गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल

चुंबकीय क्षेत्र गतिमान आवेश को बगल की ओर धकेलता है, $F = q v \times B$ , इसलिए पथ $r = m v / (qB)$ त्रिज्या के वृत्त में मुड़ जाता है, और चाल कभी नहीं बदलती।

एक प्रोटॉन स्क्रीन के भीतर की ओर इंगित एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्त में घूमता है; चुंबकीय बल सदैव उसके वेग के लंबवत होता है।

इस विषय से पहले: चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र, वृत्तीय गति

शुरुआती

मुख्य विचार

केवल गतिमान आवेशों पर चुंबकीय धक्का लगता है; चुंबक के पास स्थिर रखे आवेश पर कोई बल नहीं लगता।
चुंबक के ध्रुवों के बीच रखा धारावाही तार बगल में धकेला जाता है: उसके सभी गतिमान आवेशों पर लगे धक्के जुड़ जाते हैं।
यह धक्का गति और क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है; गति या क्षेत्र उलटने पर धक्का भी उलट जाता है।
बगल का धक्का गतिमान आवेश को केवल मोड़ता है, तेज़ या धीमा नहीं करता, इसलिए वह स्थिर चाल से वृत्त में चलता है।
यही बल सूर्य से आने वाले कणों को पृथ्वी के ध्रुवों की ओर ले जाता है, जहाँ वे ध्रुवीय ज्योति बनाते हैं, और त्वरकों में कणों को वृत्त में घुमाए रखता है।

घोड़े की नाल के आकार के चुंबक के अंतराल पर एक तार रखिए और धारा चालू कीजिए: तार बगल में उछलता है, अंतराल से बाहर या उसके भीतर की ओर। धारा उलटने पर वह दूसरी दिशा में उछलता है। चुंबक को भी घुमा दें, तो वह फिर पहली दिशा में जाता है।

ऐसा क्यों होता है? धारा और कुछ नहीं, बस गतिमान विद्युत आवेश हैं। चुंबक इनमें से हर गतिमान आवेश पर धक्का लगाता है, और चूँकि ये आवेश तार से बाहर नहीं जा सकते, तार उनके साथ खिंच जाता है। चुंबक के पास स्थिर रखे आवेश पर कोई बल नहीं लगता: धक्का तभी प्रकट होता है जब आवेश गति करे।

धक्के की दिशा ही चौंकाने वाली बात है। वह कभी गति की दिशा में नहीं होता: वह बगल में लगता है, आवेश की गति और चुंबकीय क्षेत्र, दोनों के लंबवत। बगल का धक्का किसी चीज़ को तेज़ या धीमा नहीं कर सकता; वह केवल उसे मोड़ सकता है, जैसे रस्सी सिर के चारों ओर गेंद को घुमाती है। इसलिए चुंबकीय क्षेत्र से होकर मुक्त उड़ता आवेश घूमता रहता है, और उसका पथ वृत्त बन जाता है।

एनिमेशन यही दिखाता है। धूसर × चिह्न स्क्रीन के भीतर जाते चुंबकीय क्षेत्र हैं। लाल आवेश को देखिए: नीला तीर बताता है कि वह किस ओर जा रहा है, लाल तीर धक्का दिखाता है। धक्का सदैव वृत्त के केंद्र की ओर होता है, और आवेश न तेज़ होता है न धीमा।

वही धक्का सूर्य से आने वाले कणों को पृथ्वी के ध्रुवों की ओर ले जाता है, जहाँ वे ध्रुवीय ज्योति के रूप में आकाश को चमकाते हैं, और विशाल चुंबकीय वलय त्वरकों में कणों को तेज़ी से घुमाते रहते हैं।

स्वयं जाँचें: एक इलेक्ट्रॉन शक्तिशाली चुंबक के ध्रुवों के बीच स्थिर पड़ा है। उस पर कौन-सा चुंबकीय बल लगता है? (कोई नहीं: केवल गतिमान आवेशों पर बल लगता है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$F = q v B sin θ$ : जब $v$ , $B$ के लंबवत हो तब अधिकतम; आवेश क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश चले तो शून्य।
दाएँ हाथ का नियम: अँगुलियाँ $v$ की दिशा में रखें, उन्हें $B$ की ओर मोड़ें; अँगूठा धनात्मक आवेश का $F$ देता है। ऋणात्मक आवेश पर बल विपरीत होता है।
$F$ सदैव $v$ के लंबवत है, इसलिए यह कार्य नहीं करता: चाल और गतिज ऊर्जा स्थिर रहती हैं।
अभिकेन्द्र बल के रूप में $q v B = m v^{2} / r$ से $r = m v / (qB)$ मिलता है: 0.10 T में $1 0^{6} m/s$ चाल वाले प्रोटॉन के लिए लगभग 10.4 cm।

आवेश, वेग और क्षेत्र

किसी कण पर चुंबकीय बल तीन चीज़ों पर निर्भर करता है: उसका आवेश $q$ , कूलॉम में और अपने चिह्न सहित ( $+ 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ प्रोटॉन के लिए); उसका वेग $v$ , दिशा सहित; और कण की जगह पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ , जो टेस्ला (T) में मापा जाता है। एक टेस्ला बहुत प्रबल क्षेत्र है: पृथ्वी का क्षेत्र 25–65 µT है, फ्रिज के चुंबक कुछ मिलीटेस्ला देते हैं और MRI स्कैनर 1.5–3 T। एनिमेशन में $B = 0.10 T$ लिया गया है, जो एक अच्छे घोड़े की नाल के चुंबक के ध्रुवों के बीच के क्षेत्र जितना है।

समतल आरेखों में क्रॉस × किसी तीर की पूँछ है जो आपसे दूर उड़ रहा है, इसलिए एनिमेशन के धूसर क्रॉस का अर्थ है कि क्षेत्र स्क्रीन के भीतर है; बिंदु • तीर की नोक है जो आपकी ओर आ रही है, यानी क्षेत्र स्क्रीन से बाहर। कोण $θ$ , $v$ और $B$ के बीच मापा जाता है; प्रोटॉन क्षेत्र को सीधे पार करता है, इसलिए $θ = 9 0^{\circ}$ हर समय है।

बल का परिमाण

कण-पुंज के प्रयोग दिखाते हैं कि बल आवेश, चाल और क्षेत्र के समानुपाती है, और गति व क्षेत्र के बीच के कोण पर निर्भर करता है:
$F = q v B sin θ$

वेग का केवल वह भाग जो क्षेत्र-रेखाओं को काटता है, $v sin θ$ , गिना जाता है। क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश चलते आवेश पर कोई बल नहीं लगता, जबकि उन्हें समकोण पर काटने वाले आवेश पर सबसे अधिक, $F = q v B$ ; और 30° पर उसका आधा बल लगता है। ऋणात्मक आवेश के लिए $q$ का परिमाण लीजिए; चिह्न केवल दिशा बदलता है।

स्थिर आवेश पर चुंबक कितना भी प्रबल हो, कोई चुंबकीय बल नहीं लगता: विद्युत क्षेत्र से यही सबसे स्पष्ट अंतर है। यही नियम टेस्ला को भी परिभाषित करता है: 1 T वह क्षेत्र है जो 1 m/s की चाल से उसे पार करते 1 C आवेश पर 1 N का बल लगाता है, अर्थात $1 T = 1 N \cdot s/ (C \cdot m) = 1 N/ (A \cdot m)$ ।

आरेख पढ़ना: दाएँ हाथ का नियम

बल वेग और क्षेत्र, दोनों के लंबवत होता है। उसका परिमाण और दिशा एक सदिश समीकरण में समा जाते हैं:
$F = q v \times B$

सदिश गुणनफल $v \times B$ का परिमाण $v B sin θ$ है, और उसकी दिशा दाएँ हाथ के नियम से मिलती है: दाएँ हाथ की अँगुलियाँ $v$ की दिशा में रखें, उन्हें $B$ की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश पर बल की दिशा दिखाता है। क्रम मायने रखता है, क्योंकि $B \times v$ विपरीत दिशा में होता है।

एनिमेशन पर परखिए। वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर प्रोटॉन दाईं ओर जा रहा है और क्षेत्र स्क्रीन के भीतर है, इसलिए अँगूठा ऊपर, केंद्र की ओर इंगित करता है, ठीक लाल $F$ तीर की तरह: प्रोटॉन वामावर्त मुड़ता है। क्षेत्र या वेग उलटने पर बल उलट जाता है; दोनों एक साथ उलटने पर बल नहीं बदलता।

कोई कार्य नहीं, इसलिए पथ वृत्त है

क्योंकि $F$ सदैव $v$ के लंबवत है, वह कार्य नहीं करता। गतिज ऊर्जा नहीं बदल सकती, इसलिए चाल भी नहीं: $∣ v ∣$ का मापक सदा $1.0 \times 1 0^{6} m/s$ दिखाता है। ऐसा बल जिसका परिमाण स्थिर हो और जो केवल वेग को मोड़े, एकसमान वृत्तीय गति के लिए ठीक वैसा ही है, इसलिए चुंबकीय बल वृत्तीय गति का अभिकेन्द्र बल बन जाता है:
$q v B = \frac{m v ^{2}}{r}$

त्रिज्या के लिए हल करने पर, आवर्त के लिए $T = 2 π r / v$ और कोणीय आवृत्ति के लिए $ω = 2 π / T$ का उपयोग करते हुए, तीन कार्यसूत्र मिलते हैं:

$r = \frac{m v}{qB}$
$T = \frac{2 πm}{qB}$
$ω = \frac{qB}{m}$

तेज़ या भारी कण बड़े वृत्त में घूमता है; प्रबल क्षेत्र या बड़ा आवेश उसे संकरे वृत्त में रखता है। आश्चर्य दूसरी पंक्ति में है: चाल कट जाती है, इसलिए तेज़ कण बड़े वृत्त पर चलता है, फिर भी ठीक उतने ही समय में।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन का प्रोटॉन

प्रोटॉन का $q = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ और $m = 1.67 \times 1 0^{- 27} kg$ है। एनिमेशन में वह $v = 1.0 \times 1 0^{6} m/s$ से $B = 0.10 T$ के क्षेत्र को सीधे पार करता है, अतः $sin θ = 1$ :
$F = q v B = 1.60 \times 1 0^{- 19} \cdot 1.0 \times 1 0^{6} \cdot 0.10 = 1.6 \times 1 0^{- 14} N$
$r = \frac{m v}{qB} = \frac{1.67 \times 1 0 ^{- 27} \cdot 1.0 \times 1 0 ^{6}}{1.60 \times 1 0 ^{- 19} \cdot 0.10} \approx 0.104 m$
$T = \frac{2 πm}{qB} = \frac{2 π \cdot 1.67 \times 1 0 ^{- 27}}{1.60 \times 1 0 ^{- 19} \cdot 0.10} \approx 6.6 \times 1 0^{- 7} s$

ये वही मान हैं जो मापकों पर दिखते हैं: $F = 1.6 \times 1 0^{- 14} N$ , $r = 10.4 cm$ और स्थिर $∣ v ∣ = 1.0 \times 1 0^{6} m/s$ । असली प्रोटॉन एक चक्कर 0.66 µs में लगाता है, यानी प्रति सेकंड लगभग 15 लाख बार; एनिमेशन में प्रति चक्कर 4 सेकंड लगते हैं, इसलिए वह लगभग 60 लाख गुना धीमा है।

बल छोटा दिखता है, पर द्रव्यमान उससे भी कहीं छोटा है: त्वरण $F / m \approx 9.6 \times 1 0^{12} m/ s^{2}$ लगभग $g$ का $1 0^{12}$ गुना है, इसलिए गुरुत्व की कोई भूमिका नहीं। नीला $v$ तीर निश्चित लंबाई के साथ बिंदीदार वृत्त को स्पर्श करता है, जबकि लाल $F$ तीर धूसर त्रिज्या $r$ के अनुदिश केंद्र की ओर इंगित करता है: वह $v$ से सदैव 90° पर है, इसलिए कार्य नहीं करता।

हल किया गया उदाहरण: आयनों को द्रव्यमान से छाँटना

द्रव्यमान-स्पेक्ट्रोमीटर परमाणुओं को उनके वृत्तों के आकार से तौलता है। एक-आवेशित नियॉन आयन ( $q = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ ) स्रोत से अलग-अलग चालों से निकलते हैं, इसलिए वे पहले एक वेग-चयनकर्ता से गुजरते हैं, जहाँ विद्युत बल $qE$ और चुंबकीय बल $q v B$ विपरीत दिशाओं में धकेलते हैं। केवल वे आयन जिनके लिए $qE = q v B$ है, सीधे एक झिरी से निकल जाते हैं। प्लेटों के बीच 250 V और 1 cm की दूरी पर $E = 2.5 \times 1 0^{4} V/m$ है, तथा $B = 0.25 T$ पर,
$v = \frac{E}{B} = \frac{2.5 \times 1 0 ^{4}}{0.25} = 1.0 \times 1 0^{5} m/s$

उन्हीं क्षेत्रों में, प्लेटें हटाने पर, आयन आधे वृत्त में मुड़कर एक संसूचक पर पहुँचते हैं। नियॉन-20 का $m = 3.32 \times 1 0^{- 26} kg$ है:
$r_{20} = \frac{m v}{qB} = \frac{3.32 \times 1 0 ^{- 26} \cdot 1.0 \times 1 0 ^{5}}{1.60 \times 1 0 ^{- 19} \cdot 0.25} \approx 0.083 m$

नियॉन-22 10% भारी है, और स्थिर चाल पर $r$ , $m$ के समानुपाती है, इसलिए $r_{22} \approx 0.091 m$ । हर आयन झिरी से एक व्यास दूरी पर गिरता है, 16.6 cm और 18.3 cm पर, इसलिए दोनों समस्थानिक 1.7 cm दूर पहुँचते हैं। वेग-चयनकर्ता के बिना वे धुँधला जाते: नियॉन-20 का वह आयन जो केवल 1% तेज़ है, 1.7 mm आगे गिरता।

सामान्य गलतियाँ

बल, जैसा कि विद्युत बल होता, क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश नहीं, बल्कि उनके लंबवत होता है: प्रोटॉन पर $1.6 \times 1 0^{- 14} N$ का धक्का उसके वृत्त के केंद्र की ओर होता है, कभी स्क्रीन के भीतर नहीं।
चुंबकीय क्षेत्र आवेश की चाल नहीं बदल सकता। प्रोटॉन अपनी $1.0 \times 1 0^{6} m/s$ चाल और 5.2 keV की गतिज ऊर्जा हर चक्कर में बनाए रखता है; त्वरक विद्युत क्षेत्रों से ऊर्जा जोड़ते हैं और चुंबकीय क्षेत्रों से केवल दिशा मोड़ते हैं।
तिरछी गति पर बल कम लगता है। क्षेत्र से 90° के बजाय 30° पर, प्रोटॉन पर केवल $8.0 \times 1 0^{- 15} N$ बल लगता, यानी आधा।
आवेश का चिह्न मायने रखता है। समान चाल का इलेक्ट्रॉन विपरीत दिशा में धकेला जाता है और दक्षिणावर्त घूमता है, लगभग 0.057 mm त्रिज्या पर, जो प्रोटॉन से 1836 गुना छोटी है, ठीक उसके द्रव्यमान के अनुपात में।

यह कहाँ मिलता है

ध्रुवीय ज्योति सबसे सुंदर उदाहरण है: सूर्य के आवेशित कण पृथ्वी की क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश ध्रुवीय क्षेत्रों में ले जाए जाते हैं, जहाँ वे ऊपरी वायुमंडल को चमकाते हैं। अस्पतालों के साइक्लोट्रॉन प्रोटॉनों को त्वरित करके PET स्कैन के लिए समस्थानिक बनाते हैं; द्रव्यमान-स्पेक्ट्रोमीटर प्राचीन कार्बन की आयु बताते हैं और खिलाड़ियों की डोपिंग जाँच करते हैं; कण-संसूचक पथ की वक्रता से संवेग पढ़ते हैं।

यही बल तार में बहते आवेशों पर भी लगता है। यदि लंबाई $L$ के तार में गतिमान आवेश $Q$ चाल $v$ से बहता है, तो धारा $I = Q v / L$ है, और सारे बल जुड़कर क्षेत्र के लंबवत तार के लिए $Q v B = B I L$ देते हैं: 0.10 T में 5.0 cm लंबे तार पर 5.0 A धारा के लिए 0.025 N। यही धक्का तार को घोड़े की नाल के चुंबक के ध्रुवों के बीच उछालता है और हर विद्युत मोटर को घुमाता है; देखिए “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर”। तार को क्षेत्र में चलाने पर उसके आवेश तार के अनुदिश धकेले जाते हैं: यही “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” की शुरुआत है।

उन्नत

मुख्य विचार

$F = q (E + v \times B)$ क्षेत्रों को परिभाषित करता है; चुंबकीय भाग $v$ के लंबवत है, इसलिए स्थिर $B$ कभी कार्य नहीं करता।
प्रत्येक वेग-घटक $ω = qB / m$ पर सरल आवर्त गति करता है, इसलिए कक्षा त्रिज्या $r = v / ω$ का वृत्त है।
आवर्त $T = 2 πm / (qB)$ चाल पर निर्भर नहीं करता: तेज़ कण बड़े वृत्त में उतने ही समय में घूमता है, साइक्लोट्रॉन का यही रहस्य है।
$p = qB r$ हर चाल पर लागू होता है, इसलिए ज्ञात क्षेत्र में पथ की वक्रता से संवेग मापा जा सकता है; आपेक्षिकीय स्थिति में $ω = qB / (γm)$ ।
$B$ के अनुदिश वेग प्रभावित नहीं होता, इसलिए कक्षाएँ हेलिक्स बनाती हैं; परस्पर लंबवत क्षेत्रों में एक अतिरिक्त अपवाह $E \times B / B^{2}$ जुड़ता है।

लॉरेंत्ज़ बल क्षेत्रों को परिभाषित करता है

यह भाग उस एक नियम को बताता है जिस पर पूरा पाठ टिका है, और उसका सबसे महत्वपूर्ण परिणाम निकालता है: चुंबकीय क्षेत्र आवेश की दिशा मोड़ सकता है, पर उसकी चाल नहीं बढ़ा सकता। एक बिंदु-आवेश $q$ जो वेग $v$ से विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करता है, लॉरेंत्ज़ बल का अनुभव करता है
$F = q (E + v \times B)$

इस नियम को उल्टा पढ़कर एक परीक्षण-आवेश से दोनों क्षेत्र मापने की विधि के रूप में भी देखा जा सकता है। स्थिर होने पर आवेश पर केवल $q E$ लगता है, और इससे $E$ मिलता है। गति में होने पर उस पर एक अतिरिक्त बल लगता है, जो उसकी चाल के साथ बढ़ता है और सदैव उसके वेग के लंबवत होता है। यह अतिरिक्त बल एक विशेष रेखा के अनुदिश गति के लिए शून्य होता है, और वह रेखा $B$ की दिशा है। किसी अन्य वेग के लिए यह $B$ का वह भाग तय करता है जो $v$ के लंबवत है; एक दूसरा, असमानांतर वेग पहली दिशा में छूटा हुआ भाग दे देता है। इस प्रकार दो मापन $B$ के तीनों घटक तय कर देते हैं।

धक्के की दिशा सदिश गुणनफल के नियम से आती है। अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश $\overset{x}{^}$ , $\overset{y}{^}$ , $\overset{z}{^}$ लें, तो $\overset{x}{^} \times \overset{y}{^} = \overset{z}{^}$ होता है, और चक्रीय रूप $\overset{y}{^} \times \overset{z}{^} = \overset{x}{^}$ तथा $\overset{z}{^} \times \overset{x}{^} = \overset{y}{^}$ भी यही कहते हैं। अतः $+ y$ की ओर चलता धनात्मक आवेश, $+ z$ की ओर के क्षेत्र में, $\overset{y}{^} \times \overset{z}{^} = + \overset{x}{^}$ दिशा में धकेला जाता है।

अब ऊर्जा। बल गतिज ऊर्जा $K$ को $F \cdot v$ की दर से बदलता है, यानी वह जितनी शक्ति देता है। लॉरेंत्ज़ बल के लिए,
$\frac{d K}{d t} = q E \cdot v + q v \cdot (v \times B)$
अंतिम पद शून्य है, क्योंकि सदिश गुणनफल $v \times B$ , $v$ के लंबवत होता है। अतः $d K / d t = q E \cdot v$ : चुंबकीय क्षेत्र का आकार चाहे जैसा हो, कण की ऊर्जा केवल विद्युत क्षेत्र बदलता है। चुंबकीय बल वेग को घुमा सकता है, पर उसे लंबा या छोटा नहीं कर सकता। जब कोई बदलता चुंबकीय क्षेत्र कार्य करता प्रतीत होता है, जैसे ट्रांसफ़ॉर्मर में, तो वास्तव में वह कार्य उस परिवर्तन से प्रेरित विद्युत क्षेत्र करता है।

वृत्तीय गति: दो युग्मित दोलक

यह भाग एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति को ठीक-ठीक हल करता है। वेग को ऐसे घटकों में बाँटना जो एक-दूसरे को चलाते हैं, अपने आप में सीखने योग्य विधि है, और परिणाम, यानी एक स्थिर दर से तय किया गया वृत्त, इस पाठ की आगे की हर बात की नींव है।

चित्र 1 एनिमेशन की ज्यामिति दिखाता है। चुंबकीय क्षेत्र पन्ने के भीतर की ओर है (क्रॉस)। $x$ दाईं ओर, $y$ ऊपर और $z$ पन्ने से बाहर लें, तो $B = - B \overset{z}{^}$ है। बल $B$ के लंबवत है, इसलिए प्रोटॉन को कभी $z$ दिशा में वेग नहीं मिलता, और गति $x y$ -तल में रहती है। बाईं ओर, आवेश $q$ वाले प्रोटॉन को देखिए: वह वृत्त के नीचे वाले खुले बिंदु से $+ x$ दिशा में चला था और तब से केंद्र $C$ के चारों ओर $ω t$ कोण घूम चुका है। उसका वेग $v$ पथ की स्पर्शरेखा है, और बल $F$ त्रिज्या के अनुदिश $C$ की ओर है। दाईं ओर वही $v$ एक स्थिर बिंदु से फिर से खींचा गया है। अक्षों पर उसकी छायाएँ, यानी क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाखंड, उसके घटक $v_{x}$ और $v_{y}$ हैं। तीर उसी कोण $ω t$ से $v_{x}$ अक्ष से घूमा है, क्योंकि वेग सदैव त्रिज्या के लंबवत रहता है और इसलिए ठीक उतनी ही तेज़ी से घूमता है जितनी त्रिज्या।

अब समीकरण। न्यूटन का दूसरा नियम है $m d v / d t = q v \times B$ , जहाँ $m$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है। $B = - B \overset{z}{^}$ के साथ सदिश गुणनफल निकालने पर $v \times B = B (- v_{y}, v_{x}, 0)$ मिलता है। $m$ से भाग देकर और $ω = qB / m$ लिखकर, नियम के दोनों घटक होते हैं
$\overset{v}{˙}_{x} = - ω v_{y}, \overset{v}{˙}_{y} = ω v_{x}$
जहाँ बिंदु समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर दर्शाता है।

हर घटक दूसरे को चलाता है: $v_{y}$ तय करता है कि $v_{x}$ कितनी तेज़ी से बदलेगा, और $v_{x}$ तय करता है कि $v_{y}$ कितनी तेज़ी से बदलेगा। उन्हें अलग करने के लिए पहले समीकरण का एक बार और अवकलन लीजिए और $\overset{v}{˙}_{y}$ की जगह दूसरा समीकरण रखिए:
$\overset{v}{¨}_{x} = - ω \overset{v}{˙}_{y} = - ω^{2} v_{x}$
यह कोणीय आवृत्ति $ω$ वाली सरल आवर्त गति का समीकरण है, और वही चरण $v_{y}$ के लिए भी यही समीकरण देते हैं। प्रारंभिक शर्तें हल चुनती हैं। $t = 0$ पर प्रोटॉन अपनी पूरी चाल $v$ से $+ x$ दिशा में चलता है, अतः $v_{x} = v$ और $v_{y} = 0$ , और इसलिए
$v_{x} = v cos ω t, v_{y} = v sin ω t$
ये चित्र 1 के दाईं ओर की दो पट्टियाँ हैं। एक और समाकलन स्थिति देता है:
$x = x_{c} + \frac{v}{ω} sin ω t, y = y_{c} - \frac{v}{ω} cos ω t$
स्थिरांक $(x_{c}, y_{c})$ बिंदु $C$ है। $t = 0$ पर ये सूत्र प्रोटॉन को $y = y_{c} - v / ω$ पर रखते हैं, यानी $C$ के ठीक नीचे, जैसा चित्र में है। पथ त्रिज्या
$r = \frac{v}{ω} = \frac{m v}{qB}$
का वृत्त है, जो $q > 0$ के लिए वामावर्त चलता है। ऋणात्मक आवेश के लिए $ω$ ऋणात्मक होता है, और वही सूत्र त्रिज्या $∣ m v / (qB) ∣$ के दक्षिणावर्त वृत्त का वर्णन करते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं से हल और छोटा हो जाता है। दोनों घटकों को एक सम्मिश्र संख्या $w = v_{x} + i v_{y}$ में मिलाइए। दो समीकरण एक ही समीकरण $\overset{w}{˙} = iω w$ बन जाते हैं, जिसका हल $w = v e^{iω t}$ है: स्थिर लंबाई $v$ का एक तीर जो स्थिर दर $ω$ से घूमता है, ठीक वही तीर जो चित्र 1 के दाईं ओर है। सदिश भाषा में वही कथन $\dot{v} = ω \times v$ है, जहाँ $ω = - q B / m$ : वेग चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के चारों ओर $qB / m$ की दर से घूमता (पुरस्सरण करता) है। $q > 0$ के लिए घूर्णन सदिश $ω$ , $B$ के विपरीत है, यहाँ पन्ने से बाहर; और ऐसा घूर्णन जिसका सदिश आपकी ओर इंगित करे, वामावर्त दिखता है। इसी कारण प्रोटॉन उस चुंबकीय क्षेत्र में वामावर्त घूमता है जो आपसे दूर की ओर इंगित करता है।

वेग-ग्राफ़ पढ़ना

$v_{x}$ और $v_{y}$ के समय के सापेक्ष ग्राफ़ पूरी गति समेटे रहते हैं: स्थिर चाल, आवर्त और बल, सब इनसे पढ़े जा सकते हैं। चित्र 2 एनिमेशन की उन्नत परत के ग्राफ़ एक आवर्त $T$ पर दिखाता है, यानी एक पूरे चक्कर का समय।

पहले आकार देखिए। नीला वक्र $v_{x}$ एक कोज्या है और हरा वक्र $v_{y}$ एक ज्या, दोनों का आयाम $v = 1.0 \times 1 0^{6} m/s$ है, यानी प्रोटॉन की चाल। वे एक चौथाई आवर्त $T /4$ के अंतर पर हैं: धीमे किए गए एनिमेशन में 1 s, वास्तविकता में 0.16 µs। जहाँ एक वक्र शून्य को काटता है, वहाँ दूसरा शिखर या द्रोणी पर होता है, जैसा $T /4$ की बिंदीदार रेखा पर है। हर क्षण $v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = 1 0^{12} m^{2} / s^{2}$ होता है, क्योंकि $cos^{2} ω t + sin^{2} ω t = 1$ । दोनों घटक लगातार बदलते हैं; चाल कभी नहीं बदलती।

अब ढलान। वेग-ग्राफ़ की ढलान त्वरण है, और न्यूटन के दूसरे नियम से वह बल को द्रव्यमान से भाग देने के बराबर है। $t = 0$ पर $v_{x}$ अपने शिखर पर है, जहाँ उसका ग्राफ़ सपाट है, जबकि $v_{y}$ शून्य को काटता है और उसकी ढलान सबसे तीखी है, चित्र 2 की लाल रेखा। वह ढलान है
$ω v \approx 9.6 \times 1 0^{12} m/ s^{2}$
जहाँ एनिमेशन के 0.10 T में प्रोटॉन के लिए $ω = qB / m \approx 9.6 \times 1 0^{6} rad/s$ है। चूँकि उस क्षण $v_{x}$ नहीं बदल रहा, यही पूरा त्वरण $F / m$ है। यह $+ y$ दिशा में है, सीधे केंद्र की ओर, जो आरंभिक बिंदु के ऊपर है। चौथाई चक्कर बाद भूमिकाएँ बदल जाती हैं: $v_{x}$ सबसे तीखा है और $v_{y}$ सपाट, क्योंकि त्वरण त्रिज्या के साथ घूम चुका है और अब $- x$ की ओर है।

आवर्त चाल पर निर्भर नहीं करता। एनिमेशन का बैंगनी प्रोटॉन उसी बिंदु से $1.5 v$ पर चलता है और 10.4 cm के बजाय 15.7 cm त्रिज्या के वृत्त पर चलता है। उसके घटक समान ज्या-वक्र हैं, जिनका आयाम 1.5 गुना और आवर्त वही है, इसलिए वह लाल प्रोटॉन के साथ ही आरंभ पर लौट आता है। यही है
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 πm}{qB}$
जिसमें चाल कट जाती है। 0.10 T में प्रकाश की चाल से काफ़ी धीमे चलने वाला हर प्रोटॉन, कक्षा का आकार चाहे जो हो, प्रति चक्कर 0.66 µs लेता है।

हेलिक्स और चुंबकीय दर्पण

अब तक वेग चुंबकीय क्षेत्र के आर-पार था। यह भाग सामान्य स्थिति लेता है, जिसमें वेग $B$ से किसी भी कोण पर हो, और आवेशित कण वास्तव में पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में ऐसे ही पहुँचते हैं या प्लाज़्मा में ऐसे ही चलते हैं।

चित्र 3 परिणाम दिखाता है। बाईं ओर, आरंभिक वेग $v$ , $B$ से कोण $θ$ (यहाँ $6 0^{\circ}$ ) बनाता है और दो भागों में बँटता है: क्षेत्र के अनुदिश $v_{∥} = v cos θ$ और उसके आर-पार $v_{⊥} = v sin θ$ । ये दोनों भाग बिल्कुल अलग व्यवहार करते हैं। बल $q v \times B$ सदैव $B$ के लंबवत है, इसलिए उसका क्षेत्र-दिशा में कोई घटक नहीं है, और $v_{∥}$ कभी नहीं बदलता। और समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है, इसलिए $v_{∥}$ बल में कुछ नहीं जोड़ता: बल केवल $v_{⊥}$ पर निर्भर है। अतः $v_{⊥}$ पिछले भागों वाला ही व्यवहार करता है। वह त्रिज्या $r = m v_{⊥} / (qB)$ के वृत्त में घूमता है, जो हेलिक्स के आधार पर बना है, और उसका आवर्त वही $T$ है।

दोनों को मिलाइए: वृत्त क्षेत्र के अनुदिश स्थिर रूप से आगे खिसकता है, और पथ हेलिक्स बन जाता है। चित्र में ऊपर की ओर देखिए। हर चक्कर में समय $T$ लगता है, और उतने समय में प्रोटॉन $B$ के अनुदिश पिच
$h = v_{∥} T = 2 π r cot θ$
आगे बढ़ता है। दूसरा रूप $T = 2 π r / v_{⊥}$ और $v_{∥} / v_{⊥} = cot θ$ से आता है। $6 0^{\circ}$ पर पिच त्रिज्या का लगभग 3.6 गुना है। एनिमेशन के प्रोटॉन के लिए, जो 0.10 T क्षेत्र से 60° पर $1.0 \times 1 0^{6} m/s$ से छोड़ा गया, $v_{⊥} = 8.7 \times 1 0^{5} m/s$ 9.0 cm त्रिज्या का वृत्त देता है, और $v_{∥} = 5.0 \times 1 0^{5} m/s$ उसे हर चक्कर में क्षेत्र के अनुदिश 33 cm आगे ले जाता है।

वास्तविक क्षेत्र शायद ही कभी एकसमान होते हैं। मान लीजिए $B$ चुंबकीय क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश धीरे-धीरे बढ़ता है, और एक चक्कर में बहुत कम बदलता है। तब राशि $m v_{⊥}^{2} / (2 B)$ , यानी वृत्तीय गति की गतिज ऊर्जा को $B$ से भाग देने पर, लगभग स्थिर रहती है। जैसे-जैसे प्रोटॉन प्रबल क्षेत्र में जाता है, $v_{⊥}^{2}$ को $B$ के अनुपात में बढ़ना पड़ता है। कुल चाल नहीं बदल सकती, इसलिए $v_{∥}$ जगह बनाने के लिए घटता है: हेलिक्स कसता जाता है, और जहाँ $v_{⊥}$ को $v$ से अधिक होना पड़ेगा, वहाँ प्रोटॉन आगे बढ़ना रोक देता है और लौट पड़ता है। प्रबल क्षेत्र वाला प्रदेश दर्पण की तरह काम करता है। पृथ्वी की क्षेत्र-रेखाएँ ध्रुवों के पास सघन हो जाती हैं, इसलिए प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों गोलार्धों के बीच आगे-पीछे उछलते रहते हैं, पृथ्वी की विकिरण पट्टियों में फँसकर।

किसी भी चाल पर संवेग

अब तक के संबंध धीमे कणों के लिए निकाले गए थे। यह छोटा भाग दिखाता है कि उनमें से कौन-से उच्च चाल पर भी टिकते हैं। चूँकि चुंबकीय बल कभी चाल नहीं बदलता, वह केवल संवेग $p$ को घुमाता है, और $d p / d t = q v \times B$ के रूप में न्यूटन का नियम किसी भी चाल पर लागू होता है। क्षेत्र के आर-पार गति के लिए यह एक वृत्त देता है, जिसमें
$p = qB r$
जहाँ $p = γm v$ आपेक्षिकीय संवेग है, $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ लॉरेंत्ज़ गुणांक है और $c$ प्रकाश की चाल है। चूँकि चाल स्थिर है, $γ$ भी स्थिर है, और पिछले भागों के चरण $m$ की जगह $γm$ रखकर ज्यों के त्यों लागू होते हैं।

व्यावहारिक इकाइयों में: 1 T के क्षेत्र में 1 m त्रिज्या का पथ 0.30 GeV/c संवेग वाले एक-आवेशित कण का होता है। उच्च ऊर्जा पर जो वास्तव में बदलता है वह मोड़ने की दर है, $ω = qB / (γm)$ , जो ऊर्जा बढ़ने के साथ घटती है। नीचे का साइक्लोट्रॉन ठीक इसी से निपटता है।

परस्पर लंबवत क्षेत्र: अपवाह

यदि $B$ के लंबवत एक एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ जोड़ दिया जाए, तो वृत्त बंद नहीं होते: वे बगल की ओर सरकते हैं। यह स्थिति महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह दिखाती है कि संदर्भ-तंत्र बदलकर विद्युत क्षेत्र कैसे हटाया जा सकता है, और यही वेग-चयनकर्ता का सिद्धांत है।

युक्ति यह है कि एक स्थिर वेग
$v_{d} = \frac{E \times B}{B ^{2}}$
से चलते संदर्भ-तंत्र से देखा जाए। कम चाल पर, $v_{d}$ से चलता प्रेक्षक विद्युत क्षेत्र $E^{'} = E + v_{d} \times B$ मापता है। जब $E$ , $B$ के लंबवत हो, तो $(E \times B) \times B = - B^{2} E$ होता है, इसलिए दूसरा पद ठीक $- E$ होता है और $E^{'} = 0$ । उस संदर्भ-तंत्र में केवल $B$ बचता है, और कण एक साधारण वृत्त पर चलता है। प्रयोगशाला में लौटने पर वह वृत्त अपवाह चाल $v_{d} = E / B$ से आगे सरकता दिखता है। अपवाह में न $q$ है न $m$ , इसलिए हर कण, किसी भी चिह्न का और किसी भी द्रव्यमान का, एक ही दिशा में और एक ही चाल से अपवाहित होता है। यदि $E < c B$ हो, ताकि $v_{d}$ प्रकाश की चाल से नीचे रहे, तो सटीक आपेक्षिकीय विवेचन भी यही परिणाम देता है।

एनिमेशन के 0.10 T में $E = 1.0 \times 1 0^{4} V/m$ हो, तो अपवाह चाल $1.0 \times 1 0^{5} m/s$ है, और प्रोटॉन के फेरे हर चक्कर में $v_{d} T = 6.6 cm$ आगे बढ़ते हैं। वेग-चयनकर्ता भी यही संतुलन लगाता है: ठीक $v_{d}$ चाल से छोड़ा गया कण, जिस पर विद्युत और चुंबकीय बल एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, सीधा निकल जाता है, जबकि तेज़ और धीमे कण विक्षेपित हो जाते हैं।

हल किया गया प्रश्न: एक छोटा साइक्लोट्रॉन

साइक्लोट्रॉन आवर्त के चाल-निरपेक्ष होने का उपयोग करता है। चूँकि किसी दिए गए क्षेत्र में हर प्रोटॉन एक चक्कर में समान समय लेता है, इसलिए एक निश्चित आवृत्ति पर बदलता वोल्टेज उसे उसकी ऊर्जा चाहे जो हो, बार-बार धक्का दे सकता है।

चित्र 4 मशीन को ऊपर से दिखाता है। त्रिज्या $R$ के दो खोखले D-आकार के इलेक्ट्रोड एक संकरे अंतराल के आर-पार एक-दूसरे के सामने हैं। चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों से होकर पन्ने के भीतर की ओर है, और एक प्रत्यावर्ती वोल्टेज स्रोत $V$ उनके बीच जुड़ा है। प्रोटॉन $q$ केंद्र से शुरू होता है। खोखले इलेक्ट्रोड के भीतर कोई विद्युत क्षेत्र नहीं होता, केवल $B$ होता है, इसलिए प्रोटॉन एक अर्धवृत्त तय करके अंतराल पर लौट आता है। यदि तब तक वोल्टेज उलट चुका हो, तो वह प्रोटॉन को अंतराल के पार धकेलता है और उसमें ऊर्जा $q V$ जोड़ता है। तेज़ प्रोटॉन बड़ा अर्धवृत्त तय करता है, इसलिए पथ सर्पिल बनकर बाहर की ओर बढ़ता है, जब तक वह $R$ पर किनारे तक नहीं पहुँचता, जहाँ प्रोटॉन बाहर निकलते हैं। चित्र में केवल चार चक्कर दिखाए गए हैं; नीचे की मशीन को 30 चाहिए।

समस्या। एक छोटा साइक्लोट्रॉन एनिमेशन के क्षेत्र $B = 0.10 T$ का उपयोग करता है, जिसके इलेक्ट्रोड की त्रिज्या $R = 0.50 m$ है और अंतराल पर 2.0 kV आयाम का प्रत्यावर्ती वोल्टेज है। प्रोटॉन केंद्र के पास, लगभग स्थिर अवस्था से शुरू होते हैं। वोल्टेज को किस आवृत्ति पर बदलना होगा, प्रोटॉन कितनी ऊर्जा तक पहुँचेंगे, और कितने चक्करों में? $q = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ और $m = 1.67 \times 1 0^{- 27} kg$ लीजिए।

चरण 1, आवृत्ति। हर प्रोटॉन एक चक्कर में अंतराल दो बार पार करता है, और हर बार वोल्टेज को उलटा पाना चाहिए। अतः प्रोटॉन के एक चक्कर में वोल्टेज एक पूरा चक्र पूरा करे: वह साइक्लोट्रॉन आवृत्ति पर बदलता है
$f = \frac{qB}{2 πm} = \frac{1.60 \times 1 0 ^{- 19} \cdot 0.10}{2 π \cdot 1.67 \times 1 0 ^{- 27}} \approx 1.52 MHz$

चरण 2, अंतिम ऊर्जा। अंतिम कक्षा की त्रिज्या $R$ है, इसलिए $p = qBR$ से प्रोटॉन इस संवेग के साथ निकलते हैं
$p = qBR = 1.60 \times 1 0^{- 19} \cdot 0.10 \cdot 0.50 = 8.0 \times 1 0^{- 21} kg \cdot m/s$
और गतिज ऊर्जा
$K = \frac{p ^{2}}{2 m} = \frac{( 8.0 \times 1 0 ^{- 21} ) ^{2}}{2 \cdot 1.67 \times 1 0 ^{- 27}} \approx 1.92 \times 1 0^{- 14} J \approx 120 keV$
यहाँ $1 eV = 1.60 \times 1 0^{- 19} J$ लिया गया है। यह चाल $p / m = 4.8 \times 1 0^{6} m/s$ है, यानी प्रकाश की चाल का 1.6%। इस परिणाम में वोल्टेज नहीं आता: अंतिम ऊर्जा केवल $B$ और $R$ से तय होती है, और वोल्टेज केवल यह तय करता है कि वहाँ तक पहुँचने में कितने चक्कर लगेंगे।

चरण 3, चक्करों की संख्या। जो प्रोटॉन वोल्टेज के शिखर पर अंतराल पार करता है, वह हर बार 2.0 keV पाता है, इसलिए प्रति चक्कर 4.0 keV। उसे $120/4.0 = 30$ चक्कर चाहिए, यानी 30 आवर्त, लगभग 20 µs। चूँकि $K$ बराबर वृद्धियों में बढ़ता है और $K \propto r^{2}$ , इसलिए $n$ चक्करों के बाद त्रिज्या $R n /30$ है: एक चक्कर के बाद 9.1 cm, चार के बाद 18.3 cm, नौ के बाद 27.4 cm। एनिमेशन का 10.4 cm वाला वृत्त, 5.2 keV पर, पहले और दूसरे चक्कर के बीच है।

जहाँ डिज़ाइन टूटता है। मशीन इस पर निर्भर है कि हर अर्धचक्कर 0.33 µs ही ले। आपेक्षिकता इसे धीरे-धीरे बिगाड़ती है, क्योंकि परिक्रमण की वास्तविक आवृत्ति $qB / (2 πγm)$ है, और गतिज ऊर्जा $K$ के लिए $γ = 1 + K / (m c^{2})$ , जहाँ प्रोटॉन की विराम ऊर्जा $m c^{2}$ 938 MeV है। 120 keV पर $γ \approx 1.00013$ है, और आवृत्ति 0.013% गिरती है, जो हानिरहित है। 20 MeV पर वह 2.1% कम होगी। उस ऊर्जा पर घूमता प्रोटॉन लगभग 24 चक्करों में वोल्टेज से आधा चक्र पीछे रह जाएगा, और फिर ठीक तब अंतराल पर पहुँचेगा जब वोल्टेज उसे धीमा कर रहा होगा। इसलिए उच्च ऊर्जा के साइक्लोट्रॉन या तो प्रोटॉन के ऊर्जा पाने के साथ आवृत्ति घटाते हैं, या किनारे की ओर क्षेत्र बढ़ने देते हैं, ताकि $γm / B$ , और उसके साथ आवर्त, स्थिर रहे।

विद्युत या चुंबकीय: संदर्भ-तंत्र का मामला

कोई बल विद्युत है या चुंबकीय, यह इस पर निर्भर करता है कि देख कौन रहा है। यह भाग एनिमेशन के प्रोटॉन की मदद से बताता है कि ऐसा क्यों है।

प्रयोगशाला में प्रोटॉन पर केवल चुंबकीय बल लगता है। अब उसके क्षणिक विराम-संदर्भ-तंत्र से देखिए, यानी उस क्षण उसके साथ चलते तंत्र से। वहाँ प्रोटॉन का कोई वेग नहीं है, इसलिए उस पर लगा बल चुंबकीय नहीं हो सकता। फिर भी बल वास्तविक है, और कम चाल पर वह दोनों तंत्रों में समान है, इसलिए उस प्रेक्षक को एक विद्युत क्षेत्र दिखना चाहिए
$E^{'} \approx v \times B (v ≪ c)$
एनिमेशन के मानों के लिए इसका परिमाण $v B = 1.0 \times 1 0^{6} \cdot 0.10 = 1.0 \times 1 0^{5} V/m$ है, और $q E^{'} = 1.6 \times 1 0^{- 14} N$ है, जो प्रयोगशाला में मापे गए चुंबकीय बल $q v B$ के ठीक बराबर है। एक तंत्र में शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र दूसरे में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का मिश्रण होता है। कोई भी एक क्षेत्र अकेला हर प्रेक्षक के लिए एक-सा नहीं होता; केवल विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र पूरा ही ऐसा है।

विशेष आपेक्षिकता इसे सटीक बनाती है। संदर्भ-तंत्र बदलने पर दोनों क्षेत्र एक-दूसरे में रूपांतरित होते हैं, परंतु उनके दो संयोजन हर जड़त्वीय प्रेक्षक के लिए एक ही मान रखते हैं:
$E^{2} - c^{2} B^{2} and E \cdot B$
ये अपरिवर्तनीय राशियाँ तय करती हैं कि संदर्भ-तंत्र बदलने से क्या हो सकता है और क्या नहीं। एक शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र में $E^{2} - c^{2} B^{2} < 0$ होता है, और यह चिह्न हर तंत्र में समान रहता है, इसलिए कोई प्रेक्षक उस क्षेत्र को शुद्ध विद्युत क्षेत्र नहीं देख सकता। $E < c B$ वाले लंबवत क्षेत्रों में भी $E^{2} - c^{2} B^{2} < 0$ होता है, और $E \cdot B = 0$ होता है, इसलिए वे हमेशा एक शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र में घटाए जा सकते हैं: यही लंबवत क्षेत्रों वाले भाग का अपवाह तंत्र है।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर के हर परिणाम में प्रोटॉन को एक क्लासिकल बिंदु-आवेश माना गया है, जो निर्वात में चलता है और ऊर्जा नहीं खोता। यह भाग इन सभी धारणाओं को संख्याओं से जाँचता है।

विकिरण। त्वरित आवेश विकिरण करता है, और वृत्त में घूमता आवेश हमेशा त्वरित होता है। कम चाल पर विकिरित शक्ति लार्मर सूत्र से मिलती है,
$P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$
जहाँ $a$ त्वरण है और $ε_{0}$ मुक्त-आकाश की विद्युतशीलता। एनिमेशन के प्रोटॉन के लिए, $a \approx 9.6 \times 1 0^{12} m/ s^{2}$ पर, यह लगभग $5 \times 1 0^{- 28} W$ है। एक चक्कर में वह अपनी ऊर्जा का $4 \times 1 0^{- 19}$ भाग खोता है, इसलिए उसका वृत्त व्यावहारिक रूप से पूरी तरह सटीक है।

यह हानि हमेशा छोटी नहीं होती। एक ही ऊर्जा और एक ही त्रिज्या के वृत्तों के कणों के लिए, प्रति चक्कर हानि द्रव्यमान की व्युत्क्रम चौथी घात से बढ़ती है, इसलिए हल्के कण कहीं अधिक विकिरण करते हैं। 3 GeV के भंडारण वलय में, 7 m त्रिज्या पर मुड़े इलेक्ट्रॉन सिंक्रोट्रॉन विकिरण के रूप में प्रति चक्कर लगभग 1 MeV खोते हैं, और ऐसे वलय इसी को X-किरणों के शक्तिशाली स्रोत के रूप में उत्पन्न करने के लिए बनाए जाते हैं। प्रोटॉन इलेक्ट्रॉन से 1836 गुना भारी है, और $183 6^{4} \approx 1 0^{13}$ है, इसलिए विशाल हैड्रॉन कोलाइडर में भी प्रोटॉन बहुत कम खोते हैं, जहाँ 8.3 T के चुंबकों में 7 TeV के प्रोटॉन $p / (qB) \approx 2.8 km$ त्रिज्या पर मुड़ते हैं।

आपेक्षिकता। $1.0 \times 1 0^{6} m/s$ पर $γ - 1 \approx v^{2} / (2 c^{2}) = 5.6 \times 1 0^{- 6}$ है, इसलिए अनापेक्षिकीय सूत्र बहुत अच्छे हैं। सामान्यतः, संवेग वाले भाग की तरह $m v$ की जगह $p$ और $m$ की जगह $γm$ रखिए।

क्वांटम यांत्रिकी। क्वांटम सिद्धांत में वृत्तीय गति केवल कुछ निश्चित ऊर्जाएँ ले सकती है, जिन्हें लैंडाउ स्तर कहते हैं, और उनका अंतर $ℏ ω$ होता है, जहाँ $ℏ$ घटा हुआ प्लांक स्थिरांक है। एनिमेशन के प्रोटॉन के लिए यह अंतर लगभग $6 \times 1 0^{- 9} eV$ है, जो उसकी 5.2 keV ऊर्जा का $1 0^{- 12}$ है, इतना छोटा कि दिखाई न दे। 10 T में एक इलेक्ट्रॉन के लिए यह 1.2 meV है, जो 1 K पर सामान्य ऊष्मीय ऊर्जा से दस गुने से अधिक है, और वहाँ क्वांटीकरण दिखता है, सबसे प्रभावशाली रूप से क्वांटम हॉल प्रभाव में।

निर्वात। अंत में, यह सब निर्वात मानकर चलता है। हवा में अणुओं से टकराव 5 keV के प्रोटॉन को एक चक्कर पूरा करने से बहुत पहले रोक देते, इसलिए साइक्लोट्रॉन और भंडारण वलय खाली करके रखे जाते हैं।

यह कहाँ ले जाता है

बल $q v \times B$ विद्युत-चुंबकत्व के बाक़ी हिस्से में भी चलता है। लंबाई $L$ की एक धातु की छड़ को चाल $v$ से क्षेत्र के आर-पार धकेलिए, तो यह बल उसके मुक्त आवेशों को छड़ के अनुदिश चलाता है: यही “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” का विद्युत वाहक बल $ε = B Lv$ है। धारा $I$ वाले तार के सभी गतिमान आवेशों पर जोड़ने से वही बल, क्षेत्र से कोण $θ$ पर लंबाई $L$ के तार पर $F = B I L sin θ$ देता है, और कुंडली पर बल-आघूर्ण भी, जो “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” के विषय हैं।

क्षेत्र के आर-पार धारा वाले चालक में, बगल का धक्का एक किनारे पर आवेश जमा करता है, जब तक उस आवेश का विद्युत क्षेत्र उसे संतुलित न कर दे। परिणामी हॉल वोल्टेज का चिह्न बताता है कि वाहक इलेक्ट्रॉन हैं या होल, जैसे “अर्धचालक, डायोड और एलईडी” में; और हॉल सेंसर फ़ोन और कारों में चुंबकीय क्षेत्र मापते हैं।

$E$ और $B$ की संदर्भ-तंत्र पर निर्भरता “विशिष्ट आपेक्षिकता” का विषय है, और समय के साथ बदलते क्षेत्र, जो एक-दूसरे को उत्पन्न करते हैं, “विद्युत चुंबकीय तरंगें” बनाते हैं। अंत में, $p = qB r$ वह तरीका है जिससे “कण और बल: मानक मॉडल” में कणों के संवेग मापे जाते हैं, बबल-चैंबर के चित्रों में दिखने वाले सर्पिल पथों से लेकर विशाल हैड्रॉन कोलाइडर के संसूचकों तक।

मुख्य सूत्र

चुंबकीय बल का परिमाण

F = q v B sin θ

बल आवेश, चाल और क्षेत्र के समानुपाती है। केवल वेग का वह घटक $v sin θ$ गिना जाता है जो क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश गति पर कोई बल नहीं होता और उनके आर-पार गति पर सबसे अधिक बल होता है। ऋणात्मक आवेश के लिए $q$ का परिमाण लीजिए: चिह्न केवल दिशा बदलता है।

चिह्न
$F$	चुंबकीय बल का परिमाण	$N$
$q$	कण का आवेश (परिमाण)	$C$
$v$	कण की चाल	$m/s$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र (फ़्लक्स घनत्व)	$T$
$θ$	वेग और क्षेत्र के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: केवल परिमाण देता है, बिंदु-आवेश के लिए, और आवेश के स्थान पर विद्यमान क्षेत्र का उपयोग करते हुए; दिशा दाएँ हाथ के नियम से आती है। यह किसी भी चाल पर लागू होता है, और यदि विद्युत क्षेत्र हो तो वह अपना बल जोड़ता है।

उदाहरण: एनिमेशन का प्रोटॉन, $1.0 \times 1 0^{6} m/s$ की चाल से 0.10 T के आर-पार: $F = 1.60 \times 1 0^{- 19} \cdot 1.0 \times 1 0^{6} \cdot 0.10 = 1.6 \times 1 0^{- 14} N$ ।

सदिश गुणनफल के रूप में चुंबकीय बल

F = q v \times B

सदिश गुणनफल परिमाण और दिशा एक साथ देता है: $F$ , $v$ और $B$ दोनों के लंबवत है और $q > 0$ के लिए दाएँ हाथ का नियम जो दिशा बताता है वही होती है, $q < 0$ के लिए उलटी। चूँकि $F \cdot v = 0$ है, बल कभी कार्य नहीं करता: वह वेग को घुमाता है, चाल नहीं बदलता। क्रम उलटने पर, यानी $B \times v$ , दिशा उलट जाती है।

चिह्न
$F$	चुंबकीय बल	$N$
$q$	आवेश, उसके चिह्न सहित	$C$
$v$	आवेश का वेग	$m/s$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$

कब लागू होता है: बिंदु-आवेश के लिए किसी भी चाल पर लागू होता है, एकसमान या असमान क्षेत्रों में। यदि विद्युत क्षेत्र मौजूद हो, तो लॉरेंत्ज़ बल पाने के लिए $q E$ जोड़िए।

उदाहरण: एनिमेशन में, स्क्रीन के भीतर क्षेत्र में $+ x$ की ओर चलता प्रोटॉन, जिसके लिए क्षेत्र $- z$ की ओर है, $\overset{x}{^} \times (- \overset{z}{^}) = + \overset{y}{^}$ दिशा में धकेला जाता है: ऊपर, उसके वृत्त के केंद्र की ओर।

कक्षीय वृत्त की त्रिज्या

r = \frac{m v}{qB}

चुंबकीय बल $q v B$ वृत्तीय गति का अभिकेन्द्र बल $m v^{2} / r$ देता है; $r$ के लिए हल करने पर सूत्र मिलता है। अंश संवेग है, अतः $r = p / (qB)$ : ज्ञात क्षेत्र में पथ की वक्रता कण का संवेग मापती है।

चिह्न
$r$	वृत्त की त्रिज्या	$m$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$v$	क्षेत्र के लंबवत चाल	$m/s$
$q$	आवेश का परिमाण	$C$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$

कब लागू होता है: एकसमान क्षेत्र के लंबवत वेग के लिए; अन्यथा घटक $v sin θ$ लीजिए, और पथ हेलिक्स होगा। आपेक्षिकीय चालों पर भी यह लागू होता है, जिसमें $m v$ की जगह संवेग $γm v$ रखा जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन का प्रोटॉन: $r = 1.67 \times 1 0^{- 27} \cdot 1.0 \times 1 0^{6} / (1.60 \times 1 0^{- 19} \cdot 0.10) \approx 0.104 m$ , यानी मापक का 10.4 cm।

साइक्लोट्रॉन कोणीय आवृत्ति

ω = \frac{qB}{m}

प्रति सेकंड घूमा गया कोण $ω = v / r$ है, और $r = m v / (qB)$ रखने पर चाल कट जाती है। किसी दिए गए क्षेत्र में, समान आवेश-द्रव्यमान अनुपात वाले सभी कण एक ही दर से घूमते हैं, चाहे उनकी चाल या त्रिज्या कुछ भी हो; वेग के घटक इसी $ω$ पर दोलन करते हैं।

चिह्न
$ω$	वृत्तीय गति की कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$q$	आवेश का परिमाण	$C$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: प्रकाश की चाल से काफ़ी कम चालों के लिए। उच्च ऊर्जा पर $ω = qB / (γm)$ होता है, जो ऊर्जा बढ़ने के साथ घटता है।

उदाहरण: 0.10 T में प्रोटॉन: $ω = (1.60 \times 1 0^{- 19} \cdot 0.10) / (1.67 \times 1 0^{- 27}) \approx 9.6 \times 1 0^{6} rad/s$ , इसलिए $f = ω / (2 π) \approx 1.52 MHz$ ।

कक्षीय वृत्त का आवर्त

T = \frac{2 πm}{qB}

एक चक्कर परिधि $2 π r$ को चाल $v$ से तय करने के बराबर है, अतः $T = 2 π r / v$ ; $r = m v / (qB)$ रखने पर चाल कट जाती है। तेज़ कण उसी अनुपात में बड़े वृत्त पर चलता है और उतना ही समय लेता है, और इसी से साइक्लोट्रॉन स्थिर-आवृत्ति वोल्टेज से काम कर पाता है।

चिह्न
$T$	आवर्त, यानी एक चक्कर का समय	$s$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$q$	आवेश का परिमाण	$C$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$

कब लागू होता है: $ω$ की तरह: केवल तब तक जब $γ \approx 1$ हो। आपेक्षिकीय ऊर्जाओं पर आवर्त $γ$ के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए बड़े त्वरक कणों के ऊर्जा पाने के साथ आवृत्ति या क्षेत्र बदलते हैं।

उदाहरण: 0.10 T में प्रोटॉन: $T = 2 π \cdot 1.67 \times 1 0^{- 27} / (1.60 \times 1 0^{- 19} \cdot 0.10) \approx 6.6 \times 1 0^{- 7} s$ , यानी लगभग 0.66 µs, लाल और बैंगनी प्रोटॉन दोनों के लिए।

लॉरेंत्ज़ बल

F = q (E + v \times B)

बिंदु-आवेश पर विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र का पूरा बल: एक विद्युत भाग $q E$ , जो आवेश गति करे या न करे, लगता है; और चुंबकीय भाग $q v \times B$ , जिसके लिए गति चाहिए। स्थिर परीक्षण-आवेश पर और दो असमानांतर वेगों पर बल मापने से किसी बिंदु के दोनों क्षेत्र तय हो जाते हैं। केवल विद्युत भाग ऊर्जा बदल सकता है: दी जाने वाली शक्ति $q E \cdot v$ है।

चिह्न
$F$	कुल विद्युत-चुंबकीय बल	$N$
$q$	आवेश, उसके चिह्न सहित	$C$
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$
$v$	आवेश का वेग	$m/s$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$

कब लागू होता है: किसी भी चाल पर बिंदु-आवेश के लिए सटीक, $F = d p / d t$ और आपेक्षिकीय संवेग के साथ। बल का विद्युत और चुंबकीय भागों में बँटना प्रेक्षक पर निर्भर करता है, और आवेश के अपने विकिरण का छोटा प्रतिक्रिया-बल छोड़ दिया गया है।

उदाहरण: एक वेग-चयनकर्ता में, जहाँ $E = 2.5 \times 1 0^{4} V/m$ और $B = 0.25 T$ आर-पार हैं, $v = E / B = 1.0 \times 1 0^{5} m/s$ पर बल शून्य हो जाता है।

शब्दावली

चुंबकीय बल: चुंबकीय क्षेत्र का गतिमान आवेश पर धक्का, $q v \times B$ । यह वेग और क्षेत्र, दोनों के लंबवत है, इसलिए यह आवेश को मोड़ता है पर उसकी चाल नहीं बदलता; स्थिर आवेश, या क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश चलता आवेश, कोई बल नहीं पाता।
लॉरेंत्ज़ बल: बिंदु-आवेश पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का कुल बल, $F = q (E + v \times B)$ । विद्युत भाग आवेश के गति करने या न करने पर भी लगता है और उसकी ऊर्जा बदल सकता है; चुंबकीय भाग के लिए गति चाहिए और वह कार्य नहीं करता।
चुंबकीय क्षेत्र: चुंबकों और धाराओं के पास की वह स्थिति जो गतिमान आवेशों पर बल डालती है। इसकी दिशा वह रेखा है जिस पर चलने वाले आवेश पर कोई चुंबकीय बल नहीं लगता; चित्रों में × का अर्थ पन्ने के भीतर जाता क्षेत्र और • का अर्थ पन्ने से बाहर आता क्षेत्र है।
चुंबकीय बल के लिए दाएँ हाथ का नियम: दाएँ हाथ की अँगुलियाँ $v$ की दिशा में रखें और उन्हें $B$ की ओर मोड़ें: अँगूठा $v \times B$ की दिशा देता है, यानी धनात्मक आवेश पर बल की। ऋणात्मक आवेश पर बल की दिशा उलट जाती है।
सदिश गुणनफल: दो सदिशों $a \times b$ का गुणनफल: परिमाण $ab sin θ$ का, दोनों के लंबवत, दाएँ हाथ के नियम से दी गई दिशा में। क्रम बदलने पर चिह्न उलट जाता है, और समांतर सदिशों के लिए यह शून्य है।
साइक्लोट्रॉन गति: एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेश की वृत्तीय गति, जिसकी त्रिज्या $r = m v / (qB)$ है और आवर्त चाल पर निर्भर नहीं करता। इसकी आवृत्ति $qB / (2 πm)$ साइक्लोट्रॉन आवृत्ति है, 0.10 T में प्रोटॉन के लिए 1.52 MHz।
हेलिक्स पथ: एकसमान क्षेत्र में आवेश का सामान्य पथ: क्षेत्र के लंबवत एक वृत्त, जिसके साथ क्षेत्र के अनुदिश एक स्थिर गति जुड़ी होती है, जिसे क्षेत्र प्रभावित नहीं करता। सूर्य के कण इसी तरह पृथ्वी की क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश सर्पिल बनाते हुए ध्रुवों की ओर पहुँचते हैं और ध्रुवीय ज्योति बनाते हैं।
वेग-चयनकर्ता: आर-पार विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र जिनमें दोनों बल केवल एक चाल $v = E / B$ पर एक-दूसरे को निरस्त करते हैं। तेज़ या धीमे कण विक्षेपित हो जाते हैं और एक झिरी से रुक जाते हैं।
द्रव्यमान-स्पेक्ट्रोमीटर: आयनों को द्रव्यमान से छाँटने वाला उपकरण: ज्ञात आवेश और चाल पर, चुंबकीय क्षेत्र में आयन के वृत्त की त्रिज्या $r = m v / (qB)$ उसका द्रव्यमान मापती है, इसलिए अलग-अलग समस्थानिक अलग स्थानों पर गिरते हैं।
साइक्लोट्रॉन: एक वृत्तीय त्वरक, जिसमें चुंबकीय क्षेत्र आवेशित कणों को सर्पिल में मोड़ता है, जबकि प्रत्यावर्ती वोल्टेज हर चक्कर में उन्हें दो बार धक्का देता है। निश्चित आवृत्ति इसलिए काम करती है क्योंकि एक चक्कर का समय चाल पर निर्भर नहीं करता, जब तक आपेक्षिकता प्रभावी न हो।
परस्पर लंबवत क्षेत्रों में अपवाह: परस्पर लंबवत विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ में, किसी आवेश का वृत्त $E \times B / B^{2}$ पर बगल की ओर सरकता है, जिसका परिमाण $E / B$ है, हर आवेश और द्रव्यमान के लिए एक-सा। इस अपवाह के साथ चलते तंत्र में विद्युत क्षेत्र लुप्त हो जाता है।
सिंक्रोट्रॉन विकिरण: उच्च चाल पर चुंबकीय क्षेत्र से मुड़े आवेशित कणों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश। धीमे प्रोटॉनों के लिए नगण्य, पर 7 m त्रिज्या पर मुड़े 3 GeV इलेक्ट्रॉन प्रति चक्कर लगभग 1 MeV खो देते हैं, और भंडारण वलय इसे चमकीले X-किरण स्रोत के रूप में उपयोग करते हैं।

राशियाँ
$F$	चुंबकीय बल	$N$	गतिमान आवेश पर बल का परिमाण, $q v B sin θ$ ; एनिमेशन के प्रोटॉन के लिए $1.6 \times 1 0^{- 14} N$ ।
$q$	आवेश	$C$	कण का विद्युत आवेश, उसके चिह्न सहित: प्रोटॉन के लिए $+ 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ , और इलेक्ट्रॉन के लिए उतना ही ऋणात्मक।
$v$	चाल	$m/s$	आवेश कितनी तेज़ी से चलता है। केवल क्षेत्र के लंबवत वेग घटक $v sin θ$ चुंबकीय बल उत्पन्न करता है, और बल $v$ को कभी नहीं बदलता।
$B$	चुंबकीय क्षेत्र (फ़्लक्स घनत्व)	$T$	क्षेत्र की प्रबलता: 1 T वह क्षेत्र है जो 1 m/s की चाल से उसे आर-पार करते 1 C आवेश पर 1 N का बल लगाता है, अतः $1 T = 1 N/ (A \cdot m)$ । पृथ्वी का क्षेत्र 25–65 µT है; एनिमेशन में 0.10 T है।
$θ$	वेग और क्षेत्र के बीच कोण	$rad$	क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश गति के लिए शून्य, जिससे कोई बल नहीं होता; उनके आर-पार गति के लिए $9 0^{\circ}$ , जिससे सबसे बड़ा बल होता है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	कण का द्रव्यमान: प्रोटॉन के लिए $1.67 \times 1 0^{- 27} kg$ , जो इलेक्ट्रॉन का 1836 गुना है। भारी कण को मोड़ना कठिन होता है।
$r$	कक्षा की त्रिज्या	$m$	वृत्त की त्रिज्या, $m v / (qB) = p / (qB)$ : एनिमेशन के प्रोटॉन के लिए 10.4 cm, इसलिए यह कण का संवेग मापती है।
$T$	आवर्त	$s$	एक चक्कर का समय, $2 πm / (qB)$ , हर चाल पर एक-सा: 0.10 T में प्रोटॉन के लिए 0.66 µs। इसे टेस्ला से न मिलाएँ, जिसकी इकाई सीधे अक्षर T में लिखी जाती है।
$ω$	साइक्लोट्रॉन कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	वह दर जिस पर वेग घूमता है, $qB / m$ : 0.10 T में प्रोटॉन के लिए $9.6 \times 1 0^{6} rad/s$ ।
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$	स्थिर आवेश पर प्रति इकाई आवेश बल ( $1 V/m = 1 N/C$ )। लॉरेंत्ज़ बल में यह $q E$ जोड़ता है, जो चाल बदल सकने वाला एकमात्र भाग है।

क्विज़

शुरुआती एक आवेशित कण एक शक्तिशाली चुंबक के दो ध्रुवों के बीच स्थिर पड़ा है। उस पर कौन-सा चुंबकीय बल लगता है?
1. उत्तरी ध्रुव की ओर एक बल
2. दक्षिणी ध्रुव की ओर एक बल
3. कोई भी बल नहीं
4. एक बल जो उसे घुमाता है
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उत्तर: C. कोई भी बल नहीं
चुंबकीय बल F = q·v·B·sin θ, v = 0 पर शून्य होता है: केवल गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल लगता है।
शुरुआती एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के आर-पार गति करता है। उसकी चाल का क्या होता है?
1. वह वही रहती है; केवल दिशा बदलती है
2. वह लगातार बढ़ती है
3. वह लगातार घटती है
4. वह शून्य हो जाती है
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उत्तर: A. वह वही रहती है; केवल दिशा बदलती है
चुंबकीय धक्का सदैव गति के लंबवत होता है, इसलिए वह कण को बिना तेज़ या धीमा किए मोड़ता है।
शुरुआती गतिमान आवेश पर चुंबकीय धक्का किस दिशा में लगता है?
1. गति की दिशा में
2. गति के विपरीत
3. गति के लंबवत, बगल में
4. हमेशा सीधे नीचे
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उत्तर: C. गति के लंबवत, बगल में
धक्का गति (और क्षेत्र) के लंबवत होता है। इसी कारण वह पथ को वृत्त में मोड़ता है।
मध्यम एक प्रोटॉन (q = 1.6 × 10⁻¹⁹ C) 2.0 × 10⁶ m/s की चाल से 0.50 T के क्षेत्र के लंबवत चलता है। उस पर कितना बल लगता है?
1. 6.4 × 10⁻¹³ N
2. 1.6 × 10⁻¹⁹ N
3. 3.2 × 10⁻¹³ N
4. 1.6 × 10⁻¹³ N
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उत्तर: D. 1.6 × 10⁻¹³ N
F = q·v·B = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 2.0 × 10⁶ × 0.50 = 1.6 × 10⁻¹³ N। गुणक 0.50 भूल जाने पर 3.2 × 10⁻¹³ N मिलता है।
मध्यम एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्त में घूमता है। यदि उसकी चाल दोगुनी कर दी जाए, तो उसके वृत्त की त्रिज्या:
1. आधी हो जाती है
2. दोगुनी हो जाती है
3. चार गुनी हो जाती है
4. वही रहती है
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उत्तर: B. दोगुनी हो जाती है
r = m·v/(q·B) का मान v के समानुपाती है, अतः चाल दोगुनी करने पर त्रिज्या भी दोगुनी होती है।
मध्यम चुंबकीय बल आवेशित कण की चाल कभी क्यों नहीं बदलता?
1. क्योंकि चुंबकीय बल सदैव कमज़ोर होते हैं
2. क्योंकि वह सदैव वेग के लंबवत होता है, इसलिए कोई कार्य नहीं करता
3. क्योंकि क्षेत्र एकसमान है
4. क्योंकि आवेश बहुत छोटा है
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उत्तर: B. क्योंकि वह सदैव वेग के लंबवत होता है, इसलिए कोई कार्य नहीं करता
कार्य गति की दिशा में F·d होता है। वेग के लंबवत बल कोई कार्य नहीं करता, इसलिए गतिज ऊर्जा और चाल स्थिर रहती हैं।
उन्नत साइक्लोट्रॉन में एक प्रोटॉन की चाल (अनापेक्षिकीय स्थिति में) दोगुनी हो जाती है। एक चक्कर पूरा करने में लगने वाला समय कैसे बदलता है?
1. आधा हो जाता है
2. दोगुना हो जाता है
3. वही रहता है
4. चार गुना हो जाता है
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उत्तर: C. वही रहता है
T = 2π·m/(q·B) में v नहीं है: त्रिज्या चाल के साथ दोगुनी होती है, इसलिए प्रति चक्कर समय वही रहता है।
उन्नत एक धनात्मक आवेश v = v·x̂ से चल रहा है और क्षेत्र B = B·ŷ है। F = q·v × B की दिशा क्या है?
1. +z
2. −z
3. +x
4. −y
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उत्तर: A. +z
x̂ × ŷ = ẑ, अतः q > 0 के लिए बल +z दिशा में है, जो v और B दोनों के लंबवत है।

$C$	वृत्त का केंद्र, बिंदु $(x_{c}, y_{c})$ ।
$r$	वृत्त की त्रिज्या, $r = m v / (qB)$ , $C$ से आरंभिक बिंदु तक खींची गई।	$m$
$ω t$	आरंभ से घूमा गया कोण; $ω = qB / m$ घूमने की दर है।	$rad$
$q$	कण का आवेश, यहाँ प्रोटॉन; खुला बिंदु वह स्थान है जहाँ से वह चला।	$C$
$v$	वेग: वृत्त के स्पर्श की दिशा में, लंबाई स्थिर चाल $v$ के बराबर।	$m/s$
$F$	चुंबकीय बल $q v \times B$ : $v$ के लंबवत, $C$ की ओर।	$N$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र: एकसमान, पन्ने के भीतर की ओर (क्रॉस)।	$T$
$v_{x}$	$v$ का $x$ के अनुदिश घटक, $v cos ω t$ ; चित्र के क्षण पर ऋणात्मक।	$m/s$
$v_{y}$	$v$ का $y$ के अनुदिश घटक, $v sin ω t$ ।	$m/s$

$v$	दोनों वक्रों का आयाम: स्थिर चाल।	$m/s$
$t$	समय, आरंभ से मापा गया।	$s$
$T /4$	आवर्त का एक चौथाई: जब $v_{x}$ शून्य को काटता है, तब $v_{y}$ शिखर पर होता है।	$s$
$T$	एक पूरे चक्कर का आवर्त, $T = 2 πm / (qB)$ ।	$s$
$v_{x}$	वेग का $x$ के अनुदिश घटक, $v cos ω t$ ।	$m/s$
$v_{y}$	वेग का $y$ के अनुदिश घटक, $v sin ω t$ ।	$m/s$
$ω v$	$t = 0$ पर $v_{y}$ की ढलान, सबसे तीखी: त्वरण $F / m$ के बराबर।	$m/ s^{2}$

$θ$	आरंभिक वेग और $B$ के बीच का कोण; यहाँ $6 0^{\circ}$ ।	$rad$
$v$	आरंभ पर वेग; उसकी लंबाई स्थिर चाल $v$ है।	$m/s$
$v_{⊥}$	$v$ का वह भाग जो $B$ के आर-पार है, $v sin θ$ : यह वृत्त में घूमता है।	$m/s$
$v_{∥}$	$v$ का वह भाग जो $B$ के अनुदिश है, $v cos θ$ : इस पर बल नहीं लगता और यह कभी नहीं बदलता।	$m/s$
$r$	वृत्त की त्रिज्या, $r = m v_{⊥} / (qB)$ ।	$m$
$h$	हेलिक्स की पिच: एक आवर्त $T$ में $B$ के अनुदिश तय दूरी, $h = v_{∥} T$ ।	$m$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र, यहाँ ऊपर की ओर।	$T$

$R$	इलेक्ट्रोडों की त्रिज्या: सबसे बड़ी कक्षा, जहाँ प्रोटॉन बाहर निकलते हैं।	$m$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र: दोनों इलेक्ट्रोडों से होकर पन्ने के भीतर की ओर।	$T$
$V$	दोनों इलेक्ट्रोडों के बीच, अंतराल पार, प्रत्यावर्ती वोल्टेज।	$V$
$q$	प्रोटॉन का आवेश, उसके आरंभिक बिंदु पर दिखाया गया।	$C$