磁体与电流的磁场

入门

把条形磁铁用细线吊起来，它静止时一端指向北方。这一端就是它的北极，另一端是南极。同名磁极相互排斥；北极和南极相互吸引。

指南针的指针就是装在支点上的小磁体。无论放在哪里，它的北端都指示该处磁场的方向。把它绕着磁铁移动，就能描出磁感线：磁感线从北极出发，弯曲后进入南极。

地球也是一块巨大的磁铁，不过有个反转。由于异名磁极相互吸引，隐藏在北极地区下方的磁极其实必定是南极：所以它才会吸引每个指南针的北端。

1820 年，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特发现，通电导线也会产生磁场。动画重现了他的实验，是从上方俯视的：小指南针围在一根竖直导线周围。没有电流时，它们都指向北。接通电流，它们转成绕导线的一圈；电流反向，圆圈的方向也反过来。要记住方向，用右手握住导线，拇指指向电流方向：四指弯曲的方向就是磁场的方向。

把导线绕成线圈，各圈的磁场在线圈内部叠加：你就得到一个可以随时关掉的电磁铁。里面放上软铁，会强得多。连冰箱贴也是这样工作的：它里面的电子像微小的电流一样绕转和自旋，并且全都排列整齐。

自测：一个指南针放在一根竖直导线的正北侧，导线中电流向上。它的指针指向哪里？（西：从上方看，磁场沿逆时针方向环绕。）

中级

什么是磁场，有多强

磁场就是让磁体或电流附近的指南针指针发生偏转的东西。它有方向，即指南针指针北端静止时所指的方向；也有大小，即磁感应强度 $B$，单位是特斯拉（T）：在 1 T 的磁场中，垂直于磁场、通有 1 A 电流的导线，每米受力 1 N。

特斯拉是很大的单位：冰箱贴的磁场约为几毫特斯拉，核磁共振成像仪为 1.5–3 T，而地磁场只有 25–65 µT。平放的指南针只感受到地磁场的水平分量，在中纬度约为 20 µT，即动画中的绿色数值。

磁感线沿指南针所指方向延伸，磁场强的地方密集，且从不相交；在条形磁铁周围，磁感线从北极出发，弯向南极。北极地区下方的地磁极吸引每个指南针的北端，所以它其实是南极。

长直导线的磁场

1820 年，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特注意到，接通附近导线中的电流时，指南针的指针发生偏转：电流产生磁场。长直导线的磁感线是以导线为中心的圆，所以指针会横向偏转，卡片上导线周围的铁屑也排成圆环。在距导线 $r$ 处，
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

其中 $I$ 是电流，${\mu }_0$ 是真空磁导率，
${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$
$I$ 加倍，$B$ 加倍；$r$ 加倍，$B$ 减半。一个方便的简化式是 ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$，于是 $B=2\times 10^{-7}I/r$，其中 $I$ 以安培、$r$ 以米为单位。

方向怎么判断：看懂示意图

方向由右手螺旋定则给出：用右手握住导线，拇指指向电流方向，其余四指弯曲的方向就是磁感线的方向。该定则使用的是传统电流 $I$ 的方向；在金属中，电子的漂移方向与之相反。

动画是从上方俯视卡片的，所以导线是端面朝向我们：点（•）表示电流垂直屏幕向外，像箭头的尖端；叉（×）表示电流垂直屏幕向内，像箭尾的羽毛。当 $I=20\mathrm{A}$ 垂直屏幕向外时，你的拇指指向自己，磁场沿逆时针方向环绕：东侧的蓝色 $B$ 箭头指向北。电流反向时，箭头翻转，所有指针随之掉头；只给出磁场大小的 $B$ 读数保持不变。

处在较强磁场中的内圈指针比外圈转得更快，因为磁场使磁体受到的转动作用随 $B$ 增大。

圆环与螺线管

把导线弯成半径为 $R$ 的圆环，它的每一段在环中心产生的磁场方向相同。圆心处
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\text{(centre of a loop)}$
这是长直导线在距离 $R$ 处磁场的 $\pi$ 倍；$N$ 匝的扁平线圈则是 $N$ 倍。

沿管子绕上许多匝，就得到螺线管。在长螺线管内部，各匝产生的磁场叠加成沿轴线近乎均匀的磁场，而在管外几乎相互抵消：
$B={\mu }_{0}nI,n=\frac{N}{L}$
这里 $n$ 是每米匝数，即长度 $L$ 上有 $N$ 匝；只要线圈的长度远大于宽度，半径就无关紧要。两端的作用像条形磁铁的磁极：右手四指沿匝中电流方向弯曲，拇指所指的就是北极端。内部加上软铁芯，线圈就成了电磁铁。

例题：动画中的指南针

导线中电流 $I=20\mathrm{A}$，指南针距导线 2 cm 和 4 cm。距离以米为单位：
$B_1=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0.02}=2.0\times 10^{-4}\mathrm{T}=200\mu \mathrm{T}$
$B_2=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0.04}=1.0\times 10^{-4}\mathrm{T}=100\mu \mathrm{T}$

这就是两个蓝色读数，分别是地磁场水平分量 20 µT 的十倍和五倍。不过，指南针显示的是总磁场，即导线磁场与地磁场之和。对于导线正北方的内圈指南针，导线的磁场指向西，地磁场指向北，因此指针从圆的切线方向向北偏转，偏转角的正切为 $20/200$：约 5.7°。在 4 cm 处比值为 $20/100$，外圈指针向北偏转最多约 11°。

导线的磁场在何处与地磁场 $B_E=20\mu \mathrm{T}$ 相等？
$r=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi B_E}=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{20\times 10^{-6}}=0.20\mathrm{m}$
电流垂直屏幕向外时，导线正西 20 cm 处的磁场指向南，与地磁场抵消：那里的指南针没有特定的指向。在正北方，两个磁场成直角叠加，合成约 28 µT，指针指向西北。电流反向后，抵消点移到东侧。

例题：绕制电磁铁

你想在一个长 25 cm 的线圈内得到 10 mT，导线额定电流 2 A。由 $B={\mu }_{0}nI$ 解出每米匝数：
$n=\frac{B}{{\mu }_{0}I}=\frac{0.010}{4\pi \times 10^{-7}\cdot 2}\approx 4.0\times 10^3{\mathrm{m}}^{-1}$
也就是约 4000 匝每米，即 $N=nL=4000\cdot 0.25=1000$ 匝，且 $B=4\pi \times 10^{-7}\cdot 4000\cdot 2\approx 1.0\times 10^{-2}\mathrm{T}$，约为地磁场水平分量的 500 倍。

在半径 2 cm 的管子上，线圈要用 $1000\cdot 2\pi \cdot 0.02\approx 126\mathrm{m}$ 导线。用横截面积 0.5 mm² 的铜线，其电阻为 $\rho \ell /A=1.7\times 10^{-8}\cdot 126/(0.5\times 10^{-6})\approx 4.3\Omega$，所以 2 A 需要约 8.5 V，并把 17 W 的功率变成热。

软铁芯使其原子磁体沿线圈磁场排列，把磁场增强许多倍：直铁棒中增强到零点几特斯拉，而在起重电磁铁那样的闭合铁路径中，可达接近 2 T，此时铁达到饱和。

常见错误

• 导线的磁感线是圆，不是辐条：在通有向上 20 A 电流的导线正北方 2 cm 处，指南针几乎指向西。
• 长导线的磁场按 $1/r$ 下降，不是 $1/r^2$：4 cm 处的 100 µT 在 8 cm 处变为 50 µT，而不是 25 µT。
• 距离要用米：取 $r=2$ 而不是 0.02，会得到 2 µT 而不是 200 µT。同样，$n$ 是每米匝数：25 cm 上绕 1000 匝，$n=4000{\mathrm{m}}^{-1}$，而不是 1000。
• 指南针显示的是总磁场，而不只是导线的磁场：距动画中的导线 20 cm 处两者相等，指针不再沿圆周方向。
• 通有 10 A 电流的市电电缆不会影响指南针：它的两根导线电流方向相反，相距仅几毫米，在 10 cm 处只剩约 1 µT，而不是单根导线的 20 µT，而且电流每秒反向 100 次。

生活中的应用

电磁铁能吊起废钢铁、吸住防火门、控制继电器。扬声器用处在磁铁磁场中的线圈驱动纸盆，核磁共振成像仪则是一个大螺线管：1.5 T 需要 $nI\approx 1.2\times 10^{6}A/m$，比如每米 2000 匝、通 600 A 电流，所以它的线圈要冷却到超导状态。

接下来，《运动电荷受到的磁场力》说明磁场对电流有什么作用，《电磁感应》说明变化的磁场如何驱动电流，《电动机、发电机与变压器》则把两者结合起来加以应用。

高级

稳恒电流的两条局域定律

本节给出所有稳恒磁场都服从的两条规律。本课其余内容，从直导线到同轴电缆，都由它们推出。

对于不随时间变化的电流，磁场 $\vec{B}$ 满足
$\nabla \cdot \vec{B}=0,\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$
这里 $\vec{J}$ 是电流密度，即单位横截面积上的电流（A/m²），${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$ 是真空磁导率。散度 $\nabla \cdot \vec{B}$ 衡量从一个极小体积中流出的磁场有多少；旋度 $\nabla \times \vec{B}$ 衡量磁场绕一个极小回路环绕的程度。

第一条定律说，$\vec{B}$ 通过任何闭合曲面的净通量为零。因为不存在磁荷，磁感线永远不会起始或终止。相比之下，课程《电场与电势》中的 $\vec{E}$ 线则起于电荷、止于电荷。

第二条定律说，$\vec{B}$ 绕电流环绕，而且只绕电流环绕。在 $\vec{J}=0$ 的地方，磁场没有任何旋度。

安培环路定律：环流等于电流

旋度定律逐点成立。要把它用于真实的导线，我们需要一种能把整个回路上的环流加起来的形式。把旋度定律在以闭合回路 $C$ 为边界的任一曲面上积分：斯托克斯定理把左边变成沿 $C$ 的线积分，右边变成 ${\mu }_0$ 乘以穿过该曲面的电流 $I_{\mathrm{enc}}$。结果就是安培环路定律：
$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$

图例

$I$	导线中向上的电流。它同样穿过 $S_1$ 和 $S_2$，所以就是安培环路定律中的 $I_{\mathrm{enc}}$。	$\mathrm{A}$
$C$	对 $\vec{B}$ 求和所沿的闭合回路。
$S_1$	以 $C$ 为边界的平面圆盘。
$S_2$	以同一回路 $C$ 为边界的穹顶；导线也穿过它。
$d\vec{l}$	沿 $C$ 的一小步，方向为拇指指向 $I$ 时右手四指弯曲的方向。	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	$C$ 上的磁场；它绕导线的方向与各小步相同。	$\mathrm{T}$

在图 1 中，回路 $C$ 被分成许多小段 $d\vec{l}$。在每一小段上，取 $\vec{B}$ 沿这一小段的分量，乘以这一小段的长度。定律的左边就是这些乘积沿 $C$ 绕一圈的总和。

行进方向决定符号。右手拇指指向电流方向：如果四指弯曲的方向与各小段的走向一致，这个电流就算正。这里导线中的电流 $I$ 向上，所以从上方看，各小段沿逆时针方向。磁场 $\vec{B}$ 也以同样的方向绕导线，因此每个乘积都为正。

$I_{\mathrm{enc}}$ 是穿过以 $C$ 为边界的曲面的电流。最直观的选择是平面圆盘 $S_1$。但虚线所示的穹顶 $S_2$ 有相同的边缘 $C$，而定律并没有说该用哪个曲面，所以两者必须给出相同的结果。在图 1 中确实如此：导线同样穿过 $S_1$ 和 $S_2$，所以两者都被电流 $I$ 穿过。

这种一致并非自动成立。任何旋度的散度都为零，所以对旋度定律取散度，得到 $\nabla \cdot \vec{J}=0$：电荷从不堆积，电流沿闭合回路流动，每一个以 $C$ 为边界的曲面都通过相同的电流。充电中的电容器打破了这一点。从两极板之间穿过的穹顶没有电流穿过，而平面圆盘却被导线穿过。这是变化的场需要一个额外项的第一个迹象，本课结尾会讲到。

直导线：导线外与导线内

安培环路定律一行就能给出 $B$，但前提是对称性事先告诉我们，磁场沿回路处处相同。长直导线是最干净的例子，它展示了对称性论证是怎样进行的。

长直导线沿着自身滑动或绕着自身转动后，看起来都一样。所以 $\vec{B}$ 的每个分量只能依赖于到导线的距离 $r$。把 $\vec{B}$ 分成三个分量：径向分量（背离导线）、沿导线的分量，以及绕导线的分量。

径向分量为零。取一个包围导线、半径为 $r$ 的闭合圆柱。它的两个平底面相互抵消，因为沿导线方向的磁场在两端相同，从一端进入就从另一端穿出。若有径向分量，就会处处从侧面穿出，给出净通量，而 $\nabla \cdot \vec{B}=0$ 不允许这样。

沿导线的分量在导线外为零。在过导线的平面内取一个矩形，两条长边都在导线之外，且位于导线的同一侧。它不包围任何电流。它的两条短边是径向的，而磁场在径向没有分量，所以两条长边必须相互抵消：沿导线方向的磁场在任何距离处都相同。在很远处它必须消失，所以在导线外处处为零。

剩下的分量绕导线环绕，大小 $B$ 只依赖于 $r$。沿以导线为中心、半径为 $r$ 的圆走一圈，$\vec{B}$ 始终沿着行进方向，所以安培环路定律的左边是 $B\cdot 2\pi r$。令其等于 ${\mu }_{0}I$，得到
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

在半径为 $a$、电流均匀分布的导线内部，半径 $r<a$ 的圆只包围了一部分电流。这一部分等于面积之比 $\pi r^2/(\pi a^2)=r^2/a^2$。于是 $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$，即
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$
磁场在轴线上为零，并线性增大，到表面处为 ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$：对于半径 1 mm 的导线中 20 A 的电流，是 4.0 mT。在导线外，它按 $1/r$ 下降。下面的图 4 在两个区域中都画出了安培环路。

螺线管：内部是匀强磁场

螺线管是一根长线圈，是产生匀强磁场的标准方法。安培环路定律用一个一半在线圈内、一半在线圈外的矩形就能说明原因。

图例

$C$	用于安培环路定律的矩形回路，沿逆时针方向绕行。
$\ell$	$C$ 上与轴线平行的两条边的长度。	$\mathrm{m}$
$I$	每匝中的电流：上方流出纸面，下方流入纸面。	$\mathrm{A}$
$B$	螺线管内部沿轴线的磁场；外部为零。	$\mathrm{T}$
$n\ell$	穿过 $C$ 的匝数；$n$ 是每米匝数。

图 2 沿轴线剖开一个长螺线管。上一行电流从纸面穿出（圆点）；下一行电流进入纸面（叉号）。右手四指沿线圈中的电流方向弯曲，拇指就指出内部的磁场方向：沿轴线向右，如箭头 $B$ 所示。

线圈外部的磁场为零。完全位于线圈外的矩形不包围任何电流，所以它平行于轴线的两条长边必须相互抵消：沿轴线的磁场在外部任何距离处都相同。远离线圈时它必须衰减为零，所以在外部处处为零。这就是线圈下方的 $B=0$。

现在沿图 2 中的矩形 $C$ 走一圈。它的内侧边长为 $\ell$，位于线圈内部沿轴线方向，与 $B$ 同向，贡献 $B\ell$。它的外侧边位于 $B=0$ 处，没有贡献。它的两条短边在线圈内部与沿轴线的磁场垂直，在线圈外部则处于零场中，所以同样不贡献。安培环路定律的左边就是 $B\ell$。

在右边，$C$ 被 $n\ell$ 匝线圈穿过，其中 $n$ 是每米匝数，每匝都通有电流 $I$。所以 $I_{\mathrm{enc}}=n\ell I$，由 $B\ell ={\mu }_{0}n\ell I$ 得到
$B={\mu }_{0}nI$
这一结果与内侧边离轴线的距离无关，所以内部处处磁场相同：是匀强磁场。它取决于每米匝数和电流，而与线圈的半径无关。

B(r) 图像与等通量圆

在高级水平，动画画出了 20 A 导线的磁场，$B$ 随 $r$ 从 1 cm 到 6 cm 的变化。本节解读这张图，并说明为什么安培环路定律决定了它的形状。

这条曲线是双曲线 $Br={\mu }_{0}I/(2\pi )=4.0\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$，即 400 µT·cm。它经过 1 cm 处的 400 µT，标出的 2 cm 处的 200 µT，4 cm 处的 100 µT 和 6 cm 处的 67 µT。在双对数坐标中它是斜率为 −1 的直线，而点电荷是 −2，远处的磁体是 −3。

乘积 $Br$ 为常数，正是安培环路定律的要求。取一个不包围任何电流的回路：沿半径从 2 cm 向外走到 4 cm，沿 4 cm 圆转过角度 $\Delta \phi$，再沿另一条半径向内走回，最后沿 2 cm 圆走回来。在径向部分，$\vec{B}$ 与路径垂直，所以没有贡献。外侧圆弧顺着磁场，给出 $100\mu \mathrm{T}\cdot 4\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$；内侧圆弧逆着磁场，给出 $-200\mu \mathrm{T}\cdot 2\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$。两者相互抵消，内部没有电流时必然如此。若磁场比 $1/r$ 下降得更快或更慢，就通不过这个检验。

穿过过导线平面内一条长 1 m、从 $r_1$ 延伸到 $r_2$ 的带状区域的磁通量，等于横跨该区域的 $Bdr$ 之和：
$\Phi =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r_2}{r_1}$
它只依赖于比值 $r_2/r_1$，所以 $r$ 每增加一倍，就增加同样的 $2.8\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$。因此，按相等通量间隔画出的磁感线是半径为 1、2、4 和 8 cm 的圆，随着磁场变弱而越来越疏；动画中的两个虚线圆就是这样一组圆中相邻的两个。

毕奥–萨伐尔定律：从轴线上看一个圆环

只有当对称性使磁场沿某个回路保持不变时，安培环路定律才能给出 $B$。围绕单个圆形线圈不存在这样的回路，所以我们需要一条适用于任意形状电路的定律。毕奥–萨伐尔定律由一小段一小段的电流构建磁场：
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
这里 $d\vec{l}$ 是一小段沿电流方向的导线元，$r$ 是它到场点的距离，$\hat{r}$ 是从该导线元指向场点的单位矢量。每个导线元贡献的磁场按 $1/r^2$ 下降，方向既垂直于电流，又垂直于从导线元到场点的连线。

图例

$I$	圆环中的电流，从上方看为逆时针。	$\mathrm{A}$
$R$	圆环的半径。	$\mathrm{m}$
$z$	$P$ 在圆环中心之上、沿轴线的高度。	$\mathrm{m}$
$P$	轴线上求磁场的点。
$r$	电流元 $d\vec{l}$ 到 $P$ 的距离，等于 $\sqrt{R^2+z^2}$。	$\mathrm{m}$
$\hat{r}$	从电流元指向 $P$ 的单位矢量。
$d\vec{l}$	圆环上的一小段，位于右侧，那里电流流入纸面；在这个倾斜视图中画成向上。	$\mathrm{m}$
$d\vec{B}$	该电流元在 $P$ 处产生的磁场，垂直于 $d\vec{l}$ 和 $\hat{r}$。	$\mathrm{T}$
$d{B}_z$	$d\vec{B}$ 的轴向分量；所有电流元的轴向分量都向上，相互叠加。	$\mathrm{T}$

图 3 把该定律用于半径为 $R$、通有电流 $I$ 的圆环，求轴线上高于圆心 $z$ 处的点 $P$ 的磁场。先看圆环右侧的导线元 $d\vec{l}$。那里的电流进入纸面；在这个倾斜视图中，进入纸面画成向上。

有两个事实使这个导线元很容易处理。它到 $P$ 的距离是 $r=\sqrt{R^2+z^2}$，由边长为 $R$ 和 $z$ 的三角形用勾股定理得到。而沿圆环方向的 $d\vec{l}$ 与连线 $r$ 垂直，所以叉乘取得最大值：$dB={\mu }_{0}Idl/(4\pi r^2)$。它的方向既垂直于 $d\vec{l}$ 又垂直于 $\hat{r}$：向上并背离轴线，如箭头 $d\vec{B}$ 所示。

再看圆环另一侧的灰色导线元。它的电流方向相反，所以它的磁场是镜像：在它自己的那一侧向上并背离轴线。两者的横向分量相互抵消。把每个导线元与其对面的一个配对，所有横向分量都抵消，只剩下沿轴线的分量 $d{B}_z$，全部向上。

$d{B}_z$ 有多大？箭头 $d\vec{B}$ 与连线 $r$ 垂直，所以由 $d\vec{B}$ 和 $d{B}_z$ 构成的小三角形，与边长为 $R$、$z$ 和 $r$ 的大三角形相似。因此 $d{B}_z=dBR/r$。

每个导线元与场点的距离都是 $r$，给出相同的比值 $R/r$，而各导线元的长度加起来是周长 $2\pi R$。所以求和就是一个简单的乘积：
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

有两个极限可以检验这个结果。在圆心处，$z=0$，所以 $r=R$，每个导线元都与它到场点的连线垂直，于是 $B={\mu }_{0}I\cdot 2\pi R/(4\pi R^2)={\mu }_{0}I/(2R)$。对于半径 2 cm 的圆环中 20 A 的电流，这是 628 µT，是同样 2 cm 处直导线 200 µT 的 $\pi$ 倍。

在轴线上很远处，$z\gg R$ 时，括号变成 $z^3$，$B\approx {\mu }_{0}I{R}^2/(2z^3)$：磁场按 $1/z^3$ 下降。在 20 cm 处，同样的圆环只给出 0.62 µT，而直导线仍然给出 20 µT。小圆环是一个磁偶极子，其远场与条形磁体相同。每一个真实的电路，包括回流导线在内，都是闭合回路，所以在足够远处，它的磁场也按距离的三次方下降。

有限长导线与短螺线管

同样的求和方法也适用于直导线段和有限长的线圈，并能说明理想公式有多准确。

长为 $\ell$ 的直导线段，在正对其中点、垂直距离为 $r$ 的位置处，磁感应强度为
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{\ell /2}{\sqrt{(\ell /2{)}^2+r^2}}$
第一个因子是无限长导线的值；第二个因子始终小于 1，是对缺少两端的修正。对于 1 m 长的导线，在 4 cm 处观察，该因子为 0.9968，所以磁场只比无限长导线小 0.3 %。

对于长度为六个半径的螺线管（与动画中的相同），把各匝线圈的磁场相加，得到中心处为 ${\mu }_{0}nI$ 的 95 %，两端处为 49 %，在两端处计算出的磁感线向外散开。理想公式 $B={\mu }_{0}nI$ 是线圈非常长时的极限情形。

例题：同轴电缆的回路

同轴电缆让电流沿中心的圆杆流出，再沿包在外面的圆管流回。它是检验安培环路定律的好例子，因为从一个圆到另一个圆，所包围的电流是变化的。

设动画中的 20 A 电流沿半径 $a=1\mathrm{cm}$ 的铜杆流出纸面，再经杆外半径 $b=3\mathrm{cm}$ 的薄管流回纸内。2 cm 和 4 cm 处的指南针会受到什么影响？距轴线 0.5 cm 处的磁场是多少？

图例

$I$	内芯中的电流，从纸面流出；外管载着同样大小的电流返回。	$\mathrm{A}$
$a$	内芯的半径。	$\mathrm{m}$
$b$	外管的半径。	$\mathrm{m}$
$B$	绕轴线、半径为 $r$ 的圆上的磁场大小。	$\mathrm{T}$
$r$	到轴线的距离。	$\mathrm{m}$

图 4 的左半部分是横截面。中心的圆点表示电流 $I$ 沿半径为 $a$ 的圆杆流出纸面；叉号表示电流沿半径为 $b$ 的圆管流回纸内。虚线圆 1、2、3 是半径分别为 0.5 cm、2 cm、4 cm 的安培环路。为了给标注留出空间，图中的半径经过压缩，所以并未按比例绘制。

这条电缆绕轴线转动或沿轴线平移后看起来都一样，和直导线相同，所以磁场仍然绕轴线成圆，其大小只取决于 $r$。在每个圆上，安培环路定律给出 $B\cdot 2\pi r={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$，即 $B=({\mu }_0/2\pi )I_{\mathrm{enc}}/r$，其中 ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$。唯一要做的是求出 $I_{\mathrm{enc}}$。

圆 1 在圆杆内部，包围了杆横截面积的 $(0.5/1{)}^2$，即四分之一，因此包围了杆中四分之一的电流。圆 2 包围了杆中的全部电流，而不包围圆管中的电流。圆 3 把两者都包围，二者相互抵消：
$I_{\mathrm{enc}}(0.5\mathrm{cm})=20\cdot (0.5/1{)}^2=5\mathrm{A},B=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 5}{0.005}=2.0\times 10^{-4}\mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(2\mathrm{cm})=20\mathrm{A},B=200\mu \mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(4\mathrm{cm})=20-20=0,B=0$

图 4 的右半部分画出了整条电缆的 $B$ 随 $r$ 变化的曲线。磁场沿直线上升，在 $r=a$ 处达到 400 µT 的峰值，然后沿动画中的 $1/r$ 双曲线下降，直到 $r=b$，随后降为零。圆 1 和圆 2 的高度相同：杆内 0.5 cm 处为 200 µT，杆外 2 cm 处也是 200 µT。

所以 2 cm 处的内侧指南针感受不到任何新变化：圆管中的电流在它们所在的圆之外，而均匀的圆管在自身内部不产生磁场。4 cm 处的外侧指南针只受到约 20 µT 的地磁场水平分量，指向北方，就好像电流没有接通一样。

如果有 5 A 电流在别处漏入大地，只有 15 A 从圆管流回，那么圆 3 就会包围 5 A 的电流。这时外侧指南针会感受到电缆产生的 $2\times 10^{-7}\cdot 5/0.04=25\mu \mathrm{T}$，比地磁场还要强。漏电保护器正是利用这一点：套在两根导线外面的环只感应它们的净电流，也就是安培环路定律中的 $I_{\mathrm{enc}}$，一旦它不为零，就切断电路。

从两个参考系看同一个场

磁力并不是一种独立的力。本节说明，导线的磁力其实是从另一个参考系看到的电力。

设导线为铜线，横截面积为 2.5 mm²。其中可自由移动的电子每米导线携带约 $3.4\times 10^4\mathrm{C}$ 的电荷，与正离子的电荷恰好相互抵消，所以导线呈电中性。要通过 20 A 的电流，电子的漂移速度只需 $v\approx 0.59mm/s$。

现在让一个电荷沿导线旁边运动，方向与电子相同，速率也为 $v$。在实验室参考系中，它在磁场 $B$ 中运动，因而受到磁力。在它自己的参考系中，它是静止的，而磁场对静止的电荷不施加力。力不可能因为换一个观察角度就消失，所以在那个参考系中，这个力必定是电力。

事实正是如此。在该电荷的参考系中，离子在运动，所以它们的间距发生长度收缩，比在实验室中更加密集。而电子此时是静止的，间距为它们自己的固有间距，比实验室中看到的收缩后的间距更宽，所以更稀疏。导线不再是电中性的。

两种密度相差的比例为 $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-24}$：每米导线上的净电荷不到一个电子。然而，在 2 cm 处，这点微小的电荷产生的电场为 $1.2\times 10^{-7}V/m$，与以速率 $v$ 运动的电荷穿过 200 µT 磁场时的 $vB$ 相同。电场和磁场是同一个场的两个方面，换一个参考系就会相互转化，转化比率由 ${\mu }_0{\epsilon }_0=1/c^2$ 给出。

右手定则只是一种约定。$\vec{B}$ 既出现在磁场定律中，也出现在力 $q\vec{v}\times \vec{B}$ 中，所以若两处都改用左手定则，$\vec{B}$ 的方向会反过来，却不会改变任何预言。

永磁体遵循同样的方程。它们的电流存在于原子内部，主要是电子的自旋，在铁中这些自旋在整个磁畴内排列一致。

适用范围

这些是稳恒电流的定律。当电流变化时，麦克斯韦项 ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ 会与 ${\mu }_0\vec{J}$ 一起出现在旋度定律中。它弥补了图 1 中充电电容器的漏洞，并使场的变化以 $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}\approx 3.00\times 10^{8}m/s$ 的速度传播。

在远小于波长的距离上，静态公式依然成立。50 Hz 时波长为 6000 km，所以家用布线属于静磁学范畴；100 MHz 时波长为 3 m，导线就会向外辐射。

这些定律还假定空间为真空或空气，其磁导率与 ${\mu }_0$ 相差不到百万分之一。实验室中最强的稳恒磁场约为 45 T，而磁星（一种中子星）的磁场可达约 $10^{10}\mathrm{T}$。

物质的磁性本质上是量子效应。经典物理预言处于热平衡的电荷根本不会产生磁化，铁中自旋的排列是一种量子效应。

后续内容

《运动电荷受到的磁场力》讲述力 $q\vec{v}\times \vec{B}$、平行电流之间的吸引以及带电粒子的圆周轨道。《电磁感应》说明变化的 $\vec{B}$ 会在回路周围驱动出电场，这与安培环路定律相对应；《电动机、发电机与变压器》则让线圈和铁芯派上用场。加上麦克斯韦项后，两条旋度定律给出《电磁波》中的波，而上文的参考系变换则在《狭义相对论》中进一步展开。