Fuerza magnética sobre cargas en movimiento

Principiante

Coloca un cable atravesando el hueco de un imán de herradura y haz pasar una corriente: el cable da un salto de lado, hacia fuera del hueco o más hacia dentro. Invierte la corriente y salta al otro lado. Si además das la vuelta al imán, vuelve a saltar como la primera vez.

¿Por qué ocurre? Una corriente no es más que cargas eléctricas en movimiento. El imán empuja cada una de esas cargas en movimiento y, como no pueden salir del cable, lo arrastran con ellas. Una carga quieta junto a un imán no nota nada: el empujón solo aparece cuando la carga se mueve.

Lo sorprendente es la dirección del empujón. Nunca va a lo largo del movimiento: actúa de lado, perpendicular a la vez a la dirección en que va la carga y al campo magnético. Un empujón lateral no puede hacer que algo vaya más rápido ni más despacio; solo puede hacerlo girar, como la cuerda con la que haces girar una pelota sobre tu cabeza. Por eso una carga que vuela libre por el campo de un imán no deja de girar, y su camino se curva en una circunferencia.

Eso es lo que muestra la animación. Las × grises representan un campo magnético que entra en la pantalla. Sigue la carga roja: la flecha azul indica hacia dónde va y la flecha roja muestra el empujón. El empujón siempre apunta al centro de la circunferencia, y la carga nunca acelera ni frena.

El mismo empujón guía las partículas que llegan del Sol hacia los polos de la Tierra, donde encienden el cielo en auroras, y enormes anillos de imanes mantienen las partículas girando en los aceleradores.

Ponte a prueba: un electrón está quieto entre los polos de un imán potente. ¿Qué fuerza magnética actúa sobre él? (Ninguna: solo la sienten las cargas en movimiento.)

Intermedio

Carga, velocidad y campo

Tres cosas determinan la fuerza magnética sobre una partícula: su carga $q$, en culombios y con su signo ($+1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ para un protón); su velocidad $\vec{v}$, con su dirección; y el campo magnético $\vec{B}$ en el lugar donde está la partícula, que se mide en teslas (T). El tesla es una unidad grande: el campo terrestre vale entre 25 y 65 µT, un imán de nevera da unos pocos militeslas y un equipo de resonancia magnética, entre 1,5 y 3 T. La animación usa $B=0,10\mathrm{T}$, más o menos el campo entre los polos de un buen imán de herradura.

En los diagramas planos, una cruz × es la cola de una flecha que se aleja de ti, así que las cruces grises de la animación indican un campo que entra en la pantalla; un punto • es la punta de una flecha que viene hacia ti, es decir, un campo que sale de la pantalla. El ángulo $\theta$ se mide entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$; el protón se mueve siempre en perpendicular al campo, así que $\theta =90^{\circ }$ en todo momento.

El módulo de la fuerza

Los experimentos con haces de partículas muestran que la fuerza es proporcional a la carga, a la rapidez y al campo, y que depende del ángulo entre el movimiento y el campo:
$F=qvB\mathrm{sen}\theta$

Solo cuenta la parte de la velocidad que cruza las líneas de campo, $v\mathrm{sen}\theta$. Una carga que se mueve a lo largo de las líneas de campo no nota nada; una que las cruza en ángulo recto nota la fuerza máxima, $F=qvB$, y a 30° siente la mitad. Para una carga negativa se usa el valor absoluto de $q$: el signo solo cambia el sentido.

Una carga en reposo no siente ninguna fuerza magnética, por potente que sea el imán: esa es la diferencia más tajante con un campo eléctrico. La regla también define el tesla: 1 T ejerce una fuerza de 1 N sobre 1 C que lo cruza a 1 m/s, de modo que $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}\cdot s/(\mathrm{C}\cdot \mathrm{m})=1N/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{m})$.

Cómo leer el diagrama: la regla de la mano derecha

La fuerza es perpendicular tanto a la velocidad como al campo. Su módulo y su sentido caben en una sola ecuación vectorial:
$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

El producto vectorial $\vec{v}\times \vec{B}$ tiene módulo $vB\mathrm{sen}\theta$, y su sentido lo da la regla de la mano derecha: pon los dedos de la mano derecha en el sentido de $\vec{v}$, dóblalos hacia $\vec{B}$ y el pulgar señala la fuerza sobre una carga positiva. El orden importa, porque $\vec{B}\times \vec{v}$ apunta al revés.

Pruébalo con la animación. En la parte inferior de la circunferencia, el protón se mueve hacia la derecha y el campo entra en la pantalla, así que el pulgar apunta hacia arriba, hacia el centro, igual que la flecha roja $F$: el protón gira en sentido antihorario. Si inviertes el campo o la velocidad, la fuerza se invierte; si inviertes ambos, queda igual.

Sin trabajo, la trayectoria es una circunferencia

Como $\vec{F}$ es siempre perpendicular a $\vec{v}$, no realiza trabajo. La energía cinética no puede cambiar y, por tanto, tampoco la rapidez: la lectura de $|v|$ se mantiene en $1,0\times 10^{6}m/s$. Una fuerza de módulo fijo que solo hace girar la velocidad es justo lo que necesita el movimiento circular uniforme, así que la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta, como en Movimiento circular:
$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

Al despejar el radio, y usar $T=2\pi r/v$ para el periodo y $\omega =2\pi /T$ para la frecuencia angular, se obtienen tres fórmulas de trabajo:

• $r=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• $\omega =\frac{qB}{m}$

Una partícula más rápida o más pesada describe una circunferencia mayor; un campo más intenso o una carga mayor, una más cerrada. La sorpresa está en la segunda fórmula: la rapidez se ha cancelado, de modo que una partícula más rápida recorre una circunferencia mayor exactamente en el mismo tiempo.

Ejemplo resuelto: el protón de la animación

Un protón tiene $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ y $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$. En la animación se mueve a $v=1,0\times 10^{6}m/s$, justo en perpendicular a un campo de $B=0,10\mathrm{T}$, así que $\mathrm{sen}\theta =1$:
$F=qvB=1,60\times 10^{-19}\cdot 1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1,67\times 10^{-27}\cdot 1,0\times 10^6}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 0,104\mathrm{m}$
$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 6,6\times 10^{-7}\mathrm{s}$

Son los valores de las lecturas: $F=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, $r=10,4\mathrm{cm}$ y un $|v|=1,0\times 10^{6}m/s$ constante. El protón real da una vuelta en 0,66 µs, es decir, unos 1,5 millones de veces por segundo; la animación, a 4 s por vuelta, está ralentizada unos seis millones de veces.

La fuerza parece minúscula, pero la masa lo es mucho más: la aceleración $F/m\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$ es unas $10^{12}$ veces $g$, así que la gravedad no interviene. La flecha azul $v$ se mantiene tangente a la circunferencia discontinua, con longitud fija, mientras que la flecha roja $F$ va a lo largo del radio gris $r$ y apunta al centro: al formar siempre 90° con $v$, no realiza trabajo.

Ejemplo resuelto: clasificar iones por su masa

Un espectrómetro de masas pesa los átomos por el tamaño de sus circunferencias. Unos iones de neón ionizados una sola vez, con $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$, salen de la fuente con rapideces muy distintas, así que primero atraviesan un selector de velocidades, donde una fuerza eléctrica $qE$ y una magnética $qvB$ empujan en sentidos opuestos. Solo los iones con $qE=qvB$ siguen recto y pasan por una rendija. Con 250 V entre placas separadas 1 cm, $E=2,5\times 10^{4}V/m$ y, con $B=0,25\mathrm{T}$,
$v=\frac{E}{B}=\frac{2,5\times 10^4}{0,25}=1,0\times 10^{5}m/s$

En el mismo campo, pero sin las placas, los iones describen entonces media circunferencia hasta un detector. El neón-20 tiene $m=3,32\times 10^{-26}\mathrm{kg}$:
$r_{20}=\frac{mv}{qB}=\frac{3,32\times 10^{-26}\cdot 1,0\times 10^5}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,25}\approx 0,083\mathrm{m}$

El neón-22 es un 10 % más pesado y, a rapidez fija, $r$ es proporcional a $m$, de modo que $r_{22}\approx 0,091\mathrm{m}$. Cada ion cae a un diámetro de distancia de la rendija, a 16,6 cm y a 18,3 cm, de modo que los dos isótopos quedan separados 1,7 cm. Sin el selector se difuminarían: un ion de neón-20 solo un 1 % demasiado rápido cae 1,7 mm más lejos.

Errores frecuentes

• La fuerza no va a lo largo de las líneas de campo, como lo haría una fuerza eléctrica, sino en ángulo recto con ellas: el protón recibe su empujón de $1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$ hacia el centro de su circunferencia, nunca hacia dentro de la pantalla.
• Un campo magnético no puede cambiar la rapidez de una carga. El protón conserva sus $1,0\times 10^{6}m/s$ y sus 5,2 keV de energía cinética vuelta tras vuelta; los aceleradores aportan energía con campos eléctricos y solo orientan con los magnéticos.
• Un movimiento oblicuo recibe menos fuerza. A 30° del campo en lugar de 90°, el protón sentiría solo $8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$, la mitad.
• El signo de la carga importa. Un electrón con la misma rapidez es empujado hacia el otro lado y gira en sentido horario, en un radio de unos 0,057 mm, 1836 veces menor, igual que su masa.

Dónde aparece

Las auroras son el caso más hermoso: las partículas cargadas del Sol son guiadas por las líneas del campo terrestre hasta las regiones polares, donde hacen brillar la alta atmósfera. Los ciclotrones de los hospitales aceleran protones para fabricar los isótopos que se usan en las tomografías PET, los espectrómetros de masas ayudan a datar restos antiguos con carbono-14 y a detectar dopaje en deportistas, y los detectores de partículas leen las cantidades de movimiento a partir de la curvatura de las trazas.

La misma fuerza actúa sobre las cargas que avanzan por un cable. Si la carga móvil $Q$ de un tramo de longitud $L$ de cable avanza con una rapidez $v$, la corriente es $I=Qv/L$ y las fuerzas se suman en $QvB=BIL$ para un cable perpendicular al campo: 0,025 N para 5,0 A en 5,0 cm de cable situado en un campo de 0,10 T. Este empujón hace saltar un cable entre los polos de un imán de herradura y hace girar todos los motores eléctricos, tema de Motores, generadores y transformadores. Y si se mueve un cable a través de un campo, lo que se empuja a lo largo de él son sus cargas: el comienzo de Inducción electromagnética.

Avanzado

La fuerza de Lorentz define los campos

Esta sección enuncia la ley en la que se apoya toda la lección y extrae su consecuencia más importante: un campo magnético puede desviar una carga, pero nunca aumentar su rapidez. Una carga puntual $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ a través de un campo eléctrico $\vec{E}$ y un campo magnético $\vec{B}$ siente la fuerza de Lorentz
$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

La ley puede leerse al revés, como una receta para medir ambos campos con una carga de prueba. Quieta, la carga solo siente $q\vec{E}$, y eso da $\vec{E}$. Puesta en movimiento, siente una fuerza adicional que crece con su rapidez y apunta siempre en ángulo recto con su velocidad. Esta fuerza adicional es nula para el movimiento a lo largo de una recta determinada, y esa recta es la dirección de $\vec{B}$. Para cualquier otra velocidad, fija la parte de $\vec{B}$ transversal a $\vec{v}$; una segunda velocidad, no paralela a la primera, aporta la parte que falta a lo largo de la primera. Dos medidas bastan, por tanto, para fijar las tres componentes de $\vec{B}$.

El sentido del empujón sale de la regla del producto vectorial. Con vectores unitarios $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ a lo largo de los ejes, $\hat{x}\times \hat{y}=\hat{z}$, y lo mismo vale para las permutaciones cíclicas $\hat{y}\times \hat{z}=\hat{x}$ y $\hat{z}\times \hat{x}=\hat{y}$. Así, una carga positiva que se mueve según $+y$ en un campo según $+z$ es empujada según $\hat{y}\times \hat{z}=+\hat{x}$.

Ahora la energía. Una fuerza cambia la energía cinética $K$ al ritmo $\vec{F}\cdot \vec{v}$, la potencia que entrega. Con la fuerza de Lorentz,
$\frac{dK}{dt}=q\vec{E}\cdot \vec{v}+q\vec{v}\cdot (\vec{v}\times \vec{B})$
El último término es nulo, porque el producto vectorial $\vec{v}\times \vec{B}$ es perpendicular a $\vec{v}$. Por tanto, $dK/dt=q\vec{E}\cdot \vec{v}$: solo el campo eléctrico cambia la energía de una partícula, sea cual sea la forma del campo magnético. Una fuerza magnética puede girar la velocidad, pero nunca alargarla ni acortarla. Cuando un campo magnético variable parece realizar trabajo, como en un transformador, el trabajo lo hace el campo eléctrico que esa variación induce.

Movimiento circular: dos osciladores acoplados

Leyenda

$C$	Centro de la circunferencia, el punto $(x_c,y_c)$.
$r$	Radio de la circunferencia, $r=mv/(qB)$, trazado desde $C$ hasta el punto de partida.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Ángulo girado desde el inicio; $\omega =qB/m$ es la frecuencia angular del giro.	$\mathrm{rad}$
$q$	Carga de la partícula, aquí un protón; el punto vacío es donde partió.	$\mathrm{C}$
$\vec{v}$	Velocidad: tangente a la circunferencia, con longitud igual a la rapidez constante $v$.	$m/s$
$\vec{F}$	Fuerza magnética $q\vec{v}\times \vec{B}$: perpendicular a $\vec{v}$, hacia $C$.	$\mathrm{N}$
$\vec{B}$	Campo magnético, uniforme y dirigido hacia dentro de la página (las cruces).	$\mathrm{T}$
$v_x$	Componente de $\vec{v}$ según $x$, $v\cos \omega t$; negativa en el instante dibujado.	$m/s$
$v_y$	Componente de $\vec{v}$ según $y$, $v\mathrm{sen}\omega t$.	$m/s$

Esta sección resuelve de forma exacta el movimiento en un campo magnético uniforme. El método, que consiste en descomponer la velocidad en componentes que se impulsan mutuamente, merece aprenderse por sí mismo, y el resultado, una circunferencia recorrida a un ritmo fijo, sostiene todo lo que viene después en la lección.

La figura 1 presenta la geometría de la animación. El campo apunta hacia dentro de la página (las cruces). Con $x$ hacia la derecha, $y$ hacia arriba y $z$ hacia fuera de la página, eso es $\vec{B}=-B\hat{z}$. La fuerza es perpendicular a $\vec{B}$, así que nunca da al protón una velocidad según $z$, y el movimiento permanece en el plano $xy$. A la izquierda, sigue al protón de carga $q$: partió del punto vacío, en la parte inferior de la circunferencia, moviéndose según $+x$, y desde entonces ha girado el ángulo $\omega t$ en torno al centro $C$. Su velocidad $\vec{v}$ es tangente a la trayectoria, y la fuerza $\vec{F}$ apunta según el radio, hacia $C$. A la derecha se dibuja de nuevo el mismo $\vec{v}$ desde un punto fijo. Sus sombras sobre los ejes, las barras horizontal y vertical, son sus componentes $v_x$ y $v_y$. La flecha ha girado el mismo ángulo $\omega t$ desde el eje $v_x$, porque la velocidad se mantiene perpendicular al radio y gira, por tanto, exactamente igual de deprisa que él.

Ahora las ecuaciones. La segunda ley de Newton es $md\vec{v}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$, siendo $m$ la masa del protón. Al calcular el producto vectorial con $\vec{B}=-B\hat{z}$ se obtiene $\vec{v}\times \vec{B}=B(-v_y,v_x,0)$. Dividiendo por $m$ y escribiendo $\omega =qB/m$, las dos componentes de la ley quedan
${\dot{v}}_x=-\omega v_y,{\dot{v}}_y=\omega v_x$
donde el punto indica la tasa de variación con el tiempo.

Cada componente impulsa a la otra: $v_y$ determina lo deprisa que cambia $v_x$, y $v_x$ lo deprisa que cambia $v_y$. Para separarlas, derivamos una vez más la primera ecuación y sustituimos ${\dot{v}}_y$ por la segunda:
${\ddot{v}}_x=-\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$
Es la ecuación del movimiento armónico simple con frecuencia angular $\omega$, y los mismos pasos la dan para $v_y$. Las condiciones iniciales eligen la solución. En $t=0$ el protón se mueve según $+x$ con toda su rapidez $v$, así que $v_x=v$ y $v_y=0$, y por tanto
$v_x=v\cos \omega t,v_y=v\mathrm{sen}\omega t$
Son las dos barras de la derecha de la figura 1. Una integración más da la posición:
$x=x_c+\frac{v}{\omega }\mathrm{sen}\omega t,y=y_c-\frac{v}{\omega }\cos \omega t$
Las constantes $(x_c,y_c)$ son el punto $C$. En $t=0$, estas fórmulas colocan al protón en $y=y_c-v/\omega$, justo debajo de $C$, como en la figura. La trayectoria es una circunferencia de radio
$r=\frac{v}{\omega }=\frac{mv}{qB}$
recorrida en sentido antihorario si $q>0$. Para una carga negativa $\omega$ es negativa, y las mismas fórmulas describen una circunferencia recorrida en sentido horario, de radio $|mv/(qB)|$.

Los números complejos acortan la solución. Reúne las dos componentes en un solo número complejo, $w=v_x+i{v}_y$. El par de ecuaciones se convierte en la ecuación única $\dot{w}=i\omega w$, cuya solución es $w=v{e}^{i\omega t}$: una flecha de longitud fija $v$ que gira a ritmo constante $\omega$, exactamente la flecha de la derecha de la figura 1. En lenguaje vectorial, la misma afirmación es $\dot{\vec{v}}=\vec{\omega }\times \vec{v}$ con $\vec{\omega }=-q\vec{B}/m$: la velocidad gira (precesa) en torno a la dirección del campo con frecuencia angular $qB/m$. Para $q>0$, el vector de giro $\vec{\omega }$ apunta en contra de $\vec{B}$, aquí hacia fuera de la página, y un giro cuyo vector apunta hacia ti se ve antihorario. Por eso el protón gira en sentido antihorario en un campo que apunta alejándose de ti.

Cómo leer las gráficas de velocidad

Leyenda

$v$	Amplitud de ambas curvas: la rapidez constante.	$m/s$
$t$	Tiempo, medido desde el inicio.	$\mathrm{s}$
$T/4$	Un cuarto del periodo: $v_y$ alcanza su máximo mientras $v_x$ cruza el cero.	$\mathrm{s}$
$T$	Periodo de una vuelta completa, $T=2\pi m/(qB)$.	$\mathrm{s}$
$v_x$	Componente de la velocidad según $x$, $v\cos \omega t$.	$m/s$
$v_y$	Componente de la velocidad según $y$, $v\mathrm{sen}\omega t$.	$m/s$
$\omega v$	Pendiente de $v_y$ en $t=0$, la más empinada: igual a la aceleración $F/m$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

Las gráficas de $v_x$ y $v_y$ frente al tiempo contienen todo el movimiento: de ellas pueden leerse la rapidez constante, el periodo y la fuerza. La figura 2 dibuja las gráficas del nivel Avanzado de la animación a lo largo de un periodo $T$, el tiempo de una vuelta completa.

Empecemos por las formas. La curva azul $v_x$ es un coseno y la curva verde $v_y$ un seno, ambas de amplitud $v=1,0\times 10^{6}m/s$, la rapidez del protón. Están desfasadas un cuarto de periodo $T/4$: 1 s en la animación ralentizada, 0,16 µs en la realidad. Allí donde una curva cruza el cero, la otra está en un máximo o un mínimo, como en la línea discontinua en $T/4$. En cada instante $v_x^2+v_y^2=10^{12}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, porque ${\cos }^2\omega t+{\mathrm{sen}}^2\omega t=1$. Las dos componentes cambian todo el tiempo; la rapidez, nunca.

Veamos ahora las pendientes. La pendiente de una gráfica de velocidad es una aceleración, y por la segunda ley de Newton es la fuerza dividida por la masa. En $t=0$, $v_x$ está en su máximo, donde su gráfica es plana, mientras que $v_y$ cruza el cero con su pendiente más empinada, la recta roja de la figura 2. Esa pendiente vale
$\omega v\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$
con $\omega =qB/m\approx 9,6\times 10^{6}rad/s$ para un protón en los 0,10 T de la animación. Como en ese instante $v_x$ no cambia, esta es toda la aceleración $F/m$. Apunta según $+y$, directamente hacia el centro, que queda por encima del punto de partida. Un cuarto de vuelta después los papeles se intercambian: $v_x$ es la más empinada y $v_y$ la plana, porque la aceleración ha girado con el radio y ahora apunta según $-x$.

El periodo no depende de la rapidez. El protón morado de la animación parte del mismo punto a $1,5v$ y recorre una circunferencia de radio 15,7 cm en lugar de 10,4 cm. Sus componentes son las mismas sinusoides, con amplitud 1,5 veces mayor y el mismo periodo, así que vuelve al punto de partida en el mismo instante que el protón rojo. Este es el contenido de
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$
en el que la rapidez se ha cancelado. En 0,10 T, todo protón que se mueva muy por debajo de la velocidad de la luz tarda 0,66 µs por vuelta, sea cual sea el tamaño de su órbita.

Hélices y espejos magnéticos

Leyenda

$\theta$	Ángulo entre la velocidad inicial y $\vec{B}$; aquí $60^{\circ }$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{v}$	Velocidad inicial; su longitud es la rapidez constante $v$.	$m/s$
$v_{\perp }$	Parte de $\vec{v}$ transversal a $\vec{B}$, $v\mathrm{sen}\theta$: la que gira describiendo la circunferencia.	$m/s$
$v_{\parallel }$	Parte de $\vec{v}$ a lo largo de $\vec{B}$, $v\cos \theta$: no siente fuerza y nunca cambia.	$m/s$
$r$	Radio de la circunferencia, $r=m{v}_{\perp }/(qB)$.	$\mathrm{m}$
$h$	Paso de la hélice: distancia avanzada a lo largo de $\vec{B}$ en un periodo $T$, $h=v_{\parallel }T$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético, aquí dirigido hacia arriba.	$\mathrm{T}$

Hasta ahora la velocidad era perpendicular al campo. Esta sección trata el caso general, una velocidad con cualquier ángulo respecto a $\vec{B}$, que es como llegan realmente las partículas cargadas al campo magnético de la Tierra o se mueven en un plasma.

La figura 3 muestra el resultado. A la izquierda, la velocidad inicial $\vec{v}$ forma el ángulo $\theta$ con $\vec{B}$, aquí $60^{\circ }$, y se descompone en dos partes: $v_{\parallel }=v\cos \theta$ a lo largo del campo y $v_{\perp }=v\mathrm{sen}\theta$ transversal a él. Las dos partes se comportan de forma muy distinta. La fuerza $q\vec{v}\times \vec{B}$ es siempre perpendicular a $\vec{B}$, así que no tiene componente a lo largo del campo y $v_{\parallel }$ nunca cambia. Y como el producto vectorial de vectores paralelos es nulo, $v_{\parallel }$ no aporta nada a la fuerza: la fuerza depende solo de $v_{\perp }$. Así, $v_{\perp }$ se comporta exactamente como en las secciones anteriores. Gira describiendo una circunferencia de radio $r=m{v}_{\perp }/(qB)$, dibujada en la base de la hélice, con el mismo periodo $T$.

Junta las dos partes: la circunferencia es arrastrada de forma constante a lo largo del campo y la trayectoria es una hélice. Síguela hacia arriba en el dibujo. Cada vuelta dura el periodo $T$, y en ese tiempo el protón avanza a lo largo de $\vec{B}$ el paso
$h=v_{\parallel }T=2\pi r\mathrm{cotg}\theta$
La segunda forma se deduce de $T=2\pi r/v_{\perp }$ y de $v_{\parallel }/v_{\perp }=\mathrm{cotg}\theta$. A $60^{\circ }$ el paso es unas 3,6 veces el radio. Para el protón de la animación, lanzado a $1,0\times 10^{6}m/s$ a 60° del campo de 0,10 T, $v_{\perp }=8,7\times 10^{5}m/s$ da una circunferencia de radio 9,0 cm, y $v_{\parallel }=5,0\times 10^{5}m/s$ lo hace avanzar 33 cm a lo largo del campo por vuelta.

Los campos reales rara vez son uniformes. Supón que $B$ crece despacio a lo largo de las líneas de campo, cambiando poco durante una vuelta. Entonces la cantidad $m{v}_{\perp }^2/(2B)$, la energía cinética del movimiento circular dividida por $B$, se mantiene casi constante. Al entrar el protón en un campo más intenso, $v_{\perp }^2$ debe crecer, por tanto, en proporción a $B$. La rapidez total no puede cambiar, así que $v_{\parallel }$ disminuye para dejarle sitio: la hélice se cierra, y donde $v_{\perp }$ tendría que superar a $v$, el protón deja de avanzar y da media vuelta. Una región de campo intenso actúa como un espejo. Las líneas del campo terrestre se juntan cerca de los polos, de modo que protones y electrones rebotan de un hemisferio a otro, atrapados en los cinturones de radiación de la Tierra.

Cantidad de movimiento a cualquier rapidez

Las relaciones vistas hasta ahora se dedujeron para partículas lentas. Esta breve sección muestra cuáles sobreviven a gran rapidez. Como la fuerza magnética nunca cambia la rapidez, solo hace girar la cantidad de movimiento $\vec{p}$, y la ley de Newton en la forma $d\vec{p}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$ vale a cualquier rapidez. Para un movimiento transversal al campo da una circunferencia con
$p=qBr$
donde $p=\gamma mv$ es la cantidad de movimiento relativista, $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ es el factor de Lorentz y $c$ es la velocidad de la luz. Como la rapidez es constante, también lo es $\gamma$, y los pasos de las secciones anteriores siguen valiendo sustituyendo $m$ por $\gamma m$.

En unidades prácticas, una traza de radio 1 m en un campo de 1 T corresponde a una partícula con una sola carga elemental y cantidad de movimiento 0,30 GeV/c. Lo que sí cambia a alta energía es la frecuencia angular, $\omega =qB/(\gamma m)$, que disminuye al aumentar la energía. El ciclotrón de más abajo tiene que lidiar precisamente con esto.

Campos cruzados: la deriva

Añade un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$ perpendicular a $\vec{B}$ y las circunferencias dejan de cerrarse: se deslizan de lado. Este caso importa porque muestra cómo un cambio de sistema de referencia puede eliminar un campo eléctrico, y es el principio del selector de velocidades.

El truco es observar desde un sistema que se mueve con la velocidad constante
${\vec{v}}_d=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{B^2}$
A baja rapidez, un observador que se mueve con ${\vec{v}}_d$ mide el campo eléctrico ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+{\vec{v}}_d\times \vec{B}$. Cuando $\vec{E}$ es perpendicular a $\vec{B}$, $(\vec{E}\times \vec{B})\times \vec{B}=-B^2\vec{E}$, así que el segundo término es exactamente $-\vec{E}$ y ${\vec{E}}^{\prime }=0$. En ese sistema solo queda $\vec{B}$, y la partícula recorre una circunferencia ordinaria. De vuelta en el laboratorio, esa circunferencia es arrastrada con la rapidez de deriva $v_d=E/B$. La deriva no contiene ni $q$ ni $m$, así que toda partícula, de cualquier signo y masa, deriva del mismo modo y con la misma rapidez. El tratamiento relativista exacto da el mismo resultado, siempre que $E<cB$, de modo que $v_d$ se mantenga por debajo de la velocidad de la luz.

Con $E=1,0\times 10^{4}V/m$ en los 0,10 T de la animación, la rapidez de deriva es $1,0\times 10^{5}m/s$, y los lazos del protón avanzan $v_{d}T=6,6\mathrm{cm}$ por vuelta. Un selector de velocidades usa el mismo equilibrio: una partícula lanzada exactamente a ${\vec{v}}_d$ siente fuerzas eléctrica y magnética que se cancelan, así que pasa en línea recta, mientras que las partículas más rápidas y más lentas se desvían.

Problema resuelto: un ciclotrón pequeño

Leyenda

$R$	Radio de los electrodos: la órbita mayor, por donde salen los protones.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético, dirigido hacia dentro de la página a través de los dos electrodos.	$\mathrm{T}$
$V$	Tensión alterna entre los dos electrodos, a través del hueco.	$\mathrm{V}$
$q$	Carga del protón, representado en su punto de partida.	$\mathrm{C}$

Un ciclotrón aprovecha que el periodo no depende de la rapidez. Como todos los protones de un campo dado tardan lo mismo en dar una vuelta, una tensión que alterna a una frecuencia fija puede impulsarlos una y otra vez, sea cual sea su energía.

La figura 4 muestra la máquina vista desde arriba. Dos electrodos huecos en forma de D y de radio $R$ se enfrentan a ambos lados de un hueco estrecho. El campo $\vec{B}$ apunta hacia dentro de la página a través de los dos, y entre ellos hay conectada una fuente de tensión alterna $V$. El protón $q$ parte del centro. Dentro de un electrodo hueco no hay campo eléctrico, solo $\vec{B}$, así que el protón recorre una semicircunferencia y vuelve al hueco. Si para entonces la tensión se ha invertido, lo empuja a través del hueco y le añade la energía $qV$. Un protón más rápido recorre una semicircunferencia mayor, de modo que la trayectoria se abre en espiral hacia fuera hasta llegar al borde, en $R$, por donde salen los protones. El dibujo solo muestra cuatro vueltas; la máquina de más abajo necesita 30.

El problema. Un ciclotrón pequeño usa el campo de la animación, $B=0,10\mathrm{T}$, con electrodos de radio $R=0,50\mathrm{m}$ y una tensión alterna de amplitud 2,0 kV en el hueco. Los protones parten cerca del centro, casi en reposo. ¿A qué frecuencia debe alternar la tensión, qué energía alcanzan los protones y en cuántas vueltas? Usa $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ y $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$.

Paso 1, la frecuencia. Cada protón cruza el hueco dos veces por vuelta y debe encontrar la tensión invertida cada vez. Por tanto, la tensión debe recorrer un ciclo completo por cada vuelta del protón: alterna a la frecuencia ciclotrónica
$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,52\mathrm{MHz}$

Paso 2, la energía final. La última órbita tiene radio $R$, así que, por $p=qBR$, los protones salen con cantidad de movimiento
$p=qBR=1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10\cdot 0,50=8,0\times 10^{-21}\mathrm{kg}\cdot m/s$
y energía cinética
$K=\frac{p^2}{2m}=\frac{(8,0\times 10^{-21}{)}^2}{2\cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,92\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 120\mathrm{keV}$
usando $1\mathrm{eV}=1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Eso equivale a una rapidez $p/m=4,8\times 10^{6}m/s$, el 1,6 % de la velocidad de la luz. La tensión no aparece en este resultado: la energía final la fijan $B$ y $R$ solos, y la tensión solo decide cuántas vueltas hacen falta para alcanzarla.

Paso 3, el número de vueltas. Un protón que cruza el hueco en el pico de la tensión gana 2,0 keV por cruce, es decir, 4,0 keV por vuelta. Necesita $120/4,0=30$ vueltas, que duran 30 periodos, unos 20 µs. Como $K$ crece en escalones iguales y $K\propto r^2$, el radio tras $n$ vueltas es $R\sqrt{n/30}$: 9,1 cm tras una vuelta, 18,3 cm tras cuatro, 27,4 cm tras nueve. La circunferencia de 10,4 cm de la animación, con 5,2 keV, queda entre la primera vuelta y la segunda.

Dónde falla el diseño. La máquina depende de que cada media vuelta dure lo mismo, 0,33 µs. La relatividad lo estropea poco a poco, porque la frecuencia de revolución real es $qB/(2\pi \gamma m)$ y, para una energía cinética $K$, $\gamma =1+K/(m{c}^2)$, donde la energía en reposo del protón $m{c}^2$ es de 938 MeV. A 120 keV, $\gamma \approx 1,00013$ y la frecuencia baja un inofensivo 0,013 %. A 20 MeV quedaría un 2,1 % por debajo. Un protón que girara con esa energía se retrasaría medio ciclo respecto a la tensión en unas 24 vueltas, y llegaría entonces al hueco justo cuando la tensión lo frena. Por eso los ciclotrones para energías mayores o bien bajan la frecuencia a medida que los protones ganan energía, o bien dejan que el campo crezca hacia el borde para que $\gamma m/B$, y con él el periodo, se mantenga constante.

Eléctrico o magnético: cuestión de sistema de referencia

Que una fuerza se considere eléctrica o magnética depende de quién la observe. Esta sección explica por qué, con el protón de la animación.

En el laboratorio el protón solo siente una fuerza magnética. Ahora miremos desde su sistema de reposo instantáneo, un sistema que se mueve con él en ese instante. Allí el protón no tiene velocidad, así que la fuerza sobre él no puede ser magnética. Sin embargo, la fuerza es real y, a baja rapidez, es la misma en ambos sistemas, de modo que ese observador debe ver un campo eléctrico,
${\vec{E}}^{\prime }\approx \vec{v}\times \vec{B}(v\ll c)$
Con los números de la animación, su intensidad es $vB=1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,0\times 10^{5}V/m$, y $q{E}^{\prime }=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, exactamente la fuerza magnética $qvB$ medida en el laboratorio. Un campo puramente magnético en un sistema es una mezcla de campos eléctrico y magnético en otro. Ninguno de los dos campos por separado es el mismo para todos los observadores; solo lo es el campo electromagnético en su conjunto.

La relatividad especial lo hace exacto. Al cambiar de sistema, los dos campos se transforman uno en otro, pero dos combinaciones de ellos toman los mismos valores para todos los observadores inerciales:
$E^2-c^2{B}^2\text{y}\vec{E}\cdot \vec{B}$
Estos invariantes establecen qué puede y qué no puede hacer un cambio de sistema. Un campo puramente magnético tiene $E^2-c^2{B}^2<0$ y, como ese signo es el mismo en todos los sistemas, ningún observador puede ver el campo como puramente eléctrico. Unos campos cruzados con $E<cB$ también tienen $E^2-c^2{B}^2<0$ y $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$, así que siempre pueden reducirse a un campo puramente magnético: es el sistema de deriva de la sección sobre campos cruzados.

Límites de validez

Todos los resultados anteriores tratan al protón como una carga puntual clásica que se mueve en el vacío y no pierde energía. Esta sección comprueba cada una de esas suposiciones con números.

Radiación. Una carga acelerada radia, y una carga que describe una circunferencia está siempre acelerada. A baja rapidez, la potencia radiada la da la fórmula de Larmor,
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$
donde $a$ es la aceleración y ${\epsilon }_0$ la permitividad del vacío. Para el protón de la animación, con $a\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$, resulta unos $5\times 10^{-28}\mathrm{W}$. En una vuelta pierde una fracción $4\times 10^{-19}$ de su energía, así que su circunferencia es exacta a todos los efectos prácticos.

La pérdida no siempre es pequeña. Para partículas de la misma energía en circunferencias del mismo radio, la pérdida por vuelta crece como la inversa de la cuarta potencia de la masa, de modo que las partículas ligeras radian mucho más. Los electrones de un anillo de almacenamiento de 3 GeV, curvados en un radio de 7 m, pierden alrededor de 1 MeV por vuelta en forma de radiación sincrotrón, y esos anillos se construyen precisamente para producirla como potente fuente de rayos X. Un protón es 1836 veces más pesado que un electrón, y $1836^4\approx 10^{13}$, así que los protones pierden poco incluso en el Gran Colisionador de Hadrones, donde protones de 7 TeV en imanes de 8,3 T se curvan en un radio $p/(qB)\approx 2,8\mathrm{km}$.

Relatividad. A $1,0\times 10^{6}m/s$, $\gamma -1\approx v^2/(2c^2)=5,6\times 10^{-6}$, de modo que las fórmulas no relativistas son excelentes. En general, se sustituye $mv$ por $p$ y $m$ por $\gamma m$, como en la sección sobre la cantidad de movimiento.

Mecánica cuántica. En la teoría cuántica el movimiento circular solo puede tener ciertas energías, los niveles de Landau, separados por $\hslash \omega$, donde $\hslash$ es la constante de Planck reducida. Para el protón de la animación la separación es de unos $6\times 10^{-9}\mathrm{eV}$, $10^{-12}$ de sus 5,2 keV, demasiado fina para notarla. Para un electrón en 10 T es de 1,2 meV, más de diez veces la energía térmica típica a 1 K, y ahí la cuantización se manifiesta, de forma muy llamativa, en el efecto Hall cuántico.

El vacío. Por último, todo esto supone el vacío. En el aire, las colisiones con las moléculas detendrían a un protón de 5 keV mucho antes de que completara una vuelta, y por eso en los ciclotrones y en los anillos de almacenamiento se hace el vacío con bombas.

Lo que viene después

La fuerza $q\vec{v}\times \vec{B}$ recorre el resto del electromagnetismo. Si empujas una varilla metálica de longitud $L$ a través de un campo con rapidez $v$, la fuerza arrastra sus cargas libres a lo largo de la varilla: es la fem $\epsilon =BLv$ de Inducción electromagnética. Sumada sobre todas las cargas en movimiento de un cable que lleva una corriente $I$, la misma fuerza da $F=BIL\mathrm{sen}\theta$ sobre una longitud $L$ de cable que forma el ángulo $\theta$ con el campo, y el momento de fuerza sobre una bobina, temas de Motores, generadores y transformadores.

En un conductor que lleva una corriente a través de un campo, el empujón lateral acumula carga en un borde hasta que el campo eléctrico de esa carga lo equilibra. El signo de la tensión de Hall resultante indica si los portadores son electrones o huecos, como en Semiconductores, diodos y LED, y los sensores Hall miden campos magnéticos en teléfonos y coches.

La dependencia de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ respecto del sistema de referencia pertenece a Relatividad especial, y los campos que cambian en el tiempo, cada uno creando al otro, forman Ondas electromagnéticas. Por último, $p=qBr$ es como se miden las cantidades de movimiento de las partículas en Partículas y fuerzas: el modelo estándar, desde las espirales de las fotografías de las cámaras de burbujas hasta los detectores del Gran Colisionador de Hadrones.