Электрическая мощность и энергия в быту

Начальный

На этикетке каждого прибора указана мощность в ваттах (Вт). Мощность показывает, как быстро прибор расходует энергию: один ватт — это один джоуль в секунду. Светодиодная лампа потребляет около 10 Вт, телевизор — около 100 Вт, а чайник — около 2000 Вт, то есть 2 киловатта (кВт).

Шаг 1: энергия = мощность × время. Чем дольше работает прибор, тем больше энергии он расходует. Энергокомпании считают эту энергию в киловатт-часах (кВт·ч): один кВт·ч расходует прибор мощностью 1 кВт за час, чайник на 2 кВт — за полчаса, а светодиодная лампа на 10 Вт — за 100 часов.

Шаг 2: квитанция. Счётчик складывает киловатт-часы, и платим мы за энергию, а не за мощность: число кВт·ч умножают на цену одного кВт·ч. Обогреватель на 2 кВт, проработавший 3 часа, расходует $2\times 3=6\mathrm{кВт}\cdot \mathrm{ч}$; при цене 6 ₽ за кВт·ч это 36 ₽.

Шаг 3: ток и безопасность. Каждый включённый прибор добавляет ток в те же подводящие провода, а провода нагреваются, когда по ним идёт ток. Если на одной линии слишком много мощных приборов, провода могут перегреться, поэтому предохранитель (тонкая проволочка, которая плавится) или автоматический выключатель (который со щелчком размыкается) отключает питание раньше.

В анимации лампа, чайник и обогреватель включаются один за другим. С каждым из них красный столбик тока растёт, а диск счётчика крутится быстрее: лампа его едва сдвигает, а с чайником он мчится. Когда к чайнику добавляется обогреватель, столбик переходит черту, и автомат срабатывает.

Шаг 4: КПД. Старая лампа накаливания превращает большую часть энергии в тепло; светодиодная даёт столько же света примерно при шестой части мощности.

Проверьте себя: что расходует больше энергии — лампа на 100 Вт, горевшая 10 часов, или чайник на 2000 Вт, работавший 15 минут? (Ответ: лампа — 1 кВт·ч против 0,5 кВт·ч.)

Средний

Мощность: энергия в секунду

Мощность — это скорость передачи энергии, $P=E/t$; её единица — ватт: $1\mathrm{Вт}=1\mathrm{Дж}/\mathrm{с}$. Чайник на 2000 Вт забирает из сети 2000 джоулей каждую секунду, светодиодная лампа на 10 Вт — всего 10.

Напряжение $U$ на приборе — это энергия, которую отдаёт каждый кулон заряда, проходя через прибор: $1\mathrm{В}=1\mathrm{Дж}/\mathrm{Кл}$. Сила тока $I$ — заряд, проходящий за секунду: $1\mathrm{А}=1\mathrm{Кл}/\mathrm{с}$. Их произведение измеряется в джоулях в секунду:
$P=UI$

Закон Ома, $U=IR$, из урока «Цепи постоянного тока и закон Ома» даёт ещё две формы:
$P=I^{2}R=\frac{U^2}{R}$

В сети напряжение задано, поэтому по формуле $U^2/R$ меньшее сопротивление означает большую мощность: у нагревательного элемента чайника всего $230^2/2000\approx 26\mathrm{Ом}$, у горячей нити лампы на 100 Вт — 529 Ом. При заданном токе из формулы $I^{2}R$ видно, что сильнее греется большее сопротивление, и поэтому подводящие провода делают толстыми, то есть с малым сопротивлением.

Приборы в сети включены параллельно

Каждая розетка подключена к одной и той же паре проводов — фазному и нулевому, поэтому бытовые приборы включены параллельно. Каждый получает полное напряжение сети (230 В в Европе, 120 В в Северной Америке) независимо от того, что ещё включено, а токи ветвей складываются в подводящем кабеле:
$I=\frac{P_1+P_2+\dots }{U}$

Цепь, защищённая на ток $I_{\max }$, поэтому может отдать не больше $U{I}_{\max }$: 2300 Вт при 10 А и 230 В, 3680 Вт при 16 А. Именно поэтому на кухню проводят несколько линий.

Энергия, киловатт-час и КПД

Энергия, которую расходует прибор, равна его мощности, умноженной на время работы:
$E=Pt$
Если $P$ выражена в ваттах, а $t$ — в секундах, энергия получается в джоулях; поставщики же считают в более крупной единице — киловатт-часе, то есть энергии, которую прибор мощностью 1 кВт расходует за час:
$1\mathrm{кВт}\cdot \mathrm{ч}=3,6\mathrm{МДж}$
так как $1000\mathrm{Вт}\cdot 3600\mathrm{с}=3,6\times 10^6\mathrm{Дж}$. Счётчик складывает киловатт-часы, и вы платите за эту энергию, а не за мощность: чайник на 2000 Вт, проработавший 6 минут, и светодиодная лампа на 10 Вт, горевшая 20 часов, расходуют по 0,2 кВт·ч.

Коэффициент полезного действия (КПД) сравнивает полезную мощность на выходе с потребляемой:
$\eta =\frac{P_{\mathrm{полезн}}}{P_{\mathrm{потр}}}$
Чайник направляет в воду 80–90 % энергии, лампа накаливания превращает в видимый свет лишь около 5 %, поэтому светодиоду для того же света нужна примерно шестая часть мощности.

Пример: цепь из анимации

Цепь на 230 В в анимации защищена автоматом на 10 А. Лампа на 100 Вт потребляет $100/230=0,43\mathrm{А}$, чайник на 2000 Вт — $2000/230=8,70\mathrm{А}$, поэтому вместе
$I=\frac{100+2000}{230}=9,13\mathrm{А}$
чуть меньше предела, с запасом $2300-2100=200\mathrm{Вт}$. Обогреватель на 2000 Вт поднимает ток до
$I=\frac{100+2000+2000}{230}=17,83\mathrm{А}$
почти вдвое больше номинального.

Это значения на индикаторе $I$, а индикатор $P$ переходит от 100 к 2100 и 4100 Вт, и красная стрелка $I$ на подводящем проводе удлиняется; подписи у ветвей показывают 0,43, 8,70 и 8,70 А. Красный столбик тока с чайником остаётся чуть ниже черты 10 А, а с обогревателем далеко перескакивает через неё. Спустя 1,2 с после включения обогревателя автомат срабатывает: $P$ и $I$ падают до нуля, и $E$ перестаёт расти.

Пусть 1 с анимации соответствует 1 минуте: к этому моменту лампа работала 5,5 минуты, чайник — 3,5, обогреватель — 1,2, поэтому в ватт-часах
$E=\frac{100\cdot 5,5+2000\cdot 3,5+2000\cdot 1,2}{60}\mathrm{Вт}\cdot \mathrm{ч}=165,8\mathrm{Вт}\cdot \mathrm{ч}$
то есть 0,166 кВт·ч на индикаторе $E$ (166 Вт·ч в окошке счётчика). При цене 0,25 € за кВт·ч это стоит около 4 евроцентов.

Пример: обогреватель на удлинителе

Тепловентилятор на 1500 Вт включён через удлинитель на катушке длиной 25 м с медными жилами сечением 1,0 мм². Его ток $1500/230=6,52\mathrm{А}$ идёт туда и обратно по 50 м меди с удельным сопротивлением $1,7\times 10^{-8}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$. По формуле $R=\rho L/S$ из урока «Электрический ток и сопротивление» получаем
$R_{\mathrm{пр}}=\frac{\rho L}{S}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 50}{1,0\times 10^{-6}}=0,85\mathrm{Ом}$
$P_{\mathrm{пр}}=I^2{R}_{\mathrm{пр}}=6,52^2\cdot 0,85\approx 36\mathrm{Вт}$

Распределённая по размотанному кабелю, мощность 36 Вт безвредна; на намотанной катушке то же тепло, примерно как у маленького паяльника, не может уйти наружу и способно перегреть изоляцию, поэтому для удлинителя, намотанного на катушку, допустимая нагрузка ниже. Кроме того, на удлинителе падает напряжение $I{R}_{\mathrm{пр}}\approx 5,5\mathrm{В}$: по формуле $P=U^2/R$ напряжение, меньшее на 2,4 %, снижает мощность примерно на 5 %, и остаётся около 1430 Вт.

Работая на полной мощности 4 часа каждый вечер в течение 30 дней, обогреватель расходует $E=1,5\cdot 4\cdot 30=180\mathrm{кВт}\cdot \mathrm{ч}$, то есть 45 € при 0,25 € за кВт·ч; а при включении через удлинитель счётчик покажет около 176 кВт·ч, из которых 4 выделятся в самом удлинителе.

Предохранители, автоматы и столбик тока

Кабель рассчитывают на наибольший ток, при котором нагрев от джоулева тепла $I^{2}R$ ещё не опасен для изоляции (для ПВХ предельная температура около 70 °C). Предохранитель (тонкая проволочка, которая плавится) или автоматический выключатель (его после срабатывания можно снова включить) на фазном проводе отключает цепь, если ток превышает этот предел: он защищает кабель, а не прибор.

Нагрев растёт как квадрат тока, поэтому умеренная перегрузка опасна, только если длится долго, а короткое замыкание — сразу. Биметаллическая пластина автомата нагревается так же, как кабель, и размыкает цепь через секунды или минуты; его электромагнит срабатывает примерно за 10 мс, когда при коротком замыкании ток достигает сотен ампер.

В анимации красный столбик — это ток через автомат, а черта — его номинал 10 А: ниже неё проводка могла бы работать сколько угодно долго. 17,8 А при включённом обогревателе — перегрузка, поэтому автомат ждёт 1,2 с (в анимации это 1,2 минуты) и только потом размыкает цепь.

Частые ошибки

• Приборы не «расходуют» ток: 8,70 А, входящие в чайник по фазному проводу, выходят из него по нулевому. Расходуется энергия — 2000 джоулей в секунду.
• Киловатт-час — это не «киловатты в час», а мощность, умноженная на время, то есть энергия 3,6 МДж: обогреватель на 3 кВт расходует 1 кВт·ч за 20 минут.
• Включение новых приборов параллельно не увеличивает общее сопротивление, а уменьшает его: 529 Ом для одной лампы, 25,2 Ом с чайником, 12,9 Ом со всеми тремя — поэтому ток растёт.
• Большее сопротивление не всегда означает больше тепла: при постоянном напряжении $P=U^2/R$ даёт 2000 Вт для элемента чайника в 26 Ом и 100 Вт для нити в 529 Ом. Формула $I^{2}R$ говорит о большем нагреве при большем сопротивлении только при равных токах, как в последовательной цепи.
• Предохранитель на больший ток не делает цепь безопаснее: кабель на 10 А с предохранителем на 30 А может пропускать втрое больший ток, нагреваясь в $3^2=9$ раз быстрее, а предохранитель не перегорит.

Где это встречается

Любой счёт за электричество — это применение того, что вы здесь узнали. Холодильник, в среднем потребляющий 40 Вт, расходует около 350 кВт·ч в год, а прибор в режиме ожидания на 1 Вт — всё равно 8,76 кВт·ч; аккумулятору электромобиля на 60 кВт·ч нужно около 8 часов от домашней зарядной станции на 7,4 кВт; электростанция на 1 ГВт даёт столько же мощности, сколько полмиллиона одновременно кипятящих воду чайников.

Магнитное поле вокруг любого тока, которое и размыкает автомат, — предмет урока «Магнитное поле магнитов и токов». Урок «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» объясняет, почему линии электропередачи работают при сотнях киловольт: так уменьшают потери $I^{2}R$; урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» — почему светодиод выигрывает у нити накаливания.

Продвинутый

Мощность как работа над движущимся зарядом

Каждый прибор имеет номинальную мощность в ваттах, и весь урок опирается на одну формулу для неё: $P=UI$. В этом разделе она выводится из работы, которую электрическое поле совершает над зарядом, проходящим через элемент цепи, — и это объясняет, почему она верна для любых устройств.

Обозначения

$I$	Ток, входящий с конца с более высоким потенциалом.	$\mathrm{А}$
$dq$	Заряд, проходящий через сечение проводника за короткое время $dt$: $dq=Idt$.	$\mathrm{Кл}$
$\vec{E}$	Электрическое поле внутри проводника, по направлению тока; его модуль равен $U/L$.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$L$	Длина проводника.	$\mathrm{м}$
$V_a$	Потенциал на конце, где ток входит.	$\mathrm{В}$
$V_b$	Потенциал на конце, где ток выходит.	$\mathrm{В}$
$V$	Падение потенциала вдоль проводника, то есть напряжение $U=V_a-V_b$.	$\mathrm{В}$

На рисунке 1 показан простейший элемент — однородный проводник длиной $L$. Ток $I$ входит слева, где потенциал равен $V_a$, и выходит справа, где он равен $V_b$. Под проводником в том же горизонтальном масштабе потенциал нарисован как высота. Посмотрите на наклонную прямую: потенциал равномерно убывает от $V_a$ до $V_b$, и полное падение — это напряжение $U=V_a-V_b$ (на рисунке оно подписано $V$). Электрическое поле $\vec{E}$ внутри направлено вниз по этому склону, по току, и поскольку спад равномерный, его модуль везде одинаков: $E=U/L$.

Теперь посмотрите на закрашенный слой $dq$. Это заряд, проходящий через одно сечение проводника за короткое время $dt$. Сила тока — это заряд в единицу времени, поэтому $dq=Idt$. За это время слева входит заряд $dq$ и справа выходит такой же, потому что внутри заряд не накапливается. В итоге всё происходит так, будто слой $dq$ перенесли на всю длину, от потенциала $V_a$ до потенциала $V_b$.

Разность потенциалов — это работа на единицу заряда: когда заряд $q$ проходит падение $U$, поле совершает над ним работу $qU$. Поэтому за время $dt$ поле совершает работу $dW=Udq=UIdt$, а мощность — работа в единицу времени — равна
$P=\frac{dW}{dt}=U\frac{dq}{dt}=UI$

В это рассуждение вошли только потенциалы двух концов. Внутри элемента, не являющегося прямым проводом, потенциал может падать неравномерно и даже местами расти, но работа над зарядом, перенесённым от одного вывода к другому, по-прежнему зависит только от значений на концах. И рассуждению всё равно, во что превращается энергия: двигатель превращает её в механическую работу, заряжаемый аккумулятор — в химическую энергию, светодиод — отчасти в свет.

Знак требует одного соглашения. Пусть $U$ — потенциал там, где ток входит, минус потенциал там, где он выходит. Тогда $P=UI>0$ означает, что элемент поглощает энергию из цепи. Источник выпускает ток из своего положительного вывода, поэтому ток входит в него при более низком потенциале, $U$ отрицательно и $P<0$: источник отдаёт энергию цепи.

В резисторе вся работа превращается в тепло. Ток на обоих концах один и тот же, заряды выходят так же быстро, как входят, и в целом не приобретают кинетической энергии. Энергию, которую им даёт поле, они передают при столкновениях колеблющимся атомам металла.

Тот же результат можно получить по точкам внутри металла. Пусть в единице объёма $n$ носителей заряда, у каждого заряд $q$ и скорость дрейфа $\vec{v}$. Поле толкает каждый из них с силой $q\vec{E}$, поэтому совершает над ним работу с мощностью $q\vec{E}\cdot \vec{v}$. На единицу объёма это $nq\vec{v}\cdot \vec{E}$, а $nq\vec{v}$ — это плотность тока $\vec{j}$, сила тока на единицу площади сечения. Значит, мощность, выделяющаяся в единице объёма, равна $\vec{j}\cdot \vec{E}$. Закон Ома в локальной форме, $\vec{j}=\sigma \vec{E}$, где $\sigma$ — удельная проводимость материала, превращает её в $j^2/\sigma$. У провода длиной $L$ и сечением $S$ плотность тока $j=I/S$, объём $SL$ и сопротивление $R=L/(\sigma S)$, поэтому
$P=\frac{j^2}{\sigma }SL=I^2\frac{L}{\sigma S}=I^{2}R$

Вместе с $U=IR$ это даёт и $P=U^2/R$ — удобную форму, когда напряжение задано, как у розетки.

Куда на самом деле течёт энергия

Чайник берёт из розетки 2000 Вт. Естественно представить, что эта энергия идёт внутри меди кабеля, увлекаемая электронами. Но это не так, и понимание того, куда она идёт на самом деле, делает идею поля осязаемой. Электроны слишком медленны, чтобы её переносить. В меди примерно $n=8,5\times 10^{28}$ свободных электронов в кубическом метре, у каждого заряд $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$, поэтому 8,70 А чайника в проводе сечением 1,5 мм² требуют скорости дрейфа всего $v=I/(neS)\approx 0,43\mathrm{мм}/\mathrm{с}$. При переменном токе, который меняет направление 100 раз в секунду, они лишь колеблются туда и обратно примерно на 2 мкм. И всё же нагреватель начинает греться в момент замыкания выключателя. Энергия идёт в электрическом и магнитном полях вокруг проводов.

Обозначения

$I$	Ток вдоль оси; на виде с торца он идёт на вас (точка).	$\mathrm{А}$
$\vec{E}$	Электрическое поле вдоль оси, с модулем $U/L$ внутри металла и сразу снаружи.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$L$	Длина цилиндра.	$\mathrm{м}$
$a$	Радиус цилиндра.	$\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле тока, охватывающее цилиндр; у поверхности его модуль равен $I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$.	$\mathrm{Тл}$
$\vec{S}$	Плотность потока энергии поля (вектор Пойнтинга $\vec{\Pi }$), мощность на единицу площади: направлена снаружи внутрь резистора.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

На рисунке 2 нагревательный элемент чайника смоделирован простым цилиндрическим резистором радиусом $a$ и длиной $L$, показанным сбоку слева и с торца справа. Нарисованы три поля. Первое — электрическое поле $\vec{E}$: оно идёт вдоль оси, по направлению тока $I$, который оно создаёт. Внутри его модуль равен $U/L$ (на рисунке напряжение подписано $V$). Составляющая электрического поля вдоль поверхности одинакова по обе стороны от неё, поэтому и сразу снаружи металла есть поле $U/L$ вдоль оси.

Второе — магнитное поле $\vec{B}$ тока, которое охватывает цилиндр кольцами. На виде с торца ток идёт на вас (точка), а $\vec{B}$ направлено против часовой стрелки: направьте большой палец правой руки по току, и согнутые пальцы покажут направление $\vec{B}$. Его модуль у поверхности следует из закона Ампера, $B\cdot 2\pi a=I/({\epsilon }_0{c}^2)$, откуда $B=I/(2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a)$. (Здесь ${\epsilon }_0{c}^2=1/{\mu }_0$, так что это привычная формула $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$.)

Третье — поток энергии: мощность, проходящая через единицу площади, в ваттах на квадратный метр. Везде, где есть и электрическое, и магнитное поле, энергия течёт с плотностью потока, которую задаёт вектор Пойнтинга, названный в честь Джона Генри Пойнтинга; в этом уроке он обозначен $\vec{\Pi }$, а на рисунке подписан $\vec{S}$:
$\vec{\Pi }={\epsilon }_0{c}^2\vec{E}\times \vec{B}$

Его направление следует из рисунка. $\vec{E}$ направлено вдоль оси, а $\vec{B}$ идёт вокруг неё, поэтому они перпендикулярны, и их векторное произведение, перпендикулярное обоим, лежит вдоль радиуса. Выбрать между «внутрь» и «наружу» помогает правило правой руки. В верхней точке вида с торца $\vec{E}$ направлено на вас, а $\vec{B}$ — влево, и векторное произведение «на вас» на «влево» направлено вниз, внутрь цилиндра. То же верно по всей окружности, поэтому в каждой точке боковой поверхности $\vec{\Pi }$ направлен внутрь резистора, как показывают стрелки $\vec{S}$ на обоих видах. На плоских торцах радиальный $\vec{\Pi }$ идёт вдоль торца, поэтому там энергия не входит.

Так как $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, модуль $\vec{\Pi }$ — просто произведение модулей:
$\Pi ={\epsilon }_0{c}^2\cdot \frac{U}{L}\cdot \frac{I}{2\pi {\epsilon }_0{c}^{2}a}=\frac{UI}{2\pi aL}$
Он одинаков во всех точках боковой поверхности, площадь которой $2\pi aL$, поэтому полная входящая мощность равна $\Pi \cdot 2\pi aL=UI$: ровно с той скоростью, с какой резистор превращает энергию в тепло.

Итак, энергия входит в резистор из окружающего пространства через его поверхность. Вдоль подводящего кабеля электрическое поле перекидывается через промежуток между фазным и нулевым проводами, а магнитное охватывает каждый провод; там $\vec{\Pi }$ идёт в основном параллельно проводам, сквозь изоляцию и воздух между ними, от розетки к чайнику. В медь входит лишь небольшая направленная внутрь часть — собственные потери кабеля $I^{2}R$. Когда ток меняет направление, $\vec{E}$ и $\vec{B}$ меняются оба, и их векторное произведение сохраняет направление, так что энергия всегда течёт к нагрузке. Провода направляют энергию, а не несут её, и её сохранение локально: энергия в любой области меняется только на то, что пересекает её границу.

Переменный ток: действующие значения

Ток в сети переменный: напряжение и ток всё время меняются. В этом разделе выясняется, что тогда означают 230 В и 2000 Вт на этикетке.

Напряжение синусоидально, $u=U_0\sin \omega t$, с амплитудой $U_0$ и $\omega =2\pi \cdot 50{\mathrm{с}}^{-1}$ в Европе. В резисторе ток $i=u/R$ в точности повторяет напряжение: $i=I_0\sin \omega t$, где $I_0=U_0/R$; они совпадают по фазе. Мгновенная мощность равна $p=ui$, и с учётом ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
$p(t)=U_0{I}_0{\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}{U}_0{I}_0(1-\cos 2\omega t)$

Разберите это выражение по слагаемым. Мощность никогда не бывает отрицательной: она пульсирует с удвоенной частотой сети, 100 Гц, между 0 и $U_0{I}_0$. Слагаемое с косинусом за каждый период в среднем даёт нуль, поэтому средняя мощность равна $P=\frac{1}{2}{U}_0{I}_0$.

Постоянный ток $I$ нагревал бы тот же резистор с мощностью $I^{2}R$. Он равноценен переменному, когда $I^2$ равно среднему значению $i^2$, то есть $\frac{1}{2}{I}_0^2$, потому что среднее значение ${\sin }^2$ равно одной второй. Это постоянное значение — корень из среднего квадрата — называется действующим значением тока, $I_{\mathrm{д}}=I_0/\sqrt{2}$; так же действующее напряжение равно $U_{\mathrm{д}}=U_0/\sqrt{2}$. Тогда $\frac{1}{2}{U}_0{I}_0=U_{\mathrm{д}}{I}_{\mathrm{д}}$, и все формулы постоянного тока, $P=UI=I^{2}R=U^2/R$, дают среднюю мощность, если подставить действующие значения. Поэтому номинальные значения указывают как действующие: действующий ток нагревает резистор точно так же, как равный ему постоянный.

Для чайника указанные на этикетке 230 В — действующее значение, поэтому амплитуда напряжения равна $230\sqrt{2}\approx 325\mathrm{В}$. Его действующий ток 8,70 А достигает амплитуды $8,70\sqrt{2}\approx 12,3\mathrm{А}$, а мощность колеблется между 0 и $U_0{I}_0=4000\mathrm{Вт}$ и в среднем составляет 2000 Вт.

Фаза и коэффициент мощности

В чайнике ток растёт и убывает вместе с напряжением. В устройствах с катушками или конденсаторами, таких как двигатели и трансформаторы, ток сдвинут во времени относительно напряжения, и тогда $U_{\mathrm{д}}{I}_{\mathrm{д}}$ завышает реально потребляемую мощность. Рисунок 3 показывает, как найти активную мощность.

Обозначения

$V_0$	Амплитуда напряжения (в тексте $U_0$); её стрелка задаёт опорное направление.	$\mathrm{В}$
$I_0$	Амплитуда тока.	$\mathrm{А}$
$\phi$	Сдвиг фаз: на этот угол ток отстаёт от напряжения.	$\mathrm{рад}$
$I_0\cos \phi$	Часть тока, совпадающая по фазе с напряжением: единственная, которая в среднем отдаёт мощность.	$\mathrm{А}$
$I_0\sin \phi$	Часть тока, отстающая от напряжения на четверть периода: её мощность в среднем равна нулю.	$\mathrm{А}$

Запишем ток как $i=I_0\sin (\omega t-\phi )$, где $\phi$ — сдвиг фаз. Катушка заставляет ток отставать от напряжения ($\phi >0$, как нарисовано), конденсатор — опережать его ($\phi <0$); приведённый ниже результат верен в обоих случаях. На рисунке 3 каждая величина показана стрелкой, длина которой равна амплитуде, а направление задаёт фазу. Стрелка напряжения (на рисунке она подписана $V_0$, в тексте это амплитуда $U_0$) — опорная, нарисована горизонтально. Стрелка тока $I_0$ повёрнута от неё на угол $\phi$ по часовой стрелке, потому что ток отстаёт. Две длины измеряются в разных единицах, вольтах и амперах, поэтому смысл имеет только угол между стрелками.

Теперь разложим стрелку тока на две части, как это сделано на рисунке: часть вдоль напряжения, $I_0\cos \phi$, и часть, перпендикулярную ей, $I_0\sin \phi$. В формулах это тождество для синуса разности:
$I_0\sin (\omega t-\phi )=I_0\cos \phi \sin \omega t-I_0\sin \phi \cos \omega t$

Первая часть растёт и убывает точно вместе с напряжением. Она ведёт себя как ток в резисторе, поэтому по предыдущему разделу даёт среднюю мощность $\frac{1}{2}{U}_0{I}_0\cos \phi$. Вторая часть меняется как $-\cos \omega t$, то есть отстаёт от напряжения на четверть периода. Её произведение с $u=U_0\sin \omega t$ равно $-U_0{I}_0\sin \phi \sin \omega t\cos \omega t=-\frac{1}{2}{U}_0{I}_0\sin \phi \sin 2\omega t$. Оно половину времени положительно и половину отрицательно, поэтому в среднем равно нулю. Эта часть лишь перегоняет энергию туда и обратно: четверть периода устройство накапливает энергию в магнитном поле катушки (или в электрическом поле конденсатора), а следующую четверть возвращает её в сеть.

Сложив два произведения и воспользовавшись равенством $\cos \phi \cos 2\omega t+\sin \phi \sin 2\omega t=\cos (2\omega t-\phi )$, получаем
$p(t)=\frac{1}{2}{U}_0{I}_0(\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi ))$
На части каждого периода она отрицательна: устройство возвращает накопленную энергию. Её среднее значение — постоянная часть:
$P=U_{\mathrm{д}}{I}_{\mathrm{д}}\cos \phi$

Множитель $\cos \phi$ называют коэффициентом мощности, а произведение $U_{\mathrm{д}}{I}_{\mathrm{д}}$, измеряемое в вольт-амперах (В·А), — полной мощностью. Двигатель, потребляющий 5,0 А при 230 В и $\cos \phi =0,8$, имеет полную мощность 1150 В·А, но берёт лишь 920 Вт. Нагрузке с коэффициентом мощности 1 для тех же 920 Вт хватило бы 4,0 А, но кабель и автомат всё равно несут полные 5,0 А двигателя и нагреваются соответственно по закону $I^{2}R$. Поэтому поставщики берут с промышленных потребителей плату за низкий коэффициент мощности, а на заводах ставят конденсаторы, чтобы скомпенсировать отставание тока у двигателей.

График энергии — интеграл

Счёт выставляют за энергию, а не за мощность. Когда мощность меняется со временем, энергия — это площадь под графиком мощности как функции времени, то есть её интеграл по времени, а мощность — наклон графика энергии:
$E=\int Pdt$

В анимации на уровне «Продвинутый» $P(t)$ — лесенка. Лампа поднимает её до 100 Вт при 0,5 с, чайник — до 2100 Вт при 2,5 с, обогреватель — до 4100 Вт при 4,8 с. Штриховая линия отмечает $U{I}_{\max }=230\cdot 10=2300\mathrm{Вт}$ — максимум, который цепь может отдать при номинальном токе автомата $I_{\max }=10\mathrm{А}$. Ступенька обогревателя пересекает эту линию, автомат срабатывает при 6,0 с, и мощность падает до нуля.

$E(t)$ — нарастающая площадь под лесенкой, причём 1 с анимации соответствует 1 минуте. Каждая ступенька добавляет высоту, умноженную на ширину: $100\mathrm{Вт}\cdot 2\mathrm{мин}=200\mathrm{Вт}\cdot \mathrm{мин}\approx 3,3\mathrm{Вт}\cdot \mathrm{ч}$ до 2,5 с, затем $2100\mathrm{Вт}\cdot 2,3\mathrm{мин}=80,5\mathrm{Вт}\cdot \mathrm{ч}$, что даёт 83,8 Вт·ч при 4,8 с, затем $4100\mathrm{Вт}\cdot 1,2\mathrm{мин}=82\mathrm{Вт}\cdot \mathrm{ч}$, что даёт 165,8 Вт·ч в момент срабатывания. После этого график идёт горизонтально. Так что 1,2 минуты перегрузки добавляют больше энергии, чем 2,3 минуты перед ними. Каждый прямолинейный участок $E(t)$ поднимается с наклоном, равным мощности в это время, а каждый излом отмечает ступеньку $P(t)$; плавно меняющаяся мощность дала бы изогнутый график.

Счётчик вычисляет этот интеграл. Старый индукционный счётчик вращает алюминиевый диск с моментом, пропорциональным среднему значению $ui$, то есть $P$, против магнитного тормоза, сила торможения которого пропорциональна скорости диска. Они уравновешиваются, когда скорость пропорциональна $P$, так что число оборотов считает $E$. Электронный счётчик тысячи раз в секунду измеряет $u$ и $i$, перемножает каждую пару и складывает произведения. Оба работают с мгновенным произведением $ui$, поэтому коэффициент мощности учитывается автоматически: они считают активную мощность, а не $U_{\mathrm{д}}{I}_{\mathrm{д}}$.

Броски тока и искажённый ток

До сих пор каждая нагрузка была постоянным сопротивлением. Реальные нагрузки такими не бывают, и два распространённых эффекта делают ток больше, чем подсказывает $P/U$, а это важно для предохранителей и кабелей.

Сопротивление вольфрамовой нити возрастает в десять и более раз, когда она нагревается от комнатной температуры до примерно 2700 К. У лампы на 100 Вт в горячем состоянии $R=U^2/P=230^2/100=529\mathrm{Ом}$, а в холодном — лишь около 50 Ом. Поэтому при включении она ненадолго, пока нить не нагреется, берёт $230/50\approx 4,6\mathrm{А}$, то есть больше 1 кВт. Именно из-за этого резкого удара такие лампы обычно и перегорают в момент включения.

Многие зарядные устройства для телефонов берут ток лишь короткими импульсами около пиков напряжения, так что их ток вообще не синусоида. Нагрев пропорционален $i^2$, так что высокие узкие импульсы дают непропорционально большой вклад, поэтому их $I_{\mathrm{д}}$ превышает $P/U_{\mathrm{д}}$ даже без какого-либо сдвига фаз.

Нагрев кабеля и автоматический выключатель

Автоматический выключатель защищает кабель, изоляция которого портится при перегреве. Поэтому правило, когда он должен срабатывать, следует из того, как нагревается кабель.

Представим кабель телом с теплоёмкостью $C$, температура которого на $\Delta T$ выше, чем у окружающей среды. Ток греет его с мощностью $I^{2}R$, а он отдаёт тепло окружающей среде с мощностью $k\Delta T$, пропорциональной превышению температуры; здесь $k$ — коэффициент теплоотдачи в ваттах на кельвин. Скорость изменения накопленного тепла, $Cd\Delta T/dt$, равна разности:
$C\frac{d\Delta T}{dt}=I^{2}R-k\Delta T$

Вначале $\Delta T$ мало, потери ничтожны, и температура растёт со скоростью $I^{2}R/C$. По мере роста потери догоняют приток, пока приход и расход не уравновесятся при установившемся перегреве $\Delta T=I^{2}R/k$. Решение приближается к этому значению как $1-e^{-t/\tau }$ с постоянной времени $\tau =C/k$ и практически достигает его через несколько постоянных времени — для домашней проводки обычно через минуты.

Установившийся перегрев растёт как $I^2$. Кабели подбирают так, чтобы их номинальный ток держал их ниже безопасного предела для изоляции. Перегрузка в анимации, $17,83/10=1,78$ номинала, даёт перегрев в $1,78^2\approx 3,2$ раза больший — далеко за этим пределом.

Биметаллическая пластина в автомате греется тем же током и имеет свою теплоёмкость и теплоотдачу, так что это маленькая модель кабеля: она изгибается и размыкает автомат, когда её собственная температура достигает заданного значения. Чем больше перегрузка, тем выше был бы её установившийся перегрев и тем раньше на пути к нему она проходит порог срабатывания, поэтому задержка круто сокращается с ростом перегрузки. При коротком замыкании ток может достичь 300 А, и нагрев идёт в $(300/10{)}^2=900$ раз быстрее, чем при 10 А. Ждать, пока прогреется пластина, слишком долго, поэтому магнитная катушка, которую притягивает сам ток, размыкает контакты примерно за 10 мс — половину периода сети.

Задача: перегрузка в реальном кабеле

В анимации на каждой розетке предполагаются полные 230 В, как будто у кабеля нет сопротивления. Пусть теперь кабель цепи проходит 15 м туда и 15 м обратно, медный, сечением 1,5 мм². Какой ток идёт при включении всех трёх приборов, какую мощность потребляет кабель и насколько он мог бы нагреться за 1,2 минуты до срабатывания?

Обозначения

$V$	Напряжение источника (действующее значение; в тексте $U$).	$\mathrm{В}$
$I$	Ток, одинаковый по всему контуру.	$\mathrm{А}$
$R_w$	Сопротивление всего кабеля, обоих проводов, нарисованное одним проводом.	$\mathrm{Ом}$
$R_L$	Общее сопротивление трёх приборов.	$\mathrm{Ом}$
$P_w$	Мощность, выделяющаяся в кабеле в виде тепла.	$\mathrm{Вт}$
$P_L$	Мощность, которую потребляют приборы.	$\mathrm{Вт}$

Рисунок 4 изображает ситуацию как последовательную цепь. Источник (на рисунке его напряжение подписано $V$, в тексте это $U$) гонит один ток $I$ по контуру: через кабель, два провода которого вместе имеют сопротивление $R_w$ (нарисованное одним проводом), и через три прибора, которые вместе действуют как одно сопротивление $R_L$. Через оба течёт один и тот же $I$, поэтому выделяемое ими тепло, $P_w=I^2{R}_w$ и $P_L=I^2{R}_L$, относится как их сопротивления. Считайте каждый прибор постоянным сопротивлением, равным его значению при номинальных 230 В, — для нагревательных элементов это хорошая модель.

Сначала два сопротивления. Удельное сопротивление меди $\rho =1,7\times 10^{-8}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$, общая длина кабеля 30 м, сечение $S=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2$, поэтому $R_w=\rho L/S=1,7\times 10^{-8}\cdot 30/(1,5\times 10^{-6})=0,34\mathrm{Ом}$. Приборы вместе берут 4100 Вт при 230 В, значит, $R_L=U^2/P=230^2/4100=12,90\mathrm{Ом}$.

Они соединены последовательно, поэтому их сопротивления складываются, а ток и нагрев кабеля равны
$I=\frac{U}{R_L+R_w}=\frac{230}{12,90+0,34}=17,37\mathrm{А}$
$P_w=I^2{R}_w=17,37^2\cdot 0,34\approx 103\mathrm{Вт}$

Кабель забирает часть напряжения, $17,37\cdot 0,34\approx 5,9\mathrm{В}$, поэтому на розетках остаётся $230-5,9=224,1\mathrm{В}$, а приборы получают $P_L=I^2{R}_L\approx 3890\mathrm{Вт}$, а не 4100 Вт. Мощность кабеля 103 Вт, или 3,4 Вт на метр, втрое больше 34 Вт, которые выделяются при номинальных 10 А, так как $(17,37/10{)}^2=3,0$.

Теперь нагрев. За 72 с до срабатывания в кабеле выделяется $103\cdot 72\approx 7,4\mathrm{кДж}$. Объём его меди $30\cdot 1,5\times 10^{-6}=4,5\times 10^{-5}{\mathrm{м}}^3$; при 8960 кг/м³ это масса 0,40 кг, а при 385 Дж/(кг·К) — теплоёмкость 155 Дж/К. Если бы тепло никуда не уходило, медь нагрелась бы на
$\Delta T=\frac{7400}{155}\approx 48\mathrm{К}$

На самом деле изоляция и стена поглощают часть тепла, поэтому нагрев меньше. С другой стороны, сопротивление меди растёт примерно на 0,4 % на кельвин, то есть при нагреве на 48 К — до 19 %, что немного увеличивает тепловыделение. Важен порядок величины: десятки кельвинов примерно за минуту, и нагрев ещё продолжается, так что перегрузку такого размера нужно отключать в течение минут.

Границы применимости

Всё сказанное выше опирается на упрощения. В этом разделе сказано, где они справедливы.

Теория цепей считает провода идеальными соединениями, по которым в каждый момент течёт один и тот же ток по всей длине. Для этого изменение на одном конце должно доходить до другого быстро по сравнению с периодом. По дому такое изменение распространяется примерно за одну десятую микросекунды, а период при 50 Гц равен 20 мс; иначе говоря, цепь должна быть гораздо меньше длины волны $c/f$, которая при 50 Гц равна 6000 км. На радиочастотах, где длины волн измеряются метрами, провода излучают, и целиком вступает в силу картина поля.

При 50 Гц ток к тому же равномерно заполняет проводник. Переменный ток вытесняется к поверхности проводника в слой, называемый скин-слоем; в меди при 50 Гц его глубина 9,2 мм, что больше радиуса 0,7 мм провода сечением 1,5 мм². При 1 МГц она уменьшается до 65 мкм, и сопротивление провода растёт.

Источник тоже неидеален: напряжение европейской сети может отклоняться от 230 В на 10 %, и по формуле $P=U^2/R$ чайник при 207 В даёт лишь $2000\cdot 0,9^2=1620\mathrm{Вт}$. Закон Ома не выполняется для нитей накаливания, сопротивление которых зависит от температуры, а также для светодиодов и электроники. Даже сопротивление меди растёт примерно на 0,4 % на кельвин, и только сверхпроводящие кабели, охлаждённые жидким азотом до 77 К, проводят постоянный ток вообще без потерь на сопротивлении.

Что дальше

Магнитное поле вокруг каждого тока подробно разбирается в уроке «Магнитное поле магнитов и токов», а урок «Электромагнитная индукция» показывает, как получают напряжение частотой 50 Гц. Урок «Электродвигатели, генераторы и трансформаторы» объясняет, почему электроэнергия пересекает целые страны при 400 кВ: при той же мощности напряжение в тысячу раз выше означает ток в тысячу раз меньше и потери $I^{2}R$ в миллион раз меньше.

Вектор Пойнтинга вернётся в уроке «Электромагнитные волны», где он описывает поток солнечного света около 1 кВт/м². Урок «Излучение абсолютно чёрного тела и кванты» объясняет, почему нить при 2700 К излучает в основном инфракрасный свет, урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» — почему светодиод справляется намного лучше, а «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели» — почему тепловой насос даёт втрое-вчетверо больше тепла на киловатт-час, чем обогреватель.