Force magnétique sur une charge en mouvement

Débutant

Posez un fil en travers de l'entrefer d'un aimant en U et faites passer un courant : le fil fait un bond de côté, hors de l'entrefer ou plus profondément dedans. Inversez le courant, il bondit dans l'autre sens. Retournez aussi l'aimant, et il reprend le premier sens.

Pourquoi ? Un courant n'est rien d'autre que des charges électriques en mouvement. L'aimant pousse chacune de ces charges mobiles, et comme elles ne peuvent pas quitter le fil, elles l'entraînent avec elles. Une charge immobile près d'un aimant ne ressent rien du tout : la poussée n'apparaît que lorsque la charge se déplace.

Le sens de la poussée est la vraie surprise. Elle n'est jamais dirigée le long du mouvement : elle agit de côté, perpendiculairement à la fois à la direction de la charge et au champ magnétique. Une poussée latérale ne peut ni accélérer ni ralentir un objet ; elle peut seulement le faire tourner, comme une ficelle qui fait tournoyer une balle au-dessus de votre tête. Une charge lancée librement dans le champ d'un aimant tourne donc sans cesse, et sa trajectoire devient un cercle.

C'est ce que montre l'animation. Les × gris représentent un champ magnétique qui entre dans l'écran. Suivez la charge rouge : la flèche bleue indique où elle va, la flèche rouge montre la poussée. La poussée vise toujours le centre du cercle, et la charge ne va jamais plus vite ni plus lentement.

La même poussée guide les particules venues du Soleil vers les pôles terrestres, où elles illuminent le ciel en aurores polaires, et d'immenses anneaux d'aimants font tourner les particules dans les accélérateurs.

Testez-vous : un électron est immobile entre les pôles d'un aimant puissant. Quelle force magnétique subit-il ? (Aucune : seules les charges en mouvement en subissent une.)

Intermédiaire

Charge, vitesse et champ

Trois grandeurs déterminent la force magnétique qui s'exerce sur une particule : sa charge $q$, en coulombs et avec son signe ($+1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ pour un proton) ; sa vitesse $\vec{v}$, direction comprise ; et le champ magnétique $\vec{B}$ à l'endroit où elle se trouve, mesuré en tesla (T). Un tesla est un champ intense : celui de la Terre vaut 25 à 65 µT, un aimant de réfrigérateur donne quelques millitesla et un appareil d'IRM 1,5 à 3 T. L'animation utilise $B=0,10\mathrm{T}$, à peu près le champ entre les pôles d'un bon aimant en U.

Sur un schéma en deux dimensions, une croix × représente l'empennage d'une flèche qui s'éloigne de vous : les croix grises de l'animation indiquent donc un champ qui entre dans l'écran. Un point • représente la pointe d'une flèche qui vient vers vous, c'est-à-dire un champ qui sort de l'écran. L'angle $\theta$ se mesure entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$ ; le proton se déplace perpendiculairement au champ, donc $\theta =90^{\circ }$ à tout instant.

La valeur de la force

Les expériences menées avec des faisceaux de particules montrent que la force est proportionnelle à la charge, à la vitesse et au champ, et qu'elle dépend de l'angle entre le mouvement et le champ :
$F=qvB\sin \theta$

Seule compte la partie de la vitesse qui traverse les lignes de champ, $v\sin \theta$. Une charge qui se déplace le long des lignes de champ ne subit rien ; une charge qui les traverse à angle droit subit le maximum, $F=qvB$, et sous un angle de 30° la moitié de cette valeur. Pour une charge négative, on prend la valeur absolue de $q$ : le signe ne change que le sens.

Une charge au repos ne subit aucune force magnétique, si puissant que soit l'aimant : c'est la différence la plus marquée avec un champ électrique. Cette relation définit aussi le tesla : 1 T exerce 1 N sur 1 C qui le traverse à 1 m/s, donc $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}\cdot s/(\mathrm{C}\cdot \mathrm{m})=1N/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{m})$.

Lire le schéma : la règle de la main droite

La force est perpendiculaire à la fois à la vitesse et au champ. Sa valeur et son sens tiennent dans une seule équation vectorielle :
$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

Le produit vectoriel $\vec{v}\times \vec{B}$ a pour norme $vB\sin \theta$, et son sens suit la règle de la main droite : pointez les doigts de votre main droite le long de $\vec{v}$, repliez-les vers $\vec{B}$, et votre pouce indique la force sur une charge positive. L'ordre compte, car $\vec{B}\times \vec{v}$ pointe en sens inverse.

Essayez-la sur l'animation. En bas du cercle, le proton se déplace vers la droite et le champ entre dans l'écran : le pouce pointe donc vers le haut, vers le centre, comme la flèche rouge $F$, et le proton tourne dans le sens antihoraire. Inverser le champ ou la vitesse inverse la force ; inverser les deux la laisse inchangée.

Aucun travail, donc un cercle

Comme $\vec{F}$ est toujours perpendiculaire à $\vec{v}$, elle ne travaille pas. L'énergie cinétique ne peut donc pas changer, ni la valeur de la vitesse : l'affichage de $|v|$ reste à $1,0\times 10^{6}m/s$. Une force de valeur constante qui se contente de faire tourner la vitesse, c'est exactement ce qu'il faut pour un mouvement circulaire uniforme : la force magnétique joue le rôle de la force centripète étudiée dans la leçon Mouvement circulaire :
$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

En isolant le rayon, et en utilisant $T=2\pi r/v$ pour la période et $\omega =2\pi /T$ pour la pulsation, on obtient trois formules utiles :

• $r=\frac{mv}{qB}$
• $T=\frac{2\pi m}{qB}$
• $\omega =\frac{qB}{m}$

Une particule plus rapide ou plus lourde décrit un cercle plus large ; un champ plus fort ou une charge plus grande, un cercle plus serré. La surprise se trouve dans la deuxième ligne : la vitesse a disparu, si bien qu'une particule plus rapide décrit un cercle plus grand en exactement le même temps.

Exemple résolu : le proton de l'animation

Un proton a pour charge $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ et pour masse $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$. Dans l'animation, il se déplace à $v=1,0\times 10^{6}m/s$ perpendiculairement à un champ $B=0,10\mathrm{T}$, donc $\sin \theta =1$ :
$F=qvB=1,60\times 10^{-19}\cdot 1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{1,67\times 10^{-27}\cdot 1,0\times 10^6}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 0,104\mathrm{m}$
$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}\approx 6,6\times 10^{-7}\mathrm{s}$

Ce sont les valeurs des affichages : $F=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, $r=10,4\mathrm{cm}$ et un $|v|=1,0\times 10^{6}m/s$ constant. Le vrai proton fait un tour en 0,66 µs, soit environ 1,5 million de fois par seconde ; l'animation, à 4 s par tour, est ralentie environ six millions de fois.

La force paraît minuscule, mais la masse l'est bien davantage : l'accélération $F/m\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$ vaut environ $10^{12}$ fois $g$, si bien que la pesanteur ne joue aucun rôle. La flèche bleue $v$ reste tangente au cercle en pointillés, avec une longueur fixe, tandis que la flèche rouge $F$ suit le rayon gris $r$ et pointe vers le centre : toujours à 90° de $v$, elle ne travaille pas.

Exemple résolu : trier les ions selon leur masse

Un spectromètre de masse pèse les atomes d'après la taille de leurs cercles. Des ions néon simplement chargés, de charge $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$, quittent la source avec des vitesses dispersées ; ils traversent donc d'abord un sélecteur de vitesse, où une force électrique $qE$ et une force magnétique $qvB$ poussent en sens opposés. Seuls les ions pour lesquels $qE=qvB$ continuent tout droit à travers une fente. Avec 250 V entre des plaques distantes de 1 cm, on a $E=2,5\times 10^{4}V/m$, et avec $B=0,25\mathrm{T}$, la vitesse sélectionnée vaut
$v=\frac{E}{B}=\frac{2,5\times 10^4}{0,25}=1,0\times 10^{5}m/s$

Dans le même champ, mais sans les plaques, les ions décrivent ensuite un demi-cercle jusqu'à un détecteur. Le néon 20 a pour masse $m=3,32\times 10^{-26}\mathrm{kg}$ :
$r_{20}=\frac{mv}{qB}=\frac{3,32\times 10^{-26}\cdot 1,0\times 10^5}{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,25}\approx 0,083\mathrm{m}$

Le néon 22 est plus lourd de 10 % et, à vitesse fixée, $r$ est proportionnel à $m$ : $r_{22}\approx 0,091\mathrm{m}$. Chaque ion arrive à un diamètre de la fente, à 16,6 cm et à 18,3 cm, de sorte que les deux isotopes tombent à 1,7 cm l'un de l'autre. Sans le sélecteur, ils se brouilleraient : un ion néon 20 trop rapide de 1 % atterrirait 1,7 mm plus loin.

Erreurs fréquentes

• La force n'est pas dirigée le long des lignes de champ, comme le serait une force électrique, mais à angle droit avec elles : le proton reçoit sa poussée de $1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$ vers le centre de son cercle, jamais vers l'intérieur de l'écran.
• Un champ magnétique ne peut pas changer la vitesse d'une charge. Le proton garde ses $1,0\times 10^{6}m/s$ et ses 5,2 keV d'énergie cinétique tour après tour ; les accélérateurs fournissent de l'énergie avec des champs électriques et ne font que guider avec des champs magnétiques.
• Un mouvement oblique subit une force plus faible. À 30° du champ au lieu de 90°, le proton ne ressentirait que $8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$, soit deux fois moins.
• Le signe de la charge compte. Un électron à la même vitesse est poussé dans l'autre sens et tourne dans le sens horaire, sur un rayon d'environ 0,057 mm, 1836 fois plus petit, comme sa masse.

Où on le rencontre

Les aurores polaires en sont le cas le plus spectaculaire : les particules chargées venues du Soleil sont guidées par les lignes du champ terrestre vers les régions polaires, où elles font briller la haute atmosphère. Des cyclotrons d'hôpital accélèrent des protons pour produire les isotopes employés en tomographie par émission de positons (TEP), les spectromètres de masse servent à dater de très vieux échantillons de carbone et à détecter le dopage des sportifs, et les détecteurs de particules déduisent les quantités de mouvement de la courbure des traces.

La même force s'exerce sur les charges qui dérivent dans un fil. Si la charge mobile $Q$ contenue dans une longueur $L$ de fil dérive à la vitesse $v$, le courant vaut $I=Qv/L$, et les forces s'additionnent en $QvB=BIL$ pour un fil placé en travers du champ : 0,025 N pour 5,0 A dans 5,0 cm de fil en travers de 0,10 T. Cette poussée fait bondir un fil entre les pôles d'un aimant en U et fait tourner tout moteur électrique, dans la leçon Moteurs, générateurs et transformateurs. Déplacer un fil dans un champ pousse au contraire ses charges le long du fil : c'est le point de départ de la leçon Induction électromagnétique.

Avancé

La force de Lorentz définit les champs

Cette section pose la loi sur laquelle repose toute la leçon et en tire la conséquence la plus importante : un champ magnétique peut dévier une charge, mais jamais la rendre plus rapide. Une charge ponctuelle $q$ qui se déplace à la vitesse $\vec{v}$ dans un champ électrique $\vec{E}$ et un champ magnétique $\vec{B}$ subit la force de Lorentz
$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

On peut lire la loi à l'envers, comme une recette pour mesurer les deux champs avec une charge d'essai. Maintenue immobile, la charge ne subit que $q\vec{E}$, ce qui donne $\vec{E}$. Mise en mouvement, elle subit en plus une force qui croît avec sa vitesse et reste toujours perpendiculaire à celle-ci. Cette force supplémentaire est nulle pour un mouvement le long d'une certaine droite, et cette droite est la direction de $\vec{B}$. Pour toute autre vitesse, elle fixe la composante de $\vec{B}$ perpendiculaire à $\vec{v}$ ; une seconde vitesse, non parallèle à la première, fournit la composante manquante le long de la première. Deux mesures fixent donc les trois composantes de $\vec{B}$.

Le sens de la poussée découle de la règle du produit vectoriel. Avec des vecteurs unitaires $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ le long des axes, $\hat{x}\times \hat{y}=\hat{z}$, et il en va de même pour les permutations circulaires $\hat{y}\times \hat{z}=\hat{x}$ et $\hat{z}\times \hat{x}=\hat{y}$. Une charge positive qui se déplace selon $+y$ dans un champ dirigé selon $+z$ est donc poussée selon $\hat{y}\times \hat{z}=+\hat{x}$.

Passons à l'énergie. Une force fait varier l'énergie cinétique $K$ au rythme $\vec{F}\cdot \vec{v}$, la puissance qu'elle fournit. Avec la force de Lorentz,
$\frac{dK}{dt}=q\vec{E}\cdot \vec{v}+q\vec{v}\cdot (\vec{v}\times \vec{B})$
Le dernier terme est nul, car le produit vectoriel $\vec{v}\times \vec{B}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$. Donc $dK/dt=q\vec{E}\cdot \vec{v}$ : seul le champ électrique modifie l'énergie d'une particule, quelle que soit la forme du champ magnétique. Une force magnétique peut faire tourner la vitesse, mais jamais l'allonger ni la raccourcir. Quand un champ magnétique variable semble travailler, comme dans un transformateur, le travail est fourni par le champ électrique que la variation induit.

Mouvement circulaire : deux oscillateurs couplés

Légende

$C$	Centre du cercle, le point $(x_c,y_c)$.
$r$	Rayon du cercle, $r=mv/(qB)$, tracé de $C$ au point de départ.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Angle parcouru depuis le départ ; $\omega =qB/m$ est la pulsation de rotation.	$\mathrm{rad}$
$q$	Charge de la particule, ici un proton ; le point creux marque le départ.	$\mathrm{C}$
$\vec{v}$	Vitesse : tangente au cercle, sa longueur est la valeur constante $v$.	$m/s$
$\vec{F}$	Force magnétique $q\vec{v}\times \vec{B}$ : perpendiculaire à $\vec{v}$, dirigée vers $C$.	$\mathrm{N}$
$\vec{B}$	Champ magnétique, uniforme et dirigé vers l'intérieur de la page (les croix).	$\mathrm{T}$
$v_x$	Composante de $\vec{v}$ selon $x$, $v\cos \omega t$ ; négative à l'instant représenté.	$m/s$
$v_y$	Composante de $\vec{v}$ selon $y$, $v\sin \omega t$.	$m/s$

Cette section résout exactement le mouvement dans un champ magnétique uniforme. La méthode, qui consiste à décomposer la vitesse en composantes qui s'entraînent l'une l'autre, mérite d'être apprise pour elle-même, et le résultat, un cercle parcouru à cadence fixe, sous-tend tout le reste de la leçon.

La figure 1 pose la géométrie de l'animation. Le champ est dirigé vers l'intérieur de la page (les croix). Avec $x$ vers la droite, $y$ vers le haut et $z$ hors de la page, cela s'écrit $\vec{B}=-B\hat{z}$. La force est perpendiculaire à $\vec{B}$ : elle ne donne donc jamais au proton de vitesse selon $z$, et le mouvement reste dans le plan $xy$. À gauche, suivez le proton de charge $q$ : il est parti du point creux, en bas du cercle, en se déplaçant selon $+x$, et a depuis tourné de l'angle $\omega t$ autour du centre $C$. Sa vitesse $\vec{v}$ est tangente à la trajectoire, et la force $\vec{F}$ est dirigée selon le rayon, vers $C$. À droite, le même $\vec{v}$ est dessiné de nouveau à partir d'un point fixe. Ses ombres sur les axes, les barres horizontale et verticale, sont ses composantes $v_x$ et $v_y$. La flèche a tourné du même angle $\omega t$ à partir de l'axe $v_x$, parce que la vitesse reste perpendiculaire au rayon et tourne donc exactement aussi vite que lui.

Passons aux équations. La deuxième loi de Newton s'écrit $md\vec{v}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$, où $m$ est la masse du proton. Le calcul du produit vectoriel avec $\vec{B}=-B\hat{z}$ donne $\vec{v}\times \vec{B}=B(-v_y,v_x,0)$. En divisant par $m$ et en posant $\omega =qB/m$, les deux composantes de la loi s'écrivent
${\dot{v}}_x=-\omega v_y,{\dot{v}}_y=\omega v_x$
où le point désigne la dérivée par rapport au temps.

Chaque composante entraîne l'autre : $v_y$ fixe la rapidité de variation de $v_x$, et $v_x$ celle de $v_y$. Pour les séparer, dérivons encore une fois la première équation et remplaçons ${\dot{v}}_y$ par la seconde :
${\ddot{v}}_x=-\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$
C'est l'équation de l'oscillateur harmonique de pulsation $\omega$, et les mêmes étapes la donnent pour $v_y$. Les conditions initiales choisissent la solution. À $t=0$, le proton se déplace selon $+x$ à sa pleine vitesse $v$, donc $v_x=v$ et $v_y=0$, d'où
$v_x=v\cos \omega t,v_y=v\sin \omega t$
Ce sont les deux barres à droite de la figure 1. Une intégration de plus donne la position :
$x=x_c+\frac{v}{\omega }\sin \omega t,y=y_c-\frac{v}{\omega }\cos \omega t$
Les constantes $(x_c,y_c)$ désignent le point $C$. À $t=0$, ces formules placent le proton en $y=y_c-v/\omega$, juste au-dessous de $C$, comme sur la figure. La trajectoire est un cercle de rayon
$r=\frac{v}{\omega }=\frac{mv}{qB}$
parcouru dans le sens antihoraire pour $q>0$. Pour une charge négative, $\omega$ est négatif, et les mêmes formules décrivent un cercle parcouru dans le sens horaire, de rayon $|mv/(qB)|$.

Les nombres complexes raccourcissent la solution. Réunissons les deux composantes en un seul nombre complexe, $w=v_x+i{v}_y$. Le couple d'équations devient l'équation unique $\dot{w}=i\omega w$, dont la solution est $w=v{e}^{i\omega t}$ : une flèche de longueur fixe $v$ qui tourne à cadence constante $\omega$, exactement la flèche de droite de la figure 1. En langage vectoriel, la même affirmation s'écrit $\dot{\vec{v}}=\vec{\omega }\times \vec{v}$ avec $\vec{\omega }=-q\vec{B}/m$ : la vitesse tourne (précesse) autour de la direction du champ à la pulsation $qB/m$. Pour $q>0$, le vecteur rotation $\vec{\omega }$ est opposé à $\vec{B}$, donc ici dirigé hors de la page, et une rotation dont le vecteur pointe vers vous paraît antihoraire. C'est pourquoi le proton tourne dans le sens antihoraire dans un champ qui s'éloigne de vous.

Lire les graphiques de vitesse

Légende

$v$	Amplitude des deux courbes : la valeur constante de la vitesse.	$m/s$
$t$	Temps, compté depuis le départ.	$\mathrm{s}$
$T/4$	Un quart de période : $v_y$ est maximale quand $v_x$ s'annule.	$\mathrm{s}$
$T$	Période d'un tour complet, $T=2\pi m/(qB)$.	$\mathrm{s}$
$v_x$	Composante de la vitesse selon $x$, $v\cos \omega t$.	$m/s$
$v_y$	Composante de la vitesse selon $y$, $v\sin \omega t$.	$m/s$
$\omega v$	Pente de $v_y$ en $t=0$, sa plus raide : égale à l'accélération $F/m$.	$m/{\mathrm{s}}^2$

Les graphiques de $v_x$ et de $v_y$ en fonction du temps contiennent tout le mouvement : on peut y lire la valeur constante de la vitesse, la période et la force. La figure 2 trace les graphiques du niveau Avancé de l'animation sur une période $T$, la durée d'un tour complet.

Commençons par les formes. La courbe bleue $v_x$ est un cosinus et la courbe verte $v_y$ un sinus, tous deux d'amplitude $v=1,0\times 10^{6}m/s$, la valeur de la vitesse du proton. Ils sont décalés d'un quart de période $T/4$ : 1 s dans l'animation ralentie, 0,16 µs en réalité. Chaque fois que l'un coupe zéro, l'autre est à un maximum ou à un minimum, comme sur la droite en pointillés à $T/4$. À chaque instant, $v_x^2+v_y^2=10^{12}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, car ${\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t=1$. Les deux composantes varient sans cesse ; la valeur de la vitesse, jamais.

Regardons ensuite les pentes. La pente d'un graphique de vitesse est une accélération, et d'après la deuxième loi de Newton, c'est la force divisée par la masse. À $t=0$, $v_x$ est à son maximum, où son graphique est plat, tandis que $v_y$ passe par zéro avec sa pente la plus raide, la droite rouge de la figure 2. Cette pente vaut
$\omega v\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$
avec $\omega =qB/m\approx 9,6\times 10^{6}rad/s$ pour un proton dans les 0,10 T de l'animation. Comme $v_x$ ne varie pas à cet instant, c'est toute l'accélération $F/m$. Elle est dirigée selon $+y$, droit vers le centre, situé au-dessus du point de départ. Un quart de tour plus tard, les rôles sont échangés : $v_x$ est le plus raide et $v_y$ plat, car l'accélération a tourné avec le rayon et pointe maintenant selon $-x$.

La période ne dépend pas de la vitesse. Le proton violet de l'animation part du même point à $1,5v$ et décrit un cercle de rayon 15,7 cm au lieu de 10,4 cm. Ses composantes sont les mêmes sinusoïdes, avec une amplitude 1,5 fois plus grande et la même période : il revient au point de départ au même instant que le proton rouge. C'est le contenu de
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$
où la vitesse s'est simplifiée. Dans 0,10 T, tout proton bien en dessous de la vitesse de la lumière met 0,66 µs par tour, quelle que soit la taille de son orbite.

Hélices et miroirs magnétiques

Légende

$\theta$	Angle entre la vitesse initiale et $\vec{B}$ ; ici $60^{\circ }$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{v}$	Vitesse initiale ; sa longueur est la valeur constante $v$.	$m/s$
$v_{\perp }$	Partie de $\vec{v}$ perpendiculaire à $\vec{B}$, $v\sin \theta$ : elle tourne sur le cercle.	$m/s$
$v_{\parallel }$	Partie de $\vec{v}$ parallèle à $\vec{B}$, $v\cos \theta$ : elle ne subit aucune force et ne change jamais.	$m/s$
$r$	Rayon du cercle, $r=m{v}_{\perp }/(qB)$.	$\mathrm{m}$
$h$	Pas de l'hélice : distance parcourue le long de $\vec{B}$ en une période $T$, $h=v_{\parallel }T$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Champ magnétique, dirigé ici vers le haut.	$\mathrm{T}$

Jusqu'ici, la vitesse était perpendiculaire au champ. Cette section traite le cas général, celui d'une vitesse faisant un angle quelconque avec $\vec{B}$, qui est la façon dont les particules chargées arrivent réellement dans le champ magnétique terrestre ou se déplacent dans un plasma.

La figure 3 montre le résultat. À gauche, la vitesse initiale $\vec{v}$ fait l'angle $\theta$ avec $\vec{B}$, ici $60^{\circ }$, et se décompose en deux parties : $v_{\parallel }=v\cos \theta$ le long du champ et $v_{\perp }=v\sin \theta$ perpendiculairement à lui. Les deux parties se comportent très différemment. La force $q\vec{v}\times \vec{B}$ est toujours perpendiculaire à $\vec{B}$ : elle n'a donc aucune composante le long du champ, et $v_{\parallel }$ ne change jamais. Et comme le produit vectoriel de vecteurs parallèles est nul, $v_{\parallel }$ n'ajoute rien à la force : la force ne dépend que de $v_{\perp }$. Ainsi $v_{\perp }$ se comporte exactement comme dans les sections précédentes. Elle tourne sur un cercle de rayon $r=m{v}_{\perp }/(qB)$, dessiné au pied de l'hélice, avec la même période $T$.

Réunissons les deux : le cercle est entraîné régulièrement le long du champ, et la trajectoire est une hélice. Suivez-la en montant sur le dessin. Chaque tour dure la période $T$, et pendant ce temps le proton avance le long de $\vec{B}$ du pas
$h=v_{\parallel }T=2\pi r\cot \theta$
La seconde forme découle de $T=2\pi r/v_{\perp }$ et de $v_{\parallel }/v_{\perp }=\cot \theta$. À $60^{\circ }$, le pas vaut environ 3,6 fois le rayon. Pour le proton de l'animation, lancé à $1,0\times 10^{6}m/s$ sous 60° par rapport au champ de 0,10 T, $v_{\perp }=8,7\times 10^{5}m/s$ donne un cercle de rayon 9,0 cm, et $v_{\parallel }=5,0\times 10^{5}m/s$ le fait avancer de 33 cm le long du champ par tour.

Les champs réels sont rarement uniformes. Supposons que $B$ croisse lentement le long des lignes de champ, en variant peu pendant un tour. Alors la quantité $m{v}_{\perp }^2/(2B)$, l'énergie cinétique du mouvement circulaire divisée par $B$, reste presque constante. Quand le proton pénètre dans un champ plus fort, $v_{\perp }^2$ doit donc croître proportionnellement à $B$. La valeur totale de la vitesse ne pouvant pas changer, $v_{\parallel }$ diminue pour lui faire de la place : l'hélice se resserre, et là où $v_{\perp }$ devrait dépasser $v$, le proton cesse d'avancer et rebrousse chemin. Une région de champ fort se comporte comme un miroir. Les lignes du champ terrestre se resserrent près des pôles, si bien que protons et électrons rebondissent d'un hémisphère à l'autre, piégés dans les ceintures de radiation de la Terre.

Quantité de mouvement à toute vitesse

Les relations établies jusqu'ici valent pour des particules lentes. Cette courte section montre lesquelles survivent à grande vitesse. Comme la force magnétique ne change jamais la valeur de la vitesse, elle ne fait que tourner la quantité de mouvement $\vec{p}$, et la loi de Newton sous la forme $d\vec{p}/dt=q\vec{v}\times \vec{B}$ vaut à toute vitesse. Pour un mouvement perpendiculaire au champ, elle donne un cercle avec
$p=qBr$
où $p=\gamma mv$ est la quantité de mouvement relativiste, $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ le facteur de Lorentz et $c$ la vitesse de la lumière. La valeur de la vitesse étant constante, $\gamma$ l'est aussi, et les étapes des sections précédentes restent valables en remplaçant $m$ par $\gamma m$.

En unités pratiques, une trace de rayon 1 m dans un champ de 1 T appartient à une particule simplement chargée de quantité de mouvement 0,30 GeV/c. Ce qui change à haute énergie, c'est la pulsation, $\omega =qB/(\gamma m)$, qui diminue quand l'énergie augmente. Le cyclotron ci-dessous doit justement s'en accommoder.

Champs croisés : la dérive

Ajoutons un champ électrique uniforme $\vec{E}$ perpendiculaire à $\vec{B}$ : les cercles ne se referment plus, ils glissent de côté. Ce cas est important parce qu'il montre comment un changement de référentiel peut supprimer un champ électrique, et c'est le principe du sélecteur de vitesse.

L'astuce consiste à observer depuis un référentiel qui se déplace à la vitesse constante
${\vec{v}}_d=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{B^2}$
À faible vitesse, un observateur qui se déplace à ${\vec{v}}_d$ mesure le champ électrique ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+{\vec{v}}_d\times \vec{B}$. Quand $\vec{E}$ est perpendiculaire à $\vec{B}$, $(\vec{E}\times \vec{B})\times \vec{B}=-B^2\vec{E}$, de sorte que le second terme vaut exactement $-\vec{E}$ et ${\vec{E}}^{\prime }=0$. Dans ce référentiel, il ne reste que $\vec{B}$, et la particule décrit un cercle ordinaire. De retour dans le laboratoire, ce cercle est entraîné à la vitesse de dérive $v_d=E/B$. La dérive ne contient ni $q$ ni $m$ : toutes les particules, de l'un ou l'autre signe et de n'importe quelle masse, dérivent donc de la même façon et à la même vitesse. Le traitement relativiste exact donne le même résultat, pourvu que $E<cB$, de sorte que $v_d$ reste inférieure à la vitesse de la lumière.

Avec $E=1,0\times 10^{4}V/m$ dans les 0,10 T de l'animation, la vitesse de dérive vaut $1,0\times 10^{5}m/s$, et les boucles du proton avancent de $v_{d}T=6,6\mathrm{cm}$ par tour. Un sélecteur de vitesse utilise le même équilibre : une particule lancée exactement à ${\vec{v}}_d$ subit des forces électrique et magnétique qui se compensent, elle traverse donc en ligne droite, alors que les particules plus rapides et plus lentes sont déviées.

Problème résolu : un petit cyclotron

Légende

$R$	Rayon des électrodes : la plus grande orbite, où les protons sortent.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Champ magnétique, dirigé vers l'intérieur de la page à travers les deux électrodes.	$\mathrm{T}$
$V$	Tension alternative entre les deux électrodes, de part et d'autre de l'espace.	$\mathrm{V}$
$q$	Charge du proton, représentée à son point de départ.	$\mathrm{C}$

Un cyclotron met à profit l'indépendance de la période vis-à-vis de la vitesse. Comme tous les protons d'un champ donné mettent le même temps par tour, une tension alternative de fréquence fixe peut les pousser encore et encore, quelle que soit leur énergie.

La figure 4 montre la machine vue de dessus. Deux électrodes creuses en forme de D, de rayon $R$, se font face de part et d'autre d'un espace étroit. Le champ $\vec{B}$ est dirigé vers l'intérieur de la page à travers les deux, et une source de tension alternative $V$ est branchée entre elles. Le proton $q$ part du centre. À l'intérieur d'une électrode creuse, il n'y a pas de champ électrique, seulement $\vec{B}$ : le proton décrit donc un demi-cercle et revient à l'espace entre les D. Si la tension s'est inversée entre-temps, elle le pousse à travers l'espace et lui ajoute l'énergie $qV$. Un proton plus rapide décrit un demi-cercle plus grand, si bien que la trajectoire s'enroule en spirale vers l'extérieur jusqu'à atteindre le bord, en $R$, où les protons sortent. Le dessin ne montre que quatre tours ; la machine ci-dessous en demande 30.

Le problème. Un petit cyclotron utilise le champ de l'animation, $B=0,10\mathrm{T}$, avec des électrodes de rayon $R=0,50\mathrm{m}$ et une tension alternative d'amplitude 2,0 kV entre elles. Les protons partent près du centre, presque au repos. À quelle fréquence la tension doit-elle alterner, quelle énergie les protons atteignent-ils, et en combien de tours ? Prenez $q=1,60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ et $m=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$.

Étape 1, la fréquence. Chaque proton traverse l'espace entre les D deux fois par tour et doit y trouver chaque fois la tension inversée. La tension doit donc accomplir un cycle complet par tour du proton : elle alterne à la fréquence cyclotron
$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10}{2\pi \cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,52\mathrm{MHz}$

Étape 2, l'énergie finale. La dernière orbite a pour rayon $R$ ; d'après $p=qBR$, les protons sortent donc avec la quantité de mouvement
$p=qBR=1,60\times 10^{-19}\cdot 0,10\cdot 0,50=8,0\times 10^{-21}\mathrm{kg}\cdot m/s$
et l'énergie cinétique
$K=\frac{p^2}{2m}=\frac{(8,0\times 10^{-21}{)}^2}{2\cdot 1,67\times 10^{-27}}\approx 1,92\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 120\mathrm{keV}$
en utilisant $1\mathrm{eV}=1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Cela correspond à une vitesse $p/m=4,8\times 10^{6}m/s$, soit 1,6 % de la vitesse de la lumière. La tension n'apparaît pas dans ce résultat : l'énergie finale est fixée par $B$ et $R$ seuls, et la tension décide seulement du nombre de tours nécessaires pour l'atteindre.

Étape 3, le nombre de tours. Un proton qui traverse l'espace au maximum de la tension gagne 2,0 keV par traversée, donc 4,0 keV par tour. Il lui faut $120/4,0=30$ tours, soit 30 périodes, environ 20 µs. Comme $K$ croît par pas égaux et que $K\propto r^2$, le rayon après $n$ tours vaut $R\sqrt{n/30}$ : 9,1 cm après un tour, 18,3 cm après quatre, 27,4 cm après neuf. Le cercle de 10,4 cm de l'animation, à 5,2 keV, se situe entre le premier et le deuxième tour.

Là où la conception atteint ses limites. La machine suppose que chaque demi-tour dure le même temps, 0,33 µs. La relativité gâte peu à peu cette égalité, car la vraie fréquence de révolution est $qB/(2\pi \gamma m)$ et, pour une énergie cinétique $K$, $\gamma =1+K/(m{c}^2)$, l'énergie de masse $m{c}^2$ du proton valant 938 MeV. À 120 keV, $\gamma \approx 1,00013$ et la fréquence baisse d'un anodin 0,013 %. À 20 MeV, elle serait inférieure de 2,1 %. Un proton qui tournerait à cette énergie prendrait un demi-cycle de retard sur la tension en 24 tours environ, et arriverait alors à l'espace entre les D juste au moment où la tension le freine. Les cyclotrons destinés à des énergies plus élevées font donc baisser la fréquence à mesure que les protons gagnent de l'énergie, ou bien laissent le champ croître vers le bord pour que $\gamma m/B$, et avec lui la période, reste constant.

Électrique ou magnétique : question de référentiel

Qu'une force soit qualifiée d'électrique ou de magnétique dépend de l'observateur. Cette section explique pourquoi, avec le proton de l'animation.

Dans le laboratoire, le proton ne subit qu'une force magnétique. Plaçons-nous maintenant dans son référentiel de repos instantané, un référentiel qui se déplace avec lui à cet instant. Le proton y a une vitesse nulle, donc la force qui s'exerce sur lui ne peut pas être magnétique. Pourtant la force est bien réelle et, à faible vitesse, elle est la même dans les deux référentiels : cet observateur doit donc voir un champ électrique,
${\vec{E}}^{\prime }\approx \vec{v}\times \vec{B}(v\ll c)$
Avec les nombres de l'animation, son intensité est $vB=1,0\times 10^6\cdot 0,10=1,0\times 10^{5}V/m$, et $q{E}^{\prime }=1,6\times 10^{-14}\mathrm{N}$, exactement la force magnétique $qvB$ mesurée dans le laboratoire. Un champ purement magnétique dans un référentiel est un mélange de champs électrique et magnétique dans un autre. Aucun des deux champs pris isolément n'est le même pour tous les observateurs ; seul l'ensemble du champ électromagnétique l'est.

La relativité restreinte rend cela exact. Lors d'un changement de référentiel, les deux champs se transforment l'un en l'autre, mais deux combinaisons d'entre eux prennent les mêmes valeurs pour tous les observateurs inertiels :
$E^2-c^2{B}^2\text{et}\vec{E}\cdot \vec{B}$
Ces invariants établissent ce qu'un changement de référentiel peut ou non faire. Un champ purement magnétique a $E^2-c^2{B}^2<0$ et, comme ce signe est le même dans tous les référentiels, aucun observateur ne peut voir le champ comme purement électrique. Des champs croisés avec $E<cB$ ont aussi $E^2-c^2{B}^2<0$ et $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$ : on peut donc toujours les ramener à un champ purement magnétique, c'est le référentiel de dérive de la section sur les champs croisés.

Limites de validité

Tous les résultats ci-dessus traitent le proton comme une charge ponctuelle classique qui se déplace dans le vide et ne perd pas d'énergie. Cette section vérifie chacune de ces hypothèses avec des nombres.

Rayonnement. Une charge accélérée rayonne, et une charge qui décrit un cercle est toujours accélérée. À faible vitesse, la puissance rayonnée est donnée par la formule de Larmor,
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$
où $a$ est l'accélération et ${\epsilon }_0$ la permittivité du vide. Pour le proton de l'animation, avec $a\approx 9,6\times 10^{12}m/{\mathrm{s}}^2$, cela fait environ $5\times 10^{-28}\mathrm{W}$. Sur un tour, il perd une fraction $4\times 10^{-19}$ de son énergie : son cercle est donc exact à tous les usages pratiques.

La perte n'est pas toujours faible. Pour des particules de même énergie sur des cercles de même rayon, la perte par tour varie comme l'inverse de la puissance quatre de la masse, si bien que les particules légères rayonnent beaucoup plus. Des électrons de 3 GeV dans un anneau de stockage, courbés sur un rayon de 7 m, perdent environ 1 MeV par tour sous forme de rayonnement synchrotron, et de tels anneaux sont construits pour produire ce rayonnement, puissante source de rayons X. Un proton est 1836 fois plus lourd qu'un électron, et $1836^4\approx 10^{13}$ : les protons perdent donc peu, même dans le Grand collisionneur de hadrons, où des protons de 7 TeV dans des aimants de 8,3 T décrivent un cercle de rayon $p/(qB)\approx 2,8\mathrm{km}$.

Relativité. À $1,0\times 10^{6}m/s$, $\gamma -1\approx v^2/(2c^2)=5,6\times 10^{-6}$ : les formules non relativistes sont donc excellentes. En général, on remplace $mv$ par $p$ et $m$ par $\gamma m$, comme dans la section sur la quantité de mouvement.

Mécanique quantique. En théorie quantique, le mouvement circulaire ne peut avoir que certaines énergies, les niveaux de Landau, espacés de $\hslash \omega$, où $\hslash$ est la constante de Planck réduite. Pour le proton de l'animation, l'écart vaut environ $6\times 10^{-9}\mathrm{eV}$, soit $10^{-12}$ de ses 5,2 keV, bien trop fin pour être remarqué. Pour un électron dans 10 T, il vaut 1,2 meV, plus de dix fois l'énergie thermique typique à 1 K, et la quantification se manifeste alors, de façon spectaculaire, dans l'effet Hall quantique.

Le vide. Enfin, tout cela suppose le vide. Dans l'air, les collisions avec les molécules arrêteraient un proton de 5 keV bien avant qu'il ait achevé un tour, ce qui explique que les cyclotrons et les anneaux de stockage soient vidés par pompage.

Ce qui vient ensuite

La force $q\vec{v}\times \vec{B}$ traverse tout le reste de l'électromagnétisme. Poussez une tige métallique de longueur $L$ à travers un champ à la vitesse $v$ : la force entraîne ses charges libres le long de la tige, et c'est la force électromotrice $\epsilon =BLv$ de la leçon Induction électromagnétique. Additionnée sur toutes les charges en mouvement d'un fil parcouru par un courant $I$, la même force donne $F=BIL\sin \theta$ sur une longueur $L$ de fil faisant l'angle $\theta$ avec le champ, ainsi que le couple sur une bobine, sujets de la leçon Moteurs, générateurs et transformateurs.

Dans un conducteur parcouru par un courant à travers un champ, la poussée latérale accumule des charges sur un bord jusqu'à ce que le champ électrique de ces charges la compense. Le signe de la tension de Hall qui en résulte indique si les porteurs sont des électrons ou des trous, comme dans la leçon Semi-conducteurs, diodes et LED, et des capteurs à effet Hall mesurent des champs magnétiques dans les téléphones et les voitures.

La dépendance de $\vec{E}$ et de $\vec{B}$ vis-à-vis du référentiel relève de la leçon Relativité restreinte, et des champs qui varient dans le temps, chacun engendrant l'autre, forment les ondes de la leçon Ondes électromagnétiques. Enfin, $p=qBr$ est la façon de mesurer les quantités de mouvement des particules dans la leçon Particules et forces : le modèle standard, des spirales des photographies de chambre à bulles aux détecteurs du Grand collisionneur de hadrons.