist genau das, was eine gleichförmige Kreisbewegung braucht; die magnetische Kraft wirkt also als Zentripetalkraft der Kreisbewegung:
$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

Löst man nach dem Radius auf und verwendet $T=2\pi r/v$ für die Periodendauer sowie $\omega =2\pi /T$ für die Kreisfrequenz, ergeben sich drei Rechenformeln:

• $r=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• $\omega =\frac{qB}{m}$

Ein schnelleres oder schwereres Teilchen läuft auf einem breiteren Kreis; ein stärkeres Feld oder eine größere Ladung machen ihn enger. Überraschend ist die zweite Zeile: Die Geschwindigkeit hat sich herausgekürzt, daher läuft ein schnelleres Teilchen auf einem größeren Kreis in genau derselben Zeit.

Durchgerechnetes Beispiel: das Proton aus der Animation

Ein Proton hat $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ und $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$. In der Animation bewegt es sich mit $v=1,0\times 10^{6}m/s$ quer durch ein Feld von $B=0,10\mathrm{T}$, also $\sin \theta =1$:
$F=qvB=1,60\times 10^{-19}\cdot 1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1,67\times 10^{-27}\cdot 1,0\times 10^6}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 0,104\mathrm{m}$
$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 6,6\times 10^{-7}\mathrm{s}$

Das sind die Werte der Anzeigen: $F=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, $r=10,4\mathrm{cm}$ und eine konstante $|v|=1,0\times 10^{6}m/s$. Das echte Proton läuft in 0,66 µs einmal um, also etwa 1,5 Millionen Mal pro Sekunde; die Animation, mit 4 s pro Umlauf, ist etwa sechs Millionen Mal verlangsamt.

Die Kraft wirkt winzig, aber die Masse ist noch viel winziger: Die Beschleunigung $F/m\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$ ist etwa $10^{12}$ mal $g$, daher spielt die Schwerkraft keine Rolle. Der blaue Pfeil $v$ bleibt mit fester Länge tangential zum gestrichelten Kreis, während der rote Pfeil $F$ entlang des grauen Radius $r$ zum Mittelpunkt zeigt: Er steht immer im rechten Winkel zu $v$ und verrichtet daher keine Arbeit.

Durchgerechnetes Beispiel: Ionen nach Masse sortieren

Ein Massenspektrometer wiegt Atome anhand der Größe ihrer Kreise. Einfach geladene Neon-Ionen mit $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ verlassen die Quelle mit einer Geschwindigkeitsverteilung; sie durchlaufen daher zuerst einen Geschwindigkeitsfilter, in dem eine elektrische Kraft $qE$ und eine magnetische Kraft $qvB$ in entgegengesetzte Richtungen drücken. Nur Ionen mit $qE=qvB$ fliegen geradeaus durch einen Spalt. Bei 250 V an Platten im Abstand von 1 cm ist $E=2,5\times 10^{4}V/m$, und mit $B=0,25\mathrm{T}$ gilt
$v=\frac{E}{B}=\frac{2,5\times 10^4}{0,25}=1,0\times 10^{5}m/s$

Im selben Feld, ohne die Platten, drehen sich die Ionen dann um einen Halbkreis auf einen Detektor. Neon-20 hat $m=3,32\times 10^{-26}\mathrm{kg}$:
$r_{20}=\frac{mv}{qB}=\frac{3,32\times 10^{-26}\cdot 1,0\times 10^5}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,25}\approx 0,083\mathrm{m}$

Neon-22 ist 10 % schwerer, und bei fester Geschwindigkeit ist $r$ proportional zu $m$, also $r_{22}\approx 0,091\mathrm{m}$. Jedes Ion trifft im Abstand eines Durchmessers vom Spalt auf, bei 16,6 cm und 18,3 cm, sodass die beiden Isotope 1,7 cm voneinander entfernt ankommen. Ohne den Geschwindigkeitsfilter würden sie verschmieren: Ein Neon-20-Ion, das nur 1 % zu schnell ist, landet 1,7 mm weiter außen.

Typische Fehler

• Die Kraft verläuft nicht entlang der Feldlinien, wie es bei einer elektrischen Kraft wäre, sondern senkrecht zu ihnen: Der Schub von $1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$ des Protons zeigt zum Mittelpunkt seines Kreises, nie in den Bildschirm hinein.
• Ein Magnetfeld kann die Geschwindigkeit einer Ladung nicht ändern. Das Proton behält seine $1,0\times 10^{6}m/s$ und seine 5,2 keV kinetische Energie Umlauf für Umlauf; Beschleuniger fügen Energie mit elektrischen Feldern hinzu und lenken nur mit magnetischen.
• Eine schräge Bewegung erfährt weniger Kraft. Bei 30° zum Feld statt 90° würde das Proton nur $8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$ spüren, also die Hälfte.
• Das Vorzeichen der Ladung zählt. Ein Elektron mit derselben Geschwindigkeit wird in die andere Richtung gedrückt und läuft im Uhrzeigersinn auf einem Radius von etwa 0,057 mm, 1836-mal kleiner, entsprechend seiner Masse.

Wo man ihr begegnet

Polarlichter sind der schönste Fall: Geladene Teilchen der Sonne werden entlang der Feldlinien der Erde in die Polarregionen gelenkt, wo sie die obere Atmosphäre zum Leuchten bringen. Krankenhaus-Zyklotrons beschleunigen Protonen, um die Isotope für PET-Untersuchungen herzustellen; Massenspektrometer datieren alten Kohlenstoff und testen Sportler auf Doping; Teilchendetektoren lesen Impulse aus der Krümmung der Spuren ab.

Dieselbe Kraft wirkt auf die Ladungen, die in einem Draht driften. Bewegt sich die Ladung $Q$ in einer Drahtlänge $L$ mit der Geschwindigkeit $v$, so ist der Strom $I=Qv/L$, und die Kräfte addieren sich zu $QvB=BIL$ für einen Draht quer zum Feld: 0,025 N für 5,0 A auf 5,0 cm Draht quer zu 0,10 T. Dieser Schub lässt einen Draht zwischen den Polen eines Hufeisenmagneten springen und treibt jeden Elektromotor an, siehe Motoren, Generatoren und Transformatoren. Bewegt man einen Draht durch ein Feld, werden stattdessen seine Ladungen entlang des Drahts geschoben: der Anfang der Lektion Elektromagnetische Induktion.

Fortgeschritten

Die Lorentzkraft definiert die Felder

Dieser Abschnitt nennt das eine Gesetz, auf dem die ganze Lektion beruht, und zieht seine wichtigste Folgerung: Ein Magnetfeld kann eine Ladung lenken, aber nie beschleunigen. Eine Punktladung $q$, die sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ durch ein elektrisches Feld $\vec{E}$ und ein magnetisches Feld $\vec{B}$ bewegt, spürt die Lorentzkraft
$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

Das Gesetz lässt sich auch rückwärts lesen, als Rezept, beide Felder mit einer Probeladung zu messen. Ruht die Ladung, spürt sie nur $q\vec{E}$, und daraus ergibt sich $\vec{E}$. Bewegt sie sich, spürt sie eine zusätzliche Kraft, die mit ihrer Geschwindigkeit wächst und immer senkrecht zu ihrer Geschwindigkeit steht. Diese zusätzliche Kraft ist null für Bewegung entlang einer bestimmten Linie, und diese Linie ist die Richtung von $\vec{B}$. Für jede andere Geschwindigkeit legt sie den Teil von $\vec{B}$ quer zu $\vec{v}$ fest; eine zweite, nicht parallele Geschwindigkeit liefert den fehlenden Anteil entlang der ersten. Zwei Messungen bestimmen also alle drei Komponenten von $\vec{B}$.

Die Richtung des Schubs ergibt sich aus der Regel für das Vektorprodukt. Mit den Einheitsvektoren $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ entlang der Achsen gilt $\hat{x}\times \hat{y}=\hat{z}$, und dasselbe gilt für die zyklischen Vertauschungen $\hat{y}\times \hat{z}=\hat{x}$ und $\hat{z}\times \hat{x}=\hat{y}$. Eine positive Ladung, die sich entlang $+y$ in einem Feld entlang $+z$ bewegt, wird also entlang $\hat{y}\times \hat{z}=+\hat{x}$ gedrückt.

Nun zur Energie. Eine Kraft ändert die kinetische Energie $K$ mit der Rate $\vec{F}\cdot \vec{v}$, der Leistung, die sie abgibt. Mit der Lorentzkraft gilt
$\frac{dK}{dt}=q\vec{E}\cdot \vec{v}+q\vec{v}\cdot (\vec{v}\times \vec{B})$
Der letzte Term ist null, weil das Vektorprodukt $\vec{v}\times \vec{B}$ senkrecht auf $\vec{v}$ steht. Also gilt $dK/dt=q\vec{E}\cdot \vec{v}$: Nur das elektrische Feld ändert die Energie eines Teilchens, egal wie das Magnetfeld geformt ist. Eine magnetische Kraft kann die Geschwindigkeit drehen, aber nie verlängern oder verkürzen. Wenn ein sich änderndes Magnetfeld Arbeit zu verrichten scheint, wie in einem Transformator, dann leistet die Arbeit das elektrische Feld, das die Änderung induziert.

Kreisbewegung: zwei gekoppelte Oszillatoren

Legende

$C$	Mittelpunkt des Kreises, der Punkt $(x_c,y_c)$.
$r$	Radius des Kreises, $r=mv/(qB)$, von $C$ zum Startpunkt gezeichnet.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Seit dem Start überstrichener Winkel; $\omega =qB/m$ ist die Winkelgeschwindigkeit.	$\mathrm{rad}$
$q$	Ladung des Teilchens, hier ein Proton; der offene Punkt ist der Startpunkt.	$\mathrm{C}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit: tangential zum Kreis, ihre Länge ist die konstante Geschwindigkeit $v$.	$m/s$
$\vec{F}$	Magnetische Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$: senkrecht zu $\vec{v}$, zu $C$ hin.	$\mathrm{N}$
$\vec{B}$	Magnetfeld, homogen und in die Zeichenebene hinein zeigend (die Kreuze).	$\mathrm{T}$
$v_x$	Komponente von $\vec{v}$ entlang $x$, $v\cos \omega t$; im gezeichneten Moment negativ.	$m/s$
$v_y$	Komponente von $\vec{v}$ entlang $y$, $v\sin \omega t$.	$m/s$

Dieser Abschnitt löst die Bewegung in einem homogenen Magnetfeld exakt. Die Methode, die Geschwindigkeit in Komponenten zu zerlegen, die sich gegenseitig antreiben, ist auch für sich allein lehrreich, und das Ergebnis, ein Kreis mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit, liegt allem Folgenden zugrunde.

Abbildung 1 zeigt die Geometrie der Animation. Das Feld zeigt in die Zeichenebene hinein (die Kreuze). Mit $x$ nach rechts, $y$ nach oben und $z$ aus der Zeichenebene heraus gilt $\vec{B}=-B\hat{z}$. Die Kraft steht senkrecht zu $\vec{B}$, daher bekommt das Proton nie eine Geschwindigkeit entlang $z$, und die Bewegung spielt sich in der $xy$-Ebene ab. Links verfolge das Proton mit der Ladung $q$: Es startete am offenen Punkt unten auf dem Kreis mit Bewegung entlang $+x$ und hat sich seitdem um den Winkel $\omega t$ um den Mittelpunkt $C$ gedreht. Seine Geschwindigkeit $\vec{v}$ ist tangential zur Bahn, und die Kraft $\vec{F}$ zeigt entlang des Radius zu $C$. Rechts ist dieselbe $\vec{v}$ von einem festen Punkt aus gezeichnet. Ihre Schatten auf den Achsen, die waagerechten und senkrechten Balken, sind ihre Komponenten $v_x$ und $v_y$. Der Pfeil hat sich um denselben Winkel $\omega t$ von der $v_x$-Achse weggedreht, weil die Geschwindigkeit senkrecht zum Radius bleibt und sich daher genauso schnell dreht wie der Radius.

Nun die Gleichungen. Das zweite newtonsche Gesetz lautet $md\vec{v}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$, mit $m$ der Masse des Protons. Das Vektorprodukt mit $\vec{B}=-B\hat{z}$ ausgerechnet ergibt $\vec{v}\times \vec{B}=B(-v_y,v_x,0)$. Dividiert man durch $m$ und schreibt $\omega =qB/m$, lauten die beiden Komponenten des Gesetzes
${\dot{v}}_x=-\omega v_y,{\dot{v}}_y=\omega v_x$
wobei ein Punkt die Ableitung nach der Zeit bedeutet.

Jede Komponente treibt die andere an: $v_y$ bestimmt, wie schnell sich $v_x$ ändert, und $v_x$ bestimmt, wie schnell sich $v_y$ ändert. Um sie zu trennen, leite die erste Gleichung noch einmal ab und ersetze ${\dot{v}}_y$ durch die zweite:
${\ddot{v}}_x=-\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$
Dies ist die Gleichung der harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz $\omega$, und dieselben Schritte liefern sie für $v_y$. Die Anfangsbedingungen wählen die Lösung aus. Zur Zeit $t=0$ bewegt sich das Proton mit seiner vollen Geschwindigkeit $v$ entlang $+x$, also $v_x=v$ und $v_y=0$, somit
$v_x=v\cos \omega t,v_y=v\sin \omega t$
Das sind die beiden Balken rechts in Abbildung 1. Eine weitere Integration ergibt die Position:
$x=x_c+\frac{v}{\omega }\sin \omega t,y=y_c-\frac{v}{\omega }\cos \omega t$
Die Konstanten $(x_c,y_c)$ sind der Punkt $C$. Zur Zeit $t=0$ setzen diese Formeln das Proton auf $y=y_c-v/\omega$, direkt unter $C$, wie in der Abbildung. Die Bahn ist ein Kreis mit dem Radius
$r=\frac{v}{\omega }=\frac{mv}{qB}$
der für $q>0$ gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Für eine negative Ladung ist $\omega$ negativ, und dieselben Formeln beschreiben einen Kreis im Uhrzeigersinn mit dem Radius $|mv/(qB)|$.

Komplexe Zahlen machen die Lösung kürzer. Fasse die beiden Komponenten zu einer komplexen Zahl $w=v_x+i{v}_y$ zusammen. Das Gleichungspaar wird zu der einen Gleichung $\dot{w}=i\omega w$, deren Lösung $w=v{e}^{i\omega t}$ ist: ein Pfeil fester Länge $v$, der sich mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit $\omega$ dreht, genau der Pfeil rechts in Abbildung 1. In der Vektorsprache lautet dieselbe Aussage $\dot{\vec{v}}=\vec{\omega }\times \vec{v}$ mit $\vec{\omega }=-q\vec{B}/m$: Die Geschwindigkeit dreht sich (präzediert) um die Feldrichtung mit der Rate $qB/m$. Für $q>0$ zeigt der Drehvektor $\vec{\omega }$ entgegen $\vec{B}$, hier aus der Zeichenebene heraus, und eine Drehung, deren Vektor auf den Betrachter zeigt, sieht gegen den Uhrzeigersinn aus. Deshalb kreist das Proton gegen den Uhrzeigersinn in einem Feld, das von dir weg zeigt.

Die Geschwindigkeitsdiagramme lesen

Legende

$v$	Amplitude beider Kurven: die konstante Geschwindigkeit.	$m/s$
$t$	Zeit, vom Start an gemessen.	$\mathrm{s}$
$T/4$	Ein Viertel der Periode: $v_y$ hat ein Maximum, während $v_x$ die Null kreuzt.	$\mathrm{s}$
$T$	Periodendauer eines vollen Umlaufs, $T=2\pi m/(qB)$.	$\mathrm{s}$
$v_x$	Geschwindigkeitskomponente entlang $x$, $v\cos \omega t$.	$m/s$
$v_y$	Geschwindigkeitskomponente entlang $y$, $v\sin \omega t$.	$m/s$
$\omega v$	Steigung von $v_y$ bei $t=0$, ihr steilster Wert: gleich der Beschleunigung $F/m$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

Die Graphen von $v_x$ und $v_y$ gegen die Zeit enthalten die ganze Bewegung: Die konstante Geschwindigkeit, die Periodendauer und die Kraft lassen sich alle aus ihnen ablesen. Abbildung 2 zeigt die Graphen der Ebene „Fortgeschritten“ der Animation über eine Periode $T$, die Zeit eines vollen Umlaufs.

Beginne mit den Formen. Die blaue Kurve $v_x$ ist ein Kosinus und die grüne Kurve $v_y$ ein Sinus, beide mit der Amplitude $v=1,0\times 10^{6}m/s$, der Geschwindigkeit des Protons. Sie liegen um eine Viertelperiode $T/4$ auseinander: 1 s in der verlangsamten Animation, 0,16 µs in Wirklichkeit. Wo eine Kurve die Null durchquert, befindet sich die andere in einem Maximum oder Minimum, wie an der gestrichelten Linie bei $T/4$. Zu jedem Zeitpunkt gilt $v_x^2+v_y^2=10^{12}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, weil ${\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t=1$. Beide Komponenten ändern sich ständig, der Betrag der Geschwindigkeit dagegen nie.

Dann die Steigungen. Die Steigung eines Geschwindigkeitsgraphen ist eine Beschleunigung, und nach dem zweiten newtonschen Gesetz ist sie die Kraft geteilt durch die Masse. Bei $t=0$ liegt $v_x$ im Maximum, wo sein Graph flach verläuft, während $v_y$ die Null mit der steilsten Steigung durchquert, die rote Linie in Abbildung 2. Diese Steigung ist
$\omega v\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$
mit $\omega =qB/m\approx 9,6\times 10^{6}rad/s$ für ein Proton im Feld von 0,10 T der Animation. Da sich $v_x$ in diesem Moment nicht ändert, ist dies die gesamte Beschleunigung $F/m$. Sie zeigt entlang $+y$, direkt zum Mittelpunkt, der über dem Startpunkt liegt. Eine Viertelumdrehung später sind die Rollen vertauscht: $v_x$ ist am steilsten und $v_y$ flach, weil sich die Beschleunigung mit dem Radius gedreht hat und nun entlang $-x$ zeigt.

Die Periodendauer hängt nicht von der Geschwindigkeit ab. Das lila Proton der Animation startet vom selben Punkt mit $1,5v$ und durchläuft einen Kreis mit dem Radius 15,7 cm statt 10,4 cm. Seine Komponenten sind dieselben Sinusfunktionen mit 1,5-facher Amplitude und derselben Periode, es kehrt also im selben Moment zum Start zurück wie das rote Proton. Das ist der Inhalt von
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$
in dem sich die Geschwindigkeit herausgekürzt hat. In 0,10 T braucht jedes Proton, das deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegt, 0,66 µs pro Umlauf, unabhängig von der Größe seiner Bahn.

Schraubenlinien und magnetische Spiegel

Legende

$\theta$	Winkel zwischen Startgeschwindigkeit und $\vec{B}$; hier $60^{\circ }$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit am Start; ihre Länge ist die konstante Geschwindigkeit $v$.	$m/s$
$v_{\perp }$	Anteil von $\vec{v}$ quer zu $\vec{B}$, $v\sin \theta$: er dreht sich im Kreis.	$m/s$
$v_{\parallel }$	Anteil von $\vec{v}$ entlang $\vec{B}$, $v\cos \theta$: er spürt keine Kraft und ändert sich nie.	$m/s$
$r$	Radius des Kreises, $r=m{v}_{\perp }/(qB)$.	$\mathrm{m}$
$h$	Ganghöhe der Schraube: der Weg entlang $\vec{B}$ in einer Periode $T$, $h=v_{\parallel }T$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Magnetfeld, hier nach oben zeigend.	$\mathrm{T}$

Bisher lag die Geschwindigkeit quer zum Feld. Dieser Abschnitt behandelt den allgemeinen Fall, eine Geschwindigkeit in beliebigem Winkel zu $\vec{B}$, so wie geladene Teilchen tatsächlich im Erdmagnetfeld ankommen oder sich in einem Plasma bewegen.

Abbildung 3 zeigt das Ergebnis. Links bildet die Anfangsgeschwindigkeit $\vec{v}$ mit $\vec{B}$ den Winkel $\theta$, hier $60^{\circ }$, und wird in zwei Teile zerlegt: $v_{\parallel }=v\cos \theta$ entlang des Feldes und $v_{\perp }=v\sin \theta$ quer dazu. Die beiden Teile verhalten sich ganz unterschiedlich. Die Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ steht immer senkrecht auf $\vec{B}$, hat also keine Komponente entlang des Feldes, und $v_{\parallel }$ ändert sich nie. Da das Vektorprodukt paralleler Vektoren null ist, trägt $v_{\parallel }$ außerdem nichts zur Kraft bei: Die Kraft hängt allein von $v_{\perp }$ ab. So verhält sich $v_{\perp }$ genau wie in den vorherigen Abschnitten. Es dreht sich auf einem Kreis mit dem Radius $r=m{v}_{\perp }/(qB)$, der am Fuß der Schraubenlinie gezeichnet ist, in derselben Periode $T$.

Beides zusammen: Der Kreis wird gleichmäßig entlang des Feldes mitgetragen, und die Bahn ist eine Schraubenlinie. Verfolge sie im Bild nach oben. Jeder Umlauf dauert die Periode $T$, und in dieser Zeit schreitet das Proton entlang $\vec{B}$ um die Ganghöhe
$h=v_{\parallel }T=2\pi r\cot \theta$
voran. Die zweite Form folgt aus $T=2\pi r/v_{\perp }$ und $v_{\parallel }/v_{\perp }=\cot \theta$. Bei $60^{\circ }$ ist die Ganghöhe etwa das 3,6-Fache des Radius. Für das Proton der Animation, gestartet mit $1,0\times 10^{6}m/s$ unter 60° zum Feld von 0,10 T, ergibt $v_{\perp }=8,7\times 10^{5}m/s$ einen Kreis mit dem Radius 9,0 cm, und $v_{\parallel }=5,0\times 10^{5}m/s$ trägt es pro Umlauf 33 cm entlang des Feldes weiter.

Reale Felder sind selten homogen. Angenommen, $B$ wächst langsam entlang der Feldlinien und ändert sich während eines Umlaufs kaum. Dann bleibt die Größe $m{v}_{\perp }^2/(2B)$ nahezu konstant, also die kinetische Energie der Kreisbewegung geteilt durch $B$. Gelangt das Proton in ein stärkeres Feld, muss $v_{\perp }^2$ deshalb proportional zu $B$ wachsen. Die Gesamtgeschwindigkeit kann sich nicht ändern, daher schrumpft $v_{\parallel }$, um Platz zu machen: Die Schraubenlinie wird enger, und dort, wo $v_{\perp }$ größer als $v$ werden müsste, hört das Proton auf voranzukommen und kehrt um. Ein Bereich starken Feldes wirkt wie ein Spiegel. Die Feldlinien der Erde drängen sich in der Nähe der Pole zusammen, daher prallen Protonen und Elektronen zwischen den Hemisphären hin und her, gefangen in den Strahlungsgürteln der Erde.

Impuls bei jeder Geschwindigkeit

Die bisherigen Beziehungen wurden für langsame Teilchen hergeleitet. Dieser kurze Abschnitt zeigt, welche davon bei hoher Geschwindigkeit gelten. Da die magnetische Kraft die Geschwindigkeit nie ändert, dreht sie nur den Impuls $\vec{p}$, und das newtonsche Gesetz in der Form $d\vec{p}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$ gilt bei jeder Geschwindigkeit. Für Bewegung quer zum Feld ergibt es einen Kreis mit
$p=qBr$
wobei $p=\gamma mv$ der relativistische Impuls, $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ der Lorentz-Faktor und $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Da die Geschwindigkeit konstant ist, ist auch $\gamma$ konstant, und die Schritte der vorherigen Abschnitte gehen unverändert durch, wenn $m$ durch $\gamma m$ ersetzt wird.

In praktischen Einheiten gehört eine Bahn mit dem Radius 1 m in einem Feld von 1 T zu einem einfach geladenen Teilchen mit dem Impuls 0,30 GeV/c. Was sich bei hoher Energie ändert, ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega =qB/(\gamma m)$, die mit wachsender Energie sinkt. Das Zyklotron unten muss genau damit umgehen.

Gekreuzte Felder: die Drift

Fügt man ein gleichförmiges elektrisches Feld $\vec{E}$ im rechten Winkel zu $\vec{B}$ hinzu, schließen sich die Kreise nicht mehr: Sie gleiten seitlich weg. Dieser Fall ist wichtig, weil er zeigt, wie ein Wechsel des Bezugssystems ein elektrisches Feld beseitigen kann, und weil er das Prinzip des Geschwindigkeitsfilters ist.

Der Trick besteht darin, aus einem Bezugssystem zu beobachten, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit
${\vec{v}}_d=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{B^2}$
bewegt. Bei kleiner Geschwindigkeit misst ein Beobachter, der sich mit ${\vec{v}}_d$ bewegt, das elektrische Feld ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+{\vec{v}}_d\times \vec{B}$. Steht $\vec{E}$ senkrecht auf $\vec{B}$, gilt $(\vec{E}\times \vec{B})\times \vec{B}=-B^2\vec{E}$, der zweite Term ist also genau $-\vec{E}$, und ${\vec{E}}^{\prime }=0$. In diesem Bezugssystem bleibt nur $\vec{B}$ übrig, und das Teilchen läuft einen gewöhnlichen Kreis. Im Laborsystem wird dieser Kreis mit der Driftgeschwindigkeit $v_d=E/B$ mitgetragen. Die Drift enthält weder $q$ noch $m$, daher driftet jedes Teilchen, gleich welchen Vorzeichens und welcher Masse, auf dieselbe Weise mit derselben Geschwindigkeit. Die exakte relativistische Behandlung liefert dasselbe Ergebnis, sofern $E<cB$ gilt, damit $v_d$ unter der Lichtgeschwindigkeit bleibt.

Mit $E=1,0\times 10^{4}V/m$ im Feld von 0,10 T der Animation beträgt die Driftgeschwindigkeit $1,0\times 10^{5}m/s$, und die Schleifen des Protons wandern pro Umlauf $v_{d}T=6,6\mathrm{cm}$ weiter. Ein Geschwindigkeitsfilter nutzt dasselbe Gleichgewicht: Ein Teilchen, das genau mit ${\vec{v}}_d$ startet, spürt elektrische und magnetische Kräfte, die sich aufheben, und fliegt daher geradeaus, während schnellere und langsamere Teilchen abgelenkt werden.

Durchgerechnete Aufgabe: ein kleines Zyklotron

Legende

$R$	Radius der Elektroden: die größte Bahn, an der die Protonen austreten.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Magnetfeld, das durch beide Elektroden in die Zeichenebene hinein zeigt.	$\mathrm{T}$
$V$	Wechselspannung zwischen den beiden Elektroden über dem Spalt.	$\mathrm{V}$
$q$	Ladung des Protons, am Startpunkt gezeigt.	$\mathrm{C}$

Ein Zyklotron nutzt die Geschwindigkeitsunabhängigkeit der Periodendauer aus. Da jedes Proton in einem gegebenen Feld für einen Umlauf dieselbe Zeit braucht, kann eine Wechselspannung mit einer festen Frequenz es immer wieder anstoßen, unabhängig von seiner Energie.

Abbildung 4 zeigt die Maschine von oben. Zwei hohle D-förmige Elektroden mit dem Radius $R$ liegen sich über einen schmalen Spalt gegenüber. Das Feld $\vec{B}$ zeigt durch beide hindurch in die Zeichenebene hinein, und eine Wechselspannungsquelle $V$ ist an die beiden Elektroden angeschlossen. Das Proton $q$ startet in der Mitte. Innerhalb einer hohlen Elektrode gibt es kein elektrisches Feld, nur $\vec{B}$, daher läuft das Proton einen Halbkreis und kehrt zum Spalt zurück. Hat die Spannung bis dahin umgepolt, stößt sie das Proton über den Spalt und fügt die Energie $qV$ hinzu. Ein schnelleres Proton läuft einen größeren Halbkreis, daher spiralt sich die Bahn nach außen, bis sie den Rand bei $R$ erreicht, wo die Protonen austreten. Die Zeichnung zeigt nur vier Umläufe; die Maschine unten braucht 30.

Die Aufgabe. Ein kleines Zyklotron nutzt das Feld der Animation, $B=0,10\mathrm{T}$, mit Elektroden vom Radius $R=0,50\mathrm{m}$ und einer Wechselspannung mit der Amplitude 2,0 kV über dem Spalt. Protonen starten nahe der Mitte, fast in Ruhe. Mit welcher Frequenz muss die Spannung wechseln, welche Energie erreichen die Protonen, und nach wie vielen Umläufen? Verwende $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ und $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$.

Schritt 1, die Frequenz. Jedes Proton quert den Spalt zweimal pro Umlauf und muss jedes Mal eine umgepolte Spannung vorfinden. Die Spannung muss also pro Umlauf des Protons genau einen vollen Zyklus durchlaufen: Sie wechselt mit der Zyklotronfrequenz
$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,52\mathrm{MHz}$

Schritt 2, die Endenergie. Die letzte Bahn hat den Radius $R$, daher verlassen die Protonen die Maschine mit dem Impuls, den $p=qBR$ liefert,
$p=qBR=1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10\cdot 0,50=8,0\times 10^{-21}\mathrm{kg}\cdot m/s$
und der kinetischen Energie
$K=\frac{p^2}{2m}=\frac{(8,0\times 10^{-21}{)}^2}{2\cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,92\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 120\mathrm{keV}$
mit $1\mathrm{eV}=1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Das ist eine Geschwindigkeit $p/m=4,8\times 10^{6}m/s$, 1,6 % der Lichtgeschwindigkeit. Die Spannung taucht in diesem Ergebnis nicht auf: Die Endenergie wird allein von $B$ und $R$ bestimmt, und die Spannung entscheidet nur, wie viele Umläufe nötig sind, um sie zu erreichen.

Schritt 3, die Anzahl der Umläufe. Ein Proton, das im Spannungsmaximum den Spalt quert, gewinnt 2,0 keV pro Querung, also 4,0 keV pro Umlauf. Es braucht $120/4,0=30$ Umläufe, die 30 Perioden dauern, etwa 20 µs. Da $K$ in gleichen Schritten wächst und $K\propto r^2$ gilt, ist der Radius nach $n$ Umläufen $R\sqrt{n/30}$: 9,1 cm nach einem Umlauf, 18,3 cm nach vier, 27,4 cm nach neun. Der 10,4-cm-Kreis der Animation, bei 5,2 keV, liegt zwischen dem ersten und dem zweiten Umlauf.

Wo der Entwurf an seine Grenzen stößt. Die Maschine beruht darauf, dass jeder halbe Umlauf dieselben 0,33 µs dauert. Die Relativität verdirbt das langsam, denn die wahre Umlauffrequenz ist $qB/(2\pi \gamma m)$, und für eine kinetische Energie $K$ gilt $\gamma =1+K/(m{c}^2)$, wobei die Ruheenergie $m{c}^2$ des Protons 938 MeV beträgt. Bei 120 keV ist $\gamma \approx 1,00013$, und die Frequenz sinkt um harmlose 0,013 %. Bei 20 MeV läge sie um 2,1 % zu tief. Ein Proton, das mit dieser Energie umläuft, bliebe innerhalb von etwa 24 Umläufen um eine halbe Periode hinter der Spannung zurück und käme genau dann am Spalt an, wenn die Spannung es bremst. Zyklotrons für höhere Energien senken daher die Frequenz, während die Protonen Energie gewinnen, oder lassen das Feld zum Rand hin wachsen, sodass $\gamma m/B$ und mit ihm die Periodendauer konstant bleibt.

Elektrisch oder magnetisch: eine Frage des Bezugssystems

Ob eine Kraft als elektrisch oder als magnetisch gilt, hängt davon ab, wer hinschaut. Dieser Abschnitt zeigt das am Proton der Animation.

Im Laborsystem spürt das Proton nur eine magnetische Kraft. Betrachte es nun aus seinem momentanen Ruhesystem, einem Bezugssystem, das sich in diesem Augenblick mit ihm bewegt. Dort hat das Proton keine Geschwindigkeit, daher kann die Kraft auf es nicht magnetisch sein. Trotzdem ist die Kraft real, und bei kleiner Geschwindigkeit ist sie in beiden Bezugssystemen gleich; dieser Beobachter muss also ein elektrisches Feld sehen,
${\vec{E}}^{\prime }\approx \vec{v}\times \vec{B}(v\ll c)$
Für die Zahlen der Animation beträgt seine Stärke $vB=1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,0\times 10^{5}V/m$, und $q{E}^{\prime }=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$ ist genau die magnetische Kraft $qvB$, die im Labor gemessen wird. Ein reines Magnetfeld in einem Bezugssystem ist in einem anderen eine Mischung aus elektrischem und magnetischem Feld. Keines der beiden Felder ist für jeden Beobachter dasselbe; nur das elektromagnetische Feld als Ganzes ist es.

Die Relativitätstheorie macht das exakt. Beim Wechsel des Bezugssystems gehen die beiden Felder ineinander über, doch zwei Kombinationen aus ihnen haben für jeden Inertialbeobachter denselben Wert:
$E^2-c^2{B}^2\text{and}\vec{E}\cdot \vec{B}$
Diese Invarianten legen fest, was ein Bezugswechsel kann und was nicht. Ein rein magnetisches Feld hat $E^2-c^2{B}^2<0$, und da dieses Vorzeichen in jedem Bezugssystem gleich ist, kann kein Beobachter das Feld als rein elektrisch sehen. Gekreuzte Felder mit $E<cB$ haben ebenfalls $E^2-c^2{B}^2<0$ und $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$, sie lassen sich also immer auf ein reines Magnetfeld reduzieren: Das ist das Driftsystem aus dem Abschnitt über gekreuzte Felder.

Grenzen der Gültigkeit

Alle obigen Ergebnisse behandeln das Proton als klassische Punktladung, die sich im Vakuum bewegt und keine Energie verliert. Dieser Abschnitt prüft jede dieser Annahmen mit Zahlen.

Strahlung. Eine beschleunigte Ladung strahlt, und eine Ladung, die einen Kreis durchläuft, wird stets beschleunigt. Bei kleiner Geschwindigkeit ist die abgestrahlte Leistung durch Larmors Formel gegeben,
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$
wobei $a$ die Beschleunigung und ${\epsilon }_0$ die Permittivität des freien Raums ist. Für das Proton der Animation mit $a\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$ beträgt dies etwa $5\times 10^{-28}\mathrm{W}$. Über einen Umlauf verliert es $4\times 10^{-19}$ seiner Energie, sein Kreis ist also für alle praktischen Zwecke exakt.

Der Verlust ist nicht immer klein. Bei Teilchen gleicher Energie auf Kreisen gleichen Radius wächst der Verlust pro Umlauf mit der inversen vierten Potenz der Masse, leichte Teilchen strahlen also weit stärker. Elektronen in einem 3-GeV-Speicherring, der sie auf einem Radius von 7 m ablenkt, verlieren als Synchrotronstrahlung etwa 1 MeV pro Umlauf, und solche Ringe werden gebaut, um sie als starke Röntgenquelle zu nutzen. Ein Proton ist 1836-mal schwerer als ein Elektron, und $1836^4\approx 10^{13}$, daher verlieren Protonen selbst im Large Hadron Collider nur wenig, wo 7-TeV-Protonen in Magneten mit 8,3 T auf einem Radius $p/(qB)\approx 2,8\mathrm{km}$ gebogen werden.

Relativität. Bei $1,0\times 10^{6}m/s$ gilt $\gamma -1\approx v^2/(2c^2)=5,6\times 10^{-6}$, daher sind die nichtrelativistischen Formeln ausgezeichnet. Allgemein ersetzt man $mv$ durch $p$ und $m$ durch $\gamma m$, wie im Abschnitt über den Impuls.

Quantenmechanik. In der Quantentheorie kann die Kreisbewegung nur bestimmte Energien haben, die Landau-Niveaus im Abstand $\hslash \omega$, wobei $\hslash$ die reduzierte Planck-Konstante ist. Für das Proton der Animation beträgt der Abstand etwa $6\times 10^{-9}\mathrm{eV}$, also $10^{-12}$ seiner 5,2 keV, viel zu fein, um ihn zu bemerken. Für ein Elektron in 10 T beträgt er 1,2 meV, mehr als das Zehnfache der typischen thermischen Energie bei 1 K, und dort zeigt sich die Quantisierung, am eindrucksvollsten im Quanten-Hall-Effekt.

Das Vakuum. Schließlich setzt all dies ein Vakuum voraus. In Luft würden Stöße mit Molekülen ein 5-keV-Proton stoppen, lange bevor es einen Umlauf vollendet, deshalb werden Zyklotrons und Speicherringe leergepumpt.

Wohin das führt

Die Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ durchzieht den Rest der Elektrodynamik. Bewegt man einen Metallstab der Länge $L$ mit der Geschwindigkeit $v$ quer durch ein Feld, treibt die Kraft seine freien Ladungen entlang des Stabes: Das ist die EMK $\epsilon =BLv$ aus der Lektion Elektromagnetische Induktion. Über alle bewegten Ladungen in einem Draht mit dem Strom $I$ summiert, ergibt dieselbe Kraft $F=BIL\sin \theta$ auf einer Drahtlänge $L$ unter dem Winkel $\theta$ zum Feld, sowie das Drehmoment auf eine Spule: die Themen der Lektion Motoren, Generatoren und Transformatoren.

In einem Leiter, der einen Strom quer zu einem Feld führt, türmt der seitliche Schub Ladung an einer Kante auf, bis das elektrische Feld dieser Ladung ihn ausgleicht. Das Vorzeichen der entstehenden Hall-Spannung verrät, ob die Ladungsträger Elektronen oder Löcher sind, wie in Halbleiter, Dioden und LEDs; Hall-Sensoren messen Magnetfelder in Handys und Autos.

Die Bezugssystem-Abhängigkeit von $\vec{E}$ und $\vec{B}$ gehört zur Lektion Spezielle Relativitätstheorie, und zeitlich veränderliche Felder, die einander gegenseitig erzeugen, bilden die Lektion Elektromagnetische Wellen. Schließlich ist $p=qBr$ die Art, wie Teilchenimpulse gemessen werden, in Teilchen und Kräfte: das Standardmodell, von den Spiralen in Blasenkammer-Aufnahmen bis zu den Detektoren des Large Hadron Collider.