Champs magnétiques des aimants et des courants

Débutant

Suspendez un aimant droit à un fil : il finit par s'immobiliser avec une extrémité tournée vers le nord. Cette extrémité est son pôle nord, l'autre son pôle sud. Deux pôles de même nom se repoussent ; un pôle nord et un pôle sud s'attirent.

Une aiguille de boussole n'est qu'un petit aimant monté sur pivot. Où que vous la placiez, son extrémité nord indique la direction du champ magnétique en cet endroit. Promenez-la autour d'un aimant et vous tracerez les lignes de champ : elles sortent du pôle nord, s'incurvent et rentrent par le pôle sud.

La Terre est elle aussi un aimant géant, avec une subtilité. Puisque les pôles contraires s'attirent, le pôle magnétique caché sous l'Arctique est en réalité un pôle sud : voilà pourquoi il attire l'extrémité nord de toutes les boussoles.

En 1820, Hans Christian Ørsted découvre qu'un fil parcouru par un courant crée lui aussi un champ magnétique. L'animation reprend son expérience, vue de dessus : de petites boussoles entourent un fil vertical. Sans courant, elles pointent toutes vers le nord. Branchez le courant : elles pivotent pour former un anneau autour du fil ; inversez-le, et l'anneau tourne dans l'autre sens. Pour retenir le sens, saisissez le fil de la main droite, pouce dans le sens du courant : vos doigts s'enroulent dans le sens du champ.

Enroulez le fil en bobine et ces anneaux s'additionnent à l'intérieur : vous obtenez un électroaimant, que l'on peut éteindre. Un noyau de fer doux le rend bien plus puissant. Même un aimant de réfrigérateur fonctionne ainsi : ses électrons tournent et pivotent sur eux-mêmes comme de minuscules courants, tous alignés.

Testez-vous : une boussole est posée juste au nord d'un fil vertical parcouru par un courant ascendant. Où pointe son aiguille ? (Vers l'ouest : vu de dessus, le champ tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.)

Intermédiaire

Ce qu'est un champ magnétique, et son intensité

Un champ magnétique, c'est ce qui fait tourner l'aiguille d'une boussole placée près d'un aimant ou d'un courant. Il a une direction, celle où s'oriente l'extrémité nord d'une boussole, et une intensité, l'induction magnétique $B$, mesurée en tesla (T) : dans un champ de 1 T, un fil parcouru par 1 A et placé en travers du champ subit une force de 1 N par mètre de fil.

Le tesla est une unité énorme : un aimant de réfrigérateur donne quelques millitesla et un appareil d'IRM de 1,5 à 3 T, alors que le champ terrestre ne vaut que 25 à 65 µT. Une boussole posée à plat n'en ressent que la composante horizontale, environ 20 µT aux latitudes moyennes, la valeur en vert dans l'animation.

Les lignes de champ suivent la direction que montre une boussole, se resserrent là où le champ est fort et ne se croisent jamais ; autour d'un aimant droit, elles sortent du pôle nord et se courbent pour entrer dans le pôle sud. Le pôle magnétique terrestre situé sous l'Arctique attire l'extrémité nord de toute boussole : c'est donc un pôle sud.

Le champ d'un long fil rectiligne

En 1820, Hans Christian Ørsted voit l'aiguille d'une boussole dévier quand il branche un courant dans un fil voisin : les courants électriques créent des champs magnétiques. Les lignes de champ d'un long fil rectiligne sont des cercles centrés sur lui ; l'aiguille se met donc en travers, et la limaille de fer répandue sur un carton autour du fil dessine des anneaux. À la distance $r$ du fil,
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

où $I$ est l'intensité du courant et ${\mu }_0$ la constante magnétique,
${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$
Si $I$ double, $B$ double ; si $r$ double, $B$ est divisé par deux. Un raccourci pratique : ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$, de sorte que $B=2\times 10^{-7}I/r$, avec $I$ en ampères et $r$ en mètres.

Dans quel sens : lire le schéma

Le sens vient de la règle de la main droite : saisissez le fil de la main droite, le pouce dans le sens du courant, et vos doigts s'enroulent dans le sens des lignes de champ. La règle utilise le courant conventionnel $I$ ; dans un métal, les électrons dérivent en sens inverse.

L'animation montre le carton vu de dessus : le fil apparaît donc par son bout. Un point (•) signifie un courant sortant de l'écran, comme la pointe d'une flèche qui vient vers vous, et une croix (×) un courant entrant, comme son empennage. Avec $I=20\mathrm{A}$ sortant de l'écran, votre pouce pointe vers vous et le champ tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : les flèches bleues $B$ situées à l'est du fil pointent vers le nord. Quand le courant s'inverse, les flèches se retournent et toutes les aiguilles font demi-tour ; les affichages de $B$, qui ne donnent que la valeur du champ, ne changent pas.

Les aiguilles intérieures, dans le champ plus fort, tournent plus vite que les extérieures, car le couple qu'un champ exerce sur un aimant croît avec $B$.

Spires et solénoïdes

Courbez le fil en une spire circulaire de rayon $R$ : chaque morceau envoie son champ à travers le centre dans le même sens. Au centre,
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\text{(centre d’une spire)}$
soit $\pi$ fois ce que donne un fil rectiligne à la distance $R$ ; une bobine plate de $N$ spires donne $N$ fois plus.

Empilez de nombreuses spires le long d'un tube et vous obtenez un solénoïde. À l'intérieur d'un long solénoïde, les champs des spires s'additionnent en un champ presque uniforme le long de l'axe, tandis qu'à l'extérieur ils s'annulent presque :
$B={\mu }_{0}nI,n=\frac{N}{L}$
Ici $n$ est le nombre de spires par mètre, $N$ spires réparties sur une longueur $L$ ; le rayon n'a pas d'importance si la bobine est longue par rapport à sa largeur. Les extrémités se comportent comme les pôles d'un aimant droit : enroulez les doigts de la main droite dans le sens du courant dans les spires, et votre pouce indique l'extrémité nord. Avec un noyau de fer doux à l'intérieur, la bobine devient un électroaimant.

Exemple résolu : les boussoles de l'animation

Le fil est parcouru par $I=20\mathrm{A}$, et les boussoles se trouvent à 2 cm et à 4 cm de lui. Avec les distances en mètres :
$B_1=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,02}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=200\mu \mathrm{T}$
$B_2=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,04}=1,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=100\mu \mathrm{T}$

Ce sont les deux affichages bleus, dix et cinq fois les 20 µT horizontaux du champ terrestre. Une boussole, cependant, indique le champ total, celui du fil plus celui de la Terre. Pour la boussole intérieure située juste au nord du fil, le champ du fil pointe vers l'ouest et celui de la Terre vers le nord : l'aiguille s'écarte donc du cercle vers le nord d'un angle dont la tangente vaut $20/200$, soit environ 5,7°. À 4 cm, le rapport est $20/100$, et les aiguilles extérieures penchent vers le nord jusqu'à environ 11°.

Où le champ du fil égalerait-il le champ terrestre $B_T=20\mu \mathrm{T}$ ?
$r=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi B_T}=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{20\times 10^{-6}}=0,20\mathrm{m}$
Avec un courant sortant de l'écran, le champ à 20 cm plein ouest du fil pointe vers le sud et annule celui de la Terre : une boussole placée là n'a plus de direction privilégiée. Plein nord, les deux champs, perpendiculaires, s'additionnent pour donner environ 28 µT, et l'aiguille pointe vers le nord-ouest. Si l'on inverse le courant, le point d'annulation passe à l'est.

Exemple résolu : bobiner un électroaimant

Vous voulez 10 mT à l'intérieur d'une bobine de 25 cm de long, avec un fil prévu pour 2 A. Résolvez $B={\mu }_{0}nI$ pour le nombre de spires par mètre :
$n=\frac{B}{{\mu }_{0}I}=\frac{0,010}{4\pi \times 10^{-7}\cdot 2}\approx 4,0\times 10^3{\mathrm{m}}^{-1}$
Cela fait environ 4000 spires par mètre, soit $N=nL=4000\cdot 0,25=1000$ spires, et $B=4\pi \times 10^{-7}\cdot 4000\cdot 2\approx 1,0\times 10^{-2}\mathrm{T}$, environ 500 fois la composante horizontale du champ terrestre.

Sur un tube de rayon 2 cm, la bobine utilise $1000\cdot 2\pi \cdot 0,02\approx 126\mathrm{m}$ de fil. Pour du cuivre de section 0,5 mm², sa résistance vaut $\rho \ell /S=1,7\times 10^{-8}\cdot 126/(0,5\times 10^{-6})\approx 4,3\Omega$ : il faut donc environ 8,5 V pour faire passer 2 A, et 17 W se transforment en chaleur.

Un noyau de fer doux aligne ses aimants atomiques sur le champ de la bobine et le multiplie considérablement : jusqu'à quelques dixièmes de tesla dans une tige droite, et jusqu'à près de 2 T, valeur où le fer sature, dans un circuit de fer fermé comme celui d'un électroaimant de levage.

Erreurs fréquentes

• Les lignes de champ d'un fil sont des cercles, et non des rayons : une boussole placée à 2 cm au nord d'un fil parcouru par 20 A vers le haut pointe presque vers l'ouest.
• Le champ d'un long fil décroît en $1/r$, et non en $1/r^2$ : 100 µT à 4 cm deviennent 50 µT à 8 cm, et non 25 µT.
• Les distances s'expriment en mètres : $r=2$ au lieu de 0,02 donne 2 µT au lieu de 200 µT. De même, $n$ compte des spires par mètre : 1000 spires sur 25 cm donnent $n=4000{\mathrm{m}}^{-1}$, et non 1000.
• Une boussole indique le champ total, et non celui du fil seul : à 20 cm du fil de l'animation, les deux sont égaux et les aiguilles ne suivent plus les cercles.
• Un câble secteur parcouru par 10 A laisse une boussole indifférente : ses deux conducteurs transportent des courants opposés, à quelques millimètres l'un de l'autre, ce qui ne laisse qu'environ 1 µT à 10 cm, au lieu de 20 µT pour un seul, et le courant s'inverse 100 fois par seconde.

Où on le rencontre

Les électroaimants soulèvent la ferraille, maintiennent ouvertes les portes coupe-feu et commandent des relais. Un haut-parleur entraîne sa membrane grâce à une bobine plongée dans le champ d'un aimant, et un appareil d'IRM est un grand solénoïde : 1,5 T demande $nI\approx 1,2\times 10^{6}A/m$, soit par exemple 2000 spires par mètre parcourues par 600 A, d'où une bobine refroidie jusqu'à devenir supraconductrice.

Ensuite, la leçon Force magnétique sur une charge en mouvement montre ce qu'un champ fait à un courant, la leçon Induction électromagnétique comment un champ variable en engendre un, et la leçon Moteurs, générateurs et transformateurs met les deux au travail.

Avancé

Deux lois locales pour les courants stationnaires

Cette section énonce les deux règles que tout champ magnétique stationnaire respecte. Tout le reste de la leçon, du fil rectiligne au câble coaxial, en découle.

Pour des courants qui ne varient pas dans le temps, le champ magnétique $\vec{B}$ vérifie
$\nabla \cdot \vec{B}=0,\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$
Ici $\vec{J}$ est la densité de courant, c'est-à-dire le courant par unité d'aire de section (A/m²), et ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$ est la constante magnétique (la perméabilité du vide). La divergence $\nabla \cdot \vec{B}$ mesure la quantité de champ qui sort d'un petit volume ; le rotationnel $\nabla \times \vec{B}$ mesure combien il circule autour d'une petite boucle.

La première loi dit qu'aucun flux net de $\vec{B}$ ne sort d'une surface fermée. Les lignes de champ ne commencent donc ni ne finissent nulle part, faute de charges magnétiques. Les lignes de $\vec{E}$ de la leçon Champ et potentiel électriques, au contraire, partent de charges et aboutissent à des charges.

La seconde loi dit que $\vec{B}$ tourbillonne autour des courants, et seulement autour des courants. Là où $\vec{J}=0$, le champ n'a aucun rotationnel.

Théorème d'Ampère : la circulation compte le courant

La loi du rotationnel vaut en chaque point. Pour l'appliquer à un vrai fil, il faut une forme qui additionne la circulation sur une boucle entière. Intégrons la loi du rotationnel sur n'importe quelle surface s'appuyant sur un contour fermé $C$ : le théorème de Stokes transforme le membre de gauche en une intégrale curviligne le long de $C$, et le membre de droite devient ${\mu }_0$ fois le courant $I_{\mathrm{enl}}$ qui traverse la surface. C'est le théorème d'Ampère :
$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enl}}$

Légende

$I$	Courant dans le fil, vers le haut. Il traverse $S_1$ comme $S_2$ : c'est le $I_{\mathrm{enl}}$ du théorème d'Ampère.	$\mathrm{A}$
$C$	Contour fermé le long duquel on additionne $\vec{B}$.
$S_1$	Disque plat s'appuyant sur $C$.
$S_2$	Calotte s'appuyant sur le même contour $C$ ; le fil la perce aussi.
$d\vec{l}$	Court pas le long de $C$, dans le sens où se courbent les doigts de la main droite quand le pouce suit $I$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Champ magnétique sur $C$ ; il tourne autour du fil dans le même sens que les pas.	$\mathrm{T}$

Sur la figure 1, le contour $C$ est découpé en petits pas $d\vec{l}$. À chaque pas, on prend la composante de $\vec{B}$ le long du pas et on la multiplie par la longueur du pas. Le membre de gauche de la loi est la somme de ces produits tout autour de $C$.

Le sens de parcours fixe le signe. Pointez votre pouce droit dans le sens d'un courant : si vos doigts s'enroulent dans le sens des pas, ce courant compte positivement. Ici le fil porte $I$ vers le haut, donc les pas tournent dans le sens antihoraire vu d'en haut. Le champ $\vec{B}$ tourne autour du fil dans le même sens, de sorte que tous les produits sont positifs.

$I_{\mathrm{enl}}$ est le courant qui traverse une surface s'appuyant sur $C$. Le choix le plus évident est le disque plat $S_1$. Mais la calotte en tirets $S_2$ a le même bord $C$, et la loi ne dit pas quelle surface utiliser : les deux doivent donc donner la même réponse. Sur la figure 1, c'est le cas : le fil perce $S_1$ comme $S_2$, et chacune est traversée par $I$.

Cet accord n'est pas automatique. La divergence d'un rotationnel est nulle ; en prenant la divergence de la loi du rotationnel, on obtient donc $\nabla \cdot \vec{J}=0$ : la charge ne s'accumule jamais, le courant circule dans des circuits fermés, et toute surface s'appuyant sur $C$ est traversée par le même courant. Un condensateur en charge fait exception. Une calotte qui passe entre ses armatures n'est traversée par aucun courant, alors que le disque plat est traversé par le fil. C'est le premier signe que les champs variables demandent un terme supplémentaire, que l'on rencontre à la fin de cette leçon.

Le fil rectiligne, à l'extérieur et à l'intérieur

Le théorème d'Ampère donne $B$ en une ligne, mais seulement quand la symétrie nous assure d'avance que le champ est le même tout autour du contour. Le long fil rectiligne est le cas le plus net, et il montre comment se déroule l'argument de symétrie.

Un long fil rectiligne a le même aspect après une translation le long du fil ou une rotation autour de lui. Chaque composante de $\vec{B}$ ne peut donc dépendre que de la distance $r$ au fil. Décomposons $\vec{B}$ en trois composantes : radiale (qui s'éloigne du fil), parallèle au fil, et tournant autour du fil.

La composante radiale est nulle. Prenons un cylindre fermé de rayon $r$ autour du fil. Ses deux bases plates se compensent, car le champ parallèle au fil est le même aux deux extrémités : il entre par l'une comme il sort par l'autre. Une composante radiale sortirait alors partout par la surface latérale et donnerait un flux net, ce que $\nabla \cdot \vec{B}=0$ interdit.

La composante parallèle au fil est nulle à l'extérieur. Prenons un rectangle dans un plan passant par le fil, dont les deux grands côtés sont à l'extérieur du fil, du même côté. Il n'enlace aucun courant. Ses petits côtés sont radiaux, et le champ n'a aucune composante radiale ; les deux grands côtés doivent donc se compenser : le champ parallèle au fil est le même à toutes les distances. Loin du fil il doit s'annuler, donc il s'annule partout à l'extérieur.

Il reste une composante qui tourne autour du fil, de valeur $B$ ne dépendant que de $r$. Le long d'un cercle de rayon $r$ centré sur le fil, $\vec{B}$ est toujours dirigé selon le pas, donc le membre de gauche du théorème d'Ampère vaut $B\cdot 2\pi r$. En l'égalant à ${\mu }_{0}I$, on obtient
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

À l'intérieur d'un fil de rayon $a$ parcouru par un courant uniforme, un cercle de rayon $r<a$ n'enlace qu'une partie du courant : le rapport des aires, $\pi r^2/(\pi a^2)=r^2/a^2$. Donc $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$, et
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$
Le champ est nul sur l'axe et croît linéairement jusqu'à ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$ à la surface : 4,0 mT pour 20 A dans un fil de rayon 1 mm. À l'extérieur, il décroît en $1/r$. La figure 4, plus bas, trace des cercles d'Ampère dans les deux régions.

Le solénoïde : un champ uniforme à l'intérieur

Un solénoïde est une longue bobine de fil, la façon classique de produire un champ uniforme. Le théorème d'Ampère montre pourquoi, avec un seul rectangle situé moitié à l'intérieur, moitié à l'extérieur de la bobine.

Légende

$C$	Contour rectangulaire pour le théorème d'Ampère, parcouru dans le sens antihoraire.
$\ell$	Longueur des deux côtés de $C$ parallèles à l'axe.	$\mathrm{m}$
$I$	Courant dans chaque spire : il sort de la page en haut, il y entre en bas.	$\mathrm{A}$
$B$	Champ à l'intérieur du solénoïde, le long de l'axe ; il est nul à l'extérieur.	$\mathrm{T}$
$n\ell$	Nombre de spires qui traversent $C$ ; $n$ est le nombre de spires par mètre.

La figure 2 coupe un long solénoïde selon son axe. Sur la rangée du haut, le courant sort de la page (points) ; sur la rangée du bas, il entre dans la page (croix). Enroulez les doigts de la main droite dans le sens du courant des spires : votre pouce donne le champ à l'intérieur, le long de l'axe, vers la droite, comme le montrent les flèches $B$.

À l'extérieur de la bobine, le champ est nul. Un rectangle entièrement à l'extérieur n'enlace aucun courant ; ses deux grands côtés, parallèles à l'axe, doivent donc se compenser : le champ parallèle à l'axe est le même à toutes les distances à l'extérieur. Loin de la bobine il doit s'éteindre, donc il est nul partout à l'extérieur. C'est le $B=0$ sous la bobine.

Parcourons maintenant le rectangle $C$ de la figure 2. Son côté intérieur, de longueur $\ell$, suit l'axe à l'intérieur de la bobine, dans le sens de $B$, et contribue pour $B\ell$. Son côté extérieur se trouve là où $B=0$ et ne contribue pas. Ses deux petits côtés coupent le champ axial à angle droit à l'intérieur de la bobine et se trouvent dans un champ nul à l'extérieur : ils n'ajoutent rien non plus. Le membre de gauche du théorème d'Ampère se réduit à $B\ell$.

Pour le membre de droite, $C$ est traversé par $n\ell$ spires, où $n$ est le nombre de spires par mètre, et chacune porte $I$. Donc $I_{\mathrm{enl}}=n\ell I$, et $B\ell ={\mu }_{0}n\ell I$ donne
$B={\mu }_{0}nI$
Rien de tout cela ne dépend de la distance du côté intérieur à l'axe : le champ est donc le même partout à l'intérieur, uniforme. Il dépend du nombre de spires par mètre et du courant, pas du rayon de la bobine.

Le graphe de B(r) et les cercles de flux égal

Au niveau Avancé, l'animation trace le champ du fil de 20 A, $B$ en fonction de $r$ de 1 à 6 cm. Cette section lit ce graphe et montre pourquoi le théorème d'Ampère en fixe la forme.

La courbe est l'hyperbole $Br={\mu }_{0}I/(2\pi )=4,0\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$, soit 400 µT·cm. Elle passe par 400 µT à 1 cm, par les 200 µT repérés à 2 cm, par 100 µT à 4 cm et par 67 µT à 6 cm. En axes log–log, ce serait une droite de pente −1, contre −2 pour une charge ponctuelle et −3 pour un aimant lointain.

Le produit constant $Br$ est exactement ce qu'exige le théorème d'Ampère. Prenons un contour qui n'enlace aucun courant : on suit un rayon de 2 à 4 cm, on parcourt le cercle de 4 cm sur un angle $\Delta \phi$, on revient le long d'un autre rayon, puis on reboucle sur le cercle de 2 cm. Sur les parties radiales, $\vec{B}$ est perpendiculaire au trajet : elles ne contribuent pas. L'arc extérieur suit le champ et donne $100\mu \mathrm{T}\cdot 4\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$ ; l'arc intérieur va à contre-sens et donne $-200\mu \mathrm{T}\cdot 2\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$. Les deux se compensent, comme il se doit sans courant à l'intérieur. Un champ qui décroîtrait plus vite ou plus lentement que $1/r$ échouerait à ce test.

Le flux à travers une bande située dans un plan passant par le fil, longue d'un mètre et allant de $r_1$ à $r_2$, est la somme des $Bdr$ sur sa largeur :
$\Phi =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r_2}{r_1}$
Il ne dépend que du rapport $r_2/r_1$ ; chaque doublement de $r$ ajoute donc le même $2,8\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Des lignes de champ tracées par pas égaux de flux sont donc des cercles de rayons 1, 2, 4 et 8 cm, qui s'écartent à mesure que le champ faiblit ; les deux cercles en tirets de l'animation sont voisins dans un tel ensemble.

La loi de Biot et Savart : une spire vue de son axe

Le théorème d'Ampère ne donne $B$ que si la symétrie maintient le champ constant le long d'un contour. Autour d'une simple spire circulaire, il n'existe aucun contour de ce genre ; il faut donc une loi valable pour un circuit de forme quelconque. La loi de Biot et Savart construit le champ à partir de petits morceaux de courant :
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
Ici $d\vec{l}$ est un court élément de fil dirigé selon le courant, $r$ est sa distance au point où l'on calcule le champ et $\hat{r}$ est le vecteur unitaire allant de l'élément vers ce point. Chaque élément apporte une contribution qui décroît en $1/r^2$ et qui est perpendiculaire à la fois au courant et à la ligne de visée.

Légende

$I$	Courant dans la spire, dans le sens antihoraire vu d'en haut.	$\mathrm{A}$
$R$	Rayon de la spire.	$\mathrm{m}$
$z$	Hauteur de $P$ au-dessus du centre de la spire, le long de l'axe.	$\mathrm{m}$
$P$	Point de l'axe où l'on cherche le champ.
$r$	Distance de l'élément $d\vec{l}$ à $P$, égale à $\sqrt{R^2+z^2}$.	$\mathrm{m}$
$\hat{r}$	Vecteur unitaire allant de l'élément vers $P$.
$d\vec{l}$	Court élément de la spire, à droite, là où le courant entre dans la page ; dessiné vers le haut dans cette vue en perspective.	$\mathrm{m}$
$d\vec{B}$	Champ de cet élément en $P$, perpendiculaire à $d\vec{l}$ et à $\hat{r}$.	$\mathrm{T}$
$d{B}_z$	Composante axiale de $d\vec{B}$ ; les composantes axiales de tous les éléments pointent vers le haut et s'ajoutent.	$\mathrm{T}$

La figure 3 applique la loi à une spire circulaire de rayon $R$ parcourue par $I$, en un point $P$ de son axe, à la hauteur $z$ au-dessus du centre. Regardons d'abord l'élément $d\vec{l}$ du côté droit de la spire. Le courant y entre dans la page ; dans cette vue en perspective, « entrer dans la page » est représenté vers le haut.

Deux faits simplifient cet élément. Sa distance à $P$ est $r=\sqrt{R^2+z^2}$, par Pythagore dans le triangle de côtés $R$ et $z$. Et $d\vec{l}$, qui suit la spire, est perpendiculaire à la droite $r$, de sorte que le produit vectoriel a sa valeur maximale : $dB={\mu }_{0}Idl/(4\pi r^2)$. Sa direction est perpendiculaire à $d\vec{l}$ et à $\hat{r}$ : vers le haut et en s'éloignant de l'axe, comme le montre la flèche $d\vec{B}$.

Regardons maintenant l'élément gris du côté opposé de la spire. Son courant va en sens inverse, donc son champ est l'image en miroir : vers le haut et en s'éloignant de l'axe, de son propre côté. Les composantes latérales des deux éléments se compensent. En associant chaque élément à son opposé, toutes les composantes latérales s'annulent et seules subsistent les composantes axiales $d{B}_z$, toutes dirigées vers le haut.

Combien vaut $d{B}_z$ ? La flèche $d\vec{B}$ est perpendiculaire à la droite $r$, donc le petit triangle formé par $d\vec{B}$ et $d{B}_z$ est semblable au grand triangle de côtés $R$, $z$ et $r$. Ainsi $d{B}_z=dBR/r$.

Tous les éléments sont à la même distance $r$ et donnent le même rapport $R/r$, et les longueurs des éléments s'additionnent en la circonférence $2\pi R$. La somme se réduit donc à un produit :
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

Deux cas limites vérifient le résultat. Au centre, $z=0$, donc $r=R$ et chaque élément est perpendiculaire à la droite qui le joint au centre, et $B={\mu }_{0}I\cdot 2\pi R/(4\pi R^2)={\mu }_{0}I/(2R)$. Pour 20 A dans une spire de rayon 2 cm, cela fait 628 µT, soit $\pi$ fois les 200 µT d'un fil rectiligne à la même distance de 2 cm.

Loin sur l'axe, pour $z\gg R$, le facteur $(R^2+z^2{)}^{3/2}$ devient $z^3$ et $B\approx {\mu }_{0}I{R}^2/(2z^3)$ : le champ décroît en $1/z^3$. À 20 cm, la même spire ne donne que 0,62 µT, là où un fil rectiligne donne encore 20 µT. Une petite spire est un dipôle magnétique, avec le même champ lointain qu'un aimant droit. Tout circuit réel, fils de retour compris, est une boucle fermée ; assez loin, son champ décroît donc lui aussi comme le cube de la distance.

Fils de longueur finie et solénoïdes courts

La même somme traite les morceaux de fil rectiligne et les bobines de longueur finie, et montre la qualité des formules idéales.

Un segment rectiligne de longueur $\ell$, vu d'un point situé à la distance perpendiculaire $r$ en face de son milieu, donne
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{\ell /2}{\sqrt{(\ell /2{)}^2+r^2}}$
Le premier facteur est la valeur du fil infini ; le second, toujours inférieur à 1, corrige l'absence des extrémités. Pour un fil de 1 m vu à 4 cm, il vaut 0,9968 : le champ n'est inférieur que de 0,3 %.

Pour un solénoïde long de six rayons, comme celui de l'animation, la somme des champs de ses spires donne 95 % de ${\mu }_{0}nI$ au centre et 49 % aux extrémités, là où les lignes de champ calculées s'évasent. Le $B={\mu }_{0}nI$ idéal est la limite d'une bobine très longue.

Problème résolu : un conducteur de retour coaxial

Un câble coaxial envoie un courant aller le long d'une barre centrale et le ramène par un tube qui l'entoure. C'est un bon test du théorème d'Ampère, car le courant enlacé change d'un cercle au suivant.

Faisons sortir de l'écran les 20 A de l'animation le long d'une barre de cuivre de rayon $a=1\mathrm{cm}$, et revenir dans l'écran par un tube mince de rayon $b=3\mathrm{cm}$ qui entoure la barre. Que ressentent les boussoles à 2 cm et à 4 cm, et quel est le champ à 0,5 cm de l'axe ?

Légende

$I$	Courant dans la barre, hors de la page ; le tube ramène le même courant.	$\mathrm{A}$
$a$	Rayon de la barre.	$\mathrm{m}$
$b$	Rayon du tube.	$\mathrm{m}$
$B$	Valeur du champ sur un cercle de rayon $r$ autour de l'axe.	$\mathrm{T}$
$r$	Distance à l'axe.	$\mathrm{m}$

La moitié gauche de la figure 4 est la coupe transversale. Le point au centre est le courant $I$ qui sort de la page le long de la barre de rayon $a$ ; les croix sont son retour dans la page le long du tube de rayon $b$. Les cercles en tirets 1, 2 et 3 sont des cercles d'Ampère à 0,5 cm, 2 cm et 4 cm. Le dessin resserre les rayons pour laisser de la place aux étiquettes ; il n'est donc pas à l'échelle.

Comme le fil rectiligne, le câble a le même aspect après une rotation autour de son axe ou une translation le long de celui-ci ; le champ tourne donc encore autour de l'axe avec une valeur qui ne dépend que de $r$. Sur chaque cercle, le théorème d'Ampère donne $B\cdot 2\pi r={\mu }_0{I}_{\mathrm{enl}}$, soit $B=({\mu }_0/2\pi )I_{\mathrm{enl}}/r$ avec ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$. Le seul travail est de trouver $I_{\mathrm{enl}}$.

Le cercle 1, à l'intérieur de la barre, enlace $(0,5/1{)}^2$, soit un quart, de l'aire de la barre, donc un quart de son courant. Le cercle 2 enlace tout le courant de la barre et rien de celui du tube. Le cercle 3 enlace les deux, qui se compensent :
$I_{\mathrm{enl}}(0,5\mathrm{cm})=20\cdot (0,5/1{)}^2=5\mathrm{A},B=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 5}{0,005}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enl}}(2\mathrm{cm})=20\mathrm{A},B=200\mu \mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enl}}(4\mathrm{cm})=20-20=0,B=0$

La moitié droite de la figure 4 trace $B$ en fonction de $r$ pour tout le câble. Le champ monte en ligne droite jusqu'à un maximum de 400 µT en $r=a$, suit l'hyperbole en $1/r$ de l'animation jusqu'à $r=b$, puis tombe à zéro. Les cercles 1 et 2 sont à la même hauteur : 200 µT dans la barre à 0,5 cm, et 200 µT à l'extérieur à 2 cm.

Les boussoles intérieures, à 2 cm, ne remarquent donc rien de nouveau : le courant du tube est en dehors de leur cercle, et un tube uniforme ne crée aucun champ à l'intérieur de lui-même. Les boussoles extérieures, à 4 cm, ne ressentent que la composante horizontale du champ terrestre, d'environ 20 µT, et pointent vers le nord comme si le courant était coupé.

Si 5 A fuyaient vers la terre ailleurs, de sorte que seuls 15 A reviennent par le tube, le cercle 3 enlacerait 5 A. Les boussoles extérieures ressentiraient alors de la part du câble $2\times 10^{-7}\cdot 5/0,04=25\mu \mathrm{T}$, plus que le champ terrestre. Un disjoncteur différentiel met cela à profit : un tore entourant les deux conducteurs ne détecte que leur courant net, le $I_{\mathrm{enl}}$ du théorème d'Ampère, et coupe le circuit quand il n'est pas nul.

Un même champ vu de deux référentiels

Le magnétisme n'est pas une force à part. Cette section montre que la force magnétique d'un fil est une force électrique vue depuis un autre référentiel.

Prenons un fil de cuivre de section 2,5 mm². Ses électrons mobiles portent environ $3,4\times 10^4\mathrm{C}$ par mètre de fil, exactement compensés par les ions positifs : le fil est neutre. Pour transporter 20 A, les électrons ne dérivent qu'à $v\approx 0,59mm/s$.

Faisons maintenant avancer une charge le long du fil, parallèlement aux électrons et à la même vitesse $v$ qu'eux. Dans le laboratoire, elle subit une force magnétique, car elle se déplace dans le champ $B$. Dans son propre référentiel, elle est au repos, et un champ magnétique n'exerce aucune force sur une charge au repos. La force ne peut pas disparaître par un simple changement de point de vue ; dans ce référentiel, elle doit donc être électrique.

Et elle l'est. Dans le référentiel de la charge, les ions se déplacent : leur espacement subit une contraction des longueurs, et ils sont plus serrés que dans le laboratoire. Les électrons, eux, sont maintenant au repos, à leur espacement naturel, plus large que l'espacement contracté vu dans le laboratoire ; ils sont donc moins serrés. Le fil n'est plus neutre.

Les deux densités diffèrent d'une fraction $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-24}$ : une charge nette de moins d'un électron par mètre de fil. Pourtant, à 2 cm, cette minuscule charge crée un champ électrique de $1,2\times 10^{-7}V/m$, le même que le $vB$ d'une charge qui se déplace à la vitesse $v$ dans un champ de 200 µT. Les champs électrique et magnétique sont deux aspects d'un même champ, mélangés par un changement de référentiel, avec ${\mu }_0{\epsilon }_0=1/c^2$ pour taux de change.

La règle de la main droite n'est qu'une convention. $\vec{B}$ apparaît à la fois dans la loi du champ et dans la force $q\vec{v}\times \vec{B}$ ; une règle de la main gauche employée dans les deux inverserait donc $\vec{B}$ sans changer aucune prédiction.

Les aimants permanents obéissent aux mêmes équations. Leurs courants sont à l'intérieur des atomes, surtout dans les spins des électrons, alignés sur des domaines entiers du fer.

Limites de validité

Ce sont les lois des courants stationnaires. Quand les courants varient, le terme de Maxwell ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ s'ajoute à ${\mu }_0\vec{J}$ dans la loi du rotationnel. Il répare le condensateur en charge de la figure 1, et il fait que les variations du champ se propagent à la vitesse $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}\approx 3,00\times 10^{8}m/s$.

Les formules statiques restent valables à des distances très inférieures à la longueur d'onde. À 50 Hz, la longueur d'onde est de 6000 km, donc le câblage domestique relève de la magnétostatique ; à 100 MHz, elle est de 3 m, et un fil rayonne.

Ces lois supposent aussi le vide ou l'air, dont la perméabilité diffère de ${\mu }_0$ de moins d'une partie par million. Les champs stationnaires les plus intenses obtenus en laboratoire sont d'environ 45 T, et les magnétars, une sorte d'étoile à neutrons, atteignent environ $10^{10}\mathrm{T}$.

Le magnétisme de la matière est quantique par nature. La physique classique ne prévoit aucune aimantation pour des charges à l'équilibre thermique, et l'alignement des spins dans le fer est un effet quantique.

Ce qui vient ensuite

La leçon Force magnétique sur une charge en mouvement ajoute la force $q\vec{v}\times \vec{B}$, l'attraction entre courants parallèles et les orbites circulaires des particules chargées. La leçon Induction électromagnétique montre qu'un $\vec{B}$ variable engendre un champ électrique le long d'un circuit, pendant du théorème d'Ampère, et la leçon Moteurs, générateurs et transformateurs met bobines et noyaux de fer au travail. Avec le terme de Maxwell, les deux lois du rotationnel donnent les ondes de la leçon Ondes électromagnétiques, et le changement de référentiel évoqué plus haut est développé dans la leçon Relativité restreinte.