Campos magnéticos de ímãs e correntes

Iniciante

Pendure um ímã de barra por um fio e ele para com uma extremidade apontando para o norte. Essa extremidade é o polo norte; a outra, o polo sul. Polos iguais se empurram; um norte e um sul se atraem.

A agulha da bússola é apenas um pequeno ímã sobre um eixo. Onde quer que você a coloque, sua extremidade norte mostra a direção do campo magnético naquele ponto. Movendo-a ao redor de um ímã, você pode traçar as linhas de campo: elas saem do polo norte, curvam-se e entram no polo sul.

A Terra também é um ímã gigante, com um detalhe. Como polos diferentes se atraem, o polo magnético escondido sob o Ártico deve ser, na verdade, um polo sul: por isso ele atrai a extremidade norte de cada bússola.

Em 1820, Hans Christian Ørsted descobriu que um fio percorrido por corrente também cria um campo magnético. A animação repete o experimento dele, vista de cima: pequenas bússolas ficam em volta de um fio vertical. Sem corrente, todas apontam para o norte. Ligue a corrente, e elas formam um anel em torno do fio; inverta a corrente, e o anel gira no sentido oposto. Para lembrar o sentido, segure o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente: os dedos se curvam no sentido do campo.

Enrolando o fio em forma de bobina, os anéis se somam no interior: você obtém um eletroímã que pode ser desligado. Ferro doce no interior o torna muito mais forte. Até um ímã de geladeira funciona assim: seus elétrons, que orbitam e giram sobre si mesmos como minúsculas correntes, estão todos alinhados.

Teste você mesmo: uma bússola está logo ao norte de um fio vertical cuja corrente sobe. Para onde aponta a agulha? (Oeste: vista de cima, o campo gira no sentido anti-horário.)

Intermediário

O que é um campo magnético e quão intenso ele é

Um campo magnético é o que faz girar a agulha de uma bússola perto de um ímã ou de uma corrente. Ele tem uma direção, para onde a extremidade norte da bússola se alinha, e uma intensidade, a densidade de fluxo magnético $B$, medida em tesla (T): com 1 T, um fio percorrido por 1 A, perpendicular ao campo, sofre uma força de 1 N em cada metro.

Um tesla é um campo intenso: um ímã de geladeira produz alguns militesla, um aparelho de ressonância magnética 1,5–3 T, enquanto o campo da Terra é de apenas 25–65 µT. Uma bússola deitada sente apenas a componente horizontal, cerca de 20 µT em latitudes médias, o valor verde na animação.

As linhas de campo seguem a direção para onde a bússola aponta, se concentram onde o campo é intenso e nunca se cruzam; ao redor de um ímã de barra, saem do polo norte e se curvam até o polo sul. O polo magnético da Terra sob o Ártico atrai a extremidade norte de cada bússola, por isso é um polo sul.

O campo de um fio reto e longo

Em 1820, Hans Christian Ørsted viu uma agulha de bússola se mover quando ligou uma corrente em um fio próximo: correntes elétricas criam campos magnéticos. As linhas de campo de um fio reto e longo são círculos centrados nele, por isso a agulha gira lateralmente, e limalhas de ferro sobre um cartão em volta do fio formam anéis. A uma distância $r$ do fio
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

onde $I$ é a corrente e ${\mu }_0$ é a constante magnética,
${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$
Dobrando $I$, $B$ dobra; dobrando $r$, $B$ cai pela metade. Um atalho útil é ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$, de modo que $B=2\times 10^{-7}I/r$, com $I$ em ampères e $r$ em metros.

O sentido: lendo o diagrama

A direção vem da regra da mão direita: segure o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente convencional, e os dedos se curvam no sentido das linhas de campo. A regra usa a corrente convencional $I$; em um metal, os elétrons se deslocam no sentido oposto.

A animação olha o cartão de cima, então o fio aparece de ponta: um ponto (•) significa corrente saindo da tela, como a ponta de uma seta, e um x (×) corrente entrando nela, como as penas da cauda dela. Com $I=20\mathrm{A}$ saindo da tela, seu polegar aponta para você e o campo gira no sentido anti-horário: as setas azuis $B$ do lado leste apontam para o norte. Quando a corrente se inverte, as setas se invertem e todas as agulhas giram; as leituras de $B$, que dão apenas a intensidade do campo, permanecem as mesmas.

As agulhas internas, no campo mais forte, giram mais depressa que as externas, porque o torque que um campo exerce sobre um ímã cresce com $B$.

Espiras e solenoides

Dobre o fio formando uma espira circular de raio $R$, e cada parte dele envia seu campo pelo centro na mesma direção. No centro
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\text{(centre of a loop)}$
que é $\pi$ vezes o que um fio reto dá à distância $R$; uma bobina plana de $N$ espiras dá $N$ vezes mais.

Muitas espiras ao longo de um tubo formam um solenoide. No interior de um solenoide longo, os campos das espiras se somam em um campo quase uniforme ao longo do eixo, enquanto do lado de fora eles quase se anulam:
$B={\mu }_{0}nI,n=\frac{N}{L}$
Aqui $n$ é o número de espiras por metro, $N$ espiras ao longo de um comprimento $L$; o raio não importa se a bobina é longa em comparação com sua largura. As extremidades agem como os polos de um ímã de barra: curve os dedos da mão direita no sentido da corrente nas espiras e o polegar aponta para a extremidade norte. Com um núcleo de ferro doce no interior, a bobina se torna um eletroímã.

Exemplo resolvido: as bússolas da animação

O fio conduz $I=20\mathrm{A}$, e as bússolas estão a 2 cm e 4 cm dele. Com as distâncias em metros:
$B_1=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,02}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=200\mu \mathrm{T}$
$B_2=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,04}=1,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=100\mu \mathrm{T}$

Essas são as duas leituras azuis, dez e cinco vezes os 20 µT horizontais da Terra. Uma bússola, porém, mostra o campo total, o do fio mais o da Terra. Para a bússola interna, logo ao norte do fio, o campo do fio aponta para oeste e o da Terra para o norte; a agulha então gira do círculo em direção ao norte por um ângulo cuja tangente é $20/200$: cerca de 5,7°. A 4 cm, a razão é $20/100$, e as agulhas externas se inclinam para o norte em até cerca de 11°.

Onde o campo do fio seria igual ao campo da Terra $B_E=20\mu \mathrm{T}$?
$r=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi B_E}=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{20\times 10^{-6}}=0,20\mathrm{m}$
Com a corrente saindo da tela, o campo a 20 cm exatamente a oeste do fio aponta para o sul e anula o da Terra: uma bússola ali não tem direção preferencial. Exatamente ao norte, os dois campos se somam em ângulo reto, resultando em cerca de 28 µT, e a agulha aponta para noroeste. Invertendo a corrente, o ponto de anulação passa para o leste.

Exemplo resolvido: enrolando um eletroímã

Você quer 10 mT no interior de uma bobina de 25 cm de comprimento, com fio dimensionado para 2 A. Resolva $B={\mu }_{0}nI$ para as espiras por metro:
$n=\frac{B}{{\mu }_{0}I}=\frac{0,010}{4\pi \times 10^{-7}\cdot 2}\approx 4,0\times 10^3{\mathrm{m}}^{-1}$
Isso dá cerca de 4000 espiras por metro, ou $N=nL=4000\cdot 0,25=1000$ espiras, e $B=4\pi \times 10^{-7}\cdot 4000\cdot 2\approx 1,0\times 10^{-2}\mathrm{T}$, cerca de 500 vezes o campo horizontal da Terra.

Em um tubo de raio 2 cm, a bobina usa $1000\cdot 2\pi \cdot 0,02\approx 126\mathrm{m}$ de fio. Em cobre com seção transversal de 0,5 mm², sua resistência é $\rho \ell /A=1,7\times 10^{-8}\cdot 126/(0,5\times 10^{-6})\approx 4,3\Omega$, de modo que 2 A exigem cerca de 8,5 V e convertem 17 W em calor.

Um núcleo de ferro doce alinha seus ímãs atômicos ao campo da bobina e o multiplica muitas vezes: para alguns décimos de tesla em uma barra reta, e para quase 2 T, onde o ferro satura, em um caminho de ferro fechado, como o de um eletroímã de elevação.

Erros comuns

• As linhas de campo de um fio são círculos, não raios: uma bússola a 2 cm ao norte de um fio com 20 A para cima aponta quase para oeste.
• O campo de um fio longo cai com $1/r$, não com $1/r^2$: 100 µT a 4 cm passam a 50 µT a 8 cm, não a 25 µT.
• As distâncias devem estar em metros: $r=2$ em vez de 0.02 dá 2 µT em vez de 200 µT. Da mesma forma, $n$ conta espiras por metro: 1000 espiras em 25 cm dão $n=4000{\mathrm{m}}^{-1}$, não 1000.
• A bússola mostra o campo total, não só o do fio: a 20 cm do fio da animação, os dois são iguais, e as agulhas deixam de seguir os círculos.
• Um cabo da rede elétrica com 10 A não afeta a bússola: seus dois condutores levam correntes opostas separadas por alguns milímetros, deixando cerca de 1 µT a 10 cm, em vez de 20 µT para um condutor sozinho, e a corrente muda de sentido 100 vezes por segundo.

Onde isso aparece

Eletroímãs levantam sucata de aço, mantêm portas corta-fogo abertas e acionam relés. Um alto-falante move seu cone com uma bobina no campo de um ímã, e um aparelho de ressonância magnética é um grande solenoide: 1,5 T exigem $nI\approx 1,2\times 10^{6}A/m$, digamos 2000 espiras por metro conduzindo 600 A, por isso sua bobina é resfriada até se tornar supercondutora.

A seguir, Força magnética sobre cargas em movimento mostra o que um campo faz com uma corrente, Indução eletromagnética, como um campo variável gera uma corrente, e Motores, geradores e transformadores põe os dois em funcionamento.

Avançado

Duas leis locais para correntes estacionárias

Esta seção enuncia as duas regras que todo campo magnético estacionário obedece. Tudo o mais nesta lição, do fio reto ao cabo coaxial, decorre delas.

Para correntes que não mudam no tempo, o campo magnético $\vec{B}$ satisfaz
$\nabla \cdot \vec{B}=0,\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$
Aqui $\vec{J}$ é a densidade de corrente, a corrente por unidade de área da seção transversal (A/m²), e ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$ é a constante magnética. O divergente $\nabla \cdot \vec{B}$ mede quanto campo sai de um volume minúsculo; o rotacional $\nabla \times \vec{B}$ mede quanto ele circula em torno de um pequeno percurso fechado.

A primeira lei diz que nenhum fluxo líquido de $\vec{B}$ sai de qualquer superfície fechada. As linhas de campo, portanto, nunca começam nem terminam, porque não existem cargas magnéticas. As linhas de $\vec{E}$ em Campo elétrico e potencial, ao contrário, começam e terminam em cargas.

A segunda lei diz que $\vec{B}$ circula em torno de correntes, e somente em torno delas. Onde $\vec{J}=0$, o campo não tem rotacional algum.

Lei de Ampère: a circulação conta a corrente

A lei do rotacional vale ponto a ponto. Para usá-la em um fio real, precisamos de uma forma que some a circulação ao longo de um percurso fechado inteiro. Integre a lei do rotacional sobre qualquer superfície limitada por uma curva fechada $C$: o teorema de Stokes transforma o lado esquerdo em uma integral de linha ao longo de $C$, e o lado direito torna-se ${\mu }_0$ vezes a corrente $I_{\mathrm{enc}}$ que atravessa a superfície. O resultado é a lei de Ampère:
$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$

Legenda

$I$	Corrente no fio, para cima. Ela atravessa $S_1$ e $S_2$ igualmente, então é o $I_{\mathrm{enc}}$ da lei de Ampère.	$\mathrm{A}$
$C$	Curva fechada ao longo da qual $\vec{B}$ é somado.
$S_1$	Disco plano limitado por $C$.
$S_2$	Cúpula limitada pela mesma curva $C$; o fio também a atravessa.
$d\vec{l}$	Pequeno passo ao longo de $C$, no sentido em que os dedos da mão direita se curvam quando o polegar aponta no sentido de $I$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético sobre $C$; ele circula o fio no mesmo sentido dos passos.	$\mathrm{T}$

Na Figura 1, a curva $C$ é dividida em pequenos passos $d\vec{l}$. Em cada passo, tome a componente de $\vec{B}$ ao longo do passo e multiplique pelo comprimento do passo. O lado esquerdo da lei é a soma desses produtos ao longo de todo o percurso $C$.

O sentido de percurso fixa o sinal. Aponte o polegar da mão direita no sentido de uma corrente: se os dedos se curvarem no sentido dos passos, essa corrente conta como positiva. Aqui o fio conduz $I$ para cima, então os passos correm no sentido anti-horário visto de cima. O campo $\vec{B}$ circula o fio no mesmo sentido, então todos os produtos são positivos.

$I_{\mathrm{enc}}$ é a corrente que atravessa uma superfície limitada por $C$. A escolha óbvia é o disco plano $S_1$. Mas a cúpula tracejada $S_2$ tem a mesma borda $C$, e a lei não diz qual superfície usar, então ambas devem dar a mesma resposta. Na Figura 1, isso acontece: o fio atravessa $S_1$ e $S_2$ igualmente, então cada uma é cruzada por $I$.

Essa concordância não é automática. O divergente de qualquer rotacional é zero, então tomar o divergente da lei do rotacional dá $\nabla \cdot \vec{J}=0$: a carga nunca se acumula, a corrente flui em circuitos fechados, e toda superfície que se apoia em $C$ transporta a mesma corrente. Um capacitor em carga quebra isso. Uma cúpula que passa entre suas placas não é cruzada por corrente alguma, enquanto o disco plano é cruzado pelo fio. Esse é o primeiro sinal de que campos variáveis precisam de um termo extra, tratado no fim desta lição.

O fio reto, por fora e por dentro

A lei de Ampère dá $B$ em uma linha, mas somente quando a simetria nos diz de antemão que o campo é o mesmo em todo o percurso fechado. O fio reto longo é o caso mais limpo, e mostra como o argumento de simetria funciona.

Um fio reto longo tem a mesma aparência depois de você deslizar ao longo dele ou girar em torno dele. Assim, cada componente de $\vec{B}$ só pode depender da distância $r$ até o fio. Divida $\vec{B}$ em três componentes: radial (apontando para longe do fio), ao longo do fio e circulando-o.

A componente radial é zero. Tome um cilindro fechado de raio $r$ em torno do fio. Suas duas extremidades planas se cancelam, porque o campo ao longo do fio é o mesmo nas duas, entrando por uma como sai pela outra. Uma componente radial sairia pela superfície curva em todos os pontos e daria um fluxo líquido, o que $\nabla \cdot \vec{B}=0$ proíbe.

A componente ao longo do fio é zero do lado de fora. Tome um retângulo em um plano que passa pelo fio, com os dois lados longos fora do fio e do mesmo lado dele. Ele não envolve corrente alguma. Seus lados curtos são radiais, onde o campo não tem componente, então os dois lados longos devem se cancelar: o campo ao longo do fio é o mesmo em toda distância. Longe, ele deve desaparecer, então desaparece em todo o exterior.

O que resta circula o fio, com módulo $B$ que depende apenas de $r$. Ao longo de um círculo de raio $r$ centrado no fio, $\vec{B}$ aponta sempre ao longo do passo, então o lado esquerdo da lei de Ampère é $B\cdot 2\pi r$. Igualando a ${\mu }_{0}I$, temos
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

Dentro de um fio de raio $a$ que conduz sua corrente uniformemente, um círculo de raio $r<a$ envolve apenas parte da corrente. Essa parte é a razão entre as áreas, $\pi r^2/(\pi a^2)=r^2/a^2$. Logo $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$, e
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$
O campo é zero no eixo e cresce linearmente até ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$ na superfície: 4,0 mT para 20 A em um fio de raio 1 mm. Do lado de fora, cai com $1/r$. A Figura 4, mais adiante, desenha os círculos de Ampère nas duas regiões.

O solenoide: campo uniforme no interior

Um solenoide é uma bobina longa de fio, a maneira padrão de obter um campo uniforme. A lei de Ampère mostra por quê, com um único retângulo que fica metade dentro da bobina e metade fora.

Legenda

$C$	Retângulo para a lei de Ampère, percorrido no sentido anti-horário.
$\ell$	Comprimento dos dois lados de $C$ paralelos ao eixo.	$\mathrm{m}$
$I$	Corrente em cada espira: saindo da página em cima, entrando nela embaixo.	$\mathrm{A}$
$B$	Campo no interior do solenoide, ao longo do eixo; do lado de fora, é zero.	$\mathrm{T}$
$n\ell$	Número de espiras que atravessam $C$; $n$ é o número de espiras por metro.

A Figura 2 corta um solenoide longo ao longo do seu eixo. Na linha de cima, a corrente sai da página (pontos); na de baixo, ela entra na página (cruzes). Curve os dedos da mão direita no sentido da corrente nas espiras, e o polegar indica o campo no interior: ao longo do eixo, para a direita, como mostram as setas $B$.

Do lado de fora da bobina, o campo é zero. Um retângulo totalmente externo não envolve corrente, então seus dois lados longos, paralelos ao eixo, devem se cancelar: o campo ao longo do eixo é o mesmo em toda distância externa. Longe da bobina, ele deve se extinguir, então é zero em todo o exterior. Esse é o $B=0$ abaixo da bobina.

Agora percorra o retângulo $C$ da Figura 2. Seu lado interno, de comprimento $\ell$, corre ao longo do eixo dentro da bobina, no sentido de $B$, e contribui com $B\ell$. Seu lado externo fica onde $B=0$ e não contribui. Seus dois lados curtos cruzam o campo axial em ângulo reto dentro da bobina e ficam em campo zero do lado de fora, então também não contribuem. O lado esquerdo da lei de Ampère é apenas $B\ell$.

Do lado direito, $C$ é atravessado por $n\ell$ espiras, onde $n$ é o número de espiras por metro, e cada uma conduz $I$. Assim $I_{\mathrm{enc}}=n\ell I$, e $B\ell ={\mu }_{0}n\ell I$ dá
$B={\mu }_{0}nI$
Nada disso depende da distância do lado interno até o eixo, então o campo é o mesmo em todo o interior: uniforme. Ele depende das espiras por metro e da corrente, não do raio da bobina.

O gráfico B(r) e círculos de fluxo igual

No nível Avançado, a animação traça o campo do fio de 20 A, $B$ em função de $r$, de 1 a 6 cm. Esta seção lê esse gráfico e mostra por que a lei de Ampère fixa sua forma.

A curva é a hipérbole $Br={\mu }_{0}I/(2\pi )=4,0\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$, ou 400 µT·cm. Ela passa por 400 µT a 1 cm, pelos 200 µT marcados a 2 cm, 100 µT a 4 cm e 67 µT a 6 cm. Em eixos log–log, seria uma reta de inclinação −1, contra −2 para uma carga pontual e −3 para um ímã distante.

O produto constante $Br$ é exatamente o que a lei de Ampère exige. Tome uma curva que não envolve corrente: para fora ao longo de um raio de 2 a 4 cm, pelo círculo de 4 cm através de um ângulo $\Delta \phi$, para dentro ao longo de outro raio e de volta pelo círculo de 2 cm. Nos trechos radiais, $\vec{B}$ é perpendicular ao caminho, então não contribuem. O arco externo corre no sentido do campo e dá $100\mu \mathrm{T}\cdot 4\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$; o arco interno corre contra ele e dá $-200\mu \mathrm{T}\cdot 2\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$. Os dois se cancelam, como devem fazer sem corrente no interior. Um campo que caísse mais depressa ou mais devagar que $1/r$ falharia nesse teste.

O fluxo através de uma faixa em um plano que passa pelo fio, com um metro de comprimento e indo de $r_1$ a $r_2$, é a soma de $Bdr$ ao longo dela:
$\Phi =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r_2}{r_1}$
Ele depende apenas da razão $r_2/r_1$, então cada duplicação de $r$ acrescenta a mesma quantidade $2,8\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Linhas de campo desenhadas em passos iguais de fluxo são, portanto, círculos de raio 1, 2, 4 e 8 cm, que se espalham à medida que o campo enfraquece; os dois círculos tracejados da animação são vizinhos em um conjunto desses.

A lei de Biot–Savart: uma espira vista do seu eixo

A lei de Ampère dá $B$ apenas quando a simetria mantém o campo constante ao longo de alguma curva. Em torno de uma única bobina circular não existe tal curva, então precisamos de uma lei que funcione para um circuito de qualquer forma. A lei de Biot–Savart constrói o campo a partir de pequenos trechos de corrente:
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
Aqui $d\vec{l}$ é um pequeno elemento de fio apontando no sentido da corrente, $r$ é sua distância até o ponto de campo e $\hat{r}$ é o vetor unitário que vai do elemento até esse ponto. Cada elemento acrescenta uma contribuição que cai com $1/r^2$ e aponta em ângulo reto tanto para a corrente quanto para a linha de visada.

Legenda

$I$	Corrente na espira, anti-horária vista de cima.	$\mathrm{A}$
$R$	Raio da espira.	$\mathrm{m}$
$z$	Altura de $P$ acima do centro da espira, ao longo do eixo.	$\mathrm{m}$
$P$	Ponto sobre o eixo onde o campo é calculado.
$r$	Distância do elemento $d\vec{l}$ até $P$, igual a $\sqrt{R^2+z^2}$.	$\mathrm{m}$
$\hat{r}$	Vetor unitário do elemento até $P$.
$d\vec{l}$	Pequeno elemento da espira, à direita, onde a corrente entra na página; desenhado para cima nesta vista inclinada.	$\mathrm{m}$
$d\vec{B}$	Campo desse elemento em $P$, perpendicular a $d\vec{l}$ e a $\hat{r}$.	$\mathrm{T}$
$d{B}_z$	Componente axial de $d\vec{B}$; as componentes axiais de todos os elementos apontam para cima e se somam.	$\mathrm{T}$

A Figura 3 aplica a lei a uma espira circular de raio $R$ conduzindo $I$, em um ponto $P$ sobre seu eixo, à altura $z$ acima do centro. Observe primeiro o elemento $d\vec{l}$ no lado direito do anel. Ali a corrente corre para dentro da página; nesta vista inclinada, “para dentro da página” é desenhado como para cima.

Dois fatos tornam esse elemento simples. Sua distância até $P$ é $r=\sqrt{R^2+z^2}$, pelo teorema de Pitágoras no triângulo de lados $R$ e $z$. E $d\vec{l}$, que corre ao longo do anel, é perpendicular à linha $r$, então o produto vetorial tem seu módulo máximo: $dB={\mu }_{0}Idl/(4\pi r^2)$. Sua direção é perpendicular a $d\vec{l}$ e a $\hat{r}$: para cima e para longe do eixo, como mostra a seta $d\vec{B}$.

Agora observe o elemento cinza no lado oposto do anel. Sua corrente corre no sentido contrário, então seu campo é a imagem espelhada: para cima e para longe do eixo do seu lado. As componentes laterais dos dois se cancelam. Emparelhando cada elemento com o seu oposto, todas as componentes laterais se cancelam, e só sobrevivem as componentes axiais $d{B}_z$, todas apontando para cima.

Quão grande é $d{B}_z$? A seta $d\vec{B}$ é perpendicular à linha $r$, então o pequeno triângulo formado por $d\vec{B}$ e $d{B}_z$ é semelhante ao grande triângulo de lados $R$, $z$ e $r$. Daí $d{B}_z=dBR/r$.

Cada elemento está à mesma distância $r$ e dá a mesma razão $R/r$, e os comprimentos dos elementos somam a circunferência $2\pi R$. A soma é, portanto, apenas um produto:
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

Dois casos-limite verificam o resultado. No centro, $z=0$, então $r=R$, todo elemento está de lado, e $B={\mu }_{0}I\cdot 2\pi R/(4\pi R^2)={\mu }_{0}I/(2R)$. Para 20 A em uma espira de raio 2 cm, isso dá 628 µT, $\pi$ vezes os 200 µT de um fio reto à mesma distância de 2 cm.

Longe ao longo do eixo, para $z\gg R$, o termo entre parênteses se torna $z^3$ e $B\approx {\mu }_{0}I{R}^2/(2z^3)$: o campo cai com $1/z^3$. A 20 cm, a mesma espira dá apenas 0,62 µT, enquanto um fio reto ainda dá 20 µT. Uma espira pequena é um dipolo magnético, com o mesmo campo distante de um ímã de barra. Todo circuito real, incluindo os fios de retorno, é uma curva fechada, então, a uma distância suficiente, seu campo também cai com o cubo da distância.

Fios finitos e solenoides curtos

A mesma soma trata de trechos retos de fio e bobinas de comprimento finito, e mostra quão boas são as fórmulas ideais.

Um segmento reto de comprimento $\ell$, visto de um ponto a distância perpendicular $r$ do seu ponto médio, dá
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{\ell /2}{\sqrt{(\ell /2{)}^2+r^2}}$
O primeiro fator é o valor do fio infinito; o segundo, sempre menor que 1, é a correção pelas extremidades ausentes. Para um fio de 1 m visto de 4 cm, ele vale 0,9968, então o campo fica apenas 0,3 % abaixo.

Para um solenoide com seis raios de comprimento, como o da animação, somar os campos de suas espiras dá 95 % de ${\mu }_{0}nI$ no centro e 49 % nas extremidades, onde as linhas de campo calculadas se abrem em leque. O $B={\mu }_{0}nI$ ideal é o limite de uma bobina muito longa.

Problema resolvido: um retorno coaxial

Um cabo coaxial envia uma corrente para fora por uma haste central e a traz de volta por um tubo em volta dela. É um bom teste da lei de Ampère, porque a corrente envolvida muda de um círculo para o seguinte.

Suponha que os 20 A da animação saiam da tela por uma haste de cobre de raio $a=1\mathrm{cm}$ e retornem por um tubo fino de raio $b=3\mathrm{cm}$ em torno da haste. O que sentem as bússolas a 2 cm e 4 cm, e qual é o campo a 0,5 cm do eixo?

Legenda

$I$	Corrente na haste, saindo da página; o tubo conduz a mesma corrente de volta.	$\mathrm{A}$
$a$	Raio da haste.	$\mathrm{m}$
$b$	Raio do tubo.	$\mathrm{m}$
$B$	Intensidade do campo em um círculo de raio $r$ em torno do eixo.	$\mathrm{T}$
$r$	Distância ao eixo.	$\mathrm{m}$

A metade esquerda da Figura 4 é a seção transversal. O ponto no centro é a corrente $I$ saindo da página pela haste de raio $a$; as cruzes são seu retorno para dentro da página pelo tubo de raio $b$. Os círculos tracejados 1, 2 e 3 são curvas de Ampère a 0,5 cm, 2 cm e 4 cm. O desenho comprime os raios para que caibam os rótulos, então não está em escala.

O cabo tem a mesma aparência depois de girar em torno do eixo ou de deslizar ao longo dele, assim como o fio reto, então o campo novamente circula o eixo com um módulo que depende apenas de $r$. Em cada círculo, a lei de Ampère dá $B\cdot 2\pi r={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$, ou $B=({\mu }_0/2\pi )I_{\mathrm{enc}}/r$ com ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$. Todo o trabalho está em encontrar $I_{\mathrm{enc}}$.

O círculo 1, dentro da haste, envolve $(0,5/1{)}^2$, ou seja um quarto, da área da haste e portanto um quarto da sua corrente. O círculo 2 envolve toda a corrente da haste e nenhuma do tubo. O círculo 3 envolve as duas, e elas se cancelam:
$I_{\mathrm{enc}}(0,5\mathrm{cm})=20\cdot (0,5/1{)}^2=5\mathrm{A},B=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 5}{0,005}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(2\mathrm{cm})=20\mathrm{A},B=200\mu \mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(4\mathrm{cm})=20-20=0,B=0$

A metade direita da Figura 4 traça $B$ em função de $r$ para o cabo inteiro. O campo sobe em linha reta até um pico de 400 µT em $r=a$, segue a hipérbole $1/r$ da animação até $r=b$, e depois cai a zero. Os círculos 1 e 2 estão na mesma altura: 200 µT dentro da haste a 0,5 cm, e 200 µT fora dela a 2 cm.

As bússolas internas, a 2 cm, não percebem nada de novo: a corrente do tubo fica fora do círculo delas, e um tubo uniforme não produz campo em seu interior. As bússolas externas, a 4 cm, sentem apenas o campo horizontal da Terra, de cerca de 20 µT, e apontam para o norte como se a corrente estivesse desligada.

Se 5 A vazassem para a terra em algum outro ponto, de modo que apenas 15 A retornassem pelo tubo, o círculo 3 envolveria 5 A. As bússolas externas sentiriam então $2\times 10^{-7}\cdot 5/0,04=25\mu \mathrm{T}$ do cabo, mais que o campo da Terra. Um dispositivo DR usa exatamente isso: um anel em torno dos dois condutores detecta apenas a corrente líquida deles, o $I_{\mathrm{enc}}$ da lei de Ampère, e desliga o circuito quando ela não é zero.

Um campo visto de dois referenciais

O magnetismo não é uma força separada. Esta seção mostra que a força magnética de um fio é uma força elétrica vista de outro referencial.

Seja o fio de cobre com seção transversal de 2,5 mm². Seus elétrons móveis carregam cerca de $3,4\times 10^4\mathrm{C}$ por metro de fio, exatamente equilibrados pelos íons positivos, então o fio é neutro. Para conduzir 20 A, os elétrons se deslocam com apenas $v\approx 0,59mm/s$.

Agora deixe uma carga se mover ao lado do fio, paralela aos elétrons e com a velocidade deles $v$. No laboratório, ela sente uma força magnética, porque se move pelo campo $B$. No seu próprio referencial, ela está em repouso, e um campo magnético não exerce força sobre uma carga em repouso. A força não pode desaparecer por uma mudança de ponto de vista, então, nesse referencial, ela deve ser elétrica.

E de fato é. No referencial da carga, os íons se movem, então o espaçamento deles sofre contração de Lorentz e eles ficam mais apertados do que no laboratório. Os elétrons agora estão em repouso, no seu espaçamento natural, que é maior que o espaçamento contraído visto no laboratório, então ficam menos apertados. O fio deixa de ser neutro.

As duas densidades diferem por uma fração $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-24}$: uma carga líquida de menos de um elétron por metro de fio. Ainda assim, a 2 cm essa carga minúscula produz um campo elétrico de $1,2\times 10^{-7}V/m$, igual ao $vB$ de uma carga que se move com $v$ através de 200 µT. Campos elétricos e magnéticos são dois aspectos de um único campo, misturados por uma mudança de referencial, com ${\mu }_0{\epsilon }_0=1/c^2$ como taxa de conversão.

A regra da mão direita é apenas uma convenção. $\vec{B}$ aparece tanto na lei do campo quanto na força $q\vec{v}\times \vec{B}$, então uma regra da mão esquerda usada nas duas inverteria $\vec{B}$ e não mudaria nenhuma previsão.

Ímãs permanentes obedecem às mesmas equações. Suas correntes estão dentro dos átomos, sobretudo nos spins dos elétrons, alinhados em domínios inteiros no ferro.

Limites de validade

Essas são as leis das correntes estacionárias. Quando as correntes mudam, o termo de Maxwell ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ se junta a ${\mu }_0\vec{J}$ na lei do rotacional. Ele corrige o capacitor em carga da Figura 1, e faz com que as variações do campo se propaguem a $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}\approx 3,00\times 10^{8}m/s$.

As fórmulas estáticas continuam valendo a distâncias muito menores que o comprimento de onda. A 50 Hz, o comprimento de onda é de 6000 km, então a fiação doméstica é magnetostática; a 100 MHz, é de 3 m, e um fio irradia.

As leis também supõem espaço vazio ou ar, cuja permeabilidade difere de ${\mu }_0$ em menos de uma parte por milhão. Os campos estacionários de laboratório mais intensos são de cerca de 45 T, e os magnetares, um tipo de estrela de nêutrons, chegam a cerca de $10^{10}\mathrm{T}$.

O magnetismo da matéria é, em sua essência, quântico. A física clássica não prevê magnetização alguma para cargas em equilíbrio térmico, e o alinhamento dos spins no ferro é um efeito quântico.

Para onde isso leva

Força magnética sobre cargas em movimento acrescenta a força $q\vec{v}\times \vec{B}$, a atração entre correntes paralelas e as órbitas circulares de partículas carregadas. Indução eletromagnética mostra que um $\vec{B}$ variável gera um campo elétrico ao longo de uma espira, o correspondente da lei de Ampère, e Motores, geradores e transformadores põe bobinas e núcleos de ferro para trabalhar. Com o termo de Maxwell, as duas leis do rotacional dão as ondas de Ondas eletromagnéticas, e a mudança de referencial acima é desenvolvida em Relatividade restrita.